বীজগণিত

(1 - 1/a²) ÷ (1/a + 1)
= (1 - 1/a²)/(1/a + 1)
= {(1 + 1/a)(1 - 1/a)}/(1 + 1/a)
= 1 - 1/a
= (a - 1)/a

প্রশ্ন: 3^{(a + 6)} = 9^{(a + 4)} হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
3^{(a + 6)} = 9^{(a + 4)}
⇒3^{(a + 6)} = 3^{2(a+ 4)}
⇒ a + 6 = 2(a + 4)
⇒ a + 6 = 2a + 8
⇒ 2a - a = 6 - 8
⇒ a = - 2

প্রশ্ন: 6^{2x - 1}= 216 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
6^{2x - 1}= 216
বা, 6^{2x - 1}= 6³
বা, 2x - 1 = 3
বা, 2x = 3 + 1
বা,  2x = 4
বা, x = 4/2
∴ x = 2

প্রশ্ন: 9 জন ব্যক্তিকে একটি গোলটেবিলে কতভাবে বসানো যেতে পারে?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক ব্যক্তিকে একটি গোলটেবিলে বসানোর উপায় = (n - 1)!

∴ 9 জন ব্যক্তিকে একটি গোলটেবিলে বসানোর উপায় = (9 - 1)!
= 8! = 40320

প্রশ্ন: (x² - y² - z² - 2yz) এবং (z² - x² - y² - 2xy) রাশিদ্বয়ের সাধারণ উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:

প্রথম রাশি = x² - y² - z² - 2yz
= x² - (y² + z² + 2yz)
= x² - (y + z)²
= {x - (y + z)}{x + (y + z)}
= (x - y - z)(x + y + z)

দ্বিতীয় রাশি = z² - x² - y² - 2xy
= z² - (x² + y² + 2xy)
= z² - (x + y)²
= {z - (x + y)}{z + (x + y)}
= (z - x - y)(z + x + y)
= - (x + y - z)(x + y + z)

প্রথম রাশি = (x - y - z)(x + y + z)
দ্বিতীয় রাশি = - (x + y - z)(x + y + z)

∴ সাধারণ উৎপাদক = x + y + z 

প্রশ্ন: যদি ⁿP_r = 720 এবং ⁿC_r = 120 হয়, তাহলে r এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ⁿP_r = 720 এবং ⁿC_r = 120

আমরা জানি,
ⁿP_r​ = ⁿC_r​ × r!
⇒ 720 = 120 × r!
​⇒ r! = 720/120
⇒ r! = 6
⇒ r! = 3!
∴ r = 3

প্রশ্ন: ৩টি ঘোড়ার দাম ৫টি গরুর দামের সমান এবং ৩টি গরুর দাম ৫টি গাধার দামের সমান। ১৫টি ঘোড়ার দাম মোট ৯০০০ টাকা হলে ১০টি ঘোড়া, ১০টি গরু ও ১০টি গাধার দাম একত্রে কত?

সমাধান:
১৫ টি ঘোড়ার দাম = ৯০০০ টাকা
১ টি ঘোড়ার দাম = ৯০০০/১৫ = ৬০০ টাকা

যেহেতু
 ৫ টি গরুর দাম = ৩ টি ঘোড়ার দাম
= ৬০০ × ৩ টাকা
= ১৮০০ টাকা

 ∴ ১ টি গরুর দাম = ১৮০০/৫
= ৩৬০ টাকা

আবার,
৫টি গাধার দাম = ৩টি গরুর দাম
= ৩ × ৩৬০ টাকা
 ∴ ১টি গাধার দাম = {(৩ × ৩৬০)/৫}টাকা
= ২১৬ টাকা

∴ ১০ টি ঘোড়া, ১০টি গরু ও ১০টি গাধার মোট দাম ={( ১০ × ৬০০) + (১০ × ৩৬০) + (১০ × ২১৬)} টাকা
= (৬০০০ + ৩৬০০ + ২১৬০) টাকা
= ১১৭৬০ টাকা

log_ba².log_cb².log_ac²
= 2log_ba.2log_cb.2log_ac
= 8 × log_ba(log_cb × log_ac)
= 8 × log_ba × log_ab [যেহেতু, log_bm × log_ab = log_am]
= 8 × 1 
= 8

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: কোনো সংখ্যার পাঁচগুণ থেকে ১৫ বিয়োগ করলে বিয়োগফল সংখ্যাটির দ্বিগুণ অপেক্ষা ৬ বেশি হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
৫ক - ১৫ = ২ক + ৬
বা, ৫ক - ২ক = ৬ + ১৫
বা, ৩ক = ২১
বা, ক = ২১/৩
∴ ক = ৭

∴ সংখ্যাটি = ৭

প্রশ্ন: যদি 

সমাধান:

3/x + 4/(x+1) = 2
⇒ (3x + 3 + 4x)/x(x+1) = 2
⇒ 7x + 3 = 2x² + 2x
⇒ 2x² + 2x - 7x - 3 = 0 
⇒ 2x² - 5x -3 = 0
⇒ 2x² - 6x + x - 3 = 0
⇒ 2x(x -3) + 1(x - 3) = 0
⇒ (x - 3)(2x + 1) = 0
∴ x = 3 [As, x ≠ -1/2]

প্রশ্ন: ⁿC₉ = ⁿC₅ হলে, n এর মান কত?

সমাধান:
ⁿC₉ = ⁿC₅
⇒ ⁿC₉ = ⁿC_{n - 5}  [ⁿC_r = ⁿC_{n - r} সূত্র প্রয়োগ]
⇒ 9 = n - 5
⇒ n = 9 + 5
∴ n = 14

১০ জন থেকে সমানসংখ্যক অর্থ্যাৎ, ৫ জন করে নিয়ে দল গঠন করার মোট উপায় = ১০!/(৫!)^২
= ৩৬২৮৮০০/১৪৪০০
= ২৫২

এখন, সমান সংখ্যক বা ৫ জন করে দুটি দলে বিভক্ত করার উপায় = ২৫২/২
= ১২৬

উৎসঃ উচ্চতর গণিত প্রথম পত্র, একাদশ-দ্বাদশ শ্রেণি।

প্রশ্ন: x³ + 2x² + ax - 12 বহুপদীর একটি উৎপাদক x - 2 হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
ধরি, f(x) = x³ + 2x² + ax - 12
যেহেতু (x - 2) রাশিটির একটি উৎপাদক, সেহেতু x = 2 হলে f(x) = 0 হবে।

এখন, f(2) নির্ণয় করি,
f(2) = (2)³ + 2(2)² + a(2) - 12
⇒ f(2) = 8 + 8 + 2a - 12
⇒ f(2) = 2a + 4

শর্তমতে, f(2) = 0
⇒ 2a + 4 = 0
⇒ 2a = - 4
∴ a = - 2

প্রশ্ন: 3log₂(8) + 4log₃(27) + 5log₅(25) এর মান কত?

সমাধান:
3log₂(8) + 4log₃(27) + 5log₅(25)
= 3 × log₂(2³) + 4 × log₃(3³) + 5 × log₅(5²)
= 3 × 3 × log₂(2) + 4 × 3 × log₃(3) + 5 × 2 × log₅(5) [∵log_a(Mⁿ) = nlog_a(M)]
= (3 × 3 × 1) + (4 × 3 × 1) + (5 × 2 × 1)   [∵log_a(a) = 1]
= 9 + 12 + 10
= 31

প্রশ্ন: 4 + 9 + 14 + 19 + ...... ধারাটির কোন পদ 169?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা।
প্রথম পদ, a = 4
সাধারণ অন্তর, d = 9 - 4 = 5

আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1) × d

প্রশ্নমতে,
4 + (n - 1) × 5 = 169
⇒ (n - 1) × 5 = 169 - 4
⇒ (n - 1) × 5 = 165
⇒ n - 1 = 165/5
⇒ n - 1 = 33
⇒ n = 33 + 1
∴ n = 34

∴ ধারাটির 34 তম পদ হচ্ছে 169।

প্রশ্ন: একটি বাস্কেটবল টুর্নামেন্টে প্রতিটি দল কেবল একবার অন্য প্রতিটি দলের সাথে খেলবে। যদি মোট খেলার সংখ্যা 91 হয়, তাহলে টুর্নামেন্টে কতগুলো দল ছিল?

সমাধান:
মনে করি, ঐ টুর্নামেন্টে n সংখ্যক দল ছিল।

প্রশ্নমতে,
ⁿC₂ = 91
⇒ n!/{2!(n - 2)!} = 91
⇒ {n(n - 1)(n - 2)!}/{2 × 1 × (n - 2)!} = 91
⇒ n(n - 1)/2 = 91
⇒ n(n - 1) = 182
⇒ n² - n - 182 = 0
⇒ n² - 14n + 13n - 182 = 0
⇒ n(n - 14) + 13(n - 14) = 0
⇒ (n - 14)(n + 13) = 0

হয়,
n - 14 = 0 ⇒ n = 14
অথবা,
n + 13 = 0 ⇒ n = - 13 (ঋণাত্মক দলের সংখ্যা গ্রহণযোগ্য নয়)

∴ ঐ টুর্নামেন্টে 14 টি দল ছিল।

প্রশ্ন: x² - 2xy - z² + 2yz এর একটি উৎপাদক (x - z) হলে অপরটি-

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x² - 2xy - z² + 2yz
= x² - z² - 2xy + 2yz
= (x - z)(x + z) - 2y(x - z)
= (x - z)(x + z - 2y)
= (x - z)(x - 2y + z)

প্রশ্ন: ১২ + ২৪ + ৪৮ + .....+ ৭৬৮ ধারাটির সমষ্টি কত? 

সমাধান:
ধারাটি গুণিতক ধারা
প্রথম পদ a = 12
গুণনীয়ক r = 24/ 12 = 2

পদসংখ্যা, 
l = a × r^{n - 1}  
⇒  768 = 12 × 2^{n - 1}
⇒ 2^{n - 1} = 768/12
⇒ 2^{n - 1} = 64
⇒ 2^{n - 1} = 2⁶
⇒ n - 1 = 6
n = 7

n তম পদের সমষ্টি:
S_n​ = a × (rⁿ - 1/ r - 1)​
⇒ S₇ = 12 × (2⁷ - 1/ 2 - 1)
⇒ S₇ = 12 × (2⁷- 1)
⇒ S₇ = 12 × (128 - 1)
⇒ S₇ = 12 × (127)
= 1524

∴ ১২ + ২৪ + ৪৮ + .....+ ৭৬৮ ধারাটির সমষ্টি = ১৫২৪

প্রশ্ন:

সমাধান:

দ্যা মরগানের সুত্রানুসারে (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′

প্রশ্ন: 3/(y + 1) = 4/(y - 2) সমীকরণটিতে y এর মান কত?

সমাধান:
3/(y + 1) = 4/(y - 2)
⇒ 3(y - 2) = 4(y + 1)
⇒ 3y - 6 = 4y + 4
⇒ 4y - 3y = - 6 - 4
⇒ y = - 10

x³ + 8/x³
= x3 + (2/x)3
= (x+2/x)³ - 3.x.(2/x).(x+2/x)
= 3³ - 3×2×3
= 27 - 18
= 9

MILLENNIUM শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে ১০ টি
প্রথমে ও শেষে M রাখলে বর্ণ থাকে (১০ - ২) বা ৮ টি তার মধ্যে L = 2, I = 2, N = 2
তাহলে সাজানো যাবে ৮!/ (২! ২! ২!)
= ৮.৭.৬.৫.৩ = ৫০৪০

প্রশ্ন: x³ - 3x² + ax - 6 বহুপদীর একটি উৎপাদক x - 2 হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
ধরি, f(x) = x³ - 3x² + ax - 6
যেহেতু (x - 2) রাশিটির একটি উৎপাদক, সেহেতু x = 2 হলে f(x) এর মান শূন্য হবে।

এখন, f(2) এর মান নির্ণয় করি,
f(2) = (2)³ - 3(2)² + a(2) - 6
= 8 - 3(4) + 2a - 6
= 8 - 12 + 2a - 6
= -4 + 2a - 6
= 2a - 10

শর্তমতে,
f(2) = 0
বা, 2a - 10 = 0
বা, 2a = 10
∴ a = 5

x < 0
∴ x³ < 0
বা, 1/x³ < 0

প্রশ্ন: log₁₀2 + 2log₁₀5 - log₁₀3 - 2log₁₀7 = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
log₁₀2 + 2log₁₀5 - log₁₀3 - 2log₁₀7
= log₁₀2 + log₁₀5² - log₁₀3 - log₁₀7²
= log₁₀2 + log₁₀25 - log₁₀3 - log₁₀49
= (log₁₀2 + log₁₀25) - (log₁₀3 + log₁₀49)
= log₁₀(2 × 25) - log₁₀(3 × 49)  ; [log_xa + log_xb = log_xab]
= log₁₀50 - log₁₀147
= log₁₀(50/147)  ; [log_xa - log_xb = log_x(a/b)]

প্রশ্ন: রায়হান একটি কারখানাতে প্রথম দিনে 7টি পণ্য, দ্বিতীয় দিনে 14টি পণ্য, তৃতীয় দিনে 28টি পণ্য তৈরি করে। এভাবে সে প্রথম এক সপ্তাহে মোট কতটি পণ্য তৈরি করবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পণ্য তৈরি করার অনুক্রম: 7, 14, 28, . . . ., n

এখানে,
অনুক্রমটির মোট পদ, n = 7
১ম পদ, a = 7
অনুপাত, r = 14/7 = 2

∴ 7টি পদের সমষ্টি = a × {(rⁿ - 1)/(r - 1)}
= 7 × {(2⁷ - 1)/(2 - 1)}
= 7 × 127
= 889

∴ রায়হান 7 দিনে মোট 889 টি পণ্য তৈরি করবে।

প্রশ্ন: 'SCHOOL' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা 'CLASS' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?

সমাধান:
'SCHOOL' শব্দটিতে বর্ণ সংখ্যা 6 টি (S, C, H, O, O, L)
যেখানে, O দুইবার আছে, বাকি বর্ণ (S, C, H, L) প্রতিটি একবার করে আছে।

∴ বিন্যাস সংখ্যা = 6!/2! = (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)/(2 × 1) ​= 360
 
আবার, 
'CLASS' শব্দটিতে বর্ণ সংখ্যা 5 টি (C, L, A, S, S)
যেখানে, S দুইবার আছে, বাকি বর্ণ (C, L, A) প্রতিটি একবার করে আছে।

∴ বিন্যাস সংখ্যা = 5!/2! = (5 × 4 × 3 × 2 × 1)/(2 × 1) ​= 60

∴ 'SCHOOL' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা 'CLASS' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার = 360/60 = 6 গুণ।

প্রশ্ন: Q = {x : x ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং x² ≤ 22}; Q সেটের উপাদানগুলো হবে-

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
C = {x : x ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং x² < 22}
এবং ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা মানে, …, - 4, - 3, - 2, - 1

এখন, 
Q সেটের উপাদানগুলো হবে সেইসব ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা (negative integers) যাদের বর্গ 22 এর চেয়ে ছোট বা সমান।
আমরা প্রতিটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার বর্গ করে দেখি,
(- 1)² = 1 (যা 22 এর চেয়ে ছোট)
(- 2)² = 4 (যা 22 এর চেয়ে ছোট)
(- 3)² = 9 (যা 22 এর চেয়ে ছোট)
(- 4)² = 16 (যা 22 এর চেয়ে ছোট)
(- 5)² = 25 (যা 22 এর চেয়ে বড়) ; যা গ্রহণযোগ্য নয় 
সুতরাং, যে ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যাগুলোর বর্গ 22 এর চেয়ে ছোট বা সমান, সেগুলো হলো - 1, - 2, - 3, এবং - 4।

অতএব, Q = {- 1, - 2, - 3, - 4}।

প্রশ্ন: ১ থেকে ৪৪০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে দৈবভাবে একটি সংখ্যা নেওয়া হলে সংখ্যাটি বর্গসংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
১ থেকে ৪৪০ পর্যন্ত মোট সংখ্যা = ৪৪০ টি 

১ থেকে ৪৪০ পর্যন্ত পূর্ণবর্গ সংখ্যা = অনুকূল ঘটনা,
=  ১, ৪, ৯, ১৬, ২৫, ৩৬, ৪৯, ৬৪, ৮১, ১০০, ১২১, ১৪৪, ১৬৯, ১৯০, ২২৩, ২৫৬, ২৮৯, ৩২৪, ৩৭১, ৪০০ অর্থাৎ ২০ টি 

∴ নির্ণেয় সম্ভাবনা = ২০/৪৪০ 
= ১/২২ 

APPLE শব্দটিতে মোট 5টি বর্ণ আছে যাদের মধ্যে 2টি p
প্রতিক্ষেত্রে 3টি বর্ণ নিয়ে শব্দগঠন করার ক্ষেত্রে,
(a) দু'টি একই, বাকিগুলো ভিন্ন ভিন্ন
(b) সবগুলো ভিন্ন ভিন্ন
(a) এর ক্ষেত্রে সাজানোর উপায় = 1׳c₁ × 3!/2!
= 3×3 = 9
(b) এর ক্ষেত্রে সাজানোর উপায় = ⁴p₃ = 24
∴ মোট সাজানোর উপায় = 9+24 = 33

প্রশ্ন: একটি ক্লাসে ছাত্র ও ছাত্রী অনুপাত ৫ : ৩। যদি ৪ জন ছাত্র এবং ৬ জন ছাত্রী নতুন ভর্তি হয়, তাহলে অনুপাত হয়ে যায় ৩ : ২। প্রথমে ছাত্র সংখ্যা কত ছিল?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ছাত্র ও ছাত্রী অনুপাত ৫ : ৩

ধরি,
ছাত্র ও ছাত্রী সংখ্যা যথাক্রমে = ৫ক ও ৩ক

এখন,
৪ জন ছাত্র নতুন ভর্তি হলে ছাত্র সংখ্যা হবে = (৫ক + ৪)
৬ জন ছাত্রী নতুন ভর্তি হলে ছাত্রী সংখ্যা হবে = (৩ক + ৬)

প্রশ্নমতে,
(৫ক + ৪) : (৩ক + ৬) = ৩ : ২
⇒ (৫ক + ৪)/(৩ক + ৬) = ৩/২
⇒ ২(৫ক + ৪) = ৩(৩ক + ৬)
⇒ ১০ক + ৮ = ৯ক + ১৮
⇒ ১০ক - ৯ক = ১৮ - ৮
⇒ ক = ১০

সুতরাং, প্রথমে ছাত্র সংখ্যা ছিল = ৫ক = (৫ × ১০) = ৫০ জন।

প্রথম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d হলে,
a + (7 - 1)d = 24
a + 6d = 24
আবার, 7/2{2a + (7 - 1)d} = 105
7/2(2a + 6d) = 105
(a + a + 6d) = 30
a + 24 = 30
a = 6
d = 3
দ্বিতীয় পদ = a + d = 6 + 3 = 9

প্রশ্ন: a - b = 2 হলে, a³ - b³ - 6ab এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
 a - b = 2

প্রদত্ত রাশি, a³ - b³ - 6ab
= (a - b)³ + 3ab(a - b) - 6ab
= (2)³ + 3ab ×2 - 6ab
= 8 + 6ab - 6ab
= 8

প্রশ্ন: log₂√6 + log₂√(2/3) = কত? 

সমাধান: 
log₂√6 + log₂√(2/3)
= log₂{√6 × √(2/3)} 
= log₂{(√6 × √2)/√3}
= log₂{(√3 × √2 × √2)/√3}
= log₂(√2 × √2)
= log₂(√2)²
= log₂2
= 1

ধরি, সংখ্যাটি x
প্রশ্নমতে,
x এর 40%+42 = x
⇒ 40x/100 + 42 = x
⇒ (40x+4200)/100 = x
⇒ 40x+4200 = 100x
⇒ 100x - 40x = 4200
⇒ 60x = 4200
∴ x = 70

প্রশ্ন: 3 + 6 + 9 + ........... ধারাটির কততম পদ 36? 

সমাধান: 
এখানে, 
​প্রথম পদ, a = 3 
সাধারণ অন্তর, d = 6 - 3 = 3 

ধরি, 
​ধারার n তম পদ = 36 
​
শর্তমতে,
a + (n - 1)d = 36
বা, 3 + (n - 1)3 = 36
বা, (n - 1)3 = 33
বা, n - 1 = 11
∴ n = 12
​
​∴ ধারাটির 12 তম পদ 36  ।