বীজগণিত

প্রশ্ন: যদি U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A = {2, 4, 6} এবং B = {1, 3} হয়, তবে A ∩ B' এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
A = {2, 4, 6} এবং B = {1, 3}

এখন,
B' = U - B
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} - {1, 3}
= {2, 4, 5, 6, 7, 8}

∴ A ∩ B' = {2, 4, 6} ∩ {2, 4, 5, 6, 7, 8}
= {2, 4, 6}
= A

সুতরাং, A ∩ B' = A

প্রশ্ন: যদি 3m² + 5m - 2 এবং m² - 4 এর গ.সা.গু m + x হয়, তাহলে x এর মান কত?

সমাধান: 
১ম রাশি, 
3m² + 5m - 2
= 3m² + 6m - m - 2
= 3m(m + 2) - 1(m + 2)
= (3m - 1)(m + 2)

এবং
২য় রাশি,
m² - 4
= m² - 2²
= (m + 2)(m - 2)

∴ গ.সা.গু = m + 2

প্রশ্নমতে, 
m + x = m + 2
∴ x = 2

প্রশ্ন: 1 থেকে 30 পর্যন্ত সংখ্যা হতে যে কোনো একটিকে ইচ্ছামত বেছে নিলে সেটি 2 এবং 5 উভয়ের গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মোট সংখ্যা = 30টি
এখন, কোনো সংখ্যা 2 এবং 5 উভয়ের গুণিতক হলে তা তাদের লসাগু -এরও গুণিতক হবে।
2 এবং 5 এর ল.সা.গু. হলো 10।

1 থেকে 30 পর্যন্ত 10-এর গুণিতকগুলো হলো = 10, 20 এবং 30।
∴ মোট অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা = 3টি

একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা = অনুকূল ফলাফল/মোট সম্ভাব্য ফলাফল

এখানে, অনুকূল ফলাফল (10-এর গুণিতক) = 3
মোট সম্ভাব্য ফলাফল (মোট সংখ্যা) = 30

∴ 2 এবং 5 উভয়ের গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা = 3/30 = 1/10

প্রশ্ন: 13 + 20 + 27 + 34 +..................+ 118 ধারাটির পদ সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 13
সাধারণ অন্তর, d = 20 - 13 = 7
ধরি,
পদসংখ্যা = n
এবং n-তম পদ = 118

আমরা জানি,
n-তম পদ = a + (n - 1)d 

সুতরাং,
a + (n - 1)d  = 118
⇒ 13 + (n - 1)7 = 118
⇒ 13 + 7n - 7 = 118
⇒ 7n + 6 = 118
⇒ 7n = 118 - 6
⇒ 7n = 112
⇒ n = 112/7
⇒ n = 16

অর্থাৎ ধারাটির পদসংখ্যা = 16

52 টি তাসের মধ্য রুইতনের তেক্কা আছে 1 টা।
∴তাসটি রুইতনের টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা = 1/52

log_√749 + log₃27
= log_(√7)(√7)⁴ + log₃3³
= 4log_√7√7 + 3log₃3
= 4 + 3 [যেহেতু log_a^a = 1]
= 7

.x⁴ + x² - 20
= x4 + 5x² - 4x² - 20
= x²(x² + 5) - 4(x² + 5)
= (x² + 5)(x + 2)(x - 2)

প্রশ্ন: 8^x + 8^x + 8^x + 8^x এর মান কোনটি?

সমাধান:
8^x + 8^x + 8^x + 8^x
= 8^x(1 + 1 + 1 + 1)
= 8^x × 4
= (2³)^x × 2²
= 2^3x × 2²
= 2^{3x + 2}

প্রশ্ন: a² - b² - 2b - 1 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
a² - b² - 2b - 1
= a² - (b² + 2b + 1)
= a² - (b + 1)²
= {a + (b + 1)}{a - (b + 1)}
= (a + b + 1)(a - b - 1)

∴ রাশিটির উৎপাদকদ্বয় হলো (a + b + 1) এবং (a - b - 1)

প্রশ্ন: 3log₃(81) + 2log₄(64) + 5log₂(16) এর মান কত?

সমাধান:
3log₃(81) + 2log₄(64) + 5log₂(16)
= 3 × log₃(3⁴) + 2 × log₄(4³) + 5 × log₂(2⁴)
= 3 × 4 × log₃(3) + 2 × 3 × log₄(4) + 5 × 4 × log₂(2) [log_a(Mⁿ) = n.log_aM]
= 12 + 6 + 20 [log_a(a) = 1]
= 38

প্রশ্ন: যদি a = 2 হয়, তবে 8a³ + 60a² + 150a + 130 এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,  
a = 2

প্রদত্ত রাশি, 
8a³ + 60a² + 150a + 130
= (2a)³ + 3 × (2a)² × 5 + 3 × 2a × 5² + 5³ + 5
= (2a + 5)³ + 5
= (2 × 2 + 5)³ + 5
= 9³ + 5
= 729 + 5
= 734

AC > BC এবং C < 0
বা, AC/C < BC/C
বা, A < B
বা, 1/A > 1/B

প্রশ্ন: যদি a + b = √5 এবং a − b = √3 হয়, তাহলে  a² + b² -এর মান কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
a + b = √5
a - b = √3

প্রদত্ত রাশি: a² + b²

আমরা জানি,
2(a² + b²) = (a + b)² + (a - b)²
বা, 2(a² + b²) = (√5)² + (√3)² [মান বসিয়ে]
বা, 2(a² + b²) = 5 + 3
বা, 2(a² + b²) = 8
বা, a² + b² = 8/2
বা, a² + b² = 4

প্রশ্ন: 16a² + 25b² এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

সমাধান:
মনে করি, x যোগ করতে হবে।
16a² + 25b² + a
= (4a)² + (5b)² + 2.4a.5b
= (4a)² + (5b)² + 40ab

∴ 40ab যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে।

a² + 16/a² = 8
বা, a⁴ + 16 = 8a²
বা, a⁴ - 8a² + 16 = 0
বা, (a² - 4)² = 0
বা, a² = 4
∴ 1/a² = 1/4

∴ a⁴ - 1/a⁴ = (a² + 1/a²)(a₂ - 1/a²)
=(4 + 1/4)(4 - 1/4)
=17/4 × 15/4
= 255/16

x^x√x = (x√x)^x
(x^x)^√x = (x.x^1/2)^x = (x^3/2)^x = (x^x)^3/2
(x^x)^√x = (x^x)^3/2
√x = 3/2
x = (3/2)² = 9/4

প্রশ্ন: A = {x ∈ N : 3 ≤ x < 9} এবং B = {x ∈ N : x বিজোড় সংখ্যা এবং x ≤ 10} হলে A ∩ B এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {x ∈ N : 3 ≤ x < 9}
এখানে, x এর মান 3 এর সমান বা বড় এবং 9 এর ছোট স্বাভাবিক সংখ্যা।
∴ A = {3, 4, 5, 6, 7, 8}

আবার,
B = {x ∈ N : x বিজোড় সংখ্যা এবং x ≤ 10}
x স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যা যা 10 এর ছোট বা সমান।
∴ B = {1, 3, 5, 7, 9}

প্রদত্ত রাশি,
A ∩ B = {3, 4, 5, 6, 7, 8} ∩ {1, 3, 5, 7, 9}
= {3, 5, 7}

প্রশ্ন: m = 2 হলে 27m³ + 54m² + 36m + 3 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
m = 2

∴ 27m³ + 54m² + 36m + 3
= (3m)³ + 3 × (3m)² × 2 + 3 × (3m) × 2² + 2³ - 5
= (3m + 2)³ - 5

এখন, m = 2 বসাই,
= (3 × 2 + 2)³ - 5
= (6 + 2)³ - 5
= 8³ - 5
= 512 - 5
= 507

অতএব, সঠিক উত্তর:
খ) 507

প্রশ্ন: যদি log(x/y) + log(y/x) = log(x + y) হয়, তবে- 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
log(x/y) + log(y/x) = log(x + y) 
⇒ log{(x/y) × (y/x)} = log(x + y)  [আমরা জানি, log M + log N = log(MN)]
⇒ log1 = log(x + y) 
⇒ x + y = 1 [উভয় পক্ষ থেকে log বর্জন করে]

প্রশ্ন: 45 ফুট লম্বা একটি বাঁশকে এমনভাবে কাটা হলো যেন এক অংশ অন্য অংশের 1/4 হয়। ছোট অংশটির দৈর্ঘ্য কত?  

সমাধান: 
মনে করি, 
একটি অংশ = x 
∴ অপর অংশটি = x/4 

প্রশ্নমতে, 
x + x/4 = 45 
⇒ (4x + x)/4 = 45 
⇒ 5x = (45 × 4) 
⇒ 5x = 180 
⇒ x = 180/5 
∴ x = 36 

∴ ছোট অংশটির দৈর্ঘ্য = 36/4
= 9 ফুট।

5 + 11 + 17 + ------- + 59
ধারাটির প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অন্তর, d = 11-5 = 6
সুতরাং পদসংখ্যা বা n তম পদ = a + (n-1)d
বা, 59 = 5 + (n-1)6
বা, (n-1)6 = 59-5
বা, n-1 = 54/6
বা, n-1 = 9
বা, n = 9+1
বা, n = 10

প্রশ্ন: 2x² - xy - 6y² এর উৎপাদক-

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
2x² - xy - 6y²
= 2x² - 4xy + 3xy - 6y²
= 2x(x - 2y) + 3y(x - 2y)
= (x - 2y)(2x + 3y)

প্রশ্ন: |3x - 9| ≤ 6, যেখানে x ∈ N, অসমতাটির সমাধান সেট কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
|3x - 9| ≤ 6
⇒ - 6 ≤ 3x - 9 ≤ 6
⇒ - 6 + 9 ≤ 3x ≤ 6 + 9   [উভয় পক্ষে 9 যোগ করে]
⇒ 3 ≤ 3x ≤ 15
⇒ 1 ≤ x ≤ 5   [উভয় পক্ষকে 3 দ্বারা ভাগ করে]

যেহেতু x ∈ N (স্বাভাবিক সংখ্যা), সেহেতু x এর মান 1 থেকে 5 এর মধ্যে (1 ও 5 সহ) হতে হবে।
অতএব সমাধান সেট = {1, 2, 3, 4, 5}

উল্লেখ্য:
অপশন ক: (1, 5) ভুল কারণ এটি একটি খোলা ব্যবধি যা কেবল বাস্তব সংখ্যা নির্দেশ করে এবং এতে 1 ও 5 অন্তর্ভুক্ত নয়।
অপশন খ: {1, 3, 5, 7} ভুল কারণ এই মানগুলো অসমতার সীমার (1 থেকে 5) বাইরে চলে গেছে এবং সব পূর্ণসংখ্যা অন্তর্ভুক্ত নয়।
অপশন ঘ: (1, 5] ভুল কারণ এটি অর্ধেক খোলা ব্যবধি যা 1 কে বাদ দিয়ে 5 পর্যন্ত সকল বাস্তব সংখ্যা নির্দেশ করে।

ⁿC_r = x(ⁿP_r)
বা, x = ⁿC_r/ⁿP_r [ ⁿC_r = n!/((n-r)!r!) এবং ⁿP_r = n!/(n-r)!]
বা, x = 1/r!
∴x এর মান 1/r!

a = 1/5 হলে,
a² = 1/25 এবং a³ = 1/125
∴ a³ < a² < a

2a³ + 16
= 2(a³ + 8)
= 2(a³ + 2³)
= 2(a + 2)(a² - 2a + 4)

ধরি সংখ্যা টি ''ক''
প্রশ্নমতে, ক এর ৩০% এর ১৫% =১৮
⇒ ক এর ৩০/১০০ এর ১৫/১০০ = ১৮
⇒ ক এর ৯/২০০ = ১৮
⇒ ক = (১৮ × ২০০)/৯ = ৪০০
∴ সংখ্যা টি ৪০০

A = {1, 2}, B = {2,6} হলে
P(A) = {{1}, {2}, {1, 2}, ∅}
P(B) = {{2}, {6}, {2, 6}, ∅}
P(A)∩P(B) = {{2}, ∅}

প্রশ্ন: (√3/9) + (√3/3) + √3 + (3√3) + ..............ধারাটির কোন পদটি 243√3 হবে? 

সমধান:
এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
প্রথম পদ, a = √3/9
সাধারণ অনুপাত, r = (√3/3) / (√3/9) = 3

আমরা জানি,
n তম পদ = ar^{n - 1}
⇒ ar^{n - 1} = 243√3
⇒ √3/9 × 3^{n - 1} = 243√3
⇒ 3^{n - 1} = 243 × 9
⇒ 3^{n - 1} = 2187
⇒ 3^{n - 1} = 3⁷
⇒ n -1 = 7
n = 8

log₃ 243 + log₃ 27 - log₃ 81
= log₃ 3⁵ + log₃ 3³ - log₃ 3⁴
= 5 log₃ 3 + 3 log₃ 3 - 4 log₃ 3
= 5 × 1 + 3 × 1 - 4 × 1 [log_a a = 1]
= 5 + 3 - 4
= 4

(a + b+ c)²
= (a + b)² + 2(a + b)c + c²
= a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac
=2(ab + bc + ac) + a² + b² + c² 
∴ সবগুলো সঠিক।

প্রশ্ন: 5^{2x - 1} = 125 হলে, x এর মান কত? 

সমাধান:
5^{2x - 1} = 125
⇒ 5^{2x - 1} = 5³
⇒ 2x - 1 = 3
⇒ 2x = 4
⇒ x = 2

a = 6,
r = 12/6 = 2
∴ ৭ম পদ = ar^7-1
= 6.2⁶
= 384