PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন
PrepBank · পাতা ১৪১ / ২০১ · ১৪,০০১–১৪,১০০ / ২০,২০৭
a2 - c2 + 2bc - b2
= a2 - (b2 - 2bc + c2)
= a2 - (b - c)2
= (a + b - c)(a - b + c)
দেওয়া আছে,
a2-√3a+1 = 0
a2+1 = √3a
a+1/a = √3
(a+1/a)3 = (√3)3
a3+1/a3+3.a.(1/a) (a+1/a) = 3√3
a3+1/a3+3√3 = 3√3
a3+1/a3 = 0
x3 - 729
= x3 - 93
= (x - 9)(x2 + 9x + 81)
প্রশ্ন: x2 - a2 + 2ab - b2 এর একটি উৎপাদক (x + a - b) হলে, অপর উৎপাদকটি কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
x2 - a2 + 2ab - b2
= x2 - (a2 - 2ab + b2)
= x2 - (a - b)2
= (x + a - b)(x - a + b)
সুতরাং, x2 - a2 + 2ab - b2 এর একটি উৎপাদক (x + a - b) হলে, অপর উৎপাদকটি হলো (x - a + b)।
প্রশ্ন: P(x) = x3 + 3x2 + 2x হলে, P(x) এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
P(x) = x3 + 3x2 + 2x
= x(x2 + 3x + 2)
= x(x2 + 2x + x + 2)
= x{x(x + 2) + 1(x + 2)}
∴ P(x) = x(x + 1)(x + 2)
সুতরাং, P(x) এর একটি উৎপাদক (x + 1)।
প্রশ্ন: x − 1/x = 5√3 হলে x2 + 1/x2 = কত?
সমাধান:
x2 + 1/x2
= (x − 1/x)2 + 2.x .1/x
= (5√3)2 + 2
= (5)2 . (√3)2 + 2
= (25 × 3) + 2
= 75 + 2
= 77
প্রশ্ন: 3x2 - 5x - 4 = 0 এর মূলদ্বয়ের যোগফল কত?
সমাধান:
এখানে,
3x2 - 5x - 4 = 0
a = 3
b = -5
c = -4
সুতরাং,
ax2 + bx + c = 0,
∴ মূলদ্বয়ের যোগফল = x1 + x2 = -b/a
⇒ x1 + x2 = -(-5)/3 = 5/3
প্রশ্ন: দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যা, অংকদ্বয়ের স্থান বিনিময়ের ফলে 45 বৃদ্ধি পায়। অংক দুইটির যোগফল 11 হলে সংখ্যাটি কত?
সমাধান:
মনে করি,
একক স্থানীয় অংক = x
এবং দশক স্থানীয় অংক = (11 - x)
∴ সংখ্যাটি = {x + 10(11 - x)} = 110 - 9x
আবার,
অংকদ্বয়ের স্থান বিনিময়ের পর সংখ্যাটি = {10x + (11 - x)} = 9x + 11
প্রশ্নমতে,
(9x + 11) - (110 - 9x) = 45
⇒ 9x + 11 - 110 + 9x = 45
⇒ 18x - 99 = 45
⇒ 18x = 45 + 99
⇒ 18x = 144
⇒ x = 144/18
⇒ x = 8
∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি = 110 - (9 × 8)
= 110 - 72 = 38
a = ৩৭,
d = -৪,
∴ পদ সংখ্যা n = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/সাধারণ অন্তর} + ১
= {(-২৩ - ৩৭)/-৪} + ১
= {-৬০/-৪} + ১
= ১৫ + ১
= ১৬
∴ সমষ্টি = n/২{২a + (n - ১)d}
= ১৬/২{২.৩৭ + (১৬ - ১)(-৪)}
= ৮ × (৭৪ - ৬০)
= (৮ × ১৪)
= ১১২
প্রশ্ন: (2 + x) + 3 = 3(x + 2) হলে x এর মান কত?
সমাধান:
(2 + x) + 3 = 3(x + 2)
বা, 2 + x + 3 = 3x + 6
বা, x + 5 = 3x + 6
বা, x - 3x = 6 - 5
বা, -2x = 1
বা, x = 1/-2
∴ x = - 1/2
প্রশ্ন: logx√216 = 3/2 হয়, তবে x3 এর মান কত?
সমাধান:
logx√216 = 3/2
⇒ x(3/2) = √216
⇒ (x3/2)2 = (√216)2
∴ x3 = 216
এখানে,
w > x, x > y, y > z
∴ w > x > y > z
∴ z < w
Question: What is the value(s) of p such that 4x2 - px + 9 is a perfect square?
Solution:
সমাধান:
4x2 - px + 9
= (2x)2 - 2.2x.3 + 32 - px + 2.2x.3
= (2x - 3)2 + 12x - px
রাশিটি পূর্ণবর্গ হলে,
12x - px = 0
বা, px = 12x
∴ p = 12
দেওয়া আছে,
(2x + 3y)/(3x+2y) = 5/6
বা, 12x + 18y = 15x + 10y
বা, 3x = 8y
বা, x/y = 8/3
বা, x:y = 8:3
প্রশ্ন: ২২, ৩৫, ৪৮, ১৮, ৫০, ২৫, ৫৯, ৪০, ১৬, ৫৬ উপাত্ত গুলোর পরিসর নির্ণয় করুন।
সমাধান:
প্রদত্ত তথ্যের সর্বনিম্ন সংখ্যা = ১৬
প্রদত্ত তথ্যের সর্বোচ্চ সংখ্যা = ৫৯
আমরা জানি,
পরিসর = (সর্বোচ্চ সংখ্যা - সর্বনিম্ন সংখ্যা) + ১
= (৫৯ - ১৬) + ১
= ৪৩ + ১
= ৪৪
সুতরাং, উপাত্তগুলোর পরিসর ৪৪।
আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম পদ, a এবং সাধারণ অন্তর, d হলে n তম পদ = a + (n-1)d।
এখন, n তম পদ ৩০২ হলে, ৫ + (n-১) × ৩ = ৩০২
বা, (n - ১) × ৩ = ৩০২ - ৫
বা, n - ১ = ২৯৭/৩
বা, n - ১ = ৯৯
বা, n = ৯৯ + ১
বা, n = ১০০
প্রশ্ন: গ.সা.গু. নির্ণয় করুন: 4a2 - 1, 2a2 + a - 1
সমাধান:
১ম রাশি = 4a2 - 1
= (2a)2 - 12
= (2a - 1)(2a + 1)
২য় রাশি = 2a2 + a - 1
= 2a2 + 2a - a - 1
= 2a(a + 1) - 1(a + 1)
= (2a - 1)(a + 1)
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = (2a - 1)
প্রশ্ন: কোন সমান্তর ধারার m তম পদ n ও n তম পদ m হলে, ধারাটির সাধারণ অন্তর কত?
সমাধান:
মনে করি,
সমান্তর ধারার প্রথম পদ = a
সাধারণ অন্তর = d
১ম শর্তমতে,
m তম পদ a + (m - 1)d = n
বা, a + md - d = n .......................(1)
২য় শর্তমতে,
n তম পদ a + (n - 1)d = m
বা, a + nd - d = m ........................ (2)
(1) নং থেকে (2) নং বিয়োগ করে পাই,
a + md - d = n
a + nd - d = m
md - nd = n - m
বা, d (m - n) = n - m
বা, d = - (m - n)/(m - n)
∴ d = - 1
∴ ধারাটির সাধারণ অন্তর = - 1
x2+x-20
= x2+5x-4x-20
= x(x+5) - 4(x+5)
= (x+5)(x-4)
প্রশ্ন:
সমাধান:
Sn = Sp + n2 = 36 + 32 = 45
আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম পদ, a এবং সাধারণ অন্তর, d হলে n তম পদ = a + (n-1)d।
এখন, n তম পদ ৩১১ হলে, ৫ + (n-১) × ৩ = ৩১১
বা, (n-১) × ৩ = ৩১১ - ৫
বা, n-১ = ৩০৬/৩
বা, n-১ = ১০২
বা, n = ১০২ + ১
বা, n = ১০৩
কালো বল = ৪ টি এবং সবুজ বল = ৬ টি।
মোট বল = ১০ টি
সুতরাং একটি বল তোলা হলে সেটি সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা = ৬/১০
= ৩/৫
প্রশ্ন: log75 + log7(3b + 1) = log7(b + 2) + 1 হলে , b এর মান কত?
সমাধান:
log75 + log7(3b + 1) = log7(b + 2) + 1
⇒ log75 + log7(3b + 1) = log7(b + 2) + log77
⇒ log7{5(3b + 1)} = log7{7(b + 2)}
⇒ log7(15b + 5) = log7(7b + 14)
⇒ 15b + 5 = 7b + 14
⇒ 8b = 9
⇒ b = 9/8
∴ b = 9/8
4টি বাহু থেকে প্রতিবার 3টি বাহু নিয়ে গঠিত ত্রিভুজ সংখ্যা = 4C3 = 4টি
কিন্তু {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4} সমাবেশ ত্রিভুজ গঠন করেনা। [যেহেতু, ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর যোগফল তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।]
∴ মোট ত্রিভুজ = 4 - 3 = 1টি
প্রশ্ন: ৮ জন ব্যক্তিকে একটি গোলটেবিলের চারপাশে কতভাবে বসানো যাবে?
সমাধান:
৮ জন ব্যক্তিকে ১ টি গোলটেবিলের চারপাশে সাজানো যাবে (n - ১)! উপায়ে।
= (৮ - ১)!
= ৭!
= ৫০৪০
প্রশ্ন: 25x2 - 20x এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?
সমাধান:
25x2 - 20x
= (5x)2 - 2 × 5x × 2 + (2)2 - 4
= (5x - 2)2 - 4
∴ 4 যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।
প্রশ্ন: যদি x + y + z = 0 হয়, তবে x3 + y3 + z3 এর মান কত?
সমাধান:
দেয়া আছে,
x + y + z = 0
আমরা জানি,
x3 + y3 + z3 - 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx)
⇒ x3 + y3 + z3 - 3xyz = 0 × (x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx)
⇒ x3 + y3 + z3 - 3xyz = 0
∴ x3 + y3 + z3 = 3xyz
প্রশ্ন:
সমাধান: