কাজ, নল ও চৌবাচ্চা সংক্রান্ত সমস্যা

প্রশ্ন: একটি পাইপ ৬ ঘন্টায় একটি ট্যাংক পূর্ণ করতে পারে এবং অপর একটি পাইপ ট্যাংকটি ৮ ঘন্টায় খালি করতে পারে। যদি প্রথম পাইপটি ২ ঘন্টা চলার পর দ্বিতীয় পাইপটি চালু করা হয়, তাহলে দুইটি পাইপ চালু অবস্থায় পুরো ট্যাংকটি ভর্তি হতে মোট কত সময় লাগবে?

সমাধান:
প্রথম পাইপ দ্বারা,
৬ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় = ১ অংশ
∴ ১ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় = ১/৬ অংশ
∴ ২ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় = ২/৬ অংশ = ১/৩ অংশ

∴ ২ ঘণ্টা পর অবশিষ্ট থাকবে = (১ - ১/৩) = ২/৩ অংশ

দ্বিতীয় পাইপ দ্বারা,
৮ ঘণ্টায় খালি হয় = ১ অংশ
∴ ১ ঘণ্টায় খালি হয় = ১/৮ অংশ

দুইটি পাইপ একসাথে চললে ট্যাংকটি ১ ঘণ্টায় পূর্ণ হবে = (১/৬) - (১/৮)
= (৪ - ৩)/২৪
= ১/২৪

১/২৪ অংশ পূর্ণ হয় = ১ ঘণ্টায়
∴ ২/৩ অংশ পূর্ণ হয় = (২ × ২৪)/৩ = ১৬ ঘণ্টায়

∴ ট্যাংকটি পূর্ণ হতে মোট সময় লাগবে = (২ + ১৬) ঘণ্টা = ১৮ ঘণ্টা 

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চায় ৮০০০ লিটার পানি ধরে। চৌবাচ্চাটির দৈর্ঘ্য ২.৫৬ মিটার এবং প্রস্থ ১.২৫ মিটার হলে, গভীরতা কত?

সমাধান:
চৌবাচ্চাটির তলের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য ×  প্রস্থ 
= ২.৫৬ মিটার × ১.২৫ মিটার
= ২৫৬ সে. মি. × ১২৫ সে. মি.  [ ১ মিটার = ১০০ সে. মি.]
= ৩২০০০ বর্গ সে. মি.

চৌবাচ্চায় ৮০০০ লিটার বা (৮০০০ × ১০০০) = ৮০০০০০০ ঘন সে. মি. পানি ধরে।
যেখানে ১০০০ ঘন সে. মি.= ১ লিটার

অতএব, 
চৌবাচ্চাটির আয়তন ৮০০০০০০ ঘন সে. মি.
∴ চৌবাচ্চাটির গভীরতা = ৮০০০০০০/৩২০০০ সে. মি.
= ২৫০ সে. মি.
= ২৫০/১০০ মিটার    যেখানে ১ মিটার = ১০০ সে. মি.
= ২.৫ মিটার

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চা এক পাইপ দিয়ে ৬ ঘণ্টায় ভর্তি করা যায়। দ্বিতীয় পাইপ দিয়ে ৪ ঘণ্টায়। দুইটি পাইপ একসাথে ব্যবহার করে চৌবাচ্চার ১/২ অংশ ভর্তি করতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
১ম পাইপ এবং ২য় পাইপ ১ ঘণ্টায় পূর্ন করে = (১/৬) + (১/৪)
= (২ + ৩)/১২ = ৫/১২ অংশ

এখন, 
৫/১২ অংশ পূর্ন করে = ১ ঘণ্টায়
∴ ১ অংশ পূর্ন করে = ১২/৫ ঘণ্টায়
∴ ১/২ অংশ পূর্ন করে = (১২/৫) × ১/২ = ৬/৫ ঘণ্টায়

সুররাং, ১/২ অংশ ভর্তি করতে সময় লাগবে ৬/৫ ঘণ্টা।

প্রশ্ন: যদি ৪ জন লোক একটি কাজ ৯৬ দিনে করতে পারে, তবে ১২ জন লোক উক্ত কাজ কত দিনে করতে পারবে? 

সমাধান: 
৪ জন লোক একটি কাজ = ৯৬ দিনে 
∴ ১ জন লোক একটি কাজ = (৯৬ × ৪) দিনে 
∴ ১২ জন লোক একটি কাজ = (৯৬ × ৪)/১২ দিনে 
= ৩২ দিনে । 

প্রশ্ন: একটি কাজ করতে ৪০০ জন শ্রমিকের ৪২ দিন সময় লাগে। ২০ দিনে কাজটি শেষ করতে কত জন অতিরিক্ত শ্রমিক লাগবে?

সমাধান: 
৪২ দিনে কাজটি করতে লোক লাগে = ৪০০ জন
∴ ১ দিনে কাজটি করতে লোক লাগে = ৪০০ × ৪২ জন
∴ ২০ দিনে কাজটি করতে লোক লাগে = (৪০০ × ৪২)/২০ জন
= ৮৪০ জন

∴ অতিরিক্ত শ্রমিক লাগবে = (৮৪০ - ৪০০) জন
= ৪৪০ জন।

• ইলেকট্রিক বেল বা বৈদ্যুতিক ঘণ্টায় বিদ্যুৎ শক্তি শব্দ শক্তিতে রূপান্তরিত হয়। 

• ইলেকট্রিক বেল (Electric Bell): 
- বৈদ্যুতিক ঘণ্টা হচ্ছে এমন একটি যন্ত্র, যা বিদ্যুৎ শক্তিকে শব্দ শক্তিতে রূপান্তরিত করে।

• কার্যপ্রণালী:
- বৈদ্যুতিক সংকেত প্রবাহিত হলে ইলেক্ট্রোম্যাগনেট সক্রিয় হয়। 
- ইলেক্ট্রোম্যাগনেট একটি হাতুড়িকে আকর্ষণ করে। 
- হাতুড়ি ঘণ্টার উপর আঘাত করে শব্দ সৃষ্টি করে। 
- স্প্রিংয়ের সাহায্যে হাতুড়ি ফিরে আসে এবং প্রক্রিয়াটি পুনরাবৃত্ত হয়। 

• শক্তি রূপান্তরের ক্রম:
বিদ্যুৎ শক্তি → চৌম্বক শক্তি → যান্ত্রিক শক্তি → শব্দ শক্তি

তথ্যসূত্র:
- University of Cambridge. (2020). GCSE Physics: Electromagnetic Devices.

প্রশ্ন: ১ টি চৌবাচ্চার ৩/৫ অংশ পানি দ্বারা পূর্ণ হতে সময় লাগে ৬ ঘণ্টা। চৌবাচ্চাটির বাকি অংশ পূর্ণ হতে আর কত সময় লাগবে?

সমাধান:
চৌবাচ্চাটির বাকি অংশ = (১ - ৩/৫) অংশ
= ২/৫ অংশ

এখন,
চৌবাচ্চাটির ৩/৫ অংশ পূর্ণ হতে সময় লাগে ৬ ঘণ্টা
চৌবাচ্চাটির ১ বা সম্পূর্ণ অংশ পূর্ণ হতে সময় লাগে (৬ × ৫/৩) ঘণ্টা
চৌবাচ্চাটির ২/৫ অংশ পূর্ণ হতে সময় লাগে = (৬ × ৫/৩) × (২/৫) ঘণ্টা
= ৪ ঘণ্টা

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চা দুইটি নল দ্বারা যথাক্রমে ১০ মিনিট ও ১৫ মিনিটে পূর্ণ হতে পারে। নল দুইটি একসঙ্গে খুলে দিলে চৌবাচ্চাটির  অর্ধেক পূর্ণ হতে কত সময় লাগে?

সমাধান:
১ম নল দ্বারা,
১০ মিনিটে পূর্ণ হয় ১ অংশ
১ মিনিটে পূর্ণ হয়  ১/১০ অংশ

২য় নল দ্বারা একইভাবে ১ মিনিটে পূর্ণ হয় ১/১৫ অংশ

নল দুইটি একসঙ্গে খুলে দিলে ১ মিনিটে পূর্ণ হয় = (১/১০) + ((১/১৫) অংশ
= (৩ + ২)/৩০ অংশ
= ৫/৩০ অংশ
= ১/৬ অংশ

এখন,
১/৬ অংশ পূর্ণ হয় ১ মিনিটে
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ পূর্ণ হয় = ৬ মিনিটে
∴ অর্ধেক বা ১/২ অংশ পূর্ণ হয় = (৬ × ১/২) মিনিটে
= ৩ মিনিটে

সমাধান:
একত্রে ১৫ দিনে করতে পারে কাজটির = ১ অংশ
∴ একত্রে ১ দিনে করতে পারে কাজটির = ১/১৫ অংশ,

আবার,
প্রথম ব্যক্তি ১ দিনে করে ১/২০ অংশ কাজ
∴ ২য় ব্যক্তি ১ দিনে করে = (১/১৫ - ১/২০) অংশ
= (৪ - ৩)/৬০ অংশ
= ১/৬০ অংশ

এখন,
২য় ব্যক্তি ১/৬০ অংশ কাজ করে = ১ দিনে
২য় ব্যক্তি ১ অংশ (সম্পূর্ণ) কাজ করে = ১ × (৬০/১) দিনে
= ৬০ দিনে।

সুতরাং, দ্বিতীয় ব্যক্তি একা কাজটি ৬০ দিনে করতে পারবে।

প্রশ্ন: দুজন শ্রমিক একটি কাজ যথাক্রমে ৮ ও ১২ মিনিটে করতে পারে। দুজনে একত্রে কত মিনিটে শেষ করবে?

সমাধান:
প্রথম শ্রমিক একা কাজটা ৮ মিনিটে করে।
১ মিনিটে করে = ১/৮ অংশ

দ্বিতীয় শ্রমিক একা কাজটা ১২ মিনিটে করে।
১ মিনিটে করে = ১/১২ অংশ

∴ দুইজন একত্রে, ১ মিনিটে করে = (১/৮) + (১/১২) অংশ
= (৩ + ২)/২৪ অংশ
= ৫/২৪ অংশ

কাজের ৫/২৪ অংশ শেষ হয় = ১ মিনিটে

∴ কাজের ১ বা সম্পূর্ণ অংশ শেষ হয় = (২৪/৫) মিনিটে
= ৪.৮ মিনিট
= ৪ মিনিট + (০.৮ × ৬০) সেকেন্ড
= ৪ মিনিট ৪৮ সেকেন্ড

∴ দুজনে একত্রে কাজ শেষ করবে = ৪ মিনিট ৪৮ সেকেন্ড

প্রশ্ন: তিনটি নল দ্বারা একটি পানির ট্যাংক ২০ মিনিটে পূর্ণ হয়। নল তিনটি খুলে দেওয়ার ১২ মিনিট পর প্রথম এবং দ্বিতীয় নলটি বন্ধ করে দিলে ট্যাংকটি পূর্ণ হতে আরো ৩০ মিনিট সময় লাগলে শুধু তৃতীয় নলটি দ্বারা সম্পূর্ণ ট্যাংকটি পূর্ণ হতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
তিনটি নল দ্বারা,
২০ মিনিটে ট্যাংক পূর্ণ হয় = ১ অংশ
∴ ১ মিনিটে পূর্ণ হয় = ১/২০ অংশ
∴ ১২ মিনিটে পূর্ণ হয় = ১২/২০ অংশ = ৩/৫ অংশ

১২ মিনিট পর অবশিষ্ট থাকে = ১ - (৩/৫) অংশ
= ২/৫ অংশ

তৃতীয় নলটি,
২/৫ অংশ পূর্ণ করতে সময় লাগে = ৩০ মিনিট
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ পূর্ণ করতে সময় লাগে = ৩০ × (৫/২) মিনিট
= ৭৫ মিনিট
= ১ ঘণ্টা ১৫ মিনিট [৬০ মিনিট = ১ ঘণ্টা]

∴ শুধু তৃতীয় নলটি দ্বারা সম্পূর্ণ ট্যাংকটি পূর্ণ করতে সময় লাগবে = ১ ঘণ্টা ১৫ মিনিট

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চার দুইটি নল আছে। ১ম নল দ্বারা ২০ মিনিটে পূর্ণ হয় ও ২য় নল দ্বারা ৩০ মিনিটে চৌবাচ্চাটি খালি হতে পারে। দুইটি নল খোলা থাকা অবস্থায় চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
১ম নল দ্বারা ১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার ১/২০ অংশ
২য় নল দ্বারা ১ মিনিটে খালি হয় চৌবাচ্চার ১/৩০ অংশ

∴ উভয় নল দ্বারা ১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার (১/২০ - ১/৩০) অংশ
= (৩ - ২)/৬০ অংশ
= ১/৬০ অংশ

এখন,
১/৬০ অংশ পূর্ণ হয় ১ মিনিটে
∴ ১ অংশ পূর্ণ হয় (১ × ৬০) মিনিটে
= ৬০ মিনিটে

প্রশ্ন: একটি সুইমিং পুলে ১২,০০০ গ্যালন পানি ধরে। পাইপ A প্রতি মিনিটে ২৫ গ্যালন এবং পাইপ B প্রতি মিনিটে ২০ গ্যালন পানি পূর্ণ করতে পারে। তবে একটি নিষ্কাশন পাইপ আছে যা প্রতি ৫ মিনিটে ২৫ গ্যালন পানি বের করে দেয়। যদি উভয় পাইপ এবং নিষ্কাশন পাইপ একসাথে খোলা হয়, তাহলে সম্পূর্ণ খালি পুলটি পূর্ণ হতে কত ঘণ্টা সময় লাগবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পুলের ধারণক্ষমতা = ১২,০০০ গ্যালন

পাইপ A = প্রতি মিনিটে ২৫ গ্যালন পানি পূর্ণ করে
পাইপ B = প্রতি মিনিটে ২০ গ্যালন পানি পূর্ণ করে

নিষ্কাশন পাইপ ৫ মিনিটে ২৫ গ্যালন পানি বের করে
∴ নিষ্কাশন পাইপ ১ মিনিটে পানি বের করে = ২৫/৫ গ্যালন
= ৫ গ্যালন

∴ প্রতি মিনিটে পানি পূর্ণ করে = {(২৫ + ২০) - ৫} গ্যালন/মিনিট
= ৪০ গ্যালন/মিনিট

∴ ১২,০০০ গ্যালন পূর্ণ হতে সময় লাগবে = ১২,০০০/৪০ মিনিট
= ৩০০ মিনিট
= ৩০০/৬০ ঘন্টা
= ৫ ঘন্টা

প্রশ্ন: রফিক ও শফিক একটি কাজ যথাক্রমে ১২ দিনে ও ৬ দিনে করতে পারে। তারা একত্রে কাজটি কত দিনে করতে পারবে?

সমাধান:
রফিক ১ দিনে করে = ১/১২ অংশ
শফিক ১ দিনে করে = ১/৬ অংশ

দুই জনে একত্রে ১ দিনে করে = (১/১২ + ১/৬) অংশ
= (১ + ২)/১২ অংশ
= ৩/১২ অংশ
= ১/৪ অংশ

∴ দুই জনে একত্রে ১/৪ অংশ কাজ করে ১ দিনে
∴ দুই জনে একত্রে সম্পূর্ণ (১ অংশ) কাজ করে (১ × ৪) দিনে
= ৪ দিনে

∴ তারা একত্রে কাজটি ৪ দিনে করতে পারবে।

প্রশ্ন: রবিন একা একটি কাজ ৪ ঘন্টায় এবং রাহাত ঐ কাজটি একা ৫ ঘন্টায় করতে পারে। দুজনে মিলে একসাথে শুরু করে ২ ঘন্টা কাজ করার পর রবিন চলে গেলে, রাহাতের কাজটি শেষ করতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
রবিন ৪ ঘন্টায় করে কাজের ১ অংশ 
রবিন ১ ঘন্টায় করে কাজের ১/৪ অংশ।

আবার, 
রাহাত ৫ ঘন্টায় করে কাজের ১ অংশ 
রাহাত ১ ঘন্টায় করে কাজের ১/৫ অংশ

∴ তারা একসাথে করে = (১/৪) + (১/৫)  = (৫ + ৪)/২০ অংশ 
= ৯/২০ অংশ।

∴ দুই ঘন্টা কাজ করার পর কাজ = (৯/২০) × ২ অংশ = ৯/১০ অংশ

সুতরাং, কাজ বাকি থাকে = ১ - (৯/১০) = ১/১০ অংশ।

∴ রাহাতের ১ অংশ করতে লাগে ৫ ঘন্টা 
∴ রাহাতের ১/১০ করতে লাগে = ৫ × (১/১০) ঘন্টা = ১/২ ঘন্টা

আমরা জানি,
১ ঘন্টা = ৬০ মিনিট
∴ ১/২ ঘন্টা = (১/২) × ৬০ = ৩০ মিনিট।

সুতরাং, রাহাত কাজটি একা শেষ করতে ৩০ মিনিট লাগবে। 

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চার দুইটি নল আছে। ১ম নল দ্বারা ১৫ মিনিটে ও ২য় নল দ্বারা ৩০ মিনিটে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হতে পারে। দুইটি নল খোলা থাকা অবস্থায় চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
১ম নল দ্বারা ১৫ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার ১ অংশ
∴ ১ম নল দ্বারা ১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার ১/১৫ অংশ

২য় নল দ্বারা ৩০ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার ১ অংশ
∴ ২য় নল দ্বারা ১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার ১/৩০ অংশ

∴ উভয় নল দ্বারা ১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার (১/১৫ + ১/৩০) অংশ
= (২ + ১)/৩০ অংশ
= ৩/৩০ অংশ
= ১/১০ অংশ

উভয় নল দ্বারা ১/১০ অংশ পূর্ণ হয় ১ মিনিটে
∴ উভয় নল দ্বারা ১ অংশ পূর্ণ হয় (১ × ১০) মিনিটে
= ১০ মিনিটে

প্রশ্ন: A একটি কাজ ১৮ দিনে করতে পারে এবং B একই কাজ ১২ দিনে করতে পারে। B কাজটি ১০ দিন করার পর চলে যায়। তাহলে বাকি কাজটি A একা কত দিনে শেষ করতে পারবে?

সমাধান:
B একা,
১২ দিনে কাজ করে = ১ বা সম্পূর্ণ অংশ
∴ ১ দিনে কাজ করে = ১/১২ অংশ
∴ ১০ দিনে কাজ করে = ১০/১২ = ৫/৬ অংশ

এখন, কাজটি ১০ দিন করার পর B চলে যাওয়ায় বাকি কাজ = ১ - (৫/৬)
= (৬ - ৫)/৬
= ১/৬ অংশ

আবার,
A একা,
কাজটির ১ বা সম্পূর্ণ অংশ শেষ করতে পারে = ১৮ দিনে 
∴ ১/৬ অংশ শেষ করতে পারে = ১৮ × (১/৬) = ৩ দিনে

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চা তিনটি নল দিয়ে যথাক্রমে ১০, ১৫ ও ১২ ঘণ্টায় পূর্ণ হতে পারে। তিনটি নল একসঙ্গে খুলে দিলে চৌবাচ্চার অর্ধেক পূর্ণ হতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
১ম নল দ্বারা ১ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার ১/১০ অংশ
২য় নল দ্বারা ১ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার ১/১৫ অংশ
৩য় নল দ্বারা ১ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার ১/১২ অংশ

∴ তিনটি নল দ্বারা ১ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার (১/১০ + ১/১৫ + ১/১২) অংশ
= (৬ + ৪ + ৫)/৬০ অংশ
= ১৫/৬০ অংশ
= ১/৪ অংশ

তিনটি নল দ্বারা,
 ১/৪ অংশ পূর্ণ হয় ১ ঘণ্টায়
∴ ১ অংশ পূর্ণ হয় (১ × ৪) ঘণ্টায়
∴ ১/২ অংশ পূর্ণ হয় (১ × ৪)/২ ঘণ্টায়
= ২ ঘণ্টায়

প্রশ্ন: ৬০ জন শ্রমিক একটি পুকুর ৪৫ দিনে খনন করতে পারে। কত জন শ্রমিক ৬০ দিনে পুকুরটি খনন করতে পারবে?

সমাধান: 
৪৫ দিনে পুকুরটি খনন করতে শ্রমিক লাগে = ৬০ জন
∴ ১ দিনে পুকুরটি খনন করতে শ্রমিক লাগে = ৬০ × ৪৫ জন
∴ ৬০ দিনে পুকুরটি খনন করতে শ্রমিক লাগে = (৬০ × ৪৫)/৬০ জন
= ৪৫ জন।

∴ নির্ণেয় লোক সংখ্যা = ৪৫ জন।

প্রশ্ন: দুটি নল দ্বারা একটি চৌবাচ্চা যথাক্রমে ১৫ ও ২০ মিনিটে পানি পূর্ণ করে। নল দুটি একত্রে খোলা রাখলে চৌবাচ্চাটি কতক্ষণে পানি পূর্ণ হবে?

সমাধান:
১ম নল দ্বারা,
১৫ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চাটির = ১ অংশ
∴ ১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চাটির = ১/১৫ অংশ

২য় নল দ্বারা,
২০ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চাটির = ১ অংশ
∴ ১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চাটির = ১/২০ অংশ

দুইটি নল দ্বারা একত্রে ১ মিনিটে পূর্ণ হয় = (১/১৫) + (১/২০) অংশ
= (৪ + ৩)/৬০ অংশ
= ৭/৬০ অংশ 

দুইটি নল দ্বারা,
৭/৬০ অংশ পূর্ণ হয় = ১ মিনিটে
∴ ১ অংশ পূর্ণ হয় = (১ × ৬০)/৭ মিনিটে
= ৬০/৭ মিনিটে

প্রশ্ন: ৩ দিনে একটি কাজের ১/৯ অংশ শেষ হয়। তাহলে ঐ কাজের ৩ গুণ কাজ করতে কত দিন লাগবে?

সমাধান:
১/৯ অংশ কাজ করে ৩ দিনে
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ কাজ করে = (৯ × ৩) দিনে
= ২৭ দিনে।

সুতরাং, তিন গুণ কাজ করে = (২৭ × ৩) দিনে
= ৮১ দিনে

প্রশ্ন: দুটি নল দ্বারা একটি চৌবাচ্চা যথাক্রমে ১০ ও ১৫ মিনিটে পানি পূর্ণ করে। নল দুটি একত্রে খোলা রাখলে চৌবাচ্চাটি কতক্ষণে পানি পূর্ণ হবে? 

সমাধান: 
১ম নল দ্বারা, 
১০ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চাটির = ১ অংশ
∴ ১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার = ১/১০ অংশ

২য় নল দ্বারা, 
১৫ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চাটির = ১ অংশ
∴ ১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার = ১/১৫ অংশ

দুইটি নল দ্বারা একত্রে ১ মিনিটে পূর্ণ হয় = (১/১০) + (১/১৫) অংশ
=(৩ + ২)/৩০ অংশ
= ৫/৩০ অংশ
= ১/৬ অংশ 

দুইটি নল দ্বারা, 
১/৬ অংশ পূর্ণ হয় = ১ মিনিটে
∴ ১ অংশ বা সম্পূর্ণ অংশ পূর্ণ হয় = (১ × ৬)/১ মিনিটে
= ৬ মিনিটে

প্রশ্ন: রাফি ও সাফি একটি কাজ যথাক্রমে ৬ দিনে ও ১২ দিনে করতে পারে। তারা একত্রে কাজটি কত দিনে করতে পারবে?

সমাধান:
রাফি ১ দিনে করে = ১/৬ অংশ
সাফি ১ দিনে করে = ১/১২ অংশ

দুই জনে একত্রে ১ দিনে করে = (১/৬ + ১/১২) অংশ
= (২ + ১)/১২ অংশ
= ৩/১২ অংশ
= ১/৪ অংশ

∴ দুই জনে একত্রে ১/৪ অংশ কাজ করে ১ দিনে
∴ দুই জনে একত্রে সম্পূর্ণ (১ অংশ) কাজ করে (১ × ৪) দিনে
= ৪ দিনে

∴ তারা একত্রে কাজটি ৪ দিনে করতে পারবে।

প্রশ্ন: একটি পাইপ খালি ট্যাঙ্ক ১৫ মিনিটে ভর্তি করতে পারে। অন্য একটি পাইপ প্রতি মিনিটে ১০ লিটার পানি বের করে দেয়। দুটি পাইপ একসাথে খোলা হলে খালি ট্যাঙ্কটি ৩০ মিনিটে ভর্তি হয়। ট্যাঙ্কটিতে কত লিটার পানি ধরে?

সমাধান:
ধরি,
অন্য পাইপটি ট্যাঙ্কটি খালি করতে 'ক' মিনিট সময় নেয়।

প্রশ্নানুসারে,
(১/১৫) - (১/ক) = ১/৩০
⇒ (১/১৫) - (১/৩০) = ১/ক
⇒ ১/৩০ = ১/ক
∴ ক = ৩০

অতএব, অন্য পাইপটি ট্যাঙ্কটি ৩০ মিনিটে খালি করে।
∴ ট্যাঙ্কের ধারণক্ষমতা = ৩০ × ১০ = ৩০০ লিটার

সুতরাং, ট্যাঙ্কের ধারণক্ষমতা = ৩০০ লিটার। 

প্রশ্ন: দুইটি নল দ্বারা একটি পানির ট্যাংক ১৫ মিনিটে পূর্ণ হয়। নল দুইটি খুলে দেওয়ার ১০ মিনিট পর প্রথম নলটি বন্ধ করে দিলে ট্যাংকটি পূর্ণ হতে আরো ২০ মিনিট সময় লাগলে শুধু দ্বিতীয় নলটি দ্বারা সম্পূর্ণ ট্যাংকটি পূর্ণ হতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
দুইটি নল দ্বারা,
১৫ মিনিটে ট্যাংক পূর্ণ হয় = ১ অংশ
∴ ১ মিনিটে পূর্ণ হয় = ১/১৫ অংশ
∴ ১০ মিনিটে পূর্ণ হয় = ১০/১৫ অংশ
= ২/৩ অংশ

১০ মিনিট পর অবশিষ্ট থাকে = ১ - (২/৩)  অংশ
= ১/৩ অংশ

দ্বিতীয় নলটি,
১/৩ অংশ পূর্ণ করতে সময় লাগে = ২০ মিনিট
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ পূর্ণ করতে সময় লাগে = ২০ × ৩ মিনিট
= ৬০ মিনিট

∴ শুধু দ্বিতীয় নলটি দ্বারা সম্পূর্ণ ট্যাংকটি পূর্ণ করতে সময় লাগবে = ৬০ মিনিট

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চার আয়তন ১২ ঘন মিটার। চৌবাচ্চাটির দৈর্ঘ্য ৩ মিটার এবং প্রস্থ ২ মিটার। চৌবাচ্চার গভীরতা কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
চৌবাচ্চাটির গভীরতা = ক মিটার 
​
​প্রশ্নমতে, 
​চৌবাচ্চার আয়তন = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা) 
⇒ ১২ = (৩ × ২ × ক) 
⇒ ৬ক = ১২
​⇒ ক = ১২/৬ 
∴ ক = ২ 

∴ চৌবাচ্চাটির গভীরতা= ২ মিটার। 

প্রশ্ন: ২০ জন লোক একটি দেয়াল ১৫ দিনে তৈরি করতে পারে। ১০ দিনে দেয়ালটি তৈরি করতে কতজন লোক লাগবে?

সমাধান:
১৫ দিনে দেয়াল তৈরি করে ২০ জন
১ দিনে দেয়াল তৈরি করে (২০ × ১৫) জন
১০ দিনে দেয়াল তৈরি করে (২০ × ১৫)/১০ জন
= ৩০ জন 

সুতরাং, ১০ দিনে দেয়ালটি তৈরি করতে ৩০ জন লোক লাগবে।

প্রশ্ন: ১২ জন লোক একটি কাজের অর্ধেক অংশ ৭ দিনে করতে পারে। ঐ কাজটি ৪ জন লোক কতদিনে করতে পারবে?

সমাধান:
১২ জন লোক অর্ধেক কাজ করতে পারে = ৭ দিনে 
∴ ১২ জন লোক সম্পূর্ণ কাজ করতে পারে = ৭ × ২ = ১৪ দিনে 

এখন,
১২ জন লোক কাজটি করতে পারে = ১৪ দিনে 
∴ ১ জন লোক কাজটি করতে পারে = (১৪ × ১২) দিনে 
∴ ৪ জন লোক কাজটি করতে পারে = (১৪ × ১২)/৪ = ৪২ দিনে 

প্রশ্ন: একটি পাইপ ৫ ঘন্টায় একটি চৌবাচ্চা পূর্ণ করতে পারে এবং অপর একটি পাইপ চৌবাচ্চাটি ১০ ঘন্টায় খালি করতে পারে। যদি প্রথম পাইপটি ৩ ঘন্টা চলার পর দ্বিতীয় পাইপটি চালু করা হয়, তাহলে দুইটি পাইপ চালু অবস্থায় পুরো চৌবাচ্চাটি ভর্তি হতে মোট কত সময় লাগবে?

সমাধান:
প্রথম পাইপ দ্বারা,

৫ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় = ১ অংশ
∴ ১ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় = ১/৫ অংশ
∴ ৩ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় = ৩/৫ অংশ

∴ ৩ ঘণ্টা পর অবশিষ্ট থাকবে = ১ - (৩/৫) = ২/৫ অংশ

দ্বিতীয় পাইপ দ্বারা,
১০ ঘণ্টায় খালি হয় = ১ অংশ
∴ ১ ঘণ্টায় খালি হয় = ১/১০ অংশ

দুইটি পাইপ একসাথে চললে চৌবাচ্চাটি ১ ঘণ্টায় পূর্ণ হবে = (১/৫) - (১/১০) অংশ
= (২ - ১)/১০
= ১/১০ অংশ

১/১০ অংশ পূর্ণ হয় = ১ ঘণ্টায়
∴ ২/৫ অংশ পূর্ণ হয় = (২/৫) × (১০/১) ঘণ্টায়
= (২ × ১০)/(৫ × ১) ঘণ্টায়
= ২০/৫ ঘণ্টায়
= ৪ ঘণ্টায়

∴ চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হতে মোট সময় লাগবে = (৩ + ৪) ঘণ্টা = ৭ ঘণ্টা

প্রশ্নঃ দুটি পাইপ A এবং B যথাক্রমে ২৪ মিনিট এবং ৩২ মিনিটে একটি ট্যাঙ্ক পূর্ণ করতে পারে, যদি দুটি পাইপ একসাথে খুলে দেয়া হয়।কত সময় পর ব বন্ধ করলে সম্পূর্ণ ট্যাঙ্কটি মোট ১৮ মিনিটে পূর্ণ হবে?

সমাধানঃ

প্রশ্ন: একটি পাইপ ৬ ঘন্টায় একটি ট্যাংক পূর্ণ করতে পারে এবং অপর একটি পাইপ ট্যাংকটি ৮ ঘন্টায় খালি করতে পারে। যদি প্রথম পাইপটি ২ ঘন্টা চলার পর দ্বিতীয় পাইপটি চালু করা হয়, তাহলে দুইটি পাইপ চালু অবস্থায় পুরো ট্যাংকটি ভর্তি হতে মোট কত সময় লাগবে?

সমাধান:
প্রথম পাইপ দ্বারা,
৬ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় = ১ অংশ
∴ ১ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় = ১/৬ অংশ
∴ ২ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় = ২/৬ অংশ = ১/৩ অংশ

∴ ২ ঘণ্টা পর অবশিষ্ট থাকবে = (১ - ১/৩) = ২/৩ অংশ

দ্বিতীয় পাইপ দ্বারা,
৮ ঘণ্টায় খালি হয় = ১ অংশ
∴ ১ ঘণ্টায় খালি হয় = ১/৮ অংশ

দুইটি পাইপ একসাথে চললে ট্যাংকটি ১ ঘণ্টায় পূর্ণ হবে = (১/৬) - (১/৮)
= (৪ - ৩)/২৪
= ১/২৪

১/২৪ অংশ পূর্ণ হয় = ১ ঘণ্টায়
∴ ২/৩ অংশ পূর্ণ হয় = (২ × ২৪)/৩ = ১৬ ঘণ্টায়

∴ ট্যাংকটি পূর্ণ হতে মোট সময় লাগবে = (২ + ১৬) ঘণ্টা = ১৮ ঘণ্টা