লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

বিন্যাস ও সমাবেশ

মোট প্রশ্ন১,৭৫০এই পাতা১০০প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

বিন্যাস ও সমাবেশ

PrepBank · পাতা ১০ / ১৮ · ৯০১–১,০০০ / ১,৭৫০

৯০১.
৬ জন খেলোয়ারকে সমান সংখ্যক দুইটি দলে কত ভাবে বিভক্ত করা যায়?
  1. ক
    ক) ১০
  2. খ
    খ) ১৬
  3. গ
    গ) ১৮
  4. ঘ
    ঘ) ২০
ব্যাখ্যা

প্রতি দলে ৩ জন করে নিয়ে দল গঠিত হবে।
৬ জন থেকে ৩ জন করে নিয়ে মোট দল গঠনের উপায় = ৬C৩ = (৬)!/{৩!(৬-৩)!} = ২০ ।
সমান সংখ্যক বা ৩ জন করে দুটি দলে বিভক্ত করার উপায় = ২০/২ = ১০ ।
উৎসঃ উচ্চতর গণিত প্রথম পত্র, একাদশ-দ্বাদশ শ্রেণি।

৯০২.
কত প্রকারে 52 খানা তাস 4 জন ব্যক্তির মধ্যে সমান ভাবে ভাগ করা যায়?
  1. ক
    ক) 13!/(52!)4
  2. খ
    খ) 52!/(13!)4
  3. গ
    গ) 52!/(4!)13
  4. ঘ
    ঘ) 4!/(13!)52
ব্যাখ্যা

তাস ভাগ করা যাবে = 52!/(13!)4

৯০৩.
15 জন ব্যক্তি একটি সভায় উপস্থিত ছিল, এবং প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে করমর্দন করল। মোট কতটি করমর্দন হবে?
  1. ক
    105
  2. খ
    95
  3. গ
    205
  4. ঘ
    125
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 15 জন ব্যক্তি একটি সভায় উপস্থিত ছিল, এবং প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে করমর্দন করল। মোট কতটি করমর্দন হবে?

সমাধান:
এখানে, n = 15 জন ব্যক্তি আছে, এবং প্রতিটি করমর্দন দুটি ব্যক্তির মধ্যে হয়।
মোট করমর্দনের সংখ্যা,
C(15,2) = 15!​/2!(15−2)!
= 15!/(2! × 13!)
= (15 × 14 × 13!​)/(2 × 1 × 13!)
= 15 × 7
= 105

অতএব, 15 জন ব্যক্তির মধ্যে 105টি করমর্দন হবে।
৯০৪.
20 বাহুবিশিষ্ট বহুভূজের কতটি কর্ণ আছে?
  1. ক
    170
  2. খ
    190
  3. গ
    210
  4. ঘ
    175
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 20 বাহুবিশিষ্ট বহুভূজের কতটি কর্ণ আছে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বাহুর সংখ্যা, n = 20

∴ কর্ণের সংখ্যা = nC2 - n
= 20C2 - n
= {20!/2!(20 - 2)!} - 20
= {20!/(2! × 18!} - 20
= 190 - 20
= 170
৯০৫.
'ENGINEER' শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?
  1. ক
    240
  2. খ
    320
  3. গ
    480
  4. ঘ
    720
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'ENGINEER' শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?

সমাধান:
'ENGINEER' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 8 টি। যার মধ্যে Vowel আছে 4টি (তবে E আছে তিনটি)।
Vowel চারটিকে একটি ধরে মোট বর্ণ = 5টি (যার মধ্যে n আছে দুইটি)

∴ 5টি বর্ণকে সাজানো যায় = 5!/2! = 120/2 = 60
Vowel চারটিকে সাজানো যায় = 4!/3! = 4

∴ স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট সাজানো যাবে = 60 × 4 = 240

৯০৬.
BANANA শব্দটিকে কত ভাবে সাজানো যাবে যাতে A গুলো একসাথে থাকবে না?
  1. ক
    36
  2. খ
    48
  3. গ
    65
  4. ঘ
    76
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: BANANA শব্দটিকে কত ভাবে সাজানো যাবে যাতে A গুলো একসাথে থাকবে না?

সমাধান:
BANANA শব্দে মোট অক্ষর 6টি, যেখানে A আছে 3টি এবং N আছে 2টি।
BANANA কে সাজানো যাবে = 6!/3!2! = 60 ভাবে

A গুলোকে একসাথে একটি অক্ষর হিসাবে বিবেচনা করলে বাকী অক্ষর হবে 4টি: B, N, N এবং AAA।

সাজানোর সংখ্যা হবে = 4!/2! = 12 ভাবে

∴A গুলো একসাথে না রেখে সাজানোর সংখ্যা = 60 - 12 = 48
৯০৭.
প্রত্যেক অঙ্ককে প্রত্যেক সংখ্যায় কেবল একবার ব্যবহার করে 6, 5, 2, 3, 0 দ্বারা পাঁচ অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলো অর্থপূর্ণ বিজোড় সংখ্যা গঠন করা যায়?
  1. ক
    36টি
  2. খ
    48টি
  3. গ
    72টি
  4. ঘ
    18টি
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: প্রত্যেক অঙ্ককে প্রত্যেক সংখ্যায় কেবল একবার ব্যবহার করে 6, 5, 2, 3, 0 দ্বারা পাঁচ অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলো অর্থপূর্ণ বিজোড় সংখ্যা গঠন করা যায়?

সমাধান:
এখানে, প্রত্যেকটি বিজোড় সংখ্যার শেষ অঙ্ক 3 বা 5 হবে।
শেষ অবস্থানে 3 নির্দিষ্ট রেখে বাকি 4 অঙ্ক সাজানো যায় = 4! = 24 উপায়ে।

আবার,
প্রথম অবস্থানে 0 রেখে প্রাপ্ত সংখ্যা 5 অঙ্কের নয়।
সুতরাং প্রথম অবস্থানে 0 এবং শেষ অবস্থানে 3 রেখে বাকি 3টি অঙ্ক সাজানো যায় = 3! = 6 উপায়ে।
সুতরাং শেষ অবস্থানে 3 নিয়ে প্রাপ্ত অর্থপূর্ণ বিজোড় সংখ্যা = 24 - 6 = 18

অনুরূপভাবে, 
শেষ অবস্থানে 5 নিয়ে প্রাপ্ত অর্থপূর্ণ বিজোড় সংখ্যা = 18

∴  নির্ণেয় বিজোড় সংখ্যা = 18 + 18 = 36

সুতরাং, 6, 5, 2, 3, 0 অঙ্কগুলি ব্যবহার করে মোট 36টি অর্থপূর্ণ 5 অংকের বিজোড় সংখ্যা গঠন করা সম্ভব।

৯০৮.
6 জন পুরুষ ও 4 জন মহিলার মধ্য হতে কতভাবে 4 সদস্য বিশিষ্ট কমিটি গঠন করা যাবে যেখানে ঠিক 2 জন পুরুষ ও 2 জন মহিলা থাকবে?
  1. ক
    90
  2. খ
    100
  3. গ
    210
  4. ঘ
    150
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 6 জন পুরুষ ও 4 জন মহিলার মধ্য হতে কতভাবে 4 সদস্য বিশিষ্ট কমিটি গঠন করা যাবে যেখানে ঠিক 2 জন পুরুষ ও 2 জন মহিলা থাকবে?

সমাধান:
6 জন পুরুষ থেকে 2 জন বাছাইয়ের উপায় = 6C2
= 6!/(2! × 4!)
= (6 × 5)/(2 × 1)
= 15

4 জন মহিলা থেকে 2 জন বাছাইয়ের উপায় = 4C2
= 4!/(2! × 2!)
= (4 × 3)/(2 × 1)
= 6

∴ মোট কমিটি গঠনের উপায় = 15 × 6 = 90

৯০৯.
TRIANGLE শব্দটির অক্ষরগুলো থেকে প্রতিবার 3 টি অক্ষর নিয়ে কত উপায়ে বাছাই করা যায়?
  1. ক
    ক) 336
  2. খ
    খ) 56
  3. গ
    গ) 40320
  4. ঘ
    ঘ) 6720
ব্যাখ্যা

TRIANGLE শব্দটিতে 8 টি ভিন্ন ভিন্ন বর্ণ রয়েছে
∴ 3 টি অক্ষর নিয়ে বাছাই করার উপায় = 8c3
= 56

৯১০.
একটি বইয়ের তাকের উপর ৬টি বই রাখতে হবে। এগুলোকে কতভাবে সাজানো যায়?
  1. ক
    ১২০
  2. খ
    ৩৬০
  3. গ
    ৫০৪
  4. ঘ
    ৭২০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বইয়ের তাকের উপর ৬টি বই রাখতে হবে। এগুলোকে কতভাবে সাজানো যায়?

সমাধান:
বইয়ের তাকের উপর ৬টি বই রাখা যাবে ৬! = ৭২০ উপায়ে।
৯১১.
2টি আঙ্গুলে 5টি আংটি কত উপায়ে পরানো যেতে পারে? 
  1. ক
    ক) 10
  2. খ
    খ) 32
  3. গ
    গ) 25
  4. ঘ
    ঘ) 2
ব্যাখ্যা
এখানে,
আঙ্গুলের সংখ্যা n = 2
আংটির সংখ্যা r = 5

আংটিগুলো আঙ্গুলে পরানো যেতে পারে  =nr
                                                            = 25 = 32
৯১২.
একটি শ্রেণীকক্ষে 4 টা দরজা আছে। কতভাবে একজন শিক্ষক এক দরজা দিয়ে ঢুকে অন্য দরজা দিয়ে বের হতে পারেন?
  1. ক
    ক) 6
  2. খ
    খ) 12
  3. গ
    গ) 24
  4. ঘ
    ঘ) 18
ব্যাখ্যা

যেহেতু একটি দরজা দিয়ে প্রবেশ করে অন্য দরজা দিয়ে বের হতে হবে তাই ঢুকার সময় দরজা 4 টি থাকলেও বের হওয়ার সময় যেটা দিয়ে প্রবেশ করবে সেটা বাদ দিয়ে 3 টি দরজা থাকবে।
সুতরাং উপায় সংখ্যা = 4 × 3 = 12

৯১৩.
১০ জন লোক প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে করমর্দন করলে মোট কতবার করমর্দন করা হবে?
  1. ক
    ৪৫ বার
  2. খ
    ৪০ বার
  3. গ
    ১০০ বার
  4. ঘ
    ৯০ বার
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১০ জন লোক প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে করমর্দন করলে মোট কতবার করমর্দন করা হবে?

সমাধান:
এখানে মোট ব্যক্তির সংখ্যা, n = ১০
যেহেতু করমর্দন করতে ২ জন ব্যক্তির প্রয়োজন হয়, তাই করমর্দনের সংখ্যা হবে n সংখ্যক ব্যক্তি থেকে ২ জন ব্যক্তি কত উপায়ে বাছাই করা যায় তার সমান।

আমরা জানি, করমর্দনের সংখ্যা = nC২
= {n(n - ১)}/২
= {১০ × (১০ - ১)}/২
= (১০ × ৯)/২
= ৯০/২
= ৪৫

∴ মোট ৪৫ বার করমর্দন করা হবে।

৯১৪.
১, ১, ২, ২, ৩, ৩ সংখ্যাগুলো থেকে ৩ অঙ্কের কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যাবে?
  1. ক
    ক) ২৮
  2. খ
    খ) ২৬
  3. গ
    গ) ২৪
  4. ঘ
    ঘ) ২৭
ব্যাখ্যা

এখানে ৩টি সংখ্যা দুবার করে আছে।
সংখ্যাগুলো যে কোন ভাবে নিয়ে ৩৩= ২৭ টি সংখ্যা পাওয়া যায়।
কিন্তু এর মধ্যে ১১১, ২২২, ৩৩৩ তিনটি সংখ্যা আসবে যা গ্রহণযোগ্য নয়।
কেননা, সংখ্যাগুলো ২ বারের বেশি নেই।
∴ নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা = ২৭ – ৩ = ২৪।

৯১৫.
১৭টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও ৫টি স্বরবর্ণ থেকে ৩টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও ২টি স্বরবর্ণ নিয়ে মোট কতগুলি ভিন্ন ভিন্ন শব্দ গঠন করা যাবে (অবশ্যই ক্যালকুলেটর ছাড়া উত্তর করা সম্ভব)-
  1. ক
    ক) ৮৭০৯২৫
  2. খ
    খ) ১১৫৯০০
  3. গ
    গ) ৮১৬০০০
  4. ঘ
    ঘ) ৭৭৫
ব্যাখ্যা
১৭ টি ব্যঞ্জনবর্ণ থেকে ৩ টি ব্যঞ্জনবর্ণ নিয়ে বাছাই করার উপায়, ১৭C৩ এবং ৫ টি স্বরবর্ণ থেকে ২টি স্বরবর্ণ নিয়ে বাছাই করার উপায়, ৫C২।
একত্রে বাছাই করার উপায়, ১৭C৩×৫C৩।
আবার, ঐ ৫ টি অক্ষরকে তাদের নিজেদের মধ্যে ৫C৫ বা ৫! উপায়ে সাজানো যায়।
সুতরাং মোট শব্দ সংখ্যা ১৭C৩×৫C২×৫C৫ = ((১৭×১৬×১৫)/(৩×২×১)) × ((৫×৪)/(২×১)) × (৫×৪×৩×২×১) = ৮১৬০০০
৯১৬.
9 টি বলের মধ্যে 7টি লাল ও 2টি সাদা। দুইটি সাদা বল পাশাপাশি না রেখে বলগুলোকে যত প্রকারে সারিতে সাজানো যায় তা নির্ণয় করুন।
  1. ক
    0
  2. খ
    8
  3. গ
    28
  4. ঘ
    36
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 9 টি বলের মধ্যে 7টি লাল ও 2টি সাদা। দুইটি সাদা বল পাশাপাশি না রেখে বলগুলোকে যত প্রকারে সারিতে সাজানো যায় তা নির্ণয় করুন।

সমাধান:
 এখানে মোট 9টি বলের মধ্যে 7টি লাল এবং 2টি সাদা বল আছে।
∴ নির্ণেয় সাজানো সংখ্যা = 9!/(7! × 2!) 
= (9 × 8 × 7!)/(7! × 2 × 1)
= 9 × 4
=36

2টি সাদা বলকে একটি মনে করে মোট বল সংখ্যা (7+1) বা ৪টি।
৪টি বলের (যার মধ্যে 7টি লাল বল আছে) বিন্যাস সংখ্যা = 8!/7!
= (8 × 7!)/7!
= 8

∴ সাদা বল দুইটি পাশাপাশি না রেখে সাজানোর সংখ্যা = 36 - 8 
= 28 

৯১৭.
10 জন বালক ও 4 জন বালিকা থেকে 2 জন বালক ও 2 জন বালিকা কত উপায়ে বেছে নেওয়া যায়?
  1. ক
    270
  2. খ
    420
  3. গ
    1260
  4. ঘ
    560
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 10 জন বালক ও 4 জন বালিকা থেকে 2 জন বালক ও 2 জন বালিকা কত উপায়ে বেছে নেওয়া যায়?

সমাধান:
10 জন বালক থেকে 2 জন বালক বেছে নেওয়ার উপায় = 10C2
= 10!/{2!(10 - 2)!}
= 10!/(2! × 8!)
= (10 × 9 × 8!)/(2 × 1 × 8!)
= (10 × 9)/2
= 45

4 জন বালিকা থেকে 2 জন বালিকা বেছে নেওয়ার উপায় = 4C2
= 4!/{2!(4 - 2)!}
= 4!/(2! × 2!)
= (4 × 3 × 2!)/(2 × 1 × 2!)
= (4 × 3)/2
= 6

∴ মোট উপায় = 45 × 6 = 270

৯১৮.
যদি nC8 = nC2 হয়, তাহলে nC4 এর মান কত?
  1. ক
    210
  2. খ
    450
  3. গ
    840
  4. ঘ
    4540
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি nC8 = nC2 হয়, তাহলে nC4 এর মান কত?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
nCa = nCb হলে, a = b অথবা a + b = n হয় 
∴ nC8 = nC2
⇒ 8 + 2 = n
∴ n = 10

এখন, 
nC4 = 10C4 
= 210  ।
৯১৯.
MANGO শব্দের বিন্যাস ROSE শব্দের বিন্যাসের কতগুণ?
  1. ক
    6
  2. খ
    5
  3. গ
    4
  4. ঘ
    3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: MANGO শব্দের বিন্যাস ROSE শব্দের বিন্যাসের কতগুণ?

সমাধান:
MANGO এর বিন্যাস সংখ্যা = 5! = 120
ROSE এর বিন্যাস সংখ্যা = 4! = 24 
এখন,
MANGO শব্দের বিন্যাস সংখ্যা/ROSE শব্দের বিন্যাস সংখ্যা = 120/24
MANGO শব্দের বিন্যাস = 5 × ROSE শব্দের বিন্যাস সংখ্যা
৯২০.
'QUESTION' শব্দটি হতে প্রতিবারে 4 টি করে বর্ণ নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যায়?
  1. ক
    1420
  2. খ
    1460
  3. গ
    1630
  4. ঘ
    1680
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'QUESTION' শব্দটি হতে প্রতিবারে 4 টি করে বর্ণ নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যায়?

সমাধান:
'QUESTION' শব্দটিতে মোট বর্ণ = 8টি

∴ 'QUESTION' শব্দটির 4টি করে বর্ণ নিয়ে সাজানোর উপায় = 8P4
= 8!/(8! - 4!)
= 8!/4!
= 1680
৯২১.
'EVERYDAY' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা কত?
  1. ক
    6,720
  2. খ
    13,440
  3. গ
    10,080
  4. ঘ
    20,160
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'EVERYDAY' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা কত?

সমাধান:
'EVERYDAY' শব্দটিতে 8টি বর্ণ আছে। 
E আছে 2টি এবং Y আছে 2টি  
'EVERYDAY' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা x = 8!/(2! × 2!)
= 10,080
৯২২.
Find the value of 6p0.
  1. ক
    ক) 0
  2. খ
    খ) 1
  3. গ
    গ) -1
  4. ঘ
    ঘ) 6
ব্যাখ্যা

আমরা জানি, np0 = 1
∴ 6p0 = 1

৯২৩.
পরিসর ২৪০ এবং শ্রেণিসংখা ১০ হলে, শ্রেণি ব্যবধান কত?
  1. ক
    ২০
  2. খ
    ১১০
  3. গ
    ১২
  4. ঘ
    ২৪ 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: পরিসর ২৪০ এবং শ্রেণিসংখা ১০ হলে, শ্রেণি ব্যবধান কত?

সমাধান:
শ্রেণি সংখ্যা = পরিসর/শ্রেণি ব্যবধান
⇒ শ্রেণি ব্যবধান = পরিসর/শ্রেণি সংখ্যা
= ২৪০/১০
= ২৪ 

৯২৪.
'LEADER' শব্দটির অক্ষরগুলোকে কত উপায়ে সাজানো যায়? 
  1. ক
    144
  2. খ
    360
  3. গ
    72
  4. ঘ
    720
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'LEADER' শব্দটির অক্ষরগুলোকে কত উপায়ে সাজানো যায়? 

সমাধান: 
'LEADER' শব্দটির 6 টি অক্ষরের মধ্যে 'E' আছে 2 টি 
∴ নির্ণেয় সাজানোর উপায় = 6!/2! 
= (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)/(2 × 1) 
= 360 

∴ 360 উপায়ে সাজানো যায়।

৯২৫.
একজন শিক্ষার্থী 5টি বিষয়ের পরীক্ষায় অংশ নিচ্ছে। সেই শিক্ষার্থী কত উপায়ে পরীক্ষায় ফেল করতে পারে?
  1. ক
    16
  2. খ
    31
  3. গ
    63
  4. ঘ
    45
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একজন শিক্ষার্থী 5টি বিষয়ের পরীক্ষায় অংশ নিচ্ছে। সেই শিক্ষার্থী কত উপায়ে পরীক্ষায় ফেল করতে পারে?

সমাধান:
পরীক্ষার্থী পরীক্ষায় 1, 2, 3, 4, 5 এর মধ্যে যেকোনো সংখ্যক বিষয়ে ফেল করতে পারে।
∴ মোট ফেল করার উপায়,
= 5C1 + 5C2 + 5C3 + 5C4 + 5C5
= 5 + 10 + 10 + 5 + 1
= 31

৯২৬.
6c3 + 6c4 = ?
  1. ক
    ক) 6c5
  2. খ
    খ) 7c3
  3. গ
    গ) 7c4
  4. ঘ
    ঘ) 7c6
ব্যাখ্যা

ncr + ncr-1 = n+1cr
n = 6, r = 4 হলে,
6c3 + 6c4 = 7c4

মান হিসেবে খ) ও গ) সমান। তবে এই ক্ষেত্রে সূত্র হিসাব করা উচিত।
এসকল ক্ষেত্রে নিকট তম উত্তর বাছাই করতে হবে; এই টাইপের প্রশ্ন কিছু কিছু ক্ষেত্রে হয়।
আমাদের কাছে এই মুহূর্তে গনিতের এই প্যাটার্নের প্রশ্ন মনে পড়ছে না।
তবে ২৫তম বিসিএস এর সাধারণ জ্ঞান বাংলাদেশ অংশে " কিশোর সংশোধন কেন্দ্র কোথায় অবস্থিত? -- গাজীপুর, টঙ্গী, কোনাবাড়ি, ঢাকা --  এই চারটি অপশনের প্রথম তিনটি সঠিক। নিকটতম বিচারে টঙ্গী সঠিক।
এই প্রশ্নে সবচেয়ে গ্রহণযোগ্য হিসাবে গ) সঠিক উত্তর।

৯২৭.
একটি জনপ্রিয় ওয়েবসাইট ব্যবহারকারীদের শুধুমাত্র অঙ্ক দিয়ে একটি পাসওয়ার্ড তৈরি করতে বলে। এখানে কোনো অঙ্ক পুনরাবৃত্তি হতে পারবে না এবং প্রতিটি পাসওয়ার্ড অন্তত ৯টি অঙ্কের হতে হবে। কতগুলো পাসওয়ার্ড সম্ভব?
  1. ক
    9! × 10!
  2. খ
    2 × 10!
  3. গ
    20!
  4. ঘ
    9! + 10!
  5. ঙ
    19!
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি জনপ্রিয় ওয়েবসাইট ব্যবহারকারীদের শুধুমাত্র অঙ্ক দিয়ে একটি পাসওয়ার্ড তৈরি করতে বলে। এখানে কোনো অঙ্ক পুনরাবৃত্তি হতে পারবে না এবং প্রতিটি পাসওয়ার্ড অন্তত ৯টি অঙ্কের হতে হবে। কতগুলো পাসওয়ার্ড সম্ভব?

সমাধান:
শর্ত: শুধু অঙ্ক ব্যবহার করতে হবে (০-৯), ন্যূনতম ৯টি অঙ্ক থাকতে হবে এবং সর্বোচ্চ সম্ভাব্য দৈর্ঘ্য ১০ অঙ্ক (যেহেতু মোট ১০টি অঙ্ক আছে)।

 সম্ভাব্য পাসওয়ার্ড গণনা:
৯-অঙ্কের পাসওয়ার্ড = 10!/(10 - 9)! = 10!/1! = 10 × 9!
১০-অঙ্কের পাসওয়ার্ড = 10!

মোট পাসওয়ার্ড = ৯অঙ্কের পাসওয়ার্ড + ১০অঙ্কের পাসওয়ার্ড
= 10 × 9! + 10!
= 9! × 10 + 10 × 9!
= 20 × 9!
= 2 × 10!
৯২৮.
১, ২, ৩, ৪, ৫ এবং ৬ অঙ্কগুলো একবার ব্যবহার করে তিন-অংক বিশিষ্ট কতটি সংখ্যা তৈরি করা যাবে যেন সংখ্যাটি ২ দ্বারা বিভাজ্য হয়?
  1. ক
    ৩০ টি
  2. খ
    ৪০ টি
  3. গ
    ৬০ টি
  4. ঘ
    ১২০ টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১, ২, ৩, ৪, ৫ এবং ৬ অঙ্কগুলো একবার ব্যবহার করে তিন-অংক বিশিষ্ট কতটি সংখ্যা তৈরি করা যাবে যেন সংখ্যাটি ২ দ্বারা বিভাজ্য হয়?

সমাধান:
২ দ্বারা বিভাজ্য হতে হলে একক স্থানীয় অংকটি ২, ৪, বা ৬ হতে হবে। অর্থাৎ, শেষ অংকটি ২, ৪, অথবা ৬ হতে হবে, অর্থাৎ শেষ ঘরের জন্য ৩টি বিকল্প থাকবে। বাকি ৫টি অঙ্ক থেকে বাকি ২টি ঘর পূরণ করতে হবে।

∴ ১ম ঘর সাজানো যাবে ৫টি অঙ্ক দিয়ে
২য় ঘর সাজানো যাবে ৪টি অঙ্ক দিয়ে
৩য় ঘরে থাকবে ২, ৪, অথবা ৬ অর্থাৎ ৩টি অঙ্ক

∴ মোট সংখ্যা হবে = ৫ × ৪ × ৩ = ৬০টি
৯২৯.
9 টি বই থেকে 4 টি বই কত প্রকারে বাছাই করা যায় যেখানে 2 টি বই সর্বদা অন্তর্ভুক্ত থাকবে?
  1. ক
    ক) 84
  2. খ
    খ) 42
  3. গ
    গ) 36
  4. ঘ
    ঘ) 21
ব্যাখ্যা
9 টি বই থেকে 4 টি বই বাছাই করা যায় যেখানে 2 টি বই সর্বদা অন্তর্ভুক্ত থাকবে
= 9 - 2C4 - 2
= 7C2
= 7!/(2!5!)
= 6 × 7/2
= 21
৯৩০.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 অঙ্কগুলি প্রত্যেক সংখ্যায় কেবল একবার ব্যবহার করে 5 অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলি জোড় সংখ্যা গঠন করা যাবে?
  1. ক
    60 
  2. খ
    1414
  3. গ
    2880
  4. ঘ
    3000
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 অঙ্কগুলি প্রত্যেক সংখ্যায় কেবল একবার ব্যবহার করে 5 অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলি জোড় সংখ্যা গঠন করা যাবে?

সমাধান: 
জোড় সংখ্যা গঠনের জন্য শেষ সংখ্যা 0, 2, 4, 6 এর যে কোন একটি হতে হবে। 

5 অঙ্কবিশিষ্ট  জোড় সংখ্যা = 4C1 × 7C4 × 4!
= 4 × 35 × 24
= 3360

প্রথম অঙ্কটি শূন্য এমন 5 অঙ্কবিশিষ্ট  জোড় সংখ্যা = 3C1 × 6C3 × 3!
= 3 × 20 × 6
= 360 

প্রথম অঙ্কটি শূন্য  হলে তা মূলত চার অঙ্কের হয়ে যায়। 

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 অঙ্কগুলি প্রত্যেক সংখ্যায় কেবল একবার ব্যবহার করে 5 অঙ্কবিশিষ্ট জোড় সংখ্যা গঠন করা যাবে
= 3360 - 360 
= 3000 
৯৩১.
MONDAY শব্দটির সবগুলো অক্ষর নিয়ে কতটি শব্দ গঠন করা যাবে যার প্রথমে M থাকবে কিন্তু শেষে Y থাকবে না?
  1. ক
    ক) ১২০
  2. খ
    খ) ২৪
  3. গ
    গ) ৭২০
  4. ঘ
    ঘ) ৯৬
ব্যাখ্যা

MONDAY শব্দটিতে ৬ টি অক্ষর আছে। প্রথমে M রেখে বিন্যাস সংখ্যা 5! = 120
এবং প্রথমে M এবং শেষে Y রেখে বিন্যাস সংখ্যা 4! = 24
প্রথমে M থাকবে কিন্তু শেষে Y থাকবে না এমন
শব্দের বিন্যাস সংখ্যা (120 - 24) বা 96

৯৩২.
একটি অনুষ্ঠানে কিছু লোক উপস্থিত ছিল। তারা কেবল একজন মাত্র একজনের সাথে একবার করমর্দন করতে পারে। যদি মোট করমর্দনের সংখ্যা 210টি হয়, তবে মোট কতজন উপস্থিত ছিল?
  1. ক
    18 জন
  2. খ
    21 জন
  3. গ
    16 জন
  4. ঘ
    28 জন
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি অনুষ্ঠানে কিছু লোক উপস্থিত ছিল। তারা কেবল একজন মাত্র একজনের সাথে একবার করমর্দন করতে পারে। যদি মোট করমর্দনের সংখ্যা 210টি হয়, তবে মোট কতজন উপস্থিত ছিল?

সমাধান:
মনে করি,
মোট উপস্থিত = n জন
মোট করমর্দন = nC2

প্রশ্নমতে,
nC2 = 210
⇒ n!/(n - 2)! 2! = 210
⇒ n(n - 1)/1 × 2 = 210
⇒ n2 - n = 420
⇒ n2 - n - 420 = 0
⇒ n2 - 21n + 20n - 420 = 0
⇒ n(n - 21) + 20(n - 21) = 0
⇒ (n - 21) (n + 20) = 0

হয়, n - 21 = 0
∴ n = 21

অথবা, n + 20 = 0
∴ n = - 20
যা গ্রহণযোগ্য নয়। কেননা জনসংখ্যা কখনও ঋণাত্বক হতে পারে না।

∴ মোট উপস্থিত 21 জন।
৯৩৩.
(n + 1)!/(n - 2)! = ?
  1. ক
    n2
  2. খ
    1/(n2 - n)
  3. গ
    n2 - 2
  4. ঘ
    n3 - n
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (n + 1)!/(n - 2)! = ?

সমাধান:
(n + 1)!/(n - 2)! 
= (n + 1) × n × (n - 1) × (n - 2)!/(n - 2)! [কারণ (n + 1)! = (n + 1) n (n - 1) (n - 2)!]
= (n + 1) × n × (n - 1)
= n × (n + 1) × (n - 1)
= n × (n2 - 1)
= n3 - n

৯৩৪.
একটি ক্রিকেট টিমের কোচের 3টি খালি পদের জন্য প্রার্থী আছে 5 জন। খালি পদের সংখ্যা অপেক্ষা বেশি নয় এরূপ যে কোনো সংখ্যক প্রার্থীকে নির্বাচিত করা যেতে পারে। কত প্রকারে প্রার্থী নির্বাচিত করা যেতে পারে?
  1. ক
    20
  2. খ
    50
  3. গ
    25
  4. ঘ
    60
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ক্রিকেট টিমের কোচের 3টি খালি পদের জন্য প্রার্থী আছে 5 জন। খালি পদের সংখ্যা অপেক্ষা বেশি নয় এরূপ যে কোনো সংখ্যক প্রার্থীকে নির্বাচিত করা যেতে পারে। কত প্রকারে প্রার্থী নির্বাচিত করা যেতে পারে?

সমাধান:
3টি পদ খালি পদের জন প্রার্থী আছে 5 জন

1 জনকে নির্বাচিত করার উপায় = 5c1 = 5
2 জনকে নির্বাচিত করার উপায় = 5c2 = 10
3 জনকে নির্বাচিত করার উপায় = 5c3 = 10

∴ মোট উপায় = 5 + 10 + 10 = 25
৯৩৫.
৭ জন পুরুষ ও ৪ জন মহিলার মধ্য থেকে ৪ জনের একটি কমিটি গঠন করতে হবে। অন্তত ১ জন মহিলাকে নিয়ে মোট কত প্রকারের কমিটি গঠন হতে পারে?
  1. ক
    ৩০০
  2. খ
    ২৮০
  3. গ
    ২৯৫
  4. ঘ
    ৩২০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৭ জন পুরুষ ও ৪ জন মহিলার মধ্য থেকে ৪ জনের একটি কমিটি গঠন করতে হবে। অন্তত ১ জন মহিলাকে নিয়ে মোট কত প্রকারের কমিটি গঠন হতে পারে?
 
সমাধান:
কমিটিতে অত্যন্ত ১ জন মহিলা থাকবে।
পুরুষ (৭ জন)      -      মহিলা (৪ জন)
৩ জন                 -          ১ জন
২ জন                 -         ২ জন
১ জন                 -         ৩ জন
০ জন                 -         ৪ জন
 
মোট কমিটি গঠন হতে পারে 
(7C3 × 4C1 )+ (7C2 × 4C2) + (7C1 × 4C3)+ (7C0 × 4C4)
= (35 × 4) + (21 × 6) + (7 × 4) + (1 × 1)
= 140 + 126 + 28 + 1
= 295
৯৩৬.
একটি সভা শেষে উপস্থিত লোকজন প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে হ্যান্ডশেক করলো। সভায় উপস্থিত লোকের সংখ্যা 20 জন হলে হ্যান্ডশেকের সংখ্যা কত?
  1. ক
    152
  2. খ
    175
  3. গ
    180
  4. ঘ
    190
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সভা শেষে উপস্থিত লোকজন প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে হ্যান্ডশেক করলো। সভায় উপস্থিত লোকের সংখ্যা 20 জন হলে হ্যান্ডশেকের সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
লোকের সংখ্যা = 20

∴  হ্যান্ডশেকের সংখ্যা = 20C2
= 20!/{2! × (20 - 2)!} 
= 20!/(2! × 18!)
= (20 × 19 × 18!)/(2! × 18!)
= 190

৯৩৭.
10টি পুস্তক হতে 5টি পুস্তক কতভাবে বাছাই করা যাবে যেখানে 2টি পুস্তক সর্বদা অন্তর্ভুক্ত থাকবে?
  1. ক
    ক) 120
  2. খ
    খ) 60
  3. গ
    গ) 56
  4. ঘ
    ঘ) 252
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন- 10টি পুস্তক হতে 5টি পুস্তক কতভাবে বাছাই করা যাবে যেখানে 2টি পুস্তক সর্বদা অন্তর্ভুক্ত থাকবে?

সমাধান-
2টি পুস্তক সর্বদা অন্তর্ভুক্ত থাকলে 10 - 2 = 8টি পুস্তক হতে 5 - 2 = 3টি পুস্তক বাছাই করতে হবে।

মোট বাছাই সংখ্যা = 8c3 = 56
৯৩৮.
SCIENCE শব্দটির বর্ণগুলোকে মোট কত উপায়ে সাজানো যায়?
  1. ক
    1266
  2. খ
    1268
  3. গ
    1272
  4. ঘ
    1260
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: SCIENCE শব্দটির বর্ণগুলোকে মোট কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
SCIENCE শব্দটিতে,
মোট বর্ণসংখ্যা = 7 টি 
এর মধ্যে C = 2 টি এবং  E = 2 টি ।

∴  মোট বিন্যাস সংখ্যা = 7!/(2! × 2!)
= (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2)/(2 × 2)
= 1260

৯৩৯.
nPr = 240, nCr = 120 হলে, r এর মান কত?
  1. ক
    0
  2. খ
    4
  3. গ
    - 2
  4. ঘ
    2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: nPr = 240, nCr = 120 হলে, r এর মান কত?

সমাধান:
nPr = 240, nCr = 120 
আমরা জানি,
nPr/nCr = r!
বা, 240/120 = r!
বা, 2 = r!
বা, 2! = r!
বা, r = 2
৯৪০.
AMERICA শব্দটির বর্ণগুলোর বিন্যাস সংখ্যা কত?
  1. ক
    2520
  2. খ
    5040
  3. গ
    720
  4. ঘ
    1680
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: AMERICA শব্দটির বর্ণগুলোর বিন্যাস সংখ্যা কত?

সমাধান:
AMERICA শব্দটির মোট অক্ষর 7 টি, যার মধ্যে 2টি A।
সুতরাং মোট বিন্যাস সংখ্যা = 7!/2! = 2520
৯৪১.
৭ জন ব্যাক্তিকে একটি গোল টেবিলে কতভাবে বসানো যাবে?
  1. ক
    ১৮০
  2. খ
    ৪২০
  3. গ
    ৩৬০
  4. ঘ
    ৭২০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৭ জন ব্যাক্তিকে একটি গোল টেবিলে কতভাবে বসানো যাবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক ব্যক্তিকে একটি গোল টেবিলে বসানো যাবে = (n - 1)!
7 জনকে নিয়ে বৈঠক করা যায় = (7 - 1)!
= 6!
= 720
৯৪২.
12 টি বই হতে 4টি বই কতভাবে বাছাই করা যায়, যেখানে 1টি নির্দিষ্ট বই সর্বদাই অন্তভুক্ত থাকবে?
  1. ক
    ক) 990
  2. খ
    খ) 495
  3. গ
    গ) 220
  4. ঘ
    ঘ) 165
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 12 টি বই হতে 4টি বই কতভাবে বাছাই করা যায়, যেখানে 1টি নির্দিষ্ট বই সর্বদাই অন্তভুক্ত থাকবে?

সমাধান:
12 টি বই হতে 4টি বই বাছাই করা যাবে যেখানে 1টি বই সর্বদা অন্তভুক্ত থাকবে এরুপ বাছাই সংখ্যা = 12 - 1C4 - 1
= 11C3
= 165
৯৪৩.
একটি প্রশ্নের দুইটি গ্রুপে ৫টি করে মোট ১০টি প্রশ্ন আছে। একজন পরীক্ষার্থীকে মোট ৬টি প্রশ্নের উত্তর দিতে হইবে এই শর্তে যে সে কোন গ্রুপ থেকেই ৪ টি প্রশ্নের বেশি উত্তর দিতে পারবে না। সে কতভাবে প্রশ্নগুলো বাছাই করতে পারে?
  1. ক
    ক) ৫০
  2. খ
    খ) ২০০
  3. গ
    গ) ১০০
  4. ঘ
    ঘ) ২৪০
ব্যাখ্যা
একজন পরীক্ষার্থী নিম্নভাবে প্রশ্নগুলো বাছাই করতে পারেন -

A-group ৫ টি প্রশ্ন | B–group (৫ টি প্রশ্ন) -
(i) ৪ | ২
(ii) ৩ | ৩
(iii) ২ | ৪

(i) নং এর ক্ষেত্রে বাছাই সংখ্যা = ৫C৪ × ৫C২ = (⌊৫/⌊৪⌊১)×(⌊৫/⌊২⌊৩) = ৫×(৫.৪/২) = ৫০
(ii) নং এর ক্ষেত্রে বাছাই সংখ্যা = ৫C৩ × ৫C৩ = (৫.৪.৩/৬)×৫.২ = ১০০
(iii) নং এর ক্ষেত্রে বাছাই সংখ্যা = ৫C২ × ৫C৪ = ১০×৫ = ৫০
মোট বাছাই সংখ্যা = ৫০+১০০+৫০ = ২০০।
৯৪৪.
একটি প্রফেসর পদের জন্য 3 জন প্রার্থী এবং 5 জন লোকের ভোটে একজন নির্বাচিত হলে, কত উপায়ে ভোট দেওয়া যেতে পারে?
  1. ক
    210
  2. খ
    520
  3. গ
    343
  4. ঘ
    243
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি প্রফেসর পদের জন্য 3 জন প্রার্থী এবং 5 জন লোকের ভোটে একজন নির্বাচিত হলে, কত উপায়ে ভোট দেওয়া যেতে পারে?

সমাধান:
প্রার্থী সংখ্যা = 3 জন
ভোটদাতা সংখ্যা = 5 জন

∴ মোট ভোট দেওয়ার উপায় = (প্রার্থী)ভোটার
= 35
= 243

এতএব, 243 উপায়ে ভোট দেওয়া যেতে পারে।
৯৪৫.
HAITI শব্দটির বর্ণগুলো থেকে প্রতিবার 3টি বর্ণ নিয়ে কতগুলো ভিন্ন ভিন্ন শব্দ গঠন করা যায়?
  1. ক
    ক) 33
  2. খ
    খ) 60
  3. গ
    গ) 216
  4. ঘ
    ঘ) 120
ব্যাখ্যা

HAITI শব্দটিতে মোট 5টি বর্ণ আছে যাদের দু'টি I;
প্রতিবার 3টি বর্ণ নিয়ে শব্দ গঠন করার ক্ষেত্রে-
(i) 2টি I অন্য একটি ভিন্ন অক্ষর
(ii) সবগুলো অক্ষর ভিন্ন ভিন্ন।

(i) এর ক্ষেত্রে গঠিত শব্দ সংখ্যা = 1 × 3c1 × 3!/2! = 9
(ii) এর ক্ষেত্রে গঠিত শব্দ সংখ্যা = 4p3 = 24

∴ মোট শব্দ সংখ্যা = 9 + 24 = 33

৯৪৬.
৪, ৫ ও ৬ অঙ্কগুলো একবার ব্যবহার করে তিন অঙ্কের কতটি বিজোড় সংখ্যা গঠন করা যাবে?
  1. ক
    ৩টি
  2. খ
    ২টি
  3. গ
    ৫টি
  4. ঘ
    ৬টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৪, ৫ ও ৬ অঙ্কগুলো একবার ব্যবহার করে তিন অঙ্কের কতটি বিজোড় সংখ্যা গঠন করা যাবে?

সমাধান:
৪, ৫ ও ৬ দ্বারা তিন অঙ্কের বিজোড় সংখ্যা গঠন করতে হলে একক স্থানীয় অঙ্কটি অবশ্যই ৫ হতে হবে।

এখানে,
৪, ৫ ও ৬ এর মোট বিন্যাস সংখ্যা = ৩! = ৬
একটি উপাদানের বিন্যাস সংখ্যা = মোট বিন্যাস /উপাদান সংখ্যা
= ৬/৩
= ২

∴ তিন অঙ্কের ২টি বিজোড় সংখ্যা গঠন করা যাবে।
৯৪৭.
৫ জন ব্যাক্তিকে একটি গোল টেবিলে কতভাবে বসানো যাবে?
  1. ক
    ১০ 
  2. খ
    ১৫
  3. গ
    ২৪
  4. ঘ
    ৩৫
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৫ জন ব্যাক্তিকে একটি গোল টেবিলে কতভাবে বসানো যাবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক ব্যক্তিকে একটি গোল টেবিলে বসানো যাবে = (n - ১)! উপায়ে 

 ৫ জন ব্যক্তিকে গোল টেবিলে বসানো যাবে = (৫ - ১)!
= ৪!
= ২৪ উপায়ে

৯৪৮.
10 জন ব্যক্তিকে একটি গোলটেবিলে কতভাবে বসানো যেতে পারে?
  1. ক
    8,80,362
  2. খ
    3,62,880
  3. গ
    8,03,632
  4. ঘ
    5,63,214
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 10 জন ব্যক্তিকে একটি গোলটেবিলে কতভাবে বসানো যেতে পারে?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক ব্যক্তিকে একটি গোলটেবিলে বসানোর উপায় = (n - 1)!

∴ 10 জন ব্যক্তিকে একটি গোলটেবিলে বসানোর উপায় = (10 - 1)!
= 9! = 3,62,880

৯৪৯.
RAJSHAHI ও BARISAL শব্দের বিন্যাস সংখ্যার অনুপাত কত? 
  1. ক
    2 : 3
  2. খ
    4 : 1
  3. গ
    2 : 1
  4. ঘ
    4 : 3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: RAJSHAHI ও BARISAL শব্দের বিন্যাস সংখ্যার অনুপাত কত? 

সমাধান: 
RAJSHAHI শব্দের বিন্যাস সংখ্যা = 8!/(2! × 2!) = 10080 
আবার, 
BARISAL শব্দের বিন্যাস সংখ্যা = 7!/2! = 2520 

∴ RAJSHAHI ও BARISAL শব্দের বিন্যাস সংখ্যার অনুপাত = 10080 : 2520 
= 4 : 1  । 
৯৫০.
যদি nPr = 1920 এবং nCr = 80 হয়, তাহলে r এর মান কত?
  1. ক
    5
  2. খ
    2
  3. গ
    4
  4. ঘ
    3
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি nPr = 1920 এবং nCr = 80 হয়, তাহলে r এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
nPr = 1920 এবং nCr = 80

আমরা জানি,
nPr​ = nCr​ × r!
⇒ 1920 = 80 × r!
​⇒ r! = 1920/80
⇒ r! = 24
⇒ r! = 4!
∴ r = 4

৯৫১.
'EQUATION' শব্দের অক্ষরগুলো থেকে মোট কতটি 6 অক্ষরবিশিষ্ট শব্দ গঠন করা যাবে? 
  1. ক
    20560 টি
  2. খ
    20960 টি
  3. গ
    20160 টি
  4. ঘ
    20220 টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'EQUATION' শব্দের অক্ষরগুলো থেকে মোট কতটি 6 অক্ষরবিশিষ্ট শব্দ গঠন করা যাবে? 

সমাধান: 
EQUATION শব্দটিতে বর্ণ আছে = 8 টি যার সবগুলোই ভিন্ন।
∴ 6 টি করে বর্ণ নিয়ে শব্দ গঠন করা যাবে = 8P6 
= 20160 টি ।
৯৫২.
একটি পুনর্মিলনীতে ১৫ জন বন্ধু পরস্পরের সাথে পুনর্মিলনীর শুরু এবং শেষে করমর্দন করে। মোট কত বার করমর্দন সম্পন্ন হয়?
  1. ক
    ১০৫
  2. খ
    ১১৫
  3. গ
    ২১০
  4. ঘ
    ২১৫
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি পুনর্মিলনীতে ১৫ জন বন্ধু পরস্পরের সাথে পুনর্মিলনীর শুরু এবং শেষে করমর্দন করে। মোট কত বার করমর্দন সম্পন্ন হয়?

সমাধান:
শুরুতে করমর্দন সংখ্যা = 15C2
= 105
শেষে করমর্দন সংখ্যা = 15C2
= 105

∴ মোট করমর্দন সম্পন্ন হয় = 105 + 105 = 210
৯৫৩.
“EQUATION" শব্দটি হতে প্রতিবারে তিনটি করে অক্ষর নিয়ে কতভাবে বিন্যস্ত করা যায়?
  1. ক
    56
  2. খ
    330
  3. গ
    332
  4. ঘ
    336
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: “EQUATION" শব্দটি হতে প্রতিবারে তিনটি করে অক্ষর নিয়ে কতভাবে বিন্যস্ত করা যায়?

সমাধান:
“Equation" শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 8টি

প্রতিবারে 3টি করে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = 8P3
= 336
৯৫৪.
0, 1, 2, 3, 4 অংকগুলি দ্বারা কতগুলি পাঁচ অংকের অর্থপূর্ণ সংখ্যা গঠন করা যাবে?
  1. ক
    24
  2. খ
    96
  3. গ
    120
  4. ঘ
    144
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 0, 1, 2, 3, 4 অংকগুলি দ্বারা কতগুলি পাঁচ অংকের অর্থপূর্ণ সংখ্যা গঠন করা যাবে?
 
সমাধান:
মোট বিন্যাস সংখ্যা = 5! = 120
 
0 কে প্রথমে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 4! = 24

∴ পাঁচ অঙ্কের অর্থপূর্ণ সংখ্যা = (120 - 24)
= 96
৯৫৫.
13টি পুস্তক থেকে 7টি কত প্রকারে বাছাই করা যায় যেখানে 2টি পুস্তক সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে?
  1. ক
    462
  2. খ
    167
  3. গ
    84
  4. ঘ
    1716
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 13টি পুস্তক থেকে 7টি কত প্রকারে বাছাই করা যায় যেখানে 2টি পুস্তক সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে?
 
সমাধান:
13 টি পুস্তক হতে সর্বদা দুইটি অন্তর্ভুক্ত রেখে 7 টি বাছাই করা যায় =  (13 - 2)C(7 - 2) = 11C5 = 462
৯৫৬.
7 জন পুরুষ ও 4 জন মহিলা থেকে কত উপায়ে 4 জন পুরুষ ও 2 জন মহিলা বিশিষ্ট দল তৈরি করা যাবে?
  1. ক
    290 উপায়
  2. খ
    250 উপায়
  3. গ
    210 উপায়
  4. ঘ
    192 উপায়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 7 জন পুরুষ ও 4 জন মহিলা থেকে কত উপায়ে 4 জন পুরুষ ও 2 জন মহিলা বিশিষ্ট দল তৈরি করা যাবে?

সমাধান:
এখানে,
7 জন পুরুষ থেকে 4 জন পুরুষ এবং 4 জন মহিলা থেকে 2 জন মহিলা বাছাই করতে হবে.

7 জন পুরুষ থেকে 4 জন পুরুষ বাছাই করার উপায় = 7C4
= 7!/{4! × (7 - 4)!}
= (7 × 6 × 5 × 4!)/(4! × 3!)
= (7 × 6 × 5)/(3 × 2)
= 35

4 জন মহিলা থেকে 2 জন মহিলা বাছাই করার উপায় = 4C2
= 4!/{2! × (4 - 2)!}
= (4 × 3 × 2!)/(2! × 2!)
= (4 × 3)/(2 × 1)
= 6

∴ মোট উপায়  = (35 × 6) = 210 উপায়
৯৫৭.
ঈদগাহে ঈদের নামাজ শেষে একে অপরের সাথে শুভেচ্ছা সংখ্যা ৫৫ হলে ঈদগাহে নামাজীর সংখ্যা কত? 
  1. ক
    ক) 8
  2. খ
    খ) 9
  3. গ
    গ) 10
  4. ঘ
    ঘ) 11
ব্যাখ্যা
ধরি,
নামাজীর সংখ্যা= n, 

∴ মোট শুভেচ্ছা সংখ্যা nc2 = 55
বা, {(n)(n - 1)}/2 = 55
বা, (n2 - n)/2 = 55
বা, n2 - n = 110
বা, n2 - n - 110 = 0
বা, n2 - 11n + 10n - 110 = 0
বা, n(n - 11) + 10(n - 11) = 0
বা, (n - 11)(n + 10) = 0

হয়                                অথবা 
n - 11 = 0                     n + 10 = 0
n = 11                            n = - 10 [গ্রহণযোগ্য নয় ]
৯৫৮.
একটি স্কুলের মাসিক সভা শেষে উপস্থিত ম্যানেজিং কমিটির সদস্যবৃন্দ প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে করমর্দন করলো। করমর্দন সংখ্যা 120 হলে, সদস্য সংখ্যা কত? 
  1. ক
    16 জন
  2. খ
    19 জন
  3. গ
    15 জন
  4. ঘ
    18 জন
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি স্কুলের মাসিক সভা শেষে উপস্থিত ম্যানেজিং কমিটির সদস্যবৃন্দ প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে করমর্দন করলো। করমর্দন সংখ্যা 120 হলে, সদস্য সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি, মোট সদস্য সংখ্যা = n জন  

প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে করমর্দন করেছে, অর্থাৎ প্রতিটি জোড়া একবারই করমর্দন করেছে।  
∴ মোট করমর্দনের সংখ্যা = দুই জনের মধ্যে নির্বাচনের সংখ্যা = nC2
= n!/2!(n - 2)
= n(n - 1)/2

প্রশ্নমতে,
n(n - 1)/2 = 120
⇒ n2 - n - 240 = 0
⇒ n2 - 16n + 15n - 240 = 0
⇒ n(n - 16) + 15(n - 16) = 0
⇒ (n - 16)(n + 15) = 0
হয়, 
n - 16 = 0
∴ n = 16
অথবা, 
n + 15 = 0
∴ n = - 15  ; [যা গ্রহণযোগ্য নয়] 

∴ সদস্য সংখ্যা = 16 জন

৯৫৯.
'LAUGHTER' শব্দটির বর্ণগুলোকে কত প্রকারে সাজানো যায়?
  1. ক
    20160
  2. খ
    40320
  3. গ
    5050
  4. ঘ
    35280
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'LAUGHTER' শব্দটির বর্ণগুলোকে কত প্রকারে সাজানো যায়?

সমাধান:
LAUGHTER শব্দটিতে মোট 8টি বর্ণ আছে এবং সবকটি বর্ণ ভিন্ন।

সুতরাং, ভিন্ন 8টি বর্ণকে সাজানোর সংখ্যা = 8!
= 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
= 40320

৯৬০.
'TRIANGLE' শব্দটির অক্ষরগুলি কত রকমে সাজানো যায়?
  1. ক
    ক) ৪০৩২০টি
  2. খ
    খ) ৪০৩০০টি
  3. গ
    গ) ৪০০০০টি
  4. ঘ
    ঘ) ৪০৩৫০টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'TRIANGLE' শব্দটির অক্ষরগুলি কত রকমে সাজানো যায়?

সমাধান:
'TRIANGLE' শব্দটিতে মোট ৮টি অক্ষর আছে। এ অক্ষরগুলি সবই ভিন্ন।
∴ সবগুলি অক্ষর একবারে নিয়ে এদেরকে মোট ৮P৮ = ৮!
= ৪০৩২০ রকমে সাজানো যায়।
৯৬১.
একটি কলেজের অধ্যাপকের ৩টি খালি পদের জন্য 10জন প্রার্থী আছেন। খালি পদের সংখ্যা অপেক্ষা বেশি নয় এরূপ যে কোন সংখ্যক প্রার্থীকে নির্বাচন করা যেতে পারে। কত প্রকারে প্রার্থী নির্বাচন করা যেতে পারে?
  1. ক
    170
  2. খ
    175
  3. গ
    180
  4. ঘ
    190
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি কলেজের অধ্যাপকের ৩টি খালি পদের জন্য 10জন প্রার্থী আছেন। খালি পদের সংখ্যা অপেক্ষা বেশি নয় এরূপ যে কোন সংখ্যক প্রার্থীকে নির্বাচন করা যেতে পারে। কত প্রকারে প্রার্থী নির্বাচন করা যেতে পারে?

সমাধান: 
 3টি খালি পদের জন্য প্রার্থী আছেন = 10জন
1 জনকে নির্বাচন করার উপায় = 10C1
2 জনকে নির্বাচন করার উপায় = 10C2
3 জনকে নির্বাচন করার উপায় = 10C3

মোট উপায় = 10C1 +10C2 +10C3
= 10 + 45 + 120
= 175
৯৬২.
যদি 8Pr = 336 হয় তবে r = কত?
  1. ক
    ক) 2
  2. খ
    খ) 3
  3. গ
    গ) 5
  4. ঘ
    ঘ) 7
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি 8Pr = 336 হয় তবে r = কত?

সমাধান:
8Pr = 336
বা, 8!/(8 - r)! = 6 × 7 × 8
বা, (8 - r)! × 6 × 7 × 8 = 8!
বা, (8 - r)! × 6 × 7 × 8 = 8 × 7 × 6 × 5!
বা, (8 - r)! = 8 × 7 × 6 × 5!/6 × 7 × 8
বা, (8 - r)! = 5!
বা, 8 - r = 5
বা, r = 8 - 5
∴ r = 3
৯৬৩.
"ELEPHANT" শব্দটির অক্ষরগুলোকে কতভাবে সাজানো যেতে পারে, যদি সব স্বরবর্ণ (E, E, A) একসাথে থাকে?
  1. ক
    720
  2. খ
    1440
  3. গ
    2160
  4. ঘ
    4320
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: "ELEPHANT" শব্দটির অক্ষরগুলোকে কতভাবে সাজানো যেতে পারে, যদি সব স্বরবর্ণ (E, E, A) একসাথে থাকে? 

সমাধান: 
ELEPHANT শব্দটির মোট অক্ষর আছে = 8 টি (E, L, E, P, H, A, N, T)
স্বরবর্ণ আছে = 3 টি (E, E, A)
ব্যঞ্জনবর্ণ আছে = 5 টি (L, P, H, N, T) 

এখন, 
ELEPHANT শব্দে স্বরবর্ণ আছে 3 টি (E, E, A) যার মধ্যে 2 টি (E) 
∴ স্বরবর্ণগুলোকে সাজানো যাবে = 3!/2!
= 3 ভাবে। 

আবার, 
স্বরবর্ণ (E, E, A)গুলোকে একত্রে ধরলে অক্ষর হয় = EEA, L, P, H, N, T 
এই ৬টি বর্ণকে সাজানো যাবে = 6!
= 720 ভাবে 

∴ স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট বিন্যাস = (720 × 3)
= 2160 ।
৯৬৪.
যদি nC15 = nC9 হয়, তবে 24Cn এর মান কত?
  1. ক
    0
  2. খ
    231
  3. গ
    120
  4. ঘ
    1
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি nC15 = nC9 হয়, তবে 24Cn এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
nC15 = nC9
⇒ nCn - 15 = nC9 
⇒ n - 15 = 9
∴ n = 15 + 9 = 24 

সুতরাং, প্রদত্ত রাশি, 
= 24Cn
= 24C24  ; [n = 24]
= 1

৯৬৫.
3 জন বালক ও 5 জন বালিকাকে এক সারিতে রেখে কতভাবে সাজানো যায় যেখানে 3 জন বালক সর্বদা একত্রে থাকবে?
  1. ক
    4580
  2. খ
    2560
  3. গ
    5240
  4. ঘ
    4320
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3 জন বালক ও 5 জন বালিকাকে এক সারিতে রেখে কতভাবে সাজানো যায় যেখানে 3 জন বালক সর্বদা একত্রে থাকবে?

সমাধান:
মোট বালক বালিকা = (3 + 5 ) = 8 জন

তিন জন বালক একত্রে থাকলে তিন জনকে একজন ধরতে হয়
এক্ষেত্রে মোট সংখ্যা = (1 + 5) জন
= 6 জন

6 জন কে সাজানো যায় = 6!
3 জন বালক নিজেদের মধ্যে কে সাজানো যায় = 3!

সুতরাং, একত্রে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 6! × 3!
= (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) × (3 × 2 × 1)
= 720 × 6 = 4320

৯৬৬.
nC12 = nC16 হলে nC27 = কত?
  1. ক
    ক) 4
  2. খ
    খ) 28
  3. গ
    গ) 26
  4. ঘ
    ঘ) 24
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: nC12 = nC16 হলে nC27 = কত?

সমাধান:
nC12 = nC16 
⇒ n = 12 + 16 [ যেহেতু, nCx = nCy হলে n = x + y]
∴ n = 28

এখন,
nC27
 = 28C27
= 28C28 - 27
= 28C1
= 28

∴ nC27 = 28
৯৬৭.
একটি ফুটবল টুর্নামেন্টে প্রতিটি দল একে অপরের সাথে একবার করে খেললো। যদি মোট 190টি ম্যাচ খেলা হয়, তাহলে টুর্নামেন্টে মোট কতটি দল অংশগ্রহণ করেছিল?
  1. ক
    20
  2. খ
    15
  3. গ
    25
  4. ঘ
    18
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ফুটবল টুর্নামেন্টে প্রতিটি দল একে অপরের সাথে একবার করে খেললো। যদি মোট 190টি ম্যাচ খেলা হয়, তাহলে টুর্নামেন্টে মোট কতটি দল অংশগ্রহণ করেছিল?

সমাধান:
মনে করি,
টুর্নামেন্টে n সংখ্যক দল অংশগ্রহণ করেছিল।
প্রতিটি ম্যাচ খেলার জন্য 2টি দলের প্রয়োজন হয়।
সুতরাং, মোট ম্যাচের সংখ্যা হবে nC2

প্রশ্নমতে,
nC2 = 190
⇒ n!/2!(n - 2)! = 190
⇒ {n × (n - 1)×(n - 2)!}/{2!(n - 2)!} = 190 [n! = n × (n - 1) × (n - 2)!]
⇒ n(n - 1)/2 = 190
⇒ n(n - 1) = 190 × 2
⇒ n(n - 1) = 380
⇒ n2 - n - 380 = 0
⇒ n2 - 20n + 19n - 380 = 0
⇒ n(n - 20) + 19(n - 20) = 0
⇒ (n + 19)(n - 20) = 0

হয় n + 19 = 0 অথবা n - 20 = 0
⇒ n = - 19 অথবা n = 20

যেহেতু দলের সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই n = - 19 গ্রহণযোগ্য নয়।
সুতরাং, n = 20

অতএব, ঐ টুর্নামেন্টে 20টি দল অংশগ্রহণ করেছিল।

৯৬৮.
যদি 6Pr = 120 এবং 6Cr = 20 হয় তাহলে r এর মান কত?
  1. ক
    3
  2. খ
    4
  3. গ
    6
  4. ঘ
    5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি 6Pr = 120 এবং 6Cr = 20 হয় তাহলে r এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
nPr = n!/(n - r)!
এবং
nCr = n!/(n - r)!r!
nCr = {n!/(n - r)!} × (1/r!)
⇒ nCr = nPr × (1/r!)
⇒ 6Cr = 6Pr × (1/r!)
⇒ 6Pr = 6Cr × r!
⇒ 120 = 20 × r!
⇒ r! = 6
⇒ r! = 3!
∴ r = 3
৯৬৯.
"ADVANCED" শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা "FRESH" শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?
  1. ক
    84 গুণ
  2. খ
    72 গুণ
  3. গ
    64 গুণ
  4. ঘ
    54 গুণ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: "ADVANCED" শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা "FRESH" শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?

সমাধান:
"ADVANCED" শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে ৪টি যার মধ্যে, A আছে 2টি, এবং D আছে 2 টি।
"ADVANCED" শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা = ৪!/(2! × 2!) = 10080

"FRESH" শব্দে মোট ১টি বর্ণ আছে এবং সবগুলো ভিন্ন ভিন্ন।
শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা = 5! = 120

∴ "ADVANCED" শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা "FRESH" শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার 10080/120 = 84 গুণ
৯৭০.
একটি অনুষ্ঠানে কিছু লােক উপস্থিত ছিল। তারা কেবল একজন মাত্র একজনের সাথে একবার করমর্দন করতে পারবে। যদি করমর্দনের সংখ্যা ৩০০ হয়, তাহলে ঐ অনুষ্ঠানে কতজন লােক ছিল?
  1. ক
    ২৪
  2. খ
    ২৫
  3. গ
    ৩০
  4. ঘ
    ৬০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি অনুষ্ঠানে কিছু লােক উপস্থিত ছিল। তারা কেবল একজন মাত্র একজনের সাথে একবার করমর্দন করতে পারবে। যদি করমর্দনের সংখ্যা ৩০০ হয়, তাহলে ঐ অনুষ্ঠানে কতজন লােক ছিল?

সমাধান:
মনে করি,
ঐ অনুষ্ঠানে n সংখ্যক লোক উপস্থিত ছিল।
প্রশ্নানুসারে, 
nC2 = 300
⇒ n!/{2!(n - 2)!} = 300
⇒ {n(n - 1)(n - 2)!}/{2!(n - 2)!} = 300
⇒ n(n - 1)/2 = 300
⇒ n(n - 1) = 600
⇒ n2 - n - 600 = 0
⇒ n2 - 25n + 24n - 600 = 0
⇒ n(n - 25) + 24(n - 25) = 0
⇒ (n + 24)(n - 25) = 0

n = 25 কিন্তু n এর মান - 24 গ্রহণযোগ্য নয়। [কারণ n এর মান ঋণাত্মক]
সুতরাং ঐ অনুষ্ঠানে 25 জন লোক ছিল।
৯৭১.
প্রত্যেকটি অঙ্ক কেবল একবার ব্যবহার করে 3, 4, 5 দ্বারা কতগুলো দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা গঠন করা যায়?
  1. ক
    ক) 8
  2. খ
    খ) 6
  3. গ
    গ) 9
  4. ঘ
    ঘ) 12
ব্যাখ্যা

3, 4 ও 5 অর্থাৎ মোট 3 টি অঙ্ক থেকে 2 টি করে নিয়ে সংখ্যা গঠন করা যায় - 3P2 = 6 টি

৯৭২.
FLOOD শব্দের সবগুলো অক্ষর একত্রে নিয়ে গঠিত বিন্যাস সংখ্যা কত?
  1. ক
    120
  2. খ
    100
  3. গ
    60
  4. ঘ
    45
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: FLOOD শব্দের সবগুলো অক্ষর একত্রে নিয়ে গঠিত বিন্যাস সংখ্যা কত?

সমাধান:
FLOOD শব্দে মোট 5 টি অক্ষর আছে, যাদের 2 টি O, বাকিগুলো ভিন্ন ভিন্ন।
সুতরাং সবগুলো অক্ষর একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = 5!/2!
= 60
৯৭৩.
'DREAM' শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?
  1. ক
    60 টি
  2. খ
    48 টি
  3. গ
    320 টি
  4. ঘ
    120 টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'DREAM' শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?

সমাধান:
DREAM শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 5 টি, Vowel আছে 2টি।
Vowel দুইটিকে একটি ধরে মোট বর্ণ = 4টি

4টি বর্ণকে সাজানো যায় = 4!
Vowel দুইটি সাজানো যায় = 2!

∴ স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট সাজানো যাবে = 4! × 2!
= 24 × 2
= 48

∴ "DREAM" শব্দটির স্বরবর্ণগুলো একত্রে রেখে মোট 48টি উপায়ে সাজানো যাবে।
৯৭৪.
রহিম ও রফিকের যথাক্রমে 8টি এবং 10টি বই আছে। যদি একটির পরিবর্তে একটি বই বিনিময় করে তারা কত প্রকারে বইগুলো বিনিময় করতে পারবে? 
  1. ক
    ক) 50
  2. খ
    খ) 60
  3. গ
    গ) 70
  4. ঘ
    ঘ) 80
ব্যাখ্যা
8টি বই হতে 1টি নির্বাচনের উপায় = 8C1 = 8 
10টি বই হতে 1টি নির্বাচনের উপায় = 10C1 = 10

বিনিময়ের মোট উপায় = 8 × 10 = 80
৯৭৫.
একটি অনুষ্ঠানে উপস্থিত প্রত্যেক ব্যক্তি পরস্পরের সাথে করমর্দন করেন। যদি মোট 66 টি করমর্দন হয়, তবে অনুষ্ঠানে কতজন লোক উপস্থিত ছিল? 
  1. ক
    ক) 11 জন
  2. খ
    খ) 12 জন
  3. গ
    গ) 13 জন
  4. ঘ
    ঘ) 14 জন
ব্যাখ্যা
ধরি,
সভায় মোট লোক ছিল = n, 

∴ মোট করমর্দন nc2 = 66
বা, {(n)(n - 1)}/2 = 66
বা, (n2 - n)/2 = 66
বা, n2 - n = 132
বা, n2 - n - 132 = 0
বা, n2 - 12n + 11n - 132 = 0
বা, n(n - 12) + 11(n - 12) = 0
বা, (n - 12)(n + 11) = 0

হয়                                অথবা 
n - 12 = 0                     n + 11 = 0
n = 12                            n = - 11 [গ্রহণযোগ্য নয় ]
৯৭৬.
5টি চকলেট 3 জন বালিকার মধ্যে কত উপায়ে বিতরণ করা যেতে পারে? 
  1. ক
    135
  2. খ
    145
  3. গ
    243
  4. ঘ
    240
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 5টি চকলেট 3 জন বালিকার মধ্যে কত উপায়ে বিতরণ করা যেতে পারে? 

সমাধান: 
বালিকার সংখ্যা n = 3 জন
চকলেট r = 5টি 

চকলেট বিতরণ করা যেতে পারে = nr
= 35
= 243
৯৭৭.
6 টি পোস্ট বাক্সে 4 টি চিঠি কতভাবে ফেলা যায়?
  1. ক
    360
  2. খ
    720
  3. গ
    1296
  4. ঘ
    4096
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 6 টি পোস্ট বাক্সে 4 টি চিঠি কতভাবে ফেলা যায়?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পোস্ট বাক্সের সংখ্যা, n = 6 টি
চিঠির সংখ্যা, r = 4 টি

∴ চিঠি ফেলা যায় = (পোস্ট বক্স)চিঠি
= nr
= 64
= 1296 টি উপায়ে

৯৭৮.
2, 3, 3, 4, 4, 4, 5 অংকগুলো দিয়ে সাত অংক বিশিষ্ট কতগুলো ভিন্ন সংখ্যা গঠন করা যাবে?
  1. ক
    ক) 5040
  2. খ
    খ) 2520
  3. গ
    গ) 840
  4. ঘ
    ঘ) 420
ব্যাখ্যা
7!/(2!3!)
= 5040/12
= 420
৯৭৯.
'MUGDHO' শব্দটির অক্ষর দিয়ে এমন কয়টি 3-অক্ষরের শব্দ গঠন করা যাবে, যেগুলোর শুরুতে অবশ্যই 'M' থাকবে?
  1. ক
    ৩৫
  2. খ
    ৬০
  3. গ
    ১৮০
  4. ঘ
    ২০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'MUGDHO' শব্দটির অক্ষর দিয়ে এমন কয়টি 3-অক্ষরের শব্দ গঠন করা যাবে, যেগুলোর শুরুতে অবশ্যই 'M' থাকবে?

সমাধান:
'MUGDHO' শব্দটিতে মোট অক্ষর আছে = 6 টি
অক্ষরগুলো- M, U, G, D, H, O সব অক্ষর ভিন্ন।
প্রতিটি শব্দ 3 অক্ষরের এবং প্রথম অক্ষর M স্থির।
বাকি 2টি অক্ষর বেছে নিতে হবে অবশিষ্ট 5টি অক্ষর থেকে।

∴ 5 টি অক্ষর থেকে 2টি বেছে নেওয়া উপায় = 5C2​ = 5!/2!(5 - 2)!
= (5 × 4 ×3!)/(2 × 3!) = 10

এবং প্রত্যেক জোড়ার বিন্যাস করা যায় = 2! = 2 

∴ মোট শব্দ সংখ্যা = 10 × 2 = 20​

অথবা
প্রথম অক্ষর M ধরে নিলে 3-অক্ষরের শব্দ গঠন করার জন্য আরও 2টি অক্ষর বেছে নিতে হবে।

বাকি অক্ষর = 5টি (U, G, D, H, O)

5 টি অক্ষর থেকে 2টি বেছে নেওয়া উপায় = 5P2= 5 × 4 = 20

সুতরাং, প্রথমে M স্থির রেখে মোট 20টি ভিন্ন শব্দ গঠন করা যাবে।
৯৮০.
'ARRANGE' শব্দটিকে কত প্রকারে সাজানো যায় যেন ১ম অক্ষর N ও শেষ অক্ষর G থাকে?
  1. ক
    30
  2. খ
    60
  3. গ
    120
  4. ঘ
    180
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'ARRANGE' শব্দটিকে কত প্রকারে সাজানো যায় যেন ১ম অক্ষর N ও শেষ অক্ষর G থাকে?

সমাধান: 
'ARRANGE' শব্দে 7টি বর্ণ আছে। যেখানে,
A = 2টি
R = 2টি

১ম অক্ষর N ও শেষ অক্ষর G থাকলে বাকী থাকে 5টি অক্ষর।

∴ ১ম অক্ষর N ও শেষ অক্ষর G রেখে সাজানো যাবে = 5!/(2! 2!)
= 30 উপায়ে
৯৮১.
1, 2, 3, 4, 5 সংখ্যাগুলো নিয়ে তিন অংক বিশিষ্ট কয়টি টেলিফোন নাম্বার বানানো যাবে?
  1. ক
    125
  2. খ
    60
  3. গ
    243
  4. ঘ
    27
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 1, 2, 3, 4, 5 সংখ্যাগুলো নিয়ে তিন অংক বিশিষ্ট কয়টি টেলিফোন নাম্বার বানানো যাবে?

সমাধান:
মোট সংখ্যা n = 5 টি
ঘর r = 3 টি 

মোট টেলিফোন নাম্বার বানানো যাবে = nr = 53 = 125টি
৯৮২.
12 টি বিন্দু ‍দিয়ে কতগুলো চতুর্ভুজ গঠন করা যায়?
  1. ক
    445
  2. খ
    420
  3. গ
    380
  4. ঘ
    495
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 12 টি বিন্দু ‍দিয়ে কতগুলো চতুর্ভুজ গঠন করা যায়?

সমাধান:
চতুর্ভুজ গঠন করতে 12 টি বিন্দু থেকে 4 টি বিন্দু নির্বাচন করতে হবে। 12 টি বিন্দু থেকে 4 টি বিন্দু নির্বাচন করার উপায় সংখ্যা হল,
 = 12C4

= 12!​/4!(12 - 4)!
= 12!/(​4! × 8!)
= 495

∴ 12 টি বিন্দু দিয়ে 495 টি চতুর্ভুজ গঠন করা যাবে।
৯৮৩.
প্রগতি ক্লাবের ৫ জন পুরুষ ও ৭ জন মহিলা সদস্য আছেন। ৬ সদস্যের একটি কমিটি গঠন করতে হবে, যেখানে পুরুষ ও মহিলা সদস্য ৩ জন করে থাকবেন। কতভাবে এ কমিটি গঠন করা যায়? 
  1. ক
    ১৭৫
  2. খ
    ২১০
  3. গ
    ৩৫০
  4. ঘ
    ৭০০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: প্রগতি ক্লাবের ৫ জন পুরুষ ও ৭ জন মহিলা সদস্য আছেন। ৬ সদস্যের একটি কমিটি গঠন করতে হবে, যেখানে পুরুষ ও মহিলা সদস্য ৩ জন করে থাকবেন। কতভাবে এ কমিটি গঠন করা যায়? 

সমাধান: 
যতভাবে কমিটি গঠন করা যায়,
৫C৩ × ৭C৩ 
= ১০ × ৩৫
= ৩৫০
৯৮৪.
একটি অফিসের কর্মকর্তাদের সমিতির সভাপতি নির্বাচনে ৩ জন প্রার্থী থেকে একজন নির্বাচনের জন্য ৩০ জন কর্মকর্তা কত প্রকারে ভোট দিতে পারবে?
  1. ক
    ক) ৩৩০
  2. খ
    খ) ৩০৩
  3. গ
    গ) ৩২৭
  4. ঘ
    ঘ) কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা

আমরা জানি,
নির্বাচনে ভোট দেয়ার উপায় = (প্রার্থী)ভোটার সংখ্যা = ৩৩০

৯৮৫.
3, 8, 1, 4 অংকগুলো একবার ব্যবহার করে 4000 এর চেয়ে বড় কতগুলো সংখ্যা তৈরি করা যায়?
  1. ক
    12
  2. খ
    24
  3. গ
    36
  4. ঘ
    48
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3, 8, 1, 4 অংকগুলো একবার ব্যবহার করে 4000 এর চেয়ে বড় কতগুলো সংখ্যা তৈরি করা যায়?

সমাধান:
প্রথম সংখ্যাটি 4 বা 8 এর যেকোনো একটি হতে পারে।

৩, 8, 1, 4 একবার ব্যবহার করে অংকগুলো দ্বারা ৪000 এর চেয়ে বড় সংখ্যা তৈরি করা যায় = 2P1 × 3!
= 12
৯৮৬.
কিছু উপাত্তের সর্বোচ্চ মান 90 এবং সর্বনিম্ন মান 35 হলে উপাত্তগুলোর পরিসর কত?
  1. ক
    55
  2. খ
    110
  3. গ
    56
  4. ঘ
    125
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কিছু উপাত্তের সর্বোচ্চ মান 90 এবং সর্বনিম্ন মান 35 হলে উপাত্তগুলোর পরিসর কত?

সমাধান:
পরিসর = (বৃহত্তম সংখ্যা - ক্ষুদ্রতম সংখ্যা) + 1
= 90 - 35 + 1
= 55 + 1
= 56

৯৮৭.
"ADVANCED" শব্দটির সব গুলো বর্ণ একত্রে নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যায়?
  1. ক
    10180
  2. খ
    10080
  3. গ
    10076
  4. ঘ
    10263
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: "ADVANCED" শব্দটির সব গুলো বর্ণ একত্রে নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যায়?

সমাধান:
"ADVANCED" শব্দটিতে মোট বর্ণ = 8 টি
A আছে = 2 টি এবং D আছে = 2 টি

∴ বিন্যাস সংখ্যা = 8!/(2! · 2!)
= 10080

∴ "ADVANCED" শব্দটির সব বর্ণ একত্রে নিয়ে 10080 প্রকারে সাজানো যায়।
৯৮৮.
প্রত্যেক সংখ্যায় প্রত্যেক অংক কেবলমাত্র একবার ব্যবহার করে 1, 0, 8, 2, 4, 6 অংকগুলো দিয়ে কতগুলো অর্থপূর্ণ চার অংকের সংখ্যা গঠন করা যাবে?
  1. ক
    300 টি
  2. খ
    640 টি
  3. গ
    720 টি
  4. ঘ
    120 টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: প্রত্যেক সংখ্যায় প্রত্যেক অংক কেবলমাত্র একবার ব্যবহার করে 1, 0, 8, 2, 4, 6 অংকগুলো দিয়ে কতগুলো অর্থপূর্ণ চার অংকের সংখ্যা গঠন করা যাবে?

সমাধান:
চার অঙ্কবিশিষ্ট পূর্ণসংখ্যা = 6P4 = 360
0 প্রথমে থাকলে গঠিত সংখ্যা অর্থপূর্ণ হয় না এরূপ সংখ্যা = 5P3 = 60

∴ অর্থপূর্ণ চার অংকের সংখ্যা গঠন করা যাবে = 360 - 60 টি
= 300 টি
৯৮৯.
ঢাকা হতে সিলেট যাবার পথ ৩ টি এবং সিলেট থেকে সুনামগঞ্জ যাওয়ার যাবার পথ ৪ টি হলে, কত উপায়ে ঢাকা থেকে সিলেট হয়ে সুনামগঞ্জ যাওয়া যাবে?
  1. ক
    ক) ৭ টি
  2. খ
    খ) ৮ টি
  3. গ
    গ) ১২ টি
  4. ঘ
    ঘ) ১০ টি
ব্যাখ্যা
ঢাকা থেকে সিলেট হয়ে সুনামগঞ্জ যাওয়ার উপায় সংখ্যা ৩×৪ = ১২ টি
৯৯০.
12 টি বিন্দু দিয়ে কতটি ত্রিভুজ গঠন করা যাবে?
  1. ক
    220
  2. খ
    360
  3. গ
    440
  4. ঘ
    816
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 12 টি বিন্দু দিয়ে কতটি ত্রিভুজ গঠন করা যাবে?

সমাধান:
আমরা জানি, একটি ত্রিভুজ গঠন করতে ৩ টি বিন্দু প্রয়োজন হয়।
তাহলে, 12 টি বিন্দু দিয়ে গঠিত ত্রিভুজের সংখ্যা = 12C3
= 12!/{3! × (12 - 3)!}
= 12!/(3! × 9!)
= (12 × 11 × 10 × 9!)/(3 × 2 × 1 × 9!)
= (12 × 11 × 10)/(3 × 2 × 1)
= (12 × 11 × 10)/6
= 1320/6
= 220

∴ 12 টি বিন্দু দিয়ে মোট 220 টি ত্রিভুজ গঠন করা যাবে।

৯৯১.
COURAGE শব্দটির বর্ণ গুলো দিয়ে কত গুলো বিন্যাস গঠন করা যায় যার প্রথমে একটি স্বরবর্ণ থাকে?
  1. ক
    ক) 3450
  2. খ
    খ) 2490
  3. গ
    গ) 2880
  4. ঘ
    ঘ) 2580
ব্যাখ্যা

COURAGE শব্দটি মোট ৭ টি ভিন্ন ভিন্ন অক্ষর আছে যার 4 টি স্বরবর্ণ।
∴ প্রথমে স্বরবর্ণ রেখে অবশিষ্ট ৬ টি অক্ষর সাজানো যায় 6P6 উপায়ে
∴ ৪ টি স্বরবর্ণ প্রথমে স্থানে 4p1 উপায়ে বসানো যায়। 
∴ নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা = 6p6 × 4p1 = 2880

৯৯২.
0, 2, 4, 6, 8, 9 অংকগুলো দ্বারা ছয় অংকের কতগুলো সংখ্যা তৈরি করা যাবে যেখানে শতক স্থানে 0 থাকবে?
  1. ক
    60
  2. খ
    120
  3. গ
    180
  4. ঘ
    210
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 0, 2, 4, 6, 8, 9 অংকগুলো দ্বারা ছয় অংকের কতগুলো সংখ্যা তৈরি করা যাবে যেখানে শতক স্থানে 0 থাকবে?

সমাধান:
শতক স্থানে 0 রেখে
মোট বিন্যাস সংখ্যা = 5! = 120
৯৯৩.
6 জন মানুষ এক সারিতে নামাজে দাঁড়াতে পারবে কত উপায়ে?
  1. ক
    ক) 120
  2. খ
    খ) 720
  3. গ
    গ) 24
  4. ঘ
    ঘ) None of them
ব্যাখ্যা
6 জন মানুষ এক সারিতে নামাজে দাঁড়াতে পারবে = 6! = 720 উপায়ে।
৯৯৪.
কোনো রূপ বিধি নিষেধ আরোপ না করে 7 টি লাল বল ও 2 টি সাদা বল কত প্রকারে এক সারিতে সাজানো যায়?
  1. ক
    ক) 30
  2. খ
    খ) 28
  3. গ
    গ) 36
  4. ঘ
    ঘ) 30
ব্যাখ্যা

7 টি লাল বল
2 টি সাদা বল
মোট বল = 9 টি
∴ বিন্যাস = 9!/(7!2!) = 36

৯৯৫.
5, 8, 2, 3 অঙ্কগুলো একবার ব্যবহার করে 5000 এর চেয়ে বড় কতগুলো সংখ্যা তৈরি করা যায়?
  1. ক
    10 টি
  2. খ
    12 টি
  3. গ
    14 টি
  4. ঘ
    16 টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 5, 8, 2, 3 অঙ্কগুলো একবার ব্যবহার করে 5000 এর চেয়ে বড় কতগুলো সংখ্যা তৈরি করা যায়?

সমাধান:
মোট বিন্যাস সংখ্যা = 4! = 24
সংখ্যাটি 5000 থেকে বড় হতে হলে প্রথম ঘরে অবশ্যই 5 অথবা 8 থাকতে হবে।

আমরা জানি,
একটি উপাদানের মোট বিন্যাস সংখ্যা = মোট বিন্যাস/উপাধান সংখ্যা
= 24/4
= 6

∴ 2 টি উপাদানের জন্য বিন্যাস সংখ্যা = 2 × 6 = 12 টি
৯৯৬.
4 জন বালক এবং 3 জন বালিকাকে কত ভাবে একটি সারিতে বসানো যায়, যেখানে দুজন বালক পাশাপাশি বসবে না?
  1. ক
    ক) 12
  2. খ
    খ) 288
  3. গ
    গ) 144
  4. ঘ
    ঘ) 256
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 4 জন বালক এবং 3 জন বালিকাকে কত ভাবে একটি সারিতে বসানো যায়, যেখানে দুজন বালক পাশাপাশি বসবে না?

সমাধান:
দুজন বালককে পাশাপাশি না বসাতে গেলে প্রত্যেকের মাঝে একজন করে বালিকা বসাতে হবে।

তাদেরকে এভাবে সাজাতে হবে,
B G B G B G B

4 জন বালককে নিজেদের মধ্যে সাজানো যায় = 4! = 24
3 জন বালিকাকে নিজেদের মধ্যে সাজানো যায় = 3! = 6

সুতরাং মোট উপায় = 24 × 6 = 144
৯৯৭.
১৫ সদস্য বিশিষ্ট একটি ক্রিকেট দল থেকে একজন নির্দিষ্ট অধিনায়ক ও একজন সহ-অধিনায়ক সহ ১১ সদস্যের দল, কত রকম উপায়ে নির্বাচন করা যায়?
  1. ক
    ৭৪০
  2. খ
    ৬৭৫ 
  3. গ
    ৬৫০ 
  4. ঘ
    ৭১৫
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১৫ সদস্য বিশিষ্ট একটি ক্রিকেট দল থেকে একজন নির্দিষ্ট অধিনায়ক ও একজন সহ-অধিনায়ক সহ ১১ সদস্যের দল, কত রকম উপায়ে নির্বাচন করা যায়?

সমাধান: 
১৫ সদস্য বিশিষ্ট দল থেকে একজন নির্দিষ্ট অধিনায়ক ও সহ-অধিনায়ক সহ ১১ সদস্যের দল বাছাই করতে হলে, ২ জন কে বাছাই এর বাইরে রাখতে হবে।
(১৫ - ২) = ১৩ জনের মধ্য থেকে (১১ - ২) = ৯ জন কে বাছাই করতে হবে। 

উপায় সংখ্যা = ১৩C৯ 
= ১৩!/{৯! × (১৩ - ৯)!}
= ১৩!/(৪! × ৯!)
= (১৩ × ১২ × ১১ × ১০ × ৯!)/(৪ × ৩ × ২ × ৯!)
= ৭১৫

∴ মোট উপায় সংখ্যা = ৭১৫ 

৯৯৮.
৭, ২, ৮, ৩, অংকগুলোর দ্বারা ৭০০০ এর চেয়ে বড় কতগুলো সংখ্যা তৈরি করা যায়?
  1. ক
    ক) ৬
  2. খ
    খ) ২৪
  3. গ
    গ) ১২
  4. ঘ
    ঘ) ১৮
ব্যাখ্যা

৭, ২, ৮, ৩, মোট ৪টি অংক রয়েছে।
৭০০০ অপেক্ষা বড় সংখ্যা গঠন করতে হলে ১ম অংকটি ৭ অথবা ৮ দিয়ে পূর্ণ করতে হবে,
যা 2p1 = 2 উপায়ে পূর্ণ করা যায়।
অবশিষ্ট ৩টি অংক পূর্ণ করা যায় ৩! = ৬ উপায়ে
∴ মোট গঠিত সংখ্যা = ২ × ৬
= ১২

৯৯৯.
'APPLE' শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে কতগুলো বিন্যাস তৈরি করা যায়, যাদের প্রথমে একটি স্বরবর্ণ থাকবে?
  1. ক
    20
  2. খ
    24
  3. গ
    18
  4. ঘ
    30
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'APPLE' শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে কতগুলো বিন্যাস তৈরি করা যায়, যাদের প্রথমে একটি স্বরবর্ণ থাকবে?

সমাধান:
'APPLE' শব্দটিতে মোট বর্ণ = 5টি, স্বরবর্ণ আছে = 2টি (A, E)।

'APPLE' শব্দটির মোট বিন্যাস সংখ্যা = 5!/2! = 60 [P দুইটি]
1টি উপাদানের বিন্যাস সংখ্যা = মোট বিন্যাস/উপাদান সংখ্যা
= 60/5
= 12
∴ 2টি স্বরবর্ণ এর জন্য বিন্যাস = (12 × 2) = 24 টি
১,০০০.
যদি nC6 = nC8 হয়, তবে nC2 = কত?
  1. ক
    55
  2. খ
    67
  3. গ
    78
  4. ঘ
    91
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি nC6 = nC8 হয়, তবে nC2 = কত?

সমাধান: 
দেয়া আছে,
nC6 = nC8
n = 6 + 8 = 14

nC2 = 14C2 =(14 × 13)/(2 × 1)
                   = 91