বীজগণিত

PrepBank · পাতা ৫৪ / ২০১ · ৫,৩০১–৫,৪০০ / ২০,২০৭

৫,৩০১.

কোনো ধারার n তম পদ 2n(n + 1) হলে ধারাটির প্রথম তিনটি পদের সমষ্টি কত?

ক
36
খ
20
গ
40
ঘ
52

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো ধারার n তম পদ 2n(n + 1) হলে ধারাটির প্রথম তিনটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির n তম পদ = 2n(n + 1)

১ম পদ = 2 · 1 (1 + 1) = 4
২য় পদ = 2 · 2 (2 + 1) = 12
৩য় পদ = 2 · 3 (3 + 1) = 24

∴ ধারাটির প্রথম তিনটি পদের সমষ্টি = 4 + 12 + 24
= 40

৫,৩০২.

2³ + 3³ + 4³ +.....+ 10³ =?

ক
ক) 3023
খ
খ) 3024
গ
গ) 3025
ঘ
ঘ) 3026

ব্যাখ্যা

2³ + 3³ + 4³ +.....+ 10³ = (1³ + 2³ + 3³ + 4³ +.....+ 10³) - 1
= {10(10 + 1)/2}² - 1
= 55² - 1
= 3025 - 1
= 3024

৫,৩০৩.

২৪ জন ছাত্রের গড় ওজন ৩৫ কেজি। যদি একজন শিক্ষকের ওজন যোগ করা হয়, তবে গড় ওজন ৪০০ গ্রাম বেড়ে যায়। শিক্ষকের ওজন কত?

ক
ক) ৩৫ কেজি
খ
খ) ৪০ কেজি
গ
গ) ৪৫ কেজি
ঘ
ঘ) ৬০ কেজি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন- ২৪ জন ছাত্রের গড় ওজন ৩৫ কেজি। যদি একজন শিক্ষকের ওজন যোগ করা হয়, তবে গড় ওজন ৪০০ গ্রাম বেড়ে যায়। শিক্ষকের ওজন কত?

সমাধান-
২৪ জন ছাত্রের মোট ওজন = (৩৫ × ২৪) = ৮৪০ কেজি
শিক্ষকসহ ২৫ জনের মোট ওজন = (৩৫.৪ × ২৫) = ৮৮৫ কেজি [৪০০ গ্রাম = ০.৪ কেজি]

শিক্ষকের ওজন = ৮৮৫ - ৮৪০ = ৪৫ কেজি

৫,৩০৪.

4^x+1 = 256 হলে x এর মান কত?

ক
ক) 5
খ
খ) 4
গ
গ) 3
ঘ
ঘ) 2

ব্যাখ্যা

4^x+1 = 256
or, 4^x+1 = 4⁴
or, x + 1 = 4
or, x = 3

৫,৩০৫.

কোন ভগ্নাংশের লবের সাথে 7 যোগ করলে এর মান 2 হয়। আবার, হর থেকে 2 বিয়োগ করলে এর মান 1 হয়। ভগ্নাংশটি কত?

ক
3/4
খ
3/5
গ
7/9
ঘ
11/9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন ভগ্নাংশের লবের সাথে 7 যোগ করলে এর মান 2 হয়। আবার, হর থেকে 2 বিয়োগ করলে এর মান 1 হয়। ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ভগ্নাংশটির লব a এবং হর b
ভগ্নাংশটি = a/b

১ম শর্তানুসারে,
(a + 7)/b = 2
⇒ a + 7 = 2b
⇒ a - 2b = - 7 ................. (1)

২য় শর্তানুসারে,
a/(b - 2) = 1
⇒ a = b - 2
⇒ a - b = - 2 ................(2)

(2) নং - (1) নং
a - b - a + 2b = - 2 + 7
∴ b = 5

b এর মান (2) নং এ বসাই,
a = - 2 + 5
∴ a = 3

∴ ভগ্নাংশটি = 3/5

৫,৩০৬.

log₂(1/32) = কত?

ক
- 4
খ
- 5
গ
4
ঘ
5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₂(1/32) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log2(1/32)
= log₂(1/2⁵)
= log₂(2^{- 5})
= - 5 × log₂2
= - 5 × 1
= - 5

৫,৩০৭.

(√2)^m = 64 হলে, m এর মান কত?

ক
ক) 2
খ
খ) 4
গ
গ) 8
ঘ
ঘ) 12

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (√2)^m = 64 হলে, m এর মান কত?

সমাধান:
(√2)^m = 64
⇒ (√2)^m = 2⁶
⇒ (√2)^m = (√2)^{2 × 6}
∴ m = 12

৫,৩০৮.

4^x = 8 হলে x এর মান কত?

ক
2
খ
1/2
গ
1/3
ঘ
3/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4^x = 8 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
4^x = 8
⇒ (2²)^x = 2³
⇒ 2^2x = 2³
⇒ 2x = 3
⇒ x = 3/2

৫,৩০৯.

M = {x : x, 18 এর গুণনীয়কসমূহ} এবং N = {x: x, 3 এর গুণিতক এবং x ≤ 18} হলে, M - N কত?

ক
ক) {1, 2, 3}
খ
খ) { }
গ
গ) {1, 2}
ঘ
ঘ) {3, 6, 9, 18}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: M = {x: x, 18 এর গুণনীয়কসমূহ} এবং N = {x: x, 3 এর গুণিতক এবং x≤18} হলে, M - N কত?

সমাধান:
M = {x: x, 18 এর গুণনীয়কসমূহ}
= {1, 2, 3, 6, 9, 18}

N = {x: x, 3 এর গুণিতক এবং x ≤ 18}
= {3, 6, 9, 12, 15, 18}

∴ M - N = {1, 2, 3, 6, 9, 18} - {3, 6, 9, 12, 15, 18}
= {1, 2}

৫,৩১০.

ক
2/9
খ
9/4
গ
2/3
ঘ
4/9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৫,৩১১.

1, 4, 9, 16, ........., n পদ পর্যন্ত গাণিতিক গড় কত?

ক
n(n + 1)/2
খ
(n + 1)²/4
গ
(n + 1)(2n + 1)/6
ঘ
n(n + 1)²/4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1, 4, 9, 16, ........., n পদ পর্যন্ত গাণিতিক গড় কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ধারাটি হলো প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের ধারা:
1², 2², 3², 4², …, n²

এখানে, পদসংখ্যা = n

আমরা জানি, প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি:
S_n = 1² + 2² + … + n² = n(n + 1)(2n + 1)/6

∴ গাণিতিক গড় = পদগুলোর সমষ্টি/পদসংখ্যা
= S_n/n
= {n(n + 1)(2n + 1)/6}/ n
= n(n + 1)(2n + 1)/6n
= (n + 1)(2n + 1)/6

৫,৩১২.

p + q + r + s + . . . . একটি গুণোত্তর ধারা হলে নিচের কোনটি সঠিক?

ক
r/q = p/q
খ
p = (q + r)/2
গ
q/p = s/r
ঘ
r = (p + q)/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: p + q + r + s + . . . . একটি গুণোত্তর ধারা হলে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
p + q + r + s + . . . . একটি গুণোত্তর ধারা হলে,
ধারাটির সাধারণ অনুপাত = ২য় পদ/১মপদ = ৩য় পদ/২য় পদ = চতুর্থ পদ/৩য় পদ
∴ q/p = r/q = s/r

∴ q/p = s/r সম্পর্কটি সঠিক।

৫,৩১৩.

কোনো সমান্তর ধারার 8তম পদ 27 হলে, এর প্রথম 15টি পদের সমষ্টি কত?

ক
ক) 395
খ
খ) 400
গ
গ) 405
ঘ
ঘ) 410

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার 8তম পদ 27 হলে, এর প্রথম 15টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধরি
সমান্তর ধারার ১ম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d

8তম পদ = 27
‍a + (8 - 1)d = 27
a + 7d = 27

প্রথম 15টি পদের সমষ্টি S = (n/2){2a + (n - 1)d}
= (15/2){2a + (15 - 1)d}
= (15/2){2a + 14d}
= 15 (a + 7d)
= 15 x 27
= 405

৫,৩১৪.

'ACCURATE' শব্দটিকে কত প্রকারে সাজানো যায় যেন ১ম অক্ষর U ও শেষ অক্ষর T থাকে?

ক
ক) 120
খ
খ) 180
গ
গ) 100
ঘ
ঘ) 360

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'ACCURATE' শব্দটিকে কত প্রকারে সাজানো যায় যেন ১ম অক্ষর U ও শেষ অক্ষর T থাকে?

সমাধান:
'ACCURATE' শব্দে 8টি বর্ণ আছে। যেখানে
A = 2টি
C = 2টি

১ম অক্ষর U ও শেষ অক্ষর T থাকলে বাকী থাকে 6টি অক্ষর

∴ সাজানো যাবে = 6!/(2!2!)
= 180 উপায়ে

৫,৩১৫.

128 + 64 + 32 + ...... গুণোত্তর ধারাটির দশম পদ কত?

ক
1/2
খ
1/8
গ
1/16
ঘ
1/4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 128 + 64 + 32 + ...... গুণোত্তর ধারাটির দশম পদ কত?

সমাধান:
এখানে,
ধারাটির ১ম পদ, a = 128
সাধারণ অন্তর, d = 64/128 = 1/2

আমরা জানি,
n তম পদ = ar^{n - 1}
∴ দশম পদ = 128 × (1/2)^{10 - 1}
= 128 × (1/2)⁹
= 128 × (1/512)
= 1/4

৫,৩১৬.

8 + 16 + 24 +..........................ধারাটির প্রথম 9টি পদের সমষ্টি কত?

ক
224
খ
284
গ
360
ঘ
480

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 8 + 16 + 24 +..........................ধারাটির প্রথম 9টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারার প্রথম পদ, a = 8
সাধারণ অন্তর, d = 16 - 8 = 8

n-সংখ্যক পদের সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
∴ 9-সংখ্যক পদের সমষ্টি = (9/2){(2 × 8) + (9 - 1)8}
= (9/2){16 + (8 × 8)}
= (9/2)(16 + 64)
= (9/2) × 80
= 9 × 40
= 360

৫,৩১৭.

যদি (a/b)^{x - 3} = (b/a)^{x - 5} হয়, তবে x এর মান কত?

ক
3
খ
4
গ
5
ঘ
8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি (a/b)^{x - 3} = (b/a)^{x - 5} হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
(a/b)^{x - 3} = (b/a)^{x - 5}
⇒ x - 3 = 5 - x
⇒ x + x = 3 + 5
⇒ 2x = 8
∴ x = 4

৫,৩১৮.

যদি x + y = 4 হয়, তবে x³ + y³ + 12xy এর মান কত?

ক
10
খ
64
গ
125
ঘ
80

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x + y = 4 হয়, তবে x³ + y³ + 12xy এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 4

প্রদত্ত রাশি,
x³ + y³ + 12xy
= (x + y)³- 3xy(x + y) + 12xy ;[ x³ + y³ = (x + y)³ - 3xy(x + y) ]
= 4³ - (3xy × 4) + 12xy
= 64 - 12xy + 12xy
= 64

৫,৩১৯.

x + y - 1 = 0 এবং x - y + 1 = 0 এর সমাধান -

ক
ক) (1, 0 )
খ
খ) (-1, 0)
গ
গ) (0, 1)
ঘ
ঘ) (0, -1)

ব্যাখ্যা

যুক্তিঃ x + y - 1 = 0 ............. (i)
x - y + 1 = 0 ............ (ii)
(i)নং এবং (ii)নং যোগ করে পাই,
2x = 0
∴ x = 0
আবার, (i)নং এবং (ii)নং বিয়োগ করে পাই 2y = 2
∴ y = 1
উত্তরঃ (0, 1)

৫,৩২০.

2¹²+ 2¹² + 2¹² + 2¹² = কত?

ক
ক) 12²
খ
খ) 13¹²
গ
গ) 2¹²
ঘ
ঘ) 2¹⁴

ব্যাখ্যা

2¹²+ 2¹² + 2¹² + 2¹²
= 2¹²(1 + 1 + 1 + 1)
= 2¹² .4
= 2¹² .2²
= 2^{12 + 2}
= 2¹⁴

৫,৩২১.

যদি ২০২৩ সালের জুন মাসের ৪র্থ সপ্তাহে মোট ৪ দিন বৃষ্টি হয় তবে, ঐ সপ্তাহে রবিবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভবনা কত?

ক
১/৭
খ
২/৭
গ
৩/৭
ঘ
৫/৭

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি ২০২৩ সালের জুন মাসের ৪র্থ সপ্তাহে মোট ৪ দিন বৃষ্টি হয় তবে, ঐ সপ্তাহে রবিবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভবনা কত?

সমাধান:
এক সপ্তাহ = ৭ দিন
বৃষ্টি হয়েছে = ৪ দিন

∴ যেকোনো একদিন বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা ৪/৭
অর্থাৎ, রবিবার বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা = ৪/৭

∴ রবিবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা= ১ - ৪/৭ = ৩/৭

৫,৩২২.

১০ থেকে ৩০ পর্যন্ত সংখ্যা হতে যে কোন একটিকে ইচ্ছামতো নিলে সেই সংখ্যাটি মৌলিক বা ৫ এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাব্যতা -

ক
ক) ৫/৬
খ
খ) ৭/১০
গ
গ) ১১/২১
ঘ
ঘ) ১/২১

ব্যাখ্যা

এখানে নমুনাক্ষেত্র S = {১০,১১,১২,১৩,১৪,------,২৮,২৯,৩০}
অতএব, n(S) = ২১
মৌলিক সংখ্যার সেট, A = {১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯}
অতএব, n(A) = ৬
৫ এর গুণিতক সংখ্যার সেট, B = {১০,১৫,২০,২৫,৩০}
অতএব n(B) = ৫
ঘটনা দুটির অনুকূল সেট = A≈B, কারণ, A≈B সেটের যে কোন উপাদান A সেটে থাকবে, B সেটে থাকবে অথবা উভয় সেটে থাকবে।
n(A≈B) = n(A) + n(B) = ১১

সুতরাং, নির্ণেয় সম্ভাব্যতা = ১১/২১

৫,৩২৩.

log₂(8/32) এর মান কত?

ক
- 2
খ
1/2
গ
5
ঘ
- 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₂(8/32) এর মান কত?

সমাধান:
log₂(8/32)
= log₂(1/4)
= log₂(1/2²)
= log₂(2^{- 2})
= - 2 × log₂2 [log_a(Mⁿ) = n.log_aM]
= - 2 × 1 [log_aa = 1]
= - 2

৫,৩২৪.

ক
1/2
খ
1/3
গ
3
ঘ
3/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:
log₃∛3
= log₃3^1/3
= 1/3 log₃3
= 1/3 × 1 [∴ log_aa = 1]
= 1/3

৫,৩২৫.

Which of the following set(s) are empty?

ক
ক) {x : x = x}
খ
খ) {x : x ≠ x}
গ
গ) {x : x = x²}
ঘ
ঘ) Above all

ব্যাখ্যা

{x : x ≠ x} is null set, because there have no element.

৫,৩২৬.

১৮, ২৭, ২০, ৫, ১২, ১৫, ১৭, ২১, ৯, ২৩, ২৫, ১১, ৮ উপাত্তগুলোর মধ্যক কোনটি?

ক
১৭
খ
১৮
গ
২০
ঘ
১৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১৮, ২৭, ২০, ৫, ১২, ১৫, ১৭, ২১, ৯, ২৩, ২৫, ১১, ৮ উপাত্তগুলোর মধ্যক কোনটি?

সমাধান:
উপাত্তগুলোকে মানের ক্রমানুসারে সাজিয়ে পাই,
৫, ৮, ৯, ১১, ১২, ১৫, ১৭, ১৮, ২০, ২১, ২৩, ২৫, ২৭
এখানে মোট পদ ১৩টি

মধ্যক হবে সপ্তম পদ।

∴ নির্ণেয় মধ্যক = ১৭

৫,৩২৭.

3^x+2 = 81 হলে 3^x−2 এর মান কত হবে?

ক
ক) 3
খ
খ) 2
গ
গ) 0
ঘ
ঘ) 1

ব্যাখ্যা

3^x+2 = 81
⇒ 3^x+2 = 3⁴
⇒ x + 2 = 4
⇒ x = 2
∴ 3²⁻² = 3⁰ = 1

৫,৩২৮.

ক
ক) 14
খ
খ) 4
গ
গ) 2
ঘ
ঘ) 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৫,৩২৯.

(a + b) = 3 এবং (a - b) = 2 হলে 8ab এর মান কত?

ক
8
খ
4
গ
10
ঘ
5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (a + b) = 3 এবং (a - b) = 2 হলে 8ab এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(a + b) = 3 এবং
(a - b) = 2

এখন,
8ab
= 2 × 4ab
= 2 × {(a + b)² - (a - b)²}
= 2 × {(3)² - (2)²}
= 2 × (9 - 4)
= 2 × 5
= 10

৫,৩৩০.

a + ar + ar² ............... গুণোত্তর ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকার শর্ত কী?

ক
r > 1
খ
r < - 1
গ
- 1 < r < 1
ঘ
0 < r < 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a + ar + ar² ............... গুণোত্তর ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকার শর্ত কী ?

সমাধান:
প্রদত্ত অসীম গুণোত্তর ধারার অসীমতক সমষ্টি থাকাবে যদি,। r । < 1 অর্থাৎ - 1 < r < 1

৫,৩৩১.

প্রত্যেকটি অঙ্ক কেবল একবার নিয়ে 7, 6, 3, 5, 2, 4 অঙ্কগুলো দ্বারা তিন অঙ্ক বিশিষ্ট কত গুলো ভিন্ন ভিন্ন সংখ্যা গঠন করা যায়?

ক
ক) 60
খ
খ) 216
গ
গ) 100
ঘ
ঘ) 120

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: প্রত্যেকটি অঙ্ক কেবল একবার নিয়ে 7, 6, 3, 5, 2, 4 অঙ্কগুলো দ্বারা তিন অঙ্ক বিশিষ্ট কত গুলো ভিন্ন ভিন্ন সংখ্যা গঠন করা যায়?

সমাধান:
প্রত্যেকটি অঙ্ক কেবল একবার নিয়ে 7, 6, 3, 5, 2, 4 অঙ্কগুলো দ্বারা তিন অঙ্ক বিশিষ্ট ভিন্ন ভিন্ন সংখ্যা গঠন করা যাবে = ⁶P₃ = 120

৫,৩৩২.

একটা থলেতে ৪ টা লাল, ৫ টা সাদা ও ৬ টা কালো বল আছে। দৈবভাবে একটা বল নেয়া হলো। বলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
ক) ৪/১৫
খ
খ) ১/৩
গ
গ) ৩/৫
ঘ
ঘ) ২/৫

ব্যাখ্যা

থলেতে মোট বলের সংখ্যা ১৫টি। দৈবভাবে একটা বল নেওয়া হলে ১৫ টি বলের যেকোনো একটি আসতে পারে। সুতরাং সমগ্র সম্ভাব্য ফলাফল = ১৫.
এখানে, লাল বলের অনুকূল ফলাফল = ৪।
সুতরাং লাল বলের অনুকূল ফলাফল = লাল বলের অনুকূল ফলাফল/সমগ্র সম্ভাব্য ফলাফল।
= ৪/১৫.

৫,৩৩৩.

log₂(1/8) = কত?

ক
- 2
খ
- 3
গ
2
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₂(1/8) = কত?

সমাধান:

৫,৩৩৪.

5, 9, 13, 17 ....... অনুক্রমটির প্রথম 18টি পদের যোগফল কত?

ক
702
খ
710
গ
714
ঘ
720

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5, 9, 13, 17 ....... অনুক্রমটির প্রথম 18টি পদের যোগফল কত?

সমাধান:
এখানে, ১ম পদ, a = 5
সাধারণ অন্তর, d = (9 - 5) = 4
পদ সংখ্যা, n = 16

∴ ১ম 18টি পদের যোগফল, S_n = (n/2){2a + (n - 1)d}
= (18/2){2 · 5 + (18 - 1)4}
= (18/2)\{10 + (17 · 4)}
= (18/2)(10 + 68)
= (18/2) × 78
= 9 × 78
= 702

৫,৩৩৫.

কোন শ্রেণিতে ১০০ জন পরীক্ষার্থী ছিল। বার্ষিক পরীক্ষায় ৯৪ জন বাংলায় এবং ৮০ জন গণিতে পাস করেছে। ৭৫ জন উভয় বিষয়ে পাস করলে কতজন উভয় বিষয়ে ফেল করেছে?

ক
ক) ৩
খ
খ) ২
গ
গ) ১
ঘ
ঘ) ৫

ব্যাখ্যা

শুধু বাংলায় পাস করেছে = (৯৪ - ৭৫) জন।
= ১৯ জন।
শুধু গণিতে পাস করেছে = (৮০ - ৭৫) জন।
= ৫ জন।
উভয় বিষয় ফেল করেছে = ১০০ - (৭৫ + ১৯ + ৫) জন।
= (১০০ - ৯৯) জন।
= ১ জন।

৫,৩৩৬.

ক
{1, 2}
খ
{2, 4}
গ
{3, 4}
ঘ
{1, 4}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৫,৩৩৭.

(a + b)x² + 2bxy - (a-b)y² = ?

ক
ক) (x + y) (ax + bx - ay + by)
খ
খ) (x - y) (ax + bx + ay + by)
গ
গ) (x + y) (ax + bx - ay - by)
ঘ
ঘ) (x + y) (ax - bx - ay - by)

ব্যাখ্যা

(a + b)x² + 2bxy - (a-b)y²
= (a + b)x² + {(a+b) - (a-b)}xy - (a-b)y²
= (a + b)x² + (a+b)xy - (a-b)xy - (a-b)y²
= x (a + b) (x + y) - y (a - b) (x + y)
= (x + y) (ax + bx - ay + by)

৫,৩৩৮.

যদি 5 × ⁿP₃ = 4 × ^{(n + 1)}P₃ হয়, তাহলে n এর মান কত?

ক
10
খ
11
গ
12
ঘ
14

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 5 × ⁿP₃ = 4 × ^{(n + 1)}P₃ হয়, তাহলে n এর মান কত?

সমাধান:
⇒ ⁿP₃ = n × (n - 1) × (n - 2)
⇒ ⁽ⁿ⁺¹⁾P₃ = (n + 1) × n × (n - 1)

এখন,
5 × n × (n - 1) × (n - 2) = 4 × (n + 1) × n × (n - 1)
⇒ 5(n - 2) = 4(n + 1)
⇒ 5n - 10 = 4n + 4
⇒ 5n - 4n = 4 + 10
⇒ n = 14

৫,৩৩৯.

log₁₀3 = a হলে log₁₀(1/30) এর মান কত?

ক
ক) (a + 1)
খ
খ) - a + 1
গ
গ) a - 1
ঘ
ঘ) - (a + 1)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₁₀3 = a হলে log₁₀(1/30) এর মান কত?

সমাধান:
log10(1/30)
= log₁₀1- log₁₀30
=- log₁₀(3 × 10)
=- (log₁₀3 + log₁₀10)
=- (a + 1)

৫,৩৪০.

4x² + 16y² এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

ক
10xy
খ
8xy
গ
16xy
ঘ
12xy

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4x² + 16y² এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

সমাধান:
মনে করি,
প্রদত্ত রাশির সাথে a যোগ করতে হবে
∴ 4x² + 16y² + a
= (2x)² + (4y)² + 2.2x.4y
= (2x)² + (4y)² + 16xy
= (2x + 4y)²
∴ a = 16xy

∴ প্রদত্ত রাশির সাথে 16xy যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে।

৫,৩৪১.

x + y = 6 এবং xy = 8 হলে (x - y)² এর মান কত?

ক
ক) 8
খ
খ) 6
গ
গ) 4
ঘ
ঘ) 12

ব্যাখ্যা

আমরা জানি,
(x - y)² = (x + y)² - 4xy
= (6)² - 4 × 8
= 36 - 32
= 4

৫,৩৪২.

২০২৫ সালের জুন মাসের ২য় সপ্তাহে বৃষ্টি হয়েছে মোট ৫ দিন। ঐ সপ্তাহে শুক্রবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
২/৭
খ
৩/৭
গ
৫/৭
ঘ
১/৭

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ২০২৫ সালের জুন মাসের ২য় সপ্তাহে বৃষ্টি হয়েছে মোট ৫ দিন। ঐ সপ্তাহে শুক্রবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
এক সপ্তাহে আছে = ৭ দিন
বৃষ্টি হয়েছে = ৫ দিন

∴ যেকোনো একদিন (যেমন শুক্রবার) বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা = ৫/৭
∴ শুক্রবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (৫/৭)
= (৭ - ৫)/৭
= ২/৭

৫,৩৪৩.

Ι1 - 2xΙ < 1 এর সমাধান নিচের কোনটি?

ক
ক) 1 < x < 2
খ
খ) - 1 < x < 0
গ
গ) 0 < x < 1
ঘ
ঘ) - 1 < x < 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: Ι1 -2xΙ < 1 এর সমাধান নিচের কোনটি?

সমাধান:
Ι1 - 2xΙ < 1
বা, - 1 < 1 - 2x < 1
বা, - 1 - 1 < 1 - 2x - 1 < 1 - 1 [ - 1 যোগ করে]
বা, - 2 < - 2x < 0
বা, 1 > x > 0 [ -2 দ্বারা ভাগ করে]
∴ 0 < x < 1

∴ নির্ণেয় সমাধান: 0 < x < 1

৫,৩৪৪.

x² - 7x + 10 < 0 হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

ক
1 < x < 6
খ
x > 5 অথবা x < 2
গ
3 < x < 4
ঘ
2 < x < 5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² - 7x + 10 < 0 হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
x² - 7x + 10 < 0
⇒ x² - 5x - 2x + 10 < 0
⇒ x(x - 5) - 2(x - 5) < 0
⇒ (x - 2)(x - 5) < 0

দুটি রাশির গুণফল ঋণাত্মক (শূন্যের চেয়ে ছোট) হওয়ার জন্য একটি রাশি ধনাত্মক এবং অন্যটি ঋণাত্মক হতে হবে।

ক্ষেত্র ১: (x - 2) > 0 এবং (x - 5) < 0
⇒ x > 2 এবং x < 5
⇒ 2 < x < 5

ক্ষেত্র ২: (x - 2) < 0 এবং (x - 5) > 0
⇒ x < 2 এবং x > 5

এই সম্পর্কটি একসাথে সত্য হতে পারে না।

সুতরাং, সঠিক সমাধান হলো 2 < x < 5

৫,৩৪৫.

1/(2x + 1) + 1/(2x + 1)² + 1/(2x + 1)³ + --- --- ---- একটি অনন্ত গুণোত্তর ধারা। x এর উপর কী শর্ত আরোপ করলে, ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে?

ক
x > - 1
খ
x < 0
গ
x > 0 অথবা, x < - 1
ঘ
x > 0 এবং, x < - 1

ব্যাখ্যা

ধারাটির প্রথম পদ, a = 1/(2x + 1)
সাধারণ অনুপাত, r = 1/(2x + 1)²/1/(2x + 1)
= 1/(2x + 1)
। r । < 1 হলে, ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে।
অর্থাৎ 1/(2x + 1) < 1
⇒ 2x + 1 > 1
⇒ 2x > 0
⇒ x > 0
অথবা, - 1/(2x + 1) < 1
⇒ 1/(2x + 1) > - 1
⇒ 2x + 1 < - 1
⇒ 2x < - 1 - 1
⇒ 2x < - 2
∴ x < - 1

x > 0 অথবা, x < - 1 হলে, ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে।

৫,৩৪৬.

q^{- 1} = 2 - q হলে q² + (1/q²) এর মান কত?

ক
0
খ
1
গ
2
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: q^{- 1} = 2 - q হলে q² + (1/q²) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
q^{- 1} = 2 - q
⇒ 1/q = 2 - q
⇒ q + (1/q) = 2

∴ q² + (1/q²) = {q + (1/q)}²- 2 ⋅ q ⋅ (1/q)
= 2² - 2
= 4 - 2
= 2

৫,৩৪৭.

a + b = 2, a - b = 0 হলে ‍a/b কত?

ক
ক) 0
খ
খ) 1
গ
গ) 2
ঘ
ঘ) 4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a + b = 2, a - b = 0 হলে ‍a/b কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
a + b = 2................(1)
a - b = 0................(2)

(1) + (2) ⇒
a + b + a - b = 2 + 0
2a = 2
a = 1

(1) নং হতে পাই,
1 + b = 2
b = 2 - 1
b = 1

এখন
a/b = 1/1 = 1

৫,৩৪৮.

x³ - 9x + 10 = 0 সমীকরণের মূলগুলোর সমষ্টি কত?

ক
ক) -9
খ
খ) 0
গ
গ) 9
ঘ
ঘ) 1/9

ব্যাখ্যা

x³ - 9x + 10 = 0
বা, x³ - 0.x² - 9x + 10 = 0
সমীকরণে মূলগুলোর সমষ্টি = 0/1
= 0

৫,৩৪৯.

x² - y² + 2x + 1 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

ক
ক) (x - y - 1)
খ
খ) (x + y - 1)
গ
গ) (x - y + 2)
ঘ
ঘ) (x - y + 1)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² - y² + 2x + 1 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
x² - y² + 2x + 1
= x² + 2x + 1 - y²
= (x + 1)² - y²
= {(x + 1) + y}{(x + 1)- y}
= (x + y + 1)(x - y + 1)

৫,৩৫০.

।2x - 7। < 5 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

ক
ক) - 1 < x < 5
খ
খ) 1 < x < 6
গ
গ) 1 < x < 5
ঘ
ঘ) 2 < x < 4

ব্যাখ্যা

।2x - 7। < 5
- 5 < 2x - 7 < 5
- 5 + 7 < 2x - 7 + 7 < 5 + 7
2 < 2x < 12
2/2 < 2x /2 < 12/2
1 < x < 6

৫,৩৫১.

ক
3
খ
5
গ
3/2
ঘ
2
ঙ
3/5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৫,৩৫২.

(z - 1)(z + 2) = (z + 4)(z - 2) সমীকরণে z এর মান কত?

ক
ক) 1
খ
খ) 4
গ
গ) 6
ঘ
ঘ) 8

ব্যাখ্যা

(z - 1)(z + 2) = (z + 4)(z - 2)
⇒ z² - z + 2z - 2 = z² + 4z - 2z - 8
⇒ z - 2z = -8 + 2
⇒ z = 6

৫,৩৫৩.

1 থেকে 8 পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যাগুলির ঘনের সমষ্টি কত?

ক
ক) 36
খ
খ) 204
গ
গ) 1196
ঘ
ঘ) 1296

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 থেকে 8 পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যাগুলির ঘনের সমষ্টি কত?

সমাধান:
এখানে,
শেষ বিজোড় সংখ্যা, n = 8

আমরা জানি,
n সংখ্যক বিজোড় সংখ্যাগুলির ঘনের সমষ্টি = {n(n + 1)/2}²
= {8(8 + 1)/2}²
= {(8 × 9)/2}²
= (36)²
= 1296

৫,৩৫৪.

4m² + 1/m² = - 1 হলে 4(8m³ + 1/m³) এর মান কত?

ক
ক) - 4√3
খ
খ) - 12√3
গ
গ) - 8√3
ঘ
ঘ) 0

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4m² + 1/m² = - 1 হলে 4(8m³ + 1/m³) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
4m² + 1/m² = - 1
বা, (2m)² + (1/m)² = - 1
বা, (2m + 1/m)² - 2 . 2m . (1/m) = - 1
বা, (2m + 1/m)² - 4 = - 1
বা, (2m + 1/m)² = - 1 + 4
∴ (2m + 1/m) = √3

প্রদত্ত রাশি = 4(8m³ + 1/m³)
= 4{(2m)³ + (1/m)³}
= 4{(2m + 1/m)³ - 3 . 2m(1/m)(2m + 1/m)}
= 4{(√3)³ - 6√3}
= 4{3√3 - 6√3}
= 4 × (- 3√3)
= - 12√3

৫,৩৫৫.

যদি R = {x : x স্বাভাবিক সংখ্যা যা 4 ও 6 দ্বারা বিভাজ্য এবং x ≤ 72} হয়, তবে P(R) এর সদস্য সংখ্যা কত?

ক
32 টি
খ
64 টি
গ
128 টি
ঘ
256 টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি R = {x : x স্বাভাবিক সংখ্যা যা 4 ও 6 দ্বারা বিভাজ্য এবং x ≤ 72} হয়, তবে P(R) এর সদস্য সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
R = {x : x স্বাভাবিক সংখ্যা যা 4 ও 6 দ্বারা বিভাজ্য এবং x ≤ 72}

4 ও 6 এর ল.সা.গু নির্ণয় করি:
4 = 2²
6 = 2 × 3
∴ ল.সা.গু = 2² × 3 = 12

72 অপেক্ষা ছোট বা সমান, 4 ও 6 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো হলো:
12, 24, 36, 48, 60, 72 = 6 টি

∴ R সেটের সদস্য সংখ্যা = 6

আমরা জানি,
n(R) = 6 হলে, P(R) এর সদস্য সংখ্যা = 2ⁿ = 2⁶
∴ P(R) এর সদস্য সংখ্যা = 2⁶ = 64 টি

অতএব, P(R) এর সদস্য সংখ্যা = 64 টি

৫,৩৫৬.

কোন অনুক্রমের n তম পদ 1/{n(n + 1)} হলে ধারাটির ৫ম পদ কোনটি?

ক
ক) 1/20
খ
খ) 1/25
গ
গ) 1/30
ঘ
ঘ) 1/50

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন অনুক্রমের n তম পদ 1/{n(n + 1)} হলে ধারাটির ৫ম পদ কোনটি?

সমাধান:
n তম পদ = 1/{n(n + 1)}
৫ম পদ = 1/{5(5 + 1)}
= 1/30

৫,৩৫৭.

একটি সংখ্যা অপর একটি সংখ্যার 2/5 গুণ। সংখ্যা দুইটির সমষ্টি 98 হলে, বড় সংখ্যাটি কত?

ক
50
খ
65
গ
70
ঘ
90

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা অপর একটি সংখ্যার 2/5 গুণ। সংখ্যা দুইটির সমষ্টি 98 হলে, বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
বড় সংখ্যা = x
ছোট সংখ্যা = y
প্রদত্ত শর্তমতে,
x + y = 98 .....(1)

এবং,
ছোট সংখ্যা বড় সংখ্যার 2/5 গুণ। অর্থাৎ, y = 2x/5

এখন, y এর মান (1) নং এ বসিয়ে পাই,
x + (2x/5) = 98
⇒ (5x + 2x)/5 = 98
⇒ 7x = 98 × 5
⇒ x = (98 × 5)/5
∴ x = 70

সুতরাং, বড় সংখ্যাটি = 70

৫,৩৫৮.

১, ২, ৩, ৫, ৮, ১৩, ২১, ৩৪ _ _ _ _ _ _ _ ধারাটির পরবর্তী সংখ্যা কত?

ক
ক) ৯০
খ
খ) ৬৮
গ
গ) ৫৫
ঘ
ঘ) ৪০

ব্যাখ্যা

ধারাটিতে, পরপর দুটি পদের সমষ্টি তাদের পরবর্তী পদ নির্দেশ করে।
১ + ১ = ২
২ + ১ = ৩
৩ + ২ = ৫
৫ + ৩ = ৮
৮ + ৫ = ১৩
১৩ + ৮ = ২১
২১ + ১৩ = ৩৪
৩৪ + ২১ = ৫৫
সুতরাং কাঙ্ক্ষিত পদটি = ৫৫।

৫,৩৫৯.

যদি 0 ≤ x ≤ 4 এবং y < 6 হয় তাহলে নিচের কোনটি xy এর মান হতে পারে না?

ক
-2
খ
0
গ
6
ঘ
24

ব্যাখ্যা

y < 6 তাই y এর মান সকল ঋণাত্মক সংখ্যা এবং 6 এর চেয়ে ছোট এবং x এর মান 0, 1, 2, 3, 4, 5
তাই এই শর্তে উপরের তিনটি সংখ্যাই সম্ভব তাই 24 হওয়া সম্ভব নয়

৫,৩৬০.

5 + (5/3) + (5/9) + ........ ধারাটির সাধারণ অনুপাত কত?

ক
2/3
খ
1/3
গ
1/9
ঘ
2/9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5 + (5/3) + (5/9) + ........ ধারাটির সাধারণ অনুপাত কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির ১ম পদ = 5
ধারাটির ২য় পদ = 5/3

∴ ধারাটির সাধারণ অনুপাত = ২য় পদ/১ম পদ
= (5/3)/5
= (5/3) × (1/5)
= 1/3

∴ সাধারণ অনুপাত = 1/3 ।

৫,৩৬১.

a² + 2ab - 2b -1 বীজগাণিতিক রাশিটির একটি উৎপাদক কত?

ক
a + 1
খ
b + 1
গ
a - 2
ঘ
(a - 1)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a² + 2ab - 2b -1 বীজগাণিতিক রাশিটির একটি উৎপাদক কত?

সমাধান:
দেওয়াআছে,
a² + 2ab - 2b -1
= a²+ 2ab + b²- b² - 2b - 1
= (a + b)² - (b² + 2 × b × 1 + 1²)
= (a + b)² - (b + 1)²
= (a + b + b + 1){(a + b) - (b + 1)}
= (a + 2b + 1)(a + b - b - 1)
= (a + 2b + 1)(a - 1)

৫,৩৬২.

যদি 3a + 7b = 75 এবং 5a - 5b = 25 হয় তাহলে a + b এর মান কত?

ক
ক) 11
খ
খ) 13
গ
গ) 15
ঘ
ঘ) 17

ব্যাখ্যা

দেয়া আছে,
3a + 7b = 75..................(1)
এবং
5a - 5b = 25
5(a - b) = 25
a - b = 5 ................. (2)

(1) নং + (2)নং × 7 ⇒
3a + 7b + 7a - 7b = 75 + 35
10a = 110
a = 11

(2)নং এ a এর মান বসিয়ে পাই,
a - b = 5
11- b = 5
- b = 5 - 11
- b = - 6
b = 6

a + b = 11 + 6 = 17

৫,৩৬৩.

x² - √5 x + 1 = 0 হলে x + 1/x এর মান কত?

ক
ক) √5
খ
খ) √2
গ
গ) √3
ঘ
ঘ) √15

ব্যাখ্যা

x² - √5 x + 1
বা, x² + 1 = √5 x
বা, (x² +1)/x = √5
বা, x + 1/x = √5

৫,৩৬৪.

2³ × 3⁴ × 1080 ÷ 15 = 6^?

ক
6
খ
7
গ
8
ঘ
9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2³ × 3⁴ × 1080 ÷ 15 = 6^?

সমাধান:
ধরি,
2³ × 3⁴ × 1080 ÷ 15 = 6^p
⇒ 2³ × 3⁴ × 72 = 6^p
⇒ 2³ × 3⁴ × 2 × 6² = 6^p
⇒ 2⁴ × 3⁴ × 6² = 6^p
⇒ (2 × 3)⁴ × 6² = 6^p
⇒ 6⁴ × 6²= 6^p
⇒ 6^{4 + 2}= 6^p
⇒ 6⁶= 6^p
∴ p = 6

৫,৩৬৫.

Q² - P(P - 4) - 4 এর উৎপাদক নিচের কোনটি?

ক
(Q - P - 2)(Q - P + 2)
খ
(Q + P - 2)(Q - P + 2)
গ
(Q + P + 2)(Q - P - 2)
ঘ
(P + Q)(Q - P + 2)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: Q² - P(P - 4) - 4 এর উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান:
Q² - P(P - 4) - 4
= Q² - P² + 4P - 4
= Q² - (P² - 4P + 4)
= Q² - {(P)² - 2.P.2 + (2)²}
= Q² - (P - 2)²
= (Q + P - 2)(Q - P + 2)

৫,৩৬৬.

11 + 18 + 25 + 32 + ..........ধারাটির 29টি পদের সমষ্টি কত?

ক
3161
খ
3131
গ
2131
ঘ
3260

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 11 + 18 + 25 + 32 + ..........ধারাটির 29টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধারাটির প্রথম পদ, a = 11
সাধারণ অন্তর, d = (18 - 11) = 7

∴ 29টি পদের সমষ্টি, S_n = n/2 {2a + (n - 1)d}
= 29/2 {2 × 11 + (29 - 1) × 7}
= 29/2 {22 + (28 × 7)}
= 29/2 (22 + 196)
= (29/2) × 218
= 29 × 109
= 3161

৫,৩৬৭.

x এর মান কত হলে, 72.3^{3x - 5} = 2³ হবে?

ক
ক) 1
খ
খ) 2
গ
গ) 3/5
ঘ
ঘ) 5/3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x এর মান কত হলে, 72.3^{3x - 5} = 2³ হবে?

সমাধান:
72.3^{3x - 5} = 2³
বা, 2³.3².3^{3x - 5} = 2³
বা, 3².3^{3x - 5}= 2³/2³
বা, 3^{2 + 3x - 5} = 1
বা, 3^{3x - 3} = 3⁰
বা, 3x - 3 = 0
বা, 3x = 3
বা, x = 3/3
∴ x = 1

৫,৩৬৮.

∣x + 2∣ > 5 অসমতাটির সমাধান সেট কোনটি?

ক
(5, ∞)
খ
(- ∞, 5) ∪ (2 , ∞)
গ
(- ∞,- 7) ∪ (3, ∞)
ঘ
(3, ∞)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ∣x + 2∣ > 5 অসমতাটির সমাধান সেট কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত অসমতা টি হলো ,
∣x + 2∣ > 5

এখন,
x + 2 ধনাত্মক হলে,
⇒ x + 2 > 5
⇒ x > 5 - 2
⇒ x > 3

আবার, x + 2 ঋণাত্মক হলে,
-(x + 2) > 5
⇒ (x +2) < - 5
⇒ x < - 5 - 2
⇒ x < - 7

x < - 7 এর অর্থ হলো x এর মান − ∞ থেকে − 7 পর্যন্ত। সুতরাং x < - 7 এর জন্য সমাধান সেট = (- ∞,- 7)
x > 3 এর অর্থ হলো x এর মান 3 থেকে ∞ পর্যন্ত। সুতরাং x > 3 এর জন্য সমাধান সেট = (3, ∞)

সুতরাং,
∣x + 2∣ > 5 অসমতাটির সমাধান সেট=
(− ∞,− 7) ∪ (3, ∞)

৫,৩৬৯.

log_ba² · log_cb² · log_ac² এর মান কত?

ক
8
খ
10
গ
6
ঘ
4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_ba² · log_cb² · log_ac² এর মান কত?

সমাধান:
log_ba². log_cb² . log_ac²
= 2log_ba . 2log_cb . 2log_ac
= 8 × log_ba(log_cb × log_ac)
= 8 × log_ba × log_ab [log_bm × log_ab = log_am]
= (8 × 1)
= 8

৫,৩৭০.

ক
0
খ
2
গ
3
ঘ
5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৫,৩৭১.

যদি log₁₀5 + log₁₀(5a + 1) = log₁₀(a + 5) + 1 হয় তবে a এর মান কত?

ক
2
খ
1/2
গ
3
ঘ
1/4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি log₁₀5 + log₁₀(5a + 1) = log₁₀(a + 5) + 1 হয় তবে a এর মান কত?

সমাধান:
log₁₀5 + log₁₀(5a + 1) = log₁₀(a + 5) + 1
⇒ log₁₀5 + log₁₀(5a + 1) = log₁₀(a + 5) + log₁₀10
⇒ log₁₀{5(5a + 1)} = log₁₀{10(a + 5)}
⇒ 5(5a + 1) = 10(a + 5)
⇒ 5a + 1 = 2a + 10
⇒ 3a = 9
∴ a = 3

৫,৩৭২.

7x + 3y = 27 এবং 2x - y = 4 হলে y এর মান কত?

ক
- 3
খ
4
গ
2
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 7x + 3y = 27 এবং 2x - y = 4 হলে y এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া সমীকরণ দুটি,
7x + 3y = 27 ..........(1)
এবং
2x - y = 4
∴ y = 2x − 4 ……(2)

এখন y-এর মান (1) নং সমীকরণে বসাই,
7x + 3(2x - 4) = 27
⇒ 7x + 6x - 12 = 27
⇒ 13x - 12 = 27
⇒ 13x = 27 + 12
⇒ 13x = 39
⇒ x = 39/13
∴ x = 3
এখন x = 3 কে (2) নং সমীকরণে বসাই,
⇒ y = 2(3) - 4
⇒ y = 6 - 4
∴ y = 2

সুতরাং, y এর মান 2

৫,৩৭৩.

চিত্রে (A∪B)∩C = ?

ক
ক) {1, 2, 3, 4}
খ
খ) {1}
গ
গ) {1, 2, 3}
ঘ
ঘ) {1, 2, 4}

ব্যাখ্যা

চিত্রে,
A = {1, 2, 6, 7},
B = {1, 4, 5, 6},
C = {1, 2, 3, 4}

∴ A∪B = {1, 2, 4, 5, 6, 7}
∴ (A∪B)∩C = {1, 2, 4, 5, 6, 7}∩{1, 2, 3, 4}
= {1, 2, 4}

৫,৩৭৪.

2a, 4a + 1, 6a + 2 একটি গুণোত্তর অনুক্রম হলে, a = ?

ক
1/2
খ
- (1/2)
গ
1/3
ঘ
- (1/3)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2a, 4a + 1, 6a + 2 একটি গুণোত্তর অনুক্রম হলে, a = ?

সমাধান:
আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার ক্ষেত্রে অনুপাত = ২য় পদ/১ম পদ = ৩য় পদ/২য় পদ
বা, (4a + 1)/2a = (6a + 2)/(4a + 1)
বা, 16a² + 4a + 4a + 1 = 12a² + 4a
বা, 16a² + 4a + 4a + 1 - 12a² - 4a = 0
বা, 4a² + 4a + 1 = 0
বা, (2a)² + 2 ⋅ 2a ⋅ 1 + 1² = 0
বা, (2a + 1)² = 0
বা, 2a + 1 = 0
বা, 2a = - 1
∴ a = - (1/2)

৫,৩৭৫.

(x/2)^{a + 1} = 1 হলে a এর মান কত?

ক
0
খ
1
গ
- 1
ঘ
2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (x/2)^{a + 1} = 1 হলে a-এর মান কত?

সমাধান:
(x/2)^{a + 1} = 1
বা, (x/2)^{a + 1} = (x/2)⁰
বা, a + 1 = 0
∴ a = - 1

৫,৩৭৬.

A = {a, b, c}, B = {b, c, d} হলে, n(A ∪ B) = কত?

ক
0
খ
3
গ
4
ঘ
5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A = {a, b, c}, B = {b, c, d} হলে, n(A ∪ B) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {a, b, c}
B = {b, c, d}
A ∪ B = {a, b, c} ∪ {b, c, d} = {a, b, c, d}

∴ A ∪ B এর উপাদান সংখ্যা n(A ∪ B) = 4

৫,৩৭৭.

ক
12
খ
18
গ
15
ঘ
9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৫,৩৭৮.

৩২ এর ২ ভিত্তিক লগারিদম কত?

ক
৩
খ
৪
গ
৫
ঘ
৬

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৩২ এর ২ ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান:
32 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম = log₂32
= log₂2⁵
= 5 log₂2 [log_aa = 1]
= 5 × 1
= 5

৫,৩৭৯.

213 + 173 + ...... + 93 শূন্যস্থানে কোন সংখ্যাটি বসবে?

ক
121
খ
133
গ
145
ঘ
152

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 213 + 173 + ...... + 93 শূন্যস্থানে কোন সংখ্যাটি বসবে?

সমাধান:
ধারাটির,
১ম পদ = 213
২য় পদ = 213 - 40 = 173
৩য় পদ = 173 - 40 = 133
৪র্থ পদ = 133 - 40 = 93

৫,৩৮০.

6x² - x - 15 এর একটি উৎপাদক (2x + 3) হলে অপরটি হবে-

ক
ক) (3x - 5)
খ
খ) (5x - 3)
গ
গ) (2x - 3)
ঘ
ঘ) (3x - 2)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 6x² - x - 15 এর একটি উৎপাদক (2x + 3) হলে অপরটি হবে-

সমাধান:
6x²- x - 15
= 6x²- 10x + 9x - 15
= 2x(3x - 5) + 3(3x - 5)
= (3x - 5) (2x + 3)

৫,৩৮১.

১৭টি বাহুবিশিষ্ট একটি বহুভুজের কৌণিক বিন্দুগুলো সংযোগ করে কতগুলি ত্রিভুজ গঠন করা যায়?

ক
ক) ৩৪০
খ
খ) ৬৮০
গ
গ) ২৪০
ঘ
ঘ) কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

একটি ত্রিভুজের গঠন করতে ৩টি বিন্দুর প্রয়োজন।
∴ নির্ণেয় ত্রিভুজের মোট সংখ্যা = ^১৭c_৩ = ৬৮০।

৫,৩৮২.

log₁₀p = - 3 হলে, p এর মান কত?

ক
0.1
খ
0.001
গ
0.0001
ঘ
0.00001

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₁₀p = - 3 হলে, p এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log₁₀p = - 3
⇒ p = 10^{- 3}
⇒ p = 1/10³
⇒ p = 1/1000
∴ p = 0.001

৫,৩৮৩.

2y = 2x - 4 এবং 4x - 5y = 3 হলে, x ও y এর মান কত?

ক
6, 8
খ
7, 5
গ
5, 6
ঘ
8, 7

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2y = 2x - 4 এবং 4x - 5y = 3 হলে, x ও y এর মান কত?

সমাধান:
2y = 2x - 4
⇒ y = x - 2 ..........(1)

4x - 5y = 3
⇒ 4x - 5(x - 2) = 3
⇒ 4x - 5x + 10 = 3
⇒ - x = - 7
∴ x = 7

x এর মান (1) নং এ বসিয়ে পাই,
y = 7 - 2 = 5

∴ নির্ণেয় মান (x, y) = (7, 5)

৫,৩৮৪.

a = 3^1/3 + 3^{- 1/3} হলে 3a³ - 9a + 3 এর মান কত?

ক
11
খ
12
গ
13
ঘ
15

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a = 3^1/3 + 3^{- 1/3} হলে 3a³ - 9a + 3 এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
a = 3^1/3 + 3^-1/3
a³ = (3^1/3 + 3^-1/3)³
a³ = (3^1/3)³ +(3^-1/3)³ + 3. 3^1/3.3^-1/3(3^1/3 + 3^-1/3)
a³ = 3 + 3^{- 1} + 3a
a³ = 3 + (1/3) + 3a
a³ = (9 + 1 + 9a)/3
3a³ = 10 + 9a
3a³ - 9a + 3 = 10 + 3
= 13

৫,৩৮৫.

CADRE শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে কতগুলো বিন্যাস তৈরি করা যায়, যাদের প্রথমে একটি স্বরবর্ণ থাকবে?

ক
120 টি
খ
96 টি
গ
48 টি
ঘ
240টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: CADRE শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে কতগুলো বিন্যাস তৈরি করা যায়, যাদের প্রথমে একটি স্বরবর্ণ থাকবে?

সমাধান:
CADRE শব্দটিতে মোট বর্ণ 5টি, স্বরবর্ণ আছে 2টি।
CADRE শব্দটির মোট বিন্যাস সংখ্যা = 5! = 120
এখন,
একটি উপাদানের মোট বিন্যাস সংখ্যা = মোট বিন্যাস/উপাদান সংখ্যা
= 120/5
= 24

∴ 2টি স্বরবর্ণ এর জন্য বিন্যাস = (24 × 2) = 48টি

অতএব, 48টি বিন্যাসের শুরুতে স্বরবর্ণ থাকবে ।

৫,৩৮৬.

- x³ + 2x⁵ - 1 বহুপদীর মাত্রা কত?

ক
ক) 1
খ
খ) 2
গ
গ) 3
ঘ
ঘ) 5

ব্যাখ্যা

বহুপদীর চলকের সর্বোচ্চ মাত্রাই হচ্ছে ঐ বহুপদীর মাত্রা।
অতএব, - x³ + 2x⁵ - 1 বহুপদীর মাত্রা 5

৫,৩৮৭.

একটি সমান্তর অনুক্রমে সাধারণ অন্তর 10 এবং ষষ্ঠ পদটি 65 হলে প্রথম পদটি হবে -

ক
5
খ
-5
গ
15
ঘ
25

ব্যাখ্যা

ধরি,
প্রথম পদ = a
এখানে সাধারণ অন্তর, d = 10
∴ ষষ্ঠ পদ = a + (6 - 1) × 10
⇒ 65 = a + 50
∴ a = 15

৫,৩৮৮.

A ও B দুইটি পরস্পর অবর্জনশীল ঘটনা হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

ক
P(A U B) = P(A) + P(B)
খ
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
গ
P(A U B) = P(A) × P(B)
ঘ
P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A ও B দুইটি পরস্পর অবর্জনশীল ঘটনা হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
A ও B দুইটি পরস্পর বর্জনশীল ঘটনা হলে, P(A U B) = P(A) + P(B)
A এবং B দু'টি স্বাধীন ঘটনার ক্ষেত্রে, P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
A ও B দুইটি পরস্পর অবর্জনশীল ঘটনা হলে, P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

৫,৩৮৯.

একটি নিরপেক্ষ ছক্কা ও একটি মুদ্রা একবার নিক্ষেপ করা হলে ছক্কার জোড় সংখ্যা এবং মুদ্রায় H আসার সম্ভাবনা কত?

ক
ক) 1/2
খ
খ) 5/12
গ
গ) 1/3
ঘ
ঘ) 1/4

ব্যাখ্যা

নমুনা বিন্দু = {1H, 2H, 3H, 4H, 5H, 6H, 1T, 2T, 3T, 4T, 5T, 6T}
মোট নমুনা বিন্দু = 12টি।
ছক্কায় জোড় এবং মুদ্রায় H এর অনুকূলে নমুনা বিন্দু = 3টি.
∴ সম্ভাবনা = 3/12
= 1/4

৫,৩৯০.

m² + 8m + 15 এর উৎপাদক হচ্ছে-

ক
(m - 5)(m - 3)
খ
(m - 5)(m + 3)
গ
(m + 5)(m - 3)
ঘ
(m + 5)(m + 3)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: m² + 8m + 15 এর উৎপাদক হচ্ছে-

সমাধান:
m² + 8m + 15
= m² + 5m + 3m + 15
= m (m + 5) +3 (m + 5)
= (m + 5) (m + 3)

৫,৩৯১.

যদি a + b + c = 0, তবে a³+ b³+ c³- 3abc = ?

ক
0
খ
1
গ
3abc
ঘ
a + b + c

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি a + b + c = 0, তবে a³+ b³+ c³ - 3abc = ?

সমাধান:
আমরা জানি,
a³+ b³+ c³- 3abc = (a + b + c)(a²+ b²+ c²- ab - bc - ca)
যেহেতু,
a + b + c = 0

∴ a³+ b³+ c³ - 3abc = 0

৫,৩৯২.

৭ জন বালক ও ৬ জন বালিকা থেকে ৫ সদস্য বিশিষ্ট কতটি দল ঘোষণা করা যাবে যেখানে কমপক্ষে ৩ জন বালক থাকবে?

ক
৬৪৫
খ
৭৩৪
গ
৭৫৬
ঘ
৬১২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৭ জন বালক ও ৬ জন বালিকা থেকে ৫ সদস্য বিশিষ্ট কতটি দল ঘোষণা করা যাবে যেখানে কমপক্ষে ৩ জন বালক থাকবে?

সমাধান:
বালক বালিকা
৩ ২
৪ ১
৫ ০

১ম ক্ষেত্রে দল = ^৭C_৩ × ^৬C_২ = ৩৫ × ১৫ = ৫২৫
২য় ক্ষেত্রে দল = ^৭C_৪ × ^৬C_১ = ৩৫ × ৬ = ২১০
৩য় ক্ষেত্রে দল = ^৭C_৫ = ২১

∴ মোট দলের সংখ্যা = ৫২৫ + ২১০ + ২১ = ৭৫৬

৫,৩৯৩.

a² = 3a−1 হলে (a⁸ + 1)/a⁴ = ?

ক
ক) 47
খ
খ) 49
গ
গ) 51
ঘ
ঘ) 53

ব্যাখ্যা

a² = 3a−1
⇒ a² + 1= 3a
⇒ (a² + 1)/a = 3
⇒ a + 1/a = 3
⇒(a + 1/a)² = 3²
⇒ a² + 2.a.1/a + 1/a² = 9
⇒ a² + 1/a² = 9 - 2
⇒ (a² + 1/a²)² = 7²
⇒ a⁴ + 2.a².1/a² + 1/a⁴ = 49
⇒ a⁴ + 1/a⁴ = 49 - 2
⇒ a⁴ + 1/a⁴ = 47

৫,৩৯৪.

x + y + z = 3 এবং x² + y² + z² = 5 হলে xy + yz + zx এর মান কত?

ক
ক) 5
খ
খ) 2
গ
গ) 3
ঘ
ঘ) 4

ব্যাখ্যা

দেয়া আছে,
x + y + z = 3
x² + y² + z² = 5

আমরা জানি,
(x + y + z)² = (x² + y² + z²) + 2(xy + yz + zx)
3² = 5 + 2(xy + yz + zx)
9 - 5 = 2(xy + yz + zx)
4 = 2(xy + yz + zx)
xy + yz + zx = 4/2
xy + yz + zx =2

৫,৩৯৫.

^mn√x^m/xⁿ ⁿ√xⁿ/x^m ^ln√x^l/x^m = কত?

ক
ক) x^p
খ
খ) x^m
গ
গ) x^l
ঘ
ঘ) 1

৫,৩৯৬.

কোন সেটকে সকল সেটের উপসেট বলা হয়?

ক
ক) ছেদ সেট
খ
খ) সার্বিক সেট
গ
গ) শূন্য সেট
ঘ
ঘ) অসীম সেট

ব্যাখ্যা

শূন্য সেট বা ফাঁকা সেটকে সকল সেটের উপসেট বলা হয়।

৫,৩৯৭.

a + b + c = 15 এবং a² + b² + c² = 83 হলে, ab + bc + ca = কত?

ক
68
খ
71
গ
70
ঘ
72

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a + b + c = 15 এবং a² + b² + c² = 83 হলে, ab + bc + ca = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b + c = 15
এবং a² + b² + c² = 83

আমরা জানি,
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
বা, 2(ab + bc + ca) = (a + b + c)² - (a² + b² + c²)
বা, 2(ab + bc + ca) = (15)² - 83
বা, 2(ab + bc + ca) = 225 - 83
বা, 2(ab + bc + ca) = 142
বা, (ab + bc + ca) = 142/2
∴ ab + bc + ca = 71

৫,৩৯৮.

7x - 8y = - 9, এবং 5x - 4y = - 3 হলে (x ,y) হবে-

ক
(1,2)
খ
(2,3)
গ
(-1, 2)
ঘ
(2,- 3)

ব্যাখ্যা

7x - 8y = - 9............. (1)
5x - 4y = - 3............. (2)

(1) - (2) × 2 ⇒
7x - 8y - (10x - 8y) = - 9 - (- 6)
7x - 8y - 10x + 8y = - 9 + 6
- 3x= - 3
x = 1

(1) নং এ x এর মান বসিয়ে পাই
7x - 8y = - 9
7× 1 - 8y = - 9
7 - 8y = - 9
- 8y = - 9 - 7
- 8y = - 16
y = 2

৫,৩৯৯.

একটি থলেতে 2টি সাদা বল, 3টি সবুজ বল এবং 4টি লাল বল আছে। থলেটি থেকে 3টি বল কত উপায়ে নেয়া যাবে, যদি অন্তত একটি সবুজ বল থাকে?

ক
256
খ
128
গ
64
ঘ
32

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি থলেতে 2টি সাদা বল, 3টি সবুজ বল এবং 4টি লাল বল আছে। থলেটি থেকে 3টি বল কত উপায়ে নেয়া যাবে, যদি অন্তত একটি সবুজ বল থাকে?

সমাধান:
সাদা বল = 2টি
সবুজ বল = 3টি
লাল বল = 4টি

3টি সবুজ বল থেকে 1টি এবং 6 টি ভিন্ন বল থেকে 2টি নিয়ে উপায় = ³C₁ × ⁶C₂
3টি সবুজ বল থেকে 2টি এবং 6 টি ভিন্ন বল থেকে 1টি নিয়ে উপায় = ³C₂ × ⁶C₁
3টি সবুজ বল থেকে 3টি = ³C₃

মোট উপায় = (³C₁ × ⁶C₂) + (³C₂ × ⁶C₁) + (³C₃)
= (45 + 18 + 1)
= 64

৫,৪০০.

²ⁿC_r = ²ⁿC_{r + 2} হলে r এর মান কত?

ক
n
খ
n + 1
গ
n - 1
ঘ
2n - 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ²ⁿC_r = ²ⁿC_{r + 2} হলে r এর মান কত?

সমাধান:
²ⁿC_r = ²ⁿC_{r + 2}
বা, ²ⁿC_{2n - r} = ²ⁿC_{r + 2}
বা, 2n - r = r + 2
বা, 2n - 2 = r + r
বা, 2r = 2(n - 1)
বা, r = 2(n - 1)/2
∴ r = n - 1.