বীজগণিত

প্রশ্ন: 3 + 6 + 12 + 24 + … ধারাটির প্রথম n পদের যোগফল 765 হলে, n এর মান কত?

সমাধান:
এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ a = 3,
সাধারণ অনুপাত r = 6/3 = 2
প্রথম n পদের যোগফল, S_n = 765

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n তম পদের যোগফল,
S_n = {a × (rⁿ - 1)}/(r - 1) 
⇒ 765 = (3 × 2ⁿ - 1)/(2 - 1)
⇒ 765 = 3 × 2ⁿ - 1
⇒ 765/3 = 2ⁿ - 1 
⇒ 255 = 2ⁿ - 1
⇒ 256 = 2ⁿ
⇒ 2ⁿ = 2⁸
∴ n = 8 

∴ n এর মান 8

প্রশ্ন: 

সমাধান: 

প্রশ্ন: x + (1/x) = 3 হলে, x⁴ + (1/x⁴) এর মান কত?

সমাধান:
{x⁴ + (1/x⁴)}
= (x²)² + (1/x²)²
= {x² + (1/x²)}² - 2 · x² . (1/x²)
= [{x + (1/x)}² - 2 · a · (1/x)]² - 2
= {(3)² - 2}² - 2
= (7)² - 2
= 49 - 2
= 47

প্রশ্ন: log₃(1/81) = কত?

সমাধান:
log₃(1/81)
= log₃(1/3⁴)
= log₃(3^{- 4})
= - 4 × log₃3  [log_a(mⁿ) = n . log_am]
= - 4 × 1  [log_aa = 1]
= - 4

প্রশ্ন: P সেটের প্রকৃত উপসেটের সংখ্যা 63 হলে, P সেটের উপাদান সংখ্যা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
উপাদানের সংখ্যা n হলে প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 2ⁿ - 1

প্রশ্নমতে,
2ⁿ -1 = 63
⇒ 2ⁿ = 63 + 1
⇒ 2ⁿ = 64
⇒ 2ⁿ = 2⁶
∴ n = 6

∴ P সেটের উপাদান সংখ্যা = 6

উপসেট: কোন সেটের উপাদান থেকে যতগুলো সেট গঠন করা যায় তাদের প্রত্যেকটি প্রদত্ত সেটের উপসেট। ফাঁকা সেট যে কোনো সেটের উপসেট।

প্রকৃত উপসেট: কোনো সেট থেকে গঠিত উপসেটের মধ্যে যে উপসেট গুলোর উপাদান সংখ্যা প্রদত্ত সেটের উপাদান সংখ্যা অপেক্ষা কম তাদেরকে প্রকৃত উপসেট বলে।

(a² - b²)
= (a² + b²)² - 4a²b²
= {(a + b)² - 2ab} - 4(ab)²
= (7² - 2.12)² - 4(12)²
= 625 - 576
= 49

দেওয়া আছে,
x + 1/x = 2
বা, x² + 1 = 2x
বা, x² - 2x + 1 = 0
বা, (x - 1)² = 0
বা, x - 1 = 0
∴ x = 1

প্রশ্ন: ৫০৪ এর মৌলিক উৎপাদকগুলোর মধ্যে প্রচুরক কত?

সমাধান:
৫০৪ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৭ = ২^৩ × ৩^২ × ৭^১

এখানে, 
 ২ তিনবার, ৩ দুইবার, ৭ একবার।
সবচেয়ে বেশি বার আসা মৌলিক সংখ্যা ২।
∴ প্রচুরক = ২

^4-xP₂ = 6
(4-x)!/(4-x-2)! = 6
(4-x)(4-x-1)(4-x-2)!/(4-x-2)! = 6
(4-x)(4-x-1) = 6
16 – 8x + x² - 4 + x – 6 = 0
x² - 7x + 6 = 0
(x-6)(x-1) = 0
x = 6, 1
x = 6 হলে, (4-x) = 4- 6 = -2 ইহা ঋণাত্মক। এটা কখনো সম্ভব না। সেহেতু x এর মান হবে 1।

প্রশ্ন: (a/b) + (b/a) = 4 হলে (a²/b²) + (b²/a²) এর মান কত?

সমাধান,
দেওয়া আছে,
(a/b) + (b/a) = 4 

এখন,
(a²/b²) + (b²/a²)
= (a/b)² + (b/a)²
= {(a/b) + (b/a)}² - 2(a/b)(b/a)
= (4)² - 2
= 16 - 2
= 14

প্রশ্ন: a² + 6a + 8 − y² + 2y এর উৎপাদক কোনটি? 

সমাধান: 
a² + 6a + 8 − y² + 2y
= a² + 2. a .3 + 3² − 1 − y² + 2y
= (a + 3)² − (y² − 2y + 1) 
= (a + 3)² − (y − 1)² 
= (a + 3 + y − 1) (a + 3 − y + 1) 
= (a + y + 2) (a − y + 4)

প্রশ্ন: কোন একটি সংখ্যার অর্ধেকের সঙ্গে ৬ যোগ করলে যে উত্তর পাওয়া যায়, সংখ্যাটির দ্বিগুণ থেকে ২১ বিয়োগ করলে একই ফল পাওয়া যায়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি
সংখ্যাটি = ক 

প্রশ্নমতে 
(ক/২) + ৬ = ২ক - ২১
বা, ৬ + ২১ = ২ক - (ক/২)
বা, ২৭ = (৪ক - ক)/২
বা, ২৭ = ৩ক/২
বা, ৩ক = ২৭ × ২
বা, ক = (২৭ × ২)/৩
ক = ১৮ 

প্রশ্ন: (- x/0.3) ≤ 20, অসমতাটির সমাধান সেট কী হবে? 

সমাধান:

এখানে, 
-x/0.3 ≤ 20
⇒ x ≥ (0.3) (2)
⇒ x ≥ -6

সুতরাং, সমাধান সেটটি হবে, {x : x ≥ -6}

"দ্রষ্টব্য:
- কোনো অসমতার উভয় পাশে ঋণাত্মক সংখ্যা দিয়ে ভাগ করার সময় অসমতার চিহ্ন উল্টে দিতে হবে।
- সমাধান সেটে অবশ্যই সেকেন্ড ব্র্যাকেট {} ব্যবহার করতে হবে - তাই অপশন (ক) সঠিক হবে না। "

দেওয়া আছে,
১ম পদ, a = 7
সাধারণ অনুপাত = r

আমরা জানি,
n তম পদ = ar^{n - 1}
২য় পদ = ar^{2 - 1} = 7r = x
৩য় পদ = ar^{3 - 1} = 7r² = y
৪র্থ পদ = ar^{4 - 1} = ar³

প্রশ্নমতে,
ar³ = 2401
বা, 7r³ = 2401
বা, r³ = 2401/7
বা, r³ = 343
বা, r³ = 7³
বা, r = 7

∴ x = 7 × 7
= 49

∴ x এর মান 49.

প্রশ্ন: 4, 9, 48 এর গুণোত্তর গড় কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক সংখ্যার জ্যামিতিক বা গুণোত্তর গড় (GM) = (x₁ . x₂ . x₃.........x_n)^1/n

সুতরাং, 4, 9, 48 এর গুণোত্তর গড় = (4 × 9 × 48)^1/3
= (1728)^1/3
= (12³)^1/3
= 12

প্রশ্ন: [2 - (3^{- 1})^{- 1}]^{- 1} = কত? 

সমাধান: 
[2 - (3^{- 1})^{- 1}]^{- 1}
= [2 - (1/3)^{- 1}]^{- 1}
= [2 - 3]^{- 1}
= [- 1]^{- 1}
= - 1/1
= - 1

প্রশ্ন: 7√7 এর 7 ভিত্তিক লগ কত? 

সমাধান: 
7√7 এর 7 ভিত্তিক লগ
= log₇7√7
= log₇7 +log₇√7
= 1 + log₇7^1/2          
= 1 + (1/2)log₇7
= 1 + (1/2)
= (2 + 1)/2
= 3/2

∴ x > 0, y < 0
∴ xy < 0
∴ xy = - 1/4 < 0
∴ উত্তরঃ (ক)

এখানে,
A = {1, 2, 3, 4},
B = {2, 3, 4},
C = {-5, 5}
∴ A ∪ B = {1, 2, 3, 4},
(A ∪ B) - C = {1, 2, 3, 4}

প্রশ্ন: A ও B যথাক্রমে 36 ও 45 এর গুণনীয়ক সেট হলে, (A ∩ B) এর মান কত?
 

সমাধান:
36 এর গুণনীয়ক = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
45 এর গুণনীয়ক = 1, 3, 5, 9, 15, 45
A = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
B = {1, 3, 5, 9, 15, 45}

∴ A ∩ B = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} ∩ {1, 3, 5, 9, 15, 45} 
= {1, 3, 9}

a³ + 3a²b + 3ab² + b³
= (a + b)³
সুতরাং (a + b)³ এর ঘনমূল {(a + b)³}^1/3
= (a + b)^{(3 × 1/3)}
= a + b

মনে করি, বেঞ্চের সংখ্যা ক টি
প্রতি বেঞ্চে ৬ জন করে বসালে ২ টি বেঞ্চ খালি থাকে।
সুতরাং, ছাত্রী সংখ্যা = ৬(ক-২)
আবার, ৫ জন করে বসালে ৬ জনকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়।
সুতরাং, ছাত্রী সংখ্যা = ৫ক+৬
প্রশ্নমতে, ৬(ক-২) = ৫ক+৬
বা, ৬ক -১২ = ৫ক +৬
বা, ক = ৬+১২ = ১৮ টি

প্রশ্ন: উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন। 
√3x² + 11x + 6√3

সমাধান:

√3x² + 11x + 6√3
 এখানে, 
√3 x 6√3 = 18
আবার, 9 + 2 = 11

√3x² + 11x + 6√3
= √3x² + 9x + 2x + 6√3
= √3x (x + 3√3) + 2(x + 3√3)
= (x + 3√3)(√3x + 2)

প্রশ্ন: ৫ + ৯ + ১৩ + ১৭ + ...... ধারার কোন পদ ১৭৩?

সমাধান:
প্রথম পদ, a = ৫
সাধারণ অন্তর, d = ৯ - ৫ = ৪
n তম পদ = ১৭৩

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - ১) × d
⇒ ১৭৩ = ৫ + (n - ১) × ৪
⇒ ১৭৩ = ৫ + ৪n - ৪
⇒ ১৭৩ = ৪n + ১
⇒ ৪n = ১৭২
⇒ n = ১৭২/৪
∴ n = ৪৩

∴ ধারাটির ৪৩তম পদ হলো ১৭৩

(0.04)^-2.5
= (4/100)^-2.5
= (1/25)^-5/2
= (25)^5/2
= (5²)^5/2
= 5⁵
= 3125