লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

বীজগণিত

মোট প্রশ্ন২০,২০৭এই পাতা১০০প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

বীজগণিত

PrepBank · পাতা ৭৯ / ২০১ · ৭,৮০১–৭,৯০০ / ২০,২০৭

৭,৮০১.
logk(an/bn) + logk(bn/cn) + logk(cn/an) = ?
  1. ক
    0
  2. খ
    b/c
  3. গ
    log(a/c)
  4. ঘ
    loga
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: logk(an/bn) + logk(bn/cn) + logk(cn/an) = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
logk(an/bn) + logk(bn/cn) + logk(cn/an)
= logkan - logkbn + logkbn - logkcn + logkcn - logkan
= 0
৭,৮০২.
আজ শনিবার। আগামীকাল রবিবার হওয়ার সম্ভাবনা কত? 
  1. ক
    ০
  2. খ
    ১
  3. গ
    ১/২
  4. ঘ
    ১/৭
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: আজ শনিবার। আগামীকাল রবিবার হওয়ার সম্ভাবনা কত? 

সমাধান: 
আজ শনিবার, আগামীকাল রবিবার হবে। 
নিশ্চিত ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা ১। 
৭,৮০৩.
যদি (a/b) + (b/a) = 5 হয়, {(a2)/(b2)} + {(b2)/(a2)} এর মান কত?
  1. ক
    18
  2. খ
    20
  3. গ
    23
  4. ঘ
    25
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (a/b) + (b/a) = 5 হলে, {(a2)/(b2)} + {(b2)/(a2)} এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(a/b) + (b/a) = 5

প্রদত্ত রাশি = {(a2)/(b2)} + {(b2)/(a2)}
= (a/b)2 + (b/a)2
= {(a/b) + (b/a)}2 - 2 · (a/b) · (b/a)
= 52 - 2
= 25 - 2
= 23
৭,৮০৪.
যদি a4 + a2b2 + b4 = 8 এবং a2 + ab + b2 = 4 হয়, তবে a2 + b2 = ?

  1. ক
    ক) 2
  2. খ
    খ) 3
  3. গ
    গ) 4
  4. ঘ
    ঘ) 6
ব্যাখ্যা
প্রশ্নঃ যদি a4 + a2b2 + b4 = 8 এবং a2 + ab + b2 = 4 হয়, তবে a2 + b2 কত?

সমাধানঃ 
a4 + a2b2 + b4 = (a2)2 + 2a2b2 + (b2)2 - a2b2
⇒ 8 = (a2 + b2)2 - (ab)2
⇒ 8 = (a2 + b2 + ab)(a2 + b2 - ab)
⇒ 8 = (a2 + ab + b2)(a2 - ab + b2)
⇒ 8 = 4 (a2 - ab+ b2)
⇒ a2 - ab + b2 = 8/4 = 2

সুতরাং,
a2 + ab + b2  = 4 ......(i)
a2 - ab + b2  = 2 ........(ii)

এখন, (i) + (ii)
2(a2 + b2) = 6
∴ a2 + b2 = 3
৭,৮০৫.
9 + 7 + 5 +....................... ধারাটির প্রথম n সংখ্যক পদের যোগফল - 144 হলে, n এর মান নির্ণয় কর।
  1. ক
    12
  2. খ
    14
  3. গ
    16
  4. ঘ
    18
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:  9 + 7 + 5 +....................... ধারাটির প্রথম n সংখ্যক পদের যোগফল - 144 হলে, n এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
প্রথম পদ, a = 9
সাধারণ অন্তর, d = (7 - 9) = - 2

প্রশ্নমতে,
n সংখ্যক পদের যোগফল = - 144
বা, (n/2){2a + (n - 1)d} = - 144
বা, (n/2){(2 × 9) + (n - 1)(- 2)} = - 144
বা, (n/2)(18 - 2n + 2) = - 144
বা, (n/2)(- 2n + 20)= - 144
বা, - (n/2) × 2 × (n - 10) = - 144
বা, n(n - 10) = 144
বা, n2 - 10n - 144 = 0
বা, n2 - 18n + 8n - 144 = 0
বা, n(n - 18) + 8(n - 18) = 0
বা, (n - 18)(n + 8) = 0

অর্থাৎ n - 18 = 0 অথবা, n + 8 = 0
বা, n = 18 অথবা, n = - 8

এখানে n -এর ঋণাত্মক মান গ্রহনযোগ্য নয়।
∴ n = 18
৭,৮০৬.
চাকরি পাওয়ার সম্ভাবনা 2/3 হলে চাকরি না পাওয়ার সম্ভাবনা কত?
  1. ক
    1/2
  2. খ
    1/3
  3. গ
    3/4
  4. ঘ
    0
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:  চাকরি পাওয়ার সম্ভাবনা 2/3 হলে চাকরি না পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
কোনো একটি ঘটনা ঘটা ও না ঘটার সম্ভাবনার সমষ্টি 1

চাকরি না পাওয়ার সম্ভাবনা = 1 - (2/3)
= 1/3
৭,৮০৭.
x = √8 + √7 হলে, x3 - 1/x3 এর মান কত?
  1. ক
    62√7
  2. খ
    112√2
  3. গ
    24√7
  4. ঘ
    58√7
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x = √8 + √7 হলে, x3 - 1/x3 এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x = √8 + √7
∴ 1/x = √8 - √7 

∴ x - 1/x
= √8 + √7 - √8 + √7
= 2√7 

এখন,
x3 - 1/x3
= (x - 1/x)3 + 3.x.1/x (x - 1/x)
= (2√7)3 + 3 × 2√7
= 56√7 + 6√7
= 62√7
৭,৮০৮.
একটি সমান্তর অনুক্রমের সাধারণ অন্তর ৪ এবং ১০ তম পদটি ৪২ হলে ২৫ তম পদটি কত?
  1. ক
    ক) ১০২
  2. খ
    খ) ১৪২
  3. গ
    গ) ১৩২
  4. ঘ
    ঘ) ১২০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমান্তর অনুক্রমের সাধারণ অন্তর ৪ এবং ১০ তম পদটি ৪২ হলে ২৫ তম পদটি কত?

সমাধান: 
ধরি 
 সমান্তর অনুক্রমের প্রথম পদ a এবং
        সাধারণ অন্তর d 

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n-1)d 

এখানে, ১০ তম পদ ৪২ 
সুতরাং a + (১০ - ১)×৪= ৪২
        বা, a + ৩৬ = ৪২
             a = ৬

সুতরাং, ২৫ তম পদ = ৬ + (২৫ - ১)× ৪
                               = ৬ + ৯৬
                               = ১০২
৭,৮০৯.
১ থেকে ৭০ পর্যন্ত ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলোর মধ্যক কত?
  1. ক
    ৪১ 
  2. খ
    ৩৯ 
  3. গ
    ৩৩ 
  4. ঘ
    ৩৬ 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১ থেকে ৭০ পর্যন্ত ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলোর মধ্যক কত?

সমাধান:
১ থেকে ৭০ পর্যন্ত ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো,
৩, ৬, ৯, ১২, ১৫, ১৮, ২১, ২৪, ২৭, ৩০, ৩৩, ৩৬, ৩৯, ৪২, ৪৫, ৪৮, ৫১, ৫৪, ৫৭, ৬০, ৬৩, ৬৬, ৬৯ = ২৩ টি সংখ্যা

এখানে যেহেতু মোট ২৩টি সংখ্যা রয়েছে, এটি একটি বিজোড় সংখ্যা। তাই,
মধ্যক = (n + ১)/২ তম পদ।
= (২৩ + ১)/২ = ২৪/২ = ১২তম পদ

সুতরাং, ১২তম পদ হলো ৩৬।

৭,৮১০.
13 + 23 + 33 +.......+ 143 = ?
  1. ক
    10188
  2. খ
    10195
  3. গ
    11025
  4. ঘ
    11012
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 13 + 23 + 33 +.......+ 143 = ?

সমাধান:
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = {n(n + 1)/2}2
= {14(14 + 1)/2}
= {(14 × 15)/2}2
= (210/2)2
= (105)2
= 11025
৭,৮১১.
x/a + a = x/b + b হলে, x এর মান কত?
  1. ক
    ক) ab
  2. খ
    খ) a
  3. গ
    গ) b
  4. ঘ
    ঘ) a/b
ব্যাখ্যা
x/a + a = x/b + b
or, x/a – x/b = b – a
or, x (1/a – 1/b) = b – a
or, x = (b – a)/(1/a – 1/b)
or, x = (b – a)/ {(b – a)/ab}
or, x = (b – a) × {ab/(b-a)}
or, x = ab
৭,৮১২.
দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যা, অংকদ্বয়ের স্থান বিনিময়ের ফলে 27 হ্রাস পায়। অংক দুইটির যোগফল 9 হলে সংখ্যাটি কত? 
  1. ক
    54
  2. খ
    72
  3. গ
    45
  4. ঘ
    63
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যা, অংকদ্বয়ের স্থান বিনিময়ের ফলে 27 হ্রাস পায়। অংক দুইটির যোগফল 9 হলে সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
একক স্থানীয় অংক = x
এবং দশক স্থানীয় অংক = (9 - x)
∴ সংখ্যাটি = {x + 10(9 - x)} = 90 - 9x

আবার,
অংকদ্বয়ের স্থান বিনিময়ের পর সংখ্যাটি = {10x + (9 - x)} = 9x + 9

প্রশ্নমতে,
(90 - 9x) - (9x + 9) = 27
⇒ 90 - 9x - 9x - 9 = 27
⇒ - 18x + 81 = 27
⇒ - 18x = 27 - 81
⇒ - 18x = - 54
⇒ x = 54/18
⇒ x = 3

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি = 90 - (9 × 3)
= 90 - 27 = 63

৭,৮১৩.
৫ + ৯ + ১৩ + ...... + ৭৭ = ?
  1. ক
    ৭৭৮
  2. খ
    ৭৭৯
  3. গ
    ৭৮০
  4. ঘ
    ৭৮১
ব্যাখ্যা

a = ৫, d = ৪,
∴ ৭৭ = a + (n - ১)d
বা, ৭৭ = ৫ + (n - ১)৪
বা, ৭২ = ৪n - ৪
বা, ৪n = ৭৬
∴ n = ১৯
∴ s = (১৯/২){২×৫ + (১৯ - ১)৪}
= (১৯/২)(১০ + ৭২)
= (১৯×৮২)/২
= ৭৭৯

৭,৮১৪.
x + 1/x = 5 হয়, তবে x/(x2 + x + 1) এর মান কত?
  1. ক
    1/5
  2. খ
    1/6
  3. গ
    1/7
  4. ঘ
    1/4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + 1/x = 5 হয়, তবে x/(x2 + x + 1) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
 x + 1/x = 5
(x2 + 1)/x = 5
x2 + 1 = 5x

প্রদত্ত রাশি = x/(x2 + x + 1) 
= x/(x2 + 1 + x)
= x/(5x + x)
= x/6x
= 1/6
৭,৮১৫.
A = y2 - y + 1 এবং B = 1 + y + y2  হলে, A × B = কত?
  1. ক
    ক) 1 - y2 + y4
  2. খ
    খ) 1 + y2 + y4
  3. গ
    গ) 1 + y2 - y4
  4. ঘ
    ঘ) 1 - y2 - y4
ব্যাখ্যা
 প্রশ্ন: A = y2 - y + 1 এবং B = 1 + y + y2  হলে, A × B = কত? 

সমাধান: 
দেয়া আছে 
A = y2 - y + 1 
B = 1 + y + y2
A × B = (y2 - y + 1 ) × (1 + y + y2)
           = y2(1 + y + y2) - y(1 + y + y2) + 1(1 + y + y2)
           = y2 + y3 + y4 - y - y2 - y3 + 1 + y + y2
            = 1 + y2 + y4
৭,৮১৬.
C = {x ∈ N : 1 < x ≤ 5} হলে, P(C) এর উপাদান সংখ্যা কত? 
  1. ক
    ক) 32
  2. খ
    খ) 15
  3. গ
    গ) 16
  4. ঘ
    ঘ) 31
ব্যাখ্যা
দেওয়া আছে, 
C = {x ∈ N : 1 < x ≤ 5}
C = {2, 3, 4, 5}
C এর উপাদান সংখ্যা n=4

P(C) এর উপাদান সংখ্যা = 2n 
                                      = 24
                                      = 16 
৭,৮১৭.
x2 + y2 + z2 = 14 এবং (x + y + z)2 = 36 হলে xy + yz + zx =?
  1. ক
    10
  2. খ
    11
  3. গ
    22
  4. ঘ
    32
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 + y2 + z2 = 14 এবং (x + y + z)2 = 36 হলে xy + yz + zx =?

সমাধান :
দেয়া আছে, 
x2 + y2 + z2 = 14
(x + y + z)2 = 36

আমরা জানি, 
(x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx)
বা, 36 = 14 + 2(xy + yz + zx)
বা, 2 (xy + yz + zx) = 36 - 14
বা, (xy + yz + zx) = 22
∴ xy + yz + zx = 11
৭,৮১৮.
a3 - 7a - 6 এর উৎপাদক কত?
  1. ক
    (a - 1)(a + 2)(a - 3)
  2. খ
    (a + 1)(a + 2)(a - 3)
  3. গ
    (a - 1)(a - 2)(a - 3)
  4. ঘ
    (a + 1)(a - 2)(a - 3)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a3 - 7a - 6 এর উৎপাদক কত? 

সমাধান:
 a3 - 7a - 6 
= a3 + a2 - a2 - a - 6a - 6 
= a2 (a + 1) - a (a + 1) - 6 (a + 1) 
= (a + 1) (a2 - a - 6) 
= (a + 1) (a2 - 3a + 2a - 6) 
= (a + 1) {a (a - 3) + 2 (a -3)} 
= (a + 1) (a - 3) (a + 2) 

∴ নির্ণেয় উৎপাদক = (a + 1)(a + 2)(a - 3) .
৭,৮১৯.
logp(1/25) = - 2 হলে, p এর মান কত?
  1. ক
    5
  2. খ
    1/5
  3. গ
    2/5
  4. ঘ
    3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: logp(1/25) = - 2 হলে, p এর মান কত?

সমাধান:
logp(1/25) = - 2
⇒ p-2 = 1/25
⇒ p- 2 = 1/52
⇒ p-2 = 5- 2
⇒ p = 5
৭,৮২০.
যদি দুটি সংখ্যার যোগফল এবং গুণফল যথাক্রমে 24 এবং 140 হয়, তবে সংখ্যা দুইটির ব্যস্তানুপাতিক যোগফল কত হবে?
  1. ক
    ক) 4/23
  2. খ
    খ) 3/25
  3. গ
    গ) 6/35
  4. ঘ
    ঘ) 2/29
ব্যাখ্যা
ধরি,
সংখ্যা দুইটি a ও b

শর্তমতে 
a + b = 24
ab=140

এখন,
(1/a) + (1/b)
= (b + a)/ab
= 24/140
=6/35
৭,৮২১.
একটি মুদ্রা 3 বার নিক্ষেপ করা হলে 2টি Head উঠার সম্ভাবনা কত?
  1. ক
    ক) 1/2
  2. খ
    খ) 3/8
  3. গ
    গ) 1/4
  4. ঘ
    ঘ) 5/8
ব্যাখ্যা
নমুনা বিন্দু = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT} = মোট 8টি
2টি Head এর অনুকূলে নমুনা বিন্দু = {HHT, HTH, THH} = 3টি
∴ এক্ষেত্রে সম্ভাবনা = 3/8
৭,৮২২.
যদি a - b = 0 হয় তাহলে b/a = ?
  1. ক
    0
  2. খ
    2
  3. গ
    4
  4. ঘ
    1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি a - b = 0 হয় তাহলে b/a = ?

সমাধান:
a - b = 0
⇒ a = b

∴ b/a = a/a = 1
৭,৮২৩.
দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর 51 হলে, বড় সংখ্যাটি কত? 
  1. ক
    ক) 23
  2. খ
    খ) 24
  3. গ
    গ) 25
  4. ঘ
    ঘ) 26 
ব্যাখ্যা
ছোট সংখ্যাটি x হলে,
বড় সংখ্যাটি = x + 1
প্রশ্নমতে,
( x + 1)2 - x2 = 51
x2 + 2x + 12 - x2 = 51 
2x + 1 = 51
2x = 51 - 1 
2x = 50 
x = 25 

বড় সংখ্যাটি = 25 + 1 = 26
৭,৮২৪.
3 জন বালক ও 5 জন বালিকাকে এক সারিতে রেখে কতভাবে সাজানো যায় যেখানে 3 জন বালক সর্বদা একত্রে থাকবে?
  1. ক
    ক) 4220
  2. খ
    খ) 4310
  3. গ
    গ) 4320
  4. ঘ
    ঘ) 4330
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3 জন বালক ও 5 জন বালিকাকে এক সারিতে রেখে কতভাবে সাজানো যায় যেখানে 3 জন বালক সর্বদা একত্রে থাকবে?

সমাধান: 
মোট বালক বালিকা = (3 + 5) = 8 জন
তিনজন বালক একত্রে থাকলে মোট সংখ্যা = (1 + 5) জন = 6 জন
6 জন কে সাজানো যায় = 6!
3 জন বালক কে সাজানো যায় = 3!

∴ একত্রে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 6! × 3!
= (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) × (3 × 2 × 1)
= 4320
৭,৮২৫.
  1. ক
    25
  2. খ
    100
  3. গ
    125
  4. ঘ
    50
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৭,৮২৬.
কোনো ধারার n তম পদ 3n.2n + 1 হলে ধারাটির প্রথম চারটি পদের সমষ্টি কত?
  1. ক
    548
  2. খ
    560
  3. গ
    588
  4. ঘ
    590
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো ধারার n তম পদ 3n.2n + 1 হলে ধারাটির প্রথম চারটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির n তম পদ = 3n.2n + 1

১ম পদ = 3 . 1 . 21 + 1= 3 . 4 = 12
২য় পদ = 3 . 2 . 22 + 1 = 6 . 8 = 48
৩য় পদ = 3 . 3 . 23 + 1 = 9 · 16 = 144
৪র্থ পদ = 3 · 4 · 24 + 1 = 12 · 32 = 384

∴ ধারাটির প্রথম চারটি পদের সমষ্টি = 12 + 48 + 144 + 384
= 588
৭,৮২৭.
সাত বাহুবিশিষ্ট বহুভুজে কতটি কর্ণ আছে?
  1. ক
    14
  2. খ
    21
  3. গ
    7
  4. ঘ
    18
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সাত বাহুবিশিষ্ট বহুভুজে কতটি কর্ণ আছে?

সমাধান:
n বাহুবিশিষ্ট বহুভুজে কর্ণ আছে = nC2 - n

সাত বাহুবিশিষ্ট বহুভুজে কর্ণ আছে = 7C2 - 7
= 21 - 7
= 14
৭,৮২৮.
  1. ক
    1
  2. খ
    a
  3. গ
    1/a
  4. ঘ
    1/a2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:

সমাধান:
৭,৮২৯.
y = 3 হলে √y3 এর 3 ভিত্তিক লগারিদম কত?
  1. ক
    ক) 1/2
  2. খ
    খ) 2/3
  3. গ
    গ) 3/2
  4. ঘ
    ঘ) 1/3
ব্যাখ্যা
দেয়া আছে
y = 3

√y3 এর 3 ভিত্তিক লগারিদম
=log3(√y3)
= log3(√33)
=  log3{(33)1/2}
= log333/2 
= (3/2) log33 
=  (3/2) .1  
= 3/2
৭,৮৩০.
  1. ক
    3
  2. খ
    2
  3. গ
    1
  4. ঘ
    0
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:
 

৭,৮৩১.
যদি log4x = 5 হয়, তাহলে x এর মান নির্ণয় করুন।
  1. ক
    1024
  2. খ
    512
  3. গ
    500
  4. ঘ
    2048
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি log4x = 5 হয়, তাহলে x এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
log4x = 5
⇒ x = 45 
⇒ x = 1024
৭,৮৩২.
একটি Econo কলমের মূল্য ৫ টাকা এবং একটি Matador কলমের মূল্য ৪ টাকা। যদি ঐ দোকানদার ৫০০টি কলম বিক্রি করে ২৩০০ টাকা পায়, তবে সে কয়টি Econo কলম বিক্রয় করেছিল?
  1. ক
    ২৭৫
  2. খ
    ৩০০
  3. গ
    ৩১৫
  4. ঘ
    কোনোটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি Econo কলমের মূল্য ৫ টাকা এবং একটি Matador কলমের মূল্য ৪ টাকা। যদি ঐ দোকানদার ৫০০টি কলম বিক্রি করে ২৩০০ টাকা পায়, তবে সে কয়টি Econo কলম বিক্রয় করেছিল?

সমাধান:
Econo কলম বিক্রয় করেছিল = ক টি
 Matador কলম বিক্রয় করেছিল = (৫০০ - ক) টি

প্রশ্নমতে
৫ক + ৪(৫০০ - ক) = ২৩০০ 
বা, ৫ক + ২০০০ - ৪ক = ২৩০০
বা, ক = ২৩০০ - ২০০০
∴ ক = ৩০০

Econo কলম বিক্রয় করেছিল ৩০০ টি
৭,৮৩৩.
log2256 এর মান কত?
  1. ক
    2
  2. খ
    4
  3. গ
    6
  4. ঘ
    8
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: log2256 এর মান কত?

সমাধান:
log2256
= log228
= 8log22
= 8 · 1
= 8
৭,৮৩৪.
p3 - p2 কে p - 2 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত?
  1. ক
    10
  2. খ
    7
  3. গ
    2
  4. ঘ
    4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: p3 - p2 কে p - 2 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত?

সমাধান:
ধরি,
f(x) = p3 - p2

f(x) কে p - 2 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ f(2) এর মানর সমান হবে।

f(2) = (2)3 - (2)2
= 8 - 4
= 4
৭,৮৩৫.
একটি বিদ্যালয়ে 6 জন শিক্ষিকা ও 4 জন শিক্ষক থেকে 5 সদস্য বিশিষ্ট একটি কমিটি গঠন করা হবে। কমিটিতে 2 জন শিক্ষিকা থাকা বাধ্যতামূলক হলে, কত প্রকারে ঐ কমিটি গঠন করা যেতে পারে?
  1. ক
    ক) 42
  2. খ
    খ) 56
  3. গ
    গ) 84
  4. ঘ
    ঘ) 120
ব্যাখ্যা
কমিটিতে 2 জন শিক্ষিকা থাকা বাধ্যতামূলক হলে,
ঐ 2 জন কে হিসাবের বিবেচনার বাইরে রেখে কমিটি গঠনের উপায় বের করতে হবে। 

কমিটি গঠনের উপায়
= (6 - 2 + 4)C(5 - 2)
= 8C3
= 56
৭,৮৩৬.
272a + 3 = 33a + 6 হলে, a এর মান কত?
  1. ক
    - 1
  2. খ
    - 1/2
  3. গ
    1
  4. ঘ
    3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 272a + 3 = 33a + 6 হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
272a + 3 = 33a + 6 
⇒ 33(2a + 3) = 33a + 6
⇒ 36a + 9 = 33a + 6
⇒ 6a + 9 = 3a + 6
⇒ 6a - 3a = 6 - 9
⇒ 3a = - 3
∴ a = - 1
৭,৮৩৭.
7 টি ক্রমিক সংখ্যার গড় 33 । বৃহত্তম সংখ্যাটি কত? 
  1. ক
    28
  2. খ
    36
  3. গ
    32
  4. ঘ
    30
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 7 টি ক্রমিক সংখ্যার গড় 33 । বৃহত্তম সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
সবচেয়ে ছোট ক্রমিক সংখ্যা x হলে- 
ক্রমিক সংখ্যাগুলো যথাক্রমে x, (x + 1), (x + 2), (x + 3), (x + 4), (x + 5), (x + 6) 

∴ ক্রমিক সংখ্যাগুলোর সমষ্টি = x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + (x + 4) + (x + 5) + (x + 6) 
= x + x + 1 + x + 2 + x + 3 + x + 4 + x + 5 + x + 6 
= 7x + 21 
= 7 (x + 3) 

শর্তমতে, 
7 (x + 3) = 33 × 7 
বা, x + 3 = (33 × 7)/7 
বা, x + 3 = 33 
বা, x = 33 - 3 
∴ x = 30 

∴ নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা = x + 6 
= 30 + 6 
= 36.
৭,৮৩৮.
প্রত্যেকটি অঙ্ক প্রতি সংখ্যায় কেবল একবার ব্যবহার করে 4, 3, 7 অঙ্কগুলো দ্বারা কতগুলো দুই অঙ্ক বিশিষ্ট সংখ্যা গঠন করা যায়?
  1. ক
    ক) 3
  2. খ
    খ) 6
  3. গ
    গ) 9
  4. ঘ
    ঘ) 18
ব্যাখ্যা
এখানে 4, 3, 7 মোট তিনটি ভিন্ন ভিন্ন অঙ্ক রয়েছে।
এদের মধ্য থেকে প্রতিবার দুইটি করে নিয়ে সংখ্যা গঠন করার উপায় = 3P2 = 6
৭,৮৩৯.
a2b3/c2d কে a3b2/cd3 দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল কত?
  1. ক
    bd2/ca
  2. খ
    b2/ad
  3. গ
    ab2/ca
  4. ঘ
    ab2/cd
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a2b3/c2d কে a3b2/cd3 দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল কত? 

সমাধান: 
a2b3/c2d ÷ a3b2/cd3 
= a2b3/c2d × cd3/a3b2 
= bd2/ca 
৭,৮৪০.
১, ৩, ৫, ৭ অনুক্রমটির ১৭ তম পদ কোনটি?
  1. ক
    ক) ২৩
  2. খ
    খ) ২৫
  3. গ
    গ) ৩০
  4. ঘ
    ঘ) ৩৩
ব্যাখ্যা
প্রদত্ত অনুক্রম ১, ৩, ৫, ৭ সমান্তর প্রগমনে আছে।
প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = (3-1) = 2
সুতরাং, n তম পদ = a+(n-1)d
∴ ১৭ তম পদ = ১ + (১৭-১)২ = ৩৩
∴ ১৭ তম পদ = ৩৩
৭,৮৪১.
একটি মুদ্রা তিনবার নিক্ষেপ করা হলে, তিনবারই Tale আসার সম্ভাবনা কত?
  1. ক
    ১/৮
  2. খ
    ১/৪
  3. গ
    ৩/৮
  4. ঘ
    ১/৩
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি মুদ্রা তিনবার নিক্ষেপ করা হলে, তিনবারই Tale আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
একটি মুদ্রা তিনবার নিক্ষেপ করা হলে নমুনাক্ষেত্র = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}
মোট নমুনা বিন্দু = ৮টি 

অনুকূলে নমুনা বিন্দু = ১ টি  (TTT)

∴  সম্ভাবনা = ১/৮
৭,৮৪২.
1 + 2 + 3 + .......... + 50 = কত?
  1. ক
    ক) 1185
  2. খ
    খ) 1195
  3. গ
    গ) 1255
  4. ঘ
    ঘ) 1275
ব্যাখ্যা

সমষ্টি = গড় x পদ সংখ্যা
=(1+ 50)/2 x50
= 51/2 × 50
= 51 x 25
= 1275

৭,৮৪৩.
x + 1/x = 6 হলে, x2 + 1/x2 এর মান হবে - 
  1. ক
    ক) 32
  2. খ
    খ) 34
  3. গ
    গ) 36
  4. ঘ
    ঘ) 40
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + 1/x = 6 হলে, x2 + 1/x2 এর মান হবে - 

সমাধান: 
দেয়া আছে 
 x + 1/x = 6

প্রদত্ত রাশি = x2 + 1/x2 
                 = (x + 1/x)2 - 2.x. 1/x
                 = 62 - 2
                 = 36 - 2
                 = 34
৭,৮৪৪.
যদি x2 + px + 6 = 0 এর মূল দুটি সমান হয় এবং p > 0. তবে p এর মান কত?
  1. ক
    √12
  2. খ
    1
  3. গ
    √20
  4. ঘ
    √24
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x2 + px + 6 = 0 এর মূল দুটি সমান হয় এবং p > 0. তবে p এর মান কত?

সমাধান:
x2 + px + 6 = 0 প্রদত্ত সমীকরণটির নিশ্চায়ক, p2 - 4 × 1 × 6 = p2 - 24
যেহেতু সমীকরণের মূল দুটি সমান, তাই নিশ্চায়কের মান শূন্য
p2 - 24 = 0
⇒ p2 = 24
∴ p = √24

৭,৮৪৫.
7 + 10 + 13 + 16 + ............ ধারাটির প্রথম 10টি পদের সমষ্টি কত?
  1. ক
    34
  2. খ
    205
  3. গ
    410
  4. ঘ
    170
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 7 + 10 + 13 + 16 + ............ ধারাটির প্রথম 10টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেয়া আছে, 
প্রথম পদ, a = 7
সাধারণ অন্তর, d = 10 - 7
= 3

আমরা জানি, 
সমান্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি = (n/2) {2a + (n - 1)d}
= (10/2) {2 × 7 + (10 - 1)3}
= 5{14 + (9 × 3)}
= 5(14 + 27)
= 5 × 41
= 205
৭,৮৪৬.
3 জন বালক ও 5 জন বালিকাকে এক সারিতে রেখে কতভাবে সাজানো যায় যেখানে 3 জন বালক সর্বদা একত্রে থাকবে?
  1. ক
    4320
  2. খ
    435
  3. গ
    4408
  4. ঘ
    4424
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3 জন বালক ও 5 জন বালিকাকে এক সারিতে রেখে কতভাবে সাজানো যায় যেখানে 3 জন বালক সর্বদা একত্রে থাকবে?

সমাধান:
মোট বালক বালিকা = (3 + 5) = 8 জন
তিনজন বালক একত্রে থাকলে মোট সংখ্যা = (1 + 5) জন
= 6 জন
6 জন কে সাজানো যায় = 6!
3 জন বালক কে সাজানো যায় = 3!

সুতরাং, একত্রে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 6! × 3!
= (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) × (3 × 2 × 1)
= 4320
৭,৮৪৭.
৫২ টি তাসের একটি প্যাকেট থেকে দৈব্যভাবে একটি তাস নির্বাচন করা হলো, তাসটি টেক্কা না হওয়ার সম্ভাবনা কত?
  1. ক
    ১/৪
  2. খ
    ১/২৬
  3. গ
    ৩/৪
  4. ঘ
    ১২/১৩
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৫২ টি তাসের একটি প্যাকেট থেকে দৈব্যভাবে একটি তাস নির্বাচন করা হলো, তাসটি টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
এখানে,
মোট তাস সংখ্যা = ৫২ টি
এবং টেক্কা = ৪ টি

∴ তাসটি টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা = ৪/৫২ = ১/১৩

∴ তাসটি টেক্কা না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (১/১৩) = (১৩ - ১)/১৩= ১২/১৩

৭,৮৪৮.
a2b - ab2 এবং b2 -  ab রাশিদ্বয়ের ল.সা.গু কত?
  1. ক
    (a - b)
  2. খ
    ab(a - b)
  3. গ
    (a + b)
  4. ঘ
    - ab(a - b)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a2b - ab2 এবং b2 -  ab রাশিদ্বয়ের ল.সা.গু কত?

সমাধান:
১ম রাশি = a2b - ab2
= ab(a - b)
 
২য় রাশি = b2 -  ab
= b(b - a)
= - b(a - b)
 
∴ a2b - ab2 এবং b2 -  ab রাশিদ্বয়ের ল.সা.গু =  - ab(a - b)
৭,৮৪৯.
x + 1/x = 4 হলে x3 + 1/x3 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 8
  2. খ
    খ) 18
  3. গ
    গ) 52
  4. ঘ
    ঘ) 48
ব্যাখ্যা

x3 + 1/x3
= (x + 1/x)3 - 3.x.1/x(x + 1/x)
= 43 - 3.4
= 52

৭,৮৫০.
x - y = 2 এবং xy = 24 হলে, y এর ধনাত্মক মানটি-
  1. ক
    3
  2. খ
    4
  3. গ
    5
  4. ঘ
    6
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x - y = 2 এবং xy = 24 হলে, y এর ধনাত্মক মানটি-

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x - y = 2
বা, x = 2 + y

এবং, xy = 24
বা, y = 24/x
বা, y = 24/(2 + y)
বা, 2y + y2 = 24
বা, y2 + 2y - 24 = 0
বা, y2 + 6y - 4y - 24 = 0
বা, y(y + 6) - 4(y + 6) = 0
বা, (y + 6)(y - 4) = 0
হয়,
y + 6 = 0
⇒ y = - 6
অথবা,
y - 4 = 0
⇒ y = 4 
∴ y এর ধনাত্মক মানটি হবে 4.
৭,৮৫১.
(a/2) + 4 = (a/4) + 6 হলে a এর মান কত?
  1. ক
    2
  2. খ
    4
  3. গ
    6
  4. ঘ
    8
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (a/2) + 4 = (a/4) + 6 হলে a এর মান কত?

সমাধান:
(a/2) + 4 = (a/4) + 6
⇒ (a/2) - (a/4) = 6 - 4
⇒ (2a - a)/4 = 2
⇒ a/4 = 2
⇒ a = 2 × 4
∴ a = 8

৭,৮৫২.
x - 1/x = 4 হলে x4 + 1/x4 = কত?
  1. ক
    320
  2. খ
    322
  3. গ
    324
  4. ঘ
    328
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x - 1/x = 4 হলে x4 + 1/x4 = কত?

সমাধান:
x4 + 1/x4
= (x2)2 + (1/x2)2
= (x2 + 1/x2)2 - 2 . x2. 1/x2
= {(x - 1/x)2 + 2 . x . 1/x}2 - 2
= (42 + 2)2 - 2
= (16 + 2)2 - 2
= (18)2 - 2
= 324 - 2
= 322

৭,৮৫৩.
। 3x + 2 । < 7 অসমতাটির সমাধান কত ? 
  1. ক
    ক) - 2 < x < (2/3) 
  2. খ
    খ) 3 < x < (- 5/3) 
  3. গ
    গ) - 3 < x < (5/3) 
  4. ঘ
    ঘ) - 2 < x < (1/5) 
ব্যাখ্যা
। 3x + 2 । < 7
- 7 < 3x + 2  < 7
- 7 - 2 < 3x + 2 - 2 < 7 - 2
- 9 < 3x < 5 
(- 9/3) < (3x/3) < (5/3)
- 3 < x < (5/3) 
৭,৮৫৪.
16x4 + 36x2 + 81 কে 4x2 - 6x + 9 দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল কত হবে?
  1. ক
    4x2 + 6x + 9
  2. খ
    4x2 + 9
  3. গ
    4x2 - 6x + 9
  4. ঘ
    x2 - 9 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 16x4 + 36x2 + 81 কে 4x2 - 6x + 9 দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল কত হবে?

সমাধান: 

৭,৮৫৫.
If A is a finite set with n elements, then number of elements in the largest equivalence relation of A is…...
  1. ক
    ক) 1
  2. খ
    খ) n
  3. গ
    গ) n+1
  4. ঘ
    ঘ) 2n
ব্যাখ্যা

If A is a finite set with n elements, then number of elements in the largest equivalence relation of A is 2n

৭,৮৫৬.
একটি সংখ্যার একক স্থানীয় মান a এবং দশম স্থানীয় মান b হলে সংখ্যাটি কত?
  1. ক
    ক) 10ab
  2. খ
    খ) 10a + b
  3. গ
    গ) a + 10b
  4. ঘ
    ঘ) ab + 10
ব্যাখ্যা

সংখ্যাটির একক স্থানীয় মান a এবং দশম স্থানীয় মান b হলে, সংখ্যাটি -
a + 10 × b
= a + 10b

৭,৮৫৭.
a2 - a - 6 = 0 সমীকরণটির সমাধান নিচের কোনটি?
  1. ক
    - 3, - 2
  2. খ
    3, 3
  3. গ
    - 3, 2
  4. ঘ
    3, - 2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a2 - a - 6 = 0 সমীকরণটির সমাধান নিচের কোনটি?

সমাধান:
a2 - a - 6 = 0
⇒ a2 - 3a + 2a - 6 = 0
⇒ a(a - 3) + 2(a - 3) = 0
⇒ (a - 3)(a + 2) = 0

হয় a - 3 = 0
∴ a = 3

অথবা, a + 2 = 0
∴ a = - 2

∴ নির্ণেয় সমাধান: a = 3, - 2
৭,৮৫৮.
1+ ⅓ + 1/9 + ……. ধারাটির প্রথম 5 টি পদের সমষ্টি কত?
  1. ক
    ক) 119/81
  2. খ
    খ) 121/81
  3. গ
    গ) 81/121
  4. ঘ
    ঘ) 81/119
ব্যাখ্যা

প্রদত্ত গুণোত্তর ধারাটির প্রথম পদ, a = 1
এবং সাধারণ অনুপাত, r = ⅓   < 1
আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার প্রথম n পদের সমষ্টি,
Sₙ = a.(1-rⁿ)/(1-r) ; যখন r < 1
∴ ধারাটির প্রথম 5 টি পদের সমষ্টি
S₅ = 1{1-(⅓)⁵} / (1-⅓)
= (1-1/243) / ⅔
= 242/243 × 3/2
= 121/81

৭,৮৫৯.
একটি বাঁশের ১/৩ অংশ কাঁদায়, ৩/৫ অংশ পানিতে এবং ৬ হাত পানির উপরে আছে। বাঁশটি কত হাত লম্বা?
  1. ক
    ৬ হাত
  2. খ
    ২১ হাত
  3. গ
    ৫১ হাত
  4. ঘ
    ৯০ হাত
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বাঁশের ১/৩ অংশ কাঁদায়, ৩/৫ অংশ পানিতে এবং ৬ হাত পানির উপরে আছে। বাঁশটি কত হাত লম্বা?

সমাধান:
ধরি,
বাঁশটির দৈর্ঘ্য ক মিটার

প্রশ্নমতে
∴ ক - (ক/৩) - ৩ক/৫ = ৬
(১৫ক - ৫ক - ৯ক)/১৫ = ৬
⇒ (১৫ক - ১৪ক)/১৫ =৬
⇒ ক/১৫ = ৬
∴ ক = ৯০
৭,৮৬০.
a + 1/a = √5 হলে a6 + 1/a6 = কত?
  1. ক
    ক) 15
  2. খ
    খ) 18
  3. গ
    গ) 22
  4. ঘ
    ঘ) 25
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + 1/a = √5 হলে a6 + 1/a6 = কত? 

সমাধান: 
a6 + 1/a6 
= (a3)2 + (1/a3)2
= (a3 + 1/a3)2 - 2 × a3 × 1/a3
= [(a + 1/a)3 - 3 × a × 1/a (a + 1/a)]2 - 2
= [(√5)3 - 3√5]2 - 2
= [5√5 - 3√5]2 - 2
= (2√5)2 - 2
= (4 × 5) - 2
= 20 - 2
= 18
৭,৮৬১.
- 1 < x < 5 অসমতাটিকে পরমমান চিহ্ন ব্যবহার করে প্রকাশ করলে হবে-
  1. ক
    |x - 2| < 3
  2. খ
    |x + 2| < 3
  3. গ
    |x - 3| < 2
  4. ঘ
    |x + 3| < 2
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: - 1 < x < 5 অসমতাটিকে পরমমান চিহ্ন ব্যবহার করে প্রকাশ করলে হবে-

সমাধান:
⇒ - 1 < x < 5
⇒ - 1 - 2 < x - 2 < 5 - 2
⇒ - 3 < x - 2 < 3
⇒ |x - 2| < 3

∴ সমাধান: |x - 2| < 3

৭,৮৬২.
k এর মান কত হলে 24k - 10 = 1024 হবে?
  1. ক
    4
  2. খ
    5
  3. গ
    6
  4. ঘ
    7
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: k এর মান কত হলে 24k - 10 = 1024 হবে?

সমাধান:
 24k - 10 = 1024
⇒ 24k - 10 = 210
⇒ 4k - 10 = 10
⇒ 4k = 10 + 10
⇒ k = 20/4
∴ k = 5
৭,৮৬৩.
a2 + b2 = 25 এবং ab = 12 হলে a+b = কত?
  1. ক
    ক) ৬
  2. খ
    খ) ৭
  3. গ
    গ) ৮
  4. ঘ
    ঘ) ৯
ব্যাখ্যা
আমরা জানি, (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab = 25 +2×12 = 49
⇒ (a + b) = 7
৭,৮৬৪.
x4 + 4 এর উৎপাদক কত?
  1. ক
    (x2 + 2x + 2)(x2 - 2x + 2)
  2. খ
    (x2 - 2x + 2)(x2 - 2x + 2)
  3. গ
    (x2 + 2x + 4)(x2 - 2x + 2)
  4. ঘ
    (x2 + 2x - 2)(x2 - 2x + 2)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x4 + 4 এর উৎপাদক কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x4 + 4
= (x2)2 + 22
= (x2 + 2)2 - 2 . x2 . 2
= (x2 + 2)2 - (2x)2
= (x2 + 2 + 2x) - (x2 + 2 - 2x)
= (x2 + 2x + 2)(x2 - 2x + 2)
৭,৮৬৫.
যদি a2 + b2 + c2 + 3 = 2(a + b + c) হয়, তাহলে (a + b + c) = ?
  1. ক
    27
  2. খ
    9
  3. গ
    3
  4. ঘ
    4
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি a2 + b2 + c2 + 3 = 2(a + b + c) হয়, তাহলে (a + b + c) = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a2 + b2 + c2 + 3 = 2(a + b + c)
⇒ a2 + b2 + c2 + 3 = 2a + 2b + 2c
⇒ (a2 - 2a + 1) + (b2 - 2b + 1) + (c2 - 2c + 1) = 0
⇒ (a - 1)2 + (b - 1)2 + (c - 1)2 = 0

আমরা জানি, 
কতগুলো রাশির বর্গের সমষ্টি যদি শূন্য হয়, তাহলে প্রত্যেক পদের বর্গও শূন্য হবে। অর্থাৎ, 
(a - 1)2 = 0
⇒ a - 1 = 0
∴ a = 1 
একইভাবে, b = 1, c = 1

প্রদত্ত রাশি, 
a + b + c = 1 + 1 + 1 = 3
∴ a + b + c = 3

৭,৮৬৬.
x² + 13x + 36 ও x² - 30x + 216 এর গ.সা.গু. কত?
  1. ক
    ক) (x + 4)
  2. খ
    খ) (x - 18)
  3. গ
    গ) 1
  4. ঘ
    ঘ) কোনটি নয়
ব্যাখ্যা

১ম রাশি
x² + 13x + 36
= x² + 4x+ 9x + 36
= (x + 4)(x + 9) 
x² - 30x + 216
= x² - 18x - 12x + 216
= (x -18)(x - 12)
∴গ.সা.গু. = 1

৭,৮৬৭.
f(x) =x2 + 2x - 3 এবং g(x) = 3x - 4; fog= কত?
  1. ক
    9x2 - 18x - 5
  2. খ
    9x2 - 18x + 5
  3. গ
    3x2 + 6x - 13
  4. ঘ
    3x2 - 6x + 13
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: f(x) =x2 + 2x - 3 এবং g(x) = 3x - 4; fog= কত?

সমাধান:
g(x) = 3x - 4
f(g(x)) = f(3x - 4)

এখন,
f(x) = x2 + 2x - 3
∴ f(g(x)) = (3x - 4)2 + 2(3x - 4) - 3
= 9x2 - 24x + 16 + 6x - 8 - 3
= 9x2 - 18x + 5
৭,৮৬৮.
যদি 4x = 8x - 1, তবে x এর মান কত? 
  1. ক
    3
  2. খ
    4
  3. গ
    5
  4. ঘ
    6
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 4x = 8x - 1, তবে x এর মান কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
4x = 8x - 1
⇒ (22)x = (23)x - 1 
⇒ 22x = 23(x - 1)
⇒ 2x = 3x - 3
⇒ - x = - 3
∴ x = 3

৭,৮৬৯.
একটি গুণোত্তর অনুক্রমে তৃতীয় পদটি 20 এবং ষষ্ঠ পদটি 160 হলে প্রথম পদটি কত?
  1. ক
    ক) 2
  2. খ
    খ) 4
  3. গ
    গ) 5
  4. ঘ
    ঘ) 10
ব্যাখ্যা

প্রথম পদ a এবং সাধারণ অনুপাত r হলে n তম পদ = arⁿ⁻¹
∴ তৃতীয় পদ ar³⁻¹ = ar² = 20 ------- (i)
∴ ষষ্ঠ পদ ar⁶⁻¹ = ar⁵ = 160 ------- (ii)
এখন, (ii) ÷ (i)
⇒ r³ = 8
⇒ r³ = 2³
∴ r = 2
r এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই প্রথম পদ-
a.2² = 20
∴ a = 5

৭,৮৭০.
- 15 + a + 2a2 এর উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    (a + 4)(2a - 5)
  2. খ
    (a + 3)(2a - 3)
  3. গ
    (a + 3)(2a - 5)
  4. ঘ
    (a + 2)(2a - 5)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: - 15 + a + 2a2 এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান: 
- 15 + a + 2a2
= 2a2 + a - 15
= 2a2 + 6a - 5a - 15
= 2a(a + 3) - 5(a + 3)
= (a + 3)(2a - 5)
৭,৮৭১.
a + b = √7 এবং a - b = √6 হলে, 8ab (a2 + b2) = কত?
  1. ক
    10
  2. খ
    13
  3. গ
    15
  4. ঘ
    17
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = √7 এবং a - b = √6 হলে, 8ab (a2 + b2) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = √7
এবং a - b = √6

∴ প্রদত্ত রাশি = 8ab (a² + b²)
= 4ab × 2(a² + b²)
= {(a + b)2 - (a - b)2}{(a + b)2 + (a - b)2}
= {(√7)2 - (√6)2}{(√7)2 + (√6)2}
= (7 - 6)(7 + 6)
= 1 × 13
= 13
৭,৮৭২.
a³ - 6a² + 12a - 9 এর উৎপাদক সমূহ কোনটি?
  1. ক
    ক) (a - 3)(a³ - 3a + 3)
  2. খ
    খ) (a² - 3a + 3)
  3. গ
    গ) (a - 3)(a² - 3a + 3)
  4. ঘ
    ঘ) (a² - 3a + 3)
ব্যাখ্যা

a³ - 6a² + 12a - 9
= a³ - 6a² + 12a - 8 - 1
= (a - 2)³ - (1)³
= (a - 2 -1){(a - 2)² + (a - 2).1 + (1)²}
=(a - 3)(a² - 3a + 3)

৭,৮৭৩.
একটি সংখ্যার তিনগুণের সাথে দ্বিগুণ যোগ করলে ৯০ হয়। সংখ্যাটি কত?
  1. ক
    ২৪
  2. খ
    ২০
  3. গ
    ১৮
  4. ঘ
    ১৬
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সংখ্যার তিনগুণের সাথে দ্বিগুণ যোগ করলে ৯০ হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি ক 

৩ক + ২ক = ৯০
⇒ ৫ক = ৯০
⇒ ক = ১৮
৭,৮৭৪.
2x + 3y = 5 হলে 4x + 6y = কত?
  1. ক
    ক) 10
  2. খ
    খ) 12
  3. গ
    গ) 15
  4. ঘ
    ঘ) 20
ব্যাখ্যা

দেয়া আছে, 2x + 3y = 5 ...(i)
(i)×2 ⇒
4x + 6y = 10

৭,৮৭৫.
a2 - 2ab + 2b - 1 এর উৎপাদক হলো-
  1. ক
    (a + 1) (a - 2b + 1)
  2. খ
    (a - 1) (a - 2b + 1)
  3. গ
    (a - 1) (a - 2b - 1)
  4. ঘ
    (a - 1) (a + 2b + 1)
ব্যাখ্যা
a2 - 2ab + 2b - 1 
= a2 - 2ab + b2 - b2 + 2b - 1 
= (a - b)2 - (b2 - 2.b.1 + 12)
= (a - b)2 - ( b - 1)2  
= {(a - b) + (b - 1)}{(a - b) - (b - 1)}
= (a - b + b - 1) (a - b - b + 1)
= (a - 1) (a - 2b + 1)
৭,৮৭৬.
যদি x = √3 + √2 হয়, তবে x3 + (1/x3) এর মান কত?
  1. ক
    18√3
  2. খ
    26√2
  3. গ
    18√2
  4. ঘ
    24
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি x = √3 + √2 হয়, তবে x3 + (1/x3) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = √3 + √2

এখন
1/x = 1/(√3 + √2)
= (√3 + √2)/(√3 + √2)(√3 - √2) 
= (√3 - √2)/(√3)2 - (√2)2 
= √3 - √2 
∴ 1/x = √3 - √2 

∴ x + (1/x) = √3 + √2 + √3 -√2 = 2√3 

প্রদত্ত রাশি,
x3 + (1/x3) = (x + 1/x)3 - 3 . x . 1/x . (x + 1/x)
= (2√3)3 - 3(2√3)
= 24√3 - 6√3
= 18√3
৭,৮৭৭.
x2 - 3x + 1 = 0  হলে x2 - (1/x)2 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 5√5
  2. খ
    খ) 3√5
  3. গ
    গ) 5√3
  4. ঘ
    ঘ) 3√3
ব্যাখ্যা
দেওয়া আছে,
      x2 - 3x + 1 = 0
=> x2 + 1 = 3x
=> (x2 + 1)/x = 3x/x (x দ্বারা ভাগ করে)
=> x + 1/x = 3

এখন,
      (x- 1/x)2 = (x + 1/x)2 - 4x.(1/x)
      (x- 1/x)2  = (32 - 4)
      (x- 1/x)  = √5

∴  x2 - (1/x)2 =  (x + 1/x) (x- 1/x)
                 = 3√5
৭,৮৭৮.
p + q = 6 হলে pq এর সর্বোচ্চ মান কত?
  1. ক
    7
  2. খ
    8
  3. গ
    9
  4. ঘ
    12
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: p + q = 6 হলে pq এর সর্বোচ্চ মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p + q = 6
তাই,
p এর মান 1 হলে q এর মান 5 হয়।
∴ pq = 5
p এর মান 2 হলে q এর মান 4 হয়।
∴ pq = 8
p এর মান 3 হলে q এর মান 3 হয়।
∴ pq = 9
p এর মান 4 হলে q এর মান 2 হয়।
∴ pq = 8
p এর মান 5 হলে q এর মান 1 হয়।
∴ pq = 5
সুতরাং pq এর বৃহত্তম মান 9.
৭,৮৭৯.
একটি সমান্তর অনুক্রমে সাধারণ অন্তর 10 এবং 6 -তম পদটি 52 হলে 15 -তম পদটি -
  1. ক
    ক) 140
  2. খ
    খ) 142
  3. গ
    গ) 148
  4. ঘ
    ঘ) 150
ব্যাখ্যা

প্রথম পদ a ও সাধারণ অন্তর d হলে,
n তম পদ = a + (n-1)d
∴ 6 তম পদ = a + (n-1)d
⇒ 52 = a + (6-1)10
⇒ a = 52 - 50
∴ a = 2
∴ 15 তম পদ = 2 + (15-1)10
                 = 2+140
                 =142

৭,৮৮০.
শাকিলের বর্তমান বয়স আকিলের দ্বিগুণ। তিন বৎসর পূর্বে শাকিলের বয়স আকিলের বয়সের তিনগুণ ছিল। শাকিলের বর্তমান বয়স কত?
  1. ক
    ক) 6
  2. খ
    খ) 8
  3. গ
    গ) 10
  4. ঘ
    ঘ) 12
ব্যাখ্যা
 ধরি, আকিলের বর্তমান বয়স x বছর।
সুতরাং, শাকিলের বর্তমান বয়স 2x বছর।
প্রশ্নমতে,
(2x - 3) = 3(x - 3)
⇒ 2x - 3 = 3x - 9
⇒ x = 6
∴ শাকিলের বর্তমান বয়স = 2 × 6 = 12
৭,৮৮১.
9x + 3 = 27x + 1 হলে, x এর মান কত?
  1. ক
    2
  2. খ
    - 3
  3. গ
    3
  4. ঘ
    9
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 9x + 3 = 27x + 1 হলে, x এর মান কত?

সমাধান: 
9x + 3 = 27x + 1
⇒ (32)x + 3 = (33)x + 1
⇒ 32x + 6 = 33x + 3
⇒ 2x + 6 = 3x + 3
⇒ 3x - 2x = 6 - 3
∴ x = 3
৭,৮৮২.
দুই অংক বিশিষ্ট কোন সংখ্যার অংকদ্বয়ের যোগফল 11 এবং বিয়োগফল 1 হলে, সংখ্যাটি কত?
  1. ক
    ক) 56
  2. খ
    খ) 47
  3. গ
    গ) 74
  4. ঘ
    ঘ) 83
ব্যাখ্যা
মনে করি,
একক স্থানীয় অঙ্ক = x 
দশক স্থানীয় অঙ্ক = y  
সংখ্যাটি x + 10y 

প্রশ্নমতে,
x + y =11 .......... (1)
x - y = 1  .......... (2)

(1)নং ও (2) নং যোগ করে পাই
x + y + x - y = 11 + 1
2x = 12
x= 6

(1) নং এ x  এর মান বসিয়ে পাই 
6 + y = 11
y = 11 - 6 
y = 5

সংখ্যাটি = 6 + (10 × 5) = 56
৭,৮৮৩.
যদি A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {2, 3, 4, 6} এবং C = {1, 5, 6} হয়, তবে (A - B) ∪ C = কত?
  1. ক
    {2, 6}
  2. খ
    {5, 6}
  3. গ
    {1, 5, 6}
  4. ঘ
    {1, 4, 6}
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {2, 3, 4, 6} এবং C = {1, 5, 6} হয়, তবে (A - B) ∪ C = কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, 
B = {2, 3, 4, 6} এবং 
C = {1, 5, 6} 

এখন, 
A - B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} - {2, 3, 4, 6} 
= {1, 5} 

∴ (A - B) ∪ C 
= {1, 5} ∪ {1, 5, 6} 
= {1, 5, 6} 

৭,৮৮৪.
1 + 4 + 7 + 10 +............... + 61 = কত?
  1. ক
    521
  2. খ
    551
  3. গ
    651
  4. ঘ
    650
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 1 + 4 + 7 + 10 +............... + 61 = কত?

সমাধান:
ইহা একটি সমান্তর ধারা,
যার ১ম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 4 - 1 = 3
সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - 1)d

প্রশ্নমতে,
⇒ a + (n - 1)d = 61
⇒ 1 + (n - 1) × 3 = 61
⇒ n - 1 = 60/3
⇒ n - 1 = 20
⇒ n = 20 + 1
∴ n = 21

সমান্তর ধারার n তম পদের যোগফল, Sn= = (n/2){2a + (n - 1)d}
সমান্তর ধারার 21 তম পদের যোগফল, S21= (21/2){2 ×1 + (21 - 1) ×3}
= (21/2)(2 + 60)
= (21/2) × 62
= 21 × 31
= 651
৭,৮৮৫.
Ιx - 2Ι ≤ 5 হলে, x এর সর্বনিম্ন মান কত?
  1. ক
    1
  2. খ
    - 3
  3. গ
    - 1/2
  4. ঘ
    1/2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: Ιx - 2Ι ≤ 5 হলে, x এর সর্বনিম্ন মান কত?

সমাধান:
Ιx - 2Ι ≤ 5
বা, - 5 ≤ x - 2 ≤ 5 
বা, - 5 + 2 ≤ x - 2 + 2 ≤ 5 + 2 
বা, - 3 ≤ x ≤ 7 
∴ x -এর সর্বনিম্ন মান = - 3
৭,৮৮৬.
3x + 2y = 12 সমীকরণে কতটি সমাধান আছে?
  1. ক
    ক) সমাধান নাই
  2. খ
    খ) একটি
  3. গ
    গ) দুইটি
  4. ঘ
    ঘ) অসীম সংখ্যক
ব্যাখ্যা
3x + 2y = 12 সমীকরণটি x,y এর অসীম সংখ্যক মানের জন্য সিদ্ধ হয়। সুতরাং সমীকরণের অসীম সংখ্যক সমাধান রয়েছে।
৭,৮৮৭.
একটি পার্টিতে ১০০ জন অতিথির মধ্যে ৫৫ জন কোল্ডড্রিঙ্ক, ৪০ জন কফি নিয়েছে এবং ২০ জন কোনটিই নেয় নি। কতজন অতিথি শুধুমাত্র একটি পানীয় নিয়েছে?
  1. ক
    ১৫ জন
  2. খ
    ২৫ জন
  3. গ
    ৪০ জন
  4. ঘ
    ৬৫ জন
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি পার্টিতে ১০০ জন অতিথির মধ্যে ৫৫ জন কোল্ডড্রিঙ্ক, ৪০ জন কফি নিয়েছে এবং ২০ জন কোনটিই নেয় নি। কতজন অতিথি শুধুমাত্র একটি পানীয় নিয়েছে? 

সমাধান:
ধরি,
উভয় পানীয় নিয়েছে = ক জন
∴ শুধু কোল্ডড্রিঙ্ক নিয়েছে = (৫৫ - ক) জন
∴ শুধু কফি নিয়েছে = (৪০ - ক) জন

দেওয়া আছে,
কোনো পানীয় নেয় নি = ২০ জন

প্রশ্নমতে,
(৫৫ - ক) + ক + (৪০ - ক) + ২০ = ১০০
⇒ ৯৫ - ক = ১০০ - ২০
⇒ ৯৫ - ক = ৮০
⇒ ক = ৯৫ - ৮০
⇒ ক = ১৫

শুধু কোল্ডড্রিঙ্ক নিয়েছে নিয়েছে = (৫৫ - ১৫) জন = ৪০ জন 
শুধু কফি নিয়েছে = (৪০ - ১৫) জন = ২৫ জন

∴ শুধুমাত্র একটি পানীয় নিয়েছে = (৪০ + ২৫) জন = ৬৫ জন 

৭,৮৮৮.
যদি log(a/b) + log(b/a) = log(a + b) হয়, তবে- 
  1. ক
    a + b = 1
  2. খ
    a - b = 1
  3. গ
    a = b
  4. ঘ
    a2 - b2 = 1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি log(a/b) + log(b/a) = log(a + b) হয়, তবে- 

সমাধান:
log(a/b) + log(b/a) = log(a + b) 
⇒ log{(a/b) × (b/a)} = log(a + b) 
⇒ log1 = log(a + b) 
⇒ a + b = 1
৭,৮৮৯.
যদি A = {4, 5, 6, 7} এবং B = {3, 6, 8, 9} হয়, তাহলে A∪B = কত?
  1. ক
    ক) {4, 5, 6, 7, 8, 9}
  2. খ
    খ) {2, 3, 5, 6, 7, 8, 9}
  3. গ
    গ) {3, 5, 6, 7, 8, 9}
  4. ঘ
    ঘ) {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে,
A = {4, 5, 6, 7}
এবং B = {3, 6, 8, 9}
এখন, A∪B = {4, 5, 6, 7} ∪ {3, 6, 8, 9}
= {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

৭,৮৯০.
logx(1/512) = - 3 হলে, x এর মান কত?
  1. ক
    3
  2. খ
    5
  3. গ
    6
  4. ঘ
    8
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: logx(1/512) = - 3 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
logx(1/512) = - 3
বা, x- 3 = 1/512 [logba = c হলে, bc = a হয়]
বা, 1/(x3) = 1/512
বা, x3 = 512
বা, x3 = 83
∴ x = 8

৭,৮৯১.
7 + 12 + 17 + ............ ধারার 30টি পদের সমষ্টি কত?
  1. ক
    ক) 2245
  2. খ
    খ) 2385
  3. গ
    গ) 2428
  4. ঘ
    ঘ) 2529
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 7 + 12 + 17 + ............ ধারার 30টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধারাটির ১ম পদ a = 7,
সাধারণ অন্তর d = 12 - 7 = 5
এখানে পদ সংখ্যা n = 30

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি Sn = (n/2) × {2a + (n - 1)d}
30 টি পদের সমষ্টি S30 = (30/2) × {2 × 7 + (30 - 1)5}
= 15 × (14 + 29 × 5)
= 2385
৭,৮৯২.
  1. ক
    ক) 3
  2. খ
    খ) √3
  3. গ
    গ) 5
  4. ঘ
    ঘ) √5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:

সমাধান: 

৭,৮৯৩.
যদি A = {x : x2 = 25 অথবা 2x - 3 = 5} হয়, তবে A =?
  1. ক
    {- 5, 4, 5}
  2. খ
    {- 5, 5}
  3. গ
    {4, 4}
  4. ঘ
    { }
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি A = {x : x2 = 25 অথবা 2x - 3 = 5} হয় তবে A =?

সমাধান:
x2 = 25
∴ x = ± 5

2x - 3 = 5
⇒ 2x = 8
∴ x = 4

∴ A = {- 5, 4, 5}
৭,৮৯৪.
'AMERICA' শব্দটির বর্ণগুলো একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা 'CANADA' শব্দটির বর্ণ গুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যস্ত সংখ্যার কত গুণ?
  1. ক
    21 গুণ
  2. খ
    18 গুণ
  3. গ
    17 গুণ
  4. ঘ
    12 গুণ
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'AMERICA' শব্দটির বর্ণগুলো একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা 'CANADA' শব্দটির বর্ণ গুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যস্ত সংখ্যার কত গুণ?

সমাধান: 
AMERICA শব্দে মোট বর্ণ = 7 টি
এর মধ্যে A = 2 বার, বাকি সব বর্ণ 1 বার করে আছে।

∴ বিন্যাস সংখ্যা = 7!/2! = (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2)/2
= 7 × 6 × 5 × 4 × 3
= 2520

আবার,
CANADA শব্দে মোট বর্ণ = 6 টি
এর মধ্যে A = 3 বার, বাকি সব বর্ণ 1 বার করে আছে।

∴ বিন্যাস সংখ্যা = 6!/3!
= (6 × 5 × 4 × 3!)/3!
= 6 × 5 × 4
= 120

সুতরাং AMERICA শব্দের বিন্যাস সংখ্যা CANADA শব্দের বিন্যাস সংখ্যার 2520/120 = 21 গুণ।

৭,৮৯৫.
x + (1/9x) = 1 হয় তবে 27x3 + (1/27x3) এর মান কত?
  1. ক
    38
  2. খ
    26
  3. গ
    8
  4. ঘ
    18
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + (1/9x) = 1 হয় তবে 27x3 + (1/27x3) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + (1/9x) = 1
বা, 3x + 3/9x = 3  [উভয় পক্ষকে 3 দ্বারা গুণ করে]
বা, 3x + 1/3x = 3
বা, (3x + 1/3x)3 = 33
বা, (3x)3 + (1/3x)3 + 3 . 3x . 1/3x (3x + 1/3x) = 27
বা, 27x3 + 1/27x3 + 3 . 3 = 27
বা, 27x3 + 1/27x3 + 9 = 27
বা, 27x3 + 1/27x3 = 27 - 9
∴ 27x3 + 1/27x3 = 18

৭,৮৯৬.
দুইটি মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করলে সর্বোচ্চ একটি T আসার সম্ভবনা কত?
  1. ক
    ১/৪
  2. খ
    ১/২
  3. গ
    ৩/৪
  4. ঘ
    ২/৩
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করলে সর্বোচ্চ একটি T আসার সম্ভবনা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুটি মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করলে নমুনা হবে = HH, HT, TH, TT
সর্বোচ্চ একটি T আসে এমন ঘটনা = HH, HT, TH

∴ দুইটি মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করলে সর্বোচ্চ একটি T আসার সম্ভবনা = ৩/৪
৭,৮৯৭.
A = {x ∈ IN | 2 < x ≤ 8}
B = {x ∈ IN | x বিজোড় এবং x ≤ 9} হলে, A ∩ B = কত?
  1. ক
    {3, 5, 8}
  2. খ
    {4, 5, 7}
  3. গ
    {3, 4, 5}
  4. ঘ
    {3, 5, 7}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: A = {x ∈ IN | 2 < x ≤ 8}
B = {x ∈ IN | x বিজোড় এবং x ≤ 9} হলে, A ∩ B = কত?

সমাধান:
A = {x ∈ IN : 2 < x ≤ 8}
= {3, 4, 5, 6, 7, 8}

B = {x ∈ IN : x বিজোড় এবং x ≤ 9}
= {1, 3, 5, 7, 9}

সুতরাং, A ∩ B = {3, 4, 5, 6, 7, 8} ∩ {1, 3, 5, 7, 9}
= {3, 5, 7}
৭,৮৯৮.
যদি f(5) = 15 এবং g(x) = f(x + 2) - 5 হলে g(3) = কত?
  1. ক
    ক) 12
  2. খ
    খ) 10
  3. গ
    গ) 0
  4. ঘ
    ঘ) 20
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি f(5) = 15 এবং g(x) = f(x + 2) - 5 হলে g(3) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
f(5) = 15
g(x) = f(x + 2) - 5
এখন,
g(3) = f(3 + 2) - 5
= f(5) - 5
= 15 - 5
= 10

∴ g(3) = 10

৭,৮৯৯.
সেট A = {x∈Ν: x Fibonacci সংখ্যা এবং x2<500} হলে, P(A) এর উপাদান কয়টি?
  1. ক
    16
  2. খ
    32
  3. গ
    64
  4. ঘ
    128
ব্যাখ্যা
সেট A = {x∈Ν: x Fibonacci সংখ্যা এবং x²<500} হলে,
A = {1, 2, 3, 5, 8,13, 21}
P(A) এর উপাদান সংখ্যা = 27
৭,৯০০.
x4−3x−3 কে x+1 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?
  1. ক
    3
  2. খ
    1
  3. গ
    4
  4. ঘ
    2
ব্যাখ্যা
x4−3x−3 কে x+1 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?
 
নির্ণেয় ভাগশেষ = (-1)4 - 3(-1) - 3 [x = -1 বসিয়ে]
= 1 + 3 - 3
= 1