বীজগণিত

PrepBank · পাতা ৬৯ / ২০১ · ৬,৮০১–৬,৯০০ / ২০,২০৭

৬,৮০১.

20, 23, 26, 29,............ধারাটির 31তম পদ কত?

ক
105
খ
110
গ
112
ঘ
115

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 20, 23, 26, 29,............ধারাটির 31তম পদ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটি 20, 23, 26, 29,...........
এখানে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 20
সাধারণ অন্তর, d = (দ্বিতীয় পদ - প্রথম পদ)
= (23 - 20)
= 3
এবং পদসংখ্যা, n = 31

∴ ধারাটির ৩১ তম পদ = a + (n - 1) d
= 20 + (31 - 1) × 3
= 20 + (30 × 3)
= 20 + 90
= 110

৬,৮০২.

xy = 2 এবং xy² = 8 হলে x = ?

ক
1/3
খ
1/4
গ
1/2
ঘ
1/5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: xy = 2 এবং xy² = 8 হলে x = ?

সমাধান:
xy = 2 ............ (1)
xy² = 8 ............(2)

(2) ÷ (1) হতে পাই,
(xy²)/(xy) = 8/2
∴ y = 4

এখন,
xy = 2
⇒ x = 2/y
⇒ x = 2/4
∴ x = 1/2

৬,৮০৩.

একটি প্যাকেট তাস থেকে দৈবভাবে দুইটি তাস নিলে তাস দুইটি রাজা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
ক) 1/221
খ
খ) 1/223
গ
গ) 2/221
ঘ
ঘ) কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি প্যাকেট তাস থেকে দৈবভাবে দুইটি তাস নিলে তাস দুইটি রাজা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
এক প্যাকেটে তাস থাকে = 52 টি
মোট রাজা থাকে = 4টি
4টি রাজা থেকে 2টি রাজা নেওয়া যায় = ⁴C₂ = 6
52টি তাস থেকে 2টি তাস নেওয়া যায় = ⁵²C₂ = 1326

∴ সম্ভাবনা = 6/1326 = 1/221

৬,৮০৪.

দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার দশকের অঙ্কের সাথে ৩ যোগ করলে এবং এককের অঙ্ক থেকে ২ বিয়োগ করলে প্রাপ্ত সংখ্যাটি মূল সংখ্যার তিন গুণ হয়। সংখ্যাটি কত?

ক
ক) ১২
খ
খ) ১৪
গ
গ) ২৪
ঘ
ঘ) ২৮

ব্যাখ্যা

ধরি এককের অংক y এবং দশকের অংক x ; তাহলে সংখ্যাটি = 10x+y

প্রশ্নমতে, 10(x+3) + y - 2 = 3(10x+y)
⇒ 10x + 30 + y - 2 = 30x + 3y
⇒ 10x + y + 28 = 30x + 3y
⇒ 20x + 2y = 28
⇒ 2(10x + y) = 28
⇒ 10x + y = 14

সুতরাং, সংখ্যাটি 14

৬,৮০৫.

1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 + 0.03125 + 0.015625 +........... ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

ক
9
খ
7
গ
5
ঘ
2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 + 0.03125 + 0.015625 +........... ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ, a = 1

∴ সাধারণ অনুপাত, r = 0.5 ÷ 1
= (5/10)/1
= (1/2)/1
= 1/2
= 0.5 < 1

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার অসীমতক পদের সমষ্টি = a/(1 - r) [যখন r < 1]
= 1/(1 - 0.5)
= 1/(0.5)
= 1/(1/2)
= 2

৬,৮০৬.

x - 1/x = 3 হলে x² + 1/x² এর মান কত?

ক
ক) 11
খ
খ) 10
গ
গ) 9
ঘ
ঘ) 7

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x - 1/x = 3 হলে x² + 1/x² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x - 1/x = 3

এখন,
x² + 1/x²
=(x - 1/x)² + 2x(1/x)
= 3² + 2
= 9 + 2
= 11

৬,৮০৭.

3^{- 3} এর মান কত?

ক
1/9
খ
1/3
গ
1/27
ঘ
√2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3^{- 3} এর মান কত?

সমাধান:
3^{- 3}
= 1/3³
= 1/27

৬,৮০৮.

a - b = 0 হলে, ‍a/b = কত?

ক
ক) 0
খ
খ) 1
গ
গ) 2
ঘ
ঘ) ∞

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a - b = 0 হলে, ‍a/b = কত?

সমাধান:
a - b = 0
বা, a = b
বা, a/b = b/b
a/b = 1

৬,৮০৯.

m + (1/m) = 3 হলে m⁴ + (1/m⁴)=?

ক
37
খ
27
গ
47
ঘ
17

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: m + (1/m) = 3 হলে m⁴ + (1/m⁴) =?

সমাধান:
দেওয়া আছে
m + (1/m) = 3

প্রদত্ত রাশি = m⁴ + (1/m⁴)
= (m²)² + (1/m²)²
= (m² + 1/m²)² - 2.m².1/m²
={(m + 1/m)² - 2.m. 1/m}² - 2
= {3² - 2}² - 2
= 49 - 2
= 47

৬,৮১০.

1/12 + 1/24 + 1/48 + 1/96 + --- --- --- ধারাটির অসীম পদের সমষ্টি কত?

ক
1/24
খ
1/12
গ
2/9
ঘ
1/6

ব্যাখ্যা

1/12 + 1/24 + 1/48 + 1/96 + --- --- ---
মনে করি,
১ম পদ, a = 1/12
সাধারণ অনুপাত, r
= 1/24 ÷ 1/12
= 1/48 ÷ 1/24
= 1/2 < 1

ধারাটির অসীমতক সমষ্টি
= a/(1 - r)
= 1/12 ÷ (1 - 1/2)
= 1/12 ÷ 1/2
= 1/6

৬,৮১১.

২, ৩, ৪, ৫ অঙ্কগুলো একবার ব্যবহার করে ৪০০০ অপেক্ষা বৃহত্তর কয়টি সংখ্যা গঠন করা যায়?

ক
১২টি
খ
১৮টি
গ
১৬টি
ঘ
২২টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ২, ৩, ৪, ৫ অঙ্কগুলো একবার ব্যবহার করে ৪০০০ অপেক্ষা বৃহত্তর কয়টি সংখ্যা গঠন করা যায়?

সমাধান:
যদি সংখ্যাটি ৪০০০ অপেক্ষা বড় হয় তবে প্রথম অঙ্কটি অবশ্যই ৪ অথবা ৫ হতে হবে।

প্রথম অঙ্কটি ৪ হলে, বাকি তিনটি অঙ্ক সাজানো যায় = ৩! উপায়ে
= ৬ উপায়ে

অনুরূপভাবে, প্রথম অঙ্কটি ৫ হলে, বাকি তিনটি অঙ্ক সাজানো যায় = ৩! উপায়ে
= ৬ উপায়ে

∴ ৪০০০ অপেক্ষা বড় সংখ্যা গঠন করা যায় = ৬ + ৬ = ১২টি

৬,৮১২.

125 (√5)^2x = 1 হলে x এর মান কত?

ক
ক) 3
খ
খ) -3
গ
গ) 7
ঘ
ঘ) 9

ব্যাখ্যা

125(√5)^2x = 1
(√5)^2x = 1/125
(√5)^2x = 1/(√5)⁶
(√5)^2x = (√5)^-6
2x = − 6
x = - 3

৬,৮১৩.

9^x+ 9^x + 9^x এর মান নিচের কোনটি?

ক
ক) 1/9^3x
খ
খ) 9^3x
গ
গ) 3^2x
ঘ
ঘ) 3^{2x + 1}

ব্যাখ্যা

9^x+ 9^x + 9^x
9^x(1 + 1 + 1)
9^x .3
(3²)^x .3
3^2x .3
3^{2x + 1}

৬,৮১৪.

একটি পাত্রে ২ টি সাদা এবং ৩ টি কালো বল ও অপর পাত্রে ৩ টি সাদা এবং ৪ টি কালো বল আছে। পাত্রে দুটি হতে একটি করে বল উঠানো হলে বল গুলো একই রঙ এর হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
ক) ১৮/৩৫
খ
খ) ৩৫/১৮
গ
গ) ১/৩
ঘ
ঘ) ৯/৭

ব্যাখ্যা

১ম পাত্রে মোট বল = ৫ টি
২য় পাত্রে মোট বল = ৭ টি
১ম ও ২য় পাত্রে বল সাদা হওয়ার সম্ভাবনা = (২/৫)×(৩/৭) = ৬/৩৫
১ম ও ২য় পাত্রে বল কালো হওয়ার সম্ভাবনা = (৩/৫)×(৪/৭) = ১২/৩৫
∴ বল একই রঙের হওয়ার সম্ভাবনা = (৬/৩৫)+(১২/৩৫) = ১৮/৩৫

৬,৮১৫.

১ থেকে ১৯ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলোর গড় কত?

ক
ক) ১০.৫
খ
খ) ১০
গ
গ) ৯.৬
ঘ
ঘ) ৯

ব্যাখ্যা

১ থেকে ১৯ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলো ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯
গড় = (২+৩+৫+৭+১১+১৩+১৭+১৯)/৮ = ৯.৬২

৬,৮১৬.

A = {1, 2, 3}, B = Φ হলে P(A ∪ B) এর উপাদান সংখ্যা কত?

ক
0
খ
3
গ
8
ঘ
7

ব্যাখ্যা

A ∪ B = (1, 2, 3),
∴ n(A ∪ B) = 3
∴ P(A ∪ B) এর উপাদান = 2³
= 8

৬,৮১৭.

a > b এবং c < 0 হলে কোনটি সত্য হবে?

ক
ক) ac > bc
খ
খ) a/c > b/c
গ
গ) c/a < c/b
ঘ
ঘ) ac < bc

ব্যাখ্যা

a = 5, b = 3, c = -2 হলে,
ac = -10
bc = -6
∴ -10 < -6
বা, ac < bc

৬,৮১৮.

240 জন লোক একটি বনভোজনে যায়। সেখানে যতজন মহিলা ছিল তার থেকে 20 জন পুরুষ বেশি ছিল। আবার যতজন শিশু ছিল তার থেকে 20 জন প্রাপ্তবয়ষ্ক লোক বেশি ছিল। বনভোজনে কতজন মহিলা ছিল?

ক
55 জন
খ
60 জন
গ
65 জন
ঘ
70 জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 240 জন লোক একটি বনভোজনে যায়। সেখানে যতজন মহিলা ছিল তার থেকে 20 জন পুরুষ বেশি ছিল। আবার যতজন শিশু ছিল তার থেকে 20 জন প্রাপ্তবয়ষ্ক লোক বেশি ছিল। বনভোজনে কতজন মহিলা ছিল?

সমাধান:
ধরি,
পুরুষ = a জন
মহিলা = a – 20 জন
শিশু = (a + a – 20) – 20 = 2a – 40 জন

প্রশ্নমতে,
a + (a – 20) + (2a – 40) = 240
বা, 4a – 60 = 240
বা, 4a = 300
বা, a = 75
অতএব, মহিলার সংখ্যা = 75 – 20 = 55 জন

৬,৮১৯.

P(A) = 1/5, P(B) = 5/7 হলে A ও B স্বাধীন হলে P(A U B) এর মান কত?

ক
22/35
খ
17/35
গ
18/35
ঘ
27/35

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: P(A) = 1/5, P(B) = 5/7 হলে A ও B স্বাধীন হলে P(A U B) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P(A) = 1/5
P(B) = 5/7

যেহেতু A ও B স্বাধীন
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
= (1/5) × (5/7)
= 1/7

∴ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
= P(A) + P(B) - P(A) . P(B)
= (1/5) + (5/7) - (1/7)
= (7 + 25 - 5)/35
= 27/35 ।

৬,৮২০.

কোনো অনুক্রমের n তম পদ = {1 + (- 1)ⁿ}/2 হলে 10তম পদ কত?

ক
ক) 1
খ
খ) 0
গ
গ) - 1
ঘ
ঘ) 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো অনুক্রমের n তম পদ = {1 + (- 1)ⁿ}/2 হলে 10তম পদ কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
n তম পদ = {1 + (- 1)ⁿ}/2
10তম পদ = {1 + (- 1)¹⁰}/2
= (1 + 1)/2
= 2/2
= 1

৬,৮২১.

81(√3)^4x = 1 হলে, x এর মান কত?

ক
- 2
খ
1
গ
3
ঘ
- 5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 81(√3)^4x = 1 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
81(√3)^4x = 1
⇒3⁴ × (3^1/2)^4x = 1
⇒ 3⁴ × 3^2x = 1
⇒ 3^{4 + 2x} = 1
⇒ 3^{4 + 2x} = 3⁰⇒ 4 + 2x = 0
⇒ 2x = - 4
⇒ x = - 2

৬,৮২২.

প্রদত্ত সিরিজটি সম্পন্ন করুনঃ ২৮, ৩৯, ৫৮, ?

ক
ক) ৭৭
খ
খ) ৮৫
গ
গ) ৯৯
ঘ
ঘ) ১১১
ঙ
ঙ) ২২০

ব্যাখ্যা

২৮ + ১১ = ৩৯
৩৯ + ১৯ = ৫৮
৫৮ + ২৭ = ৮৫

এখানে,
১১ + ৮ = ১৯
১৯ + ৮ = ২৭

৬,৮২৩.

যদি (x - 3)(a + x) = x² - 9 হয় তবে a এর মান কত?

ক
ক) - 3
খ
খ) - 9
গ
গ) 3
ঘ
ঘ) 9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি (x - 3)(a + x) = x² - 9 হয় তবে a এর মান কত?

সমাধান:
(x - 3)(a + x) = x² - 9
⇒ (x - 3)(a + x) = x² - 3²
⇒ (x - 3)(a + x) = (x - 3)(x + 3)
⇒ a + x = x + 3
∴ a = 3

৬,৮২৪.

x = 1 হলে, 2logx - log(2x - 1) =?

ক
ক) - 1
খ
খ) 0
গ
গ) 2
ঘ
ঘ) 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x = 1 হলে, 2logx - log(2x - 1) =?

সমাধান:
2logx - log (2x - 1)
= 2 log1 - log (2 - 1)
= 2 × 0 - log1
= 0 - 0
= 0

৬,৮২৫.

log₆6√6 × log_aa⁴ এর মান কত?

ক
ক) 1
খ
খ) 4
গ
গ) 3
ঘ
ঘ) 6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₆6√6 × log_aa⁴ এর মান কত?

সমাধান:
log₆6√6 × log_aa⁴
=log₆(6¹.6^1/2) × 4log_aa
=log₆6 ^{(1 + 1/2)} × 4
=log₆6^3/2 × 4
=(3/2)log₆6 × 4
=(3/2) × 4
=6

৬,৮২৬.

মান নির্ণয় করুন:
log_3√2(1/18) = ?

ক
- 2
খ
3
গ
2
ঘ
1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: মান নির্ণয় করুন:
log_3√2(1/18) = ?

সমাধান:
log_3√2(1/18)
= log_3√2{1/(3√2)²}
= log_3√2 (3√2)⁻²
= (−2)log_3√23√2
= −2

৬,৮২৭.

(x - 1)(x - 5) < 0 হলে, এর সমাধান সেট কত হবে?

ক
ক) - 1 < x < 5
খ
খ) x < - 5
গ
গ) 2 < x < 5
ঘ
ঘ) 1 < x < 5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (x - 1)(x - 5) < 0 হলে, এর সমাধান সেট কত হবে?

সমাধান:
(x - 1)(x - 5) < 0 হবে, যখন একটি ধনাত্মক ও একটি ঋণাত্মক হবে।
অতএব, x - 1 ধনাত্মক ও x - 5 ঋণাত্মক হবে।

x - 1 > 0
∴ x > 1

x - 5 < 0
∴ x < 5

(x - 1)(x - 5) < 0 হলে, এর সমাধান সেট = 1 < x < 5

৬,৮২৮.

784 এর লগ 4 হলে, log এর ভিত্তি কত?

ক
1/√3
খ
2√7
গ
3√5
ঘ
5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 784 এর লগ 4 হলে, log এর ভিত্তি কত?

সমাধান:
ধরি,
log_a784 = 4
⇒ a⁴ = 784
⇒ a⁴ = 16 · 49
⇒ a⁴ = 2⁴ · (√7)⁴
⇒ a⁴ = (2√7)⁴
∴ a = 2√7

∴784 এর লগ 4 হলে, লগের ভিত্তি = 2√7

৬,৮২৯.

log3 + log9 + log27 + --- --- --- ধারাটির ১ম ২০টি পদের সমষ্টি কত?

ক
ক) 55 log3
খ
খ) 11 log3
গ
গ) 110 log3
ঘ
ঘ) 210 log3

ব্যাখ্যা

log3 + log9 + log27 + --- --- --- ২০তম পদ পর্যন্ত
= log3 + log3² + log3³ + --- --- --- + log3²⁰
= log3 + 2log3 + 3log3 + --- --- --- + 20log3
= (1 + 2 + 3 + --- --- --- + 20)log3
= {20(20 + 1)/2}log3 = 210 log3

৬,৮৩০.

।x - 11। < 17 অসমতাটির সমাধান কত?

ক
ক) - 2 < x < 3
খ
খ) - 6 < x < 28
গ
গ) - 4 < x < 16
ঘ
ঘ) - 2 < x < 16

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন : ।x - 11। < 17 অসমতাটির সমাধান কত?

সমাধান :

।x - 11। < 17
বা, - 17 < x - 11 < 17
বা, - 17 + 11 < x - 11 + 11< 17 + 11
বা, - 6 < x < 28

৬,৮৩১.

3x + 3/x = 3√3 হলে, x² + 1/x²এর মান কত?

ক
ক) 1
খ
খ) √3
গ
গ) 2√3
ঘ
ঘ) 5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3x + 3/x = 3√3 হলে, x² + 1/x²এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে
3x + 3/x = 3√3
3(x + 1/x) = 3√3
x + 1/x = √3

x² + 1/x² = (x)² + (1/x)²
= (x + 1/x)² - 2.x.1/x
= (√3)² - 2
= 3 - 2
= 1

৬,৮৩২.

P=x^a,Q=x^b হলে P^bc×Q^-ca এর মান কত?

ক
ক) 0
খ
খ) 1
গ
গ) x
ঘ
ঘ) -1

ব্যাখ্যা

P^bc×Q^-ca
=(x^a)^bc×(x^b)^-ca
=x^abc-abc
=x⁰=1

৬,৮৩৩.

কোন সমান্তর ধারার m তম পদ n ও n তম পদ m হলে, ধারাটির সাধারণ অন্তর কত?

ক
ক) 1
খ
খ) - 1
গ
গ) 0
ঘ
ঘ) 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন সমান্তর ধারার m তম পদ n ও n তম পদ m হলে, ধারাটির সাধারণ অন্তর কত?

সমাধান:
মনে করি,
সমান্তর ধারার প্রথম পদ = a
সাধারণ অন্তর = d

১ম শর্তমতে,
m তম পদ a + (m - 1)d = n
বা, ‍a + md - d = n .......................(1)
২য় শর্তমতে,
n তম পদ a + (n - 1)d = m
বা, a + nd - d = m ........................ (2)

(1) নং থেকে (2) নং বিয়োগ করে পাই,
a + md - d = n
a + nd - d = m
md - nd = n - m
বা, d (m - n) = n - m
বা, d = - (m - n)/(m - n)
∴ d = - 1

∴ ধারাটির সাধারণ অন্তর = - 1

৬,৮৩৪.

x - x + x - x +...... ধারাটির ১৭ তম পদ কত?

ক
x
খ
- x
গ
17x
ঘ
-17x

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x - x + x - x +...... ধারাটির ১৭ তম পদ কত?

সমাধান:
ধারাটির বিজোড় স্থানে ধনাত্মক x এবং জোড় স্থানে নেগেটিভ x আছে। তাই 17 তম পদ বিজোড় স্থানে হওয়ায় ধনাত্মক x উত্তর হবে।

৬,৮৩৫.

a⁴ + 1 = 3a² হলে, a + (1/a) = কত?

ক
√3
খ
3
গ
5
ঘ
√5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a⁴ + 1 = 3a² হলে, a + (1/a) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a⁴ + 1 = 3a²
বা, a²{a² + (1/a²)} = 3a²
বা, {a² + (1/a²)} = 3a²/a²
বা, {a² + (1/a²)} = 3
বা, {a + (1/a)}² - 2 ⋅ a ⋅ (1/a) = 3
বা, {a + (1/a)}²- 2 = 3
বা, {a + (1/a)}² = 3 + 2
বা, {a + (1/a)}² = 5
∴ a + (1/a) = √5

৬,৮৩৬.

প্রদত্ত চিত্রে অভিনেতা নন এমন ব্যবসায়ীর সংখ্যা কতজন?

ক
ক) 8 জন
খ
খ) 13 জন
গ
গ) 11 জন
ঘ
ঘ) 20 জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: প্রদত্ত চিত্রে অভিনেতা নন এমন ব্যবসায়ীর সংখ্যা কতজন?

সমাধান:

ছায়াযুক্ত অংশটি এমন ব্যবসায়ীদের চিহ্নিত করে যারা অভিনেতা নন = 11 +9 = 20
সুতরাং,
সঠিক উত্তর হল "20"

৬,৮৩৭.

বাস্তব সংখ্যায় |2x – 3| ≤ 1 অসমতাটির সমাধান কত?

ক
1 < x < 2
খ
অসমতা x ≥ 2
গ
1 ≤ x ≤ 2
ঘ
- 1 < x < 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বাস্তব সংখ্যায় |2x – 3| ≤ 1 অসমতাটির সমাধান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
|2x – 3| ≤ 1
⇒ - 1 ≤ 2x - 3 ≤ 1
⇒ - 1 + 3 ≤ 2x ≤ 1 + 3 ; [ উভয় পাশে 3 যোগ করে পাই]
⇒ 2 ≤ 2x ≤ 4
∴ 1 ≤ x ≤ 2 ; [উভয় পাশে 2 দ্বারা ভাগ করে পাই]

৬,৮৩৮.

4 + 8 + 12 + .......... ধারাটির 7 তম পদ কত?

ক
22
খ
24
গ
26
ঘ
28

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4 + 8 + 12 + .......... ধারাটির 7তম পদ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 4
ধারাটির সাধারণ অন্তর, d = 8 - 4 = 4
n তম পদ = 7

∴ 7 তম পদ = a + (n - 1)d
= 4 + (7 - 1)4
= 4 + (6 × 4)
= 4 + 24
= 28

৬,৮৩৯.

নিচের চিত্রানুসারে (A ∩ B)^c = কত?

ক
{5, 9}
খ
{1, 2, 3, 4, 7, 8}
গ
{2, 3, 7, 8}
ঘ
{1, 4}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের চিত্রানুসারে (A ∩ B)^c = কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ভেনচিত্র হতে,
U = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9}
A = {2, 5, 8, 9}
B = {3, 5, 7, 9}

এখন,
(A ∩ B) = {2, 5, 8, 9} ∩ {3, 5, 7, 9}
= {5, 9}

∴ (A ∩ B)^c = U - (A ∩ B)
= {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9} - {5, 9}
= {1, 2, 3, 4, 7, 8}

৬,৮৪০.

। 4x - 3 । < 1 অসমতাটির সমাধান কত?

ক
(2/3) < x < 3
খ
(1/2) < x < 1
গ
(1/2) < x < 2
ঘ
(1/4) < x < 4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: । 4x - 3 । < 1 অসমতাটির সমাধান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
। 4x - 3 । < 1
⇒ - 1 < 4x - 3 < 1
⇒ - 1 + 3 < 4x - 3 + 3 < 1 + 3
⇒ 2 < 4x < 4
⇒ 2/4 < 4x/4 < 4/4
∴ (1/2) < x < 1

৬,৮৪১.

(2x + y, 5) = (7, x - y) হলে (x, y) এর মান কত?

ক
ক) (4, 1)
খ
খ) (-1, 4)
গ
গ) (1, 4)
ঘ
ঘ) (4, -1)

ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে,
(2x + y, 5) = (7, x - y)

ক্রমজোড়ের শর্তমতে,
2x + y = 7 ------- (১)
এবং x - y = 5 ------- (২)

এখন সমীকরণ (১) ও (২) যোগ করে পাই,
3x = 12,
সুতরা x = 4

এখন x এর মান সমীকরণ (১) এ বসিয়ে পাই,
2 × 4 + y = 7,
বা, y = 7 - 8
বা, y = - 1
সুতরাং নির্ণেয় মান, (x, y) = (4, - 1)।

৬,৮৪২.

1 + 5 + 9 + ...................... ধারাটির প্রথম 8 টি পদের সমষ্টি কত?

ক
ক) 118
খ
খ) 120
গ
গ) 122
ঘ
ঘ) 124

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 + 5 + 9 + ...................... ধারাটির প্রথম 8 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:

১ম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 5 - 1 = 4

আমরা জানি,
n সংখ্যক পদের সমষ্টি = n/2 {2a + (n - 1)} d
∴ 8 টি পদের সমষ্টি = (8/2) × {(2 × 1) + (8 - 1) × 4}
= 4 × {2 + (7 × 4)}
= 4 × (2 + 28)
= 4 × 30
= 120

∴ ধারাটির প্রথম 8 টি পদের সমষ্টি 120

৬,৮৪৩.

f(x) = x² + 3x + 1 এবং g(x) = 2x - 3 হলে (gof)(2) এর মান কত?

ক
5
খ
9
গ
13
ঘ
19

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: f(x) = x² + 3x + 1 এবং g(x) = 2x - 3 হলে (gof)(2) এর মান কত?

সমাধান:
(gof)(2) = g(f(2))

f(2) = 2² + 3 × 2 + 1
= 4 + 6 + 1
= 11

g(11) = 2 × 11 - 3
= 22 - 3
= 19

৬,৮৪৪.

নিম্নের অসমতাটিকে পরমমান চিহ্ন ব্যবহার করে প্রকাশ করুন:
- 3 < x < 2

ক
|x + 1/2| < 1/2
খ
|2x + 1| < 5
গ
|x - 1| < 5
ঘ
|2x| < 5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিম্নের অসমতাটিকে পরমমান চিহ্ন ব্যবহার করে প্রকাশ করুন:
- 3 < x < 2

সমাধান:
- 3 < x < 2
⇒ - 3 + 1/2 < x + 1/2 < 2 + 1/2 [1/2 যোগ করে]
⇒ - 5/2 < x + 1/2 < 5/2
⇒ |x + 1/2| < 5/2
⇒ |2x + 1| < 5

৬,৮৪৫.

ক
3
খ
2
গ
1/3
ঘ
1/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৬,৮৪৬.

একটি শ্রেণীতে প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে ছাত্র বসলে ৪টি বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে বসলে ২ জন ছাত্রের দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণীর ছাত্র সংখ্যা কত?

ক
৫২ জন
খ
৫৬ জন
গ
৬০ জন
ঘ
৭৫ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি শ্রেণীতে প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে ছাত্র বসলে ৪টি বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে বসলে ২ জন ছাত্রের দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণীর ছাত্র সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
বেঞ্চ সংখ্যা = কটি

একটি শ্রেণীতে প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে ছাত্র বসলে ৪টি বেঞ্চ খালি থাকে।
∴ ছাত্রসংখ্যা = (ক - ৪) × ৪ জন

প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে ছাত্র বসলে ২ জন ছাত্রের দাঁড়িয়ে থাকতে হয়।
∴ ছাত্রসংখ্যা = ৩ক + ২ জন

প্রশ্নমতে,
(ক - ৪) × ৪ = ৩ক + ২
⇒ ৪ক - ১৬ = ৩ক + ২
⇒ ৪ক - ৩ক = ২ + ১৬
⇒ ক = ১৮

অতএব, বেঞ্চ আছে ১৮টি।
∴ ছাত্রসংখ্যা = ৩ক + ২ জন
= (৩ × ১৮) + ২ জন
= ৫৪ + ২ জন
= ৫৬ জন

সুতরাং, ঐ শ্রেণীর ছাত্র সংখ্যা হলো ৫৬ জন।

৬,৮৪৭.

x + 2y = 9
2x - y = 3
উপরোক্ত সমীকরণদ্বয়ের সমাধান কোনটি?

ক
ক) (3, 3)
খ
খ) (2, -1)
গ
গ) (5, 1)
ঘ
ঘ) (2, 4)

ব্যাখ্যা

x + 2y = 9 or, x = 9 - 2y
এখন, 2x - y = 3
or, 2(9 - 2y) - y = 3
or, 18 - 4y - y = 3
or, 5y = 15
or, y = 3
∴ x = 9 - 2 × 3 = 9 - 6 = 3
∴ নির্ণেয় সমাধানঃ (x, y) = (3, 3)
-------------------------------
short-cut
(3, 3) এর জন্য, 3 + 2 × 3 = 9; 2 × 3 - 3 = 3। তাই অপশনের ক) সঠিক

৬,৮৪৮.

p²+ 12p + 36 কে p + 3 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?

ক
8
খ
12
গ
6
ঘ
9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: p²+ 12p + 36 কে p + 3 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
f(a) = p²+ 12p + 36

∴ f(- 3) = (- 3)²+ 12(- 3) + 36
= 9 - 36 + 36
= 9

∴ ভাগশেষ 9 হবে।

৬,৮৪৯.

ক
2/3
খ
1/2
গ
9/4
ঘ
2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৬,৮৫০.

6 জন ও 8 জন খেলোয়াড়ের দুটি দল থেকে 11 জন খেলোয়াড়ের একটি টিম গঠন করতে হবে যাতে 6 জনের দল থেকে কমপক্ষে 4 জন খেলোয়াড় ঐ টিমে থাকবে। ক্রিকেট টিমটি কত উপায়ে গঠন করা যাবে?

ক
256
খ
280
গ
372
ঘ
344

ব্যাখ্যা

উপায় ১ম দল(6) ২য় দল (8)
১ নং 6 5
২ নং 5 6
৩ নং 4 7

১ নং এর ক্ষেত্রে টিম গঠনের উপায় = ⁶C₆ × ⁸C₅
= 1 × 56 = 56

২ নং এর ক্ষেত্রে টিম গঠনের উপায় =⁶C₅ ×⁸C₆
= 6 × 28
= 168
৩ নং এর ক্ষেত্রে টিম গঠনের উপায় =⁶C₄ × ⁸C₇
= 15 × 8
= 120
টিম গঠনের মোট উপায় = 56 + 168 + 120 = 344

৬,৮৫১.

একটি সংখ্যার 4 গুণের সাথে 10 যোগ করা হলে উত্তর হয় সংখ্যাটির 5 গুণ অপেক্ষা 5 কম। সংখ্যাটি কত?

ক
30
খ
20
গ
25
ঘ
15

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার 4 গুণের সাথে 10 যোগ করা হলে উত্তর হয় সংখ্যাটির 5 গুণ অপেক্ষা 5 কম। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনেকরি
সংখাটি = x

প্রশ্নমতে
4x + 10 = 5x - 5
বা, 10 + 5 = 5x - 4x
বা, 15 = x
∴ x = 15

৬,৮৫২.

একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করা হলে মৌলিক সংখ্যা অথবা তিন দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা আসার সম্ভাবনা কত?

ক
ক) 1/6
খ
খ) 1/3
গ
গ) 2/3
ঘ
ঘ) 1/2

ব্যাখ্যা

একটি ছক্কায় মৌলিক সংখ্যা = 2, 3, 5
এবং তিন দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা = 3, 6
মৌলিক অথবা তিন দ্বারা বিভাজ্য এমন সংখ্যা = 2, 3, 5, 6.
সুতরাং মৌলিক অথবা তিন দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা আসার সম্ভাবনা = 4/6 = 2/3।

৬,৮৫৩.

একটি ধারার m তম পদ P^2m- 5 এবং ধারাটির ৩য় পদ 724 হলে P এর মান কত?

ক
ক) 3
খ
খ) 4
গ
গ) 5
ঘ
ঘ) 6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ধারার m তম পদ P^2m- 5 এবং ধারাটির ৩য় পদ 724 হলে P এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
m-তম পদ = p^2m - 5
∴ ৩য় পদ = p^{2 × 3} - 5
= p⁶ - 5

প্রশ্নমতে,
p⁶ - 5 = 724
বা, p⁶ = 724 + 5
বা, p⁶ = 729
বা, p⁶ = 3⁶
∴ p = 3

৬,৮৫৪.

একটি বন্দুকের গুলি প্রতি সেকেন্ডে ১,৫৪০ ফুট গতিবেগে লক্ষ্যভেদ করে। এক ব্যক্তি বন্দুক ছুঁড়বার ৩ সেকেন্ড পরে লক্ষ্যভেদের শব্দ শুনতে পায়। শব্দের গতি প্রতি সেকেন্ডে ১১০০ ফুট। লক্ষ্য বস্তুর দূরত্ব কত?

ক
ক) ২০২৫ ফুট
খ
খ) ১৯২৫ ফুট
গ
গ) ১৯৭৫ ফুট
ঘ
ঘ) ১৮৭৫ ফুট

ব্যাখ্যা

ধরি,
লক্ষবস্তুর দূরত্ব = x মিটার

x মিটার যেতে বুলেটের সময় লাগে x/১৫৪০ সেকেন্ড
x মিটার আসতে শব্দের সময় লাগে x/১১০০ সেকেন্ড

প্রশ্নমতে,
(x/১৫৪০) + (x/১১০০) = ৩
বা, (৫x + ৭x)/৭৭০০ = ৩
বা ,১২x = ৩ × ৭৭০০
বা, ১২x = ২৩১০০
বা, x = ২৩১০০/১২
বা, x = ১৯২৫

৬,৮৫৫.

8 + 16 + 24 + ..... ধারাটির প্রথম 10টি পদের সমষ্টি কত?

ক
ক) 440
খ
খ) 360
গ
গ) 560
ঘ
ঘ) 256

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 8 + 16 + 24 + ..... ধারাটির প্রথম 10টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধারার প্রথম পদ, a = 8
সাধারণ অন্তর, d = 16 - 8 = 8
পদ সংখ্যা, n = 10
আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম n পদের সমষ্টি,
S = (n/2){2a + (n - 1)d}
∴ S = (10/2) {2 × 8 + (10 - 1)8} [n = 10 বসিয়ে]
= (10/2) {16+ 72}
= 5 × 88
= 440

∴ ধারাটির প্রথম 10টি পদের সমষ্টি 440

৬,৮৫৬.

কোন ভগ্নাংশের লবের সাথে 7 যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান 2 হয় এবং হর থেকে 2 বাদ দিলে ভগ্নাংশটির মান 1 হয় । ভগ্নাংশটি কত?

ক
ক) 3/5
খ
খ) 4/5
গ
গ) 3/4
ঘ
ঘ) 4/7

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন ভগ্নাংশের লবের সাথে 7 যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান 2 হয় এবং হর থেকে 2 বাদ দিলে ভগ্নাংশটির মান 1 হয় । ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
ধরি, ভগ্নাংশটি x/y

১ম শর্তমতে
(x + 7)/y = 2
⇒ x + 7 = 2y
∴ x - 2y = - 7..............(1)

২য় শর্তমতে
x/(y - 2) = 1
⇒ x = y - 2
∴ x - y = - 2..............(2)

(1) নং - (2) নং ⇒
x - 2y - x + y = -7 + 2
⇒ - y = - 5
∴ y = 5

(2) নং ⇒
x - 5 = - 2
⇒ x = -2 + 5
∴ x = 3

ভগ্নাংশটি = 3/5

৬,৮৫৭.

40 থেকে 50 পর্যন্ত সংখ্যা থেকে যেকোনো একটিকে ইচ্ছেমত নিলে সে সংখ্যাটি মৌলিক অথবা 5 এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
1/2
খ
6/11
গ
5/11
ঘ
4/11

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 40 থেকে 50 পর্যন্ত সংখ্যা থেকে যেকোনো একটিকে ইচ্ছেমত নিলে সে সংখ্যাটি মৌলিক অথবা 5 এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মৌলিক সংখ্যা:
১ এর চেয়ে বড় যে সকল সংখ্যাকে শুধু ১ এবং ঐ সংখ্যা ছাড়া আর কোনো সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না, তাদেরকে মৌলিক সংখ্যা বলে।
অর্থাৎ, মৌলিক সংখ্যার উৎপাদক হবে দুইটি: ১ এবং শুধুমাত্র সেই সংখ্যাটি।
১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মোট মৌলিক সংখ্যা ২৫টি।
যেমন- ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯, ৬১, ৬৭, ৭১, ৭৩, ৭৯, ৮৩, ৮৯, ৯৭।

এখন,
40 থেকে 50 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = 41, 43, 47
আবার,
40 থেকে 50 পর্যন্ত 5 এর গুণিতক সংখ্যা = 40, 45, 50

∴ 40 থেকে 50 পর্যন্ত মোট সংখ্যা = 11 টি
মৌলিক সংখ্যা অথবা 5 এর গুণিতক মোট সংখ্যা = (3 + 3) টি = 6 টি

∴ নির্ণেয় সম্ভাবনা = 6/11 ।

৬,৮৫৮.

log_x(1/27) = - 3 হলে, x এর মান কত?

ক
-3
খ
3
গ
1/3
ঘ
-1/3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_x(1/27) = - 3 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
log_x(1/27) = - 3
⇒ x^{- 3}= 1/27
⇒ x^{- 3}= 1/3³
⇒ x^{- 3} = 3^{- 3}
∴ x = 3

৬,৮৫৯.

7 + 14 + 28 + 56 + …… + 448 ধারাটির সমষ্টি কত?

ক
896
খ
912
গ
775
ঘ
889

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 7 + 14 + 28 + 56 + …… + 448 ধারাটির সমষ্টি কত?

সমাধান:
এটা একটি গুণোত্তর ধারা।
যার প্রথম পদ, a = 7
সাধারণ অনুপাত, r = 2 ; r > 1
শেষ পদ = 448

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n তম পদ, a_n = ar^{(n - 1)}
⇒ 7 × 2^{(n - 1)} = 448
⇒ 2^{(n - 1)} = 448/7
⇒ 2^{(n - 1)} = 64
⇒ 2^{(n - 1)} = 2⁶
⇒ n - 1 = 6
∴ n = 7
অর্থাৎ ধারাটিতে মোট 7টি পদ আছে।

আবার,
আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n তম পদ্যার সমষ্টি, S_n = a × (rⁿ - 1)/(r - 1) ; r > 1
S₇ = 7 × (2⁷ - 1)/(2 - 1)
= 7 × (128 - 1)
= 7 × 127
= 889

৬,৮৬০.

x⁴ + 6x² - 7 এর উৎপাদক গুলো হলো-

ক
(x² + 7)(x + 2)(x - 2)
খ
(x² - 7)(x + 1)(x - 1)
গ
(x² + 7)(x + 1)(x - 1)
ঘ
(x² - 7)(x - 1)(x - 1)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x⁴ + 6x² - 7 এর উৎপাদক গুলো হলো-

সমাধান:
x⁴ + 6x² - 7
= (x²)²+ 2.x².3 + 3² - 9 - 7
= (x² + 3)² - 4²
= (x² + 3 + 4)(x² + 3 - 4)
= (x² + 7)(x² - 1)
= (x² + 7) (x² - 1²)
= (x² + 7)(x + 1)(x - 1)

৬,৮৬১.

3x²- 7x + 11 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের গুণফল কত?

ক
- 3/7
খ
- 7/3
গ
3/11
ঘ
11/3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3x²- 7x + 11 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের গুণফল কত?

সমাধান:
3x² - 7x + 11 = 0 সমীকরণের মুলদ্বয় a ও b

আমরা জানি,
ab = ধ্রুবক পদ/x² এর সহগ
ab= 11/3

৬,৮৬২.

log₂{1 + log₃(1 + log₂x)} = 1 হলে, x এর মান কত?

ক
ক) 1
খ
খ) 2
গ
গ) 3
ঘ
ঘ) 4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₂{1 + log₃(1 + log₂x)} = 1 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
log₂{1 + log₃(1 + log₂x)} = 1
⇒ 1 + log₃(1 + log₂x) = 2¹ = 2
⇒ log₃(1 + log₂x) = 2 - 1 = 1
⇒ 1 + log₂x = 3¹ = 3
⇒ log₂x = 3 - 1 = 2
∴ x = 2² = 4

৬,৮৬৩.

একটি সমান্তর ধারার 10 তম পদ 32 হলে, ধারাটির প্রথম 19টি পদের সমষ্টি কত?

ক
611
খ
608
গ
605
ঘ
806

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার 10 তম পদ 32 হলে, ধারাটির প্রথম 19টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
মনে করি,
ধারাটির প্রথম পদ, a
সাধারণ অন্তর, d

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
10 তম পদ = a + (10 - 1)d
= a + 9d

প্রশ্নমতে,
a + 9d = 32

আমরা জানি,
nতম পদের সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
∴ 19টি পদের সমষ্টি = (19/2) {2a + (19 - 1)d}
= (19/2) (2a + 18d)
= (19/2) × 2 (a + 9d)
= 19 × (a + 9d)
= 19 × 32
= 608 ।

৬,৮৬৪.

যদি a ,b বাস্তব সংখ্যা এবং a ≠ 0, b ≠0 হয়, তবেএর মান কত?

ক
0
খ
2
গ
a + b
ঘ
a²+ b²

ব্যাখ্যা

a^2×1 + b^2×1
a²+ b²

৬,৮৬৫.

216(√6)^2x= 1 হলে x এর মান কত হবে?

ক
ক) 3
খ
খ) - 3
গ
গ) 2
ঘ
ঘ) - 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 216(√6)^2x= 1 হলে x এর মান কত হবে?

সমাধান:
216(√6)^2x = 1
6³(6^1/2)^2x = 1
6³.6^x = 1
6^{3 + x} = 6⁰
x + 3 = 0
x = - 3

৬,৮৬৬.

ক
2
খ
0
গ
1
ঘ
1/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

৬,৮৬৭.

একটি তাসের প্যাকেট হতে একটি তাস নিলে তা বিবি না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
১/১৩
খ
৩/৪
গ
৩/৫
ঘ
১২/১৩

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি তাসের প্যাকেট হতে একটি তাস নিলে তা বিবি না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
তাসের সংখ্যা = ৫২ টি

এখন,
একটি তাসের প্যাকেটে,
সাহেবের সংখ্যা = ৪ টি
বিবির সংখ্যা = ৪ টি
টেক্কার সংখ্যা = ৪ টি

∴ তাসটি বিবি হওয়ার সম্ভাবনা = (৪/৫২)
= ৪/৫২
= ১/১৩

∴ বিবি না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - ১/১৩
= (১৩ - ১)/১৩
= ১২/১৩

৬,৮৬৮.

দুইটি সংখ্যার বর্গের যোগফল ৮০ এবং তাদের পার্থক্যের বর্গ ৩৬। সংখ্যাদ্বয়ের গুনফল কত?

ক
ক) ৪৪
খ
খ) ২২
গ
গ) ২৬
ঘ
ঘ) ৩২

ব্যাখ্যা

ধরি, সংখ্যা দুইটি ক ও খ।
প্রশ্নমতে, ক² + খ² = ৮০ এবং (ক-খ)² = ৩৬
ক² + খ² = (ক-খ)² + ২কখ
বা, ২কখ = ৮০-৩৬ = ৪৪
বা, কখ = ২২

৬,৮৬৯.

একটি শ্রেণিতে যতজন ছাত্র-ছাত্রী আছে প্রত্যেকে তত পয়সার চেয়ে আরও 25 পয়সা বেশি করে চাঁদা দেওয়ায় মোট 75 টাকা উঠল। ঐ শ্রেণির ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা কত?

ক
ক) 70 জন
খ
খ) 75 জন
গ
গ) 80 জন
ঘ
ঘ) 100 জন

ব্যাখ্যা

মনে করি,
ছাত্র-ছাত্রী সংখ্যা x জন

প্রশ্নমতে,
x(x+25) = 75 × 100 [∵ 75 টাকা = 7500 পয়সা]
⇒ x² + 25x -7500 = 0
⇒ x² +100x - 75x-7500 = 0
⇒ x(x+100) -75(x+100) = 0
হয় অথবা
x-75 = 0 x + 100=0
∴ x=75 x = -100 [ গ্রহণযোগ্য নয়]

∴ ঐ শ্রেণিতে 75 জন ছাত্র ছাত্রী আছে।

৬,৮৭০.

A = Φ হলে P(A) = কত?

ক
{Φ}
খ
{0}
গ
{ }
ঘ
{0, 1}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A = Φ হলে P(A) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = Φ
- ফাঁকা সেট হলো সকল সেটের উপসেট।
- ফাঁকা সেটের কোনো উপাদান নেই।
P(A) = {Φ}

৬,৮৭১.

যদি (x-y)² = 14 এবং xy=2 হয় তবে x²+y² = কত?

ক
ক) 6
খ
খ) 8
গ
গ) 12
ঘ
ঘ) 18

ব্যাখ্যা

আমরা জানি,
x²+y² = (x-y)² + 2xy
= 14+2×2
= 18

৬,৮৭২.

সেট প্রকাশের পদ্ধতি কয়টি?

ক
১টি
খ
২টি
গ
৩টি
ঘ
৪টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সেট প্রকাশের পদ্ধতি কয়টি?

সমাধান:
বস্তু জগতের বা চিন্তাজগতের বস্তু বা ধারণার যে কোন সুনির্ধারিত তালিকা, সংগ্রহ বা শ্রেণিকে সেট বলে।
সেটকে দুই পদ্ধতিতে প্রকাশ করা হয়।
যথা:
(১) তালিকা পদ্ধতি
(২)সেট গঠন পদ্ধতি

৬,৮৭৩.

যদি 5xy + 28x - 2 = 0 এবং y = - 4 হয়, তাহলে 4x + y = কত?

ক
3
খ
4
গ
- 3
ঘ
6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 5xy + 28x - 2 = 0 এবং y = - 4 হয়, তাহলে 4x + y = কত?

সমাধান:
5xy + 28x - 2 = 0
বা, 5x × (- 4) + 28x - 2 = 0 [y = - 4]
বা, - 20x + 28x - 2 = 0
বা, 8x - 2 = 0
বা, 8x = 2
বা, x = 2/8
∴ x = 1/4

∴ 4x + y = 4 × (1/4) + (- 4)
= 1 - 4
= - 3.

৬,৮৭৪.

কোন সমান্তর প্রগমনে প্রথম দুটি সংখ্যা ৫ ও ১৭ হলে পঞ্চম পদটি কত?

ক
ক) ৪৯
খ
খ) ৬১
গ
গ) ৫৩
ঘ
ঘ) ৪৭

ব্যাখ্যা

কোনো সমান্তর প্রগমনে প্রথম দুটি পদ ৫ ও ১৭ হলে, সাধারণত অন্তর = ১৭-৫ = ১২।
সুতরাং তৃতীয় পদ = দ্বিতীয় পদ + সাধারণত অন্তর
= ১৭+১২
= ২৯
চতুর্থ পদ = তৃতীয় পদ + সাধারণত অন্তর
= ২৯+১২
= ৪১
পঞ্চম পদ = চতুর্থ পদ + সাধারণত অন্তর
= ৪১ + ১২
= ৫৩

৬,৮৭৫.

x + y = 12 এবং x - y = 2 হলে xy এর মান কত?

ক
ক) ৪৫
খ
খ) ৩০
গ
গ) ৪০
ঘ
ঘ) ৩৫

ব্যাখ্যা

দেয়া আছে,
x + y = 12
x - y = 2

আমরা জানি
4xy = ( x + y)² – (x – y)²
xy = {(12)² – (2)²}/4
xy = {(144 – 4}/4
xy = 140/4
xy = 35

৬,৮৭৬.

⁸P_r = 1680 হলে r এর মান কত?

ক
12
খ
6
গ
4
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ⁸P_r = 1680 হলে r এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
⁸P_r = 1680
⇒ 8!/(8 - r)! = 1680
⇒ (8 - r)! × 1680 = 8!
⇒ (8 - r)! = 8!/1680
⇒ (8 - r)! = (8 × 7 × 6 × 5 × 4!)/(8 × 7 × 6 × 5)
⇒ (8 - r)! = 4!
⇒ 8 - r = 4
⇒ r = 8 - 4
∴ r = 4

৬,৮৭৭.

যদি log₁₀5 + log₁₀(5x + 1) = log₁₀(x + 5) + 1 হয়, তবে x এর মান কত?

ক
4
খ
2
গ
7
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি log₁₀5 + log₁₀(5x + 1) = log₁₀(x + 5) + 1 হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log₁₀5 + log₁₀(5x + 1) = log₁₀(x + 5) + 1
⇒ log₁₀5 + log₁₀(5x + 1) = log₁₀(x + 5) + log₁₀10
⇒ log₁₀[5(5x + 1)] = log₁₀[10(x + 5)]
⇒ 5(5x + 1) = 10(x + 5)
⇒ 5x + 1 = 2x + 10
⇒ 5x - 2x = 10 - 1
⇒ 3x = 9
⇒ x = 9/3
∴ x = 3

৬,৮৭৮.

একটি শ্রেণিতে প্রতি বেঞ্চে 6 জন করে ছাত্র বসালে 4টি বেঞ্চ খালি থাকে। আবার, প্রতি বেঞ্চে 5 জন করে বসালে 10 জন ছাত্রকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। শ্রেণির মোট ছাত্র সংখ্যা কত?

ক
140 জন
খ
210 জন
গ
180 জন
ঘ
60 জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিতে প্রতি বেঞ্চে 6 জন করে ছাত্র বসালে 4টি বেঞ্চ খালি থাকে। আবার, প্রতি বেঞ্চে 5 জন করে বসালে 10 জন ছাত্রকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। শ্রেণির মোট ছাত্র সংখ্যা কত?

সমাধান:
মনেকরি, ছাত্রসংখ্যা x
6 জন করে ছাত্র বসলে বেঞ্চসংখ্যা = (x/6) + 4
5 জন করে ছাত্র বসলে বেঞ্চসংখ্যা = (x - 10)/5

∴ (x/6) + 4 = (x - 10)/5
⇒ (x + 24)/6 = (x - 10)/5
⇒ 5x + 120 = 6x - 60
⇒ 6x - 5x = 120 + 60
∴ x = 180

∴ ঐ শ্রেণির মোট ছাত্র সংখ্যা 180 জন।

৬,৮৭৯.

যদি ⁴√x³ = 2 হয়, তাহলে x^3/2=?

ক
ক) 8
খ
খ) 16
গ
গ) 4
ঘ
ঘ) 64

ব্যাখ্যা

⁴√x³ = 2

⇒ (x^1/4)³ = 2

⇒ (x ^3/4) = 2

⇒ (x ^3/4)² = 2²

⇒ x^3/2 = 4

৬,৮৮০.

6a - b = 1 এবং - 6a + 5b = 7 সমীকরণে (a, b) এর মান কত?

ক
(1/2, 2)
খ
(1, 1/2)
গ
(2, 2)
ঘ
(2, 1)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 6a - b = 1 এবং - 6a + 5b = 7 সমীকরণে (a, b) এর মান কত?

সমাধান:
6a - b = 1 ........... (1)
- 6a + 5b = 7 ........... (2)

(1) + (2) ⇒
6a - b - 6a + 5b = 1 + 7
⇒ 4b = 8
∴ b = 2

(1) নং থেকে পাই,
6a - 2 = 1
⇒ 6a = 3
∴ a = 1/2

∴ (a, b) = (1/2, 2)

৬,৮৮১.

দুইটি সংখ্যার বর্গের সমষ্টি ও অন্তরফল যথাক্রমে 61 ও 11 হলে, সংখ্যা দুইটি কত?

ক
ক) (7, 6)
খ
খ) (7, 4)
গ
গ) (5, 7)
ঘ
ঘ) (6, 5)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার বর্গের সমষ্টি ও অন্তরফল যথাক্রমে 61 ও 11 হলে, সংখ্যা দুইটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুইটি x এবং y

∴ x² + y²= 61..........(¡)
x² - y² = 11..........(¡¡)
---------------------------------------
(+) করে, 2x² = 72
বা, x² = 72/2
বা, x² = 36
বা, x² = 6²
∴ x = 6
(¡) নং হতে পাই,
y² = 61 - x²
বা, y² = 61 - (6)²
বা, y² = 61 - 36
বা, y² = 25
বা, y² = 5²
∴ y = 5

∴ (x, y) = (6, 5)

৬,৮৮২.

8 - 3x ≥ 2x + 18 অসমতার সমাধান কোনটি?

ক
(- ∞, - 2]
খ
[- 2, ∞)
গ
(- ∞, 2]
ঘ
[- 3, ∞)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 8 - 3x ≥ 2x + 18 অসমতার সমাধান কোনটি?

সমাধান:
⇒ 8 - 3x ≥ 2x + 18
⇒ - 3x - 2x ≥ 18 - 8
⇒ - 5x ≥ 10
⇒ x ≤ 10/5 [কোনো ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করলে অসমতার চিহ্নটি উল্টে যায়]
⇒ x ≤ - 2

ব্যবধি আকারে লিখলে হয়: (- ∞, - 2]

(- ∞, - 2] বলতে বোঝায় যে, - 2 বা তার চেয়ে ছোট সব বাস্তব সংখ্যা এই সমাধানের অন্তর্ভুক্ত।

৬,৮৮৩.

xy > 0 এবং x > 0 হলে নিচের কোনটি অবশ্যই সত্য?

ক
x > y
খ
y > x
গ
x² < 0
ঘ
y > 0

ব্যাখ্যা

xy > 0 হলে,
x > 0 অথবা y > 0

৬,৮৮৪.

নিচের কোনটি p³ - 21p - 20 এর একটি উৎপাদক?

ক
p + 1
খ
p + 2
গ
p - 1
ঘ
p - 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি p³ - 21p - 20 এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
ধরি, f(p) = p³ - 21p - 20

এখন, f(- 1) = (- 1)³ - 21 × (- 1) - 20
= - 1 + 21 - 20
= 21 - 21
= 0
∴ p - (- 1) বা, (p + 1), f(p) এর একটি উৎপাদক।

প্রদত্ত রাশি = p³ - 21p - 20
= p³ + p² - p² - p - 20p - 20
= p²(p + 1) - p(p + 1) - 20(p + 1)
= (p + 1)(p² - p - 20)

৬,৮৮৫.

x² - 10x + P বহুপদী রাশিটি যদি x - 8 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে P এর মান কত হবে?

ক
- 20
খ
10
গ
16
ঘ
30

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² - 10x + P বহুপদী রাশিটি যদি x - 8 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে P এর মান কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
f(x) = x² - 10x + P
ভাগশেষ উপপাদ্য অনুযায়ী,
যদি x² - 10x + P বহুপদী রাশিটি x - 8 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে f(8) = 0 হবে।

∴ x² - 10x + P = 0
বা, (8)² - (10 × 8) + P = 0
বা, 64 - 80 + P = 0
বা, - 16 + P = 0
⇒ P = 16

সুতরাং, P এর মান 16।

৬,৮৮৬.

a⁶ - 64 এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?

ক
(a - 3)
খ
(a² - 2a + 4)
গ
(a² + a + 2)
ঘ
(a² + 4)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a⁶ - 64 এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান:
= (a³)² - 8²
= (a³ + 8)(a³ - 8)
= (a³ + 2³)(a³ - 2³)
= (a + 2)(a² - 2a + 4)(a - 2)(a² + 2a + 4)
= (a + 2)(a - 2)(a² + 2a + 4)(a² - 2a + 4)

৬,৮৮৭.

কোনো পরীক্ষায় পরীক্ষার্থীর ৮০% গণিতে এবং ৭০% বাংলায় পাস করল। উভয় বিষয়ে ১০% ফেল করলো। উভয় বিষয়ে শতকরা কতজন পাস করেছে?

ক
ক) ৫০%
খ
খ) ৬০%
গ
গ) ৭০%
ঘ
ঘ) ৮০%

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো পরীক্ষায় পরীক্ষার্থীর ৮০% গণিতে এবং ৭০% বাংলায় পাস করল। উভয় বিষয়ে ১০% ফেল করলো। উভয় বিষয়ে শতকরা কতজন পাস করেছে?

সমাধান:
উভয় বিষয়ে ১০% ফেল করলো।
উভয় বিষয়ে বা কোন এক বিষয়ে পাস = ১০০% - ১০% = ৯০%

∴ উভয় বিষয়ে বা কোন এক বিষয়ে পাস = গণিতে পাস + বাংলায় পাস - উভয় বিষয়ে পাস
⇒ ৯০% = ৮০% + ৭০% - উভয় বিষয়ে পাস
∴ উভয় বিষয়ে পাস = ১৫০% - ৯০%
= ৬০%

৬,৮৮৮.

a = 3b = 5c এবং abc =225 হলে c এর মান কত?

ক
2
খ
3
গ
8
ঘ
12

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a = 3b = 5c এবং abc =225 হলে c এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a = 5c
এবং
3b = 5c
⇒ b = (5/3) × c

এখন,
abc = 225
বা, 5c × (5/3)c × c = 225
বা, (25/3) c³ = 225
বা, c³ = (225 × 3)/25
বা, c³ = 27
বা, ³√c³ = ³√27 = (3³)^1/3
বা, c = 3

৬,৮৮৯.

কোনো গুণোত্তর ধারার ৪র্থ পদ 135 এবং ৫ম পদ 405 হলে, ধারাটির প্রথম পদ কত?

ক
3
খ
4
গ
5
ঘ
6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো গুণোত্তর ধারার ৪র্থ পদ 135 এবং ৫ম পদ 405 হলে, ধারাটির প্রথম পদ কত?

সমাধান:
এখানে
৪র্থ পদ = 135
৫ম পদ = 405

সাধারণ অনুপাত, r = 405/135 = 3
ধারাটির প্রথম পদ = a
৪র্থ পদ = ar^{4 -1} = 135
a3³ = 135
27a = 135
a = 135/27
a = 5

৬,৮৯০.

A = {x : 7 ≤ x < 11} এবং B = {x : x মৌলিক সংখ্যা < 15} হলে, A ∩ B = ?

ক
ক) {2}
খ
খ) {5}
গ
গ) {6}
ঘ
ঘ) {7}

ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে,
A = {x : 7≤ x <11} = {7, 8, 9, 10}
এবং B = {x : x মৌলিক সংখ্যা < 15} = {2, 3, 5, 7, 11, 13}
∴ A ∩ B = {7, 8, 9, 10} ∩ {2, 3, 5, 7, 11, 13} = {7}

৬,৮৯১.

ক
1/2
খ
3/2
গ
2/3
ঘ
2/5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৬,৮৯২.

যদি (1/5)(2x + 3) ≥ 3 হয় তবে এর সমাধান কত?

ক
x > 6
খ
x < 6
গ
x ≤ 6
ঘ
x ≥ 6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি (1/5)(2x + 3) ≥ 3 হয় তবে এর সমাধান কত?

সমাধান:
(1/5)(2x + 3) ≥ 3
⇒ (2x + 3)/5 ≥ 3
⇒ 2x + 3 ≥ 15
⇒ 2x ≥ 12
∴ x ≥ 6

৬,৮৯৩.

যদি (x - 3)² + (y - 5)² + (z - 4)² = 0 হয়, তবে x²/9 + y²/25 + z²/16 = ?

ক
9
খ
144
গ
3
ঘ
69
ঙ
16

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি (x - 3)² + (y - 5)² + (z - 4)² = 0 হয়, তবে x²/9 + y²/25 + z²/16 = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(x - 3)²+ (y - 5)²+ (z - 4)² = 0

আমরা জানি,
যদি বর্গফলের যোগফল শূন্য হয়, তাহলে প্রতিটি বর্গফলও শূন্য হতে হবে। অর্থাৎ,
∴ (x - 3)² = 0
∴ x = 3
(y - 5)² = 0
∴ y = 5
এবং,
(z - 4)²= 0
∴ z = 4

প্রদত্ত রাশি,
x²/9 + y²/25 + z²/16
= (3²/9) + (5²/25) + (4²/16)
= (9/9) + (25/25) + (16/16)
= 1 + 1 + 1
= 3

৬,৮৯৪.

1/√2, 1, √2,..... ধারাটির কোন পদ 8 হবে?

ক
6
খ
7
গ
8
ঘ
9

ব্যাখ্যা

1/√2, 1, √2,..... ধারাটির প্রথম পদ,
a = 1/√2
এবং, সাধারণ অনুপাত,
r = 1 ÷ (1/√2) = √2
সুতরাং, n তম পদ,
ar^{n - 1} = 8
বা, (1/√2)(√2)^{n - 1} = 8
বা, (√2)^{n - 2} = (√2)⁶
বা, n - 2 = 6
বা, n = 8

৬,৮৯৫.

১২.৫ + ১৩.৫ + ১৪.৫ + ............ ধারার প্রথম ৮টি পদের সমষ্টি কত?

ক
১২৮
খ
১৩৫.৫
গ
১৪২
ঘ
১৪৩.৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১২.৫ + ১৩.৫ + ১৪.৫ + ............ ধারার প্রথম ৮টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
১৩.৫ - ১২.৫ = ১
১৪.৫ - ১৩.৫ = ১
∴ প্রদত্ত ধারাটি একটি সমান্তর ধারা। যার,
প্রথম পদ, a = ১২.৫
সাধারণ অন্তর, d = ১
পদের সংখ্যা n = ৮

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার প্রথম n পদের সমষ্টি = (n/২){২a + (n - ১)d}
∴ সমান্তর ধারার প্রথম ৮টি পদের সমষ্টি = (৮/২){২ × ১২.৫ + (৮ - ১) × ১}
= ৪ × (২৫ + ৭)
= ১২৮

৬,৮৯৬.

1²+ 2²+ 3²+ 4²+ 5²+.......... + 25²= ?

ক
6250
খ
4565
গ
6550
ঘ
5525

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1²+ 2²+ 3²+ 4²+ 5²+.......... + 25² = ?

সমাধান:
আমরা জানি,
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি = {n(n + 1)(2n + 1)}/6
এখানে, n = 25

∴ S₂₅ = {n(n + 1)(2n + 1)}/6
= {25(25 + 1)(2 × 25 + 1)}/6
= (25 × 26 × 51)/6
= 33150/6
= 5525

∴ধারাটির যোগফল = 5525

৬,৮৯৭.

128 + 64 + 32 + ...... ধারাটির নবম পদ কত?

ক
ক) 1
খ
খ) 1/2
গ
গ) 1/4
ঘ
ঘ) 1/8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 128 + 64 + 32 + ...... ধারাটির নবম পদ কত?

সমাধান:
ধারাটির প্রথম পদ, a = 128
সাধারন অনুপাত r = 64/128 = 1/2
পদসংখ্যা n = 9

∴ নবম পদ = ar^n-1
= 128 × (1/2)^9-1
= 128 × (1/2)⁸
= 128 × (1/256)
= 1/2

৬,৮৯৮.

¹³P_r = 1716 হলে, r এর মান কত?

ক
2
খ
3
গ
4
ঘ
5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ¹³P_r = 1716 হলে, r এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
¹³P_r = 1716
⇒ 13!/(13 - r)! = 11 × 12 × 13
⇒ (13 - r)! × 11 × 12 × 13 = 13!
⇒ 13! (13 - r)! = (13 × 12 × 11 × 10!)/(11 × 12 × 13)
⇒ (13 - r)! = 10!
⇒ (13 - r) = 10
⇒ r = 13 - 10
∴ r = 3

৬,৮৯৯.

log 2 = 0.3010 এবং log 3 = 0.4771 হলে, log 6 এর মান কত?

ক
0.7781
খ
0.6991
গ
0.8066
ঘ
0.1436

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log 2 = 0.3010 এবং log 3 = 0.4771 হলে, log 6 এর মান কত?

সমাধান:
log 6 = log(2 × 3)
= log 2 + log 3
= 0.3010 + 0.4771
= 0.7781

৬,৯০০.

যদি একটি কয়েন দুইবার টস করা হয় তাহলে ২য় বার টেইল আসার সম্ভাবনা কত?

ক
০
খ
৩/২
গ
৪/৩
ঘ
১/২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি একটি কয়েন দুইবার টস করা হয় তাহলে ২য় বার টেইল আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
একটি কয়েক দুইবার টস দিলে নমুনাক্ষেত্র = {HH, HT, TH, TT}
মোট ঘটনা = ৪

২য় বারে টেইল আসার ঘটনা {TT, HT} = ২

∴ ২য় বার টেইল আসার সম্ভাবনা = ২/৪ = ১/২