সমান্তর ধারা

প্রশ্ন: (১ + ২^৩ + ৩^৩ + ৪^৩ + ....... + ১০^৩)/(১ + ২ + ৩ + ....... + ১০) = কত?

সমাধান: 
(১ + ২^৩ + ৩^৩ + ৪^৩ + ....... + ১০^৩)/(১ + ২ + ৩ + ....... + ১০) 
= {১০(১০ + ১)/২}^২/{(১০ × (১০ + ১)/২}
= {(১০ × ১১)/২}^২/{(১০ × (১১/২)}
= (৫৫)^২/৫৫ 
= (৫৫ × ৫৫)/৫৫
= ৫৫ 

প্রশ্ন: রহিম প্রথম মাসে 1200 টাকা সঞ্চয় করেন এবং প্রতি মাসে আগের মাসের তুলনায় 200 টাকা বেশি সঞ্চয় করেন। তিনি 15 তম মাসে কত টাকা সঞ্চয় করেন?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ, a = 1200
সাধারণ অন্তর, d = 200

আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1)d

∴ 15 তম পদ = a + (15 - 1) × d
= 1200 + (14 × 200)
= 1200 + 2800
= 4000

∴ রহিম 15 তম মাসে সঞ্চয় করেন 4000 টাকা।

এখানে, প্রথম পদ = ২০, শেষ পদ = ১৩০ এবং সাধারণ অন্তর = ৫।
সুতরাং পদ সংখ্যা = (শেষ পদ - প্রথম পদ)/সাধারণত অন্তর + ১
= (১৩০ - ২০)/৫ + ১
= ১১০/৫ + ১
= ২২ + ১
= ২৩

প্রশ্ন: 213 + 173 +______+ 93, শূন্যস্থানে কোন সংখ্যাটি হবে?

সমাধান:
ধারাটির,
১ম পদ = 213
২য় পদ = 213 - 40 = 173
৩য় পদ = 173 - 40 = 133
৪র্থ পদ = 133 - 40 = 93

২^২ + ৪^২ + ৬^২ + ....... + ২০^২
= ২^২.১^২ + ২^২.২^২ + ২^২.৩^২ +........+২^২.১০^২
= ২^২(১^২ + ২^২ + ৩^২ +.......+ ১০^২)
= ৪[১/৬ × ১০ × (১০ + ১)(২.১০ + ১)]
= ৪ × ১/৬ × ১০ × ১১ × ২১
= ৯২৪০/৬
= ১৫৪০

ধারাটির যোগফল
= 1/6 × n(n + 1)(2n + 1)
= (1/6) × 50 (50 + 1)(2 × 50 +1)
= (1/6) × 50 × 51 × 101
= 42925

প্রশ্ন: ১ হতে ২৭ পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যাগুলোর গড় কত? 

সমাধান: 
এখানে, 
ধারাটির পদগুলো হলো- ১, ২, ৩, ৪, ৫, ............... ২৭ 
এটি একটি সমান্তর ধারা, 
∴ ধারাটির প্রথম পদ = ১ 
ধারাটির শেষ পদ = ২৭ 

∴ নির্ণেয় গড় = (শেষ পদ + প্রথম পদ)/২ 
= (২৭ + ১)/২ 
= ২৮/২ 
= ১৪

7 তম পদ = a + 6 × 10
⇒ 62 = a + 60
⇒ a = 2
16 তম পদ = 2 + 15 × 10 = 152

প্রশ্ন: 1 + 2 + 3 +......+ 25 = কত?

সমাধান:
n তম সংখ্যার যোগফল = n(n + 1)/2

এখানে,
n = 25

তাহলে,
25 তম সংখ্যার যোগফল = 25(25 + 1)/2
= (25​ × 26)/2
= (25 × 13)
= 325

সাধারণ অন্তর, d = 2
আমরা জানি, পদ সংখ্যা = {( শেষ পদ - ১ম পদ)/সাধারণ অন্তর} + ১
= {(2n - 1 - 3)/2} + 1
= n - 2 + 1
= n - 1

a = ৫,
d = ৪
∴ n তম পদ = a + (n - ১)d
বা, ৮১ = ৫ + (n - ১)৪
বা, (n - ১)৪ = ৭৬
বা, (n - ১) = ১৯
∴ n = ২০
∴ সমষ্টি = n/২{২a + (n - ১)d}
= ২০/২ × {২ × ৫ + (২০ - ১)৪}
= ১০ × ৮৬
= ৮৬০

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সমান্তর ধারা?

সমাধান:
• একটি সমান্তর ধারা হলো এমন একটি ধারা, যেখানে যেকোনো পদ ও তার পূর্ববর্তী পদের মধ্যে পার্থক্য বা সাধারণ অন্তর (d) সর্বদা সমান থাকে। সাধারণ অন্তর ধনাত্মক বা ঋণাত্মক উভয়ই হতে পারে।

• প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে শুধুমাত্র (গ) 4 + 7 + 10 + 13 + ... ধারাটির প্রতিটি পদের মধ্যে অন্তর সমান।
এখানে, সাধারণ অন্তর, d = 7 - 4 = 3
আবার, d = 10 - 7 = 3 এবং 13 - 10 = 3।
যেহেতু প্রতি ক্ষেত্রে সাধারণ অন্তর একই (3), তাই এটি একটি সমান্তর ধারা।

• অন্যান্য অপশনসমূহ:
(ক) 2 + 5 + 9 + 17 + ... ধারাটিতে সাধারণ অন্তর সমান নয়, তাই এটি সমান্তর ধারা নয়।
(খ) (1/3) + (1/9) + (1/27) +.... ধারাটিতে সাধারণ অনুপাত (1/3) সমান, তাই এটি একটি গুণোত্তর ধারা।

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারায় 12তম পদের মান 77 হলে, এর প্রথম 23টি পদের যোগফল কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
12 তম পদ = 77

ধরি,
ধারাটির ১ম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d

তাহলে,
12 তম পদ = a + (12 - 1)d
= a + 11d

শর্তমতে,
a + 11d = 77

আবার,
প্রথম n পদের সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
∴ প্রথম 23টি পদের সমষ্টি = (23/2){2a + (23 - 1)d}
= (23/2)(2a + 22d)
= (23/2) × 2(a + 11d)
= (23/2) × 2 × 77 [a + 11d = 77 বসিয়ে]
= 23 × 77
= 1771

∴  সমান্তর ধারাটির প্রথম 23টি পদের সমষ্টি  1771.

প্রশ্ন: ১৫ + ১৮ + ২১ + ২৪ +..............ধারাটির ২৫ তম পদ কত?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা।
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = ১৫
সাধারণ অন্তর, d = (১৮ - ১৫) = ৩
এবং পদসংখ্যা, n = ২৫

আমরা জানি, সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - ১)d

∴ ধারাটির ২৫ তম পদ = a + (n - ১)d
= ১৫ + (২৫ - ১) × ৩
= ১৫ + (২৪ × ৩)
= ১৫ + ৭২
= ৮৭

∴ ধারাটির ২৫ তম পদ = ৮৭

প্রশ্ন: 12 + 9 + 6 + ... ধারাটির 30 তম পদটি কত?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা, কারণ প্রতিটি পরবর্তী পদ আগের পদের থেকে 3 করে কমছে।
প্রথম পদ, a = 12,
সাধারণ অন্তর, d = 9 - 12 = - 3

n তম পদের সূত্র, a_n = a + (n - 1) d

এখন 30 তম পদের জন্য, a₃₀ = 12 + (30 - 1)(- 3)
= 12 + 29(- 3)
= 12 - 87
= - 75

∴ 30 তম পদটি - 75

a = ১,
r = ২/১ = ২,
n তম পদ = ar^n-১
বা, ১২৮ = ১ × r^n-১
বা, r^n-১ = ২^৭
বা, ২^n-১ = ২^৭
বা, n - ১ = ৭
∴ n = ৮

প্রশ্ন: ২ + ৭ + ১২ + ১৭ + ............ + ১৪৭ ধারায় কয়টি পদ আছে?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা।
যার প্রথম পদ, a = ২
সাধারণ অন্তর, d = ৭ - ২ = ৫
এবং শেষ পদ, l = ১৪৭

আমরা জানি, 
সমান্তর ধারার n-তম পদ, a_n = a + (n - ১)d
⇒ ১৪৭ = ২ + (n - ১) × ৫
⇒ ১৪৭ - ২ = (n - ১) × ৫
⇒ ১৪৫ = (n - ১) × ৫
⇒ n - ১ = ১৪৫/৫
⇒ n - ১ = ২৯
⇒ n = ২৯ + ১ = ৩০
∴ n = ৩০ 

অতএব, ধারাটিতে ৩০টি পদ আছে।

কোনো সমান্তর প্রগমনে প্রথম দুটি পদ ৫ ও ১৭ হলে, সাধারণ অন্তর = ১৭-৫ = ১২।
সুতরাং তৃতীয় পদ = দ্বিতীয় পদ + সাধারণ অন্তর
= ১৭+১২
= ২৯

এখানে,
d = 5
∴ 11তম পদ = a + (11 - 1)d = 54
বা, a + 10 × 5 = 54
বা, a = 54 - 50 = 4
∴ 15তম পদ = 4 + (15 - 1)5
= 4 + 14 × 5
= 4 + 70
= 74

n(n+1)/2
= (99 X 100)/2
= 4950

প্রশ্ন: 1² + 2² + 3² + ....... + 18² = কত?

সমাধান:
আমরা জানি, প্রথম n সংখ্যক ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি:
S_n = n(n + 1)(2n + 1)/6

এখানে, শেষ পদ n = 18
∴ সমষ্টি = {18(18 + 1)(2 × 18 + 1)}/6
= {18 × 19 × (36 + 1)}/6
= (18 × 19 × 37)/6
= 3 × 19 × 37
= 57 × 37
= 2109

এখানে।
d = 8, প্রথম পদ a হলে,
7-তম পদ = a + (7 - 1)d = 53
বা, a + 6.8 = 53
বা, a = 53 - 48 = 5
∴ 16-তম পদ = a + (16 - 1)8
= 5 + 15 × 8
= 125

প্রশ্ন: 13 + 20 + 27 + 34 +..................+ 118 ধারাটির পদ সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 13
সাধারণ অন্তর, d = 20 - 13 = 7
ধরি,
পদসংখ্যা = n
এবং n-তম পদ = 118

আমরা জানি,
n-তম পদ = a + (n - 1)d 

সুতরাং,
a + (n - 1)d  = 118
⇒ 13 + (n - 1)7 = 118
⇒ 13 + 7n - 7 = 118
⇒ 7n + 6 = 118
⇒ 7n = 118 - 6
⇒ 7n = 112
⇒ n = 112/7
⇒ n = 16

অর্থাৎ ধারাটির পদসংখ্যা = 16

5 + 11 + 17 + ------- + 59
ধারাটির প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অন্তর, d = 11-5 = 6
সুতরাং পদসংখ্যা বা n তম পদ = a + (n-1)d
বা, 59 = 5 + (n-1)6
বা, (n-1)6 = 59-5
বা, n-1 = 54/6
বা, n-1 = 9
বা, n = 9+1
বা, n = 10

a = 6,
r = 12/6 = 2
∴ ৭ম পদ = ar^7-1
= 6.2⁶
= 384

প্রশ্ন: 20, 23, 26, 29,............ধারাটির ৩১ তম পদ কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ধারাটি 20, 23, 26, 29,...........
এখানে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 20
সাধারণ অন্তর, d = (দ্বিতীয় পদ - প্রথম পদ)
= (23 - 20)
= 3
এবং পদসংখ্যা, n = 31

∴ ধারাটির ৩১ তম পদ = a + (n - 1) d
= 20 + (31 - 1) × 3
= 20 + (30 × 3)
= 20 + 90
= 110

প্রশ্ন: 7 + 12 + 17 + .......... ধারাটির প্রথম 32 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধারাটির প্রথম পদ, a = 7
সাধারণ অন্তর, d = 12 - 7 = 5
∴ ইহা একটি সমান্তর ধারা এবং পদ সংখ্যা, n = 32

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি S_n = (n/2) × {2a + (n - 1)d}
∴ 32 টি পদের সমষ্টি S₃₂ = (32/2) × {2 × 7 + (32 - 1)5}
= 16 × (14 + 31 × 5)
= 16 × 169
= 2704

n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = n(n + 1)/2
∴ 105টি স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = 105(105 + 1)/2
= (105 × 106)/2
= 5565

১ম পদ (a) = ১,
সাধারণ অন্তর (d) = ৫ - ১ = ৪
শেষ পদ = a + (n - ১)d = ৮১
বা, ১ + (n - ১)৪ = ৮১
বা, (n - ১)৪ = ৮০
বা, n - ১ = ২০
∴ n = ২১

∴ সমষ্টি (s) = n/২ {২a + (n - 1)d}
= (২১/২){(২ × ১) + (২১ - ১)৪}
= (২১/২)(২ + ৮০)
= ২১ × ৪১

∴ গড় = (২১ × ৪১)/২১
= ৪১