লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

সমান্তর ধারা

মোট প্রশ্ন১,৪৩৮এই পাতা১০০প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

সমান্তর ধারা

PrepBank · পাতা ১১ / ১৫ · ১,০০১–১,১০০ / ১,৪৩৮

১,০০১.
একটি গুণোত্তর ধারার ১ম এবং ২য় পদ যথাক্রমে 64 এবং 16 হলে ধারাটির 10 পদ কত ?
  1. ক
    1/4096
  2. খ
    1/4000
  3. গ
    1/4050
  4. ঘ
    1/5000
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার ১ম এবং ২য় পদ যথাক্রমে 64 এবং 16 হলে ধারাটির 10 পদ কত ? 

সমাধান: 
ধারার ১ম পদ, a = 64
সাধারণ অনুপাত,r
= 16/64
= 1/4

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n তম পদ,
= arn - 1
= 64 × (1/4)10 - 1
= 43 × 1/49
= 43 × 1/(43 × 46)
= 1/46
= 1/4096
১,০০২.
1, 3, 6, 10, ..... অনুক্রমটির অষ্টম পদ কত?
  1. ক
    28
  2. খ
    32
  3. গ
    36
  4. ঘ
    40
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 1, 3, 6, 10, ..... অনুক্রমটির অষ্টম পদ কত?

সমাধান:
অনুক্রমটির,
১ম পদ = 1
২য় পদ = 1 + 2 = 3
৩য় পদ = 3 + 3 = 6
৪র্থ পদ = 6 + 4 = 10
৫ম পদ = 10 + 5 = 15
৬ষ্ঠ পদ = 15 + 6 = 21
৭ম পদ = 21 + 7 = 28
৮ম পদ = 28 + 8 = 36
১,০০৩.
7 + 10 + 13 + ....... ধারাটির কোন পদ 295 হবে?
  1. ক
    89 তম
  2. খ
    92 তম
  3. গ
    95 তম
  4. ঘ
    97 তম
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 7 + 10 + 13 + ....... ধারাটির কোন পদ 295 হবে?

সমাধান:
ধারাটির,
১ম পদ, a = 7
সাধারণ অন্তর, d = 10 - 7 = 3

ধরি, r-তম পদ = 295

তাহলে,
a + (r - 1) d = 295
⇒ 7 + (r - 1)3 = 295
⇒ 7 + 3r - 3 = 295
⇒ 3r = 291
⇒ r = 97

অতএব, ধারাটির 97 তম পদ 295 হবে।
১,০০৪.
12 + 22 + 32 + ..... + 152 = কত?
  1. ক
    1080
  2. খ
    1125
  3. গ
    1240
  4. ঘ
    1356
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 12 + 22 + 32 + ..... + 152 = কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি = {n(n + 1)(2n + 1)}/6
= {15(15 + 1)(2 · 15 + 1)}/6
= (15 · 16 · 31)/6
= 7440/6
= 1240
১,০০৫.
একটি ক্লাবের সদস্য প্রথম মাসে ৩০০ টাকা চাঁদা দেন এবং প্রতি মাসে ৪০ টাকা বেশি দেন। প্রথম ১০ মাসে মোট কত টাকা চাঁদা দিবে?
  1. ক
    ৫২০০ টাকা
  2. খ
    ৪৮০০ টাকা
  3. গ
    ৫০০০ টাকা
  4. ঘ
    ৪২০০ টাকা
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ক্লাবের সদস্য প্রথম মাসে ৩০০ টাকা চাঁদা দেন এবং প্রতি মাসে ৪০ টাকা বেশি দেন। প্রথম ১০ মাসে মোট কত টাকা চাঁদা দিবে?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর অনুক্রম।
যার, প্রথম পদ, a = ৩০০ টাকা
সাধারণ অন্তর, d = ৪০ টাকা

প্রথম ১০ মাসে মোট চাঁদা পরিমাণ,

আমরা জানি, 
প্রথম n পদের সমষ্টি,
Sn = (n/২) × [২a + (n - ১)d]
∴ S১০ = ১০/২ × [২ × ৩০০ + (১০ - ১) × ৪০]
= ৫ × [৬০০ + ৯ × ৪০]
= ৫ × [৬০০ + ৩৬০]
= ৫ × ৯৬০
= ৪৮০০ টাকা

সুতরাং, প্রথম ১০ মাসে মোট চাঁদা দিবে ৪৮০০ টাকা। 

১,০০৬.
একটি সমান্তর অনুক্রমে ৫ম পদটি 24 এবং প্রথম ৫টি পদের যোগফল 100 হলে প্রথম পদটি কত?
  1. ক
    16
  2. খ
    10
  3. গ
    12
  4. ঘ
    8
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমান্তর অনুক্রমে ৫ম পদটি 24 এবং প্রথম ৫টি পদের যোগফল 100 হলে প্রথম পদটি কত?

সমাধান: 
মনে করি, 
প্রথম পদ = a 

দেওয়া আছে,  
৫ম পদ = 24
∴ a + (5 - 1)d = 24
⇒ a + 4d = 24 .............. (1) 

এখন, 
৫টি পদের যোগফল = 100
⇒ (5/2){2a + (5 - 1)d} = 100 
⇒ (5/2){2a + 4d} = 100 
⇒ 2a + 4d = 40 ............... (2) 

এখন, 
(2) নং – (1) × 2 নং হতে পাই, 
2a + 4d − 2(a + 4d) = 40 − 24 × 2 
বা, 2a + 4d - 2a - 8d = 40 - 48 
বা, 4d - 8d = - 8 
বা, - 4d = - 8 
বা, d = - 8/- 4
∴ d = 2 

এখন d = 2 (1) নং সমীকরণে বসাই, 
a + 4 × 2 = 24
⇒ a + 8 = 24
⇒ a = 24 - 8
⇒ a = 16 

∴ প্রথম পদ = 16  ।
১,০০৭.
1 + 5 + 9 + 13 + ...... ধারাটির 12তম পদ কত?
  1. ক
    41
  2. খ
    37
  3. গ
    45
  4. ঘ
    49
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 1 + 5 + 9 + 13 + ...... ধারাটির 12তম পদ কত?

সমাধান: 
২য় পদ - ১ম পদ = 5 - 1 = 4
৩য় পদ - ১ম পদ = 9 - 5 = 4
∴ ইহা একটি সমান্তর ধারা।

এখানে,
প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 4

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - 1)d
সমান্তর ধারার 15 তম পদ = 1 + (12 - 1)× 4
= 1 + 11 × 4
= 1 + 44
= 45
১,০০৮.
3 + 4 + 5 + 6 + ......+ 101 = ?
  1. ক
    ক) 5148
  2. খ
    খ) 5149
  3. গ
    গ) 5150
  4. ঘ
    ঘ) 5151
ব্যাখ্যা

ধারাটি = 3 + 4 + 5 + 6 + ......+ 101
= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ..... + 101 - (1 + 2)
= [{101 × (101 + 1)}/2] - 3
= 101 × 51 - 3
= 5148

১,০০৯.
কোনো ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি n(n + 1) হলে, ধারাটির প্রথম 17টি পদের সমষ্টি কত?
  1. ক
    336
  2. খ
    316
  3. গ
    326
  4. ঘ
    306
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি n(n + 1) হলে, ধারাটির প্রথম 17টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি = n(n + 1)
প্রথম 17টি পদের সমষ্টি = 17(17 + 1)
= 18 × 17
= 306
১,০১০.
৫ + ৮ + ১১ + ১৪ + ..... ধারাটির কোন পদ ৩০২?
  1. ক
    ১০০তম পদ
  2. খ
    ১০১তম পদ
  3. গ
    ১০২তম পদ
  4. ঘ
    ১০৩তম পদ
ব্যাখ্যা

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার প্রথম পদ, a এবং সাধারণ অন্তর, d হলে,
n তম পদ = a + (n - 1)d।
এখন, n তম পদ ৩০২ হলে,
৫ + (n - ১) × ৩ = ৩০২
বা, (n - ১) × ৩ = ৩০২ - ৫
বা, n - ১ = ২৯৭/৩
বা, n - ১ = ৯৯
বা, n = ৯৯ + ১
বা, n = ১০০

১,০১১.
একটি সমান্তর ধারার সপ্তম পদ ৫২ সাধারণ অন্তর ৮ হলে ২১-তম পদ কত?
  1. ক
    ক) ১৬৪
  2. খ
    খ) ১৬০
  3. গ
    গ) ১৮০
  4. ঘ
    ঘ) ১৮৪
ব্যাখ্যা

১ম পদ a,
সাধারণ অন্তর d = ৮,

৭ম পদ = a + (৭ - ১)d = ৫২
বা, a + ৬ × ৮ = ৫২
বা, a = ৫২ - ৪৮ = ৪

∴ ২১ তম পদ = a + (২১ - ১)d
= ৪ + ২০ × ৮
= ৪ + ১৬০
= ১৬৪

১,০১২.
6 + 9 + 12 + 15 + …… ধারাটির কত তম পদ 300?
  1. ক
    99 তম পদ
  2. খ
    100 তম পদ
  3. গ
    101 তম পদ
  4. ঘ
    97 তম পদ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 6 + 9 + 12 + 15 + …… ধারাটির কত তম পদ 300?

সমাধান: 
এখানে,
ধারাটির প্রথম পদ a = 6,
সাধারণ অন্তর d = 9 - 6 = 3
ধরি,
n তম পদ = 300

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1) d
বা, 6 + (n - 1) 3 = 300
বা, 3n - 3 = 294
বা, 3n = 297
বা, n = 99

∴ ধারাটির 99 তম পদ 300 হবে।
১,০১৩.
৫ + ৯ + ১৩ + ১৭ + ...... ধারার কোন পদ ১৭৩?
  1. ক
    ৩৭
  2. খ
    ৪৩
  3. গ
    ৪৭
  4. ঘ
    ৫১
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৫ + ৯ + ১৩ + ১৭ + ...... ধারার কোন পদ ১৭৩?

সমাধান:
প্রথম পদ, a = ৫
সাধারণ অন্তর, d = ৯ - ৫ = ৪
n তম পদ = ১৭৩

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - ১) × d
⇒ ১৭৩ = ৫ + (n - ১) × ৪
⇒ ১৭৩ = ৫ + ৪n - ৪
⇒ ১৭৩ = ৪n + ১
⇒ ৪n = ১৭২
⇒ n = ১৭২/৪
∴ n = ৪৩

∴ ধারাটির ৪৩তম পদ হলো ১৭৩

১,০১৪.
একটি সমান্তর অনুক্রমে ৬ষ্ঠ পদটি 20 এবং প্রথম ৬টি পদের যোগফল 90 হয়, তাহলে প্রথম পদটি কত?
  1. ক
    10
  2. খ
    8
  3. গ
    4
  4. ঘ
    5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমান্তর অনুক্রমে ৬ষ্ঠ পদটি 20 এবং প্রথম ৬টি পদের যোগফল 90 হয়, তাহলে প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
ধরি, 
ধারাটির ১ম পদ a 
সাধারণ অন্তর d 

প্রশ্নমতে,
  a + (6 - 1)d = 20
⇒ a + 5d = 20 .........(1) 

এবং
(6/2){2a + (6 - 1)d} = 90
⇒ 2a + 5d = 30 .......(2) 

এখন সমীকরণ (2) - (1) করে পাই,
(2a + 5d) - (a + 5d) = 30 - 20
⇒ 2a + 5d - a - 5d = 10
∴ a = 10

∴ সমান্তর অনুক্রমের প্রথম পদটি 10
১,০১৫.
কোনাে ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি n(n2+1) হলে, ধারাটির প্রথম 7টি পদের সমষ্টি কত?
  1. ক
    ক) 320
  2. খ
    খ) 330
  3. গ
    গ) 350
  4. ঘ
    ঘ) 360
ব্যাখ্যা
কোনাে ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি n(n2+1) হলে, ধারাটির প্রথম 7টি পদের সমষ্টি
= 7(72 + 1)
= 7(49 + 1)
= 7 × 50
= 350
১,০১৬.
2, 6, 10, 14,.....অনুক্রমটির কত তম পদ 102 হবে?
  1. ক
    23
  2. খ
    24
  3. গ
    25
  4. ঘ
    26
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2, 6, 10, 14,.....অনুক্রমটির কত তম পদ 102 হবে?

সমাধান:
ধারাটি হলো: 2, 6, 10, 14, …
প্রথম পদ, a = 2
সাধারণ অন্তর, d = 4

আমরা জানি,
an​ = a + (n - 1)d
⇒ 102 = 2 + (n - 1) × 4
⇒ 102 - 2 = 4(n - 1)
⇒ 100 = 4n - 4
⇒ 4n = 104
⇒ n = 104/4
∴ n = 26

১,০১৭.
একটি সমান্তর ধারার সাধারণ অন্তর 5 এবং চতুর্থ পদ 32 হলে 15 তম পদটি কত?
  1. ক
    105
  2. খ
    92
  3. গ
    87
  4. ঘ
    112
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার সাধারণ অন্তর 5 এবং চতুর্থ পদ 32 হলে 15 তম পদটি কত?

সমাধান:
ধরি, ধারাটির প্রথম পদ = a
সাধারণ অন্তর, d = 5

আমরা জানি, কোনো সমান্তর ধারার n-তম পদ = a + (n - 1)d
সুতরাং, 4র্থ পদ = a + (4 - 1)d
বা, 32 = a + 3 × 5
বা, 32 = a + 15
বা, a = 32 - 15
∴ a = 17

এখন,15তম পদ = a + (15 - 1)d
= 17 + 14 × 5
= 17 + 70
= 87

সুতরাং, ধারাটির 15তম পদ হলো 87.

১,০১৮.
৮ + ১০ + ১২ +......... + ৫২ =?
  1. ক
    ৬৯০
  2. খ
    ৭৫০
  3. গ
    ৭৮৮
  4. ঘ
    ৮২০
  5. ঙ
    কোনটি নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৮ + ১০ + ১২ +......... + ৫২ =?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা 
যার ১ম পদ = ৮
শেষ পদ = ৫২
এবং সাধারণ অন্তর = ২

∴ পদ সংখ্যা = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/সাধারণ অন্তর} + ১
= {(৫২ - ৮)/২} + ১
= (৪৪/২) + ১
= ২২ + ১
= ২৩

∴ সমষ্টি = {(শেষ পদ + ১ম পদ)/২} × পদ সংখ্যা
= {(৫২ + ৮)/২} × ২৩
= (৬০/২) × ২৩
= ৩০ × ২৩
= ৬৯০

∴ ধারাটির সমষ্টি ৬৯০
১,০১৯.
3 + 7 + 11 + 15 + ................ ধারাটির কোন পদ 263?
  1. ক
    66 তম
  2. খ
    67 তম
  3. গ
    68 তম
  4. ঘ
    69 তম
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3 + 7 + 11 + 15 + ................ ধারাটির কোন পদ 263?

সমাধান:
ধারাটির প্রথম পদ a = 3 
সাধারণ অন্তর d = 7 - 3 = 4
ধারাটির n তম পদ = 263

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1) d.
a + (n - 1)d = 263
বা, 3 + (n - 1)4 = 263
বা, 4(n - 1) = 263 - 3
বা, 4(n - 1) = 260
বা, n - 1= 260/4
বা, n - 1 = 65
বা, n = 65 + 1
∴ n = 66 

ধারাটির 66 তম পদ = 263
১,০২০.
১০+১১+১২+১৩+………………+১০০ পর্যন্ত পদ গুলোর যোগফল কত?
  1. ক
    ক) ৫০৫০
  2. খ
    খ) ৪৯৫০
  3. গ
    গ) ২৪৫০
  4. ঘ
    ঘ) ৫০০৫
ব্যাখ্যা

{( শেষ পদ + ১ম পদ)/২} x {(শেষ পদ-১ম পদ)/পদের অন্তর}+১
= (১০০+১০)/২ x ((১০০-১০)/১) +১
= ৫৫ x ৯১
= ৫০০৫

১,০২১.


  1. ক
    ক) ৫
  2. খ
    খ) ১১/৩
  3. গ
    গ) ৭
  4. ঘ
    ঘ) ১১
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:


সমাধান:
১২ + ২২ + ৩২ +...... + n২ = n(n + 1)(2n + 1)/6

১২ + ২২ + ৩২ + ৪২ +...... + ১০২ = ১০(১০ + ১)(২০ + ১)/৬
= (১০ × ১১ × ২১)/৬
= ৩৮৫ 

১২ + ২২ + ৩২ + ৪২ + ৫২ = ৫ (৫ + ১)(১০ + ১)/৬
= ৫৫

∴ (১২ + ২২ + ৩২ + ৪২ +...... + ১০২)/(১২ + ২২ + ৩২ + ৪২ + ৫২)
= ৩৮৫/৫৫
= ৭
১,০২২.
প্রথম 15 টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি কত? 
  1. ক
    10200
  2. খ
    12400
  3. গ
    13400
  4. ঘ
    14400
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: প্রথম 15 টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = {n(n + 1)/2}2
∴ প্রথম 15 টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = {15(15 + 1)/2}2
= {(15 × 16)/2}2
= (240/2)2
= (120)2
= 14400

১,০২৩.
কোনো সমান্তর ধারার 10 তম পদ 80 হলে, এর প্রথম 19টি পদের সমষ্টি কত?
  1. ক
    ক) 1458
  2. খ
    খ) 1500
  3. গ
    গ) 1448
  4. ঘ
    ঘ) 1520
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার 10 তম পদ 80 হলে, এর প্রথম 19টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান: 
ধরি,
সমান্তর ধারার ১ম পদ, a 
সাধারণ অন্তর, d 

সমান্তর ধারার 10 তম পদ 80 হলে,
a + 9d = 80

প্রথম 19টি পদের সমষ্টি,
= (19/2){2a + (19 - 1)d}
= (19/2){2a + 18d)
= (19/2) × 2(a + 9d)
= 19 × 80
= 1520
১,০২৪.
30 + 33 + 36 + 39 + 42 + .................. ধারার প্রথম দশটি পদের সমষ্টি কত?
  1. ক
    378
  2. খ
    435
  3. গ
    495
  4. ঘ
    405
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 30 + 33 + 36 + 39 + 42 + .................. ধারার প্রথম দশটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
এখানে, 
33 - 30 = 3
36 - 33 = 3
39 - 36 = 3 
∴ ধারাটি একটি সমান্তর ধারা।
প্রথম পদ, a = 30
পদসংখ্যা, n = 10
সাধারণ অন্তর, d = 3

∴ ধারার প্রথম দশটি পদের সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
= (10/2){2 × 30 + (10 - 1)3}
= 5(60 + 27)
= 5 × 87
= 435
১,০২৫.
একটি সমান্তর ধারার ১ম পদ 5 এবং সাধারণ অন্তর 3 হলে, ধারাটির n তম পদ কত?
  1. ক
    5n + 3
  2. খ
    5 × 3n
  3. গ
    5n
  4. ঘ
    2 + 3n
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার ১ম পদ 5 এবং সাধারণ অন্তর 3 হলে, ধারাটির n তম পদ কত?

সমাধান:
ধরি,
সমান্তর ধারার প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অন্তর, d = 3

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - 1)d
= 5 + (n - 1)3
= 5 + 3n - 3
= 2 + 3n 
১,০২৬.
৩ + ৫ + ৭ + ............ + ৮১ ধারটির পদসংখ্যা কয়টি?
  1. ক
    ৪০টি
  2. খ
    ৪১টি
  3. গ
    ৩৯টি
  4. ঘ
    ৪২টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৩ + ৫ + ৭ + ............ + ৮১ ধারটির পদসংখ্যা কয়টি?

সমাধান: 
এখানে,
প্রথম পদ, a = 3
সাধারন অন্তর, d = 5 - 3 = 2
ধরি,
ধারাটির n তম পদ = 81

∴ a + (n - 1)d = 81
বা, 3 + (n - 1)2 = 81
বা, (n - 1)2 = 78
বা, (n - 1) = 39
∴ n = 40
১,০২৭.
৩৬, ৮১, ১৪৪, ২২৫…… পরবর্তী সংখ্যাটি কত?
  1. ক
    ক) ৩১৮
  2. খ
    খ) ৩২২
  3. গ
    গ) ৩২৪
  4. ঘ
    ঘ) ৩২৬
ব্যাখ্যা

৩৬, ৮১, ১৪৪, ২২৫.....
= ৬২, ৯২, ১২২, ১৫২
∴ পরবর্তী সংখ্যাটি = (১৮)২
= ৩২৪

১,০২৮.
পাঁচটি পদের একটি সমান্তর ধারার পঞ্চম পদটি হল ১০। তাদের যোগফল ৩০ হলে, প্রথম পদটি কত?
  1. ক
    ক) ২
  2. খ
    খ) ৪
  3. গ
    গ) ৬
  4. ঘ
    ঘ) -২
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: পাঁচটি পদের একটি  সমান্তর ধারার  পঞ্চম পদটি হল ১০। তাদের যোগফল ৩০ হলে, প্রথম পদটি কত?

সমাধান: 
ধরি, প্রথম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d
৫ম পদটি হল ৬
    a + (5 - 1) d = 10
⇒ a + 4d = 10

তাদের যোগফল ৩০ 

    (5/2) (2a + (5 - 1) ×d ) = 30
⇒  2a + 4d = 12
⇒ a + a + 4d = 12
⇒ a + 10 = 12
⇒ a = 2
১,০২৯.
কোনো সমান্তর ধারার mতম পদ n এবং n তম পদ m হলে, ধারাটির সাধারণ অন্তর কত?
  1. ক
    - 1
  2. খ
    m/n
  3. গ
    2
  4. ঘ
     n/m
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার mতম পদ n এবং n তম পদ m হলে, ধারাটির সাধারণ অন্তর কত?
 
সমাধান:
কোনো সমান্তর ধারার ১ম পদ = a 
সাধারণ অন্তর = d 

আমরা জানি,
m তম পদ = a + (m - 1)d
⇒ n  = a + md - d
∴ a + md - d = n .......................(1)

আবার,
n তম পদ = a + (n - 1)d
⇒ m  = a + nd - d
∴ a + nd - d = m...................(2)

(1) নং থেকে (2) নং বিয়োগ করে পাই 
⇒ a + md - d - (a + nd - d)= n - m
⇒ a + md - d - a - nd + d = n - m
⇒ md - nd = n - m
⇒ d(m - n) = n - m
⇒ d = - 1(m - n)/(m - n)
∴ d =  - 1

সুতরাং, সাধারণ অন্তর - 1

১,০৩০.
1 + 2 + 3 + 4 + ......... + 33 = কত?
  1. ক
    456
  2. খ
    488
  3. গ
    561
  4. ঘ
    590
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 1 + 2 + 3 + 4 + ......... + 33 = কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = {n(n + 1)}/2
অর্থাৎ 1 + 2 + 3 + .................. + n = {n(n + 1)}/2
⇒ 1 + 2 + 3 + 4 + .......... + 33 = {33(33 + 1)}/2
= (33 × 34)/2
= 561
১,০৩১.
৯ + ১৪ + ১৯ +..................ধারাটির প্রথম ২০ টি পদের সমষ্টি কত?
  1. ক
    ১১৫০
  2. খ
    ১১৩০
  3. গ
    ১০৮০
  4. ঘ
    ১০২০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৯ + ১৪ + ১৯ +..................ধারাটির প্রথম ২০ টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান: 
ধারাটির প্রথম পদ, a = 9
সাধারণ অন্তর, d = 14 - 9 = 5

এখানে পদ সংখ্যা n = 20

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি,
Sn = (n/2){2a + (n - 1)d}
⇒ S20 = (20/2){(2 × 9) + (20 - 1)5}
= 10{18 + (19 × 5)}
= 10(18 + 95)
= 10 × 113
= 1130
১,০৩২.
72 + 36 + 18 + 9 + ....... ধারাটির ৮ম তম পদ কত ?
  1. ক
    16/9
  2. খ
    3/4
  3. গ
    9/16
  4. ঘ
    16/5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 72 + 36 + 18 + 9 + ....... ধারাটির ৮ম তম পদ কত ? 

সমাধান:
ইহা একটি গুণোত্তর ধারা ।
যার ১ম পদ , a = 72
সাধারণ অনুপাত , r = 36/72 = 1/2
আমরা জানি ,

n তম পদ = arn - 1
৮ম তম পদ = 72 × (1/2)8 - 1
= 72 × (1/2)7
= 72 × 1/128
= 72/128
∴  9/16
১,০৩৩.
12 + 22 + 32 + ..... + 252 = কত?
  1. ক
    5485
  2. খ
    5518
  3. গ
    5525
  4. ঘ
    5610
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 12 + 22 + 32 + ..... + 252 = কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি = {n(n + 1)(2n + 1)}/6
= {25(25 + 1)(2 · 25 + 1)}/6
= (25 · 26 · 51)/6
= 5525
১,০৩৪.
1 + 4 + 9 + 16 + ..................... + 144 = কত?
  1. ক
    1950
  2. খ
    650
  3. গ
    6084
  4. ঘ
    1300
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 1 + 4 + 9 + 16 + ..................... + 144 = কত?

সমাধান:
1 + 4 + 9 + 16 + ..................... + 144 
12 + 22 + 32 + 42 + ...............+ 122

আমরা জানি,
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি = {n(n + 1)(2n + 1)}/6

∴ 12টি স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি = {12(12 + 1)(2 × 12 + 1)}/6
= {12 × 13 × 25}/6
= 3900/6
= 650
১,০৩৫.
1 + 2 + 3 + ..... + 38 = কত?
  1. ক
    536
  2. খ
    741
  3. গ
    896
  4. ঘ
    1024
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 1 + 2 + 3 + ..... + 38 = কত?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ, a = 1
পদসংখ্যা, n = 38
সাধারণ অন্তর, d = 2 - 1
= 1

∴ সমষ্টি = (n/2)/{2a + (n - 1)d}
= (38/2){2 · 1 + (38 - 1)1}
= 19(2 + 37)
= 19 × 39
= 741
১,০৩৬.
3 + 7 + 11 + 15 +......... ধারাটির n পদের সমষ্টি কত?
  1. ক
    n(n + 3)
  2. খ
    n(2n + 1)
  3. গ
    n(3n + 1)/2
  4. ঘ
    n(2n - 1)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3 + 7 + 11 + 15 +......... ধারাটির n পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা।
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অন্তর, d = 7 - 3 = 4

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি,
Sn = (n/2) [2a + (n - 1)d]
⇒ Sn = (n/2) [2 × 3 + (n - 1)4]
⇒ Sn = (n/2) [6 + 4n - 4]
⇒ Sn = (n/2) [4n + 2]
⇒ Sn = (n/2) × 2(2n + 1)
∴ Sn = n(2n + 1)

সুতরাং, ধারাটির n পদের সমষ্টি হলো n(2n + 1)

১,০৩৭.
একটি সমান্তর অনুক্রমে সাধারণ অন্তর 10 এবং পঞ্চম পদটি 42 হলে দ্বাদশ পদটি কত হবে? 
  1. ক
    90
  2. খ
    96
  3. গ
    112
  4. ঘ
    136
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমান্তর অনুক্রমে সাধারণ অন্তর 10 এবং পঞ্চম পদটি 42 হলে দ্বাদশ পদটি কত হবে?

সমাধান: 
ধরি, 
প্রথম পদ = a
এবং
সাধারণ অন্তর, d = 10 

∴ পঞ্চম পদটি = a + (5 - 1) × 10
বা, 42 = a + 40
বা, a = 42 - 40
∴ a = 2

∴ দ্বাদশ পদটি = a + (12 - 1) × 10
= 2 + (12 - 1) × 10
= 2 + (11 × 10)
= 2 + 110
= 112

১,০৩৮.
0.18 + 0.0018 + 0.000018 + ......... ধারাটির অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল কত?
  1. ক
    2/11
  2. খ
    3/31
  3. গ
    7/66
  4. ঘ
    3/11
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 0.18 + 0.0018 + 0.000018 + ......... ধারাটির অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল কত?

সমাধান:
১ম পদ, a = 0.18
সাধারণ অনুপাত, r = (0.0018)/(0.18)
= 0.01

∴ সমষ্টি = a/(1 - r)
= 0.18/(1 - 0.01)
= (0.18)/(0.99)
= 18/99
= 2/11

১,০৩৯.
1 + 3 + 5 + ............. + 81 = কত?
  1. ক
    1681
  2. খ
    1690
  3. গ
    1712
  4. ঘ
    1730
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 1 + 3 + 5 + ............. + 81 = কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
পদ সংখ্যা = {(শেষপদ - প্রথম পদ)/সাধারণ অন্তর} + 1
= {(81 - 1)/2} + 1
= 41

∴ সমষ্টি = {(শেষপদ + ১মপদ)/2} × পদসংখ্যা 
= {(81 + 1)/2} × 41
= 1681
১,০৪০.
5 + 8 + 11 + 14 + ............................ ধারাটির কোন পদ 302?
  1. ক
    100
  2. খ
    101
  3. গ
    102
  4. ঘ
    99
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 5 + 8 + 11 + 14 + ............................ ধারাটির কোন পদ 302?

সমাধান:
5 + 8 + 11 + 14 + ............................
এটি একটি সমান্তর ধারা,
যার প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অন্তর d = 8 - 5 = 3 

ধরি,
ধারাটির n তম পদ 302

n তম পদ = a + (n - 1)d
⇒ 302 = 5 + (n - 1)3
⇒ 302 = 5 + 3n - 3
⇒ 3n + 2 = 302
⇒ 3n = 302 - 2
⇒ 3n = 300
⇒ n = 300/3
∴ n = 100
১,০৪১.
29 + 25 + 21 + ............ ধারাটির কততম পদ - 23? 
  1. ক
    ক) 12
  2. খ
    খ) 13
  3. গ
    গ) 14
  4. ঘ
    ঘ) 15
ব্যাখ্যা
এখানে
১ম পদ a = 29,
সাধারণ অন্তর d = 25 - 29 = - 4
ধরি 
 n তম পদ = - 23

আমরা জানি,
 n তম পদ = a + (n - 1)d
বা,- 23 = 29 +(n - 1)×(- 4)
বা,- 23 = 29 - 4n + 4 
বা, 4n = 33 + 23
বা 4n = 56 
      n = 14 
১,০৪২.
২৯ + ২৫ + ২১ + ...... -২৩ = কত?
  1. ক
    ৮০
  2. খ
    ৭৪
  3. গ
    ৫৬
  4. ঘ
    ৪২
ব্যাখ্যা
ধারাটির প্রথম পদ, a = ২৯
সাধারন অন্তর, d = -৪
n তম পদ = a + (n - 1)d
⇒ -২৩ = ২৯ + (n - 1)(-৪)
⇒ -৪n + ৪ = -২৩ -২৯
⇒ ৪n = ২৩ + ২৯ + ৪ = ৫৬
∴ n = ১৪
এখন, Sn= n/2{2a + (n - 1)d}
=১৪/২{২×২৯ + (১৪ - ১)(-৪)}
=৭(৫৮-৫২)
= ৪২
১,০৪৩.
12 + 22 + 32 +...............+ n2 এর মান কত?
  1. ক
    n(n + 1)/3
  2. খ
    n(n + 1)(2n + 1)/6
  3. গ
    n(n + 1)/2
  4. ঘ
    {n(n + 1)/2}2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 12 + 22 + 32 +...............+ n2 এর মান কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
12 + 22 + 32 +...............+ n2 ধারাটির সমষ্টি = n(n + 1)(2n + 1)/6 

অন্যদিকে,
13 + 23 + 33 +...............+ n3 ধারাটির সমষ্টি = {n (n + 1)/2}2.
১,০৪৪.
একটি সমান্তর অনুক্রমে সাধারণ অন্তর 6 এবং 6-তম পদটি 48 হলে, 12-তম পদ কত?
  1. ক
    142
  2. খ
    84
  3. গ
    38
  4. ঘ
    128
ব্যাখ্যা
১ম পদ a হলে,
6-তম পদটি = a + (6 - 1)6 = a + 30
(যেখানে সাধারণ অন্তর = 6)

6-তম পদটি 48 হলে, আমরা পাই,
a + 30 = 48
⇒ a = 48- 30
       = 18

12-তম পদ
= 18 + (12 - 1)6
= 18 + 66
= 84
১,০৪৫.
log2 + log4 + log8 + --- --- --- ধারাটির সাধারণ অন্তর কত?
  1. ক
    ক)2
  2. খ
    খ) 4
  3. গ
    গ) log2
  4. ঘ
    ঘ) 2log2
ব্যাখ্যা
ধারাটির সাধারণ অন্তর
= ২য় পদ - ১ম পদ
= log4 - log2
= log22 - log2
= 2log2 - log2
= log2
১,০৪৬.
19 + 17 + 15 + …… ধারাটির কত তম পদ (- 3)?
  1. ক
    11 তম
  2. খ
    12 তম
  3. গ
    13 তম
  4. ঘ
    14 তম
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 19 + 17 + 15 + …… ধারাটির কত তম পদ (- 3)? 

সমাধান:
এখানে,
ধারাটির ১ম পদ, a = 19
সাধারণ অন্তর, d = 17 - 19
= - 2

এখন,
n তম পদ = - 3

আমরা জানি,
 n তম পদ = a + (n - 1)d
বা, - 3 = 19 + (n - 1)(- 2)
বা, - 3 = 19 - 2n + 2
বা, - 3 = 21 - 2n 
বা, - 3 - 21 = - 2n
বা, - 24 = - 2n
বা, 24 = 2n [- 1 দ্বারা গুণ করে] 
বা, n = 24/2
∴ n = 12

∴ ধারাটির 12 তম পদ (- 3).
১,০৪৭.
একটি সমান্তর ধারার ৭ম পদ ৩৫ এবং ১৩তম পদ ৬৫। এর প্রথম ২০টি পদের সমষ্টি কত?
  1. ক
    ১১৫০
  2. খ
    ১২৫০
  3. গ
    ৯৮০
  4. ঘ
    ১০৫০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার ৭ম পদ ৩৫ এবং ১৩তম পদ ৬৫। এর প্রথম ২০টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধরি,
ধারাটির ১ম পদ a এবং সাধারণ অনুপাত r.
n তম পদ = a + (n - 1)d
৭ম পদ = a + (৭ - ১)d = ৩৫
বা, a + ৬d = ৩৫ ............. (১)
এবং
a + ১২d = ৬৫ ............. (২)

এখন সমীকরণ ২ থেকে ১ বিয়োগ করে পাই,
⇒ a + ১২d - a - ৬d = ৬৫ - ৩৫
⇒ ৬d = ৩০
∴ d = ৫
d এর মান (১) নং এ বসিয়ে পাই,
a = ৩৫ - ৩০
∴ a = ৫


∴ প্রথম ২০টি পদের সমষ্টি = (২০/২) {২ × ৫ + (২০ - ১)৫}
= ১০ × (১০ + ৯৫)
= ১০ × ১০৫
= ১০৫০
১,০৪৮.
1 + 2 + 3 + ..... + 48 = কত?
  1. ক
    994
  2. খ
    1008
  3. গ
    1176
  4. ঘ
    1242
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 1 + 2 + 3 + ..... + 48 = কত?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ, a = 1
পদসংখ্যা, n = 48
সাধারণ অন্তর, d = 2 - 1 = 1

∴ সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
= (48/2){2 · 1 + (48 - 1) · 1}
= 24(2 + 47)
= 1176
১,০৪৯.
কোনো সমান্তর ধারার 16 তম পদ - 20 হলে, এর প্রথম 31 টি পদের সমষ্টি কত?
  1. ক
    ক) - 420
  2. খ
    খ) - 320
  3. গ
    গ) - 520
  4. ঘ
    ঘ) - 620
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার 16 তম পদ - 20 হলে, এর প্রথম 31 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান: 
সমান্তর ধারার ১ম পদ a
সাধারণ অন্তর d

সমান্তর ধারার 16তম পদ - 20 হলে, 
a + (16 - 1)d = - 20
a + 15d = - 20

প্রথম 31 টি পদের সমষ্টি
= (31/2){2a + (31 - 1)d}
= (31/2){2a + 30d)
= (31/2) × 2(a + 15d)
= 31 × - 20
= - 620
১,০৫০.
১ + ৫ + ৯ + ........ + ৮১ = কত?
  1. ক
    ১০৬১
  2. খ
    ৯৬১
  3. গ
    ৮৬১
  4. ঘ
    ৬৬১
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১ + ৫ + ৯ + ........ + ৮১ = কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ a = ১,
সাধারণ অন্তর d= ৫ - ১ = ৪

প্রশ্নমতে,
n-তম পদ = ৮১
⇒ a + (n - )d = ৮১
⇒ ১ + (n - ১) × ৪ = ৮১
⇒ (n - ১) × ৪ = ৮০
⇒ (n - ১) = ৮০/৪
⇒ (n - ১) = ২০
⇒ n = ২১

∴ সমষ্টি Sn = (n/2){2a + (n - 1)d}
= (২১/২){(২ × ১) + (২১ - ১) × ৪}
= (২১/২) × (২ + ৮০)
= (২১/২) × ৮২
= ২১ × ৪১
= ৮৬১

১,০৫১.
5 + 8 + 11 + 14 + …… ধারাটির কত তম পদ 152?
  1. ক
    ক) 60 তম পদ
  2. খ
    খ) 40 তম পদ
  3. গ
    গ) 50 তম পদ
  4. ঘ
    ঘ) 30 তম পদ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 5 + 8 + 11 + 14 + …… ধারাটির কত তম পদ 152?

সমাধান:  
এখানে,
ধারাটির প্রথম পদ a = 5
সাধারণ অন্তর d = 8 - 5 = 3
ধরি, n তম পদ = 152
আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1) d
বা, 5 + (n - 1) 3 = 152
বা, 5 + 3n - 3 = 152 
বা, 3n + 2 = 152 
বা, 3n = 152 - 2
বা 3n = 150
   n = 50  
∴ ধারাটির 50 তম পদ 152 হবে।
১,০৫২.
১ হতে ৭৯ পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যাগুলোর গড় কত?
  1. ক
    ক) ৩৫
  2. খ
    খ) ৪০
  3. গ
    গ) ৪৫
  4. ঘ
    ঘ) ৫০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১ হতে ৭৯ পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যাগুলোর গড় কত?

সমাধান:
১ হতে ৭৯ পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যাগুলোর গড় = (শেষ পদ + প্রথম পদ)/২
= (১ + ৭৯)/২
= ৮০/২
= ৪০ 
১,০৫৩.
একটি সমান্তর ধারার সাধারণ অন্তর 6 এবং সপ্তম পদ 50 হলে 15 তম পদ কত?
  1. ক
    86
  2. খ
    92
  3. গ
    98
  4. ঘ
    102
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার সাধারণ অন্তর 6 এবং সপ্তম পদ 50 হলে 15 তম পদ কত?

সমাধান:
ধরি,
সমান্তর ধারার প্রথম পদ = a
এবং সাধারণ অন্তর, d = 6
তাহলে,
n তম পদ = a + (n - 1)d

এখানে,
7 তম পদ, 50 = a + (7 - 1)6
⇒ 50 = a + (6 × 6)
⇒ 50 = a + 36
⇒ a = 14

15 তম পদ = 14 + (15 - 1)6
 = 14 + (14 × 6)
= 14 + 84
= 98
১,০৫৪.
3 + 7 + 11 + 15 +.......... ধারাটির কোন পদ 263? 
  1. ক
    56
  2. খ
    63
  3. গ
    66
  4. ঘ
    69
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3 + 7 + 11 + 15 +.......... ধারাটির কোন পদ 263? 

সমাধান: 
ধারাটির প্রথম পদ, a = 3
এবং সাধারণ অন্তর, d = 7 - 3 = 4 = 11 - 7
∴ ধারাটি একটি সমান্তর ধারা। 

মনে করি,
ধারাটির n তম পদ = 263 

আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1) d.
∴ a + (n - 1) d = 263
বা, 3 + (n - 1) 4 = 263
বা, 4(n - 1) = 263 - 3
বা, 4(n - 1) = 260 
বা, (n - 1) = 260/4
বা, (n - 1) = 65 
বা, n = 65 + 1
∴ n = 66

∴ প্রদত্ত ধারার 66 তম পদ = 263  ।
১,০৫৫.
একটি সমান্তর ধারার সাধারণ অন্তর ৯ এবং ৭ম পদ ৬০ হলে ১২তম পদ কত?
  1. ক
    ৯০
  2. খ
    ১০০
  3. গ
    ১০৫
  4. ঘ
    ১০৮
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার সাধারণ অন্তর ৯ এবং ৭ম পদ ৬০ হলে ১২তম পদ কত?
 
সমাধান:
সমান্তর ধারার ১ম পদ, a 
সাধারণ অন্তর, d  = 9

দেয়া আছে,
৭ম পদ = 60

আমরা জানি,
n তম পদ  = a + (n - 1)d  

৭ম পদ = a + (7 - 1)d
বা, 60 = a + 6d 
বা, 60 = a + 6 × 9 
বা, 60 = a + 54 
বা, a = 60 - 54
∴ a = 6 

১২ তম পদ  = a + (12 - 1)d  
= 6 + 11 × 9
= 6 + 99
= 105 
১,০৫৬.
একটি সমান্তর ধারার ৭-তম পদ ২০ এবং ১৩-তম পদ ৩৮ হলে, ধারাটির সাধারণ অন্তর কত?
  1. ক
    ৭
  2. খ
    ২ 
  3. গ
    ৫ 
  4. ঘ
    ৩ 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার ৭-তম পদ ২০ এবং ১৩-তম পদ ৩৮ হলে, ধারাটির সাধারণ অন্তর কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 
সমান্তর ধারার n-তম পদ, an = a + (n - ১)d

দেওয়া আছে,
৭ম পদ, a৭ = ২০
⇒ a + (৭ - ১)d = ২০
⇒ a + ৬d = ২০  ………(১)

এবং
১৩ম পদ, a১৩ = ৩৮
⇒ a + (১৩ - ১)d = ৩৮
⇒ a + ১২d = ৩৮  ………(২)

এখন সমীকরণ (২) থেকে সমীকরণ (১) বিয়োগ করে পাই,
(a + ১২d) - (a + ৬d) = ৩৮ - ২০
⇒ a + ১২d - a - ৬d = ১৮
⇒ ৬d = ১৮
⇒ d = ১৮/৬
∴ d = ৩

সুতরাং, সাধারণ অন্তর ৩। 

১,০৫৭.
5 + 11 + 17 + 23 + ............. ধারার প্রথম 10টি পদের সমষ্টি কত?
  1. ক
    280
  2. খ
    300
  3. গ
    320
  4. ঘ
    340
ব্যাখ্যা
এটি একটি সমান্তর ধারা
ধারাটির প্রথম পদ a = 5
সাধারন অন্তর d = 11 - 5 = 6
পদ সংখ্যা  n = 10

 10 তম পদের সমষ্টি = (n/2){2a+(n - 1)d}
                                = (10/2){2.5+(10 - 1)(6)}
                                = 5(10 + 54) 
                                = 5(64)
                                = 320
১,০৫৮.
একটি সমান্তর ধারার 10 তম পদ 45 হলে, তার প্রথম 19 পদের সমষ্টি কত?
  1. ক
    855
  2. খ
    900
  3. গ
    810
  4. ঘ
    475
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার 10 তম পদ 45 হলে, তার প্রথম 19 পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
মনেকরি,
ধারাটির প্রথম পদ a
সাধারণ অন্তর d
আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 10 তম পদ = a + (10 - 1)d
= a + 9d
প্রশ্নমতে,
a + 9d = 45
আমরা জানি,
n সংখ্যক পদের সমষ্টি, Sn = (n/2){2a + (n - 1)d}
∴ প্রথম 19টি পদের সমষ্টি, S19 = (19/2){2a + (19 - 1)d}
= (19/2)(2a + 18d)
= (19/2) × 2(a + 9d)
= 19 × (a + 9d)
= 19 × 45
= 855

১,০৫৯.
3 + 5 + 7 + ...... ধারাটির 101 তম পদ কত?
  1. ক
    108
  2. খ
    201
  3. গ
    203
  4. ঘ
    251
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3 + 5 + 7 + ...... ধারাটির 101 তম পদ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমান্তর ধারার 
প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অন্তর, d = (5 - 3) = 2

আমরা জানি ,
n-তম পদ= a + (n - 1)d
∴ 101 তম পদ,
= 3 + (101 - 1) × 2
= 3 + (100 × 2)
= 3 + 200
= 203
১,০৬০.
১ + ৫ + ৯ + ১৩ + ......... ধারাটির ১৫তম পদ হবে?
  1. ক
    ৫৭
  2. খ
    ৬১
  3. গ
    ৪৭
  4. ঘ
    ৬৫
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১ + ৫ + ৯ + ১৩+ ......... ধারাটির ১৫ তম পদ হবে?

সমাধান: 
এখানে,
a = ১
d = ৫ - ১ = ৪
n = ১৫ 

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - ১)d
১৫ তম পদ = a + (১৫ - ১)d
= a + ১৪d
= ১ + ১৪ × ৪
= ১ + ৫৬
= ৫৭
১,০৬১.
কোনো সমান্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি n2 + n  হলে, ধারাটির প্রথম 12টি পদের সমষ্টি কত?
  1. ক
    ক) 144
  2. খ
    খ) 110
  3. গ
    গ) 156
  4. ঘ
    ঘ) 170
ব্যাখ্যা
দেয়া আছে,
n সংখ্যক পদের সমষ্টি n2 + n
প্রথম 12টি পদের সমষ্টি = 122 + 12 = 144 + 12 = 156
১,০৬২.
কোনো সমান্তর ধারার ১২তম পদ ৭৭ হলে এর প্রথম ২৩টি পদের সমষ্টি কত?
  1. ক
    ১৭৬১
  2. খ
    ১৬৬১
  3. গ
    ১৬৮১
  4. ঘ
    ১৭৭১
ব্যাখ্যা

মনে করি,
ধারাটি প্রথম পদ, a এবং সাধারণ অন্তর, d
আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
সুতরাং 12 তম পদ = a + (12 - 1)d
= a + 11d
প্রশ্নমতে,
a + 11d = 77
আবার,
আমরা জানি,
n তম পদের সমষ্টি = n/2 {2a + (n - 1)d}
সুতরাং প্রথম 23টি পদের সমষ্টি = 23/2 {2a + (23-1)d}
= 23/2 (2a + 22d)
= 23/2 × 2 (a + 11d)
= 23 × (a + 10d)
= 23 × 77
= 1771

১,০৬৩.
29 + 25 + 21 + ....... - 27 = কত?
  1. ক
    ক) 61
  2. খ
    খ) 42
  3. গ
    গ) 15
  4. ঘ
    ঘ) - 16
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 29 + 25 + 21 + ....... - 27 = কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ a = 29;
সাধারণ অন্তর, d = 25 - 29 = - 4;
সুতরাং ইহা একটি সমান্তর ধারা।
ধারাটির n তম পদ = a + ( n - 1 ) d এবং
সমষ্টি = (n/2) {2a + (n - 1) d}

ধরি,
ধারার শেষ পদ n তম পদ,
ধারাটির n তম পদ a + (n - 1) d = - 27
বা, 29 + (n - 1) × (- 4) = - 27
বা, 29 - 4n + 4 = - 27
বা, - 4n + 33 = - 27
বা, - 4n = - 60
∴ n = 15

∴ সমষ্টি = (15/2){2 × 29 + (15 - 1) × (-4)}
= (15/2){2 × 29 + 14 (-4)}
= (15/2)(58 - 56)
= (15/2) × 2
= 15
১,০৬৪.
১ + ২ + ৩ + ৪ + ৫ + ........ + ৬০ = কত?
  1. ক
    ৭৫
  2. খ
    ১৮৩০
  3. গ
    ১৫৩০
  4. ঘ
    ৮৩০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১ + ২ + ৩ + ৪ + ৫ + ........ + ৬০ = কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল = {n(n + 1)}/2
∴ ১ + ২ + ৩ + ৪ + ৫ + ........ + ৬০ = {৬০ × (৬০ + ১)}/২ 
= (৬০ × ৬১)/২
= ৩০ × ৬১ 
= ১৮৩০
১,০৬৫.
10 থেকে 400 পর্যন্ত 10 এর গুণিতকগুলোর সমষ্টির গড় কত?
  1. ক
    ক) 210
  2. খ
    খ) 205
  3. গ
    গ) 206
  4. ঘ
    ঘ) 208
ব্যাখ্যা
10 + 20 + 30 +...........+400
এখানে, a = 10, d = 20 -10 =10
 
    400 = a + (n -1)d
=>400 = 10 + (n -1)10
=>400 = 10n 
=>n = 40
 
 
 ∴ সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
                         = (40/2){2 × 10 + (40 -1) × 10}
                         = 20{20 + 39 × 10}
                         = 20{20 + 390}  
                         = 20 × 410
 
সুতরাং, গড় = (20  × 410)/40 = 205
 
১,০৬৬.
কোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ 5 এবং তৃতীয় পদ 9 হলে, ধারাটির প্রথম 12টি পদের সমষ্টি কত?
  1. ক
    162
  2. খ
    182
  3. গ
    212
  4. ঘ
    192
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ 5 এবং তৃতীয় পদ 9 হলে, ধারাটির প্রথম 12টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
প্রথম পদ  a = 5 
৩য় পদ = 9

২য়  পদ = (5 + 9)/2 = 14/2 = 7

সাধারণ অন্তর d  = 7 - 5 = 2

আমরা জানি,
n তম পদের সমষ্টি = (n/2){ 2a + ( n - 1)d
12 তম পদের সমষ্টি = (12/2){ 2a + (12 - 1)d
= 6{2 × 5 + 11 × 2}
= 6 (10 + 22)
= 6 × 32 
= 192
১,০৬৭.
একটি সমান্তর ধারার ১ম পদ 3 এবং সাধারণ অন্তর 2 হলে, ধারাটির n তম পদ কত?
  1. ক
    3 + n
  2. খ
    2 + 3n
  3. গ
    3 + 2n
  4. ঘ
    1 + 2n 
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার ১ম পদ 3 এবং সাধারণ অন্তর 2 হলে, ধারাটির n তম পদ কত?

সমাধান:
ধরি,
সমান্তর ধারার প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অন্তর, d = 2

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - 1)d
= 3 + (n - 1)2
= 3 + 2n - 2
= 1 + 2n
১,০৬৮.
কোনাে সমান্তর ধারার ১ম পদ ২২ এবং ২য় পদ ২৭ হলে ১৫তম পদ কত?
  1. ক
    ৯২
  2. খ
    ৮২
  3. গ
    ৭২
  4. ঘ
    ৬২
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনাে সমান্তর ধারার ১ম পদ ২২ এবং ২য় পদ ২৭ হলে ১৫তম পদ কত?

সমাধান:
১ম পদ, a = ২২
২য় পদ ২৭
সাধারণ অন্তর d = ২৭ - ২২ = ৫
১৫তম পদ = a + (১৫ - ১)d
= ২২ + (১৪ × ৫)
= ২২ + ৭০
= ৯২
১,০৬৯.
একটি সমান্তর ধারার ৫ম পদ এবং ১২তম পদের যোগফল ৪৯; ঐ ধারাটির প্রথম ১৬টি পদের সমষ্টি-
  1. ক
    ক) ৩৯০
  2. খ
    খ) ৩৯১
  3. গ
    গ) ৩৯২
  4. ঘ
    ঘ) ৩৯৩
ব্যাখ্যা

১ম পদ = a,
সাধারণ অন্তর = d
∴ ৫ম = a + (৫ - ১)d
= a + ৪d
এবং
১২ তম পদ = a + (১২ - ১)d
= a + ১১d
∴ ৫ম পদ এবং ১২তম পদের সমষ্টি = ২a + ১৫d = ৪৯

∴ ১ম ১৬টি পদের সমষ্টি = ১৬/২ × {২a + (১৬ - ১)d}
= ৮ × (২a + ১৫d)
= ৮ × ৪৯
= ৩৯২

১,০৭০.
12 + 22 + 32 + ..... + 302 = কত?
  1. ক
    5525
  2. খ
    5050
  3. গ
    9455
  4. ঘ
    10500
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 12 + 22 + 32 + ..... + 302 = কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি = {n(n + 1)(2n + 1)}/6
= {30(30 + 1)(2 · 30 + 1)}/6
= (30 · 31 · 61)/6
= 9455
১,০৭১.
একটি সমান্তর ধারার ১ম পদ 3 এবং সাধারণ অন্তর 2। ধারাটির n তম পদ কত?
  1. ক
    ক) n+2
  2. খ
    খ) 2n+1
  3. গ
    গ) n+1
  4. ঘ
    ঘ) 3n+1
ব্যাখ্যা

এখানে a = 3, d = 2
সুতরাং ধারাটির n তম পদ = a + (n - 1)d = 3 + (n - 1)×2 = 2n + 1

১,০৭২.
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি 225 হলে, n এর মান কত?
  1. ক
    4
  2. খ
    5
  3. গ
    7
  4. ঘ
    9 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি 225 হলে, n এর মান কত?

সমাধান:
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = {n(n+1)/2}2

প্রশ্নানুসারে,
{n(n + 1)/2}2 = 225
বা, {n(n + 1)/2}2  = (15)2 
বা, (n² + n)/2 = 15
বা, n² + n - 30 = 0
বা, n2 + 6n - 5n - 30 = 0
বা, (n + 6) (n - 5) = 0

হয়, n + 6 = 0 ⇒ n = - 6 [ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়]
∴ n - 5 = 0 ⇒ n = 5

১,০৭৩.
একটি সমান্তর অনুক্রমে 5ম পদটি 18 এবং প্রথম 5টি পদের যোগফল 75 হলে প্রথম পদটি কত?
  1. ক
    2
  2. খ
    10
  3. গ
    4
  4. ঘ
    12
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমান্তর অনুক্রমে 5ম পদটি 18 এবং প্রথম 5টি পদের যোগফল 75 হলে প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
প্রথম পদ = a

দেওয়া আছে, 
5ম পদ = 18
∴ a + (5 - 1)d = 18
⇒ a + 4d = 18

এখন,
5টি পদের যোগফল = 75
⇒ (5/2){2a + (5 - 1)d} = 75
⇒ 2a + 4d = 30
⇒ a + (a + 4d) = 30
⇒ a + 18 = 30
⇒ a = 12
১,০৭৪.
৮৪, ৪০, ১৮-এর পরবর্তী সংখ্যাটি কত?
  1. ক
    ক) ১৬
  2. খ
    খ) ১২
  3. গ
    গ) ৯
  4. ঘ
    ঘ) ৭
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৮৪, ৪০, ১৮-এর পরবর্তী সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
এখানে, 
( ৭ × ২) + ৪ = ১৮
( ১৮ × ২) + ৪ = ৪০
( ৪০ × ২) + ৪ = ৮৪

∴ পরবর্তী সংখ্যাটি হবে ৭ 
১,০৭৫.
1 + 4 + 7 + 10 + ................ ধারাটির প্রথম ১৫টি পদের যোগফল কত? 
  1. ক
    ক) 320
  2. খ
    খ) 330
  3. গ
    গ) 340
  4. ঘ
    ঘ) 360
ব্যাখ্যা
এখানে
১ম পদ a = 1
সাধারণ অন্তর d = 4 - 1 = 3


সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
         = (15/2){2 × 1 + (15 - 1)×(3)}
         = (15/2){2 + 14 × (3)}
         = (15/2) (2 + 42)
         = (15/2)× 44 
         = 15 × 22
         = 330
১,০৭৬.
একটি সমান্তর ধারার ৪র্থ পদ 20 এবং ৯ম পদ 45। সাধারণ অন্তর কত?
  1. ক
    3
  2. খ
    8
  3. গ
    5
  4. ঘ
    2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার ৪র্থ পদ 20 এবং ৯ম পদ 45। সাধারণ অন্তর কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
৪র্থ পদ = a + 3d = 20 .......... (১)
৯ম = a + 8d = 45 ...............(২)

এখন,
(২) - (১) করে পাই,
⇒ (a + 8d) - (a + 3d) = 45 - 20
⇒ 5d =25 
⇒ d = 25/5
⇒ d = 5

∴ সাধারণ অন্তর 5
১,০৭৭.
রহমান তার বেতন থেকে প্রথম মাসে ১৫০০ টাকা সঞ্চয় করেন এবং পরবর্তী প্রতিমাসে এর পূর্ববর্তী মাসের তুলনায় ১৫০ টাকা বেশি সঞ্চয় করেন। তিনি ১০ তম মাসে কত টাকা সঞ্চয় করবেন?
  1. ক
    ২২৪০ টাকা
  2. খ
    ২৫৮০ টাকা
  3. গ
    ২৮৫০ টাকা
  4. ঘ
    ৩৫৫০ টাকা
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: রহমান তার বেতন থেকে প্রথম মাসে ১৫০০ টাকা সঞ্চয় করেন এবং পরবর্তী প্রতিমাসে এর পূর্ববর্তী মাসের তুলনায় ১৫০ টাকা বেশি সঞ্চয় করেন। তিনি ১০ তম মাসে কত টাকা সঞ্চয় করবেন?

সমাধান:
এখানে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = ১৫০০
সাধারণ অন্তর, d = ১৫০

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ ১০ তম পদ = ১৫০০ + (১০ - ১)১৫০
= ১৫০০ + (৯ × ১৫০)
= ১৫০০ + ১৩৫০
= ২৮৫০

∴ রহমান ১০ তম মাসে সঞ্চয় করেন ২৮৫০ টাকা।
১,০৭৮.
2 + 4 + 6 + 8 +.................. ধারাটির প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি 2550 হলে, n এর মান কত?
  1. ক
    49
  2. খ
    50
  3. গ
    51
  4. ঘ
    53
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2 + 4 + 6 + 8 +.................. ধারাটির প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি 2550 হলে, n এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 2
সাধারণ অন্তর, d = 4 - 2 = 2

সমান্তর ধারার n-তম পদের সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}

প্রশ্নমতে,
(n/2){2a + (n - 1)d} = 2550
⇒ (n/2){(2 × 2) + (n - 1)2} = 2550
⇒ (n/2)(4 + 2n - 2) = 2550
⇒ (n/2)(2n + 2) = 2550
⇒ (n/2) × 2(n + 1) = 2550
⇒ n(n + 1) - 2550 = 0
⇒ n2 + n - 2550 = 0
⇒ n2 + 51n - 50n - 2550 = 0
⇒ n(n + 51) - 50(n + 51) = 0
⇒ (n + 51)(n - 50) = 0
হয়, n + 51 = 0 অথবা n - 50 = 0
হয়, n = - 51 অথবা n = 50

যেহেতু পদসংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না। তাই n = - 51 গ্রহণযোগ্য নয়।

∴ পদসংখ্যা, n = 50
১,০৭৯.
২ হতে ৫০ পর্যন্ত জোড় সংখ্যাগুলোর গড় কত?
  1. ক
    ২৫
  2. খ
    ২৬.৫
  3. গ
    ২০
  4. ঘ
    ২৬
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ২ হতে ৫০ পর্যন্ত জোড় সংখ্যাগুলোর গড় কত?

সমাধান:
এখানে ধারাটির পদগুলো ২, ৪, ৬, .......... ৫০। এটি একটি সমান্তর ধারা।

∴ নির্ণেয় গড় = (শেষ পদ + ১ম পদ)/২
= (৫০ + ২)/২
= ৫২/২
= ২৬
১,০৮০.
কোনো একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদ 5 এবং সাধারণ অন্তর 7 হলে, (2p + 1) তম পদের মান কত?
  1. ক
    ক) P
  2. খ
    খ) 5 + 14P
  3. গ
    গ) 5
  4. ঘ
    ঘ) 6 + 2p
ব্যাখ্যা

আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1)d
এখানে, a = 5; d =7; n = 2p + 1
∴ (2p + 1) তম পদ =5 + (2p + 1 - 1) × 7
= 5 + 14p

১,০৮১.
৫ + ৮ + ১১ + ১৪ +.............ধারাটির কোন পদ ৩৮৯?
  1. ক
    ক) ১২৯
  2. খ
    খ) ১২৮
  3. গ
    গ) ১২৭
  4. ঘ
    ঘ) ১৩০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : ৫ + ৮ + ১১ + ১৪ +.............ধারাটির কোন পদ ৩৮৯?

সমাধান :

ধারার ১ম পদ a = ৫
সাধারণ অন্তর d =৮ - ৫ = ৩
ধারার n তম পদ = ৩৮৯
 আমরা জানি, n তম পদ = a + (n -1)d

 প্রশ্নমতে,
৫ + (n-1)৩ = ৩৮৯
⇒ ৫ + ৩n  - ৩ = ৩৮৯
⇒৩n + ২ = ৩৮৯
⇒ ৩n = ৩৮৯ - ২
⇒ ৩n = ৩৮৭
⇒ n = ১২৯
১,০৮২.
কোনো সমান্তর ধারার ১ম ও ৩য় পদ যথাক্রমে ১১ ও ২৭ হলে, ১১তম পদ কত?
  1. ক
    ক) 91
  2. খ
    খ) 89
  3. গ
    গ) 88
  4. ঘ
    ঘ) 71
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার ১ম ও ৩য় পদ যথাক্রমে ১১ ও ২৭ হলে, ১১তম পদ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম পদ, a = 11
৩য় পদ = 27
২য় পদ = (11 + 27)/2 = 38/2 = 19

∴ সাধারণ অন্তর d = 19 - 11 = 8 
১১ তম পদ = a + (n - 1)d
= 11 + (11 - 1) × 8
= 11 + 80 
= 91
১,০৮৩.
1 + 2 + 3 + 4 +..............+ 95 = ?
  1. ক
    5000
  2. খ
    4560
  3. গ
    4840
  4. ঘ
    4950
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 + 2 + 3 + 4 +..............+ 95 = ?

সমাধান:
আমরা জানি,
1 + 2 + 3 + .......... + n = n(n + 1)/2

1 + 2 + 3 + .......... + 95 = 95(95 + 1)/2
= (95 × 96)/2
= 95 × 48
= 4560

১,০৮৪.
১ + ৫ + ৯ + ------------ + ৮১ = ?
  1. ক
    ক) ৯৬১
  2. খ
    খ) ৮৬১
  3. গ
    গ) ৭৬১
  4. ঘ
    ঘ) ৬৬১
ব্যাখ্যা
n তম পদ= a + (n-1)d
⇒ 81= 1 + 4n - 4 [As, d= 4]
⇒ 4n = 81 + 3 = 84
∴ n = 21
n পদের সমষ্টি Sn = n/2{2a + (n-1)d}
= 21/2{2×1 + 20×4}
= (21/2) × 82
= 861
১,০৮৫.
৮৫ + ৮২ + ৭৯ + …… + ২৮ ধারাটির সমষ্টি কত?
  1. ক
    ১২০০
  2. খ
    ১১৫০
  3. গ
    ১১৩০
  4. ঘ
    ১০৮০
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৮৫ + ৮২ + ৭৯ + …… + ২৮ ধারাটির সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
এটি একটি সমান্তর ধারা।
যার, প্রথম পদ, a = ৮৫
সাধারণ অন্তর, d = ৮২ - ৮৫ = - ৩
শেষ পদ, l = ২৮

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n-তম, l = a + (n - 1)d
২৮ = ৮৫ + (n - ১)(- ৩)
⇒ ২৮ = ৮৫ - ৩(n - ১)
⇒ ৩(n - ১) = ৮৫ - ২৮
⇒ ৩(n - ১) = ৫৭
⇒ n - ১ = ৫৭/৩
⇒ n - ১ = ১৯
⇒ n = ১৯ + ১ 
∴ n = ২০
অর্থাৎ ধারায় মোট ২০টি পদ আছে।

আবার, 
সমান্তর ধারার সমষ্টি, Sₙ = (n/২) × (প্রথম পদ + শেষ পদ)
S২০ = (২০/২) × (৮৫ + ২৮)
= ১০ × ১১৩
= ১১৩০

সুতরাং, ধারাটির সমষ্টি ১১৩০। 

১,০৮৬.
১ + ৪ + ৭ + …… + ৭৬ ধারাটির সমষ্টি কত?
  1. ক
    ক) ১০০০
  2. খ
    খ) ১০০১
  3. গ
    গ) ১০০২
  4. ঘ
    ঘ) ১০০৩
ব্যাখ্যা

১ম পদ, a = ১
সাধারণ অন্তর, d = ৩
nতম পদ = a + (n - ১)d = ৭৬
বা, ১ + (n - ১).৩ = ৭৬
বা, ৩(n - ১) = ৭৫
বা, n - ১ = ২৫
∴ n = ২৬
∴ সমষ্টি = (২৬/২){২ × ১ + (২৬ - ১)৩}
= ১৩(২ + ৭৫)
= ১০০১

১,০৮৭.
পরপর ১০ টি সংখ্যার ১ম ৫টির যোগফল ৫৬০ হলে, শেষ ৫টির যোগফল কত?
  1. ক
    ক) ৫৮০
  2. খ
    খ) ৫৮৫
  3. গ
    গ) ৫৭৫
  4. ঘ
    ঘ) ৫৯০
ব্যাখ্যা

১ম ৫টি সংখ্যার গড় = ৫৬০/৫ = ১১২
তাহলে সংখ্যা ৫টি = ১১০, ১১১, ১১২, ১১৩, ১১৪
শেষ ৫ টি সংখ্যা হল = ১১৫, ১১৬, ১১৭, ১১৮, ১১৯
শেষ ৫ টির যোগফল = ১১৭ x ৫ = ৫৮৫

১,০৮৮.
1 + 2 + 3 + ......... + n = 78 হলে, n এর মান কত? 
  1. ক
    ক) 10
  2. খ
    খ) 11
  3. গ
    গ) 12
  4. ঘ
    ঘ) 13
ব্যাখ্যা
1 + 2 + 3 + ......... + n = 78
⇒ n(n + 1)/2 = 78
⇒ n(n + 1) = 156
⇒ n2 +  n = 156
⇒ n2 + n - 156 = 0
⇒ n2 + 13n - 12n - 156 = 0
⇒ n(n + 13) - 12(n + 13) = 0
 (n + 13)(n - 12) = 0

হয়                         অথবা
n - 12 = 0                n + 13 = 0 
n = 12                     n = - 13 [গ্রহণযোগ্য নয়, কেননা n এর মান ঋণাত্মক হতে পারে না]
১,০৮৯.
25, 30, 35….130 ধারাটিতে মোট কতগুলো পদ আছে?
  1. ক
    ক) ২৫ টি
  2. খ
    খ) ২৪ টি
  3. গ
    গ) ২৩ টি
  4. ঘ
    ঘ) ২২ টি
ব্যাখ্যা
এখানে a = 25, d = 30 - 25 = 5
আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 25 + (n - 1)5 = 130
⇒ 5n - 5 = 105
⇒ 5n = 110
⇒ n = 22 
সুতরাং ধারাটিতে মোট 22 টি পদ আছে।
১,০৯০.
একটি সমান্তর অনুক্রমের সাধারণ অন্তর 10 এবং 6 তম পদটি 52 হলে, 10 তম পদটি-
  1. ক
    ক) 72
  2. খ
    খ) 82
  3. গ
    গ) 92
  4. ঘ
    ঘ) 102
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমান্তর অনুক্রমের সাধারণ অন্তর 10 এবং 6-তম পদটি 52 হলে, 10-তম পদটি-

সমাধান:
প্রথম পদ a ও সাধারণ অন্তর d হলে,
n তম পদ = a + (n - 1)d
d = 10

∴ 6 তম পদ = a + (n - 1)d
⇒ 52 = a + (6 - 1)10
⇒ a = 52 - 50
∴ a = 2

∴ 10 তম পদ =  a + (n - 1)d
= 2 + (10 - 1)10
= 2 + (9 × 10)
= 2 + 90
= 92
১,০৯১.
13 + 23 + 33 + ........ + n3 = কত?
  1. ক
    {n(n + 1)(2n + 1)}/6
  2. খ
    [{n(n + 1)}/2]2
  3. গ
    {n(n + 1)2}/2
  4. ঘ
    n(n + 1)2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 13 + 23 + 33 + ...... + n3 = কত?

সমাধান:
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = [{n(n + 1)}/2]2
১,০৯২.
কোন সমান্তর ধারার m তম পদ n ও n তম পদ m হলে, ধারাটির সাধারণ অন্তর কত?
  1. ক
    - 1
  2. খ
    0
  3. গ
    1
  4. ঘ
    2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন সমান্তর ধারার m তম পদ n ও n তম পদ m হলে, ধারাটির সাধারণ অন্তর কত?

সমাধান: 
মনে করি,
সমান্তর ধারার প্রথম পদ = a
সাধারণ অন্তর = d

১ম শর্তমতে,
m তম পদ a + (m - 1)d = n
বা, ‍a + md - d = n .......................(1)
২য় শর্তমতে,
n তম পদ a + (n - 1)d = m
বা, a + nd - d = m ........................ (2)

(1) নং থেকে (2) নং বিয়োগ করে পাই,
a + md - d = n
 a + nd - d = m
md - nd = n - m
বা, d (m - n) = n - m
বা,  d = - (m - n)/(m - n)
∴ d = - 1

∴ ধারাটির সাধারণ অন্তর = - 1
১,০৯৩.
নিচের কোনটি সমান্তর ধারা?
  1. ক
    3 - 6 - 15 - 24 + ......
  2. খ
    15 + 30 + 80 + ...
  3. গ
    (1/2) + (1/4) + (1/8) + ....
  4. ঘ
    কোনোটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি সমান্তর ধারা?

সমাধান:
সমান্তর ধারা: সমান্তর বলতে ‘সমান অন্তর’ বোঝায়। যে ধারার পাশাপাশি দুইটি পদের বিয়োগফল একই সংখ্যা বা রাশি থাকে, তাকে সমান্তর ধারা বলা হয়। ধারায় প্রাপ্ত দুইটি পদের বিয়োগফলকে ধারার সাধারণ অন্তর বলে। সাধারণ অন্তর ধনাত্মক বা ঋণাত্মক উভয়ই হতে পারে।
যেমন: ১ + ৪ + ৭ + ১০ +...............+ ২২, একটি সমান্তর ধারা।

এখানে,
3 - 6 - 15 - 24 ....... একটি সমান্তর ধারা।
এখানে, প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অন্তর, d = (- 6 - 3) = - 9
আবার, -15 - (- 6) = - 9
- 24 - (- 15) = - 9
১,০৯৪.
1 থেকে 41 এর মধ্যে সকল স্বাভাবিক জোড় সংখ্যার যোগফল কত?
  1. ক
    342
  2. খ
    396
  3. গ
    420
  4. ঘ
    460
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 1 থেকে 41 এর মধ্যে সকল স্বাভাবিক জোড় সংখ্যার যোগফল কত?

সমাধান:
1 থেকে 41 এর মধ্যে সকল স্বাভাবিক জোড় সংখ্যাগুলো = 2, 4, 6, .... , 40
∴ ধারাটি = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + …………. + 40
তাহলে, পদ সংখ্যা = {(শেষ পদ – ১ম পদ)/ সাধারণ অন্তর} + 1
= {(40 – 2)/2} + 1
= (38/2) + 1
= 20

আবার, n সংখ্যক জোড় সংখ্যার সমষ্টি = n(n + 1)
= 20(20 + 1)
= 20 · 21
= 420
১,০৯৫.
কোনো ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি n(n + 1) । ধারাটির 10টি পদের সমষ্টি কত?
  1. ক
    90
  2. খ
    100
  3. গ
    110
  4. ঘ
    115
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি n(n + 1) । ধারাটির 10টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
n-সংখ্যক পদের সমষ্টি = n(n + 1) = n2 + n

∴ 10 টি পদের সমষ্টি,
= 102 + 10
= 100 + 10
= 110
১,০৯৬.
একটি সমান্তর ধারার ৩য় পদ ১৪ এবং প্রথম ৭টি পদের সমষ্টি ১১২ হলে, প্রথম পদটি কত?
  1. ক
    ৯ 
  2. খ
    ১২ 
  3. গ
    ৭ 
  4. ঘ
    ১০ 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার ৩য় পদ ১৪ এবং প্রথম ৭টি পদের সমষ্টি ১১২ হলে, প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ধারাটির ১ম পদ = a
সাধারণ অন্তর = d 

আমরা জানি, 
সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - ১)d
৩য় পদ = a + (৩ - ১)d
⇒ a + (৩ - ১)d = ১৪ 
∴ a + ২d = ১৪ ......(১)

আবার, 
৭টি পদের সমষ্টি = ১১২
⇒ (৭/২){২a + (৭ - ১)d = ১১২ 
⇒ (৭/২)(২a + ৬d) = ১১২
∴ a + ৩d = ১৬  ......(২)

এখন, (২) - (১) করে পাই, 
⇒ a + ৩d - a - ২d = ১৬ - ১৪ 
∴ d = ২ 

d এর মান (১) নং এ বসিয়ে পাই, 
a + ৪ = ১৪
∴ a = ১০ 

অতএব, ধারাটির প্রথম পদটি ১০

১,০৯৭.
কোনো সমান্তর ধারার 12তম পদ 77 হলে এর প্রথম 23টি পদের সমষ্টি কত?
  1. ক
    ক) 1761
  2. খ
    খ) 1781
  3. গ
    গ) 1751
  4. ঘ
    ঘ) 1771
ব্যাখ্যা

মনে করি, ধারাটি প্রথম পদ, a এবং সাধারণ অন্তর, d
আমরা জানি, n তম পদ = a + (n-1)d
সুতরাং 12 তম পদ = a + (12-1)d
= a + 11d
প্রশ্নমতে, a + 11d = 77
আবার, আমরা জানি, n তম পদের সমষ্টি = n/2 {2a + (n-1)d}
সুতরাং প্রথম 23টি পদের সমষ্টি = 23/2 {2a + (23-1)d}
= 23/2 (2a + 22d)
= 23/2 × 2 (a + 11d)
= 23 × (a + 10d)
= 23 × 77
= 1771

১,০৯৮.
2, 4, 6, ....... অনুক্রমটির কত তম পদ 74?
  1. ক
    37 তম
  2. খ
    42 তম
  3. গ
    39 তম
  4. ঘ
    35 তম
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2, 4, 6, ....... অনুক্রমটির কত তম পদ 74?

সমাধান:
১ম পদ, a = 2
সাধারণ অন্তর, d = 4 - 2 = 2
∴ n তম পদ = 74
⇒ a + (n - 1)d = 74
⇒ 2 + (n - 1)2 = 74
⇒ 2 + 2n - 2 = 74
⇒ 2n = 74
∴ n = 37
১,০৯৯.
প্রথম 11 টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি কত?
  1. ক
    4288
  2. খ
    4356
  3. গ
    4425
  4. ঘ
    4560
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: প্রথম 11 টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = {n(n + 1)/2}2
∴ প্রথম 11 টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = {11(11 + 1)/2}2
= {(11 × 12)/2}2
= (11 × 6)2
= (66)2
= 4356
১,১০০.
log(5) + log(25) + log(125) +.............ধারাটির প্রথম দশটি পদের সমষ্টি কত?
  1. ক
    45 log5
  2. খ
    55 log2
  3. গ
    55 log1
  4. ঘ
    55 log5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : log(5) + log(25) + log(125) +.............ধারাটির প্রথম দশটি পদের সমষ্টি কত ?

সমাধান : 
log(5) + log(25) + log(125) +.............ধারাটির প্রথম দশটি পদের সমষ্টি
= log(51) + log(52) + log(53) +.............ধারাটির প্রথম দশটি পদের সমষ্টি
= 1 log5 + 2 log5 + 3 log5 +.............ধারাটির প্রথম দশটি পদের সমষ্টি
= 1 log5 + 2 log5 + 3 log5 +.............ধারাটির প্রথম দশটি পদের সমষ্টি
= log5(1 + 2 + 3 + ............+ 10)
= log5 {10(10 + 1)/2}
= log5 (5 × 11)
= log5 × 55
= 55 log5