সমান্তর ধারা

a = ৩, d = 8, n =?
৭৯ = ৩ + (n - ১)৪ বা, ৭৬ = (n - ১)৪ বা, ১৯ = n - ১ ∴ n = ২০
∴ সমষ্টি = ৭৯+৩/২ × ২০ = ৮২×২০/২ = ৮২০

এখানে a = 3, d = 2,
সুতরাং ধারাটির n তম পদ = a + (n - 1)d
= 3 + (n - 1)×2
= 2n + 1

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি।
S = n/2{2a + (n- 1)d}
= 20/2 {2 x 7+ (20-1)6}
= 10 (14+114)
= 10 x 128
= 1280

প্রশ্ন: 1 + 2 + 3 + ........................ + 38 = কত?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ, a = 1
পদসংখ্যা, n = 38
সাধারণ অন্তর, d = 2 - 1
= 1

∴ সমষ্টি = (n/2)/{2a + (n - 1)d}
= (38/2){2 · 1 + (38 - 1)1}
= 19(2 + 37)
= 19 × 39
= 741

প্রশ্ন: 99 + 98 + 97 + ............. + 40 ধারাটির সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ = 99
ধারাটির শেষ পদ = 40
ধারাটির সাধারণ অন্তর = 98 - 99 = - 1 

এখন,
99 থেকে 40 পর্যন্ত পদসংখ্যা = {(শেষপদ - প্রথম পদ)/ সাধারণ অন্তর} + 1 
= {(40 - 99)/ - 1} + 1 
= (- 59/ - 1) + 1 
= 59 + 1
= 60

∴ 99 থেকে 40 পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর সমষ্টি = {(40 + 99)/2} × 60 
= 139 × 30 
= 4170

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম পদ, a এবং সাধারণ অন্তর, d হলে n তম পদ = a + (n-1)d।
এখানে, ৬তম পদ ৫২।
সুতরাং a + (৬-১)×১০= ৫২
বা, a + ৫০= ৫২
বা, a = ২
সুতরাং, ১৬ তম পদ = ২ + (১৬-১)×১০
= ২ + ১৫০
= ১৫২

প্রশ্ন: 8 + 13 + 18 +.......... ধারাটির n তম পদ কত? 

সমাধান:
এখানে১ম পদ a = 8
সাধারণ অন্তর d = (13 - 8) = 5

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d 
= 8 + (n - 1)5
= 8 + 5n - 5
= 5n + 3

এখানে,ধারাটির প্রথম পদ a = 5, সাধারণ অন্তর d = 8 - 5 = 3
ধরি, n তম পদ = 302
আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1) d
বা, 5 + (n - 1) 3 = 302
বা, n = 100
ধারাটির 100 তম পদ 302 হবে।

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার সাধারণ অন্তর ৯ এবং ৭ম পদ ৬০ হলে ১২তম পদ কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
সাধারণ অন্তর, d = ৯
৭ম পদ, ক_৭ = ৬০
ক_৭ = ক + (৭ - ১)৯
⇒ ৬০ = ক + ৫৪ 
⇒ ক = ৬

এখন ১২তম পদ,
ক_১২ = ক + (১২ - ১)৯
⇒ ক_১২ = ৬ + ৯৯
⇒ ক_১২ = ১০৫

ধারাটির p-তম পদ = a + (p-1)d
ধারাটির q-তম পদ = a + (q-1)d
ধারাটির (p+q)-তম পদ = a + (p+q-1)d
প্রশ্নমতে,
a + (p-1)d = q ……………(1)
a + (q-1)d = p …………….(2)

1 নং থেকে 2নং সমীকরন বিয়োগ করে পাই,
a + (p-1)d - a - (q-1)d = q - p
d(p-1-q+1) = q - p
d (p - q) = -(p - q)
d = -1
সুতরাং, (p+q)-তম পদ =
a + (p+q-1)d
= a + (p-1)d + qd
= q + qd [সমীকরণ 1 থেকে]
= q - q
= 0

ধরি,
ধারাটির প্রথম পদ = a এবং সাধারন অন্তর = d
∴ a + (5 - 1)d =18
a + 4d = 18 -----(1)
এবং 5/2{2a + (5 - 1)d } = 75
2a + 4d = 30 ----(2)
(1) ও (২) সমাধান করে পাই
a = 12; d = 3/2

প্রশ্ন: ৯ + ১৪ + ১৯ + ২৪ + ...... ধারাটির কোন পদ ১২৯?

সমাধান:
এখানে,
ধারার ১ম পদ a = ৯
সাধারণ অন্তর d = ১৪ - ৯ = ৫
ধারার n তম পদ = ১২৯

আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1)d

প্রশ্নমতে,
৯ + (n-1) × ৫ = ১২৯
⇒ ৯ + ৫n - ৫ = ১২৯
⇒ ৫n = ১২৯ + ৫ - ৯
⇒ ৫n = ১২৫
⇒ n = ১২৫/৫
∴ n = ২৫

∴ ২৫ তম পদটি হলো ১২৯

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সমান্তর ধারার উদাহরণ?

সমাধান: 
সমান্তর ধারা: যে ধারার পাশাপাশি দুইটি পদের অন্তরফল বা বিয়োগফল একই সংখ্যা বা রাশি থাকে, তাকে সমান্তর ধারা বলা হয়। ধারায় প্রাপ্ত দুইটি পদের অন্তরফল বা বিয়োগফলকে ধারার সাধারণ অন্তর বলে। সাধারণ অন্তর ধনাত্মক বা ঋণাত্মক উভয়ই হতে পারে।
যেমন: 1 + 4 + 7 + 10 + .............. + 22, একটি সমান্তর ধারা।

∴ 3 - 6 - 15 - 24 ......... একটি সমান্তর ধারা।
এখানে,
১ম পদ, a = 3
সাধারণ অন্তর, d = (- 6 - 3) = - 9
আবার, - 15 - (- 6) = - 9
- 24 - (-15) = - 9

আমরা জানি, n-তম পদের সমষ্টি = n(n+1)/2
সুতরাং, 25-তম পদের সমষ্টি = 25(25+1)/2
= 25 × 26/2
= 25 × 13
= 325

প্রশ্ন: 3 - 5 - 13 - 21 - ........... ধারাটির 10 তম পদ কত?

সমাধান: 
ধারাটির প্রথম পদ ‍a = 3
সাধারণ অনুপাত d = (- 5 - 3) = - 8
∴ ধারাটি একটি সমান্তর ধারা। 

আমরা জানি,
 n তম পদ = {a + (n - 1) d}
∴ 10 তম পদ = {3 + (10 - 1) × (- 8)}
= {3 + 9 × (- 8)}
= 3 - 72
= - 69

এখানে,ধারাটির প্রথম পদ a = 5, সাধারণ অন্তর d = 8 - 5 = 3
ধরি, n তম পদ = 302
আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1) d
বা, 5 + (n - 1) 3 = 302
বা, n = 100
∴ ধারাটির 100 তম পদ 302 হবে।

প্রশ্ন: 1 থেকে 50 পর্যন্ত ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যাসমূহের যোগফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 1 থেকে n পর্যন্ত ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = n(n + 1)/2
এখানে, n = 50
অতএব, সমষ্টি = {50(50 + 1)}/2
= (50 × 51)/2
= 25 × 51
= 1275
সুতরাং, 1 হতে 50 পর্যন্ত সংখ্যাসমূহের যোগফল হলো 1275।

আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1)d
প্রশ্নমতে,
52 = a + (6 - 1)×10
বা, a = 52 - 50 = 2
সুতরাং 15 তম পদ = a + (n - 1)d = 2 + (15 - 1)×10 = 142

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর অনুক্রমে ৬ষ্ঠ পদটি 36 এবং প্রথম 6টি পদের যোগফল 144 হলে, প্রথম পদটি কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
ধারাটির প্রথম পদ = a
সাধারন অন্তর = d
∴ a + (6 - 1)d = 36
⇒ a + 5d = 36 .......... (1)

এবং (6/2){2a + (6 - 1)d} = 144
⇒ 2a + 5d = 48 ........ (2)

(2) নং (1) নং হতে পাই,
2a + 5d - a - 5d = 48 - 36
∴ a = 12

ধারাটি একটি সমান্তর ধারা যার প্রথম পদ a = 7
সাধারণ অন্তর d = 13 -7 = 6
আমরা জানি, সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n-1) d
= 7+ (15 -1) x 6
= 7 + 14 x 6
= 91

ধারাটির p-তম পদ = a+(p-1)d
ধারাটির q-তম পদ = a+(q-1)d
ধারাটির (p+q)-তম পদ = a+(p+q-1)d
প্রশ্নমতে,
a+(p-1)d = q ……………(1)
a+(q-1)d = p …………….(2)
1 নং থেকে 2নং সমীকরন বিয়োগ করে পাই,
a+(p-1)d- a-(q-1)d = (p+q)
d(p-1-q+1) = (p+q)
d = -1
সুতরাং, (p+q)-তম পদ = a+(p+q-1)d = a+(p-1)d+qd = q+qd = q-q = 0

প্রশ্ন: 7 + 12 + 17 + ...... ধারাটির প্রথম 16 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধারাটির ১ম পদ, a = 7,
সাধারণ অন্তর, d = 12 - 7 = 5
এখানে পদ সংখ্যা, n = 16

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি, S_n = (n/2) × {2a + (n - 1)d}
∴ 16 টি পদের সমষ্টি S₁₆ = (16/2) × {2 × 7 + (16 - 1)5}
= 8 × (14 + 15 × 5)
= 712

প্রশ্ন: ৮ + ১১ + ১৪ + ... ধারাটির প্রথম ২৫টি পদের যোগফল কত?

সমাধান:
এখানে, ১১ - ৮ = ৩ এবং ১৪ - ১১ = ৩।
যেহেতু পরপর দুটি পদের পার্থক্য সমান, এটি একটি সমান্তর ধারা।

ধারাটির প্রথম পদ, a = ৮
সাধারণ অন্তর, d = ৩
পদ সংখ্যা, n = ২৫

সমান্তর ধারার প্রথম n পদের যোগফল সূত্র: S_n = n/2 [2a + (n - 1)d]

∴ ধারাটির প্রথম ২৫ টি পদের সমষ্টি, S_২৫ = ২৫/২[(২ × ৮) + (২৫ - ১) × ৩]
= ২৫/২ [১৬ + (২৪ × ৩)]
= ২৫/২ [১৬ + ৭২]
= ২৫/২ × ৮৮
= ২৫ × ৪৪
= ১১০০

∴ ধারাটির প্রথম ২৫টি পদের যোগফল = ১১০০।

প্রথম পদ a
সাধারণ অন্তর d হলে,
ধারাটির n-তম পদ = a + ( n - 1 ) d
এবং সমষ্টি = n/2 { 2a + ( n - 1 ) d.
সুতরাং, প্রদত্ত শর্তমতে,
সপ্তম পদ = a + (7 - 1)d = 66
বা, a + 6d = 66
এবং সমষ্টি = 13/2 × {2a + (13-1)d}
= 13/2 × (2a + 12d)
= 13/2 × 2(a + 6d)
= 13 × 66
= 858

প্রশ্ন: রহিম প্রথম মাসে ৫০০ টাকা সঞ্চয় করেন এবং প্রতি মাসে পূর্বের চেয়ে ৫০ টাকা বেশি সঞ্চয় করেন। তিনি প্রথম ১৫ মাসে মোট কত টাকা সঞ্চয় করেন?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর অনুক্রম।
প্রথম পদ, a = ৫০০ টাকা
সাধারণ অন্তর, d = ৫০ টাকা
পদ সংখ্যা, n = ১৫

আমরা জানি, 
প্রথম n পদের সমষ্টি, S_n = (n/২) × [২a + (n - ১)d]
∴ S_১৫ = (১৫/২) × [২ × ৫০০ + (১৫ - ১) × ৫০]
= (১৫/২) × [১০০০ + ১৪ × ৫০]
= (১৫/২) × [১০০০ + ৭০০]
= (১৫/২) × ১৭০০
= ১৫ × ৮৫০
= ১২৭৫০ টাকা

প্রশ্ন: 1 + 2 + 3 +.............. + 25 = কত?

সমাধান: 
এখানে,
প্রথম পদ, a = 1
পদসংখ্যা, n = 25
সাধারণ অন্তর, d = (2 - 1) = 1 

∴ সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
= (25/2){2 · 1 + (25 - 1) · 1}
= 25/2(2 + 24)
= (25/2) × 26
= 25 × 13
= 325

প্রশ্ন: ৩ + ৭ + ১১ + ........ + ১৯৯ = কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ a = ৩
সাধারণ অন্তর d = ৭ - ৩ = ৪
শেষ পদ = ১৯৯

প্রশ্নমতে,
n-তম পদ = ১৯৯
⇒ a + (n - ১) × d = ১৯৯
⇒ ৩ + (n - ১) × ৪ = ১৯৯
⇒ (n - ১) × ৪ = ১৯৬
⇒ n - ১ = ১৯৬/৪
⇒ n - ১ = ৪৯
⇒ n = ৫০

∴ সমষ্টি Sn = (n/2){2a + (n - 1)d}
= (৫০/২) × {২ × ৩ + (৫০ - ১) × ৪}
= ২৫ × {৬ + ৪৯ × ৪}
= ২৫ × {৬ + ১৯৬}
= ২৫ × ২০২
= ৫০৫০

প্রশ্ন: 2 + 4 + 6 + ....................... + 2P = কত?

সমাধান:
এখানে,
ধারাটির ১ম পদ, a = 2
ধারাটির সাধারণ অন্তর, d = 4 - 2 = 2
মনে করি,
n তম পদ = 2P

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1) × d
⇒  2P =  2 + (n - 1) × 2
⇒ 2P = 2 + 2n - 2
⇒ 2P = 2n
⇒ P =n

এখানে,
পদসংখা n = P

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার P  সংখ্যক পদের সমষ্টি
= (P/2) × {2a + (P - 1) × d}
= (P/2) × {2 × 2 + (P - 1) × 2}
= (P/2) × (4 + 2P - 2)
= (P/2) × (2P + 2)
= (P/2) × 2(P + 1)
= P(P + 1)
= P²+ P

এখানে,
১ম পদ = 3,
সাধারণ অন্তর = 5 - 3 = 2
শেষ পদ = 383 
∴ পদসংখ্যা = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/(সাধারণ অন্তর)} + 1
= {(383 - 3)/2} + 1
= (380/2) + 1
= 190 + 1
= 191

প্রশ্ন: 1 + 3 + 5 + ..........ধারাটির কোন পদ 383 হবে?

সমাধান: 
পদ সংখ্যা = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/ 2} + 1
= {(383 - 1)/ 2} + 1
= (382/ 2) + 1
= 191 + 1
= 192

প্রশ্ন: ৫ + ১১ + ১৭ + ২৩ + .............. + ১১৯ ধারাটির পদসংখ্যা কত?

সমাধান:
১১ - ৫ = ৬
১৭ - ১১ = ৬
∴ ইহা একটি সমান্তর ধারা।

এখানে, প্রথম পদ, a = ৫
সাধারণ অন্তর, d = ৬
শেষপদ = ১১৯

আমরা জানি, সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - ১) × d

প্রশ্নমতে, a + (n - ১) × d = ১১৯
বা, ৫ + (n - ১) × ৬ = ১১৯
বা, (n - ১) × ৬ = ১১৯ - ৫
বা, (n - ১) × ৬ = ১১৪
বা, n - ১ = ১১৪/৬
বা, n - ১ = ১৯
বা, n = ১৯ + ১
∴ n = ২০

∴ ধারাটির পদসংখ্যা = ২০টি।

প্রশ্ন: 7 + 13 + 19 + 25 + … ধারাটির কোন পদ 157?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা (Arithmetic Series)।
ধারাটির প্রথম পদ, a = 7
সাধারণ অন্তর, d = 13 - 7 = 6
ধরি, ধারাটির n তম পদ = 157

আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1)d
প্রশ্নমতে,
7 + (n - 1) × 6 = 157
⇒ 6(n - 1) = 157 - 7
⇒ 6(n - 1) = 150
⇒ n - 1 = 150 / 6
⇒ n - 1 = 25
⇒ n = 25 + 1
∴ n = 26

∴ ধারাটির 26 তম পদ = 157

প্রশ্ন: একটি সমান্তর অনুক্রমে সাধারণ অন্তর ৫ এবং ৪র্থ পদ ৪৫ হলে ১০ম পদটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
সাধারণ অন্তর d = ৫
আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - ১)d
৪র্থ পদ = a + (৪ - ১)d = a + ৩d 

শর্তমতে, 
a + ৩d = ৪৫
⇒ a + (৩ × ৫) = ৪৫
⇒ a + ১৫ = ৪৫
∴ a = ৩০

∴ ১০ম পদ = a + (১০ - ১)d 
= ৩০ + ৯ × ৫
= ৩০ + ৪৫
= ৭৫                                             

a =৫, d = ৪
শেষ পদ = ১০১
∴ পদ সংখ্যা (n) = {(১০১ - ৫)/৪} + ১
= (৯৬/৪) + ১
= ২৪ + ১
= ২৫
সুতরাং, সমষ্টি (s) = ১/২ × পদ সংখ্যা × (শেষ পদ + ১ম পদ)
= ১/২ × ২৫ × (১০১ + ৫)
= (২৫ × ১০৬)/২
= ২৫ × ৫৩
= ১৩২৫ 

প্রশ্ন: ৭ + ১০ + ১৩ + ১৬ + .............. ধারাটির কোন পদ ৪০৬?

সমাধান:
ধরি, n তম পদ = ৪০৬
এখানে, ১ম পদ, a = ৭
সাধারণ অন্তর, d = (১০ - ৭) = ৩

প্রশ্নমতে,
a + (n - 1)d = ৪০৬
⇒ ৭ + (n - ১) × ৩ = ৪০৬
⇒ ৭ + ৩n - ৩ = ৪০৬
⇒ ৩n + ৪ = ৪০৬
⇒ ৩n = ৪০৬ - ৪
⇒ ৩n = ৪০২
⇒ n = ৪০২/৩
∴ n = ১৩৪ 

∴ ধারাটির ১৩৪ তম পদ হলো ৪০৬।

প্রশ্ন: ১ থেকে ৮০ পর্যন্ত সংখ্যাসমূহের যোগফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
১ থেকে n পর্যন্ত সংখ্যার যোগফল = n(n + ১)/২
∴ ১ থেকে ৮০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর যোগফল = {৮০ × (৮০ + ১)}/২
= (৮১ × ৮০)/২
= ৮১ × ৪০
= ৩২৪০

প্রশ্ন: রশিদ তার বেতন থেকে প্রথম মাসে 1200 টাকা সঞ্চয় করেন এবং পরবর্তী প্রতিমাসে এর পূর্ববর্তী মাসের তুলনায় 100 টাকা বেশি সঞ্চয় করেন। তিনি 18 তম মাসে কত টাকা সঞ্চয় করেন?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা।
প্রথম মাসের সঞ্চয়,
অর্থাৎ প্রথম পদ, a = 1200 টাকা
প্রতি মাসে সঞ্চয়ের বৃদ্ধি,
অর্থাৎ সাধারণ অন্তর, d = 100 টাকা
মাস সংখ্যা, n = 18

সমান্তর ধারার n-তম পদের সূত্র অনুযায়ী,
a_n = a + (n - 1)d
অতএব,
a₁₈ = 1200 + (18 - 1) × 100
= 1200 + 1700
= 2900
∴ রশিদ 18-তম মাসে 2900 টাকা সঞ্চয় করেন।

১ থেকে ৯৯ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর যোগফল = ৯৯ × (৯৯ + ১)/২
= ৯৯ × ১০০/২
= ৯৯ × ৫০
= ৪৯৫০