বীজগণিত

প্রশ্ন: a² + 1 - √7 · a = 0 হলে  এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a² + 1 - √7 · a = 0
⇒ a² + 1 = √7 · a
⇒ (a² + 1)/a = √7a/a
⇒ a + 1/a = √7

এখন,
{a - (1/a)}²
= {a + (1/a)}² - 4 · a · 1/a
= (√7)² - 4
= 7 - 4
= 3

১ম পদ a = 7
সাধারন অন্তর d = 12 – 7 = 5
30 টি পদের সমষ্টি = n/2{2a + (n - 1)d}
= 30/2{2.7 + (30 - 1)5}
= 15(14 + 145) = 15 x 159 = 2385

x + 1/x = 3
বা, (x² + 1)/x = 3
বা, (x² + 1) = 3x
বা, x² - 2x + 1 = x
বা, (x - 1)² = x
3x/(x - 1)²
= 3x/x
= 3

প্রশ্ন: 625√5 এর 5 ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান:
log₅(625√5)
= log₅(625 × √5)
= log₅(5⁴ × 5^1/2)
= log₅5^{(4 + 1/2)}
= log₅5^(9/2)
= (9/2) × log₅5
= (9/2) × 1
= 9/2

ধরি, ১ম পদ = a, সাধারন অনুপাত = r
∴  নবম পদ = ar⁸ = 1280....(1) পঞ্চম পদ = ar⁴ = 80.......(2)
(1)নং ÷ (2)নং ⇒ ar⁸/ar⁴ = 1280/80 বা, r⁴ = 16 = 2⁴ ∴ r = 2

প্রশ্ন: a, b, c তিনটি স্বাভাবিক সংখ্যা। যদি a > b > c এবং b < 5 হয়, তবে নিচের কোনটি অবশ্যই ভুল?

সমাধান:
a > b > c এবং b < 5 
 ধরি, a = 4, b = 3 এবং c = 2 

ক) a - b > 0
⇒ 4 - 3 > 0 ⇒ 1 > 0 ; যা সঠিক।

খ) abc > 0
⇒ 4 × 3 × 2 = 24 > 0 ; যা সঠিক।

গ) a - c < 0
⇒ 4 - 2 < 0 ⇒ 2 < 0 ; যা ভুল। যেহেতু a > c, তাই a - c এর মান সবসময় ধনাত্মক হবে। এই উক্তিটি অবশ্যই ভুল।

ঘ) a + b > c
⇒ 4 + 3 > 2 ⇒ 7 > 2 ; যা সঠিক।

1/(x - y) + 1(x + y) = (x + y + x - y)/(x + y)(x - y)
= 2x/(x² - y²)
∴ -2x/(x² - y²) যোগ করতে হবে

(a+b+c)² = a²+b²+c² + 2(ab+bc+ca)
2(ab+bc+ca) = (a+b+c)² - (a²+b²+c²)
2(ab+bc+ca) = 9² - 29
2(ab+bc+ca) = 52
∴ (ab+bc+ca) = 26

আমরা জানি,
np_n = n!
∴ 8p₈ = 8! = 40320

x² − x - 2
= x² - 2x + x - 2
= x(x-2) + 1 (x-2)
= (x-2)(x+1)

প্রশ্ন: 2x² - x - 3 এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান: 
2x² - x - 3
= 2x² - 3x + 2x - 3
= x (2x - 3) + 1 (2x - 3)
= (2x - 3) (x + 1)

প্রশ্ন: যদি log₆6 + log₆(5x + 1) = log₆(x + 5) + 1 হয়, তাহলে x এর মান কত?

সমাধান: 
প্রদত্ত রাশি, 
⇒ log₆6 + log₆(5x + 1) = log₆(x + 5) + 1
⇒ log₆6 + log₆(5x + 1) = log₆(x + 5) + log₆6     ;[log_aa = 1]
⇒ log₆[6(5x + 1)] = log₆[6(x + 5)]
⇒ 6(5x + 1) = 6(x + 5)
⇒ 30x + 6 = 6x + 30
⇒ 30x - 6x = 30 - 6
⇒ 24x = 24
∴ x = 1

x²/y² + 2x/y + 1
= (x/y)²+ 2.(x/y).1 + (1)²
= (x/y +1)²

প্রশ্ন: |2x - 3| < 1 অসমতাটির সমাধান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে,
|2x - 3| < 1
⇒ - 1 < 2x - 3 < 1
⇒ - 1 + 3 < 2x - 3 + 3 < 1 + 3
⇒ 2 < 2x < 4
⇒ 1 < x < 2

প্রশ্ন: একটি দাবা প্রতিযোগিতায় ৮ জন প্রতিযোগী একে অপরের সাথে ১ বার করে খেলবে। প্রতিযোগিতায় মোট কতটি খেলা অনুষ্ঠিত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রতিযোগীর সংখ্যা = ৮ জন
একে অপরের সাথে ১ বার করে খেলবে

∴ মোট খেলা = ^৮C_২
 = ৮!/২!(৮ - ২)!
= (৮ × ৭ × ৬!)/(২! × ৬!)
= (৮ × ৭)/২
= ৫৬/২
= ২৮

∴ প্রতিযোগিতায় মোট ২৮ টি খেলা অনুষ্ঠিত হবে।                        

প্রশ্ন: যদি m⁴ = 25 হয়, তবে m² - 1 = ? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
m⁴ = 25
⇒ (m²)² = 5²
⇒ m² = ± 5
∴ m² = 5, - 5

এখন দুটি ক্ষেত্রে m² - 1 এর মান নির্ণয় করে পাই,
যদি m² = 5 হয়, তাহলে m² - 1 = 5 - 1 = 4

এবং যদি m² = - 5 হয়, তাহলে m² - 1 = - 5 - 1 = - 6 [কারণ m² ঋণাত্মক হতে পারে না। কারণ তা কাল্পনিক সংখ্যা আসে]
 
∴ m² - 1 = 4

শব্দটিতে মোট ৭ টি অক্ষর আছে যাদের মধ্যে দু'টি C প্রতিবার ৫ টি করে নিয়ে বাছাই করার ক্ষেত্রে - 
(ক) দু'টি একই ধরনের অক্ষর এবং বাকী তিনটি ভিন্ন ভিন্ন।
(খ) সবগুলো অক্ষর ভিন্ন ভিন্ন।
(ক) এর ক্ষেত্রে বাছাই করার উপায় = ১ × ^৫c_৩ = ১০
(খ)                                       = ^৬c_৫ = ৬
∴ মোট বাছাই করার উপায় = ১০+৬ = ১৬

প্রশ্ন: 0, 3 , 6, 7 অঙ্কগুলো দ্বারা চার অঙ্কের কতগুলো অর্থপূর্ণ সংখ্যা তৈরি করা যায় যেনো কোন অঙ্কের পুনরাবৃত্তি না হয়?

সমাধান:
মোট বিন্যাস সংখ্যা = 4!
= 24

0 কে প্রথমে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 3!
= 6

∴ চার অঙ্কের অর্থপূর্ণ সংখ্যা = (24 - 6)
= 18

(x - 5)( a + x) = x² - 25
(x - 5)( a + x) = x² - 5²
(x - 5)(a + x) = (x - 5)(x + 5)
a + x = x + 5
a = 5

প্রশ্ন: a² + 9a + x যদি a - 3 দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হয়, তবে x এর মান কত? 

সমাধান: 
প্রদত্ত রাশিটি a - 3 দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হলে a - 3 রাশিটির একটি উৎপাদক এবং a = 3 এর জন্য রাশিটির মান শূন্য হবে। 
অর্থাৎ, a² + 9a + x = 0 

∴ f(3) = (3)² + 9 × 3 + x = 0 
বা, 9 + 27 + x = 0 
বা, 36 + x = 0 
∴ x = - 36 

x^y = y^x
বা, (2y)^y = y^2y
বা, 2^yy^y = y^2y
2^y = y^y
∴ y = 2
∴ x = 2y
= 2.2
= 4

নিশ্চায়কের অবস্থাভেদে দ্বিঘাত সমীকরণে মূলদ্বয়ের ধরন ও প্রকৃতি (a, b, c মূলদ সংখ্যা):
b² - 4ac > 0 এবং পূর্ণবর্গ হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে।
b² - 4ac > 0 কিন্তু পূর্ণবর্গ না হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ হবে।
b² - 4ac = 0 হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব ও পরস্পর সমান হবে।
b² - 4ac < 0 অর্থাৎ ঋণাত্মক হলে সমীকরণটির বাস্তব মূল নাই।

প্রশ্ন:

সমাধান:

১ম পদ = a
সাধারণ অন্তর - d
∴ ৭ম পদ = a + ৬d = ৬০ ...... (১)
১২তম পদ = a + ১১d = ১০৫ ... (২)
২নং - ১নং হতে পাই,
৫d = ৪৫
∴ d = ৯
১নং থেকে পাই,
a + ৬.৯ = ৬০
বা, a = ৬০ - ৫৪
∴ a = ৬

প্রশ্ন: a + b + c = 15 এবং ab + bc + ca = 74 হলে a² + b² + c² = ? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a + b + c = 15
ab + bc + ca = 74

আমরা জানি,
a² + b² + c² = (a + b + c)² - 2(ab + bc + ca) 
= (15)² - 2 × 74 
= 225 - 148
= 77

∴ a² + b² + c² = 77

প্রশ্ন: 9x² + 16y² এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

সমাধান: 
মনে করি, 
a যোগ করতে হবে 

∴ 9x² + 16y² + a 
= (3x)² + (4y)² + 2.3x.4y 
= (3x)² + (4y)² + 24xy 
∴ a = 24xy 

∴ 24xy যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে।