বীজগণিত

PrepBank · পাতা ১০০ / ২০১ · ৯,৯০১–১০,০০০ / ২০,২০৭

৯,৯০১.

একটি স্কুলের মাসিক সভা শেষে উপস্থিত ম্যানেজিং কমিটির সদস্যবৃন্দ প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে করমর্দন করলো। সদস্যের সংখ্যা 16 হলে, করমর্দনের সংখ্যা কত?

ক
100
খ
120
গ
150
ঘ
240

সঠিক উত্তর: খ

120

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

120

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি স্কুলের মাসিক সভা শেষে উপস্থিত ম্যানেজিং কমিটির সদস্যবৃন্দ প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে করমর্দন করলো। সদস্যের সংখ্যা 16 হলে, করমর্দনের সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
লোকজনের সংখ্যা, n = 16

∴ করমর্দনের = ⁿC₂ = ¹⁶C₂
= 16!/{2!(16 - 2)!}
= 16!/(2! × 14!)
= 120

৯,৯০২.

a²- b²+ 2b - 1 এর একটি উৎপাদক-

ক
ক) (a - 2b + 1)
খ
খ) (a - b + 1)
গ
গ) (2a - b + 1)
ঘ
ঘ) (a - b + 2)

সঠিক উত্তর: খ

খ) (a - b + 1)

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ) (a - b + 1)

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a²- b²+ 2b - 1 এর একটি উৎপাদক-

সমাধান:
a² - b² + 2b - 1
= a² - (b² - 2b + 1)
= a² - (b - 1)²
= {a + (b - 1)}{a - (b - 1)}
= (a + b - 1)(a - b + 1)

৯,৯০৩.

a + b = 4 এবং a - b = √2 হলে, √(a² + b²) = ?

ক
ক) 16
খ
খ) 2
গ
গ) 4√2
ঘ
ঘ) 3

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) 3

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) 3

ঘ

ব্যাখ্যা

2 (a² + b²)
= (a + b)² + (a - b)²
= 4² + (√2)²
= 16 + 2
= 18
বা, a² + b²= 9
∴ √a² + b² = 3

৯,৯০৪.

A = {x ∈ N : x² > 8, x³ < 30} হলে A সেটের তালিকা পদ্ধতি কোনটি?

ক
{ }
খ
{ 3 }
গ
{1, 2, 3, 4, 5, ... ... ... }
ঘ
{ 3, 5 }

সঠিক উত্তর: খ

{ 3 }

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

{ 3 }

খ

ব্যাখ্যা

x² > 8; এই শর্তে x এর মানের সেট P হলে, P = {3, 4, 5 .......}
x³ < 30; এই শর্তে x এর মানের সেট Q হলে, Q = {1, 2, 3}
উভয় শর্তে x এর মানের সেট, A = P ∩ Q
= {3, 4, 5 .......} ∩ {1, 2, 3}
= {3}

৯,৯০৫.

625(√5)^2x = 1 হলে x এর মান কত?

ক
ক) -3
খ
খ) 3
গ
গ) -4
ঘ
ঘ) 4

সঠিক উত্তর: গ

গ) -4

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) -4

গ

ব্যাখ্যা

625(√5)^2x = 1
বা, (√5)^2x = 1/625
বা, (√5)^2x = 1/(5×5×5×5)
বা, (√5)^2x = 1/(√5)⁸
বা, (√5)^2x = (√5)^-8
বা, 2x = -8
বা, x = -4

৯,৯০৬.

১ থেকে ৯৯ পর্যন্ত সংখ্যার যোগফল কত?

ক
১০৬০
খ
২৯৫০
গ
৪৯৫০
ঘ
৫০৫০

সঠিক উত্তর: গ

৪৯৫০

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

৪৯৫০

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১ থেকে ৯৯ পর্যন্ত সংখ্যার যোগফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
1 থেকে n পর্যন্ত সংখ্যার যোগফল = n(n + 1)/2

১ থেকে ৯৯ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর যোগফল = {৯৯ × (৯৯ + ১)}/২
= (৯৯ × ১০০)/২
= ৯৯ × ৫০
= ৪৯৫০

৯,৯০৭.

log_a(9/16) = − (1/2) হয়, তবে a এর মান কত?

ক
3
খ
128/27
গ
256/81
ঘ
- (3/4)

সঠিক উত্তর: গ

256/81

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

256/81

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_a(9/16) = − (1/2) হয়, তবে a এর মান কত?

সমাধান:
log_a(9/16) = − (1/2)
⇒ a^{− (1/2)} = 9/16
⇒ 1/√a = 9/16
⇒ √a = 16/9
⇒ a = (16/9)²
∴ a = 256/81

৯,৯০৮.

- 9 < a < - 1 হলে, পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ-

ক
।a + 3। < 2
খ
।a + 5। < 4
গ
।a + 4। < 3
ঘ
।a + 2। < 1

সঠিক উত্তর: খ

।a + 5। < 4

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

।a + 5। < 4

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: - 9 < a < - 1 অসমতাটির পরম মান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ হবে-

সমাধান:
গড় = (- 9 - 1)/2 = - 5
গড় ঋণাত্মক হওয়ায় প্রত্যেকের সাথে 5 যোগ করতে হবে।

- 9 < a < - 1
⇒ - 9 + 5 < a + 5 < -1 + 5
⇒ - 4 < a + 5 < 4
∴ ।a + 5। < 4

৯,৯০৯.

(1000)^x/3 = 100 হলে x এর মান কত?

ক
ক) 1
খ
খ) 2
গ
গ) 3/2
ঘ
ঘ) 3

সঠিক উত্তর: খ

খ) 2

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ) 2

খ

ব্যাখ্যা

(1000)^x/3 = 100
বা, 10^3x/3 = 10²
বা, 3x/3 = 2
বা, 3x = 6
∴ x = 2

৯,৯১০.

3^{(p + 4)} - 3^{(p + 2)} = 8 হলে, p এর মান কত?

ক
1
খ
- 1
গ
2
ঘ
- 2

সঠিক উত্তর: ঘ

- 2

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

- 2

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3^{(p + 4)} - 3^{(p + 2)} = 8 হলে, p এর মান কত?

সমাধান:
3^{(p + 4)} - 3^{(p + 2)} = 8
⇒ (3^p × 3⁴) - (3^p × 3²) = 8
⇒ 3^p(3⁴ - 3²) = 8
⇒ 3^p(81 - 9) = 8
⇒ 3^p × 72 = 8
⇒ 3^p = 8/72
⇒ 3^p = 1/9
⇒ 3^p = 1/3²
∴ p = -2

৯,৯১১.

A ও B যথাক্রমে 18 ও 30 এর সকল গুণনীয়কের সেট হলে, (A ∩ B) এর মান কত?

ক
ক) {1, 2, 3}
খ
খ) {1, 2, 3, 6}
গ
গ) {1, 2, 3, 5, 6,}
ঘ
ঘ) {1, 2, 3, 5}

সঠিক উত্তর: খ

খ) {1, 2, 3, 6}

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ) {1, 2, 3, 6}

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A ও B যথাক্রমে 18 ও 30 এর সকল গুণনীয়কের সেট হলে, (A ∩ B) এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
18 = 1 × 18 = 2 × 9 = 3 × 6
18 এর গুণনীয়কগুলো 1, 2, 3, 6, 9, 18
∴ A = {1, 2, 3, 6, 9, 18}

আবার,
30 = 1 × 30 = 2 × 15 = 3 × 10 = 5 × 6
30 এর গুণনীয়কগুলো 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
∴ B = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}

∴ A ∩ B = {1, 2, 3, 6, 9, 18} ∩ {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
= {1, 2, 3, 6}

৯,৯১২.

3, 4, 7, 8, 11, 12, ... পরবর্তী সংখ্যাটি কত?

ক
18
খ
16
গ
15
ঘ
17

সঠিক উত্তর: গ

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ

ব্যাখ্যা

এখানে
দুটি সিরিজ বিদ্যমান
১ম সিরিজ = 3, 7,11, ...
যা 4 করে বাড়ছে

২য় সিরিজ = 4, 8, 12, ...
যা 4 করে বাড়ছে

৯,৯১৩.

ক
1
খ
2
গ
0
ঘ
- 2

সঠিক উত্তর: গ

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৯,৯১৪.

7 জন পুরুষ ও 6 জন মহিলা হতে 5 সদস্যবিশিষ্ট একটি কমিটি কতভাবে নির্বাচিত করা যায় যেন কমিটিতে কমপক্ষে 3 জন পুরুষ থাকে?

ক
ক) 735
খ
খ) 645
গ
গ) 756
ঘ
ঘ) 576

সঠিক উত্তর: গ

গ) 756

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) 756

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 7 জন পুরুষ ও 6 জন মহিলা হতে 5 সদস্যবিশিষ্ট একটি কমিটি কতভাবে নির্বাচিত করা যায় যেন কমিটিতে কমপক্ষে 3 জন পুরুষ থাকে?

সমাধান:
পুরুষ (7) মহিলা (6)
1) 3 2
2) 4 1
3) 5 0

∴ মোট কমিটি নির্বাচন করা যাবে = (⁷C₃ × ⁶C₂) + (⁷C₄ × ⁶C₁) + (⁷C₅ × ⁶C₀)
= (35 × 15) + (35 × 6) + (21 × 1)
= 756

৯,৯১৫.

5, 6, 7, 8, 9 এই অঙ্কগুলো দ্বারা কতোগুলো 3 অঙ্কের বিজোড় সংখ্যা গঠিত হতে পারে যেখানে, অঙ্কগুলোর পুনরাবৃত্তি হতে পারে?

ক
70
খ
65
গ
85
ঘ
75

সঠিক উত্তর: ঘ

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5, 6, 7, 8, 9 এই অঙ্কগুলো দ্বারা কতোগুলো 3 অঙ্কের বিজোড় সংখ্যা গঠিত হতে পারে যেখানে, অঙ্কগুলোর পুনরাবৃত্তি হতে পারে?

সমাধান:
ধরি,
অঙ্ক 3 টি হলো যথাক্রমে H T U (শতক, দশক, একক অঙ্ক)
3 অঙ্কের বিজোড় সংখ্যা গঠন করতে-
কেবলমাত্র 5, 7, 9 কে একক অঙ্কের স্থানে ব্যবহার করা সম্ভব।
শতক এবং দশকের স্থানে 5 টি অঙ্কই ব্যবহার করা সম্ভব।

একক অঙ্কের জন্য সম্ভাব্য অঙ্ক = 3
দশক অঙ্কের জন্য সম্ভাব্য অঙ্ক = 5
শতক অঙ্কের জন্য সম্ভাব্য অঙ্ক = 5

3 অঙ্কের বিজোড় সংখ্যার সংখ্যা = 3 × 5 × 5 = 75
∴ 5, 6, 7, 8, 9 এই অঙ্কগুলো দ্বারা 75 টি 3 অঙ্কের বিজোড় সংখ্যা গঠিত হতে পারে, যদি অঙ্কগুলোর পুনরাবৃত্তি সম্ভব হয়।

৯,৯১৬.

0 < x < 1 হলে কোনটি ক্ষুদ্রতম?

ক
ক) x
খ
খ) 1/x
গ
গ) x²
ঘ
ঘ) 1/x²

সঠিক উত্তর: গ

গ) x²

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) x²

গ

ব্যাখ্যা

ধরি,
x = 1/2
∴ x² = 1/4,
1/x = 2,
1/x² = 4
∴ x² < x < 1/x < 1/x²

৯,৯১৭.

z = x + iy হলে, ।z + 1। - ।z - 1। = 0 সমীকরণটি কোনটি নির্দেশ করে?

ক
পরাবৃত্ত
খ
x অক্ষরেখা
গ
y অক্ষরেখা
ঘ
অধিবৃত্ত

সঠিক উত্তর: গ

y অক্ষরেখা

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

y অক্ষরেখা

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: z = x + iy হলে, |z + 1| - |z - 1| = 0 সমীকরণটি কোনটি নির্দেশ করে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
z = x + iy
⇒ |z + 1| - |z - 1| = 0
⇒ |z + 1| = |z - 1|
⇒ √[(x + 1)² + y²] = √[(x - 1)² + y²]
⇒ [(x + 1)² + y²] = [(x - 1)² + y²]
⇒ x² + 2x + 1 = x² - 2x + 1
⇒ 4x = 0
∴ x = 0

x = 0 হচ্ছে y অক্ষের সমীকরণ।

নির্ণেয় উত্তর, y অক্ষের সমীকরণ

৯,৯১৮.

3 + 6 + 12 + ......... গুণোত্তর ধারাটির 7 তম পদ কত?

ক
184
খ
192
গ
224
ঘ
164

সঠিক উত্তর: খ

192

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

192

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3 + 6 + 12 + ......... গুণোত্তর ধারাটির 7 তম পদ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রদত্ত ধারাটির প্রথম পদ, a = 3,
সাধারণ অনুপাত, r = 6/3 = 2

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = a × r^{(n - 1)}
∴ ধারাটির 7তম পদ = 3 × 2^{(7 - 1)}
= 3 × 2⁶
= 3 × 64
= 192

৯,৯১৯.

যদি A = {1, 2, 3, 4}, B = {0, 2, 4} এবং A ও B এর উপাদানগুলোর মধ্যে x = y - 1 সম্পর্ক বিবেচনায় থাকে, তবে সংশ্লিষ্ট অন্বয় নির্ণয় করুন।

ক
{(1, 2)}
খ
{(1, 2), (2, 3), (3, 4)}
গ
{(1, 2), (3, 4)}
ঘ
{}

সঠিক উত্তর: গ

{(1, 2), (3, 4)}

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

{(1, 2), (3, 4)}

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি A = {1, 2, 3, 4}, B = {0, 2, 4} এবং A ও B এর উপাদানগুলোর মধ্যে x = y - 1 সম্পর্ক বিবেচনায় থাকে, তবে সংশ্লিষ্ট অন্বয় নির্ণয় করুন।

৯,৯২০.

একটি থলিতে 6 টি নীল বল, 8 টি সাদা বল ও 10 টি লাল বল আছে। দৈবভাবে একটি বল তুললে সেটি সাদা না হওয়ার সম্ভাব্যতা কত?

ক
ক) 1/3
খ
খ) 3/4
গ
গ) 1/2
ঘ
ঘ) 2/3

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) 2/3

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) 2/3

ঘ

ব্যাখ্যা

মোট বল সংখ্যা (6+8+10) = 24 টি।
সাদা বলের সংখ্যা 8 টি।
∴ বলটি সাদা হওয়ার সম্ভাব্যতা 8/24 = 1/3
∴ বলটি সাদা না হওয়ার সম্ভাব্যতা = 1 - 1/3 = 2/3

৯,৯২১.

2 + 5 + 8 + 11 +......... ধারাটির n পদের সমষ্টি কত?

ক
n(3n - 1)/2
খ
n(n + 1)
গ
n(3n + 1)/2
ঘ
3n²

সঠিক উত্তর: গ

n(3n + 1)/2

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

n(3n + 1)/2

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2 + 5 + 8 + 11 +......... ধারাটির n পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা।
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ, a = 2
সাধারণ অন্তর, d = 5 - 2 = 3

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি,
S_n = n/2 [2a + (n - 1)d]
∴ S_n = n/2 [2 × 2 + {(n - 1) × 3}]
= n/2 (4 + 3n - 3)
= n/2 (3n + 1)
= n(3n + 1)/2

সুতরাং, ধারাটির n পদের সমষ্টি হলো n(3n + 1)/2

৯,৯২২.

কোনো সমান্তর অনুক্রমের সাধারণ অন্তর 10 এবং 6 তম পদটি 52 হলে 15 তম পদটি কত?

ক
ক) 136
খ
খ) 138
গ
গ) 140
ঘ
ঘ) 142

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) 142

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) 142

ঘ

ব্যাখ্যা

সমান্তর অনুক্রমের সাধারণ অন্তর d = 10
6 তম পদ = 52
6 তম পদ =a + (6 - 1)d
52 = a + 5d
52 = a + 5 × 10
52 = a + 50
52 - 50 = a
2 = a
a = 2

15 তম পদ = a +(15 - 1)d
= 2 + 14 × 10
= 2 + 140
= 142

৯,৯২৩.

4^x+4^x+4^x+4^x এর মান কত?

ক
ক) 4^x
খ
খ) 4^x+1
গ
গ) 4^x+4
ঘ
ঘ) 4^x+6

সঠিক উত্তর: খ

খ) 4^x+1

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ) 4^x+1

খ

ব্যাখ্যা

4^x+4^x+4^x+4^x
= 4^x(1+1+1+1)
= 4^x.4¹
=4^x+1

৯,৯২৪.

যদি a = 3, m = 2 এবং n = 1 হয়, তবে (a^m)ⁿ এর মান কত?

ক
3
খ
5
গ
8
ঘ
9

সঠিক উত্তর: ঘ

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি a = 3, m = 2 এবং n = 1 হয়, তবে (a^m)ⁿ এর মান কত?

সমাধান:
(a^m)ⁿ
= (3²)¹ [a, m এবং n এর মান বসিয়ে]
= 3^{2 × 1} [(a^m)ⁿ = a^mn সূত্রানুসারে]
= 3²
= 3 × 3
= 9

৯,৯২৫.

যদি P(A ∩ B) = 0.33, P(A ∪ B) = 0.83, P(A) = 0.5 হয়, তাহলে P(B) =?

ক
0.43
খ
0.66
গ
0.25
ঘ
0.375

সঠিক উত্তর: খ

0.66

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

0.66

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি P(A ∩ B) = 0.33, P(A ∪ B) = 0.83, P(A) = 0.5 হয়, তাহলে P(B) =?

সমাধান:
এখানে,
P(A ∩ B) ≠ 0 তাই, A ও B অবর্জনশীল বা অবিচ্ছিন্ন ঘটনা।
আমরা জানি,
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
⇒ P(B) = P(A ∪ B) + P(A ∩ B) - P(A)
= 0.83 + 0.33 - 0.5
= 1.16 - 0.5
= 0.66

৯,৯২৬.

x²- 5x + 6 < 0 এর সমাধান নিচের কোনটি?

ক
1 < x < 3
খ
0 < x < 5
গ
2 < x < 5
ঘ
2 < x < 3

সঠিক উত্তর: ঘ

2 < x < 3

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

2 < x < 3

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x²- 5x + 6 < 0 এর সমাধান নিচের কোনটি?

সমাধান:
x²- 5x + 6 < 0
⇒ x²- 3x - 2x + 6 < 0
⇒(x-3)(x-2) < 0
(x - 3)(x - 2) এর যে কোন একটি মান ঋণাত্মক হলে অসমতা টি সত্য হবে।
x < 2 এবং x > 3 এর ক্ষেত্রে (x - 3)(x - 2) এর মান ধনাত্মক হয় এবং 2<x<3 এর ক্ষেত্রে (x - 3)(x - 2) এর মান ঋণাত্মক হয়।
∴ নির্ণেয় অসমতা = 2 < x < 3

৯,৯২৭.

(2x + 3y, 8) = (7, 5x - 2y) হলে, (x, y) = কত?

ক
(2, 1)
খ
(3, 1)
গ
(1, 2)
ঘ
(1, 3)

সঠিক উত্তর: ক

(2, 1)

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

(2, 1)

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (2x + 3y, 8) = (7, 5x - 2y) হলে, (x, y) = কত?

সমাধান:
2x + 3y = 7 ...... (1)
5x - 2y = 8 ...... (2)

(1) নং × 2 + (2) নং × 3 ⇒
4x + 6y + 15x - 6y = 14 + 24
⇒ 19x = 38
∴ x = 2

x এর মান (1)নং বসিয়ে পাই,
4 + 3y = 7
⇒ 3y = 3
∴ y = 1

∴ (x, y) = (2, 1)

৯,৯২৮.

কোনো পরীক্ষার্থীয় ২০% গণিতে এবং ৩০% বাংলায় ফেল করলো। উভয় বিষয়ে পাস করলো ৬০%, উভয় বিষয়ে শতকরা কত জন ফেল করলো?

ক
ক) ৫%
খ
খ) ১০%
গ
গ) ২০%
ঘ
ঘ) ২৫%

সঠিক উত্তর: খ

খ) ১০%

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ) ১০%

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো পরীক্ষার্থীয় ২০% গণিতে এবং ৩০% বাংলায় ফেল করলো। উভয় বিষয়ে পাস করলো ৬০%, উভয় বিষয়ে শতকরা কত জন ফেল করলো?

সমাধান:
গণিতে পাশ = ১০০% - ২০% = ৮০%
শুধু গণিতে পাশ = (৮০ - ৬০)% = ২০%

বাংলায় পাশ = (১০০ - ৩০)% = ৭০%
শুধু বাংলায় পাশ = (৭০ - ৬০)% = ১০%

এক এবং উভয় বিষয়ে পাশ = (২০ + ১০ + ৬০)% = ৯০%
∴ উভয় বিষয়ে ফেল = (১০০ - ৯০)% = ১০%

৯,৯২৯.

ক
ক) 2√5
খ
খ) 3√5
গ
গ) 2√2
ঘ
ঘ) 2√3

সঠিক উত্তর: ক

ক) 2√5

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

ক) 2√5

ক

৯,৯৩০.

2log₁₀5 + log₁₀32 - log₁₀8 = ?

ক
ক) 10
খ
খ) 5
গ
গ) 2
ঘ
ঘ) 1

সঠিক উত্তর: গ

গ) 2

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) 2

গ

ব্যাখ্যা

2log₁₀5 + log₁₀32 - log₁₀8 =?

সমাধান:
2log₁₀5 + log₁₀32 - log₁₀8
= log₁₀5² + log₁₀32 - log₁₀8
= log₁₀25 + log₁₀32 - log₁₀8
= log₁₀{(25 × 32)/8}
= log₁₀{(25 × 32)/8}
= log₁₀100
= log₁₀10²
= 2 log₁₀10
= 2

৯,৯৩১.

|3a + 2| < 7 অসমতাটির সমাধান কত?

ক
1 < a < 2
খ
5 < a < 6
গ
- 3 < a < 5/3
ঘ
- 1 < a < 5/3

সঠিক উত্তর: গ

- 3 < a < 5/3

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

- 3 < a < 5/3

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |3a + 2| < 7 অসমতাটির সমাধান কত?

সমাধান:
|3a + 2| < 7
বা, - 7 < 3a + 2 < 7
বা, - 7 - 2 < 3a + 2 - 2 < 7 - 2
বা, - 9 < 3a < 5
বা, - 3 < x< 5/3

∴ নির্ণেয় সমাধান: - 3 < a < 5/3

৯,৯৩২.

x + xy + 2y + 2y² এর উৎপাদক কত?

ক
x² + 2xy
খ
x + y
গ
(1 + y)(x + 2y)
ঘ
2y + x

সঠিক উত্তর: গ

(1 + y)(x + 2y)

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

(1 + y)(x + 2y)

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + xy + 2y + 2y² এর উৎপাদক কত?

সমাধান:
x + xy + 2y + 2y²
= x(1 + y) + 2y(1 + y)
=(1 + y)(x + 2y)

৯,৯৩৩.

একটি সংখ্যার তিন গুণের সাথে দ্বিগুণ যোগ করলে ৯০ হয়, সংখ্যাটি কত?

ক
১৮
খ
১৬
গ
২০
ঘ
২৪

সঠিক উত্তর: ক

১৮

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

১৮

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার তিন গুণের সাথে দ্বিগুণ যোগ করলে ৯০ হয়, সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
সংখ্যাটি x
প্রশ্নমতে,
৩x + ২x = ৯০
বা, ৫x = ৯০
∴ x = ১৮

৯,৯৩৪.

কোনো অনুক্রমের n-তম পদ {1 - (- 1)ⁿ}/2 হলে, 18তম পদ কত?

ক
ক) 1
খ
খ) - 1
গ
গ) 0
ঘ
ঘ) 1/2

সঠিক উত্তর: গ

গ) 0

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) 0

গ

ব্যাখ্যা

n-তম পদ {1 - (- 1)ⁿ}/2
18 -তম পদ = {1 - (- 1)¹⁸}/2
= {1 - (1)}/2
= (1 - 1)/2
= 0/2
= 0

৯,৯৩৫.

(9x² + 6x + 1 = 0) সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?

ক
বাস্তব ও সমান
খ
অবাস্তব ও অসমান
গ
বাস্তব ও অসমান
ঘ
অমূলদ ও অসমান

সঠিক উত্তর: ক

বাস্তব ও সমান

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

বাস্তব ও সমান

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (9x² + 6x + 1 = 0) সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণটি হলো 9x² + 6x + 1 = 0
এই সমীকরণটিকে ax2 + bx + c = 0 আদর্শ রূপের সাথে তুলনা করে পাই,
a = 9
b = 6
c = 1

এখন, সমীকরণের নিশ্চায়ক (D) নির্ণয় করি।
D = b² - 4ac
= (6)² - 4 × 9 × 1
= 36 - 36
= 0

যেহেতু, নিশ্চায়ক (D) এর মান শূন্য, তাই মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
∴ মূলদ্বয়ের প্রকৃতি: বাস্তব ও সমান।

৯,৯৩৬.

একটি ব্যাগে 7 টি লাল ও 5টি সাদা বল আছে। দৈবভাবে 4 টি বল তোলা হলে তাদের মধ্য 2 টি লাল এবং 2 টি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
ক) 34/33
খ
খ) 33/14
গ
গ) 14/33
ঘ
ঘ) 32/65

সঠিক উত্তর: গ

গ) 14/33

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) 14/33

গ

ব্যাখ্যা

7 টি লাল বল থেকে 2 টি লাল বল পাওয়ার সম্ভাবনা = ⁷C₂ = 21
5 টি সাদা বল থেকে 2 টি সাদা বল পাওয়ার সম্ভাবনা = ⁵C₂ = 10
∴2 টি লাল এবং 2 টি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা = (21 × 10) ÷ ¹²C₄ = 14/33

৯,৯৩৭.

১ + ২ + ৩ + ৪ + ......... + ৯৮ = কত?

ক
৪৬৪৩
খ
৪৮২১
গ
৪৮৫১
ঘ
৪৮৬০

সঠিক উত্তর: গ

৪৮৫১

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

৪৮৫১

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১ + ২ + ৩ + ৪ + ......... + ৯৮ = কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল = {n(n + 1)}/2
= {৯৮((৯৮ + ১)}/২
= ৪৮৫১

৯,৯৩৮.

করলে, ভাগফল কত?

ক
ক)
খ
খ)
গ
গ)
ঘ
ঘ)

সঠিক উত্তর: ক

ক)

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

ক)

ক

৯,৯৩৯.

2x² - 7x + 3 = 0 সমীকরণে মূলদ্বয়ের প্রকৃতি নির্ণয় কর।

ক
অবাস্তব
খ
বাস্তব ও সমান
গ
বাস্তব ও অসমান
ঘ
পূর্ণ বর্গ সংখ্যা

সঠিক উত্তর: গ

বাস্তব ও অসমান

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

বাস্তব ও অসমান

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2x²- 7x + 3 = 0 সমীকরণে মূলদ্বয়ের প্রকৃতি নির্ণয় কর।

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণটি হলো
2x² - 7x + 3 = 0

এখানে,
a = x² এর সহগ = 2
b = x এর সহগ = - 7
c = ধ্রুবক = 3

নিশ্চায়ক (Discriminant),
b² - 4ac
= (- 7)² - 4 × 2 × 3
= 49 - 24
= 25

এখানে,
25 > 0 এবং 25 একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা।
অতএব, নিশ্চায়ক ধনাত্মক ও পূর্ণবর্গ হওয়ায় সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ।
সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ।

৯,৯৪০.

'MATHEMATICS' শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?

ক
ক) 142360
খ
খ) 132096
গ
গ) 100800
ঘ
ঘ) 120960

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) 120960

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) 120960

ঘ

ব্যাখ্যা

'MATHEMATICS' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 11টি
Vowel আছে 4টি
Vowel চারটিকে একটি ধরে মোট বর্ণ 8টি
8টি বর্ণকে সাজানো যায় = 8!/2!2! [M = 2টি, T = 2টি]
= 40320/4
= 10080

Vowel চারটিকে সাজানো যায় =4!/2! [A = 2টি]
= 12

স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট সাজানো যাবে = 10080 × 12
=120 × 6
= 120960

৯,৯৪১.

SOLUTION শব্দটিকে কত প্রকারে সাজানো যাবে?

ক
820
খ
5050
গ
10180
ঘ
20160

সঠিক উত্তর: ঘ

20160

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

20160

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: SOLUTION শব্দটিকে কত প্রকারে সাজানো যাবে?

সমাধান:
SOLUTION শব্দটিতে O আছে দুইবার এবং বাকি বর্ণগুলো একবার ব্যবহার করা হয়েছে।

SOLUTION শব্দটিকে সাজানোর উপায় = 8!/2!
= (8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2!)/2!
= (8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3)
= 20160

৯,৯৪২.

7 + 12 + 17 + 22 +..……….ধারাটির কোন পদ 297?

ক
60 তম
খ
57 তম
গ
59 তম
ঘ
61 তম

সঠিক উত্তর: গ

59 তম

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

59 তম

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 7 + 12 + 17 + 22 +.……….ধারাটির কোন পদ 297?

সমাধান:
ধরি,
n তম পদ = 297
এখানে,
১ম পদ, a = 7,
সাধারণ অন্তর, d = 12 - 7 = 5

প্রশ্নমতে,
a + (n - 1)d = 297
বা, 7 + (n - 1) × 5 = 297
বা, (n - 1) × 5 = 297 - 7
বা, (n - 1) × 5 = 290
বা, (n - 1) = 290/5
বা, n - 1 = 58
∴ n = 59

৯,৯৪৩.

নিচের কোনটি 64 - 144y + 108y² - 27y³ এর একটি উৎপাদক?

ক
(4 + 3y)
খ
(4 - 3y)
গ
(5 - 3y)
ঘ
(6 - 5y)

সঠিক উত্তর: খ

(4 - 3y)

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

(4 - 3y)

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি 64 - 144y + 108y² - 27y³ এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
64 - 144y + 108y² - 27y³
= 4³ - 3 × 4² × 3y + 3 × 4 × (3y)² - (3y)³
= (4 - 3y)³
= (4 - 3y) (4 - 3y) (4 - 3y)

৯,৯৪৪.

9x² + 18x - 40 এর উৎপাদক নিচের কোনটি?

ক
ক) (10x - 3)(x - 4)
খ
খ) (10x - 3)(3x - 4)
গ
গ) (3x + 10)(3x - 4)
ঘ
ঘ) (3x + 10)(4x - 3)

সঠিক উত্তর: গ

গ) (3x + 10)(3x - 4)

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) (3x + 10)(3x - 4)

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 9x² + 18x - 40 এর উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান:
(3x)² + 2.3x.3 + 3² - 40 - 9
= (3x + 3)² - 49
= (3x + 3)² - 7²
= (3x + 3 + 7)(3x + 3 - 7)
= (3x + 10)(3x - 4)

৯,৯৪৫.

1, 4, 7, ……. ধারার 29 তম পদ কোনটি?

ক
ক) 79
খ
খ) 82
গ
গ) 85
ঘ
ঘ) 88

সঠিক উত্তর: গ

গ) 85

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) 85

গ

ব্যাখ্যা

এটি একটি সমান্তর ধারা যার
১ম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 4-1 = 3
আমরা জানি,
n তম পদ = a+(n-1)d
∴ 29 তম পদ = 1+(29-1)3 = 85

৯,৯৪৬.

৩০ এবং ৬০ এর হারমোনিক গড় কত হবে?

ক
ক) ৩০
খ
খ) ৪৫
গ
গ) ৪০
ঘ
ঘ) ৫০

সঠিক উত্তর: গ

গ) ৪০

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) ৪০

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৩০ এবং ৬০ এর হারমোনিক গড় কত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
হারমোনিক গড় =

∴ 30 এবং 60 এর হারমোনিক গড় = 2/(1/30 + 1/60)
= 2/(3/60)
= 2 × (60/3)
= 40

৯,৯৪৭.

4log(2) + 2log(3/5) - log(4/25) = কত?

ক
2log4
খ
5log2
গ
2log6
ঘ
5log4

সঠিক উত্তর: গ

2log6

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

2log6

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4log(2) + 2log(3/5) - log(4/25) = কত?

সমাধান:

৯,৯৪৮.

a³ - b³ এর সূত্র কোনটি?

ক
ক) (a - b)³ + 3ab(a - b)
খ
খ) (a + b)³ - 3ab(a + b)
গ
গ) (a + b)(a² - ab + b²)
ঘ
ঘ) (a - b)(a² + ab + b²)

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) (a - b)(a² + ab + b²)

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) (a - b)(a² + ab + b²)

ঘ

ব্যাখ্যা

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
প্রমান:
(a - b)(a² + ab + b²)
= a(a² + ab + b²) - b(a² + ab + b²)
= a³ + a²b + ab² - a²b - ab² - b³
= a³ - b³
উল্লেখ্য, (a - b)³+ 3ab(a - b) প্রশ্নে উল্লিখিত সূত্রের একটি অনুসিদ্ধান্ত।

৯,৯৪৯.

SINOVAC শব্দের সবগুলো অক্ষর একত্রে নিয়ে গঠিত বিন্যাস সংখ্যা, VACCINE শব্দের সবগুলো অক্ষর একত্রে নিয়ে গঠিত বিন্যাস সংখ্যার কতগুণ?

ক
ক) 4 গুন
খ
খ) 2 গুন
গ
গ) অর্ধেক
ঘ
ঘ) 3 গুন

সঠিক উত্তর: খ

খ) 2 গুন

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ) 2 গুন

খ

ব্যাখ্যা

SINOVAC শব্দে 7 টি বিভিন্ন অক্ষর আছে যাদেরকে সাজানোর উপায় 7!
VACCINE শব্দে 7 টি বর্ণ আছে যাদের ২টি C সুতরাং এক্ষেত্রে সাজানোর উপায় 7!/2!
∴ ১ম বিন্যাস/২য় বিন্যাস = 7! × 2!/7!
= 2!
= 2

৯,৯৫০.

5 জন বালক ও 2 জন বালিকাকে এক সারিতে রেখে কতভাবে সাজানো যায় যেখানে 2 জন বালিকা সর্বদা একত্রে থাকবে?

ক
1440
খ
5040
গ
720
ঘ
2880

সঠিক উত্তর: ক

1440

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

1440

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5 জন বালক ও 2 জন বালিকাকে এক সারিতে রেখে কতভাবে সাজানো যায় যেখানে 2 জন বালিকা সর্বদা একত্রে থাকবে?

সমাধান:
মোট বালক ও বালিকা = (5 + 2) = 7 জন
2 জন বালিকা একত্রে থাকলে মোট সংখ্যা = (5 + 1) জন
= 6 জন
6 জনকে সাজানো যায় = 6!
2 জন বালিকাকে সাজানো যায় = 2!

∴ 2 জন বালিকা সর্বদা একত্রে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 6! × 2!
= (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) × (2 × 1)
= 720 × 2
= 1440

৯,৯৫১.

x² - 23x + 132 এর উৎপাদক কোনটি?

ক
ক) x - 21
খ
খ) x - 22
গ
গ) x - 11
ঘ
ঘ) x + 12

সঠিক উত্তর: গ

গ) x - 11

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) x - 11

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² - 23x + 132 এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
x² - 23x + 132
= x² - 11x -12x + 132
= x (x - 11) -12 (x - 11)
= (x - 11) (x - 12)

৯,৯৫২.

8 + 16 + 32 + 64 .................. ধারাটির n সংখ্যক পদের সমষ্টি 8184 হলে, n এর মান কত?

ক
8
খ
9
গ
10
ঘ
11

সঠিক উত্তর: গ

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 8 + 16 + 32 + 64 .................. ধারাটির n সংখ্যক পদের সমষ্টি 8184 হলে, n এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ, a = 8
সাধারণ অনুপাত, r = 16/8 = 2 >1

প্রশ্নমতে,
n সংখ্যক পদের সমষ্টি = 8184
⇒ a{(rⁿ - 1)/(r - 1)} = 8184
⇒ 8 × {(2ⁿ - 1)/(2 - 1)} = 8184
⇒ 2ⁿ - 1 = 8184/8
⇒ 2ⁿ = 1023 + 1
⇒ 2ⁿ = 1024
⇒ 2ⁿ = 2¹⁰
∴ n = 10

৯,৯৫৩.

5^{3x - 2}= 15625 হলে x এর মান কত?

ক
6
খ
5
গ
8/3
ঘ
7/3

সঠিক উত্তর: গ

8/3

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

8/3

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5^{3x - 2}= 15625 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
5^{3x - 2} = 15625
⇒ 5^{3x - 2} = 5⁶
⇒ 3x - 2 = 6
⇒ 3x = 8
∴ x = 8/3

৯,৯৫৪.

স্কুলের কোনো ক্লাসের ২০ জন ছাত্রের মধ্যে প্রত্যেকেই হয় ফুটবল খেলে, না হয় ক্রিকেট খেলে অথবা দুটিই খেলে। যদি ১৩ জন ছাত্র ফুটবল খেলে এবং ১০ জন ক্রিকেট খেলে তাহলে কত জন ছাত্র দুটিই খেলে?

ক
৩ জন
খ
৪ জন
গ
৬ জন
ঘ
১০ জন

সঠিক উত্তর: ক

৩ জন

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

৩ জন

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: স্কুলের কোনো ক্লাসের ২০ জন ছাত্রের মধ্যে প্রত্যেকেই হয় ফুটবল খেলে, না হয় ক্রিকেট খেলে অথবা দুটিই খেলে। যদি ১৩ জন ছাত্র ফুটবল খেলে এবং ১০ জন ক্রিকেট খেলে তাহলে কত জন ছাত্র দুটিই খেলে ?

সমাধান:
ফুটবল খেলে n(B) = ১৩ জন
ক্রিকেট খেলেn(C) = ১০ জন
ফুটবল অথবা ক্রিকেট খেলে n(B ∪ C) = ২০ জন
ফুটবল ও ক্রিকেট উভয় খেলে n(B ∩ C) =?

আমরা জানি
n(B ∪ C) = n(B) + n(C) - n(B ∩ C)
২০ = ১৩ + ১০ - n(B ∩ C)
n(B ∩ C) = ২৩ - ২০
n(B ∩ C) = ৩ জন

৯,৯৫৫.

x এর মান কত হলে a(x-a) = b(x-b) হবে?

ক
ক) -a
খ
খ) b - a
গ
গ) a - b
ঘ
ঘ) a + b

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) a + b

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) a + b

ঘ

ব্যাখ্যা

a(x-a) = b(x-b)
or, ax - a² = bx - b²
or, ax - bx = a² - b²
or, x(a - b) = (a + b)(a - b)
So x = a + b

৯,৯৫৬.

9x² + 18x - 40 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

ক
(x + 10)(9x - 4)
খ
(3x + 10)(3x - 4)
গ
(9x - 10)(x + 4)
ঘ
(3x - 10)(3x + 4)

সঠিক উত্তর: খ

(3x + 10)(3x - 4)

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

(3x + 10)(3x - 4)

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 9x² + 18x - 40 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
9x² + 18x - 40
= 9x² + 30x - 12x - 40
= 3x(3x + 10) - 4(3x + 10)
= (3x + 10)(3x - 4)

৯,৯৫৭.

একটি সমান্তর ধারার তৃতীয় পদ ১৩ এবং পঞ্চম পদ ১৯ হলে ধারটি প্রথম ৮টি পদের সমষ্টি কত?

ক
১২৪
খ
১৫৪
গ
১৪০
ঘ
১৭৮

সঠিক উত্তর: গ

১৪০

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

১৪০

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার তৃতীয় পদ ১৩ এবং পঞ্চম পদ ১৯ হলে ধারটি প্রথম ৮টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
মনেকরি
সমান্তর ধারার ১ম পদ a
সাধারণ অন্তর d

দেওয়া আছে,
৩য় পদ = 13
∴ a + (3 - 1)d = 13
a + 2d = 13 ....... (i)

৫ম পদ = 19
∴ a + (5 - 1)d = 19
a + 4d = 19 ...........(ii)

(ii) থেকে (i) নং বিয়োগ করে পাই।
2d = 6
d = 3

(i) নং সমীকরণ হতে পাই,
a = 13 - 6 = 7

৮টি পদের সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
= (8/2){2a + (8 - 1)d}
= 4{2 × 7 + 7 × 3 }
= 4(14 + 21)
= 140

৯,৯৫৮.

2x²−5xy+2y² এর একটি উৎপাদক হবে-

ক
ক) (2x-y)
খ
খ) 2y-x
গ
গ) y-2x
ঘ
ঘ) 3(x-3y)

সঠিক উত্তর: ক

ক) (2x-y)

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

ক) (2x-y)

ক

ব্যাখ্যা

2x² - 5xy + 2y²
= 2x² - 4xy - xy + 2y²
= 2x(x - 2y) - y(x - 2y)
= (x - 2y)(2x - y)

৯,৯৫৯.

কোনো ধারার n তম পদ 3n . 2^{n + 1} হলে ধারাটির প্রথম তিনটি পদের সমষ্টি কত?

ক
202
খ
204
গ
194
ঘ
202

সঠিক উত্তর: খ

204

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

204

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো ধারার n তম পদ 3n . 2^{n + 1} হলে ধারাটির প্রথম তিনটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির n তম পদ = 3n. 2^{n + 1}

১ম পদ = 3 . 1 . 2^{1 + 1}= 3 . 2² = 12
২য় পদ = 3 . 2 . 2^{2 + 1} = 6 . 8 = 48
৩য় পদ = 3 . 3 . 2^{3 + 1} = 144

∴ ধারাটির প্রথম তিনটি পদের সমষ্টি = 12 + 48 + 144
= 204

৯,৯৬০.

x/y - y/x = 4√2 হলে x/y + y/x = ?

ক
ক) 4
খ
খ) 5
গ
গ) 6
ঘ
ঘ) 7

সঠিক উত্তর: গ

গ) 6

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) 6

গ

ব্যাখ্যা

(x/y + y/x)² = (x/y - y/x)² + 4.x/y.y/x
= (4√2)² + 4
= 32 + 4
= 36
∴ (x/y + y/x) = √36
= 6

৯,৯৬১.

2x² - x - 15 এর উৎপাদক হবে-

ক
(x + 6)(x - 5)
খ
(x - 5)(x - 6)
গ
(x + 3)(2x - 5)
ঘ
(2x + 5)(x - 3)

সঠিক উত্তর: ঘ

(2x + 5)(x - 3)

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

(2x + 5)(x - 3)

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2x² - x - 15 এর উৎপাদক হবে-

সমাধান:
2x² - x - 15
= 2x² - 6x + 5x - 15
= 2x(x - 3) + 5(x - 3)
= (x - 3)(2x + 5)

৯,৯৬২.

৬ জন খেলোয়ারকে সমান সংখ্যক দুইটি দলে কত ভাবে বিভক্ত করা যায়?

ক
ক) ১০
খ
খ) ১৬
গ
গ) ১৮
ঘ
ঘ) ২০

সঠিক উত্তর: ক

ক) ১০

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

ক) ১০

ক

ব্যাখ্যা

প্রতি দলে ৩ জন করে নিয়ে দল গঠিত হবে।
৬ জন থেকে ৩ জন করে নিয়ে মোট দল গঠনের উপায় = ^৬C_৩ = (৬)!/{৩!(৬-৩)!} = ২০ ।
সমান সংখ্যক বা ৩ জন করে দুটি দলে বিভক্ত করার উপায় = ২০/২ = ১০ ।
উৎসঃ উচ্চতর গণিত প্রথম পত্র, একাদশ-দ্বাদশ শ্রেণি।

৯,৯৬৩.

5 + 8 + 11 + 14 + ...... + 62 ধারাটি,
(i) একটি সসীম ধারা,
(ii) একটি গুণোত্তর ধারা
(iii) এর 19 তম পদ 59

ক
i ও ii
খ
i ও iii
গ
ii ও iii
ঘ
i, ii ও iii

সঠিক উত্তর: খ

i ও iii

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

i ও iii

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5 + 8 + 11 + 14 + ...... + 62 ধারাটির,
(i) একটি সসীম ধারা,
(ii) একটি গুণোত্তর ধারা
(iii) এর 19 তম পদ 59

সমাধান:
প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অন্তর, d = 8 - 5 = 3
শেষ পদ = 62
যেহেতু একটি নির্দিষ্ট পদ আছে, তাই এটি সসীম ধারা।

আবার,
আমরা জানি,
n-তম পদে, an = a + (n - 1)d
19-তম পদে, an = 5 + (19 - 1)3
= 5 + 18 × 3
= 5 + 54
= 59

∴ 19তম পদ = 59
এটি সসীম ধারা এবং 19তম পদ = 59

সঠিক উত্তর খ) i ও iii

৯,৯৬৪.

(x² - 2x) কে (x + 3) দ্বারা গুণ করলে, গুণফল নিচের কোনটি?

ক
x³ - x² - 6x
খ
x³ + 2x² - 6x
গ
x³ + x² - 6x
ঘ
কোনটিই নয়

সঠিক উত্তর: গ

x³ + x² - 6x

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

x³ + x² - 6x

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (x² - 2x) কে (x + 3) দ্বারা গুণ করলে, গুণফল নিচের কোনটি?

সমাধান:
(x² - 2x)(x + 3)
= (x²)x + 3x² - 2x . x - 2x(3)
= x³ + 3x² - 2x² - 6x
= x³ + x² - 6x

৯,৯৬৫.

একটি ছক্কা ও দুটি মুদ্রা একত্রে নিক্ষেপ করা হল। 2 টি হেড ও জোড় সংখ্যা পাবার সম্ভাবনা কত?

ক
ক) 1/7
খ
খ) 1/8
গ
গ) 5/6
ঘ
ঘ) 9/5

সঠিক উত্তর: খ

খ) 1/8

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ) 1/8

খ

ব্যাখ্যা

মোট ঘটনা সংখ্যা = 24
2 টি হেড ও জোড় সংখ্যা পাবার ঘটনা {HH2, HH4, HH6} = 3 টি
∴2 টি হেড ও জোড় সংখ্যা পাবার সম্ভাবনা = 3/24 = 1/8

৯,৯৬৬.

কত প্রকারে 52 খানা তাস 4 জন ব্যক্তির মধ্যে সমান ভাবে ভাগ করা যায়?

ক
ক) 13!/(52!)⁴
খ
খ) 52!/(13!)⁴
গ
গ) 52!/(4!)¹³
ঘ
ঘ) 4!/(13!)⁵²

সঠিক উত্তর: খ

খ) 52!/(13!)⁴

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ) 52!/(13!)⁴

খ

ব্যাখ্যা

তাস ভাগ করা যাবে = 52!/(13!)⁴

৯,৯৬৭.

24, 19, 26, 15, 36, 17, 32, 36 এর মধ্যক কত?

ক
ক) 24
খ
খ) 25
গ
গ) 26
ঘ
ঘ) 32

সঠিক উত্তর: খ

খ) 25

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ) 25

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 24, 19, 26, 15, 36, 17, 32, 36 এর মধ্যক কত?

সমাধান:
15, 17, 19, 24, 26, 32, 36, 36
এখানে
n = 8
মধ্যক = [8/2 তম পদ ও {(8/2) + 1} তম পদের সমষ্টি]/2
= {4 তম পদ ও 5 তম পদের সমষ্টি}/2
=(24 + 26)/2
= 50/2
= 25

৯,৯৬৮.

(3a - 2b, 3) = (4, 2a - b) হলে, 5a + b =?

ক
11
খ
20
গ
15
ঘ
9

সঠিক উত্তর: ক

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (3a - 2b, 3) = (4, 2a - b) হলে, 5a + b =?

সমাধান:
এখানে,
3a - 2b = 4 ............(i)
2a - b = 3 ...........(ii)
(ii) নং সমীকরণকে 2 দ্বারা গুণ করে (i) নং হতে বিয়োগ করে পাই।
⇒ 3a - 2b - (4a - 2b) = 4 - 6
⇒ 3a - 2b - 4a + 2b = - 2
⇒ - a = - 2
∴ a = 2
(ii) নং সমীকরণ হতে পাই,
⇒ 4 - b = 3
∴ b = 1

প্রদত্ত রাশি = 5a + b = (5 × 2) + 1 = 10 + 1 = 11

৯,৯৬৯.

15 জন ব্যক্তি একটি সভায় উপস্থিত ছিল, এবং প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে করমর্দন করল। মোট কতটি করমর্দন হবে?

ক
105
খ
95
গ
205
ঘ
125

সঠিক উত্তর: ক

105

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

105

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 15 জন ব্যক্তি একটি সভায় উপস্থিত ছিল, এবং প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে করমর্দন করল। মোট কতটি করমর্দন হবে?

সমাধান:
এখানে, n = 15 জন ব্যক্তি আছে, এবং প্রতিটি করমর্দন দুটি ব্যক্তির মধ্যে হয়।
মোট করমর্দনের সংখ্যা,
C(15,2) = 15!/2!(15−2)!
= 15!/(2! × 13!)
= (15 × 14 × 13!)/(2 × 1 × 13!)
= 15 × 7
= 105

অতএব, 15 জন ব্যক্তির মধ্যে 105টি করমর্দন হবে।

৯,৯৭০.

log_2√5(400) = x হলে x এর মান কত?

ক
ক) 6
খ
খ) -6
গ
গ) 4
ঘ
ঘ) 5

সঠিক উত্তর: গ

গ) 4

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) 4

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_2√5(400) = x হলে x এর মান কত?

সমাধান:
log_2√5400
=log_2√5(2×2×2×2×5×5)
= log^2√5(2√5)⁴
=4log_2√5 2√5
= 4 . 1
= 4

৯,৯৭১.

৫২ খানা তাস হতে ১ খানা তাস দৈবভাবে উঠানো হল। হরতন না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
১/৪
খ
৩/৪
গ
১২/১৩
ঘ
১/১৩

সঠিক উত্তর: খ

৩/৪

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

৩/৪

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৫২ খানা তাস হতে ১ খানা তাস দৈবভাবে উঠানো হল। হরতন না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
- একটি প্যাকেটে মোট তাসের সংখ্যা = ৫২ টি।
- রুইতন, হরতন, ইস্কাপন ও চিরাতন ১৩টি করে।

∴ হরতন হওয়ার সম্ভাবনা = ১৩/৫২ = ১/৪
হরতন না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - ১/৪
= (৪ - ১)/৪
= ৩/৪

৯,৯৭২.

একটি শ্রেণীতে প্রতি বেঞ্চে 5 জন করে ছাত্র বসলে 2টি বেঞ্চ ফাঁকা থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে 4 জন করে বসলে 6 জন ছাত্র দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণিতে কতটি বেঞ্চ আছে?

ক
14টি
খ
16টি
গ
18টি
ঘ
20টি

সঠিক উত্তর: খ

16টি

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

16টি

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি শ্রেণীতে প্রতি বেঞ্চে 5 জন করে ছাত্র বসলে 2টি বেঞ্চ ফাঁকা থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে 4 জন করে বসলে 6 জন ছাত্র দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণিতে কতটি বেঞ্চ আছে?

সমাধান:
ধরি, বেঞ্চ সংখ্যা = x টি।

প্রতি বেঞ্চে 5 জন করে বসলে 2টি বেঞ্চ ফাঁকা থাকে।
∴ ছাত্রসংখ্যা = (x - 2) × 5

প্রতি বেঞ্চে 4 জন করে বসলে 6 জন দাঁড়িয়ে থাকে।
∴ ছাত্রসংখ্যা = 4x + 6

প্রশ্নমতে,
(x - 2) × 5 = 4x + 6
⇒ 5x - 10 = 4x + 6
⇒ 5x - 4x = 6 + 10
⇒ x = 16

∴ বেঞ্চ সংখ্যা = 16টি

৯,৯৭৩.

{1/(x - 1)} + {2/(x - 2)} = 3/(x - 3) হলে, x এর মান কত?

ক
2/3
খ
2/5
গ
3/2
ঘ
5/3

সঠিক উত্তর: গ

3/2

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

3/2

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: {1/(x - 1)} + {2/(x - 2)} = 3/(x - 3) হলে, x এর মান কত?

সমাধান:

৯,৯৭৪.

2^{x + 1} = 32 হলে x এর মান কত?

ক
1
খ
2
গ
3
ঘ
4

সঠিক উত্তর: ঘ

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2^{x + 1} = 32 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
2x + 1 = 32
বা, 2x + 1 = 2⁵
বা, x + 1 = 5
বা, x = 5 - 1
∴ x = 4

৯,৯৭৫.

x⁴ - 3x²+ 1 = 0 হলে x² + 1/x² এর মান কত?

ক
ক) 1
খ
খ) 0
গ
গ) 3
ঘ
ঘ) 5

সঠিক উত্তর: গ

গ) 3

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) 3

গ

ব্যাখ্যা

দেয়া আছে,
x⁴ - 3x² + 1 = 0
x⁴+ 1 = 3x²
x⁴/x² + 1/x² = 3x²/x²
x² + 1/x² = 3

৯,৯৭৬.

যদি x + y = 13 এবং x - y = 7 হয়, তবে xy = ?

ক
22
খ
25
গ
45
ঘ
30

সঠিক উত্তর: ঘ

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x + y = 13 এবং x - y = 7 হয়, তবে xy = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 13 এবং x - y = 7

আমরা জানি,
xy = {(x + y)/2}² - {(x - y)/2}²
= (13/2)² - (7/2)²
= (169/4) - (49/4)
= (169 - 49)/4
= 120/4
= 30
∴ xy = 30

৯,৯৭৭.

শরীফের বাংলা পরীক্ষায় ফেল করার সম্ভাব্যতা 2/5, বাংলা ও ইংরেজি দুটোতেই পাসের সম্ভাব্যতা 1/4 এবং দুইটির যেকোন একটিতে পাসের সম্ভাব্যতা 5/8 হলে তার ইংরেজিতে পাসের সম্ভাব্যতা কত?

ক
ক) 11/40
খ
খ) 33/40
গ
গ) 17/40
ঘ
ঘ) 23/40

সঠিক উত্তর: ক

ক) 11/40

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

ক) 11/40

ক

ব্যাখ্যা

মনে করি,
বাংলায় পাসের ঘটনা = A এবং
ইংরেজিতে পাসের ঘটনা = B
তাহলে, P(A) = 1- (2/5) = 3/5[পূরক সূত্রানুযায়ী]

P(বাংলা বা ইংরেজি) = P(A∪B) = 5/8
P(বাংলা ও ইংরেজি) = P(A∩B) = 1/4

এখন সম্ভাবতার সংযোগ সূত্র
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
বা, 5/8 = (3/5) + P(B) - (1/4)
বা, P(B) = 5/8 + 1/4 - 3/5 = (25+10-24)/40
∴ P(B) = 11/40
অর্থাৎ ইংরেজিতে পাসের সম্ভব্যতা = 11/40.

৯,৯৭৮.

একটি সমান্তর অনুক্রমে সাধারণ অন্তর 5 এবং তৃতীয় পদটি 30 হলে অষ্টম পদটি কত?

ক
72
খ
64
গ
48
ঘ
55

সঠিক উত্তর: ঘ

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমান্তর অনুক্রমে সাধারণ অন্তর 5 এবং তৃতীয় পদটি 30 হলে অষ্টম পদটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সমান্তর ধারার প্রথম পদ = a
এবং সাধারণ অন্তর = d

দেওয়া আছে,
সাধারণ অন্তর, d = 5

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d

এখন,
তৃতীয় পদ = a + (3 - 1) × 5
⇒ 30 = a + (2 × 5)
⇒ a + 10 = 30
⇒ a = 30 - 10
⇒ a = 20

∴ অষ্টম পদ = a + (8 - 1)d = 20 + (7 × 5) = 20 + 35 = 55

৯,৯৭৯.

f(a) = a³- 3a²+ 6 হলে f(-1) = কত?

ক
2
খ
8
গ
- 4
ঘ
- 8

সঠিক উত্তর: ক

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: f(a) = a³- 3a²+ 6 হলে f(-1) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
f(a) = a³- 3a²+ 6
∴ f(-1) = (- 1)³ - 3 ⋅ (- 1)² + 6
= - 1 - 3 + 6
= - 4 + 6
= 2

৯,৯৮০.

a+b = 15 এবং a-b = 13 হলে ab এর মান কত?

ক
ক) 14
খ
খ) 18
গ
গ) 24
ঘ
ঘ) 12

সঠিক উত্তর: ক

ক) 14

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

ক) 14

ক

ব্যাখ্যা

আমরা জানি,
ab = {(a+b)/2}² - {(a-b)/2}²
= (15/2)² - (13/2)²
= 225/4 - 169/4
= 56/4
= 14

৯,৯৮১.

a^{- 3} = 0.2 হলে a¹² = কত?

ক
5
খ
25
গ
125
ঘ
625

সঠিক উত্তর: ঘ

625

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

625

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ‍a^{- 3} = 0.2 হলে a¹² = কত?

সমাধান:
‍a^{- 3} = 0.2
বা, 1/a³ = 2/10
বা, a³ = 10/2
বা, a³ = 5
বা, (a³)⁴ = 5⁴
∴ a¹² = 625

৯,৯৮২.

log₅5√5 এর মান কত?

ক
1/5
খ
3/2
গ
4/3
ঘ
5/3

সঠিক উত্তর: খ

3/2

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

3/2

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₅5√5 এর মান কত?

সমাধান:
log₅5√5
= log₅5¹5^1/2
= log₅5¹5^1/2
= log₅5^1+2/2
= log₅5^3/2
= (3/2)log₅5
=(3/2) × 1
= 3/2

৯,৯৮৩.

25 এবং 400 এর গুণোত্তর গড় কোনটি?

ক
75
খ
100
গ
125
ঘ
200

সঠিক উত্তর: খ

100

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

100

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 25 এবং 400 এর গুণোত্তর গড় কোনটি?

সমাধান:
আমরা জানি, n সংখ্যক সংখ্যার গুণোত্তর গড় = n√(x₁.x₂.x₃...x_n)
সুতরাং 25 ও 400 এর গুণোত্তর গড় = √(25 × 400)
= √(25 × 16 × 25)
= √(25 × 25 × 16)
= 5 × 5 × 4
= 100

৯,৯৮৪.

বাস্তব সংখ্যায় |3x - 2| ≤ 1 অসমতাটির সমাধান-

ক
ক) 1/3 ≤ x ≤ 1
খ
খ) 1/2 ≤ x ≤ 1
গ
গ) 1/4 ≤ x ≤ 3
ঘ
ঘ) -1/3 ≤ x ≤ 5

সঠিক উত্তর: ক

ক) 1/3 ≤ x ≤ 1

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

ক) 1/3 ≤ x ≤ 1

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বাস্তব সংখ্যায় |3x - 2| ≤ 1 অসমতাটির সমাধান-

সমাধান:
-1 ≤ |3x - 2| ≤ 1
= -1 + 2 ≤ 3x ≤ 1 + 2
= 1 ≤ 3x ≤ 3
= 1/3 ≤ x ≤ 1

৯,৯৮৫.

20 বাহুবিশিষ্ট বহুভূজের কতটি কর্ণ আছে?

ক
170
খ
190
গ
210
ঘ
175

সঠিক উত্তর: ক

170

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

170

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 20 বাহুবিশিষ্ট বহুভূজের কতটি কর্ণ আছে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বাহুর সংখ্যা, n = 20

∴ কর্ণের সংখ্যা = ⁿC₂ - n
= ²⁰C₂ - n
= {20!/2!(20 - 2)!} - 20
= {20!/(2! × 18!} - 20
= 190 - 20
= 170

৯,৯৮৬.

সরল করুন: (4x + 3y)² + 2(4x + 3y)(4x - 3y) + (4x - 3y)²

ক
16x²
খ
64y²
গ
16x² - 9y²
ঘ
64x²

সঠিক উত্তর: ঘ

64x²

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

64x²

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সরল করুন: (4x + 3y)² + 2(4x + 3y)(4x - 3y) + (4x - 3y)²

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(4x + 3y)² + 2(4x + 3y)(4x - 3y) + (4x - 3y)²

ধরি,
(4x + 3y) = a
(4x - 3y) = b

প্রদত্ত রাশি,
a² + 2ab + b²
= (a + b)²
= [(4x + 3y) + (4x - 3y)]²
= (8x)²
= 64x²

৯,৯৮৭.

বার্ষিক ক্রীড়া অনুষ্ঠান করার জন্য কোনো এক বিদ্যালয়ের শিক্ষার্থীরা 45,000 টাকার বাজেট করলেন এবং সিদ্ধান্ত নিলেন যে, প্রত্যেক শিক্ষার্থীই সমান চাঁদা দিবেন। কিন্তু 5 জন শিক্ষার্থী চাঁদা দিতে পারে নি। এর ফলে প্রত্যেক শিক্ষার্থীর মাথাপিছু 15 টাকা চাঁদা বৃদ্ধি পেল। ঐ বিদ্যালয়ে কতজন শিক্ষার্থী ছিল?

ক
150 জন
খ
125 জন
গ
80 জন
ঘ
185 জন

সঠিক উত্তর: খ

125 জন

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

125 জন

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বার্ষিক ক্রীড়া অনুষ্ঠান করার জন্য কোনো এক বিদ্যালয়ের শিক্ষার্থীরা 45,000 টাকার বাজেট করলেন এবং সিদ্ধান্ত নিলেন যে, প্রত্যেক শিক্ষার্থীই সমান চাঁদা দিবেন। কিন্তু 5 জন শিক্ষার্থী চাঁদা দিতে পারে নি। এর ফলে প্রত্যেক শিক্ষার্থীর মাথাপিছু 15 টাকা চাঁদা বৃদ্ধি পেল। ঐ বিদ্যালয়ে কতজন শিক্ষার্থী ছিল?

সমাধান:
মনে করি,
বিদ্যালয়ের শিক্ষার্থীর সংখ্যা x
এবং জনপ্রতি প্রদেয় চাঁদার পরিমাণ q টাকা।
তাহলে. মোট চাঁদা, A = qx টাকা

পাঁচজন চাঁদা দিতে অস্বীকৃতি জানানোয় প্রকৃত চাঁদা দেয়া শিক্ষার্থী সংখ্যা ছিল (x - 5) জন
এবং চাঁদা হলো (q + 15) টাকা।
তাহলে, মোট চাঁদা হলো (x - 5)(q + 15)

প্রশ্নানুসারে,
qx = (x-5)(q+15) ……….(i)
এবং qx = 45000……….(ii)

সমীকরণ (i)থেকে পাই,
qx = (x - 5)(q + 15)
বা, qx = qx - 5q + 15x - 75
বা, 5q = 15x - 75 = 5(3x - 15)
∴ q = 3x - 15………..(iii)

সমীকরণ (ii)এ q এর মান বসিয়ে পাই,
(3x-15) × x = 45000
বা, 3x² - 15x=45000
বা, x² - 5x = 15000 [উভয়পক্ষকে 3 দ্বারা ভাগ করে]
বা, x² - 125x + 120x - 15000 = 0
বা, x(x - 125) + 120(x - 125) = 0
বা, (x - 125)(x + 120)=0
∴ (x - 125) = 0 অথবা (x + 120) = 0
বা, x = 125 বা, x = - 120
যেহেতু শিক্ষার্থীর সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই x এর মান -120 গ্রহণযোগ্য নয়।
∴ x = 125

∴ বিদ্যালয়ের শিক্ষার্থীর সংখ্যা ১২৫ জন।

৯,৯৮৮.

9^x + 9^x + 9^x = কত?

ক
9^3x
খ
2x + 1
গ
3^{2x + 1}
ঘ
3^2x

সঠিক উত্তর: গ

3^{2x + 1}

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

3^{2x + 1}

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 9^x + 9^x + 9^x = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
9^x + 9^x + 9^x
= 9^x(1 + 1 + 1)
= (3²)^x × 3
= 3^{2x + 1}

৯,৯৮৯.

a + 1/a = √3 হলে, a² + 1/a² এর মান-

ক
6
খ
4
গ
2
ঘ
1

সঠিক উত্তর: ঘ

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a + 1/a = √3 হলে, ‍a² + 1/a² এর মান-

সমাধান:
দেওয়া আছে
a + 1/a = √3

আমরা জানি
a² + 1/a² =(a + 1/a)² - 2.a.1/a
বা, a² + 1/a² = (√3)² - 2
বা, a² + 1/a² = 3 - 2
∴ a² + 1/a² = 1

৯,৯৯০.

'ENGINEER' শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?

ক
240
খ
320
গ
480
ঘ
720

সঠিক উত্তর: ক

240

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

240

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'ENGINEER' শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?

সমাধান:
'ENGINEER' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 8 টি। যার মধ্যে Vowel আছে 4টি (তবে E আছে তিনটি)।
Vowel চারটিকে একটি ধরে মোট বর্ণ = 5টি (যার মধ্যে n আছে দুইটি)

∴ 5টি বর্ণকে সাজানো যায় = 5!/2! = 120/2 = 60
Vowel চারটিকে সাজানো যায় = 4!/3! = 4

∴ স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট সাজানো যাবে = 60 × 4 = 240

৯,৯৯১.

যদি P = {1, 2, 3}, Q = {4, 6, 8, 9} হয় এবং P ও Q এর উপাদানগুলোর মধ্যে y = x + 5 সম্পর্ক বিবেচনায় থাকে, তবে সংশ্লিষ্ট অন্বয় কোনটি?

ক
{(1,4), (2,7), (3,8)}
খ
{(2,7), (3,8)}
গ
{(1, 6), (3, 8)}
ঘ
{(1,5), (2,7), (3,9)}

সঠিক উত্তর: গ

{(1, 6), (3, 8)}

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

{(1, 6), (3, 8)}

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি P = {1, 2, 3}, Q = {4, 6, 8, 9} হয় এবং P ও Q এর উপাদানগুলোর মধ্যে y = x + 5 সম্পর্ক বিবেচনায় থাকে, তবে সংশ্লিষ্ট অন্বয় কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P = {1, 2, 3}
Q = {4, 6, 8, 9}

প্রশ্নানুসারে, সংশ্লিষ্ট অন্বয়, R হবে:
R = {(x, y) : x ∈ P, y ∈ Q এবং y = x + 5}

এখন, x ∈ P এর প্রতিটি মানের জন্য y = x + 5 শর্তটি পরীক্ষা করি:
যখন x = 1, তখন y = 1 + 5 = 6। যেহেতু 6 ∈ Q, তাই (1, 6) অন্বয়ে থাকবে।
যখন x = 2, তখন y = 2 + 5 = 7। যেহেতু 7 ∉ Q, তাই (2, 7) অন্বয়ে থাকবে না।
যখন x = 3, তখন y = 3 + 5 = 8। যেহেতু 8 ∈ Q, তাই (3, 8) অন্বয়ে থাকবে।

∴ নির্ণেয় অন্বয়, R = {(1, 6), (3, 8)}

৯,৯৯২.

দ্যা মরগ্যানের সূত্র অনুসারে নিচের কোনটি সত্য?

ক
ক) (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′
খ
খ) (A ∪ B)′ = A′ ∪ B′
গ
গ) (A ∩ B)′ = A′ ∩ B′
ঘ
ঘ) কোনটিই নয়

সঠিক উত্তর: ক

ক) (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

ক) (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′

ক

ব্যাখ্যা

দ্যা মরগ্যানের সূত্র অনুসারে -
সার্বিক সেট U এর যে কোনো উপসেট A ও B এর জন্য -
(A ∪ B)′ = A′ ∩ B′ এবং
(A ∩ B)′ = A′ ∪ B′

৯,৯৯৩.

4^{a + 3} = 128 হলে, a = কত?

ক
2
খ
1/2
গ
3
ঘ
4

সঠিক উত্তর: খ

1/2

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

1/2

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4^{a + 3} = 128 হলে, a = কত?

সমাধান:
4^{a + 3} = 128
⇒ (2²)^{a + 3} = 2⁷
⇒ 2^{2a + 6} = 2⁷
⇒ 2a + 6 = 7
⇒ 2a = 7 - 6
⇒ 2a = 1
∴ a = 1/2

৯,৯৯৪.

আবহাওয়া অফিসের রিপোর্ট অনুযায়ী 2025 সালের জুলাই মাসের ৩য় সপ্তাহে বৃষ্টি হয়েছে মোট 5 দিন। ঐ সপ্তাহে বৃহস্পতিবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
5/7
খ
1/3
গ
2/3
ঘ
2/7

সঠিক উত্তর: ঘ

2/7

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

2/7

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: আবহাওয়া অফিসের রিপোর্ট অনুযায়ী 2025 সালের জুলাই মাসের ৩য় সপ্তাহে বৃষ্টি হয়েছে মোট 5 দিন। ঐ সপ্তাহে বৃহস্পতিবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
2025 সালের জুলাই মাসের ৩য় সপ্তাহে মোট 7 দিন।
যার মধ্যে বৃষ্টি হয়েছিল 5 দিন।

বৃহস্পতিবার বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা = 5/7
বৃহস্পতিবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা = (1 - 5/7)
= (7 - 5)/7
= 2/7

৯,৯৯৫.

5x + 2y - 8 = 0 এবং y + 3x + 1 = 0 এর সমাধান নিচের কোনটি?

ক
(x, y) = (- 10, 29)
খ
(x, y) = (7, 12)
গ
(x, y) = (- 8, 15)
ঘ
(x, y) = (9, - 14)

সঠিক উত্তর: ক

(x, y) = (- 10, 29)

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

(x, y) = (- 10, 29)

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5x + 2y - 8 = 0 এবং y + 3x + 1 = 0 এর সমাধান নিচের কোনটি?

সমাধান:
5x + 2y - 8 = 0 ................. (1)
y + 3x + 1 = 0
⇒ y = - 3x - 1 ..................... (2)
(1) নং হতে,
5x + 2(- 3x - 1) - 8 = 0
⇒ 5x - 6x - 2 - 8 = 0
⇒ - x - 10 = 0
∴ x = - 10
x এর মান (2) নং বসিয়ে পাই,
y = - 3(- 10) - 1
⇒ y = 30 - 1
∴ y = 29

নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (- 10, 29)

৯,৯৯৬.

x + y = 4; xy = 3 হলে, x⁵ + y⁵ এর মান কত?

ক
244
খ
189
গ
561
ঘ
347

সঠিক উত্তর: ক

244

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

244

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + y = 4; xy = 3 হলে, x⁵ + y⁵ এর মান কত?

সমাধান:

x + y = 4
⇒ (x + y)² = 4²
⇒ (x - y)² + 4xy = 16
⇒ (x - y)² + 4 × 3 = 16
⇒ (x - y)² = 16 - 12
⇒ (x - y)²= 4
⇒ (x - y) = √4
∴ (x - y) = 2

এখন,
x + y = 4 ................ (1)
x - y = 2 ....................... (2)

(1) ও (2) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
x + y + x - y = 4 + 2
⇒ 2x = 6
⇒ x = 6/2
∴ x = 3
x এর মান (1) সমীকরণে বসিয়ে পাই,
3 + y = 4
⇒ y = 4 - 3
∴ y = 1

এখন,
x⁵ + y⁵
= (3)⁵ + (1)⁵
= 243 +1
= 244

৯,৯৯৭.

যদি A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {2, 3, 5, 6} এবং C = {4, 7, 8, 9} হয়, তবে (A - B) ∪ C = কত?

ক
{1, 4, 7, 8, 9}
খ
{1, 4, 7}
গ
{1, 4, 8, 9}
ঘ
{4, 7, 8, 9}

সঠিক উত্তর: ক

{1, 4, 7, 8, 9}

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

{1, 4, 7, 8, 9}

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {2, 3, 5, 6} এবং C = {4, 7, 8, 9} হয়, তবে (A - B) ∪ C = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7},
B = {2, 3, 5, 6}
এবং C = {4, 7, 8, 9}

এখন, A - B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} - {2, 3, 5, 6}
= {1, 4, 7}

∴ (A - B) ∪ C = {1, 4, 7} ∪ {4, 7, 8, 9}
= {1, 4, 7, 8, 9}

৯,৯৯৮.

(2, 3) এবং (4, 7) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ কোনটি?

ক
y = 2x - 1
খ
y = 2x + 2
গ
y = x + 1
ঘ
y = 4x

সঠিক উত্তর: ক

y = 2x - 1

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

y = 2x - 1

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (2, 3) এবং (4, 7) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(x₁, y₁) = (2, 3) এবং (x₂, y₂) = (4, 7)

আমরা জানি,
দুটি বিন্দু (x₁, y₁) এবং (x₂, y₂) দিয়ে গঠিত সরলরেখার ঢাল,
m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)
= (7 - 3)/(4 - 2)
= 4/2
∴ m = 2

আমরা জানি,
সরলরেখার সমীকরণ,
y - y₁ = m(x - x₁)
⇒ y - 3 = 2 (x - 2) ; [(x₁, y₁) = (2, 3) এবং m = 2 বসিয়ে]
∴ y - 3 = 2x - 4
y = 2x - 1

অতএব, (2, 3) এবং (4, 7) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ হলো y = 2x - 1

৯,৯৯৯.

BANANA শব্দটিকে কত ভাবে সাজানো যাবে যাতে A গুলো একসাথে থাকবে না?

ক
36
খ
48
গ
65
ঘ
76

সঠিক উত্তর: খ

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: BANANA শব্দটিকে কত ভাবে সাজানো যাবে যাতে A গুলো একসাথে থাকবে না?

সমাধান:
BANANA শব্দে মোট অক্ষর 6টি, যেখানে A আছে 3টি এবং N আছে 2টি।
BANANA কে সাজানো যাবে = 6!/3!2! = 60 ভাবে

A গুলোকে একসাথে একটি অক্ষর হিসাবে বিবেচনা করলে বাকী অক্ষর হবে 4টি: B, N, N এবং AAA।

সাজানোর সংখ্যা হবে = 4!/2! = 12 ভাবে

∴A গুলো একসাথে না রেখে সাজানোর সংখ্যা = 60 - 12 = 48

১০,০০০.

6^x + 6^x + 6^x + 6^x + 6^x + 6^x এর মান নিচের কোনটি?

ক
ক) 6^{(x + 1)}
খ
খ) 6^{(x + 2)}
গ
গ) 3^{(2x + 2)}
ঘ
ঘ) 6^x

সঠিক উত্তর: ক

ক) 6^{(x + 1)}

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

ক) 6^{(x + 1)}

ক

ব্যাখ্যা

6^x + 6^x + 6^x + 6^x + 6^x + 6^x
= 6^x (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1)
= 6^x × 6
= 6^{(x + 1)}