বীজগণিত

PrepBank · পাতা ৭৪ / ২০১ · ৭,৩০১–৭,৪০০ / ২০,২০৭

৭,৩০১.

১ থেকে ৪৮ পর্যন্ত ৫ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলোর মধ্যক কত?

ক
২৫
খ
২০
গ
৩০
ঘ
২৮

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১ থেকে ৪৮ পর্যন্ত ৫ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলোর মধ্যক কত?

সমাধান:
১ থেকে ৪৮ পর্যন্ত ৫ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো : ৫, ১০, ১৫, ২০, ২৫, ৩০, ৩৫, ৪০,৪৫
এখানে
n = ৯, যা একটি বিজোড় সংখ্যা।

∴ মধ্যক = (n + ১)/২ তম পদ
= (৯ + ১)/২ তম পদ
= ৫ তম পদ
= ২৫

৭,৩০২.

x² - 1 - y (y - 2) এর উৎপাদক কত?

ক
(x - y + 1) (x + y + 1)
খ
(x + y - 1) (x - y + 1)
গ
(x - y - 1) (x - y + 1)
ঘ
(x - y - 1) (x + y - 1)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² - 1 - y (y - 2) এর উৎপাদক কত?

সমাধান:
x² - 1 - y (y - 2)
= x² - 1 - y² + 2y
= x² - (y² - 2y + 1)
= x² - (y - 1)²
= (x + y - 1) (x - y + 1)

৭,৩০৩.

একটি ধনাত্মক সংখ্যা এবং ঐ সংখ্যার বর্গের অন্তর 56 হলে সংখ্যাটি কত?

ক
ক) 7
খ
খ) 8
গ
গ) 9
ঘ
ঘ) 10

ব্যাখ্যা

মনেকরি
সংখ্যাটি x

প্রশ্নমতে
x² - x = 56
x² - x - 56 = 0
x²- 8x + 7x - 56 = 0
x(x - 8) + 7(x - 8) = 0
(x - 8)(x + 7) = 0

হয় অথবা
x - 8 = 0 x + 7 = 0
x = 8 x = - 7 [গ্রহণযোগ্য নয়]

৭,৩০৪.

P = {x ∈ N : 3 < x ≤ 12}, Q = {x ∈ N : x বিজোড় সংখ্যা এবং x ≤ 15} হলে, P ∩ Q এর মান কত?

ক
{5, 7}
খ
{5, 7, 9, 11}
গ
{ }
ঘ
{9, 11}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: P = {x ∈ N : 3 < x ≤ 12}, Q = {x ∈ N : x বিজোড় সংখ্যা এবং x ≤ 15} হলে, P ∩ Q এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P = {x ∈ N : 3 < x ≤ 12}
Q = {x ∈ N : x বিজোড় সংখ্যা এবং x ≤ 15}

P = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
Q = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}

P ∩ Q = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} ∩ {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}
= {5, 7, 9, 11}

৭,৩০৫.

ফিবোনাক্কি সিরিজের অষ্টম পদ কোনটি?

ক
ক) ৩৪
খ
খ) ২১
গ
গ) ১৩
ঘ
ঘ) কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ফিবোনাক্কি সিরিজের অষ্টম পদ কোনটি?

সমাধান:
যে সিরিজে পরপর দুটি সংখ্যা যোগ করলে পরবর্তী সংখ্যাটি পাওয়া যায় তাকে ফিবোনাক্কি সিরিজ বলে।
০, ১, ১, ২, ৩, ৫, ৮, ১৩, ২১, ৩৪,................

ফিবোনাক্কি সিরিজের অষ্টম পদ = ১৩

৭,৩০৬.

যদি 3ln(1/x) = ln8 হয়, তাহলে x = ?

ক
1/2
খ
2
গ
-1/2
ঘ
-2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 3ln(1/x) = ln8 হয়, তাহলে x = ?

সমাধান:
3ln (1/x) = ln8
⇒ ln(1/x)³ = ln8
⇒ ln(1/x)³ = ln8
⇒ (1/x)³ = 8
⇒ x^-3= 8
⇒ (x^-3)^-1/3 = 8^-1/3⇒ x = 1/2

৭,৩০৭.

4^{x + 1} = 64 হলে x/2 এর মান কত?

ক
2
খ
1
গ
1/2
ঘ
1/4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4^{x + 1} = 64 হলে x/2 এর মান কত?

সমাধান:
4x + 1 = 64
(2²)^{x + 1} = 2⁶
2^{2x + 2} = 2⁶
2x + 2 = 6
2x = 6 - 2
2x = 4
x = 2
x/2 = 2/2
x/2 = 1

৭,৩০৮.

x² - 11x + 30 এবং x² - 12x + 35 এর গ.সা.গু. কত?

ক
1
খ
x
গ
(x - 6)(x - 5)(x - 7)
ঘ
(x - 5)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² - 11x + 30 এবং x² - 12x + 35 এর গ.সা.গু. কত?

সমাধান:
১ম রাশি = x² - 11x + 30
= x² - 6x - 5x + 30
= x(x - 6) -5(x - 6)
= (x - 6) (x - 5)

২য় রাশি = x² - 12x + 35
= x² - 5x - 7x + 35
= x(x - 5) - 7(x - 5)
= (x - 5)(x - 7)

∴ গ.সা.গু = x - 5

৭,৩০৯.

log₁₀ (x + 6) - log₁₀ (x + 2) = log₁₀ x হলে, x এর মান কত?

ক
2
খ
3
গ
-3
ঘ
2 বা -3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₁₀ (x + 6) - log₁₀ (x + 2) = log₁₀ x হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log₁₀ (x + 6) - log₁₀ (x + 2) = log₁₀ x
⇒ log₁₀ {(x + 6)/(x + 2)} = log₁₀ x
⇒ (x + 6)/(x + 2) = x
⇒ x² + 2x = x + 6
⇒ x² + 2x - x - 6 = 0
⇒ x² + x - 6 = 0
⇒ x² + 3x - 2x - 6 = 0
⇒ x(x + 3) - 2(x + 3) = 0
⇒ (x + 3)(x - 2) = 0
⇒ x = 2, - 3
∴ x = - 3; log₁₀(- 3) যা অসম্ভব ⇒ গ্রহণযোগ্য নয়

∴ x = 2

৭,৩১০.

3 + 9 + 27 + …… ধারাটির প্রথম 7টি পদের সমষ্টি কত?

ক
3276
খ
3279
গ
3280
ঘ
3283

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3 + 9 + 27 + …… ধারাটির প্রথম 7টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত r = 9/3 = 3
পদের সংখ্যা n = 7

তাহলে প্রথম 7টি পদের সমষ্টি:
S_n = a[(rⁿ- 1)/(r - 1)]
⇒ S₇ = 3 × [(3⁷- 1)/(3 - 1)]
= (3 × 2186)/2
= 3279

∴ 7টি পদের সমষ্টি 3279

৭,৩১১.

১ থেকে ১৭ পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যে ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলোর মধ্যক কত?

ক
৩
খ
৬
গ
৯
ঘ
১২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১ থেকে ১৭ পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যে ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলোর মধ্যক কত?

সমাধান:
১ থেকে ১৭ পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যে ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো ৩, ৬, ৯, ১২, ১৫

∴ ১ থেকে ১৭ পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যে ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলোর মধ্যক = ৯

৭,৩১২.

a = √6 + √5 হলে, a² + a^{- 2} এর মান কত?

ক
18
খ
22
গ
28
ঘ
32

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a = √6 + √5 হলে, a² + a^{- 2} এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a = √6 + √5
⇒ 1/a = 1/(√6 + √5)
⇒ 1/a = (√6 - √5)/(√6 + √5)(√6 - √5)
⇒ 1/a = (√6 - √5)/(√6)² - (√5)²
⇒ 1/a = √6 - √5
∴ a + (1/a) = √6 + √5 + √6 - √5 = 2√6

প্রদত্ত রাশি = a² + a^{- 2}
= a² + (1/a²)
= {a + (1/a)}² - 2 · a · (1/a)
= (2√6)² - 2
= 4 × 6 - 2
= 22

৭,৩১৩.

একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে ২৭ ও ৯ হলে, ধারাটির পঞ্চম পদ কত?

ক
ক) ১/৩
খ
খ) ১/৬
গ
গ) ১/৫
ঘ
ঘ) কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

এখানে a = 27 এবং r =:9/ 27 = 1/3, সুতরাং পঞ্চম পদ = ar^{n - 1} = 27×(1/3) ^{5 - 1} = 27 × (1/3)⁴ = 27/81 = 1/3

৭,৩১৪.

একটি দাবা টুর্নামেন্টে আটজন অংশগ্রহণ করেছে। একক পদ্ধতিতে মোট কয়টি খেলা পরিচালনা করা যাবে?

ক
ক) 4
খ
খ) 16
গ
গ) 24
ঘ
ঘ) 28

ব্যাখ্যা

দুইজন মিলে একটি খেলা অনুষ্ঠিত হবে।
মোট খেলার সংখ্যা হবে
= ⁸C₂
= 28

৭,৩১৫.

২ থেকে শুরু করে পরপর সাতটি জোড় সংখ্যার মধ্যক কত হবে?

ক
ক) ৬
খ
খ) ৮
গ
গ) ৭
ঘ
ঘ) ১০

ব্যাখ্যা

২ থেকে শুরু করে ছয়টি জোড় সংখ্যা = ২, ৪, ৬, ৮, ১০, ১২,১৪
এখানে,
n = ৭
∴ মধ্যক =(n +১)/২ তম পদ
=(৭ +১)/২ তম পদ
= ৪ তম পদ
= ৮

৭,৩১৬.

যদি 9a² + 1/a² = 2 হয়, তবে 27a³ + 1/a³ এর মান কত?

ক
ক) 4√2
খ
খ) 2√2
গ
গ) - 2√2
ঘ
ঘ) 34√2

ব্যাখ্যা

দেয়া আছে,
9a² + 1/a² = 2
(3a)² + (1/a)² = 2
(3a + 1/a)² - 2 .3a. 1/a = 2
(3a + 1/a)² = 2 + 6
(3a + 1/a)² = 8
3a + 1/a = √8
3a + 1/a = 2√2

27a³ + 1/a³ = (3a)³ + (1/a)³
= (3a + 1/a)³ - 3.3a.(1/a)(3a + 1/a)
= (2√2)³ - 9(2√2)
= 16√2 - 18√2
= - 2√2

৭,৩১৭.

log_√24 × log_√33 = কত?

ক
6
খ
2
গ
4
ঘ
8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_√24 × log_√33 = কত?

সমাধান:
log_√24 × log_√33
= log_√2(√2)⁴ × log_√3(√3)²
= 4 log_√2√2 × 2 log_√3√3
= 4 · 1 × 2 · 1
= 8

৭,৩১৮.

log₃81 + log_√39√3 - log_√232√2 এর মান কত?

ক
1
খ
- 1
গ
2
ঘ
- 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₃81 + log_√39√3 - log_√232√2 এর মান কত?

সমাধান:
log₃81 + log_√39√3 - log_√232√2
= log₃3⁴ + log_√3(√3)⁵ - log_√2(√2)¹¹
= 4 + 5 - 11
= - 2

৭,৩১৯.

625(√5)^2a = 1 হলে, a এর মান কত?

ক
1
খ
- 2
গ
- 4
ঘ
5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 625(√5)^2a = 1 হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
⇒ (√5)^2a = 1/625
⇒ (√5)^2a = 1/5⁴
⇒ (√5)^2a = 1/(√5)⁸
⇒ (√5)^2a = (√5)^{- 8}
⇒ 2a = - 8
∴ a = - 4

৭,৩২০.

63.70 এর লগের পূর্ণক নির্ণয় করুন।

ক
- 1
খ
1
গ
2
ঘ
0

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 63.70 এর লগের পূর্ণক নির্ণয় করুন।

সমাধান:
যেকোনো সংখ্যা N কে বৈজ্ঞানিক আকারে প্রকাশ করে পাওয়া যায়, N = a ×10ⁿ, যেখানে N > 0, 1≤ a ≤ 10 এবং n ∈ Z
যেমন: ৫০০ = ৫ × ১০^২
৩৩৩৩ = ৩.৩৩৩ × ১০^৩
০.২৫ = ২.৫ × ১০^-১

N = a × 10ⁿ
⇒ log₁₀N = log₁₀ (a × 10ⁿ) [উভয় পক্ষে 10 ভিত্তিতে লগ নিয়ে]
⇒ log₁₀N = log₁₀a + log₁₀10ⁿ
⇒ log₁₀N = log₁₀a + nlog₁₀10
⇒ log₁₀N = n + log₁₀a [ log10 10 = 1]
∴ log₁₀N= n + log₁₀a
logN = n + loga [ভিত্তি 10 উহ্য রেখে]
এখানে, n কে বলা হয় logN এর পূর্ণক। অর্থাৎ, কোন সংখ্যাকে বৈজ্ঞানিক আকারে প্রকাশ করার পর ১০ এর যে ঘাত পাওয়া যায় সেই ঘাতকে পূর্ণক বলে।

প্রদত্ত সংখ্যাটি,
63.70
= 6.370 × 10¹
∴ 63.70 এর লগের পূর্ণক 1

৭,৩২১.

(x/5)^p = 1 হলে, p এর মান কত?

ক
0
খ
1
গ
- 5
ঘ
5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (x/5)^p = 1 হলে, p এর মান কত?

সমাধান:
(x/5)^p = 1
বা, (x/5)^p = (x/5)⁰
p = 0

৭,৩২২.

ক
6/5
খ
5/6
গ
1
ঘ
5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৭,৩২৩.

x³ - 7x - 6 রাশিটির উৎপাদক নয় কোনটি?

ক
x + 1
খ
x + 2
গ
x - 3
ঘ
x - 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x³ - 7x - 6 রাশিটির উৎপাদক নয় কোনটি?

সমাধান:
ধরি
f(x) = x³ - 7x - 6
f( - 1) = ( - 1)³ - 7( - 1) - 6
= - 1 + 7 - 6
= 7 - 7
= 0

f(x) = x³ - 7x - 6
f( - 2) = ( - 2)³ - 7( - 2) - 6
= - 8 + 14 - 6
= 14 - 14
= 0

f(x) = x³ - 7x - 6
f( 3) = (3)³ - 7(3) - 6
= 27 - 21 - 6
= 27 - 27
= 0

f(x) = x³ - 7x - 6
f( 1) = (1)3 - 7(1) - 6
= 1 - 7 - 6
= 1 - 13
= - 12

x - 1, x³ - 7x - 6 রাশিটির উৎপাদক নয়।

৭,৩২৪.

9টি জিনিসের মধ্যে 2টি এক জাতীয় এবং বাকীগুলো ভিন্ন ভিন্ন জিনিস। ঐ জিনিসগুলো থেকে প্রতিবার 5টি নিয়ে কত প্রকারে বাছাই করা যায়?

ক
89
খ
90
গ
91
ঘ
92

ব্যাখ্যা

2টি একই জাতীয় জিনিস বাদ দিয়ে বাছাই করা যায় ⁷c₃ = 35
আবার,
2টি একই জাতীয় হলে মোট 8 ধরণের জিনিস হতে 5টি নিয়ে বাছাই করা যায়
=⁸c₅ = 56
∴ বাছাই করার মোট উপায় = 35 + 56 = 91

৭,৩২৫.

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + …… ধারাটির ১ম আটটি পদের সমষ্টি কত?

ক
ক) 256/255
খ
খ) -(256/255)
গ
গ) -(255/256)
ঘ
ঘ) 255/256

ব্যাখ্যা

১ম পদ (a) = 1/2
সাধারণ অনুপাত (r) = (1/4)/(1/2)
= 1/4 × 2
= 1/2 < 1
পদসংখ্যা (n) = 8

∴ সমষ্টি (s) = a.{(1 - rⁿ)/(1 - r)}
= (1/2){(1 - (1/2)⁸)/(1 - 1/2)}
= (1/2){(1 - 1/256)/(1/2)}
= 1 - 1/256
= 255/256

৭,৩২৬.

কোন দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় একে অপরের বিপরীত হলে মূলদ্বয়ের গুণফলের অর্ধেক কত?

ক
ক) 1
খ
খ) 2
গ
গ) 1/2
ঘ
ঘ) 1/4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় একে অপরের বিপরীত হলে মূলদ্বয়ের গুণফলের অর্ধেক কত?

সমাধান:

মনে করি,
দ্বিঘাত সমীকরণের একটি মূল = ‍a
দ্বিঘাত সমীকরণের অপর মূল = 1/a

∴ মূলদ্বয়ের গুণফল = a.1/a = 1
∴ মূলদ্বয়ের গুণফলের অর্ধেক = 1/2

৭,৩২৭.

একটি ক্লাসের 12 জন শিক্ষকের মধ্যে 4 জনকে একটি কমিটিতে বাছাই করতে হবে। কত উপায়ে বাছাই সম্ভব?

ক
408 উপায়ে
খ
495 উপায়ে
গ
462 উপায়ে
ঘ
528 উপায়ে

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ক্লাসের 12 জন শিক্ষকের মধ্যে 4 জনকে একটি কমিটিতে বাছাই করতে হবে। কত উপায়ে বাছাই সম্ভব?

সমাধান:
এখানে,
শিক্ষকের সংখ্যা = 12 জন
কমিটিতে স্থান দিতে হবে = 4 জন

∴ এদের মধ্য থেকে বাছাই করতে হবে = ¹²C₄
= 12!/4! . (12 - 4)!
= 12!/4! . 8!
= 12⋅11⋅10⋅9. 8! /8! . 4 . 3 . 2 . 1
= 495

∴ 495 উপায়ে বাছাই করা সম্ভব।

৭,৩২৮.

a + a^{- 1} = 3 হলে, a⁴ + (a^{- 1})⁴ এর মান কত?

ক
37
খ
43
গ
47
ঘ
53

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a + a^{- 1} = 3 হলে, a⁴ + (a^{- 1})⁴ এর মান কত?

সমাধান:
a⁴ + (a- 1)⁴ = a⁴ + (1/a⁴)
= (a²)² + (1/a²)²
= {a² + (1/a²)}² - 2 ⋅ a² ⋅ (1/a²)
= [{a + (1/a)}² - 2 ⋅ a ⋅ (1/a)]² - 2
= (3² - 2)² - 2 [যেহেতু, a + a^{- 1} = 3 বা, a + (1/a) = 3]
= 7² - 2
= 47

৭,৩২৯.

xy লেখচিত্র সমীকরণ y =(-1/2)x + 3 এর রেখা যদি (c ,- c) লেখবিন্দুর মধ্য দিয়ে গেলে c এর মান কত?

ক
ক) - 6
খ
খ) - 3
গ
গ) 2
ঘ
ঘ) 3

ব্যাখ্যা

দেয়া আছে,
xy লেখচিত্র সমীকরণ y =(-1/2)x + 3

রেখা যদি (c ,- c) লেখবিন্দুর মধ্য দিয়ে
তাহলে,
- c = (-1/2)c + 3
c = (c/2) - 3
c - (c/2) = - 3
(2c - c)/2 = - 3
c/2 = -3
c = - 6

৭,৩৩০.

যদি x = √3 + √2 হয়, তাহলে, x³ + (1/x³) এর মান কত?

ক
ক) 18√2
খ
খ) 12√3
গ
গ) 9√2
ঘ
ঘ) 18√3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x = √3 + √2 হয়, তাহলে, x³ + (1/x³) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = √3 + √2
বা, 1/x = √3 - √2

এখন,
x + 1/x = √3 + √2 + √3 - √2
∴ x + 1/x = 2√3

আমরা জানি,
x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³ - 3.x.(1/x)(x + 1/x)
= (2√3)³ - 3. 2√3
= 24√3 - 6√3
= 18√3

৭,৩৩১.

6x² - 7x + 5 কে x - 1 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?

ক
2
খ
3
গ
4
ঘ
5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 6x² - 7x + 5 কে x - 1 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
f(x) = 6x² - 7x + 5

ভাগশেষ উপপাদ্যের অনুসারে,
f(1) = 6(1)² - 7.1 + 5
= 6 - 7 + 5
= 11 - 7
= 4

∴ 6x² - 7x + 5 কে x - 1 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 4 হবে।

৭,৩৩২.

যদি ⁿC_r = 15 এবং ⁿP_r = 360 হয় তবে r = ?

ক
24
খ
16
গ
12
ঘ
4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি ⁿC_r = 15 এবং ⁿP_r = 360 হয় তবে r = ?

সমাধান:
আমরা জানি,
r! × ⁿC_r = ⁿP_rবা, r! × 15 = 360
বা, r! = 360/15
বা, r! = 24
বা, r! = 4!
∴ r = 4

৭,৩৩৩.

দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যা, অংকদ্বয়ের স্থান বিনিময়ের ফলে 45 বৃদ্ধি পায়। অংক দুইটির যোগফল 9 হলে সংখ্যাটি কত?

ক
36
খ
72
গ
27
ঘ
81

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যা, অংকদ্বয়ের স্থান বিনিময়ের ফলে 45 বৃদ্ধি পায়। অংক দুইটির যোগফল 9 হলে সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি, একক স্থানীয় অংক = x এবং দশক স্থানীয় অংক = (9 - x)
∴ সংখ্যাটি = x + 10(9 - x) = 90 - 9x

অংকদ্বয়ের স্থান বিনিময়ের পর সংখ্যাটি = 10x + (9 - x) = 9x + 9

প্রশ্নমতে, (9x + 9) - (90 - 9x) = 45
⇒ 9x + 9 - 90 + 9x = 45
⇒ 18x - 81 = 45
⇒ 18x = 45 + 81
⇒ 18x = 126
⇒ x = 126/18
⇒ x = 7

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি = 90 - (9 × 7) = 90 - 63 = 27

৭,৩৩৪.

1 + 3 + 5 + ...... + (2a - 1) = কত?

ক
a(a + 1)
খ
a²
গ
a(a + 1)/2
ঘ
a

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 + 3 + 5 + ...... + (2a - 1) = কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ = 1
সাধারণ অন্তর = 3 - 1 = 2
শেষ পদ = 2a - 1

∴ পদসংখ্যা = {(শেষ পদ ১ম পদ)/সাধারণ অন্তর} + 1
= {(2a - 1 - 1)/2} + 1
= {2(a - 1)/2} + 1
= a - 1 + 1
= a

∴ সমষ্টি = {(শেষ পদ ১ম পদ)/2} × পদসংখ্যা
= {(2a - 1 + 1)/2} × a
= (2a/2) × a
= a²

৭,৩৩৫.

729 এর 3 ভিত্তিক লগারিদম কত?

ক
4
খ
5
গ
7
ঘ
6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 729 এর 3 ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান:
729 এর 3 ভিত্তিক লগারিদম = log₃729
= log₃3⁶
= 6 log₃3
= 6 × 1
= 6

৭,৩৩৬.

এর সমাধান-

ক
11/7
খ
13/5
গ
5
ঘ
9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: এর সমাধান-

সমাধান:

৭,৩৩৭.

যদি 5^a + 8.5^a + 16.5^a = 1 হয়, তবে a এর মান কত?

ক
- 1
খ
- 2
গ
1
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 5^a + 8.5^a + 16.5^a = 1 হয়, তবে a এর মান কত?

সমাধান:
5^a + 8.5^a + 16.5^a = 1
ধরি,
5^a = x
∴ x + 8x + 16x = 1
⇒ 25x = 1
⇒ x = 1/25
⇒ 5^a = 5^{- 2}∴ a = - 2

৭,৩৩৮.

(x - 6) = (x - 6)/x, সমীকরণটির সমাধান কত?

ক
x = (6, 1)
খ
x = (2, 3)
গ
x = (1, 1)
ঘ
x = (4, 2)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (x - 6) = (x - 6)/x, সমীকরণটির সমাধান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(x - 6) = (x - 6)/x
⇒ x(x - 6) = (x - 6)
⇒ x² - 6x - x + 6 = 0
⇒ x(x - 6) - 1(x - 6) = 0
⇒ (x - 6)(x - 1) = 0
∴ x = 6, 1

৭,৩৩৯.

x পূর্ণ সংখ্যা এবং হলে x এর বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মানের পার্থক্য কত?

ক
11
খ
12
গ
13
ঘ
14

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x পূর্ণ সংখ্যা এবং হলে x এর বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মানের পার্থক্য কত?

সমাধান:
এখানে,
- 1 ≤ (3x - 4)/7 ≤ 5
⇒ - 7 ≤ 3x - 4 ≤ 35
⇒ - 7 + 4 ≤ 3x - 4 + 4 ≤ 35 + 4
⇒ - 3 ≤ 3x ≤ 39
⇒ - 1 ≤ x ≤ 13

∴ x এর বৃহত্তম মান = 13
এবং ক্ষুদ্রতম মান = - 1
∴ পার্থক্য = 13 - (- 1) = 13 + 1 = 14

৭,৩৪০.

x এর মান কত হলে a(x - a) = b(x - b) হবে?

ক
ক) a + b
খ
খ) ab
গ
গ) a - b
ঘ
ঘ) a/b

ব্যাখ্যা

a(x - a) = b(x - b)
⇒ ax - a² = bx - b²
⇒ ax - bx = a² - b²;
⇒ x(a - b) = (a + b)(a - b)
∴ x = a + b

৭,৩৪১.

(3/5)³ (3/5)^{- 6}= (3/5)^{2x - 1} হলে x এর মান কত?

ক
ক) - 1
খ
খ) 1
গ
গ) 2
ঘ
ঘ) - 2

ব্যাখ্যা

(3/5)³ (3/5)^{- 6}=(3/5)^{2x - 1}
(3/5)^{3 - 6}= (3/5)^{2x - 1}
(3/5)^{- 3} = (3/5)^{2x - 1}
- 3 = 2x - 1
- 3 + 1 = 2x
- 2 = 2x
x = - 2 /2
x = - 1

৭,৩৪২.

একটি দাবা খেলার প্রতিযোগিতায় ৩ জন প্রতিযোগীর প্রত্যেকে অন্য একজন খেলোয়াড়ের সাথে একবার মাত্র খেলবে। সর্বমোট কতগুলো খেলা অনুষ্ঠিত হবে?

ক
ক) ৩টি
খ
খ) ৪টি
গ
গ) ৫টি
ঘ
ঘ) ৬টি

ব্যাখ্যা

খেলা অনুষ্ঠিত হওয়ার মোট উপায় = ³C₂ = 3!/{2!(3-2)!} = 3!/2! = 3

৭,৩৪৩.

2^{(a - 1)} = 4√2 হলে, a এর মান কত?

ক
3/2
খ
5/2
গ
1/2
ঘ
7/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2^{(a - 1)} = 4√2 হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
2^{(a - 1)} = 4√2
⇒ 2^{(a - 1)}= 2². 2^1/2
⇒ 2^{(a - 1)} = 2^{(2 + 1/2)}
⇒ a - 1 = 5/2
⇒ a = 1 + (5/2)
∴ a = 7/2

৭,৩৪৪.

P ={ x ∈ N : 2 < x ≤ 8} এবং Q = { x ∈ N : জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 10} হলে, P ∩ Q এর মান কত?

ক
{4, 6, 10}
খ
{4, 6, 8}
গ
{6, 8, 10}
ঘ
{2, 4, 6}

ব্যাখ্যা

দেয়া আছে,
P ={ x ∈ N : 2 < x ≤ 8}
Q = { x ∈ N : জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 10}

P = {3, 4, 5, 6, 7, 8}
Q = {2, 4, 6, 8,10}

P ∩ Q = {3, 4, 5, 6, 7, 8} ∩ {2, 4, 6, 8,10}
= {4, 6, 8}

৭,৩৪৫.

m এর মান কত হলে 4x² - mx + 16 একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে?

ক
ক) 12
খ
খ) 14
গ
গ) 16
ঘ
ঘ) 20

ব্যাখ্যা

4x² - mx + 16 = (2x)² - 2.2x.4 + 4² - mx + 16x
= (2x - 4)² + 16x - mx

4x² - mx + 16 একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে যদি
16x - mx = 0
16x = mx
m = 16

৭,৩৪৬.

যদি a + b = 15 এবং a² + b² = 117 হয়, তবে ab এর মান কত?

ক
54
খ
60
গ
64
ঘ
72

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি a + b = 15 এবং a² + b² = 117 হয়, তবে ab এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, a + b = 15 এবং a² + b² = 117

আমরা জানি,
a² + b² = (a + b)² - 2ab
⇒ 2ab = (a + b)² - (a² + b²)
⇒ 2ab = 15² - 117
⇒ 2ab = 225 - 117
⇒ 2ab = 108
⇒ ab = 108/2
∴ ab = 54

৭,৩৪৭.

একটি সমান্তর ধারার চতুর্থ ও দ্বাদশ পদের যোগফল 20 হলে প্রথম পনেরটি পদের যোগফল কত?

ক
ক) 300
খ
খ) 150
গ
গ) 130
ঘ
ঘ) 120

ব্যাখ্যা

ধরি, ১ম পদ = a সাধারন অন্তর = d
∴ ৪র্থ পদ = a + (4 - 1)d = a = 3d
১২ তম পদ = a + (12 - 1)d = a + 11d
পদ্বদয়ের সমষ্টি = 2a + 14d = 20
∴ ১ম পনেরটি পদের সমষ্টি
= 15/2{2a + (15-1d)}
=15/2 × (2a + 14d)
= 15/2 × 20 = 150

৭,৩৪৮.

যদি log₁₀x = - 3 হয়, তবে x এর মান কত?

ক
0.1
খ
0.01
গ
0.001
ঘ
0.0001

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি log₁₀x = - 3 হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log₁₀x = - 3
⇒ x = 10^{- 3}
⇒ x = 1/10³
⇒ x = 1/1000
∴ x = 0.001

৭,৩৪৯.

পুনরাবৃত্তি না করে 1, 3, 0, 3, 5, 5 অঙ্কগুলি দ্বারা 100000 এর চেয়ে বৃহত্তর কতগুলি সংখ্যা গঠন করা যাবে?

ক
30
খ
150
গ
180
ঘ
260

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত 6 টি অঙ্কের মধ্যে 2 টি 3, 2টি 5 আছে।
এ ছয়টি অঙ্ক দ্বারা 6!/(2!2!) = 180 টি সংখ্যা গঠন করা যায়।
0 দ্বারা আরম্ভ হয় এরুপ সংখ্যা = 5!/2!2! = 30 টি
100000 এর চেয়ে বৃহত্তর সংখ্যা গঠন করা যাবে = (180 - 30) টি = 150 টি

৭,৩৫০.

a⁴ + 4 এর উৎপাদক কত?

ক
(a² - 2a - 2) (a² - 2a + 2)
খ
(a² - 2a + 2) (a² + 2a - 2)
গ
(a² + 2a + 2) (a² + 2a - 2)
ঘ
(a² + 2a + 2) (a² - 2a + 2)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a⁴ + 4 এর উৎপাদক কত?

সমাধান:
a⁴ + 4
= a⁴+ 4 + 4a² - 4a²
= (a²)² + 2. a². 2 + (2)² - (2a)²
= (a² + 2)² - (2a)²
= (a² + 2 + 2a) (a² + 2 - 2a)
= (a² + 2a + 2) (a² - 2a + 2)

৭,৩৫১.

একটি সমান্তর ধারার ৩য় পদ এবং ৮ম পদ যথাক্রমে - 13 এবং 2 হলে, ধারাটির ১৪তম পদ কত?

ক
17
খ
25
গ
30
ঘ
20

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার ৩য় পদ এবং ৮ম পদ যথাক্রমে - 13 এবং 2 হলে, ধারাটির ১৪তম পদ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
a_n = a + (n - 1)d
দেওয়া আছে,
a₃ = a + 2d = - 13 .......(1)
a₈ = a + 7d = 2 .......(2)

এখন (2) থেকে (1) বিয়োগ করে পাই,
(a + 7d) - (a + 2d) = 2 - (- 13)
⇒ 5d = 15
⇒ d = 15/5 = 3
∴ d = 3

d এর মান (1) বসিয়ে পাই,
⇒ a + 2 × 3 = - 13
⇒ a + 6 = - 13
⇒ a = - 13 - 6
∴ a = - 19

এখন ১৪তম পদ, a₁₄ = a + 13d
= - 19 + 13 × 3
= - 19 + 39
= 20

সুতরাং, ধারাটির ১৪তম পদ = 20

৭,৩৫২.

4^{x + 1} = 32 হলে x এর মান কত?

ক
4
খ
3
গ
3/2
ঘ
5/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4^{x + 1} = 32 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
4^{x + 1} = 32
⇒ (2²)^{x + 1} = 2⁵
⇒ 2x + 2 = 5
⇒ 2x = 3
∴ x = 3/2

৭,৩৫৩.

এক প্যাকেট তাস থেকে দৈবভাবে ২টি তাস নেয়া হলে, তাস দুটি টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
1/13
খ
1/26
গ
1/221
ঘ
1/236

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: এক প্যাকেট তাস থেকে দৈবভাবে ২টি তাস নেয়া হলে, তাস দুটি টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
এক প্যাকেটে তাস থাকে = 52 টি
এক প্যাকেটে টেক্কা থাকে = 4 টি

4টি টেক্কা থেকে 2 টি টেক্কা নেওয়ার উপায় = ⁴C₂ = 6
52টি তাস থেকে 2টি তাস নেওয়ার উপায় = ⁵²C₂ = 1326

∴ সম্ভাবনা = 6/1326 = 1/221

৭,৩৫৪.

ab < 0 এবং a < b হলে নিচের কোনটি ধনাত্মক?

ক
ক) a
খ
খ) ab²
গ
গ) a²b
ঘ
ঘ) ab

ব্যাখ্যা

যেহেতু, a < b এবং ab < 0
∴ a < 0 এবং b > 0
∴ a²b সর্বদা ধনাত্মক।

৭,৩৫৫.

= কত?

ক
ক) 64
খ
খ) 128
গ
গ) 156
ঘ
ঘ) 256

ব্যাখ্যা

(√2)⁸ × (2^1/3)⁹
= (2^1/2)⁸ × (2^1/3)⁹
= 2⁴ × 2³
= 2^{4 + 3}
= 2⁷
= 128

৭,৩৫৬.

|5 + 2x| < 7 হলে, কোনটি সত্য?

ক
- 6 < x < 1
খ
- 9 < x < 3
গ
- 2 < x < 9
ঘ
- 3 < x < - 9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |5 + 2x| < 7 হলে, কোনটি সত্য?

সমাধান:
প্রদত্ত অসমতা: |5 + 2x| < 7
⇒ - 7 < 5 + 2x < 7
⇒ - 7 - 5 < 5 + 2x - 5 < 7 - 5
⇒ - 12 < 2x < 2
⇒ - 12/2 < 2x/2 < 2/2
⇒ - 6 < x < 1

∴ - 6 < x < 1

৭,৩৫৭.

4a² - 12ab + 9b² - 4c² এর সঠিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ হলো-

ক
ক) (a - 3b + 3c)(3a - 3b - 2c)
খ
খ) (2a - 3b + 2c)(3a - 2b - 3c)
গ
গ) (2a - 3b + 2c)(2a - 3b - 2c)
ঘ
ঘ) (3a - 2b + 2c)(2a - 3b - 2c)

ব্যাখ্যা

4a² - 12ab + 9b² -4c²
(2a)² - 2.2a.3b + (3b)² - (2c)²
(2a - 3b)² - (2c)²
{(2a - 3b) + 2c}{(2a - 3b) - 2c}
(2a - 3b + 2c)(2a - 3b - 2c)

৭,৩৫৮.

ক
a¹⁶/b⁸
খ
a¹⁶.b⁸
গ
a/b
ঘ
1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৭,৩৫৯.

একটি টুর্নামেন্টে ৭টি দল অংশগ্রহণ করেছে, একক লীগ পদ্ধতিতে খেলা হলে মোট কতটি খেলা পরিচালনা করতে হবে?

ক
২১টি
খ
২২টি
গ
২৮টি
ঘ
৪৯টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি টুর্নামেন্টে ৭টি দল অংশগ্রহণ করেছে, একক লীগ পদ্ধতিতে খেলা হলে মোট কতটি খেলা পরিচালনা করতে হবে?

সমাধান:
৭টি দল অংশগ্রহণ করে একক লীগ পদ্ধতিতে খেলা হলে প্রত্যেকে প্রত্যেকের সংখ্যা ১টি করে খেলা খেলবে।
তাহলে মোট খেলা হবে ^৭C_২ = ২১টি।

৭,৩৬০.

log₂√20 + log₂√(4/5) = কত?

ক
0
খ
1
গ
2
ঘ
1/4

ব্যাখ্যা

log₂√20 + log₂√4/5
= log₂√(4 × 5) + log₂√4/5
= log₂√4 × √5 + log₂√4/√5
= log₂√4 + log₂√5 + log₂√4 - log₂√5
= log₂2 + log₂2
= 1 + 1 = 2

৭,৩৬১.

3x যদি 15 থেকে 6 বেশি হয়, তাহলে 4x + 2 = কত?

ক
28
খ
30
গ
40
ঘ
47

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3x যদি 15 থেকে 6 বেশি হয়, তাহলে 4x + 2 = কত?

সমাধান:
প্রশ্নমতে,
⇒ 3x = 15 + 6
⇒ 3x = 21
⇒ x = 21/3
⇒ x = 7

∴ 4x + 2 = 4 × 7 + 2 = 30

৭,৩৬২.

A = {1, 2}, B = {2, 5} হলে P(A) ∩ P(B) = ?

ক
ক) {1, 2}
খ
খ) {2}
গ
গ) {∅, {2}}
ঘ
ঘ) {∅}

ব্যাখ্যা

P(A) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}
P(B) = {∅, {2}, {5}, {2, 5}}
∴ P(A) ∩ P(B) = {{∅, {2}}

৭,৩৬৩.

A = {x ∈ N : 5x < 30} হলে, A এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

ক
32
খ
40
গ
31
ঘ
25

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A = {x ∈ N : 5x < 30} হলে, A এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

সমাধান:
A = {x ∈ N : 5x < 30}
⇒ 5x < 30
⇒ x < 6
অর্থাৎ 6 এর চেয়ে ছোট সকল স্বাভাবিক সংখ্যা হলো A সেটের উপাদান।
∴ A = {1, 2, 3, 4, 5}

∴ A সেটের প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 2ⁿ - 1 = 2⁵ - 1 = 32 - 1 = 31

৭,৩৬৪.

x + y = 7; x - y = 3 হলে, (x, y) এর মান কত?

ক
ক) (1, 3)
খ
খ) (5, 2)
গ
গ) (0, 6)
ঘ
ঘ) (4, 3)

ব্যাখ্যা

x + y = 7 .......(1)
x - y = 3 ...........(2)
(1) + (2) করে
2x = 10
x = 5
x এর মান (1) বসিয়ে,
5 + y = 7
y = 2
∴ (x, y) = (5, 2)

৭,৩৬৫.

x² + 2ax - 2a - 1 এর একটি উৎপাদক -

ক
ক) x - 2a - 1
খ
খ) x - 2a + 1
গ
গ) x + 1
ঘ
ঘ) x - 1

ব্যাখ্যা

x² + 2ax - 2a - 1
= (x² - 1) + 2ax - 2a
= (x + 1)(x - 1) + 2a (x - 1)
= (x - 1)(x + 2a + 1)

৭,৩৬৬.

x^{2 - (p+q) x + pq = 0 এর সমাধান সেট কোনটি?}

ক
ক) {-p, q}
খ
খ) {p, -q}
গ
গ) {p, q}
ঘ
ঘ) {-p, -q}

ব্যাখ্যা

x²- (p+q)x + pq = 0
⇒ x²- px - qx + pq = 0
⇒ x(x-p) - q(x-p) = 0
⇒ (x-p)(x-q) = 0
∴ x = (p,q)

৭,৩৬৭.

দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি 10। সংখ্যাটির সাথে 18 যোগ করলে অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করে। সংখ্যাটি কত?

ক
46
খ
53
গ
64
ঘ
36

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি 10। সংখ্যাটির সাথে 18 যোগ করলে অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করে। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
একক স্থানীয় অঙ্কটি x এবং দশক স্থানীয় অঙ্কটি y।
∴ সংখ্যাটি = 10y + x

প্রথম শর্তানুসারে,
∴ x + y = 10 ........(1)

দ্বিতীয় শর্তানুসারে,
⇒ (10y + x) + 18 = 10x + y
⇒ 10x - x + y - 10y = 18
⇒ 9x - 9y = 18
∴ x - y = 2 .......(2)

এখন, (1) + (2) করে পাই,
⇒ (x + y) + (x - y) = 10 + 2
⇒ 2x = 12
∴ x = 6

এখন x = 6 হলে, (1) নং সমীকরণ থেকে পাই,
⇒ 6 + y = 10
∴ y = 4

∴ সংখ্যাটি = 10y + x
= 10 × 4 + 6
= 40 + 6
= 46

অতএব, সংখ্যাটি হলো 46

৭,৩৬৮.

(4a⁴ - 27a² - 81) এবং (2x² - x - 15) এর একটি সাধারণ উৎপাদক কোনটি?

ক
(2a + 4)
খ
(a + 5)
গ
(a - 3)
ঘ
(a - 1)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (4a⁴ - 27a² - 81) এবং (2x² - x - 15) এর একটি সাধারণ উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
১ম রাশি:
4a⁴ - 27a² - 81
= 4a⁴ - 36a² + 9a² - 81
= 4a²(a² - 9) + 9(a² - 9)
= (a² - 9)(4a² + 9)
= (a + 3)(a - 3)(4a² + 9)

২য় রাশি:
2a² - a - 15
= 2a² - 6a + 5a - 15
= 2x(x - 3) + 5(x - 3)
= (a - 3)(2a + 5)

৭,৩৬৯.

যদি ⁿC₁₅ = ⁿC₇ হয়, তবে ²⁵C_n =?

ক
1700
খ
2100
গ
2300
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি ⁿC₁₅ = ⁿC₇ হয়, তবে ²⁵C_n =?

সমাধান:
ⁿC₁₅ = ⁿC₇
⇒ ⁿC_{n -15} = ⁿC₇
⇒ n - 15 = 7
∴ n = 15 + 7 = 22

²⁵C_n= ²⁵C₂₂
= 25!/(22! × 3!)
= (25 × 24 × 23)/(3 × 2 × 1)
= 2300

৭,৩৭০.

6 + 12 + 18 + 24 +...........ধারাটির প্রথম 10টি পদের যোগফল কত?

ক
ক) 320
খ
খ) 325
গ
গ) 340
ঘ
ঘ) 330

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 6 + 12 + 18 + 24 +...........ধারাটির প্রথম 10টি পদের যোগফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a = 6
d = 6
n = 10

আমরা জানি,
সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d)}
= (10/2){2 × 6 + (10 - 1)6}
= 5{12 + (9 × 6)}
= 5 × 66
= 330

৭,৩৭১.

৫২ খানা তাসের প্যাকেট হতে একখানা তাস দৈবভাবে টানলে তাসটি লাল টেক্কা হবার সম্ভাবনা কত?

ক
ক) ১/২৬
খ
খ) ২/৫২
গ
গ) ১/৫২
ঘ
ঘ) ক ও খ উভয়ই

ব্যাখ্যা

মোট তাস = ৫২ খানা, লাল টেক্কা = ২ টা
সম্ভাবনা = ২/৫২ = ১/২৬

৭,৩৭২.

3^x = 27 হলে, x/2 এর মান কত?

ক
ক) 2.59
খ
খ) 1.5
গ
গ) 3.56
ঘ
ঘ) 3.52

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3^x = 27 হলে, x/2 এর মান কত?

সমাধান:
3^x = 27
3x = 33
x = 3
x/2 = 3/2
x/2 = 1.5

৭,৩৭৩.

যদি x^y = y^x হয় তবে (x/y)^x/y এর মান কত?

ক
x^(x/y)
খ
x^{(y/x) - 1}
গ
x^{(x/y) - 1}
ঘ
x^{(y/x) + 1}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x^y = y^x হয় তবে (x/y)^x/y এর মান কত?

সমাধান:
x^y = y^x
⇒ y = x^y/x

(x/y)^x/y
= (x/x^y/x)^x/y
= x^x/y /x
= x^{(x/y) - 1}

৭,৩৭৪.

যদি x⁴−2x²+1 = 0 হয় তবে x এর মান কত?

ক
ক) 1
খ
খ) 0
গ
গ) 2
ঘ
ঘ) 4

ব্যাখ্যা

x⁴−2x²+1 = 0
⇒(x²)² - 2.x².1 + (1)² = 0
⇒(x²)² - 1 = 0
⇒(x²) - 1 = 0
⇒x² = 1
∴ x = 1

৭,৩৭৫.

a² + 2ab - 2b - 1 এর উৎপাদক কোনটি?

ক
(a + 1)(a + 2b + 1)
খ
(a + 1)(a + 2b - 1)
গ
(a - 1)(a + 2b + 1)
ঘ
(a - 1)(a - 2b - 1)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a² + 2ab - 2b - 1 এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
a² + 2ab - 2b - 1
= a² - 1 + 2ab - 2b
= (a + 1)(a - 1) + 2b(a - 1)
= (a - 1)(a + 1 + 2b)
= (a - 1)(a + 2b + 1)

৭,৩৭৬.

যদি x + 1/x = 5 হয়, তবে x/(x² + x + 1) এর মান কত?

ক
ক) 1/6
খ
খ) 1/7
গ
গ) 1/4
ঘ
ঘ) 1/5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x + 1/x = 5 হয়, তবে x/(x² + x + 1) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
x + 1/x = 5
(x² + 1)/x = 5
x² + 1 = 5x

প্রদত্ত রাশি = x/(x² + x + 1)
= x/(x² + 1 + x)
= x/(5x + x)
= x/6x
= 1/6

৭,৩৭৭.

a² - b² = 20 এবং a - b = 2 হলে, ab এর মান কত?

ক
12
খ
20
গ
24
ঘ
27

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a² - b² = 20 এবং a - b = 2 হলে, ab এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a² - b² = 20
বা, (a + b)(a - b) = 20
বা, (a + b) × 2 = 20
বা, a + b = 20/2
বা, a + b = 10

আমরা জানি,
ab = {(a + b)² - (a - b)²}/4
= (10² - 2²)/4
= (100 - 4)/4
= 96/4
= 24

৭,৩৭৮.

১ থেকে ৪২০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর একটি দৈবচয়ন পদ্ধতিতে নেওয়া হলে সংখ্যাটি বর্গসংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা:

ক
২/৩৩
খ
১/২১
গ
১/২২
ঘ
১/৬৪

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১ থেকে ৪২০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর একটি দৈবচয়ন পদ্ধতিতে নেওয়া হলে সংখ্যাটি বর্গসংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা-

সমাধান:
১ থেকে ৪২০ পর্যন্ত মোট নমুনাবিন্দু = ৪২০
পূর্ণ বর্গসংখ্যার অনুকূলে নমুনাবিন্দু - {১, ৪, ৯, ১৬, ২৫, ৩৬, ৪৯, ৬৪, ৮১, ১০০, ১২১, ১৪৪, ১৬৯, ১৯৬, ২২৫, ২৫৬, ২৮৯, ৩২৪, ৩৬১, ৪০০} = মোট ২০টি

∴ এক্ষেত্রে সম্ভাবনা = ২০/৪২০
= ১/২১

৭,৩৭৯.

4^x+1 = 32 হলে, x এর মান কত?

ক
3/2
খ
1/3
গ
2/3
ঘ
1/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4^x+1 = 32 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
4^x+1 = 32
বা, (2²)^x+1 = 2⁵
বা, 2^2x+2 = 2⁵
বা, 2x + 2 = 5
বা, 2x = 5 - 2
বা, 2x = 3
∴ x = 3/2

৭,৩৮০.

5, 7, 12, 19, ... প্রদত্ত অনুক্রমের প্ৰথম নয়টি পদের সমষ্টি কত?

ক
৮৯১
খ
৫৮৪
গ
৫৪৮
ঘ
৮১৯

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত অনুক্রমটি একটি ফিবোনাক্কি অনুক্রম।
অতএব অনুক্রমটি হবে 5, 7, 12, 19, 31, 50, 81,131, 212, 343, 555, 898

প্ৰথম নয়টি পদের সমষ্টি,
F(9) = F(11) - F(2) = 555 - 7 = 548

৭,৩৮১.

একটি স্কুলে ৮০ জন ছাত্র আছে। ৪৫ জন বাস্কেটবল খেলে, ৩৮ জন ভলিবল খেলে এবং ১৫ জন উভয় খেলা খেলে। কতজন কোনো খেলাই খেলে না?

ক
৮ জন
খ
১২ জন
গ
১৬ জন
ঘ
৬ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি স্কুলে ৮০ জন ছাত্র আছে। ৪৫ জন বাস্কেটবল খেলে, ৩৮ জন ভলিবল খেলে এবং ১৫ জন উভয় খেলা খেলে। কতজন কোনো খেলাই খেলে না?

সমাধান:
বাস্কেটবল খেলে, n(B) = ৪৫ জন
ভলিবল খেলে, n(V) = ৩৮ জন
উভয় খেলা খেলে, n(B ∩ V) = ১৫ জন

আমরা জানি,
অন্তত একটি খেলা খেলে এমন ছাত্রের সংখ্যা n(B ∪ V) = n(B) + n(V) - n(B ∩ V)
= ৪৫ + ৩৮ - ১৫
= ৮৩ - ১৫
= ৬৮ জন

∴ কোনো খেলাই না খেলা ছাত্রের সংখ্যা = মোট ছাত্র - n(B ∪ V)
= ৮০ - ৬৮
= ১২ জন

সুতরাং, ১২ জন ছাত্র কোনো খেলাই খেলে না।

৭,৩৮২.

যদি 7^x - 7^{x - 1} = 294 হয়, তাহলে x^x এর মান কত?

ক
25
খ
49
গ
27
ঘ
36

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 7^x - 7^{x - 1} = 294 হয়, তাহলে x^x এর মান কত?

সমাধান:
7^x - 7^{x - 1} = 294
⇒ 7 . 7^{x - 1} - 7^{x - 1} = 294
⇒ 7^{x - 1}(7 - 1) = 294
⇒ 7^{x - 1} × 6 = 294
⇒ 7^{x - 1} = 294/6 = 49
⇒ 7^{x - 1} = 7²
⇒ x - 1 = 2
⇒ x = 2 + 1
⇒ x = 3

∴ x^x = 3³ = 27

৭,৩৮৩.

|2x - 1| < 7 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

ক
{x ∈ R: - 3 < x < 4}
খ
{x ∈ R: - 4 < x < 3}
গ
{x ∈ R: - 3 < x < 3}
ঘ
{x ∈ R: - 6 < x < 8}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |2x - 1| < 7 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
(2x - 1) ধনাত্মক ধরে,
2x - 1 < 7
বা, 2x < 7 + 1
বা, 2x < 8
বা, x < 4

আবার, (2x - 1) ঋণাত্মক ধরে,
- (2x - 1) < 7
বা, 2x - 1 > - 7 [উভয়পক্ষকে -1 দ্বারা গুণ করে চিহ্ন পরিবর্তন করা হয়েছে]
বা, 2x > - 7 + 1
বা, 2x > - 6
বা, x > - 3

∴ নির্ণেয় সমাধান: {x ∈ R: - 3 < x < 4}

৭,৩৮৪.

।2x - 11। ≤ 9 অসমতাটির সমধান কোনটি?

ক
ক) 2 ≤ x ≤ 8
খ
খ) 1 ≤ x ≤ 10
গ
গ) 3 ≤ x ≤ 11
ঘ
ঘ) 2 ≤ x ≤ 9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:।2x - 11। ≤ 9 অসমতাটির সমধান কোনটি?

সমাধান:
।2x - 11। ≤ 9
- 9 ≤ 2x - 11 ≤ 9
- 9 + 11 ≤ 2x - 11 + 11 ≤ 9 + 11
2 ≤ 2x ≤20
2/2 ≤ 2x/2 ≤ 20/2
1 ≤ x ≤ 10

৭,৩৮৫.

a² - 10a - 2ab + 25 + b² এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে?

ক
-8b
খ
4b
গ
10b
ঘ
-4b

ব্যাখ্যা

এখানে, a² - 10a - 2ab + 25 + b²
= a² + 25 + b² - 10a - 2ab
= (-a)² + 5² + b² + 2.(-a).5 + 2.(-a).b + 2.5.b
= (-a+5+b)²
সুতরাং 2.5.b বা 10b যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে।

৭,৩৮৬.

|4x + 7| < 15 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

ক
5 > x > (- 2/5)
খ
(- 11/2) < x < 2
গ
6 > x > (- 4/9)
ঘ
(- 8/3) < x < 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |4x + 7| < 15 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
|4x + 7| < 15
(4x + 7) অঋণাত্মক হলে প্রদত্ত অসমতা দাঁড়ায় (4x + 7) < 15
⇒ 4x + 7 - 7 < 15 - 7
⇒ 4x < 8
∴ x < 2

আবার, (4x + 7) ঋণাত্মক হলে প্রদত্ত অসমতা দাঁড়ায় -(4x + 7) < 15
⇒ (4x + 7) > - 15
⇒ 4x + 7 - 7 > - 15 - 7
⇒ 4x > - 22
∴ x > - 11/2
∴ অসমতাটির সমাধান: (- 11/2) < x < 2

৭,৩৮৭.

6 জন বালক ও 4 জন বালিকা হতে 5 জনকে কতভাবে ভর্তির জন্য নির্বাচিত করা যাবে, যাতে ভর্তিকৃতদের মধ্যে সর্বদা শুধুমাত্র 2 জন বালিকা থাকে?

ক
120
খ
90
গ
80
ঘ
60

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 6 জন বালক ও 4 জন বালিকা হতে 5 জনকে কতভাবে ভর্তির জন্য নির্বাচিত করা যাবে, যাতে ভর্তিকৃতদের মধ্যে সর্বদা শুধুমাত্র 2 জন বালিকা থাকে?

সমাধান:
6 জন বালক থেকে 3 জন নির্বাচন করা যায় = ⁶c₃ = 20 ভাবে
4 জন বালিকা থেকে 2 জন নির্বাচন করা যায় = ⁴c₂ = 6 ভাবে
∴ মোট উপায় = 20 × 6 = 120 ভাবে

৭,৩৮৮.

x³ - 6x² + 11x - 6 এর একটি উৎপাদক হলো-

ক
ক) x - 4
খ
খ) x - 2
গ
গ) x + 1
ঘ
ঘ) x + 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x³ - 6x² + 11x - 6 এর একটি উৎপাদক হলো-

সমাধান:
এখানে,
f(x) = x³- 6x² + 11x - 6
f(2) = 2³ - 6 × 2² + 11 × 2 - 6
f(4) = 8 - 24 + 22 - 6
=30 - 30 = 0

∴ x - 2 f(x) এর উৎপাদক ।

৭,৩৮৯.

3x - 2 > 2x - 1 এর সমাধান সেট কোনটি?

ক
[1, ∞]
খ
( - ∞, ∞)
গ
(1, ∞)
ঘ
[3/2, ∞)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3x - 2 > 2x - 1 এর সমাধান সেট কোনটি?

সমাধান:
3x - 2 > 2x - 1
⇒ 3x - 2x > - 1 + 2
⇒ x > 1

সমাধান সেট = (1, ∞)

৭,৩৯০.

একটি রেলওয়ে কামড়ায় একটি বেঞ্চে 6 টি আসন খালি আছে। তিন জন যাত্রী কতভাবে এই 6 টি আসনে বসতে পারবে?

ক
ক) 120
খ
খ) 140
গ
গ) 160
ঘ
ঘ) 180

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি রেলওয়ে কামড়ায় একটি বেঞ্চে 6 টি আসন খালি আছে। তিন জন যাত্রী কতভাবে এই 6 টি আসনে বসতে পারবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বেঞ্চ সংখ্যা = 6 টি
এবং যাত্রী সংখ্যা = 3 জন

∴ বিন্যাসের নিয়মানুসারে উপায় সংখ্যা হবে = ⁶P₃
= 6!/(6 - 3)!
= 6!/3!
= (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)/(3 × 2 × 1)
= 120

∴ 120 উপায়ে বসতে পারবে।

৭,৩৯১.

2√2p³+ 125 এর উৎপাদক কত?

ক
(√2p + 5 )(2p²+ 5√2p - 25)
খ
(√2p + 5 )(2p²+ 5√2p + 25)
গ
(√2p + 5 )(2p² - 5√2p + 25)
ঘ
(√2p + 5 )(2p² - 5√2p - 25)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2√2p³+ 125 এর উৎপাদক কত?

সমাধান:
2√2p³+ 125
= (√2 × √2 × √2) p³ + 125 [ কারণ, √2 × √2 = (√2)² = 2 ]
= (√2p)³ + 5³
= (√2p + 5 )(2p² - 5√2p + 25)

৭,৩৯২.

একটি শ্রেণিতে যতজন ছাত্র-ছাত্রী আছে প্রত্যেকে তত পয়সার চেয়ে আরও ২৫ পয়সা বেশি করে চাঁদা দেওয়ায় মোট ৭৫ টাকা উঠল। ঐ শ্রেণির ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা কত?

ক
৭০
খ
৮৫
গ
৭৫
ঘ
১০০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিতে যতজন ছাত্র-ছাত্রী আছে প্রত্যেকে তত পয়সার চেয়ে আরও ২৫ পয়সা বেশি করে চাঁদা দেওয়ায় মোট ৭৫ টাকা উঠল। ঐ শ্রেণির ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি, ঐ শ্রেণিতে ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা ক
প্রত্যেকে চাঁদা দেয় ক + ২৫ টাকা
মোট চাঁদা = ক (ক + ২৫) টাকা
= ক^২ + ২৫ক টাকা

প্রশ্নমতে,
ক^২ + ২৫ক = ৭৫০০
⇒ ক^২ + ২৫ক - ৭৫০০ = ০
⇒ ক^২ + ১০০ক - ৭৫ক - ৭৫০০ = ০
⇒ ক(ক + ১০০) - ৭৫(ক + ১০০) = ০
⇒ (ক + ১০০)(ক - ৭৫) = ০
হয় (ক + ১০০) = ০
(ক + ১০০) = ০ ⇒ ক = -১০০ , সম্ভব নয়

অথবা, (ক - ৭৫) = ০ ∴ ক = ৭৫
অতএব, ঐ শ্রেণিতে ৭৫ জন ছাত্র-ছাত্রী রয়েছে।

৭,৩৯৩.

6q² - q - 15 এর উৎপাদকগুলো হলো-

ক
(2q - 3)(3q - 5)
খ
(2q + 3)(3q - 5)
গ
(2q + 3)(3q + 5)
ঘ
(2q + 3)(5q - 3)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 6q² - q - 15 এর উৎপাদকগুলো হলো-

সমাধান:
6q² - q - 15
= 6q² + 9q - 10q - 15
= 3q(2q + 3) - 5(2q + 3)
= (2q + 3)(3q - 5)

৭,৩৯৪.

x + 1/x = 2 হলে, x⁵ + 1/x⁵ = কত ?

ক
ক) 2
খ
খ) 4
গ
গ) 27
ঘ
ঘ) 64

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + 1/x = 2 হলে, x⁵ + 1/x⁵ = কত ?

সমাধান:
x + 1/x = 2
(x² + 1)/x = 2
x² + 1 = 2x
x² - 2x + 1² = 0
(x - 1)² = 0
x - 1 = 0
x = 1

x⁵ + 1/x⁵ = 1⁵ + 1/1⁵
= 1 + 1/1
= 1 + 1
= 2

৭,৩৯৫.

এক ব্যক্তি বছরের প্রারম্ভে ৩টি গাছ রোপন করলেন। এরপর প্রতি বছর ৫টি করে অতিরিক্ত গাছ রোপন করলে, ২০তম বছরে তিনি কতটি গাছ রোপন করবেন?

ক
৯৩
খ
৯৮
গ
১০৩
ঘ
১০৮

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি বছরের প্রারম্ভে ৩টি গাছ রোপন করলেন। এরপর প্রতি বছর ৫টি করে অতিরিক্ত গাছ রোপন করলে, ২০তম বছরে তিনি কতটি গাছ রোপন করবেন?

সমাধান:
১ম বছরে গাছ রোপন = ৩টি
প্রতি বছর অতিরিক্ত = ৫টি করে বৃদ্ধি
∴ এটি একটি সমান্তর ধারা।

এখানে,
প্রথম পদ (a) = ৩
সাধারণ অন্তর (d) = ৫
পদ সংখ্যা (n) = ২০

আমরা জানি,
n-তম পদ= a + (n - 1)d
∴ ২০ তম পদ = ৩ + (২০ - ১) × ৫
= ৩ + ১৯ × ৫
= ৩ + ৯৫
= ৯৮টি

৭,৩৯৬.

30 থেকে 40 পর্যন্ত সংখ্যা হতে যে কোনো একটি সংখ্যা দৈবচয়নে নিলে তা মৌলিক অথবা 5 এর গুণিতক হবার সম্ভাবনা কত?

ক
6/121
খ
5/11
গ
1/2
ঘ
3/50

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 30 থেকে 40 পর্যন্ত সংখ্যা হতে যে কোনো একটি সংখ্যা দৈবচয়নে নিলে তা মৌলিক অথবা 5 এর গুণিতক হবার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
30 হতে 40 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলো হল, 31, 37
30 হতে 40 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলো হল 30, 35, 40

সংখ্যাটি মৌলিক অথবা 5 এর গুণিতক হবার সম্ভাবনা = 2/11 + 3/11
= (2 + 3)/11
= 5/11

৭,৩৯৭.

এ + ঐ = ১০ এবং এ - ঐ = ৪ হলে, ঐ = কত?

ক
১
খ
২
গ
৩
ঘ
৪

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: এ + ঐ = ১০ এবং এ - ঐ = ৪ হলে, ঐ = কত?

সমাধান:
এ + ঐ = ১০ .................(১)
এ - ঐ = ৪.....................(২)

(১)নং - (২)নং ⇒
এ + ঐ - (এ - ঐ) = ১০ - ৪
এ + ঐ - এ + ঐ = ৬
২ঐ = ৬
ঐ = ৩

৭,৩৯৮.

x < (x/5) + x অসমতাটির সমাধান নিচের কোনটি?

ক
x < 0
খ
x > 5
গ
x > 0
ঘ
x < 5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x < (x/5) + x অসমতাটির সমাধান নিচের কোনটি?

সমাধান:
x < (x/5) + x
⇒ 5x < x + 5x [5 দ্বারা গুণ করে]
⇒ 5x < 6x
⇒ 6x > 5x
⇒ 6x - 5x > 5x - 5x
∴ x > 0

৭,৩৯৯.

log_a(5/2) = - (1/2) হলে a এর মান কত?

ক
2/5
খ
1/4
গ
4/25
ঘ
2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_a(5/2) = - (1/2) হলে a এর মান কত?

সমাধান:
log_a(5/2) = - (1/2)
⇒ a^-(1/2)= 5/2
⇒ 1/a^(1/2)= 5/2
⇒ 1/√a = 5/2
⇒ 1/a = 25/4 [বর্গ করে]
∴ a = 4/25

৭,৪০০.

4 + 12 + m + n + 324 + ........ একটি গুণোত্তর ধারা হলে n - m এর মান কত?

ক
72
খ
88
গ
96
ঘ
120

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4 + 12 + m + n + 324 + ........ একটি গুণোত্তর ধারা হলে n - m এর মান কত?

সমাধান:
ধরি,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 4
সাধারণ অনুপাত, r = 12/4 = 3

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = ar^{n - 1}

তাহলে,
ধারাটির তৃতীয় পদ, m = ar²
= 4 × 3²
= 4 × 9
= 36

ধারাটির চতুর্থ পদ, n = ar³
= 4 × 3³
= 4 × 27
= 108

∴ n - m = 108 - 36 = 72