বীজগণিত

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার দ্বিতীয় পদ 6 এবং পঞ্চম পদ 162। চতুর্থ পদটি কত? 

সমাধান:
গুণোত্তর ধারার সাধারণ সূত্র:
a_n = a₁ × r^{n - 1}

a_2​ = 6 থেকে:
⇒ a₁ × r = 6......(i)

a₅​ = 162 থেকে:
⇒ a₁ × r⁴ = 162......(ii)

(ii) / (i) করলে:
⇒ (a₁​r⁴)​/a₁r = 162/6
⇒ r³ = 27
⇒ r = ³√27
⇒ r = 3

(i) এ r = 3 স্থাপন করে পাই:
⇒ a₁ × 3 = 6  
⇒ a₁ = 2

তাহলে,
a₄ = a₁ × r³
= 2 × 3³
= 2 × 27
= 54

প্রশ্ন: 125 - 225y + 135y² - 27y³ এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান:
125 - 225y + 135y² - 27y³
= 5³ - 3 × 5² × 3y + 3 × 5 × (3y)² - (3y)³
= (5 - 3y)³
= (5 - 3y) (5 - 3y) (5 - 3y)

(2x + 1)² = (2x)² + 2.2x.1 + (1)² = 4x² + 4x + 1

প্রশ্ন: কোন সংখ্যা থেকে 3 বিয়োগ করলে বিয়োগফলের 6 গুণ সমান 24 হবে?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = a 
প্রশ্নমতে,
(a - 3) × 6 = 24
⇒ 6a - 18 = 24
⇒ 6a = 24 + 18
⇒ 6a = 42
⇒ a = 42/6
∴ a = 7

অতএব, সংখ্যাটি = 7 

x - [x - {x - (x +1)}]
= x - [x - {x - x -1}]
= x - [x + 1]
= x - x -1
= -1

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: ⁿC₇ = ⁿC₃ হলে, n এর মান কত?

সমাধান:
ⁿC₇ = ⁿC₃
⇒ ⁿC₇ = ⁿC_{n - 3} [ⁿC_r = ⁿC_{n - r} সূত্র প্রয়োগ]
⇒ 7 = n - 3
⇒ n = 7 + 3
∴ n = 10

'BPSC' শব্দটির চারটি বর্ণই ভিন্ন ভিন্ন। সুতরাং বর্ণগুলো একত্রে নিয়ে সাজানোর উপায় = 4!
= 4×3×2×1 = 24

প্রথম পদ a ও সাধারণ অন্তর d হলে,
r - তম পদ = a + (r - 1)d
6 - তম পদ = a + (6 -1) 10
=> 52 = a + 50
=> a = 2
∴ 15 - তম পদ = 2 + (15 - 1) 10
= 2 + 140
= 142

প্রশ্ন: একটি নিরপেক্ষ ছক্কা ও একটি মুদ্রা একবার নিক্ষেপ করা হলে ছক্কায় 4 এবং মুদ্রায় T আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
একটি ছক্কা ও একটি মুদ্রা নিক্ষেপ পরীক্ষাকে দুইধাপ হিসেবে বিবেচনা করি।
প্রথম ধাপে ছক্কা নিক্ষেপে 6টি ফলাফল (1, 2, 3, 4, 5, 6) আসতে পারে।

আবার, 
দ্বিতীয় ধাপে মুদ্রা নিক্ষেপে 2টি ফলাফল (H অথবা T) আসতে পারে।
∴ নমুনা ক্ষেত্রটি হবে [1H, IT, 2H , 2T, 3H, 3T, 4H, 4T, 5H, 5T, 6H, 6T ]
এখানে মোট নমুনা বিন্দু 12টি।

সুতরাং ছক্কায় 4 এবং মুদ্রায় T আসার সম্ভাবনা P(4T) = 1/12

BOSPHORUS শব্দটিতে মোট ৯টি বর্ণ আছে যাদের ২টি O এবং ২টি S এবং বাকিগুলো ভিন্ন ভিন্ন।
সুতরাং সবগুলো একত্রে নিয়ে গঠিত বিন্যাস সংখ্যা = ৯!/(২!২!)
= ৯০৭২০

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার যোগফল ২২ এবং তাদের অন্তর ৮ হলে সংখ্যা দুইটি কত?

সমাধান:
ধরি,
একটি সংখ্যা = ক
অপর সংখ্যা = খ
প্রশ্নমতে,
ক + খ = ২২ ........(১)
এবং
ক - খ = ৮ ..........(২)

(১) ও (২) নং সমীকরণ দুইটি যোগ করে পাই,
২ক = ৩০
⇒ ক = ৩০/২
⇒ ক = ১৫

ক এর মান (২) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
১৫ - খ = ৮
⇒ খ = ১৫ - ৮
⇒ খ = ৭

∴ সংখ্যা দুইটি হলো ১৫ এবং ৭।

প্রশ্ন: শিক্ষা সফরে যাওয়ার জন্য ২৪০০ টাকায় বাস ভাড়া করা হলো এবং প্রত্যেক ছাত্র/ছাত্রী সমান ভাড়া বহন করবে ঠিক হলো। অতিরিক্ত ১০ জন ছাত্র/ছাত্রী যাওয়ায় প্রতি জনের ভাড়া ৮ টাকা কমে গেল। বাসে কতজন ছাত্র/ছাত্রী গিয়েছিল?

সমাধান:
ধরি,
প্রথম ছাত্রছাত্রী সংখ্যা ছিলো ক জন
∴ প্রতিজনের ভাড়া = ২৪০০/ক
অতিরিক্ত দশজন যাওয়াতে এখন প্রতিজনের ভাড়া ২৪০০/(ক + ১০)

প্রশ্নমতে,
(২৪০০/ক) - (২৪০০/(ক + ১০)) = ৮
বা, {২৪০০ (ক + ১০) - ২৪০০ক}/ {ক(ক + ১০)} = ৮
বা, (২৪০০ক + ২৪০০০ - ২৪০০ক)/(ক^২ + ১০ক) = ৮
বা, ৮ক^২ + ৮০ক - ২৪০০০ = ০
বা, ৮(ক^২ + ১০ক - ৩০০০) = ০
বা, ক^২ + ১০ক - ৩০০০ = ০
বা, ক^২ + ৬০ক - ৫০ক - ৩০০০ = ০
বা, ক(ক + ৬০) - ৫০(ক + ৬০) = ০
∴ (ক + ৬০) (ক - ৫০) = ০

যেহেতু ক ≠ - ৬০
সুতরাং ক = ৫০

∴ বাসে গিয়েছিল = ৫০ + ১০ = ৬০ জন।

১ম পদ a = ৭,
সাধারন অন্তর d = ১০ - ৭ = ৩
∴ n-তম পদ = a + (n - ১)d = ৭৩
বা, ৭ + (n - ১)৩ = ৭৩
বা, ৭ + ৩n - ৩ = ৭৩
বা, ৩n + ৪ = ৭৩
বা, ৩n = ৬৯
∴ n = ২৩

∴ সমষ্টি = ২৩/২{২ × ৭ + (২৩ - ১)৩}
= ২৩/২(১৪ + ২২ × ৩)
= (২৩ × ৮০)/২
= ৯২০

প্রশ্ন: |2x + 3| < 7 এর সমাধান সেট হবে:

সমাধান:
দেওয়া আছে,
|2x + 3| < 7
⇒ - 7 < 2x + 3 < 7
⇒ - 7 - 3 < 2x + 3 - 3 < 7 - 3
⇒ - 10 < 2x < 4
⇒ - 10/2 < 2x/2 < 4/2
∴ - 5 < x < 2

নির্ণেয় সমাধান সেট: S = {x ∈ R : - 5 < x < 2}
ব্যবধি আকারে: (- 5, 2)

9x² - ax + 1
= (3x)² + 6x + 1
= (3x)² + 2.3x.1 + 1²
= (3x + 1)²
∴ a = -6 হলে সংখ্যাটি পূর্ণ বর্গ হবে।

প্রশ্ন: 5, 6 ও 7 এর গড় ব্যবধান কত? 

সমাধান:
এখানে, 
5, 6 ও 7 এই তিনটি সংখ্যার গড় হচ্ছে = (5 + 6 + 7)/3
= 18/3 
= 6

∴ 5, 6 ও 7 এর গড় ব্যবধান = {|5 - 6| + |6 - 6| + |7 - 6|}/3
= {|- 1| + |0| + |1|}/3
= {1 + 0 + 1}/3
= 2/3

দেয়া আছে, x = 3y
এখন,
x+5y = 24
⇒ 3y+5y = 24 [∵ x = 3y]
⇒ 8y = 24
∴ y = 3

প্রশ্ন: x³ + x²y এবং x²y + xy² এর ল.সা.গু কোনটি? 

সমাধান: 
১ম রাশি = x³ + x²y 
= x² (x + y) 

২য় রাশি = x²y + xy² 
= xy (x + y) 

∴ নির্ণেয় ল.সা.গু = x²y (x + y) 

প্রশ্নটি ৪০ তম বিসিএসের প্রশ্ন; কিন্তু তা ৪০ তম বিসিএসেই প্রথম আসেনি। এর আগে এটি কুমিল্লা শিক্ষাবোর্ডে ২০১৭ সালের এইসএসসি পরীক্ষায় এসেছিল। অনলাইনের প্রায় সব গুলো ওয়েবসাইট এবং বাজারের বেশ কিছু বইয়ে এর ভুল সমাধান দেওয়া আছে।

চলুন এর সঠিক সমাধান জেনে নেইঃ
২m সংখ্যক জিনিস সমান দুই ভাগে বিভক্ত করলে সমাবেশ সংখ্যা = (২m)!/২!(m!)^২
৬ বা (২X৩) জন খেলোয়াড়কে সমান সংখ্যক দুইটি দলে বিভক্ত করার উপায়= ৬!/ [২!(৩!)^২] = ১০

বিকল্প সমাধানঃ
প্রতি দলে ৩ জন করে নিয়ে দল গঠিত হবে।
৬ জন থেকে ৩ জন করে নিয়ে মোট দল গঠনের উপায় = ^৬C_৩ = (৬)!/(৩!(৬-৩)!) = ২০
সমান সংখ্যক বা ৩ জন করে দুটি দলে বিভক্ত করার উপায় = ২০/২ = ১০

উৎসঃ উচ্চতর গণিত প্রথম পত্র, একাদশ-দ্বাদশ শ্রেণী।

ধারাটির ৭ম পদ = cos(7π/2) [∵ n = 7]
= cos (7 × 90°)
= cos 630°
= 0

ASSASSINATION শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 13 যার মধ্যে S = 4, N = 2
স্বরবর্ণ আছে 6 যার মধ্যে A = 3, I = 2, O = 1
স্বরবর্ণ গুলোকে একটি অক্ষর বিবেচনা করলে মোট অক্ষর = (13-6+1) বা, 8
তাহলে, বিন্যাস সংখ্যা = 8!/4!.2! = 840
স্বরবর্ণগুলির নিজেদের মধ্যে বিন্যাস সংখ্যা = 6!/3!2! = 60
স্বরবর্ণগুলো সর্বদা একত্রে রেখে মোট বিন্যাস সংখ্যা হবে = 840 x 60 = 50400

3x-2 > 2x-1
⇒ 3x-2x > 2-1
⇒ x > 1
∴ সমাধান সেট (1, ∞)

১ম পদ a = ৩,
সাধারণ অন্তর d = ৩
n তম পদ = a + (n - ১)d
বা, ১১৪ = ৩ + (n - ১)৩
বা, (n - ১)৩ = ১১৪ - ৩
বা, (n - ১)৩ = ১১১
বা, n - ১ = ৩৭
বা, n = ৩৭ + ১
= ৩৮

প্রশ্ন: log_a(b⁴) = 4c এবং log_b(a⁴) = 4d হলে, cd = কত?

সমাধান:
log_a(b⁴) = 4c
⇒ 4 × log_a(b) = 4c [log_n(m^k) = k log_n(m)]
⇒ log_a(b) = c

আবার,
log_b(a⁴) = 4d
⇒ 4 × log_b(a) = 4d 
⇒ log_b(a) = d

∴ cd = log_a(b) × log_b(a)
⇒ cd = 1    ;[log_n(m) × log_m(n) = 1]

প্রশ্ন: একটি ছক্কা দুইবার নিক্ষেপ করা হল। প্রথম নিক্ষেপে জোড় সংখ্যা এবং দ্বিতীয় নিক্ষেপে বিজোড় সংখ্যা আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
প্রথম নিক্ষেপে জোড় সংখ্যা

ছক্কা = 1, 2, 3, 4, 5, 6
জোড় সংখ্যা = 2, 4, 6 = 3 টি

∴ P(প্রথম নিক্ষেপে জোড় সংখ্যা) = 3/6 ​= 1/2

আবার,
দ্বিতীয় নিক্ষেপে বিজোড় সংখ্যা
বিজোড় সংখ্যা = 1, 3, 5 = 3 টি 

∴ P(দ্বিতীয় নিক্ষেপে বিজোড় সংখ্যা) = 3/6 = 1/2

∴ P(প্রথম নিক্ষেপে জোড় সংখ্যা এবং দ্বিতীয় নিক্ষেপে বিজোড় সংখ্যা) = (1/2) × (1/2) = 1/4

প্রশ্ন: B = {x : x, 3 এর গুণিতক এবং x ≤ 18} হলে, B এর প্রকৃত উপসেট সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
B = {x : x, 3 এর গুণিতক এবং x ≤ 18}
∴ B = {3, 6, 9, 12, 15, 18}

এখানে,
B সেটের উপাদান সংখ্যা, n(B) = 6
কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে, তার প্রকৃত উপসেট সংখ্যা হলো 2ⁿ - 1.
∴ B এর প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 2⁶ - 1
= 64 - 1
= 63

প্রশ্ন: a - b ≥ a + b এই সমীকরণের সমতুল্য নিচের কোনটি?

সমাধান: 
a - b ≥ a + b
⇒ a - a ≥ b + b
⇒ 0 ≥ 2b
⇒ 2b ≤ 0
⇒ b ≤ 0

প্রশ্ন: 16 টি বিন্দু দিয়ে কতটি ত্রিভুজ গঠন করা যাবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
একটি ত্রিভুজ গঠন করতে ৩ টি বিন্দু প্রয়োজন হয়। 

তাহলে,
16 টি বিন্দু দিয়ে গঠিত ত্রিভুজের সংখ্যা,
= ¹⁶C₃
= 16!/{3! × (16 - 3)!}
=16!/(3! × 13!)
= (16 × 15 × 14 × 13!)/(3! × 13!)
= (16 × 15 × 14)/(3 × 2)
= 16 × 5 × 7
= 560

প্রশ্ন: a = 2c, a/b = c/d এবং d = 3 হলে, b এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
 a/b = c/d
বা, 2c/b = c/3 [a = 2c এবং d = 3 মান বসিয়ে]
বা, bc = 6c
বা, b = 6c/c
∴ b = 6 

⇒ প্রশ্নে অপশনগুলোয় ১২/২ দেওয়া আছে, 
যা, ১২/২ = ৬

প্রশ্ন: P = x² - 11abx + 24a²b²,  Q = x - 3ab হলে, (P ÷ Q) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P = x² - 11abx + 24a²b²
Q = x - 3ab

∴ (P ÷ Q) = (x² - 11abx + 24a²b²) ÷ (x - 3ab)
= (x² - 3abx - 8abx + 24a²b²) ÷ (x - 3ab)
= {x(x - 3ab) - 8ab(x - 3ab)} ÷ (x - 3ab)
= (x - 3ab)(x - 8ab) ÷ (x - 3ab)
= (x - 3ab)(x - 8ab) × 1/(x - 3ab)
= (x - 8ab)

(০.১ × ০.০১ × ০.০০৪) / (০.০০২ × ০.০০২)
= ০.০০০০০৪ / ০.০০০০০৪
= ৪ / ৪
= ১

প্রশ্ন: a − 3 + 1/a = 0 হলে a³ + 1/a³ এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
a  − 3 + 1/a = 0
∴ a  + 1/a = 3

প্রদত্ত রাশি, 
a³ + 1/a³ 
= (a + 1/a)³ − 3 . a . (1/a) (a + 1/a)
= (3)³ − 3 × 3
= 27 − 9
= 18

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ 5 এবং তৃতীয় পদ 9 হলে ধারাটির প্রথম 12টি পদের সমষ্টি কত?

​সমাধান:
দেয়া আছে,
প্রথম পদ a = 5
৩য় পদ = 9

২য় পদ = (5 + 9)/2 = 14/2 = 7

সাধারণ অন্তর d = 7 - 5 = 2

আমরা জানি,
n সংখ্যক পদের সমষ্টি = (n/2){2a + ( n - 1)d}
12 টি পদের সমষ্টি = (12/2){2a + (12 - 1)d}
= 6{2 × 5 + 11 × 2}
= 6 (10 + 22)
= 6 × 32
= 192