লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

বিন্যাস ও সমাবেশ

মোট প্রশ্ন১,৭৫০এই পাতা১০০প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

বিন্যাস ও সমাবেশ

PrepBank · পাতা ১১ / ১৮ · ১,০০১–১,১০০ / ১,৭৫০

১,০০১.
যদি nC12 = nC8 হয়, তবে 22Cn এর মান কত?
  1. ক
    230
  2. খ
    231
  3. গ
    232
  4. ঘ
    233
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি nC12 = nC8 হয়, তবে 22Cn এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
nC12 = nC8
⇒ nCn - 12 = nC8 
⇒ n - 12 = 8 
∴ n = 12 + 8 = 20 

সুতরাং, প্রদত্ত রাশি, 
= 22Cn
= 22C20  ; [n = 20]
= 22!/(20! × 2!)
= (22 × 21 × 20!)/(20! × 2)
= 11 × 21 
= 231

১,০০২.
3 × nP4 = nP5 হলে n এর মান কত?
  1. ক
    ক) 3
  2. খ
    খ) 5
  3. গ
    গ) 6
  4. ঘ
    ঘ) 7
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3 × nP4 = nP5 হলে n এর মান কত?

সমাধান: 
3 × nP4 = nP5
⇒ 3 × n!/(n - 4)! = n!/(n - 5)!
⇒ 3 × n!/(n - 4) × (n - 5)! = n!/(n - 5)!
⇒ 3/(n - 4)  = 1
⇒ n - 4 = 3
∴ n = 7
১,০০৩.
1, 2, 3, 4, 5 সংখ্যাগুলো নিয়ে চার অংক বিশিষ্ট কয়টি টেলিফোন নাম্বার বানানো যাবে?
  1. ক
    ক) 125
  2. খ
    খ) 500
  3. গ
    গ) 625
  4. ঘ
    ঘ) 3050
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 1, 2, 3, 4, 5 সংখ্যাগুলো নিয়ে চার অংক বিশিষ্ট কয়টি টেলিফোন নাম্বার বানানো যাবে?

সমাধান:
মোট সংখ্যা n = 5 টি
ঘর r = 4 টি 

মোট সাজানো যাবে = nr = 54 = 625 ভাবে
১,০০৪.
একটি জটিল সার্জারির জন্য 10 জন সার্জনের মধ্য থেকে 5 জন সার্জনের একটি টীম কতভাবে তৈরি করা যাবে যেখানে 2 জন সার্জন সর্বদা বাছাই এর বাইরে থাকবেন?
  1. ক
    42
  2. খ
    56
  3. গ
    84
  4. ঘ
    112
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি জটিল সার্জারির জন্য 10 জন সার্জনের মধ্য থেকে 5 জন সার্জনের একটি টীম কতভাবে তৈরি করা যাবে যেখানে 2 জন সার্জন সর্বদা বাছাই এর বাইরে থাকবেন?

সমাধান:
যেহেতু 2 জন সার্জন সর্বদা বাছাই এর বাইরে থাকবেন তাই মোট সংখ্যা হবে = (10 - 2) = 8 জন

এখন,
8 জন সার্জনের মধ্য থেকে 5 জন সার্জন কে বাছাই করে টীম গঠন করার উপায় সংখ্যা,
= 8C5 
= 8!/{5! × (8 - 5)!}
= 8!/(5! × 3!)
= (8 × 7 × 6 × 5!)/(5! × 3!)
= (8 × 7 × 6)/(3 × 2)
= 56
১,০০৫.
যদি nC6 = nC4 হয়, তাহলে nC3 এর মান কত?
  1. ক
    45
  2. খ
    120
  3. গ
    180
  4. ঘ
    72
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি nC6 = nC4 হয়, তাহলে nC3 এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
যদি nCa = nCb হয়, তাহলে হয় a = b অথবা a + b = n হবে।

এখানে,
nC6 = nC4
⇒ 6 + 4 = n
⇒ n = 10

∴ nC3 = 10C3
= 10!/3!(10 - 3)!
= (10 × 9 × 8 × 7!)/(6 × 7!)
= 120

১,০০৬.
4 জন পুরুষ ও 7 জন মহিলাদের ভিতর থেকে 5 জনের একটি কমিটি কত উপায়ে গঠন করা যাবে যাতে সর্বদাই মহিলাদের সংখ্যা গরিষ্ঠতা থাকবে কিন্তু কমপক্ষে একজন পুরুষ থাকবে? 
  1. ক
    ক) 266
  2. খ
    খ) 350  
  3. গ
    গ) 346
  4. ঘ
    ঘ) 286
ব্যাখ্যা
পুরুষ = 4 জন
মহিলা = 7 জন

4জন পুরুষ থেকে 1 জন ও 7 জন মহিলা থেকে 4 জন নিয়ে কমিটি গঠনের উপায় = 4C1 × 7C4
                                                                                                                            = 4 × 35 = 140
4 জন পুরুষ থেকে 2 জন ও 7 জন মহিলা থেকে 3 জন নিয়ে কমিটি গঠনের উপায় =  4C2 × 7C3
                                                                                                                             = 6 × 35 = 210
মোট কমিটি সংখ্যা = 140 + 210 
                              = 350  
১,০০৭.
LEADER শব্দটির সবগুলো বর্ণ একত্রে নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যায়?
  1. ক
    360
  2. খ
    480
  3. গ
    590
  4. ঘ
    720
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: LEADER শব্দটির সবগুলো বর্ণ একত্রে নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যায়?

সমাধান:
LEADER শব্দটিতে মোট বর্ণ = 6 টি যার মধ্যে E আছে = 2 টি

∴ বিন্যাস সংখ্যা = 6!/2!
= (6 × 5 × 4 × 3 × 2!)/2!
= 360

∴ LEADER শব্দটির সবগুলো বর্ণ একত্রে নিয়ে 360 প্রকারে সাজানো যায়।
১,০০৮.
একটি থলেতে 2টি সাদা বল, 3টি সবুজ বল এবং 4টি লাল বল আছে। থলেটি থেকে 3টি বল কত উপায়ে নেয়া যাবে, যদি অন্তত একটি সবুজ বল থাকে?
  1. ক
    46
  2. খ
    32
  3. গ
    64
  4. ঘ
    128
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি থলেতে 2টি সাদা বল, 3টি সবুজ বল এবং 4টি লাল বল আছে। থলেটি থেকে 3টি বল কত উপায়ে নেয়া যাবে, যদি অন্তত একটি সবুজ বল থাকে?

সমাধান:
সাদা বল = 2টি
সবুজ বল = 3টি 
লাল বল =  4টি 

3টি সবুজ বল থেকে 1টি এবং 6 টি ভিন্ন বল থেকে 2টি  নিয়ে উপায় = 3C1 × 6C2
3টি সবুজ বল থেকে 2টি এবং 6 টি ভিন্ন বল থেকে 1টি  নিয়ে উপায় = 3C2 × 6C1
3টি সবুজ বল থেকে 3টি  = 3C3

মোট উপায়  = (3C1 × 6C2) + (3C2 × 6C1) + (3C3) 
= (45 + 18 + 1)
= 64
১,০০৯.
 ১০টি ভিন্ন বর্ণের ফুল দিয়ে কত উপায়ে মালা তৈরি করা যাবে?
  1. ক
    181440
  2. খ
    161440
  3. গ
    22002
  4. ঘ
    111440
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 10টি ভিন্ন বর্ণের ফুল দিয়ে কত উপায়ে মালা তৈরি করা যাবে?

সমাধান:
মালা, তসবী ইত্যাদি গঠন করলে বিন্যাস সংখ্যা = (n - 1)!/2

বিন্যাস সংখ্যা = (10 - 1)!/2
= 9!/2
= 181440
১,০১০.
দুটি ছক্কা একসাথে নিক্ষেপ করা হলে ছক্কা দুটির সংখ্যার গুনফল 25 হওয়ার সম্ভাবনা কত?
  1. ক
    ক) 1/6
  2. খ
    খ) 1/2
  3. গ
    গ) 1/12
  4. ঘ
    ঘ) 1/36
ব্যাখ্যা
প্রশ্নঃ  দুটি ছক্কা একসাথে নিক্ষেপ করা হলে ছক্কা দুটির সংখ্যার গুনফল 25 হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধানঃ 
দুটি ছক্কা একসাথে নিক্ষেপ মোট ঘটনা = 36

দুটির সংখ্যার গুনফল 25 উভয় ছক্কায় 5 উঠবে অর্থাৎ  (5 , 5) হবে, যা 1 একবারই সম্ভব।

অনুকূল ঘটনা = 1

∴ সম্ভাবনা = 1/36
১,০১১.
nCr এর মান কোনটি?
i. nCn-r
ii. n!/(r!(n-r)!)
iii. n!/(n-r)!)
  1. ক
    ক) i
  2. খ
    খ) ii
  3. গ
    গ) i, ii
  4. ঘ
    ঘ) iii, ii
ব্যাখ্যা

nCr = nCn-r = n!/(r!(n-r)!) [সূত্র]

১,০১২.
a, b, c, d, e, f, g, h - এই আটটি ভিন্ন বর্ণ থেকে 3টি করে বর্ণ নিয়ে কতভাবে সাজানো যাবে?
  1. ক
    144 উপায়ে
  2. খ
    720 উপায়ে
  3. গ
    360 উপায়ে
  4. ঘ
    336 উপায়ে
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a, b, c, d, e, f, g, h - এই আটটি ভিন্ন বর্ণ থেকে 3টি করে বর্ণ নিয়ে কতভাবে সাজানো যাবে?

সমাধান:
মোট ভিন্ন বর্ণ = 8টি
আমরা 3টি করে বর্ণ নিয়ে সাজাতে হবে।

8টি থেকে 3টি নিয়ে সাজানোর উপায় = 8P3
= 8!/(8 - 3)! 
= 8!/5!
= (8 × 7 × 6 × 5!)/5!
= 8 × 7 × 6
= 336

সুতরাং, 336 ভাবে সাজানো যাবে।

১,০১৩.
একটি পরীক্ষায় মোট 7টি বিষয়ের উপর পরীক্ষা হয়। কোন পরীক্ষার্থী সেই পরীক্ষায় কত উপায়ে ফেল করতে পারবে?
  1. ক
    120
  2. খ
    127
  3. গ
    129
  4. ঘ
    136
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি পরীক্ষায় মোট 7টি বিষয়ের উপর পরীক্ষা হয়। কোন পরীক্ষার্থী সেই পরীক্ষায় কত উপায়ে ফেল করতে পারবে?

সমাধান:
পরিক্ষার্থী পরীক্ষায় 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 এর মধ্যে যেকোনো সংখ্যক উপায়ে ফেল করতে পারে।

∴ মোট ফেলের উপায় = 7C1 + 7C2 + 7C3 + 7C4 + 7C5 + 7C6 + 7C7
= (7 + 21 + 35 + 35 + 21 + 7 + 1)
= 127
১,০১৪.
In an examination paper, there are two groups each containing 4 questions. A candidate is required to attempt 5 questions but not more than 3 questions from any group. In how many ways can 5 questions be selected?
  1. ক
    ক) 24
  2. খ
    খ) 48
  3. গ
    গ) 96
  4. ঘ
    ঘ) 64
ব্যাখ্যা

5 questions can be selected in the following ways,
2 question from first group and 3 question from second group Or 3 question from first group and 2 question from second group.
= (4C2 × 4C3) + (3C4 × 4C2)
= 24 + 24
= 48

১,০১৫.
6 টি জিনিসের মধ্যে 2 টি এক জাতীয় এবং বাকিগুলো ভিন্ন ভিন্ন জিনিস। ঐ জিনিসগুলো থেকে প্রতিবারে 3 টি নিয়ে কত প্রকারে বাছাই করা যায়?
  1. ক
    ক) 20 উপায়ে
  2. খ
    খ) 16 উপায়ে
  3. গ
    গ) 24 উপায়ে
  4. ঘ
    ঘ) কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 6 টি জিনিসের মধ্যে 2 টি এক জাতীয় এবং বাকিগুলো ভিন্ন ভিন্ন জিনিস। ঐ জিনিসগুলো থেকে প্রতিবারে 3 টি নিয়ে কত প্রকারে বাছাই করা যায়?

সমাধান:
2টি একই জাতীয় জিনিস বাদ দিয়ে বাছাই করা যায় 4C1 উপায়ে;
আবার 2টি এক জাতীয় জিনিস হওয়ায় মোট জিনিস হয় 5টি। তখন বাছাই করা যায় 5C3 উপায়ে।
∴ মোট বাছাই করা যায় = 4C1 + 5C3
= 4 + 10 উপায়ে
= 14 উপায়ে

বিকল্প:
n সংখ্যক জিনিসের p সংখ্যক জিনিস এক প্রকার এবং বাকি জিনিসগুলো ভিন্ন ভিন্ন হলে r সংখ্যক জিনিস নিয়ে সাজানোর উপায় ∑pi = 0  n - pCr - i

6 - 2C3 - 0 + 6 - 2C3 - 1 + 6 - 2C3 - 2
= 4C3 + 4C2 + 4C1
= 4 + 6 + 4 
= 14
১,০১৬.
প্রত্যেকটি অংক শুধুমাত্র একবার করে নিয়ে 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 সংখ্যাগুলো দ্বারা চার অংক বিশিষ্ট কয়টি সংখ্যা গঠন করা যাবে?
  1. ক
    35
  2. খ
    160
  3. গ
    210
  4. ঘ
    840
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: প্রত্যেকটি অংক শুধুমাত্র একবার করে নিয়ে 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 সংখ্যাগুলো দ্বারা চার অংক বিশিষ্ট কয়টি সংখ্যা গঠন করা যাবে?

সমাধান:
এখানে মোট সংখ্যা 7 টি ।
4 টি করে নিয়ে গঠন করা যাবে = 7P4 = 840
১,০১৭.
8টি জিনিসের মধ্যে 2টি একই জাতীয়। এইগুলো নিয়ে প্রতিবারে 4টি করে কত ভাবে বাছাই করা যায়?
  1. ক
    ক) 50
  2. খ
    খ) 30
  3. গ
    গ) 40
  4. ঘ
    ঘ) 60
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 8টি জিনিসের মধ্যে 2টি একই জাতীয়। এইগুলো নিয়ে প্রতিবারে 4টি করে কত ভাবে বাছাই করা যায়?

সমাধান:
n সংখ্যক জিনিসের p সংখ্যক একই প্রকারের হলে প্রতিবার r সংখ্যক জিনিস নিয়ে সাজানোর উপায় = n-pcr-i

= 8 - 2c4 - 0 + 8 - 2c4 - 1 + 8 - 2c4 - 2
= 6c4 + 6c3 + 6c2
= 15 + 20 +15
= 50
১,০১৮.
10 টি জিনিসের মধ্যে 2 টি এক জাতীয় এবং বাকিগুলো ভিন্ন ভিন্ন জিনিস। ঐ জিনিসগুলো থেকে প্রতিবারে 5 টি নিয়ে কত প্রকারে বাছাই করা যায়?
  1. ক
    170
  2. খ
    182
  3. গ
    190
  4. ঘ
    192
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 10 টি জিনিসের মধ্যে 2 টি এক জাতীয় এবং বাকিগুলো ভিন্ন ভিন্ন জিনিস। ঐ জিনিসগুলো থেকে প্রতিবারে 5 টি নিয়ে কত প্রকারে বাছাই করা যায়?

সমাধান:
১,০১৯.
৫, ১, ৯, ৪ অংকগুলি দ্বারা ৫০০০ এর চেয়ে বড় কতগুলো সংখ্যা তৈরী করা যায়?
  1. ক
    ক) ২৪
  2. খ
    খ) ৬
  3. গ
    গ) ১৬
  4. ঘ
    ঘ) ১২
ব্যাখ্যা

এক্ষেত্রে,
সংখ্যার ১ম অংকটি ৫ বা ৯ দ্বারা পূর্ণ করতে হবে। যা ২ উপায়ে পূর্ণ করা যায়।
অবশিষ্ট ৩টি অংক পূর্ণ করা যায় ৩! = ৬ উপায়ে
সুতরাং তৈরী সংখ্যা = ২ × ৬ = ১২টি।

১,০২০.
'Background' শব্দটি থেকে 3টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও 3টি স্বরবর্ণ একত্রে কত উপায়ে বাছাই করা যেতে পারে?  
  1. ক
    ক) 105
  2. খ
    খ) 15
  3. গ
    গ) 35
  4. ঘ
    ঘ) 75
ব্যাখ্যা
'Background' শব্দটি ব্যঞ্জনবর্ণ আছে 7টি 
 এবং স্বরবর্ণ আছে 3টি 

7টি ব্যঞ্জনবর্ণ থেকে 3টি ব্যঞ্জনবর্ণ বাছাই করার উপায় = 7C3
                                                                                 = 35 
3টি স্বরবর্ণ থেকে 3টি স্বরবর্ণ বাছাই করার উপায় = 3C3 
                                                                        = 1 
বাছাইয়ের মোট উপায় = 35 × 1 
                                   =35
১,০২১.
8 জন বালক এবং 7 জন বালিকার মধ্য থেকে 3 জন বালক এবং 2 জন বালিকা কত উপায়ে বেছে নেওয়া যায়?
  1. ক
    1176
  2. খ
    2276
  3. গ
    3360
  4. ঘ
    কোনটিই নয়।
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 8 জন বালক এবং 7 জন বালিকার মধ্য থেকে 3 জন বালক এবং 2 জন বালিকা কত উপায়ে বেছে নেওয়া যায়?

সমাধান:
3 জন বালক বাছাই করা যায় = 8C3 = 56
2 জন বালিকা বাছাই করা যায় = 7C2 = 21
∴ বেছে নেওয়ার মোট উপায় =  56 × 21 = 1176
১,০২২.
1, 2, 3, 4, 5 সে.মি দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট বাহুগুলো দ্বারা গঠিত চতুর্ভুজ সংখ্যা কত?
  1. ক
    ক) 3
  2. খ
    খ) 4
  3. গ
    গ) 5
  4. ঘ
    ঘ) 6
ব্যাখ্যা

5টি বাহু থেকে প্রতিবার 4টি নিয়ে সমাবেশ সংখ্যা = 5c4 = 5
যা নির্ণেয় চতুর্ভূজ সংখ্যা।

১,০২৩.
৫টি পুরস্কার ৩ জন বালকের মধ্যে কত উপায়ে বিতরণ করা যেতে পারে? 
  1. ক
    ক) ৬২৫
  2. খ
    খ) ২৪৩
  3. গ
    গ) ১২৫
  4. ঘ
    ঘ) ৫২৩
ব্যাখ্যা
পুরস্কার বিতরণ করার উপায় =(লোকসংখ্যা)পুরস্কার 
                                            = ৩৫
                                            = ২৪৩
১,০২৪.
"PREVIOUS" শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?
  1. ক
    2880 উপায়ে
  2. খ
    5040 উপায়ে
  3. গ
    720 উপায়ে
  4. ঘ
    360 উপায়ে
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: "PREVIOUS" শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?

সমাধান:
"PREVIOUS" শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে = 8টি, 
Vowel আছে = 4টি
Vowel চারটিকে একটি ধরে মোট বর্ণ = 5টি
5টি বর্ণকে সাজানো যায় = 5!
Vowel চারটি সাজানো যায় = 4! = 24

∴ স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট সাজানো যাবে = 5! × 24
= 120 × 24
= 2880
১,০২৫.
’DEGREE' শব্দটির অক্ষরগুলো থেকে যে কোন চারটি অক্ষর প্রতিবার নিয়ে কত প্রকারে বাছাই করা যাবে?
  1. ক
    ক) 6
  2. খ
    খ) 7
  3. গ
    গ) 15
  4. ঘ
    ঘ) 24
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন- ’DEGREE' শব্দটির অক্ষরগুলো থেকে যে কোন চারটি অক্ষর প্রতিবার নিয়ে কত প্রকারে বাছাই করা যাবে?

সমাধান-
’DEGREE' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 6টি, যার মধ্যে E তিনটি।

মোট বাছাই সংখ্যা- 
(i) 4টি ভিন্ন ভিন্ন (D,G,E,R)= 4c4 = 1
(ii) 2টি একই (E,E) এবং 2টি ভিন্ন (D,G,R) = 2c2 × 3C2 = 1 × 3 = 3
(II) 3টি একই (E,E,E) এবং 1টি ভিন্ন (D,G,R) = 3c3 × 3C1 = 1 × 3 = 3

∴ মোট বাছাই সংখ্যা = 1 + 3 + 3 = 7
১,০২৬.
৫ জন পুরুষ এবং ৪ জন মহিলাকে কত উপায়ে একই সারিতে বসানো যাবে যেন জোড়তম স্থানে কেবলমাত্র মহিলারা বসে?
  1. ক
    ২০ উপায়
  2. খ
    ২৮৮০ উপায়
  3. গ
    ৪৮০ উপায়
  4. ঘ
    ২০০০ উপায়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৫ জন পুরুষ এবং ৪ জন মহিলাকে কত উপায়ে একই সারিতে বসানো যাবে যেন জোড়তম স্থানে কেবলমাত্র মহিলারা বসে?

সমাধান:
৫ জন পুরুষ ও ৪ জন মহিলা মিলে = ৫ + ৪ = ৯ জন
সারিতে বসলে জোড়তম স্থান হবে, ২য়, ৪র্থ, ৬ষ্ঠ, ৮ম মোট ৪টি 

৪টি স্থানে ৪ জন মহিলাকে বসানো যায় ৪! = ২৪ উপায়ে
বাকি ৫টি স্থানে ৫ জন পুরুষকে বসানো যায় ৫! = ১২০ উপায়ে

∴ মোট উপায় = ২৪ × ১২০ = ২৮৮০ 
১,০২৭.
3 জন বালক এবং 4 জন বালিকাকে এক সারিতে রেখে কতভাবে সাজানো যাবে যেখানে 3 জন বালক সর্বদা একত্রে থাকবে? 
  1. ক
    420
  2. খ
    620
  3. গ
    720
  4. ঘ
    820
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3 জন বালক এবং 4 জন বালিকাকে এক সারিতে রেখে কতভাবে সাজানো যাবে যেখানে 3 জন বালক সর্বদা একত্রে থাকবে? 

সমাধান: 
3 জন বালক একত্রে থাকলে মোট সংখ্যা = 5 জন 
5 জন কে সাজানো যায় = 5!
3 জন বালককে সাজানো যায় = 3!

একত্রে রেখে বিন্যাস = 5! × 3! = 120  ×  6 = 720
১,০২৮.
"LEAVE" শব্দটির সবগুলো বর্ণ একত্রে নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যায়?
  1. ক
    30 প্রকারে
  2. খ
    60 প্রকারে
  3. গ
    120 প্রকারে
  4. ঘ
    160 প্রকারে
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: "LEAVE" শব্দটির সবগুলো বর্ণ একত্রে নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যায়?

সমাধান:
"LEAVE" শব্দটিতে মোট বর্ণ = 5 টি যার মধ্যে E আছে = 2 টি

∴ বিন্যাস সংখ্যা = 5!/2!
= (5 × 4 × 3 × 2!)/2!
= 60

∴ "LEAVE" শব্দটির সবগুলো বর্ণ একত্রে নিয়ে 60 প্রকারে সাজানো যায়।
১,০২৯.
REPEAT শব্দটির বর্ণগুলো একত্রে নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যায়?
  1. ক
    360
  2. খ
    730
  3. গ
    180
  4. ঘ
    120
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: REPEAT শব্দটির বর্ণগুলো একত্রে নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যায়?

সমাধান:
REPEAT শব্দটিতে মোট অক্ষর আছে 6টি। যার মধ্যে E আছে 2টি 
∴ REPEAT শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা = 6!/2! 
= 360
১,০৩০.
INTERNET শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা CANADA শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?
  1. ক
    32 গুণ
  2. খ
    36 গুণ
  3. গ
    42 গুণ
  4. ঘ
    কোনোটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: INTERNET শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা CANADA শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?

সমাধান:
INTERNET শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 8টি যার মধ্যে, N আছে 2টি, T আছে 2 টি এবং E আছে 2 টি।
∴ INTERNET শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা = 8!/2!2!2! = 5040

CANADA শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 6টি যার মধ্যে, A আছে 3 টি।
∴ CANADA শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা = 6!/3! = 720/6 = 120

INTERNET শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা CANADA শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার = 5040/120
= 42 গুণ
১,০৩১.
nCr + nCr - 1 = ?
  1. ক
    ক) n + 1Cr
  2. খ
    খ) n - 1Cr
  3. গ
    গ) nCr + 1
  4. ঘ
    ঘ) n - 1Cr + 1
ব্যাখ্যা
nCr + nCr - 1 = n + 1Cr [ অনুসিদ্ধান্ত ]
১,০৩২.
nC5 = nC7হলে nC11 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 11
  2. খ
    খ) 12
  3. গ
    গ) 13
  4. ঘ
    ঘ) 16
ব্যাখ্যা

nC5 = nC7
5 + 7 = n = 12
এখন,12C11 = 12

১,০৩৩.
ওয়েস্ট ইন্ডিজের সাথে আসন্ন টেস্ট সিরিজে ১৫ সদস্যের স্কোয়াড থেকে একজন অধিনায়ক ও একজন সহ-অধিনায়ক কতভাবে নির্বাচন করা যাবে?
  1. ক
    ক) ২ ভাবে
  2. খ
    খ) ২১০ ভাবে
  3. গ
    গ) ১০৫ ভাবে
  4. ঘ
    ঘ) কোনোভাবেই না
ব্যাখ্যা
অধিনায়ক নির্বাচন করা যাবে = ১৫C১ = ১৫ ভাবে
সহ-অধিনায়ক নির্বাচন করা যাবে = ১৪C১ = ১৪ ভাবে

একজন অধিনায়ক ও একজন সহ-অধিনায়ক নির্বাচন করা যাবে = (১৫ × ১৪) = ২১০ ভাবে।
১,০৩৪.
BEAUTIFUL শব্দটির বর্ণগুলির মধ্যে স্বরবর্ণের অবস্থান পরিবর্তন না করে বর্ণগুলিকে মোট কত রকমে সাজানো যেতে পারে?
  1. ক
    24
  2. খ
    60
  3. গ
    120
  4. ঘ
    32
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: BEAUTIFUL শব্দটির বর্ণগুলির মধ্যে স্বরবর্ণের অবস্থান পরিবর্তন না করে বর্ণগুলিকে মোট কত রকমে সাজানো যেতে পারে?

সমাধান:
BEAUTIFUL শব্দে মোট 9টি বর্ণ আছে। 
স্বরবর্ণ: E, A, U, I, U মোট 5টি, যার মধ্যে U আছে 2 বার।

যেহেতু স্বরবর্ণের অবস্থান পরিবর্তন করা যাবে না, তাই কেবল ব্যঞ্জনবর্ণগুলিকে (B, T, F, L) সাজানো যাবে।

ব্যঞ্জনবর্ণ = 4টি এবং সব ভিন্ন।
∴ সাজানোর সংখ্যা = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24

১,০৩৫.
12 টি বাহু বিশিষ্ট একটি সমতল ক্ষেত্রের কৌণিক বিন্দুগুলোর রেখা দ্বারা কতগুলো ত্রিভুজ গঠন করা যায়?
  1. ক
    ক) 222
  2. খ
    খ) 220
  3. গ
    গ) 84
  4. ঘ
    ঘ) 66
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 12 টি বাহু বিশিষ্ট একটি সমতল ক্ষেত্রের কৌণিক বিন্দুগুলোর রেখা দ্বারা কতগুলো ত্রিভুজ গঠন করা যায়?

সমাধান:
সমতলটি 12 টি কৌণিক বিন্দুর থেকে 3 টি রেখা দিয়ে একটি ত্রিভুজ আকা যায়।

∴ ত্রিভুজ সংখ্যা = 12C3 = 220
১,০৩৬.
১৮টি ভিন্ন রং এর পাথর কত ভাবে একটি গলার হারে লাগানো যাবে?
  1. ক
    ক) ১৮!/২
  2. খ
    খ) ১৮!
  3. গ
    গ) ১৭!
  4. ঘ
    ঘ) ১৭!/২
ব্যাখ্যা

গলার হার যেহেতু বৃত্তাকার তাই একটি স্থির রেখে বাকিগুলো হিসাব করতে হবে।
আবার সামনের দিক থেকে হার যেমন দেখায় পিছন দিক থেকেও একই রকম দেখায় তাই ২ দিয়ে ভাগ করতে হয়।
∴ ১৮টি ভিন্ন রংয়ের পাথর হারে লাগানোর উপায় = (১৮ - ১)!/২
= ১৭!/২

১,০৩৭.
একটি ক্লাবের 12 জন সদস্যের মধ্য থেকে প্রতিবার 4 জন নিয়ে কতটি কমিটি গঠন করা যায়, যেখানে 3 জন সদস্য কোনো কমিটিতে থাকবে না?
  1. ক
    84
  2. খ
    126
  3. গ
    495
  4. ঘ
    100
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ক্লাবের 12 জন সদস্যের মধ্য থেকে প্রতিবার 4 জন নিয়ে কতটি কমিটি গঠন করা যায়, যেখানে 3 জন সদস্য কোনো কমিটিতে থাকবে না?

সমাধান:
3 জন সদস্যকে বাদ দিয়ে বাকি 9 জন সদস্যের মধ্য থেকে 4 জন নির্বাচন করতে হবে।

∴ 4 জনের কমিটি গঠনের উপায়,
= 9C4
= 9!/{4! × (9 - 4)!}
= 9!/(4! × 5!)
= (9 × 8 × 7 × 6)/(4 × 3 × 2 × 1)
= 126

১,০৩৮.
0, 1, 2, 3, 4, 5 অংকগুলি প্রতি সংখ্যায় একবার ব্যবহার করে ছয় অংকের কতগুলি অর্থপূর্ণ সংখ্যা গঠন করা যাবে?
  1. ক
    600
  2. খ
    720
  3. গ
    120
  4. ঘ
    300
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 0, 1, 2, 3, 4, 5 অংকগুলি প্রতি সংখ্যায় একবার ব্যবহার করে ছয় অংকের কতগুলি অর্থপূর্ণ সংখ্যা গঠন করা যাবে?

সমাধান:
মোট বিন্যাস সংখ্যা = 6! = 720

0 কে প্রথমে রেখে বাকি অংকগুলোর বিন্যাস সংখ্যা = 5! = 120
∴ ছয় অঙ্কের অর্থপূর্ণ সংখ্যা = (720 - 120)
= 600
১,০৩৯.
৭ জন পুরুষ ও ৬ জন মহিলা থেকে ৫ সদস্য বিশিষ্ট কয়টি কমিটি গঠন করা যাবে যেখানে কমপক্ষে ৩ জন পুরুষ থাকবে?
  1. ক
    ৫৬৪
  2. খ
    ৬৪৫
  3. গ
    ৭৩৫
  4. ঘ
    ৭৫৬
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৭ জন পুরুষ ও ৬ জন মহিলা থেকে ৫ সদস্য বিশিষ্ট কয়টি কমিটি গঠন করা যাবে যেখানে কমপক্ষে ৩ জন পুরুষ থাকবে?

সমাধান:
পুরুষ         মহিলা
৩               ২
৪                ১
৫               ০

মোট কমিটি গঠনের উপায়
১,০৪০.
7টি ভিন্ন বর্ণের পুঁতি দিয়ে কত উপায়ে একটি মালা তৈরি করা যাবে?
  1. ক
    360
  2. খ
    720
  3. গ
    180
  4. ঘ
    210
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 7টি ভিন্ন বর্ণের পুঁতি দিয়ে কত উপায়ে একটি মালা তৈরি করা যাবে?

সমাধান:
মালা, তসবী ইত্যাদি গঠন করলে বিন্যাস সংখ্যা হয় = (n - 1)!/2

এখানে, n = 7
∴ মালা গঠনের উপায় = (7 - 1)!/2
= 6!/2
= (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)/2
= 720/2
= 360

১,০৪১.
9 জনের একটি দল নৌকা ভ্রমণ করবে, একটি নৌকায় 7 জনের বেশী এবং অন্যটিতে 4 জনের বেশী ধরে না। দলটি কত উপায়ে ভ্রমণ করতে পারবে?
  1. ক
    ক) 276
  2. খ
    খ) 246
  3. গ
    গ) 234
  4. ঘ
    ঘ) 212
ব্যাখ্যা


সুতরাং দলটি ভ্রমণ করতে পারবে 9C2 + 9C3 + 9C4 = 246 উপায়ে

১,০৪২.
একটি কলোনিতে মোট ৫৫ জন সদস্য রয়েছে। প্রত্যেক সদস্য অন্য সকল সদস্যদের একটি করে শুভেচ্ছা কার্ড পাঠায়। তারা একে অপরকে মোট কতটি শুভেচ্ছা কার্ড পাঠিয়েছে?
  1. ক
    ৮৯০টি
  2. খ
    ৯৯০টি
  3. গ
    ১৯৮০টি
  4. ঘ
    ২৯৭০টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি কলোনিতে মোট ৫৫ জন সদস্য রয়েছে। প্রত্যেক সদস্য অন্য সকল সদস্যদের একটি করে শুভেচ্ছা কার্ড পাঠায়। তারা একে অপরকে মোট কতটি শুভেচ্ছা কার্ড পাঠিয়েছে?

সমাধান:
কলোনিতে মোট ৫৫ জন সদস্য রয়েছে।
প্রত্যেক সদস্য অন্য সকল সদস্যদের একটি করে শুভেচ্ছা কার্ড পাঠায়। অর্থাৎ, নিজেকে বাদে বাকি ৫৪ জনকে পাঠায়।
∴ প্রত্যেক সদস্য ৫৪টি করে শুভেচ্ছা কার্ড পাঠায়।

∴ মোট শুভেচ্ছা কার্ড = ৫৫ × ৫৪ = ২৯৭০টি 
১,০৪৩.
KABUL শব্দের অক্ষরগুলো থেকে প্রতিবার 3টি অক্ষর কত উপায়ে বাছাই করা যায়, যেখানে সর্বদা A থাকে?
  1. ক
    ক) 5
  2. খ
    খ) 6
  3. গ
    গ) 10
  4. ঘ
    ঘ) 12
ব্যাখ্যা
মোট 5টি ভিন্ন ভিন্ন অক্ষর থেকে সর্বদা A নিয়ে 3টি অক্ষর বাছাই করার উপায়
= (5 - 1)C(3 - 1)
= 4C2
= 6
১,০৪৪.
একটি থলেতে 2টি সাদা বল, 3টি সবুজ বল এবং 4টি লাল বল আছে। থলেটি থেকে 3টি বল কত উপায়ে নেয়া যাবে, যদি অন্তত একটি সবুজ বল থাকে?
  1. ক
    ক) 32
  2. খ
    খ) 64
  3. গ
    গ) 128
  4. ঘ
    ঘ) 256
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি থলেতে 2টি সাদা বল, 3টি সবুজ বল এবং 4টি লাল বল আছে। থলেটি থেকে 3টি বল কত উপায়ে নেয়া যাবে, যদি অন্তত একটি সবুজ বল থাকে?

সমাধান:
সাদা বল = 2টি
সবুজ বল = 3টি 
লাল বল =  4টি 

3টি সবুজ বল থেকে 1টি এবং 6 টি ভিন্ন বল থেকে 2টি  নিয়ে উপায় = 3C1 × 6C2
3টি সবুজ বল থেকে 2টি এবং 6 টি ভিন্ন বল থেকে 1টি  নিয়ে উপায় =3C2 × 6C1
3টি সবুজ বল থেকে 3টি  = 3C3

মোট উপায়  = (3C1 × 6C2) + (3C2 × 6C1) + (3C3) 
= (45 + 18 + 1)
= 64
১,০৪৫.
nc10 = nc5 হলে, n = ?
  1. ক
    12
  2. খ
    13
  3. গ
    14
  4. ঘ
    15
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: nc10 = nc5 হলে, n = ?

সমাধান:
nc10 = nc5
বা, nc n -10 = nc5
∴ n - 10 = 5
⇒ n = 10 + 5 = 15 
১,০৪৬.
'TORTURE' শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে কতকগুলো বিন্যাস করা যায়, যেন প্রত্যেক বিন্যাসের প্রথমে একটি স্বরবর্ণ থাকে?
  1. ক
    540
  2. খ
    1080
  3. গ
    1260
  4. ঘ
    2160
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'TORTURE' শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে কতকগুলো বিন্যাস করা যায়, যেন প্রত্যেক বিন্যাসের প্রথমে একটি স্বরবর্ণ থাকে?

সমাধান:
'TORTURE' শব্দটিতে মোট বর্ণ 7টি। তন্মধ্যে 3টি স্বরবর্ণ (O, U, E) ও 4টি ব্যাঞ্জনবর্ণ।

O, U, E স্বরবর্ণ থেকে একটি দিয়ে প্রথম স্থান পূরণের উপায় = 3P1 = 3

অবশিষ্ট 6টি বর্ণ দ্বারা 6টি স্থান পূরণের উপায় = 6!/(2! × 2!) [T = 2, R = 2]
= 180

∴ নির্ণেয় বিন্যাস = 3 × 180 = 540
১,০৪৭.
'CAPACITY ' শব্দটির অক্ষরগুলো কতপ্রকারে সাজানো যাবে যেখানে প্রথমে P এবং শেষে T থাকবে?
  1. ক
    120 উপায়ে
  2. খ
    180 উপায়ে
  3. গ
    160 উপায়ে
  4. ঘ
    360 উপায়ে
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'CAPACITY ' শব্দটির অক্ষরগুলো কতপ্রকারে সাজানো যাবে যেখানে প্রথমে P এবং শেষে T থাকবে?

সমাধান:
'CAPACITY ' শব্দটিতে বর্ণ আছে ৮টি। 
A = 2 টি
C= 2 টি

 প্রথমে P এবং শেষে T থাকবে

∴ সাজানো যাবে = 6!/(2!2!)
 = 180 উপায়ে
১,০৪৮.
একটি কলেজের প্রভাষকের 3টি খালি পদের জন্য প্রার্থী আছে 5 জন। খালি পদের সংখ্যা অপেক্ষা বেশি নয় এরূপ যে কোনো সংখ্যক প্রার্থীকে নির্বাচিত করা যেতে পারে। কত প্রকারে প্রার্থী নির্বাচিত করা যেতে পারে?
  1. ক
    ক) 25
  2. খ
    খ) 10
  3. গ
    গ) 20
  4. ঘ
    ঘ) 60
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন- একটি কলেজের প্রভাষকের 3টি খালি পদের জন্য প্রার্থী আছে 5 জন। খালি পদের সংখ্যা অপেক্ষা বেশি নয় এরূপ যে কোনো সংখ্যক প্রার্থীকে নির্বাচিত করা যেতে পারে। কত প্রকারে প্রার্থী নির্বাচিত করা যেতে পারে?

সমাধান-
3টি পদ খালি পদের জন প্রার্থী আছে 5 জন

1 জনকে নির্বাচিত করার উপায় = 5c1 = 5
2 জনকে নির্বাচিত করার উপায় = 5c2 = 10
3 জনকে নির্বাচিত করার উপায় = 5c3 = 10

মোট উপায় = 5 + 10 + 10 = 25
১,০৪৯.
স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে না রেখে 'BRASIL' শব্দটিকে কতভাবে বিন্যস্ত করা যায়?
  1. ক
    720
  2. খ
    480
  3. গ
    640
  4. ঘ
    580
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে না রেখে 'BRASIL' শব্দটিকে কতভাবে বিন্যস্ত করা যায়?

সমাধান:
"BRASIL" শব্দটিতে মোট বর্ণ 6টি যেখানে সবগুলো বর্ণ ভিন্ন ভিন্ন এবং স্বরবর্ণ 2টি (A, I)।
6টি বর্ণকে সাজানো যায় = 6! = 720
স্বরবর্ণ দুটিকে একটি ধরে মোট ভিন্ন বর্ণ 5টি
5টি বর্ণকে সাজানো যায় = 5!
স্বরবর্ণ দুটিকে সাজানো যায় = 2!
স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে বিন্যাস = 5! × 2!
= 120 × 2
= 240

∴ স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে না রেখে বিন্যাস = 720 - 240
= 480
১,০৫০.
বাংলাদেশ ক্রিকেট দলের অধিনায়ক ও সহ-অধিনায়ক অবসর নেয়ায় নতুন করে অধিনায়ক এবং সহ-অধিনায়ক নির্বাচন করা প্রয়োজন। ১৫ সদস্যবিশিষ্ট দলটি থেকে একজন অধিনায়ক এবং একজন সহ-অধিনায়ক কত উপায়ে নির্বাচন করা যাবে?
  1. ক
    ২১০ উপায়ে
  2. খ
    ২২৫ উপায়ে
  3. গ
    ৩০ উপায়ে
  4. ঘ
    ২৯ উপায়ে
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বাংলাদেশ ক্রিকেট দলের অধিনায়ক ও সহ-অধিনায়ক অবসর নেয়ায় নতুন করে অধিনায়ক এবং সহ-অধিনায়ক নির্বাচন করা প্রয়োজন। ১৫ সদস্যবিশিষ্ট দলটি থেকে একজন অধিনায়ক এবং একজন সহ-অধিনায়ক কত উপায়ে নির্বাচন করা যাবে?

সমাধান: 
১৫ জন থেকে ১ জন অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ১৫C১ = ১৫ উপায়ে

১ জন অধিনায়ক হলে সদস্য বাকি থাকে (১৫ - ১) = ১৪ জন 

১৪ জন থেকে ১ জন সহ অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ১৪C১ = ১৪ উপায়ে

∴ একজন অধিনায়ক এবং একজন সহ-অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ১৫ × ১৪ = ২১০ উপায়ে
১,০৫১.
EID-UL-AZHA শব্দের অক্ষরগুলো একত্রে নিয়ে গঠিত বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয় কর যেখানে শুরুতে এবং শেষে A থাকবে।
  1. ক
    2520
  2. খ
    5040
  3. গ
    181440
  4. ঘ
    362880
ব্যাখ্যা
শব্দটিতে মোট 9 টি অক্ষর আছে, যাদের 2 টি A শুরুতে এবং শেষে A নির্দিষ্ট রেখে অবশিষ্ট অক্ষরগুলো সাজানো যায় 7! = 5040
১,০৫২.
ARRANGE শব্দটির বর্ণগুলো কত প্রকারে সাজানো যায়, যাতে R-দুইটি পাশাপাশি থাকবে না।
  1. ক
    ৩৬০
  2. খ
    ৯৪০
  3. গ
    ৯০০
  4. ঘ
    ১২৬০
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ARRANGE শব্দটির বর্ণগুলো কত প্রকারে সাজানো যায়,যাতে R-দুইটি পাশাপাশি থাকবে না।

সমাধান:
এখানে
মোট বর্ণ 7 টি, R দুইটি, A দুইটি, তাহলে মোট বিন্যাস = 7!/(2! × 2!)
= 1260
.
R দুইটিকে একটি বর্ণ ধরে মোট বর্ণ হয় 6 টি যাতে A দুইটি এবং R দুইটিকে নিজেদের মধ্যে সাজানো যায় = 2!/2! ,
তাহলে R দুইটিকে পাশাপাশি রেখে মোট বিন্যাস সংখ্যা হয় = (6!/2!) × (2!/2!) = 360.

∴ ARRANGE শব্দটির অক্ষরগুলো সাজানো যায়, যখন R দুইটি পাশাপাশি থাকবে না = 1260 - 360 = 900 প্রকারে।

১,০৫৩.
একটি স্কুলের ১০ জন শিক্ষকের মধ্যে থেকে প্রধান শিক্ষক এবং সহকারী প্রধান শিক্ষক বাছাই করতে হলে কতভাবে এই নির্বাচন করা যাবে?
  1. ক
    ১০০
  2. খ
    ৯০
  3. গ
    ১৯
  4. ঘ
    ৫০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি স্কুলের ১০ জন শিক্ষকের মধ্যে থেকে প্রধান শিক্ষক এবং সহকারী প্রধান শিক্ষক বাছাই করতে হলে কতভাবে এই নির্বাচন করা যাবে?

সমাধান:
১০ জন শিক্ষক থেকে প্রধান শিক্ষক নির্বাচন করার উপায় ১০C১ = ১০
বাকি (১০ - ১) = ৯ জন শিক্ষক থেকে সহকারী প্রধান শিক্ষক নির্বাচন করার উপায় ৯C১ = ৯
∴ মোট বাছাই করার উপায় = ১০ × ৯ = ৯০
১,০৫৪.
১, ২, ৩ , ৪, ৫ ,৬ অঙ্কগুলো প্রত্যেকটি একবার নিয়ে ৪ অঙ্কের কতগুলো ভিন্ন সংখ্যা হবে?
  1. ক
    120
  2. খ
    200
  3. গ
    300
  4. ঘ
    360
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১, ২, ৩ , ৪, ৫ ,৬ অঙ্কগুলো প্রত্যেকটি একবার নিয়ে ৪ অঙ্কের কতগুলো ভিন্ন সংখ্যা হবে?

সমাধান:
6P4 = 6!/(6 - 4)!
= 6!/2!
= (6 × 5 × 4 × 3 × 2!)/2!
= 360
১,০৫৫.
স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে না রেখে 'POLAND' শব্দটিকে কতভাবে বিন্যস্ত করা যায়?
  1. ক
    380
  2. খ
    400
  3. গ
    450
  4. ঘ
    480
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে না রেখে 'POLAND' শব্দটিকে কতভাবে বিন্যস্ত করা যায়?

সমাধান:
“POLAND" শব্দটিতে মোট বর্ণ 6টি যেখানে সবগুলো বর্ণ ভিন্ন ভিন্ন এবং স্বরবর্ণ 2টি। 
6টি বর্ণকে সাজানো যায় = 6! = 720

স্বরবর্ণ দুটিকে একটি ধরে মোট ভিন্ন বর্ণ 5টি
5টি বর্ণকে সাজানো যায় = 5!
স্বরবর্ণ দুটিকে সাজানো যায় = 2!

স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে বিন্যাস = 5! × 2!
= 120 × 2
= 240

∴ স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে না রেখে বিন্যাস = 720 - 240
= 480
১,০৫৬.
'SCIENCE' শব্দটির বর্ণগুলোকে কতভাবে সাজানো যায়?
  1. ক
    2520
  2. খ
    1200
  3. গ
    720
  4. ঘ
    1260
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'SCIENCE' শব্দটির বর্ণগুলোকে কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
SCIENCE শব্দটিতে মোট বর্ণসংখ্যা = 7 টি 
এর মধ্যে C = 2 টি এবং  E = 2 টি ।

∴  মোট বিন্যাস সংখ্যা = 7!/(2! × 2!)
= (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2)/(2 × 2)
= 1260

১,০৫৭.
৫, ৩, ৭, ২, ৩ অংকগুলো প্রতি সংখ্যায় একবার নিয়ে পাঁচ অংকের কতগুলো জোড় সংখ্যা গঠন করা যাবে?
  1. ক
    ক) ৬
  2. খ
    খ) ১২
  3. গ
    গ) ১৮
  4. ঘ
    ঘ) ২৪
ব্যাখ্যা

৫, ৩, ৭, ২, ৩, মোট অংক আছে যাদের মধ্যে ২টি ৩ এবং বাকীগুলো ভিন্ন ভিন্ন।

পাঁচ অংকের জোড় সংখ্যা গঠন করতে হলে, শেষ অংকে ২ নির্দিষ্ট করতে হবে।
এক্ষেত্রে অবশিষ্ট অংকগুলো দ্বারা গঠিত সংখ্যা = ৪!/২!
= ১২

১,০৫৮.
একটি ফুটবল টুর্নামেন্টে 7টি দল অংশগ্রহণ করেছে। একক লীগ পদ্ধতিতে খেলা, মোট কতটি খেলা পরিচালনা করা যাবে? 
  1. ক
    ক) 14
  2. খ
    খ) 15
  3. গ
    গ) 16
  4. ঘ
    ঘ) 21
ব্যাখ্যা
প্রতিটি খেলার জন্য ৭টি দল থেকে ২টি দল নির্বাচন করতে হবে 

মোট খেলার সংখ্যা = 7C2 = 21
১,০৫৯.
4 জন মহিলাসহ 10 জনের মধ্য থেকে 5 জনের একটি কমিটি কত উপায়ে গঠন করা যায়, যাতে কমপক্ষে একজন মহিলা থাকবে?
  1. ক
    ক) 360
  2. খ
    খ) 400
  3. গ
    গ) 246
  4. ঘ
    ঘ) 124
ব্যাখ্যা
কমিটি গঠনের উপায়
= 4C4 × 6C1 + 4C3 × 6C2 + 4C2 × 6C3 + 4C1 × 6C4
= 6 + 60 + 120 + 60
= 246
১,০৬০.
একটি চাকরির পরীক্ষায় একজন প্রার্থীকে 7 টি প্রশ্নের মধ্যে 4 টি প্রশ্নের উত্তর লিখতে হবে। একজন পরিক্ষার্থী কতভাবে 4 টি প্রশ্ন বাছাই করতে পারবে?
  1. ক
    20
  2. খ
    35
  3. গ
    28
  4. ঘ
    32
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি চাকরির পরীক্ষায় একজন প্রার্থীকে 7 টি প্রশ্নের মধ্যে 4 টি প্রশ্নের উত্তর লিখতে হবে। একজন পরিক্ষার্থী কতভাবে 4 টি প্রশ্ন বাছাই করতে পারবে?

সমাধান:
নির্ণেয় সমাবেশ সংখ্যা = 7C4 
= 7!/4!(7 - 4)!
= 7!/4! × 3!
= (7 × 6 × 5 × 4!)/(4! × 3 × 2 × 1)
= 35
১,০৬১.
25 জন সদস্যের একটি ক্লাব থেকে একজন সভাপতি এবং একজন সহ-সভাপতি কতভাবে নির্বাচন করা যাবে?
  1. ক
    525
  2. খ
    600
  3. গ
    720
  4. ঘ
    840
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 25 জন সদস্যের একটি ক্লাব থেকে একজন সভাপতি এবং একজন সহ-সভাপতি কতভাবে নির্বাচন করা যাবে?

 সমাধান:
প্রথমে 25 জন সদস্য থেকে 1 জন সভাপতি নির্বাচন করা যায় = 25C1
= 25

সভাপতি নির্বাচনের পর বাকি থাকে 24 জন।
∴ 24 জন থেকে 1 জন সহ-সভাপতি নির্বাচন করা যায় = 24C1
= 24

∴ মোট বাছাই সংখ্যা = 25 × 24 = 600

১,০৬২.
৪, ৫, ৬, ৭, ৮ ও ৯ অঙ্কগুলো একবার ব্যবহার করে চার অংক বিশিষ্ট কতটি সংখ্যা তৈরি করা যাবে যেন সংখ্যাটি ৫ দ্বারা বিভাজ্য হয়?
  1. ক
    ৩৬ টি
  2. খ
    ৪০ টি
  3. গ
    ৫৪ টি
  4. ঘ
    ৬০ টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৪, ৫, ৬, ৭, ৮ ও ৯ অঙ্কগুলো একবার ব্যবহার করে চার অংক বিশিষ্ট কতটি সংখ্যা তৈরি করা যাবে যেন সংখ্যাটি ৫ দ্বারা বিভাজ্য হয়?

সমাধান:
৫ দ্বারা বিভাজ্য হতে হলে একক স্থানীয় অংকটি ৫ হতে হবে
৫ ব্যতীত আর অঙ্ক থাকে ৫টি এবং ঘর বাকি থাকে = (৬ - ১)
= ৫টি

এখন,
১ম ঘর সাজানো যাবে ৫টি অঙ্ক দিয়ে
২য় ঘর সাজানো যাবে ৪টি অঙ্ক দিয়ে
৩য় ঘর সাজানো যাবে ৩টি অঙ্ক দিয়ে
৪র্থ ঘরে থাকবে শুধুমাত্র ৫ অর্থাৎ ১টি অঙ্ক

∴ মোট সংখ্যা হবে = (৫ × ৪ × ৩ × ১) টি
= ৬০ টি
১,০৬৩.
একজন বালকের ভিন্ন ভিন্ন আকারের ১১টি মার্বেল আছে যার মধ্যে ৫টি কালো এবং ৬টি সাদা। কালো রঙের মার্বেল মাঝখানে রেখে সে ৩ টি মার্বেল এক সারিতে কত রকমে সাজাতে পারবে?
  1. ক
    ক) ৯৪
  2. খ
    খ) ৯৬
  3. গ
    গ) ৪৫০
  4. ঘ
    ঘ) ৩৮০
ব্যাখ্যা

যেহেতু, একটি কালো রঙের মার্বেল মাঝখানে রাখতে হবে সেহেতু ৫টির মধ্যে ১টি স্থানে তা 5P1 = 5 উপায়ে রাখা যাবে।
অবশিষ্ট (৩-১) বা ২ স্থানে (১১-১)বা ১০ টি 10P2 = 90 উপায়ে সাজানো যাবে।
নির্নেয় বিন্যাস সংখ্যা 5 x 90 = 450.

১,০৬৪.
8টি ভিন্ন বর্ণের ফুল দিয়ে কত উপায়ে মালা তৈরি করা যাবে?
  1. ক
    1290
  2. খ
    1860
  3. গ
    2520
  4. ঘ
    3250
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 8টি ভিন্ন বর্ণের ফুল দিয়ে কত উপায়ে মালা তৈরি করা যাবে?

সমাধান:
মালা, তসবী ইত্যাদি গঠন করলে বিন্যাস সংখ্যা = (n - 1)!/2

বিন্যাস সংখ্যা = (8 - 1)!/2
= 7!/2
= 5040/2
= 2520
১,০৬৫.
5 জন বালক ও 4 জন বালিকার মধ্য থেকে 4 জনকে কত উপায়ে বাছাই করা যেতে পারে? 
  1. ক
    ক) 124
  2. খ
    খ) 125
  3. গ
    গ) 126
  4. ঘ
    ঘ) 128
ব্যাখ্যা
বালক = 5 জন 
বালিকা = 4 জন 
মোট = 5 + 4 = 9 জন 

 বাছাই করা যাবে = 9C4 = 126 উপায়ে 
১,০৬৬.
একটি সভা শেষে প্রত্যেক সদস্য একে অপরের সাথে করমর্দন করেন। যদি মোট করমর্দনের সংখ্যা ৬ হয় তাহলে সভায় কতজন সদস্য উপস্থিত ছিলেন?
  1. ক
    ২ জন
  2. খ
    ৩ জন
  3. গ
    ৪ জন
  4. ঘ
    ৫ জন
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সভা শেষে প্রত্যেক সদস্য একে অপরের সাথে করমর্দন করেন। যদি মোট করমর্দনের সংখ্যা ৬ হয় তাহলে সভায় কতজন সদস্য উপস্থিত ছিলেন?

সমাধান:
ধরি,
মোট সদস্য সংখ্যা = n জন 

প্রশ্নমতে,
nC২ = ৬
⇒ n!/২! × (n - ২)! = ৬
⇒ {n × (n - ১) × (n - ২)}/{(n - ২)! × ২!} = ৬
⇒ n × (n - ১)/২ = ৬
⇒ n(n - ১) = ১২
⇒ n২ - n = ১২
⇒ n২ - n - ১২ = 0
⇒ n২ - ৪n + ৩n - ১২ = 0
⇒ n(n - ৪) + ৩(n - ৪) = 0
⇒ (n - ৪)(n + ৩) = 0
হয়, n - ৪ = 0 অথবা n + ৩ = 0
হয়, n = ৪ অথবা n = - ৩ 

কিন্তু লোকসংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না।
∴ n = ৪

অর্থাৎ মিটিঙে উপস্থিত সদস্য সংখ্যা = ৪ জন 

১,০৬৭.
3, 4, 7, 9, 8 অংকগুলো প্রতি সংখ্যায় যে কোন সংখ্যকবার নিয়ে 4 অংকের কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যাবে?
  1. ক
    ক) 5
  2. খ
    খ) 25
  3. গ
    গ) 120
  4. ঘ
    ঘ) 625
ব্যাখ্যা

প্রতিটি অংক প্রতিসংখ্যা যেকোন সংখ্যকবার নেয়া যাবে অর্থাৎ পুনরাবৃত্তি ঘটবে।
∴ এক্ষেত্রে 5টি সংখ্যা থেকে প্রতিবার 4টি নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = 54
= 625

১,০৬৮.
'LOGARITHMS' শব্দটি থেকে 3টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও 2টি স্বরবর্ণ একত্রে কত উপায়ে বাছাই করা যেতে পারে?  
  1. ক
    ক) 155
  2. খ
    খ) 125
  3. গ
    গ) 115
  4. ঘ
    ঘ) 105
ব্যাখ্যা
'LOGARITHMS' শব্দটি ব্যঞ্জনবর্ণ আছে 7টি 
 এবং স্বরবর্ণ আছে 3টি 

7টি ব্যঞ্জনবর্ণ থেকে 3টি ব্যঞ্জনবর্ণ বাছাই করার উপায় = 7C3
                                                                                 = 35 
3টি স্বরবর্ণ থেকে 2টি স্বরবর্ণ বাছাই করার উপায় = 3C2 
                                                                        = 3 
বাছাইয়ের মোট উপায় = 35 × 3 
                                   = 105
১,০৬৯.
একটি শ্রেণীকক্ষে 4 টা দরজা আছে। কতভাবে একজন শিক্ষক এক দরজা দিয়ে ঢুকে অন্য দরজা দিয়ে বের হতে পারেন?
  1. ক
    ক) 6
  2. খ
    খ) 12
  3. গ
    গ) 24
  4. ঘ
    ঘ) 4
ব্যাখ্যা
যেহেতু একটি দরজা দিয়ে প্রবেশ করে অন্য দরজা দিয়ে বের হতে হবে তাই ঢুকার সময় দরজা 4 টি থাকলেও বের হওয়ার সময় যেটা দিয়ে প্রবেশ করবে সেটা বাদ দিয়ে 3 টি দরজা থাকবে।
সুতরাং উপায় সংখ্যা = 4 × 3 = 12
১,০৭০.
9 জন ব্যক্তিকে একটি গোলটেবিলে কতভাবে বসানো যেতে পারে?
  1. ক
    40420
  2. খ
    40320
  3. গ
    50320
  4. ঘ
    40720
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 9 জন ব্যক্তিকে একটি গোলটেবিলে কতভাবে বসানো যেতে পারে?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক ব্যক্তিকে একটি গোলটেবিলে বসানোর উপায় = (n - 1)!

∴ 9 জন ব্যক্তিকে একটি গোলটেবিলে বসানোর উপায় = (9 - 1)!
= 8! = 40320

১,০৭১.
যদি nPr = 720 এবং nCr = 120 হয়, তাহলে r এর মান কত?
  1. ক
    8
  2. খ
    3
  3. গ
    6
  4. ঘ
    9
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি nPr = 720 এবং nCr = 120 হয়, তাহলে r এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
nPr = 720 এবং nCr = 120

আমরা জানি,
nPr​ = nCr​ × r!
⇒ 720 = 120 × r!
​⇒ r! = 720/120
⇒ r! = 6
⇒ r! = 3!
∴ r = 3

১,০৭২.
৮ জন বালক ও ৬ জন বালিকা থেকে ৩ জন বালক ও ৩ জন বালিকা কত উপায়ে বেছে নেয়া যায়?
  1. ক
    ক) 76
  2. খ
    খ) 720
  3. গ
    গ) 1120
  4. ঘ
    ঘ) 1220
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৮ জন বালক ও ৬ জন বালিকা থেকে ৩ জন বালক ও ৩ জন বালিকা কত উপায়ে বেছে নেয়া যায়?

সমাধান:
8 জন বালক হতে প্রতিবারে 3 জন বালক বেছে নেয়া যায় = 8C3 = 56 উপায়ে
8 জন বালিকা হতে প্রতিবারে 3 জন বালিকা বেছে নেয়া যায় = 6C3 = 20 উপায়ে

∴ মোট বেছে নেয়া যায় = 56 × 20
= 1120
১,০৭৩.
nC9 = nC5 হলে, n এর মান কত?
  1. ক
    12
  2. খ
    4
  3. গ
    11
  4. ঘ
    14
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: nC9 = nC5 হলে, n এর মান কত?

সমাধান:
nC9 = nC5
⇒ nC9 = nCn - 5  [nCr = nCn - r সূত্র প্রয়োগ]
⇒ 9 = n - 5
⇒ n = 9 + 5
∴ n = 14

১,০৭৪.
স্বরবর্ণগুলোকে বিজোড় স্থানে বসিয়ে 'CAMBRIDGE' শব্দটির অক্ষরগুলো কত রকমে সাজানো যায়?
  1. ক
    ৭৮০
  2. খ
    ১৪৪০
  3. গ
    ১৮০০
  4. ঘ
    ৪৩২০০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: স্বরবর্ণগুলোকে বিজোড় স্থানে বসিয়ে 'CAMBRIDGE' শব্দটির অক্ষরগুলো কত রকমে সাজানো যায়?

সমাধান:
CAMBRIDGE শব্দটিতে স্বরবর্ণ আছে A, I, E এই তিনটি
বিজোড় স্থান আছে ৫টি
৫টি বিজোড় স্থানে ৩টি স্বরবর্ণ সাজানো যায় ৫P৩ = ৬০ উপায়ে

বাকি ২টি বিজোড় স্থান ও ৪টি জোড় স্থানে বাকি ৬টি বর্ণ সাজানো যাবে ৬! = ৭২০ উপায়ে

∴ মোট সাজানো যাবে = ৬০ × ৭২০ = ৪৩২০০ উপায়ে
১,০৭৫.
১০ জন ছাত্রকে সমান সংখ্যক দু’টি গ্রুপে কতভাবে বিভক্ত করা যায়?
  1. ক
    ক) ২৫২
  2. খ
    খ) ৫০৪
  3. গ
    গ) ১২৬
  4. ঘ
    ঘ) ৩০২৪০
ব্যাখ্যা

১০ জন থেকে সমানসংখ্যক অর্থ্যাৎ, ৫ জন করে নিয়ে দল গঠন করার মোট উপায় = ১০!/(৫!)২
= ৩৬২৮৮০০/১৪৪০০
= ২৫২

এখন, সমান সংখ্যক বা ৫ জন করে দুটি দলে বিভক্ত করার উপায় = ২৫২/২
= ১২৬

উৎসঃ উচ্চতর গণিত প্রথম পত্র, একাদশ-দ্বাদশ শ্রেণি।

১,০৭৬.
9 টি বিন্দু ‍দিয়ে কতগুলো ত্রিভুজ গঠন করা যায়?
  1. ক
    76
  2. খ
    84
  3. গ
    96
  4. ঘ
    120
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 9 টি বিন্দু ‍দিয়ে কতগুলো ত্রিভুজ গঠন করা যায়?

সমাধান:
তিনটি বিন্দু দিয়ে গঠিত হয় ত্রিভুজ।

∴ 9 টি বিন্দু ‍দিয়ে ত্রিভুজ গঠন করা যায় = 9C3
= 84
১,০৭৭.
একটি বাস্কেটবল টুর্নামেন্টে প্রতিটি দল কেবল একবার অন্য প্রতিটি দলের সাথে খেলবে। যদি মোট খেলার সংখ্যা 91 হয়, তাহলে টুর্নামেন্টে কতগুলো দল ছিল?
  1. ক
    11 টি
  2. খ
    12 টি
  3. গ
    14 টি
  4. ঘ
    17 টি
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বাস্কেটবল টুর্নামেন্টে প্রতিটি দল কেবল একবার অন্য প্রতিটি দলের সাথে খেলবে। যদি মোট খেলার সংখ্যা 91 হয়, তাহলে টুর্নামেন্টে কতগুলো দল ছিল?

সমাধান:
মনে করি, ঐ টুর্নামেন্টে n সংখ্যক দল ছিল।

প্রশ্নমতে,
nC2 = 91
⇒ n!/{2!(n - 2)!} = 91
⇒ {n(n - 1)(n - 2)!}/{2 × 1 × (n - 2)!} = 91
⇒ n(n - 1)/2 = 91
⇒ n(n - 1) = 182
⇒ n2 - n - 182 = 0
⇒ n2 - 14n + 13n - 182 = 0
⇒ n(n - 14) + 13(n - 14) = 0
⇒ (n - 14)(n + 13) = 0

হয়,
n - 14 = 0 ⇒ n = 14
অথবা,
n + 13 = 0 ⇒ n = - 13 (ঋণাত্মক দলের সংখ্যা গ্রহণযোগ্য নয়)

∴ ঐ টুর্নামেন্টে 14 টি দল ছিল।

১,০৭৮.
MILLENNIUM শব্দটির প্রথমে ও শেষে M রেখে বাকি বর্ণগুলোকে মোট কত প্রকারে সাজানো যাবে?
  1. ক
    ক) ২২৬৮০০
  2. খ
    খ) ৫০৬০
  3. গ
    গ) ২২৬৯০০
  4. ঘ
    ঘ) ৫০৪০
ব্যাখ্যা

MILLENNIUM শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে ১০ টি
প্রথমে ও শেষে M রাখলে বর্ণ থাকে (১০ - ২) বা ৮ টি তার মধ্যে L = 2, I = 2, N = 2
তাহলে সাজানো যাবে ৮!/ (২! ২! ২!)
= ৮.৭.৬.৫.৩ = ৫০৪০

১,০৭৯.
'DETAIL' শব্দটি কত উপায়ে সাজানো যাবে যেন স্বরবর্ণগুলো বিজোড় অবস্থানে থাকে?
  1. ক
    ৬০
  2. খ
    ৩৬
  3. গ
    ৪৮
  4. ঘ
    ৩২
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'DETAIL' শব্দটি কত উপায়ে সাজানো যাবে যেন স্বরবর্ণগুলো বিজোড় অবস্থানে থাকে?

সমাধান:
DETAIL শব্দটিতে মোট স্বরবর্ণ আছে (E, A, I) ৩টি
বিজোড় স্থান আছে ১ম, ৩য়, ৫ম মোট ৩টি

৩টি ঘরে ৩টি স্বরবর্ণ সাজানো যায় = ৩P৩ = ৩! = ৬

শব্দটিতে ব্যঞ্জনবর্ণ আছে ৩টি এবং জোড় স্থান আছে ৩টি
৩টি ঘরে ৩টি ব্যঞ্জনবর্ণ সাজানো যায় = ৩P৩ = ৩! = ৬

∴ মোট সাজানোর উপায় = ৬ × ৬ = ৩৬
১,০৮০.
'SCHOOL' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা 'CLASS' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?
  1. ক
    3 গুণ
  2. খ
    2.5 গুণ
  3. গ
    1.5 গুণ
  4. ঘ
    6 গুণ
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'SCHOOL' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা 'CLASS' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?

সমাধান:
'SCHOOL' শব্দটিতে বর্ণ সংখ্যা 6 টি (S, C, H, O, O, L)
যেখানে, O দুইবার আছে, বাকি বর্ণ (S, C, H, L) প্রতিটি একবার করে আছে।

∴ বিন্যাস সংখ্যা = 6!/2! = (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)/(2 × 1) ​= 360
 
আবার, 
'CLASS' শব্দটিতে বর্ণ সংখ্যা 5 টি (C, L, A, S, S)
যেখানে, S দুইবার আছে, বাকি বর্ণ (C, L, A) প্রতিটি একবার করে আছে।

∴ বিন্যাস সংখ্যা = 5!/2! = (5 × 4 × 3 × 2 × 1)/(2 × 1) ​= 60

∴ 'SCHOOL' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা 'CLASS' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার = 360/60 = 6 গুণ।

১,০৮১.
APPLE শব্দটির বর্ণগুলো থেকে প্রতিবার 3টি বর্ণ নিয়ে গঠিত ভিন্ন ভিন্ন শব্দ সংখ্যা কত?
  1. ক
    32
  2. খ
    33
  3. গ
    34
  4. ঘ
    35
ব্যাখ্যা

APPLE শব্দটিতে মোট 5টি বর্ণ আছে যাদের মধ্যে 2টি p
প্রতিক্ষেত্রে 3টি বর্ণ নিয়ে শব্দগঠন করার ক্ষেত্রে,
(a) দু'টি একই, বাকিগুলো ভিন্ন ভিন্ন
(b) সবগুলো ভিন্ন ভিন্ন
(a) এর ক্ষেত্রে সাজানোর উপায় = 1×3c1 × 3!/2!
= 3×3 = 9
(b) এর ক্ষেত্রে সাজানোর উপায় = 4p3 = 24
∴ মোট সাজানোর উপায় = 9+24 = 33

১,০৮২.
'PACKAGE' শব্দটির সবগুলো বর্ণ একত্রে নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যায়?
  1. ক
    720 প্রকারে
  2. খ
    1040 প্রকারে
  3. গ
    2520 প্রকারে
  4. ঘ
    5040 প্রকারে
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'PACKAGE' শব্দটির সবগুলো বর্ণ একত্রে নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যায়?

সমাধান:
'PACKAGE' শব্দটিতে মোট বর্ণ = 7 টি
A আছে = 2 টি

∴ বিন্যাস সংখ্যা = 7!/2!
= 2520

∴ 'PACKAGE' শব্দটির সব বর্ণ একত্রে নিয়ে 2520 প্রকারে সাজানো যায়।
১,০৮৩.
5 × nP3 = 4 × (n +1)P3 হলে, n এর মান কত?
  1. ক
    ক) 14
  2. খ
    খ) 10
  3. গ
    গ) 12
  4. ঘ
    ঘ) 20
ব্যাখ্যা
প্রশ্নঃ 5 × nP3 = 4 × (n +1)P3 হলে, n এর মান কত?

সমাধানঃ
5 × nP3 = 4 × (n +1)P3
⇒ 5 × n × (n–1) × (n–2) = 4 × (n+1) × n × (n–1)
⇒ 5(n−2) = 4(n+1)
⇒ 5n − 10 = 4n + 4
⇒ 5n − 4n = 4 + 10
∴ n = 14
১,০৮৪.
MISSISSIPPI শব্দটির সবগুলো বর্ণ একত্রে রেখে কতভাবে সাজানো যাবে?
  1. ক
    34550
  2. খ
    34650
  3. গ
    34850
  4. ঘ
    34750
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: MISSISSIPPI শব্দটির সবগুলো বর্ণ একত্রে রেখে কতভাবে সাজানো যাবে?

সমাধান:
'MISSISSIPPI' শব্দটিতে মোট 11টি বর্ণ আছে।

এখানে,
M আছে 1 বার
I আছে 4 বার
S আছে 4 বার
P আছে 2 বার

আমরা জানি, যদি কোনো শব্দে n টি অক্ষরের মধ্যে একই অক্ষর যথাক্রমে a, b, c …… বার থাকে, তবে মোট সাজানোর উপায় = n!/(a! × b! × c! ……)

∴ নির্ণেয় সাজানোর উপায়
= 11!/(4! × 4! × 2!)
= (11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4!)/(4! × 4! × 2!)
= (11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5)/(24 × 2)
= 39916800/1152
= 34650

∴ মোট সাজানোর উপায় = 34650

১,০৮৫.
কোন শ্রেণিকক্ষে প্রতিবেঞ্চে 6 জন করে ছাত্রী বসালে 2 টি বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে 5 জন করে ছাত্রী বসালে 6 জন ছাত্রীকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণির বেঞ্চ সংখ্যা কত?
  1. ক
    ক) 12
  2. খ
    খ) 18
  3. গ
    গ) 19
  4. ঘ
    ঘ) 24
ব্যাখ্যা

মনে করি, বেঞ্চের সংখ্যা x টি
যেহেতু প্রতিবেঞ্চে 6 জন করে ছাত্রী বসালে 2 টি বেঞ্চ খালি থাকে
∴ মোট ছাত্রী সংখ্যা = 6(x - 2)
আবার, প্রতি বেঞ্চে 5 জন করে ছাত্রী বসালে 6 জন ছাত্রীকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়
∴ মোট ছাত্রী সংখ্যা = 5x + 6
প্রশ্নমতে,
6(x - 2) = 5x + 6
বা, 6x - 5x = 18
বা, x = 18
∴ বেঞ্চের সংখ্যা 18 টি। 

১,০৮৬.
স্বরবর্ণগুলো কেবলমাত্র জোড় স্থানে রেখে 'POSTAGE' শব্দটির অক্ষরগুলোকে কতভাবে সাজানো যায়?
  1. ক
    ক) 190
  2. খ
    খ) 95
  3. গ
    গ) 24
  4. ঘ
    ঘ) 144
ব্যাখ্যা
POSTAGE শব্দটিতে 3টি স্বরবর্ণ (O, A, E) এবং 4টি ব্যঞ্জনবর্ণ (P, S, T, G) আছে।
এখন 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 এই সাতটি স্থানের মধ্যে তিনটি জোড়স্থান (2, 4, 6) রয়েছে।

সুতরাং তিনটি জোড়স্থানে 3 টি স্বরবর্ণ রেখে বাকী 4 টি স্থান 4 টি ব্যঞ্জনবর্ণ দ্বারা পূরণ করা যায়
= 4P4
= 4!
= 24 উপায়ে।

 এবং 3 টি স্বরবর্ণ দ্বারা 3 টি জোড় স্থান পূরণ করা যায়
= 3!
= 6 উপায়ে

সুতরাং নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা
= 24 × 6
= 144 উপায়ে।
১,০৮৭.
4টি পোস্ট বাক্সে 6টি চিঠি কতভাবে ফেলা যায়?
  1. ক
    ক) 64
  2. খ
    খ) 46
  3. গ
    গ) 24
  4. ঘ
    ঘ) 18
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 4টি পোস্ট বাক্সে 6টি চিঠি কতভাবে ফেলা যায়?

সমাধান:
পোস্ট বাক্সের সংখ্যা n = 4টি 
চিঠির সংখ্যা r = 6টি

চিঠি ফেলা যায় = (পোস্ট বক্স)চিঠি
= nr 
= 46 
১,০৮৮.
10 টি ভিন্ন বই থেকে 3 টি বই নির্বাচন করে তাকের জন্য সাজাতে হবে। কতভাবে সাজানো সম্ভব? 
  1. ক
    120
  2. খ
    210
  3. গ
    450
  4. ঘ
    720
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 10 টি ভিন্ন বই থেকে 3 টি বই নির্বাচন করে তাকের জন্য সাজাতে হবে। কতভাবে সাজানো সম্ভব?

সমাধান: 
মোট বই আছে = 10 টি 
10 টি থেকে নিতে হবে = 3 টি 

∴ যতভাবে সাজানো সম্ভব = nPr​
= 10P3 
= 10! / (10 − 3)! 
= 10!/7!​
= 10⋅9⋅8. 7! / 7!​
​= 10⋅9⋅8 
= 720

১,০৮৯.
MILLENNIUM শব্দটির অক্ষরগুলো কত প্রকারে সাজানো যাবে যাদের পঞ্চম স্থানে U থাকবে?
  1. ক
    ক) 22860
  2. খ
    খ) 22780
  3. গ
    গ) 22680
  4. ঘ
    ঘ) 22870
ব্যাখ্যা
এখানে U ছাড়া মোট অক্ষর আছে 9 টি যার মাঝে M দুইটি, I দুইটি, L দুইটি এবং N দুইটি। সুতরাং U পঞ্চম স্থানে রেখে সাজানো সংখ্যা = 9!/(2!×2!×2!×2!) = 22680.
১,০৯০.
CALCUTTA শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা কত?
  1. ক
    40320
  2. খ
    4050
  3. গ
    5040
  4. ঘ
    2520
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: CALCUTTA শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা কত?

সমাধান:
CALCUTTA শব্দটিতে মোট অক্ষর আছে 8টি, যার মধ্যে 2টি C, 2টি A ও 2টি T
∴ মোট বিন্যাস সংখ্যা = 8!/(2!2!2!)
= 7!
= 5040
১,০৯১.
৬টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও ৪টি স্বরবর্ণ থেকে ৩টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও ২টি স্বরবর্ণ নিয়ে মোট কতটি শব্দ তৈরি করা যায়?
  1. ক
    ২৫২০০
  2. খ
    ১৪৪০০
  3. গ
    ২১৪০০
  4. ঘ
    ১২০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৬টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও ৪টি স্বরবর্ণ থেকে ৩টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও ২টি স্বরবর্ণ নিয়ে মোট কতটি শব্দ তৈরি করা যায়?

সমাধান:
৬টি ব্যঞ্জনবর্ণ থেকে ৩টি ব্যঞ্জনবর্ণ বাছাই করার উপায় ৬C৩ = ২০
৪টি স্বরবর্ণ থেকে ২টি স্বরবর্ণ বাছাই করার উপায় ৪C২= ৬
∴ মোট বর্ণ বাছাই করার উপায় = ২০ × ৬ = ১২০

প্রতিটি শব্দে বর্ণ থাকবে ৫টি এদের সাজানোর উপায় = ৫! = ১২০

∴ মোট শব্দ সংখ্যা = ১২০ × ১২০ = ১৪৪০০
১,০৯২.
"SMART" শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে কত প্রকারে বিন্যাস তৈরি করা যায়, যাদের প্রথমে একটি স্বরবর্ণ থাকে?
  1. ক
    24টি
  2. খ
    30টি
  3. গ
    36টি
  4. ঘ
    48টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: "SMART" শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে কত প্রকারে বিন্যাস তৈরি করা যায়, যাদের প্রথমে একটি স্বরবর্ণ থাকে?

সমাধান:
"SMART" শব্দটিতে মোট বর্ণ 5টি, এবং স্বরবর্ণ আছে 1টি।
"SMART" শব্দটির মোট বিন্যাস সংখ্যা = 5! = 120

1টি উপাদানের বিন্যাস সংখ্যা = মোট বিন্যাস/উপাদান সংখ্যা
= 120/5!
= 24

∴ 1টি স্বরবর্ণ এর জন্য বিন্যাস = (24 × 1) = 24টি
অর্থাৎ, 24টি বিন্যাসের শুরুতে স্বরবর্ণ থাকবে ।
১,০৯৩.
একটি ত্রিদেশীয় ক্রিকেট খেলায় প্রত্যেকে অন্যদেশের সাথে একবার মাত্র খেলবে। মোট কয়টি খেলা অনুষ্ঠিত হবে?
  1. ক
    ক) ২টি
  2. খ
    খ) ৩টি
  3. গ
    গ) ৪টি
  4. ঘ
    ঘ) ৬টি
ব্যাখ্যা

মোট দল ৩টি এবং প্রত্যেকে অন্যদেশের সাথে একবার খেলবে সুতরাং মোট খেলা অনুষ্ঠিত হবে = 3C2 টি।
= 3!/{(3-1)!×2!} টি
= 6/2 টি
= 3 টি

১,০৯৪.
TANGAIL শব্দের বিন্যাস সংখ্যা ও COMILLA শব্দের বিন্যাস সংখ্যার অনুপাত কত?
  1. ক
    1 : 1
  2. খ
    2 : 1
  3. গ
    3 : 2
  4. ঘ
    4 : 3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: TANGAIL শব্দের বিন্যাস সংখ্যা ও COMILLA শব্দের বিন্যাস সংখ্যার অনুপাত কত?

সমাধান:
TANGAIL এর বিন্যাস সংখ্যা = 7!/2! [মোট বর্ণ = 7, A = 2 টি]
= 2520
COMILLA এর বিন্যাস সংখ্যা = 7!/2! [মোট বর্ণ = 7, L = 2 টি]
= 2520

∴ TANGAIL শব্দের বিন্যাস সংখ্যা ও COMILLA শব্দের বিন্যাস সংখ্যার অনুপাত = 2520 : 2520
= 1 : 1
১,০৯৫.
9 জন বন্ধু নৌকা ভ্রমণের সিদ্ধান্ত নিল, একটি নৌকায় 7 জনের বেশী এবং অন্যটিতে 4 জনের বেশী ধরে না। তারা কত উপায়ে ভ্রমণ করতে পারবে?
  1. ক
    276
  2. খ
    246
  3. গ
    234
  4. ঘ
    212
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 9 জন বন্ধু নৌকা ভ্রমণের সিদ্ধান্ত নিল, একটি নৌকায় 7 জনের বেশী এবং অন্যটিতে 4 জনের বেশী ধরে না। তারা কত উপায়ে ভ্রমণ করতে পারবে?

সমাধান:
১ম নৌকা(7)     ২য় নৌকা(4)
7                      2
6                      3
5                      4

9 জন লোকের মধ্যে সর্বোচ্চ 4 জন লোকই ২য় নৌকায় উঠতে পারবে
অর্থ্যাৎ, ১ম নৌকায় কমপক্ষে 5 জন উঠতে পারবে। এর চেয়ে কম হলে, যেমন 4 জন উঠলে 5 জন দ্বিতীয় নৌকায় উঠতে পারবে না।
তাহলে 5 জন দিয়েই শুরু করা যাক।

কিন্তু সমস্যা হলো কোন 9 জনের মধ্য থেকে কোন 5 জন প্রথম যানবাহনে উঠবে?
চলুন তাহলে 9 জনের মধ্য থেকে যেকোনো 5 জনকে বাছাই করা যাক,
9C5 = 126
এখন এই 5 জনতো চলেই গেলো। বাকিরা অগত্যা ২য় নৌকাতেই উঠবে আর তাদের মধ্যে একভাবেই বাছাই করা যায়। তাই, ২য় নৌকার ক্ষেত্রে বাছাই না করলেও চলবে।

১ম নৌকায় 5, 6, 7 জন পর্যন্ত উঠতে পারে। প্রতি ক্ষেত্রের বাছাই সংখ্যাকে যোগ করে পাই,

9C5 + 9C6  + 9C7 = 126 + 84 + 36 = 246

অর্থ্যাৎ 9 বন্ধু 246 প্রকারে ভ্রমণ করতে পারবে।
১,০৯৬.
'ORANGE' শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে কতগুলো বিন্যাস তৈরি করা যায়, যাদের প্রথমে একটি স্বরবর্ণ থাকবে?
  1. ক
    420
  2. খ
    360
  3. গ
    320
  4. ঘ
    520
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'ORANGE' শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে কতগুলো বিন্যাস তৈরি করা যায়, যাদের প্রথমে একটি স্বরবর্ণ থাকবে?

সমাধান:
মোট বর্ণ সংখ্যা = 6 টি
পুনরাবৃত্তি নেই (সব বর্ণ আলাদা)।
স্বরবর্ণ হলো O, A, এবং E, অর্থাৎ 3 টি স্বরবর্ণ।

প্রথম স্থানে একটি স্বরবর্ণ রাখার উপায় সংখ্যা = 3 (O, A, বা E)

প্রথম স্থানে স্বরবর্ণ রাখার পর, বাকি 5 টি অক্ষর সাজানোর উপায় বের করতে হবে।
যেহেতু কোনো পুনরাবৃত্তি নেই, তাই বিন্যাস সংখ্যা = 5! = 120

মোট উপায় সংখ্যা = প্রথম স্থানে স্বরবর্ণ রাখার উপায় সংখ্যা × বাকি বর্ণ সাজানোর উপায় সংখ্যা
= 3 × 120
= 360

১,০৯৭.
ENGINEERING শব্দটির স্বরবর্ণ গুলোকে একত্রে রেখে সবকটি বর্ণকে সম্ভাব্য কত উপায়ে সাজানো যাবে।
  1. ক
    600
  2. খ
    1200
  3. গ
    1800
  4. ঘ
    4200
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ENGINEERING শব্দটির স্বরবর্ণ গুলোকে একত্রে রেখে সবকটি বর্ণকে সম্ভাব্য কত উপায়ে সাজানো যাবে।

সমাধান:
'ENGINEERING' শব্দটিতে মোট 11টি বর্ণ আছে যার 5টি স্বরবর্ণ ও 6টি ব্যঞ্জনবর্ণ।
5টি স্বরবর্ণকে 1টি ধরে মোট বর্ণ সংখ্যা 7টি কে সাজানো যায় = 7!/(3! × 2!) (যেহেতু N তিনটি ও G দুইটি)
= 420 উপায়ে

আবার
5 টি স্বরবর্ণকে নিজেদের মধ্যে সাজানো যায় = 5!/(3! × 2!) (যেহেতু E তিনটি ও I দুইটি)
= 10 উপায়ে

সুতরাং নির্ণেয় সাজানো সংখ্যা = 420 × 10
= 4200 উপায়ে।
১,০৯৮.
১৫ জন খেলোয়াড় থেকে ১১ জন খেলোয়াড় বিশিষ্ট দল তৈরি করা যায় কত উপায়ে?
  1. ক
    ৩৬৪
  2. খ
    ১০০১
  3. গ
    ১৩৬৫
  4. ঘ
    ৫
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১৫ জন খেলোয়াড় থেকে ১১ জন খেলোয়াড় বিশিষ্ট দল তৈরি করা যায় কত উপায়ে?

সমাধান:
১৫ জন খেলোয়াড় থেকে ১১ জন খেলোয়াড় বিশিষ্ট দল তৈরি করা যায় ১৫C১১ = ১৩৬৫ উপায়ে
১,০৯৯.
১০ টি বইয়ের মধ্যে ৪ টি বই কতভাবে বাছাই করা যাবে যেখানে ২ টি বই কখনোই বাছাই করা হবে না?
  1. ক
    ৪০ টি
  2. খ
    ৫০ টি
  3. গ
    ৬০ টি
  4. ঘ
    ৭০ টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১০ টি বইয়ের মধ্যে ৪ টি বই কতভাবে বাছাই করা যাবে যেখানে ২ টি বই কখনোই বাছাই করা হবে না?

সমাধান:
২ টি বই কখনোই বাছাই না করা হলে বাছাইযোগ্য বইসংখ্যা হবে = (১০ - ২) টি = ৮ টি 

∴ ৮ টি বইয়ের মধ্য থেকে ৪ টি বই বাছাই করার সংখ্যা = ৮C৪
= ৮!/{৪! × (৮ - ৪)!}
= ৮!/(৪! × ৪!)
= (৮ × ৭ × ৬ × ৫ × ৪!)/(৪ × ৩ × ২ × ৪!)
= ৭০ 
১,১০০.
"MILLENNIUM" শব্দটির অক্ষরগুলি কত প্রকারে সাজানো যায় যেখানে প্রথমে ও শেষে M থাকবে?
  1. ক
    ক) 2520
  2. খ
    খ) 5020
  3. গ
    গ) 5040
  4. ঘ
    ঘ) 10080
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: "MILLENNIUM" শব্দটির অক্ষরগুলি কত প্রকারে সাজানো যায় যেখানে প্রথমে ও শেষে M থাকবে?

সমাধান:
"MILLENNIUM" শব্দটিতে 10টি অক্ষর আছে।
তন্মধ্যে 2টি M, 2টি L এবং ২টি N আছে।
প্রথমে ও শেষে M থাকবে এরুপে সাজানো সংখ্যা = 8!/(2! 2! 2!)
= 5040