বীজগণিত

প্রথম খেলার ফলাফল কোন একটি দলের জন্য জয়, পরাজয় অথবা অমীমাংসিত অর্থাৎ ৩ উপায়ে হতে পারে।
অনুরূপ দ্বিতীয় খেলার ফলাফল ৩ উপায়ে এবং
তৃতীয় খেলার ফলাফলও ৩ উপায়ে হতে পারে।
সুতরাং নির্ণেয় ফলাফলের সংখ্যা = ৩ × ৩ ×‌ ৩
= ২৭ উপায়ে।

১ম পদ a = ১৩
সাধারন অন্তর d = ১৭ - ১৩
= ৪
পদ সংখ্যা = (৯৩ - ১৩)/d + ১
= ৮০/৪ + ১
= ২০ + ১
= ২১
∴ সমষ্টি = ২১/২(১৩ + ৯৩)
= (২১ × ১০৬)/২
= ২১ × ৫৩
= ১১১৩

প্রশ্ন: x² = 5 + 2√6 হলে, 1/x এর মান কত? 

সমাধান: 
দেয়া আছে,
x² = 5 + 2√6 
⇒ x² = 3 +  2√6 + 2
⇒ x² = (√3)² + 2 (√3)(√2) + (√2)²
⇒ x² = (√3 + √2)²
∴ x = √3 + √2

এখন, 
 1/x = 1/(√3 + √2)
⇒ 1/x = (√3 - √2)/(√3 + √2)(√3 - √2)
⇒ 1/x = (√3 - √2)/{(√3)² - (√2)²}
⇒ 1/x = (√3 - √2)/(3 - 2)
∴ 1/x= √3 - √2

প্রশ্ন: x + y = 8 এবং x - y = 4 হলে, xy এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে, x + y = 8 এবং x - y = 4

আমরা জানি, xy = {(x + y)/2}² - {(x - y)/2}²
= {(8/2}² - {(4/2}²
= 4² - 2²
= 16 - 4
= 12

প্রশ্ন: বাস্তব সংখ্যায় ∣3x+2∣ ≤ 5 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
|3x + 2| ≤ 5 
⇒ - 5 ≤ 3x + 2 ≤ 5 
⇒ - 5 - 2 ≤ 3x + 2 - 2 ≤ 5 - 2 
⇒ - 7 ≤ 3x ≤ 3 
⇒ - (7/3) ≤ x ≤ 1

f(x) = x⁴ - 4x + 3
এখানে,
f(1) = 1 - 4 + 3 = 0
∴ x - 1, f(x) এর একটি উৎপাদক।

প্রশ্ন: যদি x + y = 6 এবং xy = 9 হয়, তবে x = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে:
x + y = 6 ........ (i)
xy = 9 ........ (ii)

সমীকরণ (i) থেকে পাই,
y = 6 - x

এখন, y এর এই মানটি সমীকরণ (ii)-তে বসিয়ে পাই,
x(6 - x) = 9
বা, 6x - x² = 9
বা, x² - 6x + 9 = 0
বা, (x - 3)² = 0
বা, x - 3 = 0
∴ x = 3

প্রশ্ন: (4.2^{n - 2}) ÷ 2^{n + 1} = কত?

সমাধান: 
4.2^{n - 2} ÷ 2^{n + 1}
= (2² . 2^{n - 2}) / 2^{n + 1}
= 2^{2 + n - 2} / 2^{n + 1}
= 2ⁿ / 2^{n + 1}
= 2^{n - n - 1}
= 2^-1
= 1/2

প্রশ্ন: (1/4) + (1/4²) + (1/4³) + .... অনন্ত ধারার সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
এটি একটি গুণোত্তর ধারা। 
১ম পদ, a = 1/4 
সাধারণ অনুপাত, r = 1/4 

∴ ধারাটির সমষ্টি, s = a/(1 - r)  [যেহেতু, r < 1] 
= (1/4)/(1 - 1/4)
= (1/4)/(3/4)
= (1/4) × (4/3)
= 1/3

প্রশ্ন: log₂ log₃ (log₃27³) = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
log₂ log₃ (log₃27³)
= log₂ log₃(3log₃3³)
= log₂ log₃(9log₃3)
= log₂ log₃9 ; [log_aa = 1]
= log₂ (log₃3²)
= log₂ (2log₃3)
= log₂2
= 1

প্রশ্ন: 256 + 128 + 64 + 32 + ------  ধারাটির সাধারণ পদ কত?

সমাধান:
এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
যার প্রথম পদ, a = 256
সাধারণ অনুপাত, r = 128/256 = 1/2

আমরা জানি, 
সাধারণ পদ বা n-তম পদ = ar^{n - 1}
= 256 × (1/2)^{n - 1}
= 2⁸ × 1/2^{n - 1}
= 1/2^{- 8} × 1/2^{n - 1}
= 1/2^{n - 1 - 8}
= 1/2^{n - 9}
= 2^{-(n - 9)}
= 2^{9 - n}

প্রশ্ন: |x + 3| ≤ 8 হলে, x এর সর্বনিম্ন মান কত?

 সমাধান:
|x + 3| ≤ 8
⇒ - 8 ≤ x + 3 ≤ 8
⇒ - 8 - 3 ≤ x + 3 - 3 ≤ 8 - 3
⇒ - 11 ≤ x ≤ 5

∴ x এর সর্বনিম্ন মান = - 11

প্রশ্ন: a⁴ + a²b² + b⁴ = 21 এবং a² - ab + b² = 3 হলে, a² + ab + b² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a⁴ + a²b² + b⁴ = 21
⇒ (a²)² + 2a²b² + (b²)² - a²b² = 21
⇒ (a² + b²)² - (ab)² = 21
⇒ (a² + b² + ab)(a² + b² - ab) = 21
⇒ (a² + ab + b²)(a² - ab + b²) = 21
⇒ (a² + ab+ b²). 3 = 21
⇒ a² + ab + b² = 21/3
∴ a² + ab + b² = 7

প্রশ্ন: a = 1, b = 1, c = 2, d = - 2 হলে a - (- b) - (- c) - (- d) = কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a = 1, b = 1, c = 2, d = - 2

প্রদত্ত রাশি = a - (- b) - (- c) - (- d)
= a + b + c + d
= 1 + 1 + 2 + (- 2)
= 2 + 2 - 2
= 2

প্রশ্ন: (6^{x - 1}) · (36^{x + 2}) = 216 , তবে 2^x এর মান কত?

সমাধান:
(6^{x - 1}) · (36^{x + 2}) = 216
⇒ (6^{x - 1}) · 6^{2(x + 2)} = 216
⇒ (6^{x - 1}) · (6^{2x + 4}) = 6³
⇒ 6^{x - 1 + 2x + 4} = 6³
⇒ x - 1 + 2x + 4 = 3
⇒ 3x + 3 = 3
⇒ 3x = 3 - 3
⇒ 3x = 0
⇒ x = 0

∴ 2^x = 2⁰
= 1

প্রশ্ন: যদি x = √3 +√2 হয়, তাহলে, x³ + (1/x³) এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x = √3 + √2
বা, 1/x =  √3 - √2

এখন, 
 x + 1/x = √3 + √2 + √3 - √2 
∴ x + 1/x = 2√3 

আমরা জানি, 
x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³ - 3.x.1/x (x + 1/x)
= (2√3)³ - 3 . 2√3
= 24√3 - 6√3
= 18√3

প্রশ্ন: যদি log_√2 x = 12 হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log_√2 x = 12
⇒ x = (√2)¹²   [log_aM = n ⇒ aⁿ = M]
⇒ x = (2^1/2)¹²
⇒ x = 2^{(1/2) × 12}
⇒ x = 2⁶
∴ x = 64

নির্ণেয় বাছাই সংখ্যা = ¹⁰C₃ × ⁸C₁
= 10! ÷ {(10 - 3)! × 3!} × 8
= {(10 × 9 × 8 × 7!) ÷ (7! ×‌ 3!)} × 8
= (10 × 9 × 8 ÷ 6) × 8
= 120 × 8
= 960

প্রশ্ন: 50 ফুট লম্বা একটি বাঁশকে এমনভাবে কাটা হলো যেন এক অংশ অন্য অংশের 1/4 হয়। ছোট অংশটির দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান: 
মনে করি, 
একটি অংশ = x 
অপর অংশটি = x/4

প্রশ্নমতে, 
x + x/4 = 50
⇒ (4x + x)/4 = 50
⇒ 5x = (50 × 4) 
⇒ 5x = 200 
⇒ x = 200/5 
∴ x = 40

∴ ছোট অংশটির দৈর্ঘ্য = 40/4
= 10 ফুট।

f(x) = 3x³ + 2x² - 21x – 20
f(-1) = 3(-1)³ + 2(-1)² - 21.-1 -20
= 0
সুতরাং রাশিটির একটি উৎপাদক হলো x – (-1) = x + 1

x = 2 হলেই কেবল উভয় সমীকরন সিদ্ধ হয়
∴ A = {2}

প্রশ্ন: 

সমাধান: 

৩১১-২৩ = ২৮৮
= ১×২৮৮, ২×১৪৪, ৩×৯৬, ৪×৭২, ৬×৪৮, ৮×৩৬, ৯×৩২, ১২×২৪, ১৬×১৮।
সুতরাং ২৩ অপেক্ষা বড় ২৮৮ এর উৎপাদকের সেট = {২৪, ৩২, ৩৬, ৪৮, ৭২, ১৪৪, ২৮৮}।

প্রশ্ন: 2 টি পোস্ট বাক্সে 7 টি চিঠি কতভাবে ফেলা যায়?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পোস্ট বাক্সের সংখ্যা n = 2 টি
চিঠির সংখ্যা r = 7 টি

∴ চিঠি ফেলা যায় = n^r
 = 2⁷
 = 128 টি উপায়ে

প্রশ্ন: x + 1/x = 5 হলে, (x² - 1/x²)² এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x + 1/x = 5

আমরা জানি,
(x - 1/x)² = (x + 1/x)² - 4 . x . (1/x)
= 5² - 4 = 25 - 4 = 21
∴ (x - 1/x) = √21

প্রদত্ত রাশি, 
(x² - 1/x²)²
= {(x + 1/x)(x - 1/x)}²
= (5 × √21)²
= 25 × 21
= 525

11 জন থেকে 1 জন অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ¹¹C₁ =11উপায়ে
10 জন থেকে 1 জন অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ¹⁰C₁ =10 উপায়ে
∴ বছাই সংখ্যা = 11 × 10 =110

প্রশ্ন: একজন লোকের চট্টগ্রাম হতে ঢাকায় বাসে যাওয়ার সম্ভাবনা ৫/৯ এবং ঢাকা থেকে বরিশালে ট্রেনে যাওয়ার সম্ভবনা ৩/৮। লোকটি ঢাকায় বাসে না যাওয়ার এবং বরিশালে ট্রেনে যাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
চট্টগ্রাম হতে ঢাকায় বাসে যাওয়ার সম্ভাবনা = ৫/৯
চট্টগ্রাম হতে ঢাকায় বাসে না যাওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (৫/৯)
= ৪/৯

 ঢাকা থেকে বরিশাল ট্রেনে যাওয়ার সম্ভবনা = ৩/৮

 ∴ ঢাকায় বাসে না যাওয়ার এবং বরিশাল ট্রেনে যাওয়ার সম্ভাবনা = (৪/৯) × (৩/৮)
= ১২/৭২
= ১/৬