কাজ, নল ও চৌবাচ্চা সংক্রান্ত সমস্যা

প্রশ্ন: ক ও খ একত্রে একটি কাজ ১০ দিনে করতে পারে। ক একা কাজটি ১৫ দিনে করতে পারে। খ একা কাজটি কতদিনে করতে পারবে?

সমাধান:
ক ও খ একত্রে ১০ দিনে করতে পারে ১ টি কাজ 
∴ ক ও খ একত্রে ১ দিনে করতে পারে কাজের ১/১০ অংশ 

ক একা ১৫ দিনে করতে পারে ১ টি কাজ
∴ ক একা ১ দিনে করতে পারে কাজটির ১/১৫ অংশ

∴ খ একা ১ দিনে করতে পারবে
= কাজের (১/১০ - ১/১৫) অংশ
= (৩ - ২)/৩০ অংশ 
= ১/৩০ অংশ 

খ একা ১/৩০ অংশ কাজ করতে পারে ১ দিনে 
∴ খ একা সম্পূর্ণ অংশ কাজ করতে পারে ৩০ দিনে

প্রশ্ন: 'ক' যে কাজ ১২ দিনে করে, 'খ' সে কাজ ১৮ দিনে করে। 'ক' কাজটির ২/৩ অংশ করার পর 'খ' বাকি অংশ একা সম্পন্ন করল। কাজটি মোট কত দিনে শেষ হয়েছে? 

সমাধান: 
'ক' ১ অংশ কাজ করে = ১২ দিনে 
∴ 'ক' ২/৩ অংশ কাজ করে = (১২ × ২)/৩ দিনে 
= ৮ দিনে 
∴ বাকি কাজ = {১- (২/৩)} অংশ 
= ১/৩ অংশ 

আবার, 
'খ' ১ অংশ কাজ করে = ১৮ দিনে 
∴ 'খ' ১/৩ অংশ কাজ করে = (১৮ × ১)/৩ দিনে 
= ৬ দিনে 

∴ মোট সময় = (৮ + ৬) দিনে 
= ১৪ দিনে 

∴ কাজটি মোট ১৪ দিনে শেষ হয়েছে। 

প্রশ্ন: 'ক' যে কাজ ১৫ দিনে করে, 'খ' সে কাজ ২০ দিনে করে। 'ক' কাজটির ৩/৫ অংশ করার পর 'খ' বাকি অংশ একা সম্পন্ন করল। কাজটি মোট কত দিনে শেষ হয়েছে?

সমাধান:
'ক' ১ অংশ কাজ করে = ১৫ দিনে।
'ক' ৩/৫ অংশ কাজ করে = (১৫ × ৩)/৫ দিনে
= ৯ দিনে।

বাকি কাজ = ১ - ৩/৫ অংশ
= ২/৫ অংশ।

'খ' ১ অংশ কাজ করে = ২০ দিনে।
'খ' ২/৫ অংশ কাজ করে = (২০ × ২)/৫ দিনে
= ৮ দিনে।

∴ মোট সময় = ৯ + ৮ = ১৭ দিনে।

∴ কাজটি মোট ১৭ দিনে শেষ হয়েছে।

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চায় দুটি নল আছে। ১ম নল দ্বারা ১৫ মিনিটে পূর্ণ হয় ও ২য় নল দ্বারা ৩০ মিনিটে পূর্ণ হয়। নল দুটি একত্রে খুলে দিলে খালি চৌবাচ্চাটি কতক্ষণে পূর্ণ হবে?

সমাধান:
১ম নল দ্বারা ১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার = ১/১৫ অংশ
২য় নল দ্বারা ১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার = ১/৩০ অংশ

∴ দুটি নল দ্বারা ১ মিনিটে পূর্ণ হয় = (১/১৫) + (১/৩০) অংশ  
= (২ + ১)/৩০ অংশ  
= ৩/৩০ অংশ  
= ১/১০ অংশ

১/১০ অংশ পূর্ণ হয় = ১ মিনিটে  
১ বা সম্পূর্ণ অংশ পূর্ণ হয় = ১০ মিনিটে

∴ চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হবে = ১০ মিনিটে।

প্রশ্ন: একটি নল দ্বারা চৌবাচ্চা পূর্ণ হয় ৪ ঘণ্টায়, ২য় নল দ্বারা চৌবাচ্চা খালি হয় ৮ ঘণ্টায়। নল দুটি খোলা থাকলে চৌবাচ্চাটি কত সময়ে পূর্ণ হবে? 

সমাধান: 
১ম নল দ্বারা ১ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় ১/৪ অংশ
২য় নল দ্বারা ১ ঘণ্টায় খালি হয় ১/৮ অংশ

নল দুটি একত্রে ১ ঘণ্টায় পূর্ণ করে (১/৪ - ১/৮) অংশ
= ১/৮ অংশ

∴ ১/৮ অংশ পূর্ণ হয় = ১ ঘণ্টায় 
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ পূর্ণ করে = ৮ ঘণ্টায়

সুতরাং, দুটি নল একসাথে খোলা থাকলে চৌবাচ্চাটি ৮ ঘণ্টায় পূর্ণ হবে।

প্রশ্ন: একটি কাজ করতে ৫০০ জন শ্রমিকের ৪৮ দিন সময় লাগে। ৩০ দিনে কাজটি শেষ করতে কত জন অতিরিক্ত শ্রমিক লাগবে? 

সমাধান: 
৪৮ দিনে কাজটি করতে লোক লাগে = ৫০০ জন 
∴ ১ দিনে কাজটি করতে লোক লাগে = ৫০০ × ৪৮ জন 
∴ ৩০ দিনে কাজটি করতে লোক লাগে = (৫০০ × ৪৮)/৩০ জন 
= ৮০০ জন 

∴ অতিরিক্ত শ্রমিক লাগবে = (৮০০ - ৫০০) জন 
= ৩০০ জন।

প্রশ্ন: একজন পুরুষ এবং একজন বালক একটি কাজ ২৪ দিনে করতে পারে। যদি পুরুষটি শেষ ৬ দিনে একা কাজ করে, কাজটি ২৬ দিনে সম্পূর্ণ হয় । বালকটি একা কাজটি শেষ করতে কত দিন লাগবে? 

সমাধান:
একজন পুরুষ এবং একজন বালক ২৪ দিনে করতে পারে কাজটির ১ অংশ 
একজন পুরুষ এবং একজন বালক ১ দিনে করতে পারে কাজটির ১/২৪ অংশ 
একজন পুরুষ এবং একজন বালক ২০ দিনে করতে পারে কাজটির (১ × ২০)/২৪ অংশ 
= ৫/৬ অংশ 

একজন পুরুষের ৬ দিনের কাজ = ১ - ৫/৬ অংশ 
= (৬ - ৫)/৬ অংশ 
= ১/৬ অংশ 

একজন পুরুষের ১ দিনের কাজ = ১/৩৬ অংশ 
একজন বালকের ১ দিনের কাজ = (১/২৪) - (১/৩৬) অংশ 
= (৩ - ২)/৭২ 
= ১/৭২ অংশ 

বালকটি ১/৭২ অংশ কাজ করে ১ দিনে 
বালকটি ১ অংশ কাজ করে (১ × ৭২)/১ দিনে 
= ৭২ দিনে 

প্রশ্ন: দুটি নল দ্বারা একটি ট্যাংক যথাক্রমে ২০ ও ২২ মিনিটে পানি পূর্ণ করা হয়। নল দুটি একত্রে খোলা রাখলে ট্যাংকটি কতক্ষণে পানি পূর্ণ হবে?

সমাধান:
১ম নল দ্বারা,
২০ মিনিটে পূর্ণ হয় ট্যাংকটির = ১ অংশ
∴ ১ মিনিটে পূর্ণ হয় ট্যাংকটির = ১/২০ অংশ

২য় নল দ্বারা,
২২ মিনিটে পূর্ণ হয় ট্যাংকটির = ১ অংশ
∴ ১ মিনিটে পূর্ণ হয় ট্যাংকটির = ১/২২ অংশ

দুইটি নল দ্বারা একত্রে ১ মিনিটে পূর্ণ হয় = (১/২০) + (১/২২) অংশ
= (১১ + ১০)/২২০ অংশ
= ২১/২২০ অংশ

দুইটি নল দ্বারা,
২১/২২০ অংশ পূর্ণ হয় = ১ মিনিটে
∴ ১ অংশ পূর্ণ হয় = ২২০/২১ মিনিটে
= ১০.৪৭৬ মিনিটে
≈ ১০.৫ মিনিট (প্রায়)

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চা তিনটি নল দিয়ে যথাক্রমে ৬, ৯ ও ১৮ ঘণ্টায় পূর্ণ হতে পারে। তিনটি নল একসাথে খুলে দিলে চৌবাচ্চার সম্পূর্ণ অংশ পূর্ণ হতে কত সময় লাগবে?

সমাধান: 
প্রথম নল ১ ঘণ্টায় পূর্ণ করে = ১/৬ অংশ 
দ্বিতীয় নল ১ ঘণ্টায় পূর্ণ করে = ১/৯ অংশ 
তৃতীয় নল ১ ঘণ্টায় পূর্ণ করে = ১/১৮ অংশ 

∴ তিনটি নল একই সাথে ১ ঘণ্টায় পূর্ণ করে = {(১/৬) + (১/৯) + (১/১৮)} অংশ 
= (৩ + ২ + ১)/১৮ অংশ 
= ৬/১৮ অংশ 
= ১/৩ অংশ 

চৌবাচ্চার ১/৩ অংশ পূর্ণ হয় = ১ ঘণ্টায়
∴ চৌবাচ্চার ১ বা সম্পূর্ণ অংশ পূর্ণ হয় = (১ × ৩) ঘণ্টায় 
= ৩ ঘণ্টায় ।

প্রশ্ন: রবি একটি কাজ ১২ মিনিটে করতে পারে এবং মাসুদ ঐ কাজটি করতে দ্বিগুণ সময় নেয়। দুইজন একত্রে ঐ কাজটি কত সময়ে করতে পারবে?

সমাধান:
রবি,
১২ মিনিটে করে কাজটির =  ১ অংশ
∴ ১ মিনিটে করে কাজটির = ১/১২ অংশ

মাসুদ,
(১২ × ২) বা ২৪ মিনিটে করে কাজটির = ১ অংশ
∴ ১ মিনিটে করে কাজটির = ১/২৪ অংশ 

∴ দুইজন একত্রে ১ মিনিটে করে কাজটির = (১/১২) + (১/২৪)
= (২ + ১)/২৪
= ৩/২৪
= ১/৮ অংশ 

দুইজন একত্রে,
১/৮ অংশ কাজ করতে সময় লাগে = ১ মিনিট 
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ কাজ করতে সময় লাগে = (১ × ৮) মিনিট  = ৮ মিনিট 

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চার তিনটি নল আছে। ১ম নল দ্বারা ৩০ মিনিটে ও ২য় নল দ্বারা ৪৫ মিনিটে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হয়। কিন্তু ৩য় নল দ্বারা ৩৬ মিনিটে চৌবাচ্চাটি খালি হয়। তিনটি নল খোলা থাকা অবস্থায় চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
১ম নল দ্বারা ১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার ১/৩০ অংশ
২য় নল দ্বারা ১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার ১/৪৫ অংশ

∴ উভয় নল দ্বারা,
১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার (১/৩০ + ১/৪৫) অংশ
= (৩ + ২)/৯০ অংশ
= ৫/৯০ অংশ
= ১/১৮ অংশ

৩য় নল দ্বারা ১ মিনিটে খালি হয় চৌবাচ্চার ১/৩৬ অংশ

∴ তিনটি নল দ্বারা,
১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার (১/১৮ - ১/৩৬) অংশ
= (২ - ১)/৩৬ অংশ
= ১/৩৬ অংশ

এখন,
 ১/৩৬ অংশ পূর্ণ হয় ১ মিনিটে
∴ ১ অংশ পূর্ণ হয় (১ × ৩৬) মিনিটে
= ৩৬ মিনিটে

প্রশ্ন: একটি পিপায় দুইটি নল সংযুক্ত আছে। প্রথম নলটি খুলে দিলে পিপাটি ২০ মিনিটে পূর্ণ হয়। দ্বিতীয় নলটি খুলে দিলে ৩০ মিনিটে পরিপূর্ণ পিপাটি খালি হয়। দুটি নল এক সঙ্গে খুলে দিলে খালি পিপাটি কত সময়ে পূর্ণ হয়?

সমাধান:
১ম নল দ্বারা ২০ মিনিটে পূর্ণ হয় পিপাটির ১ অংশ
১ম নল দ্বারা ১ মিনিটে পূর্ণ হয় পিপাটির ১/২০ অংশ

২য় নল দ্বারা ৩০ মিনিটে খালি হয় পিপাটির ১ অংশ
২য় নল দ্বারা ১ মিনিটে খালি হয় পিপাটির ১/৩০ অংশ

∴ উভয় নল দ্বারা 1 মিনিটে পূর্ণ হয়  = {(১/২০) - (১/৩০)} অংশ
= (৩ - ২)/৬০ অংশ 
= ১/৬০ অংশ

১/৬০ অংশ পূর্ণ হয় ১ মিনিটে
∴ ১(সম্পূর্ণ) অংশ পূর্ণ হয় (১ × ৬০)/১ মিনিটে
= ৬০ মিনিটে

প্রশ্ন: ৪ জন শ্রমিক একটি কাজ করে ৫৬ মিনিটে। ৭ জন শ্রমিক কত মিনিটে কাজটি করতে পারবে?

সমাধান: 
৪ জন শ্রমিক কাজটি করে ৫৬ মিনিটে
১ জন শ্রমিক কাজটি করে (৫৬ × ৪) মিনিটে
৭ জন শ্রমিক কাজটি করে {(৫৬ × ৪)/৭} মিনিটে 
= ৩২ মিনিটে