লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

বীজগণিত

মোট প্রশ্ন২০,২০৭এই পাতা১০০প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

বীজগণিত

PrepBank · পাতা ৬২ / ২০১ · ৬,১০১–৬,২০০ / ২০,২০৭

৬,১০১.
15ax2/5x এর মান কত?
  1. ক
    ক) 5a
  2. খ
    খ) 3x2
  3. গ
    গ) 3ax
  4. ঘ
    ঘ) 5x
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 15ax2/5x এর মান কত? 

সমাধান: 
15ax2/5x
= 3ax 
৬,১০২.
2log103 + 2log102 এর মান কোনটি?
  1. ক
    log1024
  2. খ
    log1032
  3. গ
    4log106
  4. ঘ
    log1036
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2log103 + 2log102 এর মান কোনটি?

সমাধান:
2log103 + 2log102
= log1032 + log1022
= log109 + log104
= log10(9 × 4)
= log1036
৬,১০৩.
৭ জন পুরুষ ও ৩ জন মহিলা থেকে কত উপায়ে ৫ জন পুরুষ ও ২ জন মহিলা বিশিষ্ট দল তৈরি করা যাবে?
  1. ক
    ৪৫
  2. খ
    ৯০
  3. গ
    ৬৩
  4. ঘ
    ১২৬
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৭ জন পুরুষ ও ৩ জন মহিলা থেকে কত উপায়ে ৫ জন পুরুষ ও ২ জন মহিলা বিশিষ্ট দল তৈরি করা যাবে?

সমাধান:
৭ জন পুরুষ থেকে ৫ জন পুরুষ এবং ৩ জন মহিলা থেকে ২ জন মহিলা বাছাই করতে হবে.

∴ মোট উপায় = ৭C৫ × ৩C২
= ২১ × ৩ উপায়
= ৬৩ উপায়
৬,১০৪.
মা থেকে মেয়ে 18 বছরের ছোট। 6 বছর পর তাদের বয়সের সমষ্টি 54 বছর হলে, মেয়ের বর্তমান বয়স কত? 
  1. ক
    ক) 9 বছর
  2. খ
    খ) 12 বছর
  3. গ
    গ) 10 বছর
  4. ঘ
    ঘ) 13 বছর
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: মা থেকে মেয়ে 18 বছরের ছোট। 6 বছর পর তাদের বয়সের সমষ্টি 54 বছর হলে, মেয়ের বর্তমান বয়স কত? 

সমাধান: 
ধরি,
মেয়ের বর্তমান বয়স = x বছর 
∴ মায়ের বয়স = (x + 18) বছর 

শর্তমতে,
(x + 6) + (x + 18 + 6) = 54
বা, x + 6 + x + 24 = 54
বা, 2x + 30 = 54 
বা, 2x = 54 - 30 
বা, 2x = 24
বা, x = 24/2
∴ x = 12

∴ মেয়ের বর্তমান বয়স = 12 বছর। 
৬,১০৫.
একটি শ্রেণীর প্রতি বেঞ্চে ৫ জন করে ছাত্র বসলে ২ টি বেঞ্চ ফাঁকা থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে বসলে ৮ জন ছাত্রের দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণীর ছাত্র সংখ্যা কত?
  1. ক
    ৬৪ জন
  2. খ
    ৭২ জন
  3. গ
    ৮০ জন
  4. ঘ
    ৯০ জন
  5. ঙ
    ১০০ জন
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি শ্রেণীর প্রতি বেঞ্চে ৫ জন করে ছাত্র বসলে ২ টি বেঞ্চ ফাঁকা থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে বসলে ৮ জন ছাত্রের দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণীর ছাত্র সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
বেঞ্চ সংখ্যা = “ক” টি

শ্রেণির প্রতি বেঞ্চে ৫ জন করে ছাত্র বসলে ২ টি বেঞ্চ খালি থাকে
∴ ছাত্রসংখ্যা = {(ক - ২) × ৫} জন

প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে ছাত্র বসালে ৮ জন ছাত্রকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়
∴ ছাত্রসংখ্যা = ৪ক + ৮ জন

প্রশ্নমতে,
(ক - ২) × ৫ = ৪ক + ৮
⇒ ৫ক - ১০ = ৪ক + ৮
∴ ক = ১৮

অতএব,
বেঞ্চ আছে ১৮ টি

∴ ছাত্রসংখ্যা = (ক - ২) × ৫ জন
= (১৮ - ২) × ৫ জন
= ১৬ × ৫ জন
= ৮০ জন

৬,১০৬.
যদি a + b + c = 12, a + b = 4 এবং a + c = 7 হয়, তাহলে a2 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 2
  2. খ
    খ) 1
  3. গ
    গ) 4
  4. ঘ
    ঘ) 0
ব্যাখ্যা
দেয়া আছে, 
a + b + c = 12................(1)
a + b = 4....................(2)
a + c = 7.....................(3)

এখন 
a + b + a + c = 4 + 7
2a  + b + c = 11 ....................... (4)

(4)নং থেকে (1)নং বিয়োগ করে পাই, 
2a  + b + c - (a + b + c) = 11 - 12
a = - 1

a2 = (- 1)2
a2 =1
৬,১০৭.
৮০, ৯৬, ____, ১২৮ শূন্য স্থানের সংখ্যাটি কত হবে?
  1. ক
    ১১০
  2. খ
    ১১২
  3. গ
    ১০৯
  4. ঘ
    ১০৫
ব্যাখ্যা
৮০+১৬ = ৯৬
৯৬+১৬ = ১১২
১১২+১৬ = ১২৮
অর্থাৎ শূন্যস্থানে ১১২ বসবে।
৬,১০৮.
a + b = 4 এবং ab = 2 হলে, (a - b)2 এর মান নির্ণয় করুন।
  1. ক
    8
  2. খ
    27
  3. গ
    16
  4. ঘ
    10
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = 4 এবং ab = 2 হলে, (a - b)2 এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে
a + b = 4
ab = 2

প্রদত্ত রাশি = (a - b)2
= (a + b)2 - 4ab
= 42 - 4 × 2
= 16 - 8
= 8
৬,১০৯.
log√5625 = ?
  1. ক
    ক) 8
  2. খ
    খ) 6
  3. গ
    গ) 4
  4. ঘ
    ঘ) 2
ব্যাখ্যা

log√5625 = log√5(√5)8
= 8log√5√5
= 8.1
= 8

৬,১১০.
4z + 4 > 16 হলে- 
  1. ক
    z > 1
  2. খ
    z > 2
  3. গ
    z > 3
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 4z + 4 > 16 হলে- 

সমাধান: 
4z + 4 > 16
⇒ 4z > 16 - 4
⇒ 4z > 12 
∴ z > 3
৬,১১১.
x²-8x-8y+16+y² এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণ বর্গ হবে?
  1. ক
    ক) 4xy
  2. খ
    খ) 2xy
  3. গ
    গ) 6xy
  4. ঘ
    ঘ) 8xy
ব্যাখ্যা

x2-8x-8y+16+y2
= x2+y2+(-4)2+2xy+2y(-4)+2(-4)x-2xy
= (x+y-4)2-2xy

৬,১১২.
a + b = 5 এবং ab = 6 হলে, a3 + b3 + 4(a - b)2 এর মান নির্ণয় করুন- 
  1. ক
    41
  2. খ
    39
  3. গ
    53
  4. ঘ
    63
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a + b = 5 এবং ab = 6 হলে, a3 + b3 + 4(a - b)2 এর মান নির্ণয় করুন-

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
a + b = 5 এবং ab = 6

আমরা জানি, 
(a - b)2 = (a + b)2 - 4ab = 52 - 4 × 6 = 25 - 24 = 1
∴ (a - b)2 = 1

এবং, 
a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab(a + b)
= 53 - 3 × 6 × 5 = 125 - 90 = 35
∴ a3 + b3 = 35

প্রদত্ত রাশি, 
a3 + b3 + 4(a - b)2
= 35 + 4 × 1
= 39

৬,১১৩.
log2(log381) এর মান কত?
  1. ক
    - 2
  2. খ
    3
  3. গ
    - 4
  4. ঘ
    2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: log2(log381) এর মান কত?

সমাধান:
log2(log381)
= log2(log334)
= log2(4log33)
= log24
= log222
= 2log22
= 2 × 1 
= 2
৬,১১৪.
x2 - 6x + 13 = 0 সমীকরণের মূল দুটি কেমন হবে?
  1. ক
    বাস্তব মূল নাই
  2. খ
    বাস্তব ও অসমান
  3. গ
    অসমান ও মূলদ
  4. ঘ
    বাস্তব ও মূলদ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - 6x + 13 = 0 সমীকরণের মূল দুটি কেমন হবে?

সমাধান:
সমীকরণের নিশ্চায়ক = b2 - 4ac
= (- 6)2 - 4 · 1 · 13
= 36 - 52
= - 16 < 0
∴ বাস্তব মূল নাই।

নিশ্চায়কের অবস্থাভেদে দ্বিঘাত সমীকরণে মূলদ্বয়ের ধরন ও প্রকৃতি (a, b, c মূলদ সংখ্যা):
• b2 - 4ac > 0 এবং পূর্ণবর্গ হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে।
• b2 - 4ac > 0 কিন্তু পূর্ণবর্গ না হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ হবে।
• b2 - 4ac = 0 হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব ও পরস্পর সমান হবে।
• b2 - 4ac < 0 অর্থাৎ ঋণাত্মক হলে সমীকরণটির বাস্তব মূল নাই।
৬,১১৫.
f(x) = 4x3 - 3x2 + 2x - 5 কে x - 3 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?
  1. ক
    80
  2. খ
    88
  3. গ
    82
  4. ঘ
    86
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: f(x) = 4x3 - 3x2 + 2x - 5 কে x - 3 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?

সমাধান: 
f(x) = 4x3 - 3x2 + 2x - 5
∴ f(3) = 4 × (3)3 - 3 × (3)2 + (2 × 3) - 5 
= (4 × 27) - (3 × 9) + 6 - 5
= 108 - 27 + 1
= 82
৬,১১৬.
(√5 + √( 5 - x )) /( √5 -√( 5 - x )) = 5 হলে, x এর মান কত?
  1. ক
    ক) 20/9
  2. খ
    খ) 23/16
  3. গ
    গ) 25/9
  4. ঘ
    ঘ) 0
ব্যাখ্যা

( √5 + √( 5 - x ))/( √5 - √( 5 - x )) = 5 
[ যোজন-বিয়োজন করে পায় ]
⇒√5/√(5 - x ) = 6/4
উভয় পাশে বর্গ করে পায়,
⇒ 5/( 5- x ) = 36/16
⇒ 5/( 5 - x ) = 9/4
⇒ x = 25/9

৬,১১৭.
x2 + 4y2 + 8x - 16y + 16 থেকে কত বিয়োগ করলে বিয়োগফল পূর্ণবর্গ হবে।
  1. ক
    ক) -4xy
  2. খ
    খ) -2xy
  3. গ
    গ) 2xy
  4. ঘ
    ঘ) 4xy
ব্যাখ্যা

x2 + 4y2 + 8x - 16y + 16
= x2 + (2y)2 + (4)2 - 2.x.2y + 2.x.4 - 2.2y.4 + 4xy
=(x - 2y + 4)2 + 4xy

৬,১১৮.
নিচের কোনটি সমান্তর ধারা?
  1. ক
    15 + 30 + 60 + ................
  2. খ
    - 4 - 7 - 10 - ................
  3. গ
    (1/2) + (1/4) + (1/8) + .............
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সমান্তর ধারা?

সমাধান:
সমান্তর ধারা: সমান্তর বলতে 'সমান অন্তর' বোঝায়। যে ধারার পাশাপাশি দুইটি পদের বিয়োগফল একই সংখ্যা বা রাশি থাকে, তাকে সমান্তর ধারা বলা হয়। ধারায় প্রাপ্ত দুইটি পদের বিয়োগফলকে ধারার সাধারণ অন্তর বলে। সাধারণ অন্তর ধনাত্মক বা ঋণাত্মক উভয়ই হতে পারে।
যেমন: 2 + 5 + 8 + 11 +......+ 20, একটি সমান্তর ধারা।

অপশন (খ) তে,
- 4 - 7 - 10 .... একটি সমান্তর ধারা।
এখানে, প্রথম পদ, a = 4
সাধারণ অন্তর, d = - 7 + 4 = - 3 
আবার, - 10 - (-7) = - 3

৬,১১৯.
(256)0.16 × (256)0.09 = ?
  1. ক
    4
  2. খ
    16
  3. গ
    64
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (256)0.16 × (256)0.09 = ?

সমাধান:
(256)0.16 × (256)0.09 
= 2560.16 + 0.09
= 256.25
= 25625/100
= 2561/4
= (44)1/4
= 4 4 × (1/4)
= 41
= 4
৬,১২০.
কোনো ভগ্নাংশের লবের সাথে 7 যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান 2 হয় এবং হর থেকে 2 বাদ দিলে ভগ্নাংশটির মান 1 হয়। ভগ্নাংশটি কত?
  1. ক
    ক) 2/5
  2. খ
    খ) 3/5
  3. গ
    গ) 1/5
  4. ঘ
    ঘ) 4/5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো ভগ্নাংশের লবের সাথে 7 যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান 2 হয় এবং হর থেকে 2 বাদ দিলে ভগ্নাংশটির মান 1 হয়। ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান: 
মনেকরি,
ভগ্নাংশটি x/y
.
১ম শর্তানুসারে,
(x + 7)/y = 2
x + 7 = 2y
x  - 2y = - 7..................(1) 

২য় শর্তানুসারে,
x /(y - 2) = 1
x = y - 2
x - y = - 2..................(2)

(1) - (2) ⇒
x  - 2y - (x - y) = - 7 - ( - 2)
x - 2y - x + y = - 7 + 2
- y = - 5
y = 5

y = 5 সমীকরণ (2) এ বসিয়ে পাই,
x - 5 = - 2
x = 5 - 2
x = 3 

ভগ্নাংশটি 3/5
৬,১২১.
আবহাওয়া দপ্তর থেকে পাওয়া রিপোর্ট অনুযায়ী ২০২৫ সালের মে মাসের ৩য় সপ্তাহে বৃষ্টি হয়েছে ৪ দিন। ঐ সপ্তাহে বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা কত?
  1. ক
    ৪/৭
  2. খ
    ২/৭
  3. গ
    ১/২
  4. ঘ
    ৩/৭
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: আবহাওয়া দপ্তর থেকে পাওয়া রিপোর্ট অনুযায়ী ২০২৫ সালের মে মাসের ৩য় সপ্তাহে বৃষ্টি হয়েছে ৪ দিন। ঐ সপ্তাহে বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
৩য় সপ্তাহে মোট = ৭ দিন
৩য় সপ্তাহে বৃষ্টি হয়েছে = ৪ দিন
৩য় সপ্তাহে বৃষ্টি হয়নি = ৭ - ৪ = ৩ দিন

∴ বৃষ্টি না হবার সম্ভাবনা = ৩/৭

৬,১২২.
log9(3/243) এর মান কত?
  1. ক
    - 4
  2. খ
    - 2
  3. গ
    1/2
  4. ঘ
    2
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log9(3/243) এর মান কত?

সমাধান:
log9(3/243)
= log9(1/81)
= log9(1/34)
= log9(3-4)
= - 4 . log93  [logaMn = n.logaM]
= - 4 . log9(√9)
= - 4 . log99(1/2)
= - 4 . 1/2 . log99
= - 2 . 1  [logaa = 1]
= - 2

৬,১২৩.
a>b হলে নিচের কোনটি সত্য?
  1. ক
    ক) -a < -b
  2. খ
    খ) 1/a > 1/b
  3. গ
    গ) -a > -b
  4. ঘ
    ঘ) a-b < 0
ব্যাখ্যা
7 > 5 হলে -7 < -5, 1/7 < 1/5 এবং 7-5 > 0
৬,১২৪.
  1. ক
    ক) 0
  2. খ
    খ) 1
  3. গ
    গ) 2
  4. ঘ
    ঘ) a
ব্যাখ্যা

(ap+q ÷ a2r) × (aq+r ÷ a2p) × (ar+p ÷ a2q)
= a(p+q - 2r) × a(q+r - 2p) × a(r+p - 2q)
= a0
= 1

৬,১২৫.
যদি x + 3y = 56 এবং y = 2x হয়, তবে y এর মান কত?
  1. ক
    12
  2. খ
    14
  3. গ
    16
  4. ঘ
    18
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x + 3y = 56 এবং y = 2x হয়, তবে y এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
x + 3y = 56....(i)
এবং y = 2x
এখন y = 2x মানটি (i) নং সমীকরণে বসাই,
x + 3(2x) = 56
⇒ x + 6x = 56
⇒ 7x = 56
⇒ x = 8

এখন,
y = 2x
⇒ y = 2 × 8 = 16

৬,১২৬.
9x2 - 9x - 4 এর উৎপাদক কত?
  1. ক
    ক) (3x + 1)(3x - 4)
  2. খ
    খ) (3x - 1) (3x - 4 )
  3. গ
    গ) (3x - 1)(3x + 4)
  4. ঘ
    ঘ) (3x + 1) (3x + 4)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 9x2 - 9x - 4 এর উৎপাদক কত?

সমাধান:
9x2 - 9x - 4
= 9x2 - 12x + 3x - 4
= 3x(3x - 4) + 1(3x - 4)
= (3x + 1) (3x - 4)
৬,১২৭.
যদি x,y বাস্তব সংখ্যা এবং x≠0,y≠0 হয়, তবে (xx)0+(yy)0 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 0
  2. খ
    খ) x+y
  3. গ
    গ) xy
  4. ঘ
    ঘ) 2
ব্যাখ্যা

(xx)0+(yy)0 
=1+1
=2

৬,১২৮.
x4 + x2 + 1 এর একটি উৎপাদক x2 + x + 1 হলে অপরটি কত? 
  1. ক
    ক) x2 - 1 
  2. খ
    খ) x2 + x + 1
  3. গ
    গ) x2 - x + 1
  4. ঘ
    ঘ) x2 + 1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x4 + x2 + 1 এর একটি উৎপাদক x2 + x + 1 হলে অপরটি কত? 

সমাধান: 
x4 + x2 + 1
= x4 + 2x2 + 1 - x2 
= (x2)2 + 2.x2.1 + (1)2 - x2
= (x2 + 1)2 - x2 
= (x2 + x + 1) (x2 - x + 1) 

∴ অপর উৎপাদকটি = x2 - x + 1
৬,১২৯.
(x + 3)(x - 2) = (x + 2) (x - 3) হলে, x এর মান কত?
  1. ক
    0
  2. খ
    -2
  3. গ
    3
  4. ঘ
    2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (x + 3)(x - 2) = (x + 2)(x - 3) হলে, x এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
(x + 3)(x - 2) = (x + 2)(x - 3)
⇒ x2- 2x + 3x -6 = x2 - 3x + 2x - 6
⇒ x2+ x - 6 = x2- x - 6
⇒ x2+ x - 6 - x2+ x + 6 = 0
⇒ 2x = 0
⇒ x = 0
৬,১৩০.
13 + 23 + 33 + ...... + 103 = কত?
  1. ক
    3550
  2. খ
    4010
  3. গ
    3025
  4. ঘ
    3850
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 13 + 23 + 33 + ...... + 103 = কত?

সমাধান:
সমষ্টি = [{n(n + 1)}/2]2
= [10(10 + 1)}/2]2
= 552
= 3025
৬,১৩১.
১০০ জন লোকের মাঝে ৭২ জন ইংরেজি এবং ৪৩ জন ফ্রেঞ্চ ভাষায় কথা বলতে পারে। কতজন লোক ইংরেজি ও ফ্রেঞ্চ উভয় ভাষায়ই কথা বলতে পারে?
  1. ক
    ১৫
  2. খ
    ১৮
  3. গ
    ২৩
  4. ঘ
    ২২
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১০০ জন লোকের মাঝে ৭২ জন ইংরেজি এবং ৪৩ জন ফ্রেঞ্চ ভাষায় কথা বলতে পারে। কতজন লোক ইংরেজি ও ফ্রেঞ্চ উভয় ভাষায়ই কথা বলতে পারে?

সমাধান:
ধরি,
ইংরেজিতে কথা বলা লোকের সেট A
ফ্রেঞ্চ ভাষায় কথা বলা লোকের সেট B
ইংরেজি ও ফ্রেঞ্চ উভয় ভাষায়ই কথা বলা লোকের সেট A ∩ B

দেওয়া আছে,
n(A) = ৭২       
n(B) = ৪৩     
n(A ∪ B) = ১০০

∴ n(A ∩ B) = n(A) + n(B) - n(A ∪ B)
= ৭২ + ৪৩ - ১০০
= ১১৫ - ১০০
= ১৫
৬,১৩২.
4log102 + log105 - 3log105 =?
  1. ক
    log10(25/16)
  2. খ
    log10(16/25)
  3. গ
    log10(9/25)
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 4log102 + log105 - 3log105 =?

সমাধান:
4log102 + log105 - 3log105 
= log1024 + log105 - log1053
= log1016 +log105 -log10125
= log10( 16 × 5 ) - log10125
= log1080 - log10125
= log10 80/125
= log1016/25
৬,১৩৩.
যদি 2x - (2/x) = 10 হয়, তবে x3 - (1/x3) এর মান কত?
  1. ক
    135
  2. খ
    140
  3. গ
    146
  4. ঘ
    153
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি 2x - (2/x) = 10 হয়, তবে x3 - (1/x3) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2x - (2/x) = 10
⇒ {x - (1/x)} = 10/2
∴ x - (1/x) = 5

প্রদত্ত রাশি = x3 - 1/x3
= (x)3 - (1/x)3
= {x - (1/x)}3 + 3 . x . (1/x) . {x - (1/x)}
= (5)3 + 3 × 5
= 125 + 15
= 140
৬,১৩৪.
কোনো ভগ্নাংশের লবের সাথে 1 যোগ করলে 1/2 হয় এবং হরের সাথে 2 যোগ  করলে তা 1/3 হয়, ভগ্নাংশটি কত?
  1. ক
    4/10
  2. খ
    3/8
  3. গ
    2/5
  4. ঘ
    5/9
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো ভগ্নাংশের লবের সাথে 1 যোগ করলে 1/2 হয় এবং হরের সাথে 2 যোগ  করলে তা 1/3 হয়, ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
ধরি 
ভগ্নাংশের লব x 
ভগ্নাংশের হর y 
১ম শর্তমতে
(x + 1)/y = 1/2
2x + 2 = y
2x - y = - 2 ....................(1)

২য় শর্তমতে  
x/(y + 2) = 1/3
3x = y + 2
3x - y = 2.....................(2)

(2) - (1) ⇒
3x - y - 2x + y = 2 - (- 2)
x = 2 + 2 
x = 4

(1) নং হতে পাই 
2 × 4 - y = - 2
8 - y = - 2
- y = - 2 - 8
- y = - 10
y = 10

ভগ্নাংশটি = 4/10
৬,১৩৫.
x - y = 5, 5x + 2y = 4 হলে (x, y) =?
  1. ক
    (2, 3)
  2. খ
    (- 2, - 3)
  3. গ
    (- 2, 3)
  4. ঘ
    (2, - 3)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x - y = 5, 5x + 2y = 4 হলে (x, y) =?

সমাধান:
x - y = 5
∴ 5x - 5y = 25 ..............(1)

5x + 2y = 4 ...............(2)

(1) - (2) হতে পাই,
5x - 5y - 5x - 2y = 25 - 4
⇒ - 7y = 21
⇒ 7y = - 21
∴ y = - 3

y এর মান (1) নং এ বসিয়ে পাই,
5x - 5(- 3) = 25
⇒ 5x + 15 = 25
⇒ 5x = 10
∴ x = 2

∴ নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (2, - 3)
৬,১৩৬.
log2√6 + log2√(2/3) = কত?
  1. ক
    1
  2. খ
    2
  3. গ
    √3
  4. ঘ
    2/√3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: log2√6 + log2√(2/3) = কত?

সমাধান:
log2√6 + log2√(2/3)
= log2√(3 ⋅ 2) + log2√2/√3
= log2√3 + log2√2 + log2√2 - log2√3
= 2 log2√2
= 2 log221/2
= 2 ⋅ (1/2) log22
= 1 ⋅ 1
= 1
৬,১৩৭.
a + b = 5 এবং a - b = 1 হলে ab এর মান কত?
  1. ক
    3
  2. খ
    6
  3. গ
    8
  4. ঘ
    12
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = 5 এবং a - b = 1 হলে ab এর মান কত?

সমাধান: 
4ab = (a + b)2 - (a - b)2
⇒ 4ab = 52 - 12
⇒ 4ab = 25 - 1
⇒ 4ab = 24
⇒ ab = 24/4
∴ ab = 6
৬,১৩৮.
  1. ক
    1
  2. খ
    0
  3. গ
    xb - c
  4. ঘ
    xa + b
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 

সমাধান: 

৬,১৩৯.
দুইটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করা হলে তাদের যোগফল 8 এর চেয়ে বড় হওয়ার সম্ভাবনা কত?
  1. ক
    1/6
  2. খ
    7/12
  3. গ
    3/10
  4. ঘ
    5/18
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করা হলে তাদের যোগফল 8 এর চেয়ে বড় হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করলে মোট সম্ভাব্য ঘটনা = 6 × 6 = 36
8 এর চেয়ে বড় হওয়ার অনুকূল ঘটনা = {(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3), (4, 6), (5, 5), (6, 4), (5, 6), (6, 5), (6, 6)} = 10 টি

∴ যোগফল 8 এর চেয়ে বড় হওয়ার সম্ভাবনা = অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা​/সম্ভাব্য ফলাফলের সংখ্যা
= 10/36
= 5/18
৬,১৪০.
আবহাওয়ার অফিসের রিপোর্ট অনুযায়ী ২০২২ সালে মে মাসের চতুর্থ সপ্তাহে বৃষ্টি হয়েছে ৫ দিন। ঐ সপ্তাহে রবিবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা কত?
  1. ক
    ক) ৩/৭
  2. খ
    খ) ১/৭
  3. গ
    গ) ২/৭
  4. ঘ
    ঘ) ১
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: আবহাওয়ার অফিসের রিপোর্ট অনুযায়ী ২০২২ সালে মে মাসের চতুর্থ সপ্তাহে বৃষ্টি হয়েছে ৫ দিন। ঐ সপ্তাহে রবিবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা
কত?

সমাধান: 
এক সপ্তাহ = ৭ দিন 
৫ দিন বৃষ্টি হলে বৃষ্টি হয়না ২  দিন 

∴ সপ্তাহে রবিবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা ২/৭
৬,১৪১.
1 থেকে 30 পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যার টিকিটগুলো মিশিয়ে একটি টিকিট দৈবচয়নে তোলা হলো। তোলা টিকিটটির সংখ্যা যদি 4 অথবা 6-এর গুণিতক হয়, তবে সেই টিকিট তোলার সম্ভাবনা কত?
  1. ক
    1/2
  2. খ
    1/3
  3. গ
    2/3
  4. ঘ
    3/5
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 থেকে 30 পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যার টিকিটগুলো মিশিয়ে একটি টিকিট দৈবচয়নে তোলা হলো। তোলা টিকিটটির সংখ্যা যদি 4 অথবা 6-এর গুণিতক হয়, তবে সেই টিকিট তোলার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
4-এর গুণিতক = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28} (7টি সংখ্যা)
6-এর গুণিতক = {6, 12, 18, 24, 30} (5টি সংখ্যা)
কমন সংখ্যা = {12, 24} (2টি সংখ্যা)
∴ n(E) = 7 + 5 - 2 = 10

আমরা জানি,
P(E) = n(E)/n(S)
= 10/30
= 1/3

৬,১৪২.
'GOOGLE' শব্দটির বর্ণগুলোকে কত উপায়ে সাজানো যায়?
  1. ক
    120
  2. খ
    360
  3. গ
    720
  4. ঘ
    180
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'GOOGLE' শব্দটির বর্ণগুলোকে কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
'GOOGLE' শব্দে বর্ণ আছে 6 টি।
এর মধ্যে G ও O বর্ণ আছে 2 বার করে । 

∴ মোট সাজানো যাবে = 6!/(2! × 2!)
= (6 × 5 × 4 × 3 × 2)/4
= 180

৬,১৪৩.
৪, ৮, ১৩, ১৯, ২৬, ....... ধারাটির ৮ম পদ কত?
  1. ক
    ক) ৪৩
  2. খ
    খ) ৪৬
  3. গ
    গ) ৫১
  4. ঘ
    ঘ) ৫৩
ব্যাখ্যা

৪ + ৪ = ৮
৮+ ৫ = ১৩
১৩ + ৬ = ১৯
১৯ + ৭ = ২৬
২৬ + ৮ = ৩৪
৩৪ + ৯ = ৪৩
৪৩ + ১০ = ৫৩
অর্থাৎ প্রতিটি পদের ব্যবধান পূর্ববর্তী ব্যবধান থেকে ১ করে বৃদ্ধি পেয়েছে।
∴ ৮ম পদ = ৫৩

৬,১৪৪.
একজন ছাত্র 5 টাকার দরে x টি পেনসিল এবং 4 টাকার দরে (x + 4) টি খাতা কিনেছে। মোট মূল্য অনূর্ধ্ব 97 টাকা হলে, সে সর্বাধিক কয়টি পেনসিল কিনেছে?
  1. ক
    5 টি
  2. খ
    9 টি
  3. গ
    11 টি
  4. ঘ
    7 টি
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একজন ছাত্র 5 টাকার দরে x টি পেনসিল এবং 4 টাকার দরে (x + 4) টি খাতা কিনেছে। মোট মূল্য অনূর্ধ্ব 97 টাকা হলে, সে সর্বাধিক কয়টি পেনসিল কিনেছে?

সমাধান:
x টি পেনসিলের দাম = 5x টাকা
(x + 4) টি খাতার দাম = 4(x + 4) টাকা
প্রশ্নমতে,
5x + 4(x + 4) ≤ 97
⇒ 5x + 4x + 16 ≤ 97
⇒ 9x + 16 ≤ 97
⇒ 9x ≤ 81
⇒ x ≤ 9

∴ ছাত্রটি সর্বাধিক 9 টি পেনসিল কিনেছে।

৬,১৪৫.
১/৪, ১/২, ৩/৪ সংখ্যাগুলোর গড় কত?
  1. ক
    ক) ৫/৪
  2. খ
    খ) ২/৩
  3. গ
    গ) ১/২
  4. ঘ
    ঘ) ৩/৪
ব্যাখ্যা

সংখ্যাগুলোর সমষ্টি = ১/৪ + ১/২ + ৩/৪
= (১+২+৩)/৪
= ৬/৪
= ৩/২
সুতরাং সংখ্যাগুলোর গড় = ৩/২ ÷ ৩
= ৩/২ × ১/৩
= ১/২

৬,১৪৬.
(x + z)6 এর পদ সংখ্যা কয়টি?
  1. ক
    5 টি
  2. খ
    6 টি
  3. গ
    7 টি
  4. ঘ
    12 টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (x + z)6 এর পদ সংখ্যা কয়টি?
 
সমাধান:
আমরা জানি,
(a + x)n এর পদসংখ্যা = n + 1 টি
সুতরাং (x + z)6 এর পদসংখ্যা = 6 + 1 = 7 টি
৬,১৪৭.
x-4 - 0.0001 = 0 হলে, x² এর মান কত?
  1. ক
    1/1000
  2. খ
    1/100
  3. গ
    10
  4. ঘ
    100
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x- 4 - 0.0001 = 0 হলে, x² এর মান কত?

সমাধান,
x- 4 - 0.0001 = 0
বা, x- 4  = 0.0001
বা, 1/x4  = 1/10000
বা, x4 = (10)4
বা, x = 10

∴ x²  = 10² = 100
৬,১৪৮.
9a2 + 16b2 রাশিটির সাথে নিচের কোনটি যোগ করলে যোগফল পূর্ণ বর্গ হবে?
  1. ক
    ক) 12ab
  2. খ
    খ) 24ab
  3. গ
    গ) 36ab
  4. ঘ
    ঘ) 144ab
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 9a2 + 16b2 রাশিটির সাথে নিচের কোনটি যোগ করলে যোগফল পূর্ণ বর্গ হবে?

সমাধান: 
9a2 + 16b2
= (3a)2 + 2.3a.4b + (4b)2 - 24ab
= (3a + 4b)2 - 12ab
অতএব, 9a2 + 16b2 রাশিটির সাথে 24ab যোগ করলে যোগফল পূর্ণ বর্গ হবে।
৬,১৪৯.
(x2 - x)2 + 3(x2 - x) - 40
  1. ক
    ক) (x2 + x - 8) (x2 + x - 8)
  2. খ
    খ) (x2 + x + 8) (x2 + x + 5)
  3. গ
    গ) (x2 - x + 8) (x2 - x - 5)
  4. ঘ
    ঘ) (x2 - x + 8) (x2 - x + 5)
ব্যাখ্যা

(x2 - x)2 + 3(x2 - x) - 40

ধরি,
(x2 - x) = a

তাহলে প্রদত্ত রাশি,
a2 + 3a - 40
= a2 + 8a - 5a - 40
= a (a+8) - 5 (a+8)
= (a+8) (a-5)

a এর মান বসিয়ে,
 (x2 - x + 8) (x2 - x - 5)

৬,১৫০.
16 টি বিন্দু ‍দিয়ে কতগুলো চতুর্ভূজ গঠন করা যায়?
  1. ক
    1420
  2. খ
    1620
  3. গ
    1820
  4. ঘ
    2020
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 16 টি বিন্দু ‍দিয়ে কতগুলো চতুর্ভূজ গঠন করা যায়?

সমাধান:
চারটি বিন্দু দিয়ে গঠিত হয় চতুর্ভূজ।

∴ 16 টি বিন্দু ‍দিয়ে চতুর্ভূজ গঠন করা যায় = 16C4
= 1820
৬,১৫১.
কোনো সমান্তর ধারার ১ম পদ 6 এবং সাধারণ অন্তর 5 হলে ধারাটির n তম পদ কত?
  1. ক
    5n + 2
  2. খ
    5n + 1
  3. গ
    5n - 1
  4. ঘ
    5n - 2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার ১ম পদ 6 এবং সাধারণ অন্তর 5 হলে ধারাটির n তম পদ কত?

সমাধান:
সমান্তর ধারার ১ম পদ, a = 6
সাধারণ অন্তর, d = 5

∴ n তম পদ = a + (n - 1)d
= 6 + (n - 1)5
= 6 + 5n - 5
= 5n + 1
৬,১৫২.
(- 1) × (- 1) × (1) +(- 1)(- 1) = কত?
  1. ক
    ক) - 1
  2. খ
    খ) 0
  3. গ
    গ) 2
  4. ঘ
    ঘ) 3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (- 1) × (- 1) × (1) +(- 1)(- 1) = কত?

সমাধান:
(- 1) × (- 1) × (1) +(- 1)(- 1) = কত? 
= 1 + 1
= 2
৬,১৫৩.
কোন সংখ্যার দুই-তৃতীয়াংশ ঐ সংখ্যার 65 কম হলে সংখ্যাটি কত?
  1. ক
    ক) 150
  2. খ
    খ) 195
  3. গ
    গ) 215
  4. ঘ
    ঘ) 250
ব্যাখ্যা

মনে করি, সংখ্যাটি 'ক'
শর্তমতে, 2ক/3 = ক - 65
বা, ক - 2ক/3 = 65
বা, (3ক - 2ক)/3 = 65
∴ ক = 195

৬,১৫৪.
দুইটি সংখ্যার গুণফল 48 এবং বর্গের যোগফল 100। সংখ্যা দুইটির যোগফল কত?
  1. ক
    16
  2. খ
    26
  3. গ
    14
  4. ঘ
    18
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গুণফল 48 এবং বর্গের যোগফল 100। সংখ্যা দুইটির যোগফল কত?

সমাধান:
ধরি ,
সংখ্যা দুইটি = x ও y

দেয়া আছে,
xy = 48
x2 + y2 = 100

আমরা জানি,
(x + y)2
= x2 + y2 + 2xy
= 100 + (2 × 48)
= 100 + 96
= 196
⇒ x + y = √196
∴ x + y = 14

৬,১৫৫.
4 + 8 + 16 + ..................... ধারাটির কোন পদ 512 ?
  1. ক
    ক) 7
  2. খ
    খ) 8
  3. গ
    গ) 9
  4. ঘ
    ঘ) 10
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 4 + 8 + 16 + ..................... ধারাটির কোন পদ 512 ?

সমাধান:
ধারাটির প্রথম পদ a = 4
সাধারণ অনুপাত r= 8/4 = 2

n-তম পদ = arn-1
512 = 4.2n-1
128 = 2n-1
2n - 1 = 27
n - 1 = 7 
n = 7 + 1
n = 8
৬,১৫৬.
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি 441 হলে n এর মান কত?
  1. ক
    5
  2. খ
    7
  3. গ
    9
  4. ঘ
    6
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি 441 হলে n এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = 441

শর্তমতে, 
{n(n + 1)/2}2 = 441 
⇒ {n(n + 1)/2}2 = (21)2
⇒ n(n + 1)/2 = 21 
⇒ n(n + 1) = 42 
⇒ n2 + n - 42 = 0 
⇒ n2 + 7n - 6n - 42 = 0 
⇒ n(n + 7) - 6(n + 7) = 0 
⇒ (n + 7) (n - 6) = 0 
হয়, 
⇒ n + 7 = 0 
∴ n = - 7 [n এর মান ঋণাত্মক হতে পারে না] 

অথবা, n - 6 = 0 
∴ n = 6

৬,১৫৭.
3a3 + 2a + 5 এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?
  1. ক
    a + 1
  2. খ
    a + 2
  3. গ
    a - 1
  4. ঘ
    a + 3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3a3 + 2a + 5 এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান: 
ধরি
f(a) = 3a3 + 2a + 5
f( - 1) = 3( - 1)3 + 2( - 1) + 5
= 3( - 1)  - 2 + 5
= - 3 - 2 + 5
= - 5 + 5
= 0

(a + 1) হলো 3a3 + 2a + 5 এর একটি উৎপাদক।
৬,১৫৮.
, হলে x এর মান কত?
  1. ক
    1, - 1/5
  2. খ
    3, - 1/6
  3. গ
    - 2, 1/3
  4. ঘ
    3, - 1/2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: , হলে x এর মান কত?

সমাধান:
৬,১৫৯.
যদি a + b = 5 এবং a2 + b2 = 13 হয়, তবে a3 + b3 এর মান কত?
  1. ক
    35
  2. খ
    39
  3. গ
    44
  4. ঘ
    49
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি a + b = 5 এবং a2 + b2 = 13 হয়, তবে a3 + b3 এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
a + b = 5
বা, (a + b)2 = 52  [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]
বা, a2 + 2ab + b2 = 25 
বা, 13 + 2ab = 25 [∴ a2 + b2 = 13] 
বা, 2ab = 25 - 13
বা, 2ab = 12
∴ ab = 6

এখন,
a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab(a + b)
= (5)3 - 3 × 6 × 5
= 125 - 90
= 35  ।

৬,১৬০.
  1. ক
    5
  2. খ
    25
  3. গ
    75
  4. ঘ
    125
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:

সমাধান:

৬,১৬১.
a3 - 4a2 + a + 6 এর উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    (a - 1)(a + 2)(a - 3)
  2. খ
    (a - 2)(a + 1)(a - 3)
  3. গ
    (a - 3)(a + 2)(a - 1)
  4. ঘ
    (a + 1)(a + 2)(a + 3)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a3 - 4a2 + a + 6 এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
ধরি, f(a) = a3 - 4a2 + a + 6
∴ f(2) = 23 - 4.22 + 2 + 6
= 8 - 16 + 2 + 6
= 0
তাহলে, (a - 2), f(a) এর একটি উৎপাদক।

এখন, a3 - 4a2 + a + 6
= a3 - 2a2 - 2a2 + 4a - 3a + 6
= a2(a - 2) - 2a(a - 2) - 3(a - 2)
= (a - 2) (a2 - 2a - 3)
= (a - 2) (a2 - 3a + a - 3)
= (a - 2) {a(a - 3) + 1(a - 3)}
= (a - 2) (a + 1) (a - 3)
৬,১৬২.
একটি ক্লাসে ৪০ জন শিক্ষার্থী আছে। তাদের মধ্যে ২৫ জন ক্রিকেট খেলে, ২০ জন ফুটবল খেলে এবং ১০ জন উভয় খেলায় অংশ নেয়। তাহলে কতজন শিক্ষার্থী কোনো খেলাই খেলে না?
  1. ক
    ১৫
  2. খ
    ৫
  3. গ
    ১০
  4. ঘ
    ৬
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ক্লাসে ৪০ জন শিক্ষার্থী আছে। তাদের মধ্যে ২৫ জন ক্রিকেট খেলে, ২০ জন ফুটবল খেলে এবং ১০ জন উভয় খেলায় অংশ নেয়। তাহলে কতজন শিক্ষার্থী কোনো খেলাই খেলে না?

সমাধান:
ক্রিকেট খেলে, n(C) = ২৫ জন
ফুটবল খেলে, n(F) = ২০ জন
উভয় খেলা খেলে, n(C ∩ F) = ১০ জন

আমরা জানি,
n(C ∪ F) = n(C) + n(F) - n(C ∩ F)
= ২৫ + ২০ - ১০
= ৩৫

∴ খেলা না খেলা শিক্ষার্থীর সংখ্যা = ৪০ - ৩৫ = ৫ জন
৬,১৬৩.
২ বছর আগে বাবার বয়স পুত্রের বয়সের ১৪ গুণ। বর্তমানে বাবার বয়স পুত্রের বয়সের চেয়ে ২৬ বছর বেশি হয়, তবে ৪ বছর পর বাবা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত কত হবে?
  1. ক
    ক) ১৭ : ৪
  2. খ
    খ) ১৫ : ২
  3. গ
    গ) ১৩ : ২
  4. ঘ
    ঘ) কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ২ বছর আগে বাবার বয়স পুত্রের বয়সের ১৪ গুণ। বর্তমানে বাবার বয়স পুত্রের বয়সের চেয়ে ২৬ বছর বেশি হয়, তবে ৪ বছর পর বাবা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত কত হবে?

সমাধান: 
ধরি
বর্তমানে পুত্রের বয়স ক  বছর
বর্তমানে পিতার বয়স ক + ২৬ বছর

দুই বছর আগে পুত্রের বয়স ক - ২
দু'বছর আগে পুত্রের বয়স ক + ২৬ - ২ = ক + ২৪ 

শর্তমতে,
১৪(ক - ২) = ক + ২৪
১৪ ক - ২৮ = ক + ২৪
১৪ক - ক = ২৪ + ২৮ 
১৩ক = ৫২
ক = ৪

পিতার বয়স = ক + ২৬
= ৪ + ২৬ = ৩০ 

৪ বছর পর পুত্রের বয়স = (৪ + ৪) বছর = ৮ বছর 
৪ বছর পর পিতার বয়স = (৩০ + ৪) বছর = ৩৪ বছর 

 ৪ বছর পরপিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত ৩৪ : ৮ 
= ১৭ : ৪
৬,১৬৪.
যদি ƒ(x) = x3 + 9x2 - 3x + 6 হয়, তবে ƒ(- 1) = কত?
  1. ক
    17
  2. খ
    5
  3. গ
    0
  4. ঘ
    15
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি ƒ(x) = x3 + 9x2 - 3x + 6 হয়, তবে ƒ(- 1) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ƒ(x) = x3 + 9x2 - 3x + 6

এখন,
ƒ(- 1) = (- 1)3 + 9(- 1)2 - 3 . (- 1) + 6
= - 1 + 9 + 3 + 6
= 17
৬,১৬৫.
2 + b + c + 54 গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে c = কত?
  1. ক
    ক) 8
  2. খ
    খ) 9
  3. গ
    গ) 12
  4. ঘ
    ঘ) 18
ব্যাখ্যা

এখানে, ১ম পদ a = 2
ধরি, সাধারণ অনুপাত = r
ধারাটির চতুর্থ পদ = ar⁴⁻¹ = 2r³
প্রশ্নমতে,
2r³ = 54
⇒ r³ = 27
⇒ r = 3
∴ তৃতীয় পদ c = ar³⁻¹
= 2 × 3³⁻¹
= 2 × 3²
= 2 × 9
= 18

৬,১৬৬.
  1. ক
    20
  2. খ
    15
  3. গ
    25
  4. ঘ
    35
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৬,১৬৭.
15 টি বইয়ের মধ্যে 6 টি বই কত প্রকারে বাছাই করা যায়, যাতে নির্দিষ্ট তিনটি বই সর্বদা বাদ থাকে?
  1. ক
    660
  2. খ
    772
  3. গ
    824
  4. ঘ
    924
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 15 টি বইয়ের মধ্যে 6 টি বই কত প্রকারে বাছাই করা যায়, যাতে নির্দিষ্ট তিনটি বই সর্বদা বাদ থাকে?

সমাধান:
নির্দিষ্ট তিনটি ফল সর্বদা বাদ থাকে, অতএব (15 - 3) বা 12 টি থেকে 6 টি বাছাই করতে হবে।

∴ বাছাই করার উপায় =12C6
= 12!/(6! 6!)
= 924
৬,১৬৮.
m + {n - [p - (m - n + p)]} = কত?
  1. ক
    2m
  2. খ
    0
  3. গ
    2n
  4. ঘ
    p
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: m + {n - [p - (m - n + p)]} = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
m + {n - [p - (m - n + p)]}
= m + {n - [p - m + n - p]}
= m + {n + m - n}
= m + m
= 2m
৬,১৬৯.
{x ∈ N: x2 ≤ 10} সেট এর তালিকা পদ্ধতিতে সমাধান কোনটি?
  1. ক
    {1, 2, 3}
  2. খ
    {0, 1, 2, 3}
  3. গ
    {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}
  4. ঘ
    {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: {x ∈ N: x2 ≤ 10} সেট এর তালিকা পদ্ধতিতে সমাধান কোনটি?

সমাধান: 
x2 ≤ 10
x =  3 হলে, x2 = 9
x = 2 হলে, x2 = 4
x = 1 হলে, x2 = 1

∴ নির্ণেয় সমাধান সেট = {1, 2, 3}
৬,১৭০.
a + b = 8, ab = 15 হলে, a2 - b2 =?
  1. ক
    16
  2. খ
    39
  3. গ
    36
  4. ঘ
    49
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = 8, ab = 15 হলে, a2 - b2 =?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b  = 8
ab = 15

∴ a - b = √{(a + b)2 - 4ab}
= √(82 - 4 × 15)
= √(64 - 60)
= √4
= 2

a2 - b2
= (a + b)(a - b)
= 8 × 2
= 16
৬,১৭১.
  1. ক
    3
  2. খ
    - 1/2
  3. গ
    - 1
  4. ঘ
    1/2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:

সমাধান:

৬,১৭২.
|2x - 3| ≤ 1 হলে, x এর সর্বনিম্ন মান কত? 
  1. ক
    4
  2. খ
    3
  3. গ
    2
  4. ঘ
    1
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |2x - 3| ≤ 1 হলে, x এর সর্বনিম্ন মান কত? 

সমাধান:
|2x - 3| ≤ 1
⇒ - 1 ≤ 2x - 3 ≤ 1
⇒ - 1 + 3 ≤ 2x - 3 + 3 ≤ 1 + 3 [উভয় পক্ষে 3 যোগ করে]
⇒ 2 ≤ 2x ≤ 4
⇒ 1 ≤ x ≤ 2 [উভয় পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে]

∴ x এর সর্বনিম্ন মান 1

৬,১৭৩.
সূত্রের সাহায্যে (x2 + 2)(x4- 2x2 + 4) এর গুণফল কত?
  1. ক
    x6 + 8
  2. খ
    x + 8
  3. গ
    x4 - 8
  4. ঘ
    x6 - 8
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সূত্রের সাহায্যে (x2 + 2)(x4 - 2x2 + 4) এর গুণফল কত?

সমাধান:
(x2 + 2)(x4 - 2x2 + 4)
= (x2 + 2)(x2)2 - 2.x2 + 22)
= (x2)3 + 23
= x6 + 8
৬,১৭৪.
x2 - 7x + 12 < 0 হলে, নিচের কোনটি সঠিক?
  1. ক
    x < 3 অথবা x > 4
  2. খ
    - 4 < x < - 3
  3. গ
    2 < x < 5
  4. ঘ
    3 < x < 4
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x2 - 7x + 12 < 0 হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
x2 - 7x + 12 < 0
⇒ x2 - 3x - 4x + 12 < 0
⇒ x(x - 3) - 4(x - 3) < 0
⇒ (x - 3)(x - 4) < 0

দুটি রাশির গুণফল ঋণাত্মক (শূন্যের চেয়ে ছোট) হওয়ার জন্য একটি রাশি ধনাত্মক এবং অন্যটি ঋণাত্মক হতে হবে।

ক্ষেত্র ১: (x - 3) > 0 এবং (x - 4) < 0
⇒ x > 3 এবং x < 4
⇒ 3 < x < 4

ক্ষেত্র ২: (x - 3) < 0 এবং (x - 4) > 0
⇒ x < 3 এবং x > 4
এই সম্পর্কটি একসাথে সত্য হতে পারে না।

সুতরাং, সঠিক সমাধান হলো 3 < x < 4

৬,১৭৫.
(m/3)x -5 = 1 হলে x এর মান কত?
  1. ক
    ক) 6
  2. খ
    খ) 5
  3. গ
    গ) 0
  4. ঘ
    ঘ) 3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (m/3)x -5 = 1 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
(m/3)x -5 = 1
⇒ (m/3)x -5 = (m/3)0
⇒ x - 5 = 0
∴ x = 5
৬,১৭৬.
507 × 207 সংখ্যাটি 108 এর 10x গুণ বড় হলে, x এর মান কত?
  1. ক
    ক) 6
  2. খ
    খ) 13
  3. গ
    গ) 21
  4. ঘ
    ঘ) 29
ব্যাখ্যা

প্রশ্নমতে,
507 × 207 = 108 × 10x
বা, (50×20)7 = 10x+8
বা, (1000)7 = 10x+8
বা, (103)7 = 10x+8
বা, 1021 = 10x+8
বা, x + 8 = 21
∴ x = 13

৬,১৭৭.
f(5) = 15 এবং g(x) = f(x + 3) - 5 হলে, g(2) এর মান কত?
  1. ক
    10
  2. খ
    20
  3. গ
    25
  4. ঘ
    35
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: f(5) = 15 এবং g(x) = f(x + 3) - 5 হলে, g(2) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
f(5) = 15 
এবং g(x) = f(x + 3) - 5
⇒ g(2) = f(2 + 3) - 5
⇒ g(2) = f(5) - 5
⇒ g(2) =15 - 5
∴ g(2) = 10
৬,১৭৮.
14 জন খেলোয়াড়ের মধ্য থেকে নির্দিষ্ট একজন অধিনায়কসহ 11 জনের একটি ক্রিকেট দল কতভাবে বাছাই করা যাবে?
  1. ক
    728
  2. খ
    286
  3. গ
    364
  4. ঘ
    1001
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 14 জন খেলোয়াড়ের মধ্য থেকে নির্দিষ্ট একজন অধিনায়কসহ 11 জনের একটি ক্রিকেট দল কতভাবে বাছাই করা যাবে?

সমাধান:
সর্বদা একজনকে নির্দিষ্ট রেখে 11 জনের দল বাছাই করার উপায়,
= 14  - 1c11 - 1
= 13c10
= 286
৬,১৭৯.
x + 2y = 8 এবং 2x + y = 7 সমীকরণ দুইটির সমাধান কোনটি?
  1. ক
    (- 2, - 3)
  2. খ
    (2, - 3)
  3. গ
    (- 2, 3)
  4. ঘ
    (2, 3)
ব্যাখ্যা
x + 2y = 8
x = 8 - 2y ... ... ... (i)

2x + y = 7
2(8 - 2y) + y = 7
16 - 4y + y = 7
16 - 3y = 7
3y = 9
y = 3
x = 2 [ (i) হতে ]
(x, y) = (2, 3)
৬,১৮০.
200 জন শিক্ষার্থীর পরিসংখ্যানে গড় নম্বর 65। এদের মধ্যে 120 জন ছাত্রীর গড় নম্বর 70 হলে, ছাত্রদের গড় নম্বর কত?
  1. ক
    62.5
  2. খ
    60
  3. গ
    58.5
  4. ঘ
    57.5
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 200 জন শিক্ষার্থীর পরিসংখ্যানে গড় নম্বর 65। এদের মধ্যে 120 জন ছাত্রীর গড় নম্বর 70 হলে, ছাত্রদের গড় নম্বর কত?

সমাধান:
200 জন শিক্ষার্থীর পরিসংখ্যানে গড় নম্বর = 65
∴ 200 জন শিক্ষার্থীর পরিসংখ্যানে মোট নম্বর = (65 × 200)
= 13000

আবার, 120 জন ছাত্রীর গড় নম্বর = 70
∴ 120 জন ছাত্রীর মোট নম্বর = (70 × 120) = 8400

এখন, ছাত্রের সংখ্যা = (200 - 120) = 80 জন।
∴ ছাত্রের মোট নম্বর = (13000 - 8400)
= 4600
∴ ছাত্রদের গড় নম্বর = 4600/80
= 57.5

৬,১৮১.
a3 - b3 = 117 এবং a - b = 3 হলে, ab এর মান কত?
  1. ক
    8
  2. খ
    10
  3. গ
    15
  4. ঘ
    22
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a3 - b3 = 117 এবং a - b = 3 হলে, ab এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a3 - b3 = 117
এবং a - b = 3

আমরা জানি,
a3 - b3 = (a - b)3 + 3ab(a - b)
⇒ 117 = (3)3 + 3ab · 3
⇒ 117 = 27 + 9ab
⇒ 9ab = 117 - 27
⇒ 9ab = 90
∴ ab = 10
৬,১৮২.
4x2 - 12x + 9 = 0 সমীকরণে মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কী?
  1. ক
    বাস্তব, অসমান ও অমূলদ
  2. খ
    মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান
  3. গ
    বাস্তব মূল নেই
  4. ঘ
    মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4x2 - 12x + 9 = 0 সমীকরণে মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কী?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
4x2 - 12x + 9 = 0
এখানে,
a = x2 এর সহগ = 4
b = x এর সহগ = - 12
c = ধ্রুবক = 9

নিশ্চায়ক = b2 - 4ac
= (- 12)2 - 4 × 4 × 9
= 144 - 144
= 0

নিশ্চায়ক = 0 হলে, মূল দুইটি বাস্তব ও পরস্পর সমান হবে।

∴ মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান।

উল্লেখ্য:
b2 - 4ac > 0 এবং পূর্ণবর্গ হলে ⇒ মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ
b2 - 4ac > 0 কিন্তু পূর্ণবর্গ নয় ⇒ মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ
b2 - 4ac = 0 হলে ⇒ মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান
b2 - 4ac < 0 হলে ⇒ বাস্তব মূল নেই (কাল্পনিক মূল)

৬,১৮৩.
53x - 6 = 33x - 6 হলে 2x এর মান কত?
  1. ক
    ক) 2
  2. খ
    খ) 4
  3. গ
    গ) 6
  4. ঘ
    ঘ) 8
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 53x - 6 = 33x - 6 হলে 2x এর মান কত? 

সমাধান:
 53x - 6 = 33x - 6
⇒ 53x - 6/ 33x - 6 = 1
⇒ (5/3)3x - 6 = (5/3)0
⇒ 3x - 6 = 0
⇒ 3x = 6
⇒ x = 6/3
∴ x = 2
2x = 2 × 2 
2x = 4 
৬,১৮৪.
2a2 - 9a - 35 এর একটি উৎপাদক (2a + 5) হলে অপর উৎপাদকটি কত?
  1. ক
    (a - 3)
  2. খ
    (a - 7)
  3. গ
    (a + 5)
  4. ঘ
    (2a - 5)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2a2 - 9a - 35 এর একটি উৎপাদক (2a + 5) হলে অপর উৎপাদকটি কত?

সমাধান:
2a2 - 9a - 35 
= 2a2  - 14a + 5a - 35
= 2a(a - 7) + 5(a - 7)
= (a - 7)(2a + 5)

৬,১৮৫.
  1. ক
    x2 - y2
  2. খ
    x(x2 - y2)
  3. গ
    x3 - y3
  4. ঘ
    xyz(x - y)
ব্যাখ্যা


সমাধান:
ভগ্নাংশগুলোর সাধারণ হর হবে (x - y), (x + y) এবং x(x + y) এর লসাগু
(x - y), (x + y) এবং x(x + y) এর লসাগু = x(x + y)(x - y)
= x(x2 - y2)
৬,১৮৬.
একটি সমান্তর অনুক্রমে 5ম পদটি 18 এবং প্রথম 5টি পদের যোগফল 75 হলে প্রথম পদটি কত?
  1. ক
    ক) 9
  2. খ
    খ) 11
  3. গ
    গ) 12
  4. ঘ
    ঘ) 13
ব্যাখ্যা
সমান্তর ধারার প্রথম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d হলে,
n তম পদ = a + (n-1)d
প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি, Sn = (n/2){2a+(n-1)d}
প্রশ্নমতে,
a + (5 - 1)d = 18
বা, a + 4d = 18 ....... (i)
সমষ্টি (5/2){2a + (5 - 1) d} = 75
⇒ 2a + 4d = (75×2)/5 = 30
⇒ a + 2d = 15
⇒ 2d = 15 - a
সুতরাং, (i) নং হতে পাই,
a + 2(15-a) = 18
∴ a = 12
৬,১৮৭.
৫, ৭, ১৪ এর গাণিতিক গড় ৮, ১০, এবং কোন সংখ্যার গাণিতিক গড়ের সমান?
  1. ক
    ক) ১২
  2. খ
    খ) ৮
  3. গ
    গ) ১০
  4. ঘ
    ঘ) কোনটি নয়।
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৫, ৭, ১৪ এর গাণিতিক গড় ৮, ১০, এবং কোন সংখ্যার গাণিতিক গড়ের সমান?

সমাধান: 
ধরি,
সংখ্যাটি ক
(৫ + ৭ + ১৪)/৩ = (৮ + ১০ + ক)/৩
৫ + ৭ + ১৪ = ৮ + ১০ + ক
২৬ = ১৮ + ক
ক = ২৬ - ১৮
ক = ৮
৬,১৮৮.
AMERICA শব্দটির বর্ণগুলো থেকে প্রতিবারে 3 টি বর্ণ নিয়ে গঠিত ভিন্ন ভিন্ন শব্দ সংখ্যা কত হবে?
  1. ক
    130
  2. খ
    135
  3. গ
    140
  4. ঘ
    145
ব্যাখ্যা

যেহেতু AMERICA শব্দটিতে 7 টি বর্ণ রয়েছে, যার মধ্যে দুইটি A.
একটি A বাদ দিয়ে 6টি ভিন্ন বর্ণ থেকে প্রতিবারে 3টি বর্ণ নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = 6P3 = 120
দুইটি A কে ভিন্ন ভিন্ন পাঁচটি বর্ণের প্রতিটির সাথে নিলে 3 বর্ণ শব্দ সংখ্যা = 5 × 3P2 = 15
∴ মোট শব্দ সংখ্যা = 120 + 15 = 135

৬,১৮৯.
a2 + b2 = 8 এবং a = - 4/b হলে, (a - b)2 এর মান কত?
  1. ক
    4
  2. খ
    - 8
  3. গ
    12
  4. ঘ
    16
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a2 + b2 = 8 এবং a = - 4/b হলে, (a - b)2 এর মান কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a2 + b2 = 8
এবং, a = - 4/b
⇒ ab = - 4

এখন, (a - b)2 = a2 - 2 · a · b + b2
= a2 + b2 - 2ab
= 8 - {2 × (- 4)}
= 8 + 8
= 16

৬,১৯০.
একটি বক্সে ৮টি সাদা ও ১২টি কালো বল আছে। ২টি বল তোলা হলে একই রংয়ের হওয়ার সম্ভবনা কত?
  1. ক
    ০
  2. খ
    ৭/৫
  3. গ
    ১৭/১৯
  4. ঘ
    ৪৭/৯৫
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বক্সে ৮টি সাদা ও ১২টি কালো বল আছে। ২টি বল তোলা হলে একই রংয়ের হওয়ার সম্ভবনা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সাদা বল = ৮টি
কালো বল = ১২টি
∴ মোট বল = (৮ + ১২) টি
= ২০ টি

এখন,
২টি সাদা বল হওয়ার সম্ভাবনা = (৮/২০) × (৭/১৯)
= ১৪/৯৫
আবার,
২টি কালো বল হওয়ার সম্ভাবনা = (১২/২০) × (১১/১৯)
= ৩৩/৯৫

∴ একই রংয়ের হওয়ার মোট সম্ভাবনা = (১৪/৯৫) + (৩৩/৯৫)
= (১৪ + ৩৩)/৯৫
=  ৪৭/৯৫
৬,১৯১.
2x + 3y = 13 এবং xy = 6 হলে, 8x3 + 27y3 এর মান নির্ণয় করুন। 
  1. ক
    819
  2. খ
    721
  3. গ
    793
  4. ঘ
    841
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2x + 3y = 13 এবং xy = 6 হলে, 8x3 + 27y3 এর মান নির্ণয় করুন। 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
2x + 3y = 13 এবং xy = 6 

প্রদত্ত রাশি, 
8x3 + 27y3
= (2x)3 + (3y)3
= (2x + 3y)3 - 3 . 2x . 3y(2x + 3y)
= (13)3 - 18 . 6 . 13
= 2197 - 1404
= 793

৬,১৯২.
7 + 10 + 13 + 16 + ............ ধারাটির কোন পদ 391?
  1. ক
    116
  2. খ
    129
  3. গ
    138
  4. ঘ
    142
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 7 + 10 + 13 + 16 + ............ ধারাটির কোন পদ 391?

সমাধান:
ধরি,
n তম পদ = 391
এখানে,
১ম পদ, a = 7,
সাধারণ অন্তর, d = (10 - 7) = 3

প্রশ্নমতে,
{a + (n - 1)d} = 391
⇒ {7 + (n - 1) × 3} = 391
⇒ 7 + 3n - 3 = 391
⇒ 3n + 4 = 391
⇒ 3n = 391 - 4
⇒ 3n = 387
⇒ n = 387/3
∴ n = 129
৬,১৯৩.
  1. ক
    1/4
  2. খ
    1/2
  3. গ
    3/4
  4. ঘ
    1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:

সমাধান:
৬,১৯৪.
যদি A = {4, 7, 9} এবং B = {9, 10, 11} হয় তাহলে A - B এর মান কত?
  1. ক
    {4, 7}
  2. খ
    {9}
  3. গ
    {4, 7, 10, 11}
  4. ঘ
    {9, 11}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি A = {4, 7, 9} এবং B = {9, 10, 11} হয় তাহলে A - B এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
A = {4, 7, 9}
B = {9, 10, 11}

আমরা জানি,
A/B = A - B 
= A = {4, 7, 9} - {9, 10, 11}
= {4, 7}
৬,১৯৫.
একটি পার্টিতে কিছু লোক উপস্থিত ছিল। তারা প্রত্যেকে সকলের সাথে করমর্দন করায় মোট ২১টি করমর্দন হলো। ঐ পার্টিতে মোট কত জন উপস্থিত ছিল?
  1. ক
    ক) ৬
  2. খ
    খ) ৭
  3. গ
    গ) ৮
  4. ঘ
    ঘ) ৯
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি পার্টিতে কিছু লোক উপস্থিত ছিল। তারা প্রত্যেকে সকলের সাথে করমর্দন করায় মোট ২১টি করমর্দন হলো। ঐ পার্টিতে মোট কত জন উপস্থিত ছিল?

সমাধান; 
ধরি,
অনুষ্ঠানে উপস্থিত মোট লোক ছিল = n, 

∴ মোট করমর্দন nc2 = 21
বা, {(n)(n - 1)}/2 =21
বা, (n2 - n)/2 = 21
বা, n2 - n = 42
বা, n2 - n - 42 = 0
বা, n2 - 7n + 6n - 42= 0
বা, n(n - 7) + 6(n - 7) = 0
বা, (n - 7)(n + 6) = 0

হয়                              
n - 7 = 0                  
n = 7 
 
অথবা 
 n + 6 = 0
 n = - 6 [গ্রহণযোগ্য নয় ]
৬,১৯৬.
3x - 4y - 3 = 0 রেখার ঢাল কত? 
  1. ক
    - 4/3
  2. খ
    3/4
  3. গ
    3/2
  4. ঘ
    - 2/3
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3x - 4y - 3 = 0 রেখার ঢাল কত?  

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
3x - 4y - 3 = 0
রেখার সমীকরণকে প্রথমে y = mx + c আকারে লিখতে হবে।
এখানে m = ঢাল (slope)

এখন, 
3x - 4y - 3 = 0
⇒ - 4y = - 3x + 3
⇒ 4y = 3x - 3
⇒ y = (3/4)x - (3/4)

অতএব, ঢাল, m = 3/4

সুতরাং, রেখাটির ঢাল 3/4

৬,১৯৭.
P(A) = 1/3; P(B) = 2/3; A ও B স্বাধীন হলে P(B/A) = কত?
  1. ক
    1/4
  2. খ
    1/3
  3. গ
    3/4
  4. ঘ
    2/3
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: P(A) = 1/3, P(B) = 2/3; A ও B স্বাধীন হলে P(B/A) = কত?

সমাধান:
P(A) = 1/3, P(B) = 2/3 

P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
= (1/3) × (2/3)
= 2/9

∴ P(B/A) = P(A ∩ B)/P(A)
= (2/9)/(1/3)
= 2/3

৬,১৯৮.
log√216 = x হলে, x এর মান কত?
  1. ক
    ক) 2
  2. খ
    খ) 2√2
  3. গ
    গ) 8
  4. ঘ
    ঘ) 8√2
ব্যাখ্যা
প্রশ্নঃ log√216 = x হলে, x এর মান কত?

সমাধানঃ
log√216 = x
⇒ √2x = 16
⇒ √2x = 24
⇒ √2x = (√2)8
⇒ x = 8
 
৬,১৯৯.
তিনটি সংখ্যা x , y , z এর বর্গের সমষ্টি 61 এবং তাদেরে সমষ্টির বর্গ 169 হলে (xy + yz + zx) = ?
  1. ক
    108
  2. খ
    54
  3. গ
    216
  4. ঘ
    230
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : তিনটি সংখ্যা x , y , z এর বর্গের সমষ্টি 61 এবং তাদেরে সমষ্টির বর্গ 169 হলে ( xy + yz + zx ) = ?

সমাধান :
দেয়া আছে,
x2 + y2 + z2 = 61
( x + y + z )2 = 169

আমরা জানি,
( x + y + z )2 = x2 + y2 + z2 + 2( xy + yz + zx )
বা, 169 = 61 + 2( xy + yz + zx )
বা, 2( xy + yz + zx ) = 169 - 61 = 108
বা, ( xy + yz + zx ) = 108/2 = 54

উত্তর : 54
৬,২০০.
2x⁴ - 5x³ + 6x² - 5x + 2 এর একটি উৎপাদক-
  1. ক
    ক) x+1
  2. খ
    খ) x-1
  3. গ
    গ) x+2
  4. ঘ
    ঘ) x-2
ব্যাখ্যা
বহুপদী উৎপাদকের ক্ষেত্রে অপশনে প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর মান (1, -1, 2, -2) প্রদত্ত রাশিতে বসিয়ে পরীক্ষা করে দেখতে হবে। এখানে x=1 বসালে, 2x⁴ - 5x³ + 6x² - 5x + 2 = 0 হয়।সুতরাং, x-1 হবে প্রদত্ত রাশির একটি উৎপাদক।