সমান্তর ধারা

PrepBank · পাতা ৬ / ১৫ · ৫০১–৬০০ / ১,৪৩৮

৫০১.

একটি সমান্তর ধারার 12 তম পদ 77 হলে, তার প্রথম 23 পদের সমষ্টি কত?

ক
1771
খ
1176
গ
1056
ঘ
2025

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার 12 তম পদ 77 হলে, তার প্রথম 23 পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
মনেকরি,
ধারাটির প্রথম পদ, a
সাধারণ অন্তর, d
আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
12 তম পদ = a + (12 - 1)d
= a + 11d

প্রশ্নমতে, a + 11d = 77

আমরা জানি,
n তম পদের সমষ্টি = (n/2){2a + (n-1)d}
সুতরাং প্রথম 23টি পদের সমষ্টি = (23/2) {2a + (23-1)d}
= (23/2) (2a + 22d)
= (23/2) × 2 (a + 11d)
= 23 × (a + 10d)
= 23 × 77
= 1771

৫০২.

5 + 11 + 17 + 23 + --- --- --- + 59 = কত?

ক
ক) 300
খ
খ) 310
গ
গ) 320
ঘ
ঘ) 340

ব্যাখ্যা

পদ সংখ্যা = (59 - 5)/6 + 1 = 10
অতএব, সমষ্টি
= 10/2{2 × 5 + (10 - 1)6}
= 5(10 + 54)
= 5 × 64
= 320

৫০৩.

একটি সমান্তর ধারার সাধারণ অন্তর ৯ এবং ৭ম পদ ৬০ হলে ১২তম পদ কত?

ক
ক) ৯০
খ
খ) ১০০
গ
গ) ১০৫
ঘ
ঘ) ১০৮

ব্যাখ্যা

সমান্তর ধারার ১ম পদ a
সাধারণ অন্তর d = 9

দেয়া আছে,
৭ম পদ = 60
আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
৭ম পদ = a + (7 - 1)d
60 = a + 6d
60 = a + 6 × 9
60 = a + 54
a = 60 - 54
a = 6

১২ তম পদ = a + (12 - 1)d
= 6 + 11 × 9
= 6 + 99
= 105

৫০৪.

২, ৬, ১০, ১৪,.................. অনুক্রমটির ৩০ তম পদ কোনটি?

ক
১১৮
খ
৯৫
গ
৮৫
ঘ
১২২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ২, ৬, ১০, ১৪,.................. অনুক্রমটির ৩০ তম পদ কোনটি?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ, a = ২
সাধারণ অন্তর, d = ৬ - ২ = ৪
∴ অনুক্রমটির ৩০ তম পদ = a + (n - ১)d
= ২ + (৩০ - ১)৪
= ২ + ২৯ × ৪
= ২ + ১১৬
= ১১৮

৫০৫.

ক
ক) 20
খ
খ) 21
গ
গ) 22
ঘ
ঘ) 23

ব্যাখ্যা

(1³ + 2³ + 3³ + --- + n³)/(1 + 2 + 3 + --- + n)
⇒ {n(n + 1)/2}²/{n(n + 1)/2} = 210
⇒ n(n + 1)/2 = 210
⇒ n(n + 1) = 420
⇒ n² + n = 420
⇒ n² + n - 420 = 0
⇒ n² + 21n - 20n - 420 = 0
⇒ n(n + 21) - 20(n - 21) = 0
∴ (n - 20)(n + 21) = 0
⇒ n = 20

৫০৬.

log2+ log4 + log8 + .............. ধারাটির প্রথম দশটি পদের সমষ্টি কত?

ক
45log2
খ
55log2
গ
65log2
ঘ
75log2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log2+ log4 + log8 + .............. ধারাটির প্রথম দশটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
log2 + log4 + log8 + ............... + প্রথম দশটি পদের সমষ্টি
= log2 + log4 + log8 + ............... + প্রথম দশটি পদের সমষ্টি
= log2¹ + log2² + log2³ +............... + প্রথম দশটি পদের সমষ্টি
= 1 log2 + 2 log2 + 3 log2 + ............... + প্রথম দশটি পদের সমষ্টি
= log2 (1 + 2 + 3 + 4 + ............... + 10)
= log2 {10(10 + 1)/2}
= log2 (5 × 11)
= log2 × 55
= 55 log2

৫০৭.

5 + 8 + 11 + 14 + 17 ------ ধারাটির কোন পদ 362?

ক
ক) 100
খ
খ) 110
গ
গ) 115
ঘ
ঘ) 120

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5 + 8 + 11 + 14 + 17 ------ ধারাটির কোন পদ 362?

সমাধান:
দেওয়া আছে, ধারাটির প্রথম পদ, a = 5;
সাধারণ অন্তর, d = 8 - 5
= 11- 8
= 14 - 11
= 3; সুতরাং ইহা একটি সমান্তর ধারা।

মনে করি, ধারাটির n তম পদ = 362
আমরা জানি, n তম পদ = a + ( n - 1 ) d
সুতরাং a + ( n - 1 ) d = 362
বা, 5 + (n - 1 ) 3 = 362
বা, 5 + 3n - 3 = 362
বা, 3n + 2 = 362
বা, 3n = 360
বা, n =120
সুতরাং প্রদত্ত ধারার 120 তম পদ = 362

৫০৮.

5 + 12 + 19 + 26 +................. ধারাটির কোন পদ 215?

ক
29 তম
খ
31 তম
গ
32 তম
ঘ
30 তম

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5 + 12 + 19 + 26 +.......................... ধারাটির কোন পদ 215?

সমাধান:
ইহা একটি সমান্তর ধারা।
যার ১ম পদ, a = 5
সাধারণ অন্তর, d = 12 - 5 = 7
আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1) × d
প্রশ্নমতে,
⇒ a + (n - 1) × d = 215
⇒ 5 + (n - 1) × 7 = 215
⇒ 5 + 7n - 7 = 215
⇒ 7n = 215 - 5 + 7
⇒ 7n = 217
⇒ n = 217/7
∴ n = 31

৫০৯.

1 + 2 + 3 + 4 +.................+ 99 = কত?

ক
4650
খ
4750
গ
4850
ঘ
4950

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 + 2 + 3 + 4 + ……………. + 99 = কত?

সমাধান:
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = n(n + 1)/2

∴ 99 স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = 99(99 + 1)/2
= (100 × 99)/2
= 50 × 99
= 4950

৫১০.

7 + 13 + 19 + … ধারাটির প্রথম 20 টি পদের যোগফল কত?

ক
1180
খ
1246
গ
1280
ঘ
1146

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 7 + 13 + 19 + … ধারাটির প্রথম 20 টি পদের যোগফল কত?

সমাধান:
প্রথম পদ: a = 7
সাধারণ অন্তর: d = 13 - 7 = 6
পদের সংখ্যা: n = 20

প্রথম n পদের যোগফল সূত্র:
S_n = n/2[2a + (n - 1)d]
S₂₀ = 20/2[2 × 7 + (20 - 1)6]
S₂₀ = 10[14 + 19 × 6]
S₂₀ = 10[14 + 114]
S₂₀ = 10[128]
S₂₀ = 1280

∴20 পদের যোগফল 1280

৫১১.

1² + 2² + 3² + ……. + 30² = কত?

ক
7665
খ
8450
গ
9455
ঘ
9850

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1² + 2² + 3² + ……. + 30² = কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বর্গের সমষ্টি = {n(n + 1)(2n + 1)}/6
= [30 × (30 + 1){(2 × 30) + 1}]/6
= (30 × 31 × 61)/6
= 56730/6
= 9455

৫১২.

৫ + ৮ + ১১ + ১৪ +.................ধারাটির কোন পদ ৩৮৩?

ক
১২৪
খ
১২৬
গ
১২৫
ঘ
১২৭

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৫ + ৮ + ১১ + ১৪ +......ধারাটির কোন পদ ৩৮৩?

সমাধান:
ধারার ১ম পদ a = ৫
সাধারণ অন্তর d =৮ - ৫ = ৩
ধারার n তম পদ = ৩৮৩
আমরা জানি, n তম পদ = a + (n -1)d

প্রশ্নমতে,
৫ + (n - 1)৩ = ৩৮৩
⇒ ৫ + ৩n - ৩ = ৩৮৩
⇒৩n + ২ = ৩৮৩
⇒ ৩n = ৩৮৩ - ২
⇒ ৩n = ৩৮১
⇒ n = ১২৭

৫১৩.

কোনো ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি n(n + 1) হলে, ধারাটির প্রথম 24 টি পদের সমষ্টি কত?

ক
600
খ
612
গ
599
ঘ
584

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি n(n + 1) হলে, ধারাটির প্রথম 24 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি = n(n + 1)
প্রথম 24টি পদের সমষ্টি = 24(24 + 1)
= 24 × 25
= 600

৫১৪.

একটি সমান্তর ধারার সাধারণ অন্তর ৯ এবং ৮ম পদ ৬৯ হলে, ১৩তম পদ কত?

ক
ক) 112
খ
খ) 105
গ
গ) 114
ঘ
ঘ) 115

ব্যাখ্যা

সমান্তর ধারার ১ম পদ a
সাধারণ অন্তর d = 9

দেয়া আছে,
৮ম পদ = 69
আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
৮ম পদ = a + (8 - 1)d
69 = a + 7d
69 = a + 7 × 9
69 = a + 63
a = 69 - 63
a = 6

১৩ তম পদ = a + (13 - 1)d
= 6 + 12 × 9
= 6 + 108
= 114

৫১৫.

log3 + log9 + log27 + ................... ধারাটির প্রথম দশটি পদের সমষ্টি কত?

ক
65log3
খ
25log3
গ
45log3
ঘ
55log3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log3 + log9 + log27 + ......................... ধারাটির প্রথম দশটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
log3 + log9 + log27 + .........
= log3 + log3² + log3³ + .........
= log3 + 2log3 + 3log3 + .........
= (1 + 2 + 3 +.................... ) × log3

∴ ১ম ১০টি পদের সমষ্টি = [{10(10 + 1)}/2] × log3
= 55log3

৫১৬.

1 + 3 + 5 + ...... + (2a - 1) = কত?

ক
a(a + 1)
খ
a²
গ
a(a + 1)/2
ঘ
a

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 + 3 + 5 + ...... + (2a - 1) = কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ = 1
সাধারণ অন্তর = 3 - 1 = 2
শেষ পদ = 2a - 1

∴ পদসংখ্যা = {(শেষ পদ ১ম পদ)/সাধারণ অন্তর} + 1
= {(2a - 1 - 1)/2} + 1
= {2(a - 1)/2} + 1
= a - 1 + 1
= a

∴ সমষ্টি = {(শেষ পদ ১ম পদ)/2} × পদসংখ্যা
= {(2a - 1 + 1)/2} × a
= (2a/2) × a
= a²

৫১৭.

একটি সমান্তর ধারার চতুর্থ ও দ্বাদশ পদের যোগফল 20 হলে প্রথম পনেরটি পদের যোগফল কত?

ক
ক) 300
খ
খ) 150
গ
গ) 130
ঘ
ঘ) 120

ব্যাখ্যা

ধরি, ১ম পদ = a সাধারন অন্তর = d
∴ ৪র্থ পদ = a + (4 - 1)d = a = 3d
১২ তম পদ = a + (12 - 1)d = a + 11d
পদ্বদয়ের সমষ্টি = 2a + 14d = 20
∴ ১ম পনেরটি পদের সমষ্টি
= 15/2{2a + (15-1d)}
=15/2 × (2a + 14d)
= 15/2 × 20 = 150

৫১৮.

একটি সমান্তর ধারার ৩য় পদ এবং ৮ম পদ যথাক্রমে - 13 এবং 2 হলে, ধারাটির ১৪তম পদ কত?

ক
17
খ
25
গ
30
ঘ
20

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার ৩য় পদ এবং ৮ম পদ যথাক্রমে - 13 এবং 2 হলে, ধারাটির ১৪তম পদ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
a_n = a + (n - 1)d
দেওয়া আছে,
a₃ = a + 2d = - 13 .......(1)
a₈ = a + 7d = 2 .......(2)

এখন (2) থেকে (1) বিয়োগ করে পাই,
(a + 7d) - (a + 2d) = 2 - (- 13)
⇒ 5d = 15
⇒ d = 15/5 = 3
∴ d = 3

d এর মান (1) বসিয়ে পাই,
⇒ a + 2 × 3 = - 13
⇒ a + 6 = - 13
⇒ a = - 13 - 6
∴ a = - 19

এখন ১৪তম পদ, a₁₄ = a + 13d
= - 19 + 13 × 3
= - 19 + 39
= 20

সুতরাং, ধারাটির ১৪তম পদ = 20

৫১৯.

6 + 12 + 18 + 24 +...........ধারাটির প্রথম 10টি পদের যোগফল কত?

ক
ক) 320
খ
খ) 325
গ
গ) 340
ঘ
ঘ) 330

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 6 + 12 + 18 + 24 +...........ধারাটির প্রথম 10টি পদের যোগফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a = 6
d = 6
n = 10

আমরা জানি,
সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d)}
= (10/2){2 × 6 + (10 - 1)6}
= 5{12 + (9 × 6)}
= 5 × 66
= 330

৫২০.

এক ব্যক্তি বছরের প্রারম্ভে ৩টি গাছ রোপন করলেন। এরপর প্রতি বছর ৫টি করে অতিরিক্ত গাছ রোপন করলে, ২০তম বছরে তিনি কতটি গাছ রোপন করবেন?

ক
৯৩
খ
৯৮
গ
১০৩
ঘ
১০৮

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি বছরের প্রারম্ভে ৩টি গাছ রোপন করলেন। এরপর প্রতি বছর ৫টি করে অতিরিক্ত গাছ রোপন করলে, ২০তম বছরে তিনি কতটি গাছ রোপন করবেন?

সমাধান:
১ম বছরে গাছ রোপন = ৩টি
প্রতি বছর অতিরিক্ত = ৫টি করে বৃদ্ধি
∴ এটি একটি সমান্তর ধারা।

এখানে,
প্রথম পদ (a) = ৩
সাধারণ অন্তর (d) = ৫
পদ সংখ্যা (n) = ২০

আমরা জানি,
n-তম পদ= a + (n - 1)d
∴ ২০ তম পদ = ৩ + (২০ - ১) × ৫
= ৩ + ১৯ × ৫
= ৩ + ৯৫
= ৯৮টি

৫২১.

2 + 5 + 8 + 11 + ………..ধারাটির কোন পদ 296?

ক
ক) 96
খ
খ) 98
গ
গ) 99
ঘ
ঘ) 100

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2 + 5 + 8 + 11 + ………..ধারাটির কোন পদ 296?

সমাধান:
প্রদত্ত ধারাটি একটি সমান্তর ধারা।
প্রথম পদ = 2
সাধারণ অনুপাত, = 5 - 2 = 3

মনে করি,
ধারাটির n-তম পদ = 296
∴ a + (n - 1) d = 296
বা, 2 + (n - 1).3 = 296
বা, 2 + 3n - 3 = 296
বা, 3n - 1 = 296
বা, 3n = 297
বা, n = 297/3
∴ n = 99

ধারটির 99 তম পদের মান 296।

৫২২.

যদি - 7, P, Q, 20 সমান্তর অনুক্রমে থাকে, তাহলে P ও Q এর মান হবে যথাক্রমে-

ক
2, 11
খ
- 2, 11
গ
2, - 11
ঘ
- 2, -11

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি - 7, P, Q, 20 সমান্তর অনুক্রমে থাকে, তাহলে P ও Q এর মান হবে যথাক্রমে-

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ a = - 7
সাধারণ অন্তর = d

এখন,
৪র্থ পদ = a + (4 - 1)d
বা, 20 = - 7 + 3d
বা, 20 + 7 = 3d
বা, 27 = 3d
∴ d = 9

২য় পদ, p = a + (2 - 1)d = - 7 + 9 = 2
৩য় পদ, q = a + (3 - 1)d = - 7 + (2 × 9) = - 7 + 18 = 11
∴ p = 2, q = 11

৫২৩.

2 + 6 + 18 + ..... ধারাটির প্রথম কতটি পদের সমষ্টি 2186?

ক
11 টি
খ
9 টি
গ
7 টি
ঘ
8 টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2 + 6 + 18 + ..... ধারাটির প্রথম কতটি পদের সমষ্টি 2186?

সমাধান:
ধরি,
2 + 6 + 18 + ..... ধারাটির প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি 2186

এখানে,১ম পদ, a = 2,
সাধারণ অনুপাত, r = 6/2 = 3 >1

প্রশ্নমতে,
n সংখ্যক পদের সমষ্টি = 2186
⇒ a{(rⁿ - 1)/(3 - 1)} = 2186
⇒ 2 × {(3ⁿ - 1)/2} = 2186
⇒ 3ⁿ - 1 = 2186
⇒ 3ⁿ = 2187
⇒ 3ⁿ = 3⁷
∴ n = 7

৫২৪.

একটি সমান্তর ধারার 10টি পদের যোগফল 390। ধারাটির তৃতীয় পদ 19 হলে, প্রথম পদটি কত?

ক
3
খ
6
গ
4
ঘ
7

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার 10টি পদের যোগফল 390। ধারাটির তৃতীয় পদ 19 হলে, প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n-তম পদ = a + (n - 1)d
⇒ a + (3 - 1)d = 19
⇒ a = 19 - 2d ...... (1)

আবার, n তম পদের সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
⇒ (10/2){2a + (10 - 1)d} = 390
⇒ 5(2a + 9d) = 390
⇒ 2a + 9d = 78
⇒ 38 - 4d + 9d = 78 [(1) নং হতে a এর মান বসিয়ে]
⇒ 5d = 40
∴ d = 8
∴ a = 19 - (2 × 8) = 3

৫২৫.

২ - ৫ - ১২ - ১৯ - ...... ধারাটির ১৫ তম পদ নির্ণয় করুন-

ক
- ৮৮
খ
- ১০২
গ
- ৯৬
ঘ
- ৯৮

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ২ - ৫ - ১২ - ১৯ - ...... ধারাটির ১৫ তম পদ নির্ণয় করুন-

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা।
যার, প্রথম পদ, a = ২
সাধারণ অন্তর, d = - ৫ - ২ = - ৭

আমরা জানি,
n-তম পদ, a_n = a + (n - ১)d
১৫তম পদ, a_১৫ = ২ + (১৫ - ১) × (- ৭)
= ২ + ১৪ × (- ৭)
= ২ - ৯৮
= - ৯৬

৫২৬.

3 + 7 + 11 + 15 + ...... ধারাটির কোন পদ 263?

ক
65
খ
66
গ
67
ঘ
68

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3 + 7 + 11 + 15 + ...... ধারাটির কোন পদ 263?

সমাধান:
ধারাটির প্রথম পদ a = 3
এখানে,
7 - 3 = 4
11 - 7 = 4
∴ ধারাটি একটি সমান্তর ধারা।
∴ সাধারণ অন্তর d = 4

ধরি,
ধারাটির n তম পদ = 263
আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1) d
∴ a + (n - 1) d = 263
বা, 3 + (n - 1). 4 = 263
বা, 4(n - 1) = 263 - 3 = 260
বা, n - 1 = 260/4 = 65
বা, n = 65 + 1 = 66

∴ প্রদত্ত ধারার 66 তম পদ = 263

৫২৭.

একটি সমান্তধারার সাধারণ অন্তর 8 এবং 11 তম পদ 85 হলে 16 তম পদ কত?

ক
ক) 120
খ
খ) 122
গ
গ) 125
ঘ
ঘ) 128

ব্যাখ্যা

১ম পদ a,
সাধারণ অন্তর d = ৪
∴ 11 তম পদ = 85
বা, a + (n - 1)d = 85
বা, a + (11 - 1)8 = 85
বা, a + 80 = 85
∴ a = 5
∴ 16 তম পদ = a + (16 - 1)d
= 5 + 15 × 8
= 5 + 120
= 125

৫২৮.

4 + 5 + 6 +..........+ 80 =?

ক
3234
খ
5044
গ
3246
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4 + 5 + 6 +..........+80 =?

সমাধান:
(1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 +...........+ 80) - 1 - 2 - 3
= {80(80 + 1)/2} - 6
= (40 × 81) - 6
= 3240 - 6
= 3234

৫২৯.

কোনো ধারার n তম পদ 3n.2^{n + 1} হলে ধারাটির প্রথম তিনটি পদের সমষ্টি কত?

ক
202
খ
204
গ
206
ঘ
208

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো ধারার n তম পদ 3n.2^{n + 1} হলে ধারাটির প্রথম তিনটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির n তম পদ = 3n.2^{n + 1}

১ম পদ = 3 . 1 . 2^{1 + 1}= 3 . 2² = 12
২য় পদ = 3 . 2 . 2^{2 + 1} = 6 . 8 = 48
৩য় পদ = 3 . 3 . 2^{3 + 1} = 144

∴ ধারাটির প্রথম তিনটি পদের সমষ্টি = 12 + 48 + 144
= 204

৫৩০.

কোনো সমান্তর প্রগমনে প্রথম দুটি সংখ্যা যদি ৫ ও ১৭ হয়, তবে পঞ্চম সংখ্যাটি কত?

ক
২৯
খ
৪১
গ
৫৩
ঘ
৬৭

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর প্রগমনে প্রথম দুটি সংখ্যা যদি ৫ ও ১৭ হয়, তবে পঞ্চম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমান্তর প্রগমনে প্রথম দুটি সংখ্যা ৫ ও ১৭ হলে -
সাধারণ অন্তর = (১৭ - ৫)
= ১২

∴ তৃতীয় পদ = দ্বিতীয় পদ + সাধারণ অন্তর
= ১৭ + ১২
= ২৯

∴ চতুর্থ পদ = তৃতীয় পদ + সাধারণ অন্তর
= ২৯ + ১২
= ৪১

∴ পঞ্চম পদ = চতুর্থ পদ + সাধারণ অন্তর
= ৪১ + ১২
= ৫৩

৫৩১.

একটি সমান্তর অনুক্রমে 5ম পদটি 24 এবং প্রথম 5টি পদের যোগফল 100 হলে প্রথম পদটি কত?

ক
16
খ
18
গ
20
ঘ
24

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমান্তর অনুক্রমে 5ম পদটি 24 এবং প্রথম 5টি পদের যোগফল 100 হলে প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
মনে করি, প্রথম পদ = a
দেওয়া আছে, 5ম পদ = 24
⇒ a + (5 - 1) × d = 24
⇒ a + 4d = 24

এখন, 5টি পদের যোগফল = 100
⇒ (5/2){2a + (5 - 1) × d} = 100
⇒ (5/2){2a + 4d} = 100
⇒ 2a + 4d = 40
⇒ a + (a + 4d) = 40
⇒ a + 24 = 40
⇒ a = 16

∴ প্রথম পদ = 16

৫৩২.

6, 10, 14, 18 ....... অনুক্রমটির প্রথম 14টি পদের যোগফল কত?

ক
680
খ
340
গ
520
ঘ
448

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 6, 10, 14, 18 ....... অনুক্রমটির প্রথম 14টি পদের যোগফল কত?

সমাধান:
এখানে, ১ম পদ, a = 6
সাধারণ অন্তর, d = (10 - 6) = 4
পদ সংখ্যা, n = 14

∴ ১ম n টি পদের যোগফল, S_n = (n/2){2a + (n - 1)d}
১ম 14টি পদের যোগফল, S₁₄= (14/2){(2 × 6) + (14 - 1)4}
= 7 × {12 + 52}
= 7 × 64
= 448

৫৩৩.

5 + 55 + 555 + ............. ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

ক
1
খ
10
গ
1/100
ঘ
অসীমতক সমষ্টি নেই

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5 + 55 + 555 + .... ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

সমাধান:
এখানে
55/5 = 11
555/55 = 10.09
সুতরাং এটি গুণোত্তর ধারা নয়, তাই প্রদত্ত ধারার কোন অসীমতক সমষ্টি নেই।

কোনো গুণোত্তর ধারার অসীম পদ পর্যন্ত সমষ্টিকে অসীমতক সমষ্টি বলে। মূলত, যেসব গুণোত্তর ধারা কনভার্জেন্ট সিরিজ এর মধ্যে পড়ে তাদেরই অসীমতক সমষ্টি থাকে।
যদি নিম্নোক্ত শর্তটি কোনো গুণোত্তর ধারা মেনে চলে তবে তার অসীমতক সমষ্টি থাকবে,
|r| < 1 অথবা, -1 < r < 1
এবং অসীমতক সমষ্টিটি হবে,
S_∞ = a/(1 - r)

কনভার্জেন্ট সিরিজ:
যেসব অসীম ধারার সকল পদের সমষ্টি একটি নির্দিষ্ট সংখ্যাকে নির্দেশ করে,তাকে কনভার্জেন্ট সিরিজ বলে।

৫৩৪.

1 থেকে 40 পর্যন্ত স্বাভাবিক পূর্ণ সংখ্যাগুলোর যোগফল কত?

ক
743
খ
820
গ
860
ঘ
940

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 থেকে 40 পর্যন্ত স্বাভাবিক পূর্ণ সংখ্যাগুলোর যোগফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
1 থেকে n পর্যন্ত সংখ্যার যোগফল = n(n + 1)/2

1 থেকে 40 পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর যোগফল = {40 × (40 + 1)}/2
= (40 × 41)/2
= 820

৫৩৫.

১৩ + ১৭ + ২১ +...... + ৯৩ = ?

ক
১১১৩
খ
১১১১
গ
১১০৯
ঘ
১১০০

ব্যাখ্যা

১ম পদ a = ১৩
সাধারন অন্তর d = ১৭ - ১৩
= ৪
পদ সংখ্যা = (৯৩ - ১৩)/d + ১
= ৮০/৪ + ১
= ২০ + ১
= ২১
∴ সমষ্টি = ২১/২(১৩ + ৯৩)
= (২১ × ১০৬)/২
= ২১ × ৫৩
= ১১১৩

৫৩৬.

1 + 3 + 5 + ....... + 37 ধারাটির পদসংখ্যা কত?

ক
21
খ
15
গ
17
ঘ
19

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 + 3 + 5 + ....... + 37 ধারাটির পদসংখ্যা কত?

সমাধান:
ধারাটির,
প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 3 - 1 = 2
শেষ পদ = 37

∴ পদসংখ্যা = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/সাধারণ অন্তর} + 1
= {(37 - 1)/2} + 1
= 18 + 1
= 19

৫৩৭.

৫ + ৮ + ১১ + ১৪ +...... ধারাটির কোন পদ ৩৯২?

ক
১২৭
খ
১৪৫
গ
১৩০
ঘ
১১৭

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৫ + ৮ + ১১ + ১৪ +...... ধারাটির কোন পদ ৩৯২?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা। যার
প্রথম পদ, a = ৫
সাধারণ অন্তর, d = ৮ - ৫ = ৩

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - 1)d

প্রশ্নমতে,
⇒ a + (n - 1)d = ৩৯২
⇒ ৫ + (n - 1)৩ = ৩৯২
⇒ ৫ + ৩n - ৩ = ৩৯২
⇒ ৩n + ২ = ৩৯২
⇒ ৩n = ৩৯২ - ২
⇒ ৩n = ৩৯০
⇒ n = ৩৯০/৩
∴ n = ১৩০

∴ ধারাটির ১৩০ তম পদটি ৩৯২.

৫৩৮.

নিচের কোনটি সমান্তর ধারা?

ক
2 + 4 + 8 + ..........
খ
(1/2) + (1/4) + (1/8) + .........
গ
2 + 5 + 8 + ..........
ঘ
3 + 9 + 27 + ..........

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সমান্তর ধারা?

সমাধান:
• যে ধারার পাশাপাশি দুইটি পদের বিয়োগফল একই সংখ্যা থাকে, তাকে সমান্তর ধারা বলা হয়। ধারায় প্রাপ্ত দুইটি পদের বিয়োগফলকে ধারার সাধারণ অন্তর বলে। সাধারণ অন্তর ধনাত্মক বা ঋণাত্মক উভয়ই হতে পারে।

(1/2) + (1/4) + (1/8) + ......... ধারাটিতে সাধারণ অন্তর ভিন্ন ভিন্ন
3 + 9 + 27 + .......... ধারাটিতে সাধারণ অন্তর ভিন্ন ভিন্ন
2 + 4 + 8 + ........... ধারাটিতে সাধারণ অন্তর ভিন্ন ভিন্ন
2 + 5 + 8 + .......... এখানে সাধারণ অন্তর একই (৩), সুতরাং এটি একটি গুণোত্তর ধারা।

৫৩৯.

কোনো ধারার n তম পদ 7n - 2 হলে, ধারাটির নবম পদ কত?

ক
61
খ
63
গ
65
ঘ
67

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো ধারার n তম পদ 7n - 2 হলে, ধারাটির নবম পদ কত?

সমাধান:
কোনো ধারার n তম পদ 7n - 2 হলে,
ধারাটির নবম পদ
= 7 × 9 - 2
= 63 - 2
= 61

৫৪০.

১ + ৪ + ৭ + .................. + ৪৬ = কত?

ক
ক) ৩৫০
খ
খ) ৩৬৫
গ
গ) ৩৭৬
ঘ
ঘ) ৩৮৪

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১ + ৪ + ৭ + .................. + ৪৬ = কত?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ a = ১
শেষ পদ = ৪৬
সাধারণ অন্তর d = ৩

পদ সংখ্যা = {(শেষ পদ - প্রথম পদ)/সাধারণ অন্তর} + ১
= (৪৬ -১)/৩ + ১
= ৪৫/৩ + ১
= ১৫ + ১
= ১৬

আমরা জানি,
সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
= (১৬/২) {(২ × ১) + (১৬ - ১)৩}
= ৮ × {২ + ৪৫}
= ৮ × ৪৭
= ৩৭৬

৫৪১.

1³ + 2³ + 3³ +......+ 10³ = কত?

ক
3000
খ
3025
গ
4000
ঘ
3045

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1³ + 2³ + 3³ +......+ 10³ = কত?

সমাধান:
সমষ্টি = {n(n + 1)/2}²
= {10(10 + 1)/2}²
= {(10 × 11)/2}²
= (110/2)²
= (55)²
= 3025

৫৪২.

5 + 8 + 11 + 14 + 17 ------ ধারাটির কোন পদ 362?

ক
100
খ
120
গ
112
ঘ
50

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5 + 8 + 11 + 14 + 17 ------ ধারাটির কোন পদ 362?

সমাধান:
দেওয়া আছে, ধারাটির প্রথম পদ, a = 5;
সাধারণ অন্তর, d = 8 - 5
= 11- 8
= 14 - 11
= 3; সুতরাং ইহা একটি সমান্তর ধারা।

মনে করি, ধারাটির n তম পদ = 362
আমরা জানি, n তম পদ = a + ( n - 1 ) d
সুতরাং a + ( n - 1 ) d = 362
⇒ 5 + (n - 1 ) 3 = 362
⇒ 5 + 3n - 3 = 362
⇒ 3n + 2 = 362
⇒ 3n = 360
⇒ n =120
সুতরাং প্রদত্ত ধারার 120 তম পদ = 362

৫৪৩.

একটি সমান্তর ধারার সাধারণ অন্তর 15 এবং 12 তম পদ 300 হলে 33 তম পদটি কত?

ক
615
খ
600
গ
595
ঘ
580

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার সাধারণ অন্তর 15 এবং 12 তম পদ 300 হলে 33 তম পদটি কত?

সমাধান:
ধরি, ধারাটির প্রথম পদ = a
সাধারণ অন্তর, d = 15

আমরা জানি, কোনো সমান্তর ধারার n-তম পদ = a + (n - 1)d
সুতরাং, 12 তম পদ = a + (12 - 1)d
বা, 300 = a + 11 × 15
বা, 300 = a + 165
বা, a = 300 - 165
∴ a = 135

এখন, 33 তম পদ = a + (33 - 1)d
= 135 + 32 × 15
= 135 + 480
= 615

সুতরাং, ধারাটির 33 তম পদ হলো 615

৫৪৪.

2 + 5 + 8 + 11 + ......... ধারাটির কত তম পদ 299?

ক
80 তম
খ
90 তম
গ
100 তম
ঘ
120 তম

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2 + 5 + 8 + 11 + ......... ধারাটির কত তম পদ 299?

সমাধান:
এখানে ১ম পদ, a = 2
সাধারণ পদ, d = 5 - 2 = 3
n তম পদ = 299

প্রশ্নমতে,
n তম পদ = a + (n - 1)d
⇒ 299 = 2 + (n - 1) × 3
⇒ 3n - 3 + 2 = 299
⇒ 3n - 1 = 299
⇒ 3n = 299 + 1
⇒ 3n = 300
⇒ n = 300/3
∴ n = 100

সুতরাং, প্রদত্ত ধারাটির 100 তম পদ 299

৫৪৫.

9 + 7 + 5 +....................... ধারাটির প্রথম n সংখ্যক পদের যোগফল - 144 হলে, n এর মান নির্ণয় কর।

ক
12
খ
14
গ
16
ঘ
18

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 9 + 7 + 5 +....................... ধারাটির প্রথম n সংখ্যক পদের যোগফল - 144 হলে, n এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ, a = 9
সাধারণ অন্তর, d = (7 - 9) = - 2

প্রশ্নমতে,
n সংখ্যক পদের যোগফল = - 144
বা, (n/2){2a + (n - 1)d} = - 144
বা, (n/2){(2 × 9) + (n - 1)(- 2)} = - 144
বা, (n/2)(18 - 2n + 2) = - 144
বা, (n/2)(- 2n + 20)= - 144
বা, - (n/2) × 2 × (n - 10) = - 144
বা, n(n - 10) = 144
বা, n² - 10n - 144 = 0
বা, n² - 18n + 8n - 144 = 0
বা, n(n - 18) + 8(n - 18) = 0
বা, (n - 18)(n + 8) = 0

অর্থাৎ n - 18 = 0 অথবা, n + 8 = 0
বা, n = 18 অথবা, n = - 8

এখানে n -এর ঋণাত্মক মান গ্রহনযোগ্য নয়।
∴ n = 18

৫৪৬.

একটি সমান্তর অনুক্রমের সাধারণ অন্তর ৪ এবং ১০ তম পদটি ৪২ হলে ২৫ তম পদটি কত?

ক
ক) ১০২
খ
খ) ১৪২
গ
গ) ১৩২
ঘ
ঘ) ১২০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমান্তর অনুক্রমের সাধারণ অন্তর ৪ এবং ১০ তম পদটি ৪২ হলে ২৫ তম পদটি কত?

সমাধান:
ধরি
সমান্তর অনুক্রমের প্রথম পদ a এবং
সাধারণ অন্তর d

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n-1)d

এখানে, ১০ তম পদ ৪২
সুতরাং a + (১০ - ১)×৪= ৪২
বা, a + ৩৬ = ৪২
a = ৬

সুতরাং, ২৫ তম পদ = ৬ + (২৫ - ১)× ৪
= ৬ + ৯৬
= ১০২

৫৪৭.

1³ + 2³ + 3³ +.......+ 14³ = ?

ক
10188
খ
10195
গ
11025
ঘ
11012

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1³ + 2³ + 3³ +.......+ 14³ = ?

সমাধান:
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = {n(n + 1)/2}²
= {14(14 + 1)/2}
= {(14 × 15)/2}²
= (210/2)²
= (105)²
= 11025

৫৪৮.

৫ + ৯ + ১৩ + ...... + ৭৭ = ?

ক
৭৭৮
খ
৭৭৯
গ
৭৮০
ঘ
৭৮১

ব্যাখ্যা

a = ৫, d = ৪,
∴ ৭৭ = a + (n - ১)d
বা, ৭৭ = ৫ + (n - ১)৪
বা, ৭২ = ৪n - ৪
বা, ৪n = ৭৬
∴ n = ১৯
∴ s = (১৯/২){২×৫ + (১৯ - ১)৪}
= (১৯/২)(১০ + ৭২)
= (১৯×৮২)/২
= ৭৭৯

৫৪৯.

কোনো ধারার n তম পদ 3n.2^{n + 1} হলে ধারাটির প্রথম চারটি পদের সমষ্টি কত?

ক
548
খ
560
গ
588
ঘ
590

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো ধারার n তম পদ 3n.2^{n + 1} হলে ধারাটির প্রথম চারটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির n তম পদ = 3n.2^{n + 1}

১ম পদ = 3 . 1 . 2^{1 + 1}= 3 . 4 = 12
২য় পদ = 3 . 2 . 2^{2 + 1} = 6 . 8 = 48
৩য় পদ = 3 . 3 . 2^{3 + 1} = 9 · 16 = 144
৪র্থ পদ = 3 · 4 · 2^{4 + 1} = 12 · 32 = 384

∴ ধারাটির প্রথম চারটি পদের সমষ্টি = 12 + 48 + 144 + 384
= 588

৫৫০.

১, ৩, ৫, ৭ অনুক্রমটির ১৭ তম পদ কোনটি?

ক
ক) ২৩
খ
খ) ২৫
গ
গ) ৩০
ঘ
ঘ) ৩৩

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত অনুক্রম ১, ৩, ৫, ৭ সমান্তর প্রগমনে আছে।
প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = (3-1) = 2
সুতরাং, n তম পদ = a+(n-1)d
∴ ১৭ তম পদ = ১ + (১৭-১)২ = ৩৩
∴ ১৭ তম পদ = ৩৩

৫৫১.

1 + 2 + 3 + .......... + 50 = কত?

ক
ক) 1185
খ
খ) 1195
গ
গ) 1255
ঘ
ঘ) 1275

ব্যাখ্যা

সমষ্টি = গড় x পদ সংখ্যা
=(1+ 50)/2 x50
= 51/2 × 50
= 51 x 25
= 1275

৫৫২.

7 + 10 + 13 + 16 + ............ ধারাটির প্রথম 10টি পদের সমষ্টি কত?

ক
34
খ
205
গ
410
ঘ
170

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 7 + 10 + 13 + 16 + ............ ধারাটির প্রথম 10টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
প্রথম পদ, a = 7
সাধারণ অন্তর, d = 10 - 7
= 3

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি = (n/2) {2a + (n - 1)d}
= (10/2) {2 × 7 + (10 - 1)3}
= 5{14 + (9 × 3)}
= 5(14 + 27)
= 5 × 41
= 205

৫৫৩.

একটি সমান্তর অনুক্রমে সাধারণ অন্তর 10 এবং 6 -তম পদটি 52 হলে 15 -তম পদটি -

ক
ক) 140
খ
খ) 142
গ
গ) 148
ঘ
ঘ) 150

ব্যাখ্যা

প্রথম পদ a ও সাধারণ অন্তর d হলে,
n তম পদ = a + (n-1)d
∴ 6 তম পদ = a + (n-1)d
⇒ 52 = a + (6-1)10
⇒ a = 52 - 50
∴ a = 2
∴ 15 তম পদ = 2 + (15-1)10
= 2+140
=142

৫৫৪.

1 + 4 + 7 + 10 +............... + 61 = কত?

ক
521
খ
551
গ
651
ঘ
650

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 + 4 + 7 + 10 +............... + 61 = কত?

সমাধান:
ইহা একটি সমান্তর ধারা,
যার ১ম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 4 - 1 = 3
সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - 1)d

প্রশ্নমতে,
⇒ a + (n - 1)d = 61
⇒ 1 + (n - 1) × 3 = 61
⇒ n - 1 = 60/3
⇒ n - 1 = 20
⇒ n = 20 + 1
∴ n = 21

সমান্তর ধারার n তম পদের যোগফল, S_n= = (n/2){2a + (n - 1)d}
সমান্তর ধারার 21 তম পদের যোগফল, S₂₁= (21/2){2 ×1 + (21 - 1) ×3}
= (21/2)(2 + 60)
= (21/2) × 62
= 21 × 31
= 651

৫৫৫.

7 + 12 + 17 + ............ ধারার 30টি পদের সমষ্টি কত?

ক
ক) 2245
খ
খ) 2385
গ
গ) 2428
ঘ
ঘ) 2529

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 7 + 12 + 17 + ............ ধারার 30টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধারাটির ১ম পদ a = 7,
সাধারণ অন্তর d = 12 - 7 = 5
এখানে পদ সংখ্যা n = 30

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি Sn = (n/2) × {2a + (n - 1)d}
30 টি পদের সমষ্টি S₃₀ = (30/2) × {2 × 7 + (30 - 1)5}
= 15 × (14 + 29 × 5)
= 2385

৫৫৬.

কোন সমান্তর ধারার n তম পদ 5n + 3 হলে ধারার সাধারণ অন্তর কত হবে?

ক
ক) 8
খ
খ) 5
গ
গ) - 2
ঘ
ঘ) 13/8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন সমান্তর ধারার n তম পদ 5n + 3 হলে ধারার সাধারণ অন্তর কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারার n তম পদ 5n + 3.

∴ ধারার ১ম পদ 5 × 1 + 3 = 5 + 3 = 8
∴ ধারার ২য় পদ 5 × 2 + 3 = 10 + 3 = 13

∴ সাধারণ অন্তর = 13 - 8 = 5

৫৫৭.

10, 15, 20 ...... 150 ধারাটির পদ সংখ্যা কত?

ক
ক) 25
খ
খ) 29
গ
গ) 27
ঘ
ঘ) 28

ব্যাখ্যা

পদ সংখ্যা = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/সাধারণ অন্তর} + 1
= {(150 - 10)/5} + 1
= (140/5) + 1
= 28 + 1
= 29

৫৫৮.

একটি সমান্তর অনুক্রমের সাধারণ অন্তর 8 এবং 5ম পদটি 44 হলে, উহার 12তম পদ কত?

ক
88
খ
92
গ
100
ঘ
104

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমান্তর অনুক্রমের সাধারণ অন্তর 8 এবং 5ম পদটি 44 হলে, উহার 12তম পদ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d

প্রশ্নমতে,
5ম পদ = a + 4d = 44
⇒ a + 4 × 8 = 44
⇒ a + 32 = 44
⇒ a = 12

এখন
12তম পদ = a + (12 - 1)d
= 12 + 11 × 8
= 12 + 88
= 100

৫৫৯.

৫ + ৮ + ১১ + ১৪ + ১৫ + ……… ধারাটির কোন পদ ২৯৯?

ক
ক) ৯৮
খ
খ) ৯৯
গ
গ) ১০১
ঘ
ঘ) ১০৬

ব্যাখ্যা

এখানে, প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অন্তর, d = 3
ধরি, n তম পদ = 299
∴ a + (n - 1)d = 299
⇒ {5 + (n - 1)3} = 299
⇒ 5 + 3n - 3 = 299
⇒ 3n = 297
⇒ n = 297/3 = 99

৫৬০.

কোনো সমান্তর ধারার 12 তম পদ 77 হলে, এর প্রথম 23টি পদের সমষ্টি কত?

ক
887
খ
924
গ
1771
ঘ
1848

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার 12 তম পদ 77 হলে, এর প্রথম 23টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
12 তম পদ = 77

ধরি,
ধারাটির ১ম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d

তাহলে,
12 তম পদ = a + (12 - 1)d
= a + 11d

শর্তমতে,
a + 11d = 77

আবার,
প্রথম n পদের সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
∴ প্রথম 23টি পদের সমষ্টি = (23/2){2a + (23 - 1)d}
= (23/2)(2a + 22d)
= (23/2) × 2(a + 11d)
= (23/2) × 2 × 77 [a + 11d = 77 বসিয়ে]
= 23 × 77
= 1771

∴ সমান্তর ধারাটির প্রথম 23টি পদের সমষ্টি 1771.

৫৬১.

কোন সমান্তর ধারার n তম পদ 3n + 2 হলে ধারার সাধারণ অন্তর কত হবে?

ক
2
খ
3
গ
4
ঘ
5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন সমান্তর ধারার n তম পদ 3n + 2 হলে ধারার সাধারণ অন্তর কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারার n তম পদ 3n + 2

∴ ধারার ১ম পদ = 3 × 1 + 2 = 3 + 2 = 5
∴ ধারার ২য় পদ = 3 × 2 + 2 = 6 + 2 = 8

∴ সাধারণ অন্তর = ২য় পদ - ১ম পদ
= 8 - 5
= 3

৫৬২.

কোনো ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি n(n + 1) হলে, ধারাটির প্রথম 19টি পদের সমষ্টি কত?

ক
364
খ
336
গ
380
ঘ
318

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি n(n + 1) হলে, ধারাটির প্রথম 19টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি = n(n + 1)
∴ প্রথম 19টি পদের সমষ্টি = 19 × (19 + 1)
= (19 × 20)
= 380

৫৬৩.

একটি সমান্তর ধারার 15 তম পদ 92 হলে, তার প্রথম 29টি পদের সমষ্টি কত?

ক
2950
খ
2320
গ
2500
ঘ
2668

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার 15 তম পদ 92 হলে, তার প্রথম 29টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধরি, প্রথম পদ = a, সাধারণ অন্তর = d
আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 15 তম পদ = a + (15 - 1)d
= a + 14d

প্রশ্নমতে,
a + 14d = 92

আমরা জানি, প্রথম n পদের সমষ্টি:
S_n = (n/2) × [2a + (n - 1)d]
∴ প্রথম 29টি পদের সমষ্টি,
S₃₀ = (29/2) × [2a + (29 - 1)d]
= (29/2) × (2a + 28d)
= (29/2) × [2(a + 14d)]
= 29 × (a + 14d)
= 29 × 92
= 2668

৫৬৪.

1 + 2 + 3 +.....................+ 80 = কত?

ক
3160
খ
2850
গ
3240
ঘ
2650

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 + 2 + 3 +.....................+ 80 = কত?

সমাধান:
1 + 2 + 3 +.....................+ 80
এখানে,
ধারাটির প্রথম পদ = 1
ধারাটির শেষ পদ = 80 এবং
পদসংখ্যা = 80

∴ নির্ণেয় সমষ্টি = {(শেষ পদ + প্রথম পদ) × পদসংখ্যা}/2
= {(80 + 1) × 80}/2
= (81 × 80)/2
= 81 × 40
= 3240

৫৬৫.

৭ + ১২ + ১৭ + ২২ + .............. + ১০৭ ধারাটির পদসংখ্যা কত?

ক
১৭টি
খ
২১টি
গ
২৩টি
ঘ
২৬টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৭ + ১২ + ১৭ + ২২ + .............. + ১০৭ ধারাটির পদসংখ্যা কত?

সমাধান:
১২ - ৭ = ৫
১৭ - ১২ = ৫
∴ ইহা একটি সমান্তর ধারা।

এখানে, প্রথম পদ, a = ৭
সাধারণ অন্তর, d = ৫
শেষপদ = ১০৭

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - ১) × d

প্রশ্নমতে,
a + (n - ১) × d = ১০৭
বা, ৭ + (n - ১) × ৫ = ১০৭
বা, (n - ১) × ৫ = ১০৭ - ৭
বা, (n - ১) × ৫ = ১০০
বা, n - ১ = ১০০ / ৫
বা, n - ১ = ২০
বা, n = ২০ + ১
∴ n = ২১

∴ ধারাটির পদসংখ্যা = ২১ টি।

৫৬৬.

কোন সমান্তর ধারার প্রথম পদ 12, দ্বিতীয় পদ 18 হলে 18-তম পদ কত?

ক
ক) 84
খ
খ) 92
গ
গ) 108
ঘ
ঘ) 114

ব্যাখ্যা

১ম পদ a = 12
২য় পদ = 18
সাধারণ অন্তর, d = 18 - 12 = 6
18-তম পদ = a + (18 - 1)d
= 12 + 17 × 6
= 12 + 102
= 114

৫৬৭.

১^২+ ২^২ + ৩^২ + .............. + ২০^২ = কত?

ক
ক) ১৫৪০
খ
খ) ২৮৭০
গ
গ) ৪৪১০০
ঘ
ঘ) কোনোটিই নয়

ব্যাখ্যা

ধারাটির সমষ্টি = 1/6.n(n + 1)(2n + 1)
= 1/6{20(20 + 1)(40 + 1)}
= 2870

৫৬৮.

একটি সমান্তর ধারার 1 + 4 + 7 +⋯+ 100 পর্যন্ত পদগুলোর যোগফল কত?

ক
1700
খ
1717
গ
1734
ঘ
1750

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার 1 + 4 + 7 +⋯+ 100 পর্যন্ত পদগুলোর যোগফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ, a₁ = 1,
শেষ পদ, a_n = 100,
সাধারণ অন্তর, d = 4 - 1 = 3

সমান্তর ধারার এর সাধারণ সূত্র:
S_n= (n/2) × (a₁ + a_n)

প্রথমে পদসংখ্যা (n) বের করতে হবে:
a_n= a₁+ (n - 1)d
⇒ 100 = 1 + (n - 1)⋅3
⇒ 100 - 1 = (n - 1)⋅3
⇒ 99 = 3(n - 1)
⇒ n - 1 = 33
⇒ n = 34

S₃₄ = (34/2) × (1 + 100)
= 17 × 101
= 1717

৫৬৯.

4 + 7 + 10 + ............ ধারাটির কত তম পদ 286?

ক
78 তম
খ
86 তম
গ
95 তম
ঘ
99 তম

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4 + 7 + 10 + ............ ধারাটির কত তম পদ 286?

সমাধান:
ধারাটির,
১ম পদ, a = 4
সাধারণ অন্তর, d = 7 - 4 = 3
r তম পদ = 286

প্রশ্নমতে,
a + (r - 1)d = 286
⇒ 4 + (r - 1)3 = 286
⇒ 4 + 3r - 3 = 286
⇒ 3r = 285
∴ r = 95

৫৭০.

1³ + 2³ + 3³ + ................. + 15³ = কত?

ক
12100
খ
14400
গ
15625
ঘ
16900
ঙ
কোনোটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1³ + 2³ + 3³ + ................. + 15³ = কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ধারাটি n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘন এর সমষ্টি।
এখানে, n = 15

আমরা জানি,
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘন এর সমষ্টি = {n(n + 1)/2}²
= {15(15 + 1)/2}²
= {(15 × 16)/2}²
= (15 × 8)²
= (120)²
= 14400

৫৭১.

12 থেকে 100 এর মধ্যে (এই দুইটি সংখ্যা সহ) কয়টি সংখ্যা 4 দ্বারা বিভাজ্য?

ক
ক) 15
খ
খ) 23
গ
গ) 27
ঘ
ঘ) 32

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 12 থেকে 100 এর মধ্যে (এই দুইটি সংখ্যা সহ) কয়টি সংখ্যা 4 দ্বারা বিভাজ্য?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা যেখানে,
প্রথম পদ = 12
শেষ পদ = 100
সাধারণ অন্তর = 4

আমরা জানি,
পদসংখ্যা = {(শেষ পদ - প্রথম পদ)/সাধারণ অন্তর}+ 1
= {(100 - 12)/4} + 1
= (88/4) + 1
= 22 + 1
= 23

৫৭২.

5 + 11 + 17 + 23 +................ ধারাটির কোন পদ 77?

ক
10
খ
11
গ
12
ঘ
13

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5 + 11 + 17 + 23 +................ ধারাটির কোন পদ 77?

সমাধান:
ধরি,
প্রথম পদ, a = 5,
সাধারণ অন্তর, d = 11 - 5 = 6,
প্রদত্ত ধারাটি সমান্তর ধারা,

মনে করি,
ধারাটির n তম পদ = 77

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - 1) d
a + (n - 1) d = 77
বা, 5 + ( n - 1)6 = 77
বা, 6(n - 1 ) = 77 - 5
বা, 6n - 6 = 72
বা, 6n = 72 + 6
বা, 6n = 78
∴ n = 13

∴ ধারাটির 13 তম পদ 77

৫৭৩.

4 + 9 + 14 + 19 + ............................ ধারাটির কোন পদ 499?

ক
50 তম পদ
খ
51 তম পদ
গ
100 তম পদ
ঘ
105 তম পদ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4 + 9 + 14 + 19 + ............................ ধারাটির কোন পদ 499?

এটি একটি সমান্তর ধারা,
যার প্রথম পদ, a = 4
সাধারণ অন্তর d = 9 - 4 = 5

ধরি,
ধারাটির n তম পদ 499

n তম পদ = a + (n - 1)d
499 = 4 + (n - 1)5
499 = 4 + 5n - 5
5n - 1 = 499
5n = 499 + 1
5n = 500
n = 500/5
n = 100

৫৭৪.

1 + 4 + 7 + 10 + ........ ধারাটির 14 তম পদ কত?

ক
36
খ
48
গ
56
ঘ
40

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 + 4 + 7 + 10 + ........ ধারাটির 14 তম পদ কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = (4 - 1) = 3
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 14 তম পদ = 1 + (14 - 1)3
= 1 + (13 × 3)
= 1 + 39
= 40

৫৭৫.

log3 + log9 + log27 + ...... ধারাটির প্রথম তেরোটি পদের সমষ্টি কত?

ক
33 log3
খ
91 log3
গ
46 log2
ঘ
55 log3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log3 + log9 + log27 + ...... ধারাটির প্রথম তেরোটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
log3 + log9 + log27 + ...... প্রথম তেরোটি পদের সমষ্টি
= log3¹ + log3² + log3³ + ...... প্রথম তেরোটি পদের সমষ্টি
= log(3¹)+ log(3²)+ log(3³)+ ......... + log(3¹³)
= 1 log3 + 2 log3 + 3 log3 + ...... + 13 log3
= log3 (1 + 2 + 3 + ...... + 13)
= log3 {13(13 + 1)/2} [স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = n(n + 1)/2]
= log3 (7 × 13)
= log3 × 91
= 91 log3

৫৭৬.

1² + 2² + 3² + ................................ + 60² = কত?

ক
ক) 72258
খ
খ) 73810
গ
গ) 74263
ঘ
ঘ) 75321

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1² + 2² + 3² + ................................ + 60² = কত?

সমাধান:
ধারাটির সমষ্টি = (1/6){n(n + 1)(2n + 1)
= (1/6){60(60 + 1)(120 + 1)}
= (1/6){60 × 61 × 121}
= 10 × 61 × 121
= 73810

৫৭৭.

1, 3, 5, 7, 9…....51 ধারাটির গড় কত?

ক
25
খ
26
গ
27
ঘ
28

ব্যাখ্যা

১ম পদ a = 1,
শেষ পদ = 51,
সাধারণ অন্তর d = 2
∴ পদ সংখ্যা = (51 - 1)/2 + 1
= 26
∴ সমষ্টি = 26/2{2.1 + (26 - 1)2}
= 13 × (2 + 50)
= 13 × 52
∴ গড় = (13 × 52)/26
= 26

৫৭৮.

কোনো সমান্তর ধারার 13 তম পদ 77 হলে, ধারাটির প্রথম 25 টি পদের সমষ্টি কত?

ক
1675
খ
1925
গ
1750
ঘ
1850

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার 13 তম পদ 77 হলে, ধারাটির প্রথম 25 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধরি,
ধারাটির ১ম পদ = a
এবং
সাধারণ অন্তর = r
∴ 13 তম পদ = a + (13 - 1)d
= a + 12d

শর্তমতে,
a + 12d = 77

∴ প্রথম 25 টি পদের সমষ্টি = (25/2){2a + (25 - 1)d}
= (25/2)(2a + 24d)
= (25/2) × 2(a + 12d)
= (25/2) × 2 × 77
= 25 × 77
= 1925

৫৭৯.

কোন সমান্তর ধারার ১২তম পদ ৭৭ হলে, এর প্রথম ২৩টি পদের সমষ্টি কত?

ক
ক) ১৭০০
খ
খ) ১৬৭০
গ
গ) ১৭৭১
ঘ
ঘ) ১৯২০

ব্যাখ্যা

১২ তম পদ = ‍a+(12-1)d = 77
a+11d = 77
প্রথম ২৩টি পদের সমষ্টি S = n/2{2a+(n-1)d}
= 23/2{2a+(23-1)d}
= 23/2{2a+22d}
= 23(a+11d)
= 23 x 77
= 1771

৫৮০.

1+3+5+7+ ……. + 51 = ?

ক
ক) 234
খ
খ) 432
গ
গ) 324
ঘ
ঘ) 676

ব্যাখ্যা

ধারাটির প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 3-1 = 2
পদ সংখ্যা, n = (51-1)/2 + 1 = 26
n তম পদ = 51
∴ সমষ্টি, S = 26(51+1)/2 = 676

৫৮১.

একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদ 11 এবং সাধারণ অন্তর 5 হলে, কততম পদটি 101 হবে?

ক
19
খ
20
গ
21
ঘ
22

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদ 11 এবং সাধারণ অন্তর 5 হলে, কততম পদটি 101 হবে?

সমাধান:
n তম পদ, a_n = 101,
প্রথম পদ, a = 11
সাধারণ অন্তর, d = 5

সমান্তর ধারার n তম পদ,
a_n= a + (n - 1)d
⇒ 101 = 11 + (n - 1) × 5 [মান বসিয়ে]
⇒ 101 - 11 = (n - 1) × 5
⇒ 90 = 5(n - 1)
⇒ n - 1 = 90/5
⇒ n - 1 = 18
⇒ n = 18 + 1
∴ n = 19

∴ 19 তম পদটি 101 হবে।

৫৮২.

২০, ২৫, ৩০, --- --- --- , ১৬০ ধারাটিতে মোট কতগুলো পদ আছে?

ক
ক) ৩৪
খ
খ) ২৯
গ
গ) ৩৬
ঘ
ঘ) ৩৭

ব্যাখ্যা

প্রথম পদ = ২০ ও সাধারণ অন্তর = ২৫ - ২০ = ৫
অতএব, ১৬০ = ২০ + (ক - ১)৫
ক - ১ = (১৬০ - ২০)৫ = ১৪০/৫ = ২৮
ক = ২৯
----------------------------------------------------------------
শর্টকাটঃ
মোট পদ আছে = (শেষ পদ - ১ম পদ)/সাধারণ অন্তর + ১ = (১৬০ - ২০)/৫ + ১ = ২৯ টি

৫৮৩.

13 + 20 + 27 + 34 +..................+ 104 ধারাটির পদ সংখ্যা কত?

ক
14
খ
15
গ
16
ঘ
18

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 13 + 20 + 27 + 34 +..................+ 104 ধারাটির পদ সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 13
সাধারণ অন্তর, d = 20 - 13 = 7
ধরি,
পদসংখ্যা = n
এবং n-তম পদ = 104

আমরা জানি,
n-তম পদ = a + (n - 1)d

সুতরাং,
a + (n - 1)d = 104
⇒ 13 + (n - 1)7 = 104
⇒ 13 + 7n - 7 = 104
⇒ 7n + 6 = 104
⇒ 7n = 104 - 6
⇒ 7n = 98
⇒ n = 98/7
⇒ n = 14

অর্থাৎ ধারাটির পদসংখ্যা = 14

৫৮৪.

১^২ + ২^২ + ৩^২ + ........ + ১৫^২= কত?

ক
১২২০
খ
১২৪০
গ
১২৬০
ঘ
১২৮০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১^২ + ২^২ + ৩^২ + ........ + ১৫^২= কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি, {n(n + 1)(2n + 1)}/6

এখানে,
পদের সংখ্যা ১৫টি
১^২ + ২^২ + ৩^২ + ........ + ১৫^২ = {১৫(১৫ + ১) (৩০ + ১)}/৬
= (১৫ × ১৬ × ৩১)/৬
= ৭৪৪০/৬
= ১২৪০

৫৮৫.

1³ + 2³ + 3³ + ..... + 30³ = কত?

ক
215224
খ
216225
গ
216125
ঘ
215125

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1³ + 2³ + 3³ + ..... + 30³ = কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমষ্টি = {n(n + 1)/2}²
= {30(30 + 1)/2}²
= {(30 × 31)/2}²
= (930/2)²
= (465)²
= 216225

৫৮৬.

(a + x)²⁰ এর বিস্তৃতিতে কত তম পদ মধ্যপদ?

ক
9
খ
10
গ
11
ঘ
12

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (a + x)²⁰ এর বিস্তৃতিতে কত তম পদ মধ্যপদ?

সমাধান:
(a + x)²⁰ এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদ নির্ণয় করতে হবে।

(a + b)ⁿ হলে মোট পদের সংখ্যা = n + 1
মোট পদ = 20 + 1 = 21 টি

মধ্যপদ নির্ণয়:
যেহেতু মোট পদের সংখ্যা বিজোড়, তাই মধ্যপদ হবে:
মধ্যপদ = (n / 2) + 1 তম পদ

n এর মান বসিয়ে,
(20 / 2) + 1 = 10 + 1 = 11 তম পদ

(a + x)²⁰ এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদ হলো ১১ তম পদ।

৫৮৭.

log3+log9+log27+………………… ধারাটির সাধারন অন্তর কত?

ক
ক) 2log3
খ
খ) log3
গ
গ) 3log9
ঘ
ঘ) log3²

ব্যাখ্যা

log3+log9+log27+…………………
= log3+log3²+log3³+…………………
= log3+2log3+3log3+……………
প্রথম পদ = log3
সাধারন অন্তর = (2log3 - log3) = log3

৫৮৮.

1² + 2² + 3² + .......... + 20² = কত?

ক
2390
খ
2740
গ
2550
ঘ
2870

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1² + 2² + 3² + .......... + 20² = কত?

সমাধান:
ধারারটির যোগফল = {n(n + 1)(2n + 1)}/6
= [{20(20 + 1){(2 × 20)+ 1}]/6 [দেওয়া আছে, n = 30]
= (20 × 21 × 41)/6
= 2870

∴ ধারাটির সমষ্টি 2870

৫৮৯.

কোনো সমান্তর প্রগমনে প্রথম দুটি সংখ্যা যদি ৫ ও ১৭ হয়, তবে তৃতীয় সংখ্যাটি কত?

ক
ক) ২২
খ
খ) ২৫
গ
গ) ২৯
ঘ
ঘ) ৮৫

ব্যাখ্যা

সমান্তর প্রগমনে দ্বিতীয় ও প্রথম সংখ্যার ব্যবধান এবং তৃতীয় ও দ্বিতীয় সংখ্যার ব্যাবধান সমান হবে।
এখানে ১৭ - ৫ = ১২
অতএব,১৭ + ১২ = ২৯

৫৯০.

একটি ধারার প্রথম সংখ্যাটি 2 এবং এর পরের প্রতিটি সংখ্যা ঠিক আগের সংখ্যা থেকে 4 বেশি হলে ধারার 200 তম সংখ্যাটি কত?

ক
752
খ
774
গ
798
ঘ
804

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ধারার প্রথম সংখ্যাটি 2 এবং এর পরের প্রতিটি সংখ্যা ঠিক আগের সংখ্যা থেকে 4 বেশি হলে ধারার 200 তম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ, a = 2
সাধারণ অন্তর d = 4

আমরা জানি
n তম পদ = a + (n - 1)d
200 তম = a + (200 - 1)d
= 2 + (199 × 4)
= 2 + 796
= 798

৫৯১.

5 + 8 + 11 + 14 +…………+ 305 = কত?

ক
ক) 16555
খ
খ) 1565
গ
গ) 15655
ঘ
ঘ) 15000

ব্যাখ্যা

{(শেষ পদ + ১ম পদ)/২} x {(শেষ পদ-১ম পদ)/পদের অন্তর}+১
= (৩০৫ + ৫)/২ x ((৩০৫ - ৫)/৩) +১
= ১৫৫ x ১০১
= ১৫৬৫৫

৫৯২.

25 + 20 + 15 + ... ধারাটির কততম পদের মান শূন্য হবে?

ক
5
খ
6
গ
7
ঘ
8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 25 + 20 + 15 + ... ধারাটির কততম পদের মান শূন্য হবে?

সমাধান:
প্রথম পদ, a = 25,
সাধারণ অন্তর, d = 20 - 25 = - 5

সমান্তর ধারার n তম পদ,
a_n = a + (n - 1)d
⇒ 0 = 25 + (n - 1)(- 5) [a_n = 0]
⇒ 0 = 25 - 5(n - 1)
⇒ 5(n - 1) = 25
⇒ 5n - 5 = 25
⇒ 5n = 30
⇒ n = 30/5
n = 6

∴ শূন্য হবে 6 তম পদে।

৫৯৩.

৩, ৭, ১৫, ৩১, ...... পরবর্তী সংখ্যাটি কত হবে?

ক
ক) ৩২
খ
খ) ৫৫
গ
গ) ৬৩
ঘ
ঘ) ১২৮

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৩, ৭, ১৫, ৩১, ...... পরবর্তী সংখ্যাটি কত হবে?

সমাধান:
৭ - ৩ = ৪
১৫ - ৭ = ৮
৩১ - ১৫ = ১৬

অতএব, পরবর্তী ব্যবধান হবে = ১৬ × ২
= ৩২

∴ পরবর্তী সংখ্যাটি = ৩১ + ৩২
= ৬৩

৫৯৪.

কোনো সমান্তর প্রগমনে প্রথম দুটি সংখ্যা ৭ ও ১৯ হয় তবে তৃতীয় পদটি কত?

ক
২৭
খ
৩১
গ
২৯
ঘ
৩৩

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর প্রগমনে প্রথম দুটি সংখ্যা ৭ ও ১৯ হয় তবে তৃতীয় পদটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমান্তর প্রগমনে প্রথম দুটি সংখ্যা ৭ ও ১৯
∴ সাধারণ অন্তর = (১৯ - ৭)
= ১২

∴ তৃতীয় পদ = দ্বিতীয় পদ + সাধারণ অন্তর
= ১৯ + ১২
= ৩১

৫৯৫.

১ম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি 441 হলে, n = ?

ক
ক) 4
খ
খ) 5
গ
গ) 6
ঘ
ঘ) 7

ব্যাখ্যা

১ম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি 441 হলে,
{n(n + 1)/2}² = 441
⇒ n(n + 1)/2 = 21
⇒ n² + n = 42
⇒ n² + n - 42 = 0
⇒ n² + 7n - 6n - 42 = 0
⇒ n(n + 7) - 6(n + 7) = 0
⇒ (n + 7)(n - 6) = 0
⇒ n = 6; n ≠ - 7

৫৯৬.

১^২ + ২^২ + ৩^২ + .................. + ৫০^২ = কত?

ক
৩৫৭২৫
খ
৪২৯২৫
গ
৪৫৫০০
ঘ
৪৭২২৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১^২ + ২^২ + ৩^২ + .................. + ৫০^২ = কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি = {n(n + 1)(2n + 1)}/6
১^২ + ২^২ + ৩^২ + .................. + ৫০^২ ={৫০(৫০ + ১)(২ × ৫০ + ১)}/৬
= (৫০ × ৫১ × ১০১)/৬
= ৪২৯২৫

৫৯৭.

৫৯.৫ + ৬০.৫ + ৬১.৫ + ............ ধারার প্রথম ৬টি পদের সমষ্টি কত?

ক
৩৭২
খ
৩৭৪
গ
৩৭৩.৫
ঘ
৩৭৪.৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৫৯.৫ + ৬০.৫ + ৬১.৫ + ............ ধারার প্রথম ৬টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
৬০.৫ - ৫৯.৫ = ১
৬১.৫ - ৬০.৫ = ১
∴ প্রদত্ত ধারাটি একটি সমান্তর ধারা। যার,
প্রথম পদ, a = ৫৯.৫
সাধারণ অন্তর, d = ১
পদের সংখ্যা n = ৬

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার প্রথম n পদের সমষ্টি = (n/২){২a + (n - ১)d}
∴ সমান্তর ধারার প্রথম ৬টি পদের সমষ্টি = (৬/২){২ × ৫৯.৫ + (৬ - ১) × ১}
= ৩ × (১১৯ + ৫)
= ৩ × ১২৪
= ৩৭২

৫৯৮.

5 + 11 + 17 + 23 + .............. ধারাটির কোন পদ 59

ক
ক) 10
খ
খ) 11
গ
গ) 12
ঘ
ঘ) 13

ব্যাখ্যা

এখানে
১ম পদ a = 5,
সাধারণ অন্তর d =11 - 5 = 6

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
বা, 59 = 5 +(n - 1)×(6)
বা, 59 =5 + 6n - 6
বা, 59 = 6n - 1
বা 6n = 59 + 1
বা 6n = 60
বা n = 60/6
n = 10

৫৯৯.

একটি সমান্তর ধারায় পঞ্চম পদ 20, এবং অষ্টম পদ 32 হলে, ধারাটির 12 তম পদ কত?

ক
48
খ
50
গ
52
ঘ
54

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারায় পঞ্চম পদ 20, এবং অষ্টম পদ 32 হলে, ধারাটির 12 তম পদ কত?

সমাধান:
ধরি, ধারার প্রথম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d
আমরা জানি,
a_n = a + (n - 1)d
তাহলে,
a₅ = a + 4d = 20............ (1)
a₈ = a + 7d = 32.............(2)

(2) - (1) করে পাই,
a + 7d - a - 4d = 32 - 20
⇒ 3d = 12
⇒ d = 4

d এর মান (1) নং এ বসিয়ে পাই,
a + 4 × 4 = 20
⇒ a + 4 × 4 = 20
⇒ a + 16 = 20
⇒ a = 4

তাহলে 12 তম পদ,
a₁₂ = a + (12 - 1) d
⇒ a₁₂ = 4 + 11 × 4
⇒ a₁₂ = 4 + 44
⇒ a₁₂ = 48

∴ 12 তম পদ 48.

৬০০.

১৩+২০+২৭+ ………………… +১১১ ধারাটির পদ সংখ্যা কত?

ক
ক) ১৭ টি
খ
খ) ১৫ টি
গ
গ) ১৩ টি
ঘ
ঘ) ১১ টি

ব্যাখ্যা

পদ সংখ্যা
= {(শেষ পদ-১ম পদ)/পদের অন্তর}+১
= {(১১১-১৩)/৭}+১
= ১৪+১
= ১৫ তম পদ