বীজগণিত

PrepBank · পাতা ৫৩ / ২০১ · ৫,২০১–৫,৩০০ / ২০,২০৭

৫,২০১.

৩০ থেকে ৪০ পর্যন্ত সংখ্যা থেকে যে কোন একটিকে ইচ্ছেমত নিলে সে সংখ্যাটি মৌলিক অথবা 5 এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
ক) 5/11
খ
খ) 1/2
গ
গ) 3/5
ঘ
ঘ) 6/11

ব্যাখ্যা

৩০ থেকে ৪০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ৩১, ৩৭
৩০ থেকে ৪০ পর্যন্ত ৫ এর গুণিতক = ৩০, ৩৫, ৪০
৩০ থেকে ৪০ পর্যন্ত মোট সংখ্যা = ১১ টি
মৌলিক সংখ্যা অথবা ৫ এর গুণিতক = ২ + ৩ = ৫টি
তাহলে সম্ভাবনা = ৫/১১

৫,২০২.

5টি কলম ও 3টি খাতার মূল্য 165 টাকা। একই পরিমাণ টাকায় 3টি কলম ও 4টি খাতা কেনা যায়। 1টি কলমের মূল্য কত?

ক
10 টাকা
খ
9 টাকা
গ
12 টাকা
ঘ
15 টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5টি কলম ও 3টি খাতার মূল্য 165 টাকা। একই পরিমাণ টাকায় 3টি কলম ও 4টি খাতা কেনা যায়। 1টি কলমের মূল্য কত?

সমাধান:
ধরি,
1টি কলমের মূল্য = x টাকা
1টি খাতার মূল্য = y টাকা
১ম শর্তানুসারে, 5x + 3y = 165 ...(i)
২য় শর্তানুসারে, 3x + 4y = 165 ...(ii)

{(i) নং × 3} - {(ii) নং × 5} করে পাই,
15x + 9y - 15x - 20y = 495 - 825
⇒ - 11y = - 330
⇒ y = 30

y এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে,
5x + 3(30) = 165
⇒ 5x + 90 = 165
⇒ 5x = 75
⇒ x = 15
∴ 1টি কলমের মূল্য 15 টাকা।

৫,২০৩.

পরমমান চিহ্ন ব্যবহার করে নিম্নের অসমতাটি প্রকাশ করুন: - 15 < x < - 5

ক
।x + 5। < 10
খ
।x + 8। < 3
গ
।x + 10। < 5
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: পরমমান চিহ্ন ব্যবহার করে নিম্নের অসমতাটি প্রকাশ করুন: - 15 < x < - 5

সমাধান:
- 15 < x < - 5
∴ গড় = {(- 15) + (- 5)}/2
= - 20/2
= - 10

∴ - 15 + 10 < x + 10 < - 5 + 10
⇒ - 5 < x + 10 < 5
⇒ ।x + 10। < 5

৫,২০৪.

যদি p = 3r - 7 এবং 3r + 5 = 26 হয় তবে p এর মান কত?

ক
11
খ
14
গ
13
ঘ
15

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি p = 3r - 7 এবং 3r + 5 = 26 হয় তবে p এর মান কত?

সমাধান:
3r + 5 = 26
⇒ 3r = 26 - 5
⇒ 3r = 21
∴ r = 7

এখন, r = 7 হলে,
p = 3r - 7
= 3(7) - 7
= 14
∴ p এর মান 14

৫,২০৫.

দুটি সংখ্যার যোগফল এবং গুণফল যথাক্রমে 18 এবং 72 হয়, তবে সংখ্যাদুটির ব্যস্তানুপাতিক যোগফল কত?

ক
ক) 1/6
খ
খ) 1/5
গ
গ) 1/4
ঘ
ঘ) 1/8

ব্যাখ্যা

ধরি,
সংখ্যা দুইটি a ও b।
a + b = 18
ab = 72

এখন,
(1/a) + (1/b)
= (b+a)/ab
= 18/72
= 1/4

৫,২০৬.

যদি a + b = 7 এবং ab = 12 হয়, তবে (a - b)² = কত?

ক
1
খ
5
গ
7
ঘ
125

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি a + b = 7 এবং ab = 12 হয়, তবে (a - b)² = কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
(a - b)² = (a + b)² - 4ab
বা, (a - b)² = (7)² - (4 × 12)
বা, (a - b)² = 49 - 48
বা, (a - b)² = (1)²
∴ (a - b)² = 1

৫,২০৭.

প্রদত্ত চিত্রে হতে A ∩ B = কত?

ক
ক) {3}
খ
খ) {3, 5}
গ
গ) {3, 4}
ঘ
ঘ) {2, 3}

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত চিত্রে হতে A ∩ B = কত?

A = {1, 2, 3, 4}
B = {2, 3, 5, 7}

A ∩ B = {1, 2, 3, 4} ∩ {2, 3, 5, 7} = {2, 3}

৫,২০৮.

ক
ক) x^1/2
খ
খ) x^1/3
গ
গ) x^2/3
ঘ
ঘ) x^3/2

ব্যাখ্যা

সমাধান:
= [{(x³)^1/3}^1/3]
= x^1/3

৫,২০৯.

কোন সংখ্যার 40% এর সাথে 42 যোগ করলে যোগফল হবে ঐ সংখ্যাটি। উহা কত?

ক
ক) 70
খ
খ) 80
গ
গ) 90
ঘ
ঘ) 75

ব্যাখ্যা

ধরি, সংখ্যাটি x
প্রশ্নমতে,
x এর 40%+42 = x
⇒ 40x/100 + 42 = x
⇒ (40x+4200)/100 = x
⇒ 40x+4200 = 100x
⇒ 100x - 40x = 4200
⇒ 60x = 4200
∴ x = 70

৫,২১০.

(6x - y, - 6x + 5y) = (1, 7) হলে y এর মান কত?

ক
1/4
খ
2
গ
1/2
ঘ
4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (6x - y, - 6x + 5y) = (1, 7) হলে y এর মান কত?

সমাধান:
6x - y = 1 ..................... (1)
- 6x + 5y = 7 ................ (2)

(1) + (2) হতে পাই,
6x - y - 6x + 5y = 1 + 7
⇒ 4y = 8
⇒ y = 8/4
∴ y = 2

৫,২১১.

a² + 2ab - 2b - 1 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ হলো-

ক
ক) (a + 1)(a - 2b - 1)
খ
খ) (a - 1)(a - 2b + 1)
গ
গ) (a + 1)(a + 2b - 1)
ঘ
ঘ) (a - 1)(a + 2b + 1)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a² + 2ab - 2b - 1 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ হলো-

সমাধান:
a² + 2ab - 2b - 1
= a² - 1² + 2ab - 2b
= (a + 1)(a - 1) + 2b(a - 1)
= (a - 1)(a + 2b + 1)

৫,২১২.

∣x + 2∣ ≤ 6 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

ক
- 8 ≥ x ≥ 4
খ
- 12 < x < 8
গ
- 6 < x < 4
ঘ
- 8 ≤ x ≤ 4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ∣x + 2∣ ≤ 6 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
⇒ ∣x + 2∣ ≤ 6
⇒ - 6 ≤ x + 2 ≤ 6
⇒ - 6 - 2 ≤ x + 2 - 2 ≤ 6 - 2
⇒ - 8 ≤ x ≤ 4

৫,২১৩.

= কত?

ক
ক) 16/(x⁴ - 16)
খ
খ) 32/(x⁴ - 16)
গ
গ) 32/(x⁴ - 8)
ঘ
ঘ) 32/(x⁴ + 16)

৫,২১৪.

x² + 5x + 6 এবং x² + 3x + 2 এর গ.সা.গু 22 হলে x এর মান কত?

ক
ক) 22
খ
খ) 20
গ
গ) 18
ঘ
ঘ) 16

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² + 5x + 6 এবং x² + 3x + 2 এর গ.সা.গু 22 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
১ম রাশি
x² + 5x + 6
= x² + 3x + 2x + 6
= x(x + 3) + 2(x + 3)
= (x + 3) (x + 2)

২য় রাশি
x² + 3x +2
= x² + 2x + x + 2
= x (x + 2) + 1(x + 2)
= (x + 2) (x + 1)

x² + 5x + 6 ও x² + 3x + 2 এর গ.সা.গু = x + 2

প্রশ্নমতে
∴ x + 2 = 22
⇒ x = 22 - 2
= 20

৫,২১৫.

দুইটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করা হলে তাদের যোগফল ৭ হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
৫/৩৬
খ
১/৩৬
গ
৫/৬
ঘ
১/৬

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করা হলে তাদের যোগফল ৭ হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
ছক্কা দুইবার নিক্ষেপ করলে মোট ঘটনা = (৬ × ৬)
= ৩৬

৭ হওয়ার ঘটনা = {(৬, ১), (৫, ২), (৪, ৩), (৩, ৪), (২, ৫), (১, ৬)}
= ৬ টি

∴ যোগফল ৭ হওয়ার সম্ভাবনা = ৬/৩৬
= ১/৬

৫,২১৬.

একটি বাসে যতজন যাত্রী ছিল তা থেকে প্রতি ষ্টেশনে অর্ধেক করে যাত্রী নেমে যায়। এভাবে মোট ষ্টেশন সংখ্যা ৮ হলে এবং শেষে ১ জন যাত্রী অবশিষ্ট থাকলে প্রথম ষ্টেশনে কতজন যাত্রী নেমে যায়?

ক
২৫৬ জন
খ
১২৮ জন
গ
৬৪ জন
ঘ
৩২ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বাসে যতজন যাত্রী ছিল তা থেকে প্রতি ষ্টেশনে অর্ধেক করে যাত্রী নেমে যায়। এভাবে মোট ষ্টেশন সংখ্যা ৮ হলে এবং শেষে ১ জন যাত্রী অবশিষ্ট থাকলে প্রথম ষ্টেশনে কতজন যাত্রী নেমে যায়?

সমাধান:
মনেকরি, যাত্রার শুরুতে যাত্রী ছিল = ক জন
প্রতি ষ্টেশনে অর্ধেক করে নেমে গেলে ৮ টি ষ্টেশনে নামার পর অবশিষ্ট থাকে 1 জন।

প্রশ্নমতে,
বা, ক × (১/২)^৮ = ১
বা, ক/২৫৬ = ১
বা, ক = ২৫৬

যাত্রার শুরুতে যাত্রী ছিল = ২৫৬ জন
∴ প্রথম ষ্টেশনে যাত্রী নেমে যায় = ২৫৬/২ জন
= ১২৮ জন

৫,২১৭.

9x² + 24x + 16 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

ক
ক) (3x + 4)(3x + 4)
খ
খ) (3x - 4)(3x - 4)
গ
গ) (3x + 4)(3x - 4)
ঘ
ঘ) (3x - 4)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 9x² + 24x + 16 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
9x² + 24x + 16
= (3x)² + 2. 3x . 4 + 4²
= (3x + 4)²
= (3x + 4)(3x + 4)

৫,২১৮.

x - 7 = - 7/x হলে 1/(x² - 7x + 9) এর মান কত?

ক
ক) 1
খ
খ) 1/2
গ
গ) - 1
ঘ
ঘ) - 1/2

ব্যাখ্যা

দেয়া আছে,
x - 7 = - 7/x
x(x - 7) = - 7
x² - 7x = - 7

প্রদত্ত রাশি = 1/(x² - 7x + 9)
= 1/(- 7 + 9)
= 1/2

৫,২১৯.

9³ × 81² ÷ 27³ = 3^?

ক
3
খ
5
গ
6
ঘ
9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 9³ × 81² ÷ 27³ = 3^?

সমাধান:
ধরি,
9³ × 81² ÷ 27³ = 3^a
⇒ (3²)³ × (3⁴)² ÷ (3³)³ = 3^a
⇒ 3⁶ × 3⁸ ÷ 3⁹= 3^a
⇒ 3^{6 + 8 - 9} = 3^a
⇒ 3⁵ = 3^a
∴ a = 5

৫,২২০.

'BALLOON' শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা 'SCHOOL' শব্দটির বর্ণগুলো একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যার কতগুণ?

ক
5.5 গুণ
খ
2.5 গুণ
গ
5.2 গুণ
ঘ
3.5 গুণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'BALLOON' শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা 'SCHOOL' শব্দটির বর্ণগুলো একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যার কতগুণ?

সমাধান:
'BALLOON' শব্দে মোট 7 টি বর্ণ রয়েছে ।
এখানে 'L' দুটি এবং 'O' দুটি, সুতরাং পুনরাবৃত্তি রয়েছে।

তাহলে,
'BALLOON'এর জন্য বিন্যাস সংখ্যা = 7!/(2! × 2!) = (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2!)/(2 × 2!) = 1260

আবার,
'SCHOOL' শব্দে মোট 6টি বর্ণ রয়েছে, যেখানে 'O' বর্ণটি 2টি ।
তাহলে,
'SCHOOL' এর জন্য বিন্যাস সংখ্যা = 6!/2! = 720/2 = 360

∴ প্রথম শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা দ্বিতীয়টির বিন্যাস সংখ্যার = (1260/360) গুণ
= 3.5 গুণ

৫,২২১.

১, ২, ৫ অংকগুলো একবার ব্যবহার করে গঠিত তিন অঙ্কের সংখাসমূহ থেকে ইচ্ছেমতো যেকোনো একটি সংখ্যা নিলে, সংখ্যাটি ৫ দ্বারা বিভাজ্য হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
১/৩
খ
২/৩
গ
১/২
ঘ
১/৪

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১, ২, ৫ অংকগুলো একবার ব্যবহার করে গঠিত তিন অঙ্কের সংখাসমূহ থেকে ইচ্ছেমতো যেকোনো একটি সংখ্যা নিলে, সংখ্যাটি ৫ দ্বারা বিভাজ্য হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
১, ২, ৫ তিনটি অঙ্ক দ্বারা গঠিত মোট সংখ্যা = ৩!

৫ দ্বারা বিভাজ্য হতে হলে, একক স্থানীয় অঙ্কটি অবশ্যই ৫ হতে হবে। [যেহেতু ০ নেই]
৫ কে একক স্থানে রেখে বাকি অঙ্কদ্বয়কে সাজানোর উপায় = ২!

∴ সংখ্যাটি ৫ দ্বারা বিভাজ্য হওয়ার সম্ভাবনা = ২!/৩!
= ২/৬
= ১/৩

৫,২২২.

3/(y + 1) = 4/(y - 2) সমীকরণের সমাধান কত?

ক
3/4
খ
- 10
গ
4/3
ঘ
10

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3/(y + 1) = 4/(y - 2) সমীকরণের সমাধান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
3/(y + 1) = 4/(y - 2)
⇒ 4(y + 1) = 3(y - 2)
⇒ 4y + 4 = 3y - 6
⇒ 4y - 3y = - 6 - 4
∴ y = - 10

৫,২২৩.

৫, ৭, ৮, ১৯, ১৫, ১৭, ৯, ১৩, ১১, ২১ সংখ্যাগুলোর মধ্যক কত?

ক
ক) ১১
খ
খ) ১২
গ
গ) ১৩
ঘ
ঘ) ১৫

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত সংখ্যাগুলোকে মানের ঊর্ধক্রমানুসারে সাজিয়ে পাই,
৫, ৭, ৮, ৯, ১১, ১৩, ১৫, ১৭, ১৯, ২১
এখানে,
n = ১০

মধ্যক = {(১০/২) তম পদ ও (১০/২) + ১ তম পদের যোগফল}/২
= { ৫তম পদ ও ৬ তম পদের যোগফল}/২
=(১১ + ১৩)/২
= ২৪/২
= ১২

৫,২২৪.

ক
75
খ
30
গ
54
ঘ
44

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৫,২২৫.

একজন সভাপতি পদের জন্য 3 জন প্রার্থী। 5 জন লোকের ভোটে একজন নির্বাচিত হবেন। কত প্রকারে তাঁরা ভোট দিতে পারবেন?

ক
ক) 125
খ
খ) 625
গ
গ) 243
ঘ
ঘ) 729

ব্যাখ্যা

প্রার্থীর সংখ্যা n = 3 জন
ভোটার সংখ্যা r = 5 জন

তাঁরা ভোট দিতে পারবেন =n^r
= 3⁵
= 243

৫,২২৬.

1/2, 1/4 , 3/4, 1/6 এর গড় কত?

ক
ক) 1/12
খ
খ) 3/4
গ
গ) 5/12
ঘ
ঘ) 7/12

ব্যাখ্যা

1/2, 1/4 , 3/4, 1/6 এর যোগফল = (1/2) + (1/4) + (3/4) + (1/6)
= (6 + 3 + 9 + 2)/12
= 20/12
= 5/3
নির্ণেয় গড়= (5/3)/4 = (5/3) × (1/4) = 5/12

৫,২২৭.

x² - 4x - 12 > 0 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

ক
[- 2, 6]
খ
(- ∞, - 6) ∪ (- 2, ∞)
গ
(- ∞, - 2) ∪ (6, ∞)
ঘ
(- ∞, 2) ∪ (6, ∞)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² - 4x - 12 > 0 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
x² - 4x - 12 > 0
⇒ x² - 6x + 2x - 12 > 0
⇒ x(x - 6) + 2(x - 6) > 0
⇒ (x + 2)(x - 6) > 0

এই অসমতার সমাধান বিন্দু দুটি হলো x = - 2 এবং x = 6।

(x + 2)(x - 6) > 0 এর গুণফল ধনাত্নক হয়,
যখন দুইটি বিন্দু উভয়েই ধনাত্মক (অর্থাৎ x > 6), অথবা
যখন দুইটি বিন্দু উভয়েই ঋণাত্মক (অর্থাৎ x < -2)।

অর্থাৎ, x < - 2 অথবা x > 6।

ব্যবধি আকারে লিখলে হয়: (- ∞, - 2) ∪ (6, ∞)

$(- \infty, - 2) \cup (6, \infty)$ বলতে বোঝায় যে, - $2$ এর চেয়ে ছোট অথবা 6 এর চেয়ে বড় সব বাস্তব সংখ্যা এই সমাধানের অন্তর্ভুক্ত।

৫,২২৮.

দুটি সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 48 এবং তাদের অন্তরের বর্গ 16। সংখ্যা দুটির গুণফল কত?

ক
ক) 16
খ
খ) 17
গ
গ) 32
ঘ
ঘ) 34

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 48 এবং তাদের অন্তরের বর্গ 16। সংখ্যা দুটির গুণফল কত?

সমাধান:
মনেকরি
সংখ্যা দুইটি x ও y

শর্তমতে
x² + y² = 48

এবং (x - y)² = 16
x² - 2xy + y² = 16
x² + y²- 2xy = 16
48 - 2xy = 16
- 2xy = 16 - 48
- 2xy = - 32
xy = 16

৫,২২৯.

1 + 2 + 4 +................. 6টি পদের সমষ্টি কত?

ক
75
খ
36
গ
65
ঘ
63

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 + 2 + 4 +................. 6টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধারাটির ১ম পদ, a = 1
সাধারণ অনুপাত, r = 2/1 = 2
এখানে, r এর মান 1 থেকে বড়।

∴ ধারাটির সমষ্টি, S_n = a.(rⁿ - 1)/r - 1
= 1 × (2⁶ - 1)/2 - 1
= (64 - 1)/1
= 63

∴ 6টি পদের সমষ্টি = 63 ।

৫,২৩০.

5 log3 - log9 = ?

ক
log27
খ
log3
গ
3 log2
ঘ
5 log2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5 log3 - log9 = ?

সমাধান:
5 log3 - log9
= 5 log3 - log3²
= 5 log3 - 2 log3
= (5 - 2) log3
= 3 log3
= log3³
= log27

৫,২৩১.

9^{x + 2} = 81 হলে x এর মান কত?

ক
1
খ
2
গ
0
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 9^{x + 2} = 81 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
9^{x + 2}= 81
বা, (3²)^{x + 2} = 3⁴
বা, 3^{2x + 4} = 3⁴
বা, 2x + 4 = 4
বা, 2x = 4 - 4
বা, 2x = 0
বা, x = 0/2
∴ x = 0

৫,২৩২.

x⁰ + y⁰ + z¹ = ?

ক
ক) 1
খ
খ) 2 + z
গ
গ) 1 + z
ঘ
ঘ) z

ব্যাখ্যা

x⁰ + y⁰ + z¹
= 1 + 1 + z
= 2 + z

৫,২৩৩.

3 + 6 + 12 + ................. ধারাটির 11 টি পদের সমষ্টি কত?

ক
2047
খ
3175
গ
4260
ঘ
6141

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3 + 6 + 12 + ................. ধারাটির 11 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গুণোত্তর ধারাটির,
প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = 6/3 = 2
পদসংখ্যা, n = 11

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি,
a × (rⁿ - 1)/(r - 1) [যেখানে, r > 1]

∴ 11 টি পদের সমষ্টি = 3 × (2¹¹ - 1)/(2 - 1)
= 3 × (2¹¹ - 1)
= 3 × (2048 - 1)
= 3 × 2047
= 6141

৫,২৩৪.

0.125 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম কত?

ক
- 4
খ
- 3
গ
- 2
ঘ
0

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 0.125 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান:

0.125 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম =log₂(0.125)

= log₂(125/1000)

= log₂(1/8)

= log₂(1/2³)

= log₂2^-3

= - 3log₂2

= - 3 .1

= - 3

৫,২৩৫.

যদি a + b = 7 এবং a² + b² = 25 হয়, তবে a³ + b³ এর মান কত?

ক
64
খ
81
গ
100
ঘ
91

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি a + b = 7 এবং a² + b² = 25 হয়, তবে a³ + b³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 7
a² + b² = 25

আমরা জানি,
(a + b)² = a² + b² + 2ab
বা, 7² = 25 + 2ab
বা, 49 = 25 + 2ab
বা, 2ab = 49 - 25
বা, 2ab = 24
∴ ab = 12

আমরা জানি,
a³ + b³
= (a + b)³ - 3ab(a + b)
= (7)³ - (3 × 12 × 7)
= 343 - 252
= 91

৫,২৩৬.

একটি শ্রেণীর প্রতি বেঞ্চে 4 জন করে ছাত্র বসলে 3 খানা বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে 3 জন করে বসলে 6 জন ছাত্রের দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণীর ছাত্র সংখ্যা কত?

ক
50 জন
খ
60 জন
গ
75 জন
ঘ
80 জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি শ্রেণীর প্রতি বেঞ্চে 4 জন করে ছাত্র বসলে 3 খানা বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে 3 জন করে বসলে 6 জন ছাত্রের দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণীর ছাত্র সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
ঐ শ্রেণীর ছাত্র সংখ্যা = x জন
১ম ক্ষেত্রে,
4 জন বসে 1 টি বেঞ্চে
∴ x জন বসে x/4 টি বেঞ্চে
∴ ১ম ক্ষেত্রে, মোট বেঞ্চ সংখ্যা = (x/4) + 3 টি

২য় ক্ষেত্রে,
3 জন বসে 1 টি বেঞ্চে
∴ (x - 6) জন বসে (x - 6)/3 টি বেঞ্চে

তাহলে,
(x/4) + 3 = (x - 6)/3
বা, (x + 12)/4 = (x - 6)/3
বা, 4x - 24 = 3x + 36
বা, 4x - 3x = 36 + 24
∴ x = 60

∴ ঐ শ্রেণীর ছাত্র সংখ্যা = 60 জন।

৫,২৩৭.

{1 - √(x-1)} / {1 + √(x-1)} = 1/5 সমীকরণে x এর মান-

ক
ক) 11/7
খ
খ) 8/3
গ
গ) 12/5
ঘ
ঘ) 13/9

ব্যাখ্যা

{1 - √(x-1)} / {1 + √(x-1)} = 1/5
⇒ {1 - √(x-1) + 1 + √(x-1)} / {1 - √(x-1) - 1 - √(x-1)} = (1+5)/(1-5) [যোজন ও বিয়োজন করে]
⇒ 2 / {-2√(x-1)} = 6/(-4)
⇒ 2 / √(x-1) = 3
⇒ 3√(x-1) = 2
⇒ 9(x-1) = 4 [বর্গ করে]
⇒ 9x - 9 = 4
⇒ 9x = 4 + 9
⇒ x = 13/9

৫,২৩৮.

একটি ধারার n তম পদ n.2ⁿ⁺¹ হলে ধারাটির ১ম চারটি পদের সমষ্টি কত?

ক
ক) 129
খ
খ) 192
গ
গ) 196
ঘ
ঘ) 148

ব্যাখ্যা

১ম পদ = 1.2¹⁺¹= 1.2² = 4
২য় পদ = 2.2²⁺¹= 2.2³= 16
৩য় পদ = 3.2³⁺¹= 3.2⁴ = 48
৪র্থ পদ = 4.2⁴⁺¹= 4.2⁵ = 128

চারটি পদের সমষ্টি = 4 + 16 + 48 + 128 = 196

৫,২৩৯.

যদি x - y = z হয়, তবে x³ - y³ - z³ = কত?

ক
0
খ
3xyz
গ
3
ঘ
xyz

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x - y = z হয়, তবে x³ - y³ - z³ = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x - y = z
⇒ (x - y)³ = z³
⇒ x³ - y³ - 3xy(x - y) = z³
⇒ x³ - y³ - 3xyz = z³
⇒ x³ - y³ - z³ = 3xyz

৫,২৪০.

যদি f(x) = x³ - 6x + 5 হলে, f(2) এর মান নিচের কোনটি?

ক
ক) - 1
খ
খ) 0
গ
গ) 1
ঘ
ঘ) 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি f(x) = x³ - 6x + 5 হলে, f(2) এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
f(x) = x³ - 6x + 5

এখন, f(2) = (2)³ - (6 . 2) + 5
= 8 - 12 + 5
= 13 - 12
= 1

৫,২৪১.

4x - 3 = 2x + 7 হলে (x + 1)² এর মান কত?

ক
49
খ
25
গ
16
ঘ
36

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4x - 3 = 2x + 7 হলে (x + 1)² এর মান কত?
সমাধান:
4x - 3 = 2x + 7
⇒ 2x = 10
⇒ x = 5

∴ (x + 1)² = (5 + 1)² = 36

৫,২৪২.

A = {x ∈ N : 4x < 20} হলে, A এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

ক
7 টি
খ
15 টি
গ
8 টি
ঘ
16 টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A = {x ∈ N : 4x < 20} হলে, A এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

সমাধান:
A = {x ∈ N : 4x < 20}
4x < 20
x < 5
অর্থাৎ 5 এর চেয়ে ছোট সকল স্বাভাবিক সংখ্যা হলো A সেটের উপাদান।
∴ A = {1, 2, 3, 4}

A সেটের উপসেট সংখ্যা = 2⁴ = 16
∴ প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 16 - 1 = 15 টি

৫,২৪৩.

625(√5)^7x = 1 হলে, x এর মান কত?

ক
9/4
খ
-3
গ
-8/7
ঘ
-7

ব্যাখ্যা

625(√5)^7x = 1
(√5)^7x = 1/625
5^7x/2 = 5^-4
7x/2 = -4
X = -8/7

৫,২৪৪.

x = 7 এবং y = 6 হলে 16x² - 40xy + 25y² এর মান কত?

ক
8
খ
116
গ
4
ঘ
76

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x = 7 এবং y = 6 হলে 16x² - 40xy + 25y² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = 7 এবং y = 6

প্রদত্ত রাশি: 16x²- 40xy + 25y²
= (4x)² - 2 × 4x × 5y + (5y)²
= (4x - 5y)²
= (4 × 7 - 5 × 6)²
= (28 - 30)²
= (-2)²
= 4

∴ 16x² - 40xy + 25y² এর মান 4

৫,২৪৫.

প্রথম 45টি স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল কত?

ক
ক) 1055
খ
খ) 1040
গ
গ) 1035
ঘ
ঘ) 1050

ব্যাখ্যা

আমরা জানি,
1 + 2 + 3 + ............. + n = n(n + 1)/2
1 + 2 + 3 + ............. + 45 = 45(45 + 1)/2
= (45 × 46)/2
= 1035

৫,২৪৬.

একটি ব্যাগে 4টি সবুজ ও 5টি লাল বল আছে। একজন লোক নিরপেক্ষভাবে তিনটি বল উত্তোলন করলেন। 3টি বলই লাল হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
ক) 2/9
খ
খ) 5/9
গ
গ) 1
ঘ
ঘ) 5/42

ব্যাখ্যা

সবুজ বল = 4টি
লাল বল = 5টি
মোট বল = (4 + 5)টি

9টি বলের মধ্যে 3টি বল লাল হবার সম্ভাবনা = ⁹C₃ = 84
5টি বলের মধ্যে 3টি বল লাল হবার সম্ভাবনা =⁵C₃ = 10
3টি বলই লাল হওয়ার সম্ভাবনা = 10/84
= 5/42

৫,২৪৭.

f(x) = x³ - 7xy² - 6y³ এর একটি উৎপাদক (x - 3y) হলে কোনটি সত্য?

ক
ক) f( - y) = 0
খ
খ) f( - 2y) = 0
গ
গ) f(3y) = 0
ঘ
ঘ) উপরের সবগুলো

ব্যাখ্যা

f(x) = x³ - 7xy² - 6y³
= x³ - 3x²y + 3x²y - 9xy² + 2xy² - 6y³
= x²(x - 3y) + 3xy(x - 3y) + 2y²(x - 3y)
= (x - 3y)(x² + 3xy + 2y²)
= (x - 3y)(x² + xy + 2xy + 2y²)
= (x - 3y){x(x + y) + 2y(x + y)}
= (x - 3y)(x + y)(x + 2y)
∴ f(3y) = 0
f(- y) = 0
f(- 2y) = 0

৫,২৪৮.

কোন সংখ্যার ১/২ অংশের সাথে ৩ যোগ করলে সংখ্যাটির ২/৩ অংশ হয়?

ক
২৪
খ
২৭
গ
২১
ঘ
১৮

ব্যাখ্যা

মনেকরি
সংখ্যাটি ক
ক এর ১/২ + ৩ = ক এর ২/৩
⇒ ক/২ + ৩ = ২ক /৩
⇒ ২ক/৩ - ক/২ = ৩
⇒(৪ক - ৩ক)/৬ = ৩
⇒ ক/৬ = ৩
∴ক = ১৮

৫,২৪৯.

x^-3 = 0.000001 = 0 হলে, x² = ?

ক
10²
খ
10⁴
গ
10⁶
ঘ
10³

ব্যাখ্যা

x^-3 = 0.000001
or, 1/x3 = 1/1000000
or, 1/x³ = 1/(100)³
or, x³ = 100³
or, x = 100
or, x = 10²
∴ x² = 10⁴

৫,২৫০.

২ + ৬ + ১৮ + ..... ধারাটির প্রথম ৫টি পদের সমষ্টি কত?

ক
ক) ২৪২
খ
খ) ২৩২
গ
গ) ২৫২
ঘ
ঘ) ২৬২

ব্যাখ্যা

এখানে, ২ + ৬ + ১৮ + ..... ধারাটির‌
প্রথম পদ, a = ২
সাধারণ অনুপাত, r = ৬/২ = ৩
এবং পদ সংখ্যা, n = ৫
সুতরাং সমষ্টি = a (rⁿ - 1)/(r-1)
= ২ × (৩^৫ - ১)/(৩-১)
= ২ × (২৪৩-১)/২
= ২৪২

৫,২৫১.

2x + 3 < - 5 এবং x + 6 < 3 অসমতাদ্বয়ের সমাধান সেট -

ক
(- ∞, - 3]
খ
(- ∞, - 3)
গ
[- 3, - 4]
ঘ
(- ∞, - 4)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2x + 3 < - 5 এবং x + 6 < 3 অসমতাদ্বয়ের সমাধান সেট -

সমাধান:

2x + 3 < - 5

⇒ 2x < - 8

∴ x < - 4

x + 6 < 3

∴ x < - 3

যেহেতু দুটি অসমতার মাঝে এবং দেয়া আছে তাই x < - 4 ও x < - 3 এর ছেদ সেট হবে নির্ণেয় সমাধান সেট .

∴ নির্ণেয় সমাধান সেট: (- ∞, - 4).

৫,২৫২.

১, ৩, ১০, ৫, ১, ৮, ৭, ৯, ১, ৯, ৫, ৭ উপাত্তগুলোর প্রচুরক কত?

ক
ক) ১
খ
খ) ৫
গ
গ) ৭
ঘ
ঘ) ৯

ব্যাখ্যা

কোনো উপাত্তে যে সংখ্যা সর্বাধিক বার উপস্থাপিত হয়, সেই সংখ্যাই উপাত্তের প্রচুরক।
১, ৩, ১০, ৫, ১, ৮, ৭, ৯, ১, ৯, ৫, ৭ উপাত্তগুলোর মধ্যে ১ সর্বাধিক ৩ বার আছে।
সুতরাং, প্রদত্ত উপাত্তগুলোর প্রচুরক = ১।

৫,২৫৩.

করিম 2 টাকা ও 3 টাকা মানের সমান সংখ্যক স্ট্যাম্প কিনেছে। যদি স্ট্যাম্প ক্রয়ের মোট খরচ 100 টাকা হয় তাহলে করিম মোট কতটি স্ট্যাম্প কিনেছিল?

ক
ক) 20
খ
খ) 25
গ
গ) 30
ঘ
ঘ) 40

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: করিম 2 টাকা ও 3 টাকা মানের সমান সংখ্যক স্ট্যাম্প কিনেছে। যদি স্ট্যাম্প ক্রয়ের মোট খরচ 100 টাকা হয় তাহলে করিম মোট কতটি স্ট্যাম্প কিনেছিল?

সমাধান:
মনে করি,
স্ট্যাম্পের মোট সংখ্যা = x টি
∴ 2 টাকার স্ট্যাম্প সংখ্যা = x/2 টি
3 টাকার স্ট্যাম্প সংখ্যা = x/2 টি

প্রশ্নমতে,
2(x/2) + 3(x/2) = 100
বা, x + 3x/2 = 100
বা, 2x + 3x = 200
বা, 5x = 200
বা, x = 200/5
∴ x = 40

∴ স্ট্যাম্পের মোট সংখ্যা = 40 টি।

৫,২৫৪.

যদি a + 2b = 4 এবং a/b = 2 হয়, তবে a = কত?

ক
1
খ
2
গ
0
ঘ
4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি a + 2b = 4 এবং a/b = 2 হয়, তবে a = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a/b = 2
বা, a = 2b
∴ b = a/2

এখন,
a + 2(a/2) = 4
বা, a + a = 4
বা, 2a = 4
∴ a = 2

৫,২৫৫.

যদি, a² + b² = 194 এবং ab = 65 হয় তবে, a + b = কত?

ক
15
খ
16
গ
18
ঘ
25

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি, a² + b² = 194 এবং ab = 65 হয় তবে, a + b = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a² + b² = 194
এবং ab = 65

আমরা জানি,
(a + b)² - 2ab = a² + b²
⇒ (a + b)² - 2 × 65 = 194
⇒ (a + b)² - 130 = 194
⇒ (a + b)² = 194 + 130
⇒ (a + b)² = 324
∴ a + b = 18

৫,২৫৬.

(৩ + ৪)^২ নিচের কোনটির সমান?

ক
২৫
খ
১৪
গ
৪৯
ঘ
কোনোটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (৩ + ৪)^২ নিচের কোনটির সমান?

সমাধান:
(৩ + ৪)^২
= ৭^২
= ৪৯

৫,২৫৭.

4(x + y), 10(x - y) এবং 12(x² - y²) এর গ.সা.গু কত?

ক
x - y
খ
x + y
গ
2
ঘ
12(x² - y²)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4(x + y), 10(x - y) এবং 12(x² - y²) এর গ.সা.গু কত?

সমাধান:
১ম রাশি = 4(x + y)
২য় রাশি =10(x - y)
৩য় রাশি =12(x² - y²)
= 12(x - y)(x + y)

4, 10 ও 12 এর গ.সা.গু = 2

নির্ণেয় গ.সা.গু = 2

৫,২৫৮.

x² + 2x - 15 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কেমন?

ক
বাস্তব ও সমান
খ
বাস্তব ও অসমান
গ
অবাস্তব ও অসমান
ঘ
অবাস্তব ও সমান

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² + 2x - 15 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কেমন?

সমাধান:
x² + 2x - 15 = 0

b² - 4ac = (2)² - 4.1.(- 15)
= 4 + 60
= 64

যেহেতু,
b² - 4ac > 0 সেহেতু, মূলদ্বয়ের প্রকৃতি বাস্তব ও অসমান।

প্রমান:
x² + 2x - 15 = 0
বা, x² + 5x - 3x - 15 = 0
বা, x(x + 5) - 3(x + 5) = 0
বা, (x + 5) (x - 3) = 0

∴ x - 3 = 0
x = 3

অথবা,
x + 5 = 0
x = - 5

৫,২৫৯.

প্রথম সাতটি স্বাভাবিক সংখ্যার পরিমিতি ব্যবধান কত?

ক
2
খ
1
গ
4
ঘ
8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: প্রথম সাতটি স্বাভাবিক সংখ্যার পরিমিতি ব্যবধান কত?

সমাধান:
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার পরিমিত ব্যবধান
= √{(n² - 1)/12}
= √{(7² - 1)/12}
= √{(49 - 1)/12}
= √(48/12)
= √4
= 2

৫,২৬০.

x³ - x - 6 এর উৎপাদক কোনটি?

ক
ক) (x + 2)(x² + 2x - 3)
খ
খ) (x - 2)(x² - 2x + 3)
গ
গ) (x - 2)(x² + 2x + 3)
ঘ
ঘ) (x + 2)(x² + 2x + 3)

ব্যাখ্যা

ধরি,
f(x) = x³ - x - 6
f(2) = 2³ - 2 - 6
f(2) =8 - 8
= 0
x = 2 হলে রাশিটির মান শুন্য হয়।
∴ (x - 2), f(x) এর একটি উৎপাদক।

x³ - x - 6
= x³ - 2x² + 2x² - 4x + 3x - 6
= x²(x - 2) + 2x(x - 2)+ 3 (x - 2)
= (x - 2)(x² + 2x + 3)

৫,২৬১.

x³ - x² কে x - 2 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত?

ক
8
খ
4
গ
3
ঘ
2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x³ - x² কে x - 2 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত?

সমাধান:
ধরি,
f(x) = x³ - x²

f(x) কে x - 2 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ f(2) এর মানর সমান হবে।

f(2) = (2)³ - (2)²
= 8 - 4
= 4

৫,২৬২.

x + y = 3 হলে x³ + y³ + 9xy এর মান কত?

ক
ক) 27
খ
খ) 9
গ
গ) 6xy
ঘ
ঘ) 27 + 12xy

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + y = 3 হলে x³ + y³ + 9xy এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে
x + y = 3

x³+ y³ + 9xy = x³ + y³ + 9xy
= (x + y)³ - 3xy(x + y) + 9xy
= 3³ - 3xy × 3 + 9xy
= 27 - 9xy + 9xy
= 27

৫,২৬৩.

a+b+c=0 হলে a³+b³+c³ এর মান কত?

ক
ক) 3abc
খ
খ) 3a²b²c²
গ
গ) 12abc
ঘ
ঘ) কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

a³+b³+c³ = (a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca) + 3abc
= 0 X (a²+b²+c²-ab-bc-ca) + 3abc
= 3abc

৫,২৬৪.

২ + ৪ + ৬ + ৮ +........... + ৫০ = ?

ক
ক) ৫২০
খ
খ) ৪৮০
গ
গ) ৫২২
ঘ
ঘ) ৬৫০

ব্যাখ্যা

M = (প্রথম পদ + শেষ পদ)⁄২
এখানে, (২+৫০)⁄২ = ২৬
সুতরাং, যোগফল = ২৬ (২৬-১) = ৬৫০

৫,২৬৫.

5, 6, 7, 6 তথ্যসারির ভেদাঙ্ক কত?

ক
0.5
খ
1
গ
2.8
ঘ
6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5, 6, 7, 6 তথ্যসারির ভেদাঙ্ক কত?

সমাধান:
এখানে, তথ্য সংখ্যা, n = 4
গাণিতিক গড় = (5 + 6 + 7 + 6)/4
= 24/4
= 6

ভেদাঙ্ক = {(5 - 6)² + (6 - 6)² + (7 - 6)² + (6 - 6)²}/4
= (1 + 0 + 1 + 0)/4
= 2/4
= 1/2
= 0.5

৫,২৬৬.

একটি কলম ও একটি বইয়ের মূল্য একত্রে ৯৫ টাকা। কলমটির মূল্য ১০ টাকা বেশি ও বইটির মূল্য ১২ টাকা কম হলে কলমটির মূল্য বইটির মূল্য এর দ্বিগুণ হতো। বইটির মূল্য কত?

ক
ক) ৩৯ টাকা
খ
খ) ৪১ টাকা
গ
গ) ৪৩ টাকা
ঘ
ঘ) ৪৫ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি কলম ও একটি বইয়ের মূল্য একত্রে ৯৫ টাকা। কলমটির মূল্য ১০ টাকা বেশি ও বইটির মূল্য ১২ টাকা কম হলে কলমটির মূল্য বইটির মূল্য এর দ্বিগুণ হতো। বইটির মূল্য কত?

সমাধান:
ধরি
বইটির মূল্য ক টাকা
কলমটির মূল্য (৯৫ - ক) টাকা

প্রশ্নমতে
৯৫ - ক + ১০ = ২(ক - ১২)
বা, ১০৫ - ক = ২ক - ২৪
বা, ১০৫ + ২৪ = ২ক + ক
বা, ৩ক = ১২৯
বা, ক =১২৯/৩
ক = ৪৩ টাকা

৫,২৬৭.

A = {21, 22, 23, 24, 25} হলে, এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

ক
28
খ
29
গ
30
ঘ
31

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A = {21, 22, 23, 24, 25} হলে, এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

সমাধান:
এখানে,
A সেটের মোট উপাদান = 5
A সেটের সর্বমোট উপসেট = 2⁵ = 32

∴ প্রকৃত উপসেট = 32 - 1
= 31

৫,২৬৮.

একটি বাক্সে 10 টি নীল ও 15 টি লাল মার্বেল আছে। যেমন খুশি টেনে প্রতিবার একটি করে পর পর দুইটি মার্বেল উঠালে দুটি একই রং -এর মার্বেল হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
ক) 1/2
খ
খ) 1/3
গ
গ) 2/3
ঘ
ঘ) 1/5

ব্যাখ্যা

মোট বল = 10 + 15 = 25 টি
নীল বল তোলার সম্ভাবনা = (10/25) × (9/24) = 3/20
লাল বল তোলার সম্ভাবনা = (15/25) × (14/24) =7/20
মোট সম্ভাবনা = 3/20 + 7/20 = 1/2.

৫,২৬৯.

log_√24 + log₃√3 =?

ক
1/2
খ
9/2
গ
7
ঘ
2/5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_√24 + log₃√3 =?

সমাধান:
log_√24 + log₃√3
= log_√2(√2)⁴ + log₃(3)^1/2
= 4log_√2√2 + (1/2)log₃3
= 4 + 1/2
= 9/2

৫,২৭০.

x = √3 + √2 হলে, x² + 1/x² এর মান কত ?

ক
ক) 9
খ
খ) 10
গ
গ) 12
ঘ
ঘ) কোনোটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x = √3 + √2 হলে, x² + 1/x²এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = √3 + √2
এখন, 1/x = 1/(√3 + √2)
= (√3 - √2)/(√3 + √2) (√3 - √2)
= (√3 - √2)/(3 - 2)
∴ 1/x = √3 - √2

x + 1/x = √3 + √2 + √3 - √2
= 2√3

x²+ 1/x² = (x + 1/x)²- 2 . x . 1/x
= (2√3)² - 2
= (4 × 3) - 2
= 12 - 2
= 10

৫,২৭১.

একটি বাক্সে 10টি কালো এবং 15টি সবুজ বল আছে। দৈব চয়নে প্রতিস্থাপন না করে পরপর দুটি বল তুললে দুটিই একই রংয়ের হবার সম্ভাব্যতা কত?

ক
ক) 1/2
খ
খ) 1/3
গ
গ) 1/5
ঘ
ঘ) 1/4

ব্যাখ্যা

বাক্সে 10 টি কালো এবং 15 টি সবুজ বল আছে
মোট বল = 10+15 = 25 টি

কালো বল হওয়ার সম্ভাবনা = (10/25) × (9/24)
= 3/20
সবুজ বল হওয়ার সম্ভাবনা = (15/25)×(14/24)
=7/20

মোট সম্ভাবনা = (3/20) + (7/20)
= (3 + 7)/20
= 10/20
= 1/2

৫,২৭২.

একটি ব্যাগে 4টি সাদা ও 6টি কালো বল আছে। একজন লোক নিরপেক্ষভাবে তিনটি বল উত্তোলন করলেন। 3টি বলই কালো হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
ক) 1/10
খ
খ) 1/6
গ
গ) 3/10
ঘ
ঘ) 2/5

ব্যাখ্যা

সাদা বল = 4টি
কালো বল =6টি
মোট বল = (4 + 6)টি = 10 টি

10টি বলের মধ্যে 3টি বল উঠার সম্ভাবনা = ¹⁰C₃ = (10 × 9 × 8)/(1× 2 × 3) = 120

6টি বলের মধ্যে 3টি বল কালো উঠার সম্ভাবনা =⁶C₃ =(6 × 5 × 4)/(1× 2 × 3) = 20
3টি বলই কালো হওয়ার সম্ভাবনা = 20/120
= 1/6

৫,২৭৩.

১৯, ২৯, ৪৩, ৬১ ... পরবর্তী সংখ্যাটি কত?

ক
৮৩
খ
১০৯
গ
১৩১
ঘ
১৫৫

ব্যাখ্যা

১৯ + ১০ = ২৯
২৯ + ১৪ = ৪৩
৪৩ + ১৮ = ৬১
৬১ + ২২ = ৮৩

৫,২৭৪.

(3x² + 4x - 4) কে (3x - 2) দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল কত হবে?

ক
(3x + 2)
খ
(x + 2)
গ
(x - 2)
ঘ
(x + 3)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (3x² + 4x - 4) কে (3x - 2) দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল কত হবে?

সমাধান:
3x² + 4x - 4
= 3x² + 6x - 2x - 4
= 3x(x + 2) - 2(x + 2)
= (x + 2)(3x - 2)

(3x² + 4x - 4) কে (3x - 2) দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল = (3x² + 4x - 4)/(3x - 2)
= (x + 2)(3x - 2)/(3x - 2)
= (x + 2)

৫,২৭৫.

3 + 6 + 12 + 24 + ......... ধারাটির 10তম পদ কত?

ক
1160
খ
1254
গ
1024
ঘ
1536

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3 + 6 + 12 + 24 + ......... ধারাটির 10তম পদ কত?

সমাধান:
গুণোত্তর ধারাটির,
১ম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = 6/3 = 2

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n-তম পদ = a × r^{n - 1}
∴ 10তম পদ = 3 × 2^{10 - 1}
= 3 × 2⁹
= 3 × 512
= 1536

৫,২৭৬.

a > b এবং ab < 0 হলে, নিচের কোনটি ঋণাত্মক?

ক
b
খ
a
গ
a - b
ঘ
a² - b²

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a > b এবং ab < 0 হলে, নিচের কোনটি ঋণাত্মক?

সমাধান:
ab < 0 হলে a এবং b এর যে কোনো একটি ঋণাত্মক হবে।

যেহেতু a > b
সেহেতু b অবশ্যই ঋণাত্মক হবে।

৫,২৭৭.

4x² - px + 9 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে p = ?

ক
ক) 0
খ
খ) 9
গ
গ) 4
ঘ
ঘ) 12

ব্যাখ্যা

নিশ্চায়ক = ০ (কারণ, মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান)
বা, p² - 4.4.9 = 0
বা, p² = 144
∴ p = 12

৫,২৭৮.

x + 5y = 8 এবং x/y = 3 হলে, y এর মান কত?

ক
ক) 2
খ
খ) 1
গ
গ) -1
ঘ
ঘ) 0

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + 5y = 8 এবং x/y = 3 হলে, y এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + 5y = 8 ------------ (1)
x/y = 3
⇒ x = 3y ------------ (2)

(1) নং হতে,
x + 5y = 8
⇒ 3y + 5y = 8
⇒ 8y = 8
⇒ y = 8/8
∴ y = 1

৫,২৭৯.

যদি (a/b)^{x - 3} = (b/a)^{x - 5} হয়, তবে x এর মান কত?

ক
ক) 5
খ
খ) 4
গ
গ) 8
ঘ
ঘ) 3

ব্যাখ্যা

(a/b)^{x - 3} = (b/a)^{x - 5}
(a/b)^{x - 3} = (a/b)^{5 - x}
x - 3 = 5 - x
2x = 8
x = 4

৫,২৮০.

a < b এবং c < 0 হলে নিচের কোনটি সঠিক?

ক
ac < bc
খ
ac = bc
গ
ac > bc
ঘ
a + c = b + c

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a < b এবং c < 0 হলে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a < b
c < 0 (অর্থাৎ c একটি ঋণাত্মক সংখ্যা)।

একটি অসমতার উভয় পক্ষকে যখন একটি ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ করা হয়, তখন অসমতার চিহ্নটি উল্টে যায়।

a < b
উভয় পক্ষকে c দ্বারা গুণ করে পাই,
⇒ a × c > b × c

∴ প্রদত্ত শর্ত অনুযায়ী সঠিক অসমতাটি হলো,
ac > bc

৫,২৮১.

x = √7 + √6 হলে, x² + 1/x² এর মান কত?

ক
ক) 24
খ
খ) 25
গ
গ) 26
ঘ
ঘ) 28

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x = √7 + √6 হলে, x2 + 1/x2 এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
x = √7 + √6
বা, 1/x = 1/(√7 + √6)
বা, 1/x = (√7 - √6)/(√7 + √6)(√7 - √6)
বা, 1/x = (√7 - √6)/{(√7)² - (√6)²}
বা, 1/x = (√7 - √6)/(7 - 6)
বা, 1/x = (√7 - √6)/1
1/x =√7 - √6
এখন
x + 1/x = √7 + √6 + √7 - √6
= 2√7

প্রদত্ত রাশি = x² + 1/x²
= (x)² + (1/x)²
= (x + 1/x)² - 2.x.(1/x)
= (2√7)² - 2
= 28 - 2
= 26

৫,২৮২.

4x² - 12x এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে?

ক
4
খ
9
গ
25
ঘ
16

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4x² - 12x এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
4x² - 12x
= (2x)² - 2 . 2x . 3 + 3²- 3²
= (2x - 3)² - 9

∴ 4x² - 12x এর সাথে 9 যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

৫,২৮৩.

8^{2x + 3} = 2^{3x + 6} হলে, x এর মান -

ক
ক) - 3
খ
খ) - 1
গ
গ) 0
ঘ
ঘ) 4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 8^{2x + 3} = 2^{3x + 6} হলে, x এর মান -

সমাধান:
8^{2x + 3} = 2^{3x + 6}
⇒ 2^{3(2x + 3)} = 2^{3x + 6}
⇒ 6x + 9 = 3x + 6
⇒ 3x = - 3
∴ x = - 1

৫,২৮৪.

আবহাওয়া অফিসের রিপোর্ট অনুযায়ী ২০১৫ সালের জুলাই মাসের ২য় সপ্তাহে বৃষ্টি হয়েছে মোট ৫ দিন। ঐ সপ্তাহে বুধবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
ক) ১
খ
খ) ৫/৭
গ
গ) ২/৭
ঘ
ঘ) ১/৭

ব্যাখ্যা

জুলাই মাসের ২য় সপ্তাহে মোট ৭ দিনে বৃষ্টি হয়েছিল ৫ দিন
বুধবার বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা ৫/৭
বুধবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - ৫/৭ = ২/৭

৫,২৮৫.

নিচের কোনটি 2a⁴ - 5a³ + 6a²- 5a + 2 এর একটি উৎপাদক?

ক
(a + 1)
খ
(2a³- 3a² + 3a - 2)
গ
(a - 3)
ঘ
(a³+ 4a² + 2a - 1)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি 2a⁴ - 5a³ + 6a²- 5a + 2 এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
ধরি, f(a) = 2a⁴ - 5a³ + 6a² - 5a + 2
∴ f(1) = 2 ⋅ 1⁴- 5 ⋅ 1³ + 6 ⋅ 1² - 5 ⋅ 1 + 2 = 0
অতএব (a - 1), 2a⁴ - 5a³ + 6a² - 5a + 2 এর একটি উৎপাদক।

2a⁴ - 5a³ + 6a² - 5a + 2
= 2a⁴ - 2a³ - 3a³ + 3a² + 3a² - 3a - 2a + 2
= 2a³(a - 1) - 3a²(a - 1) + 3a(a - 1) - 2(a - 1)
=(a - 1)(2a³- 3a² + 3a - 2)

৫,২৮৬.

একটি বাক্সে ২০টি বৈদ্যুতিক বাল্ব আছে, যার মধ্যে ৪টি ত্রুটিপূর্ণ। এই বাক্স থেকে এলোমেলোভাবে দুটি বাল্ব নেওয়া হলো। অন্তত একটি ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
১১/১৯
খ
৩/৪
গ
৯/১১
ঘ
৭/১৯

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বাক্সে ২০টি বৈদ্যুতিক বাল্ব আছে, যার মধ্যে ৪টি ত্রুটিপূর্ণ। এই বাক্স থেকে এলোমেলোভাবে দুটি বাল্ব নেওয়া হলো। অন্তত একটি ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মোট বাল্ব = ২০টি
ত্রুটিপূর্ণ বাল্ব = ৪টি
ত্রুটিহীন বাল্ব = ২০ - ৪ = ১৬টি
দুটি বাল্ব এলোমেলোভাবে নেওয়া হচ্ছে(পুনর্বিন্যাস ছাড়া)।
এখন,
দুটিই ত্রুটিহীন হওয়ার সম্ভাবনা = (১৬/২০) × (১৫/১৯)
= (৪/৫) × (১৫/১৯)
= ১২/১৯

অতএব, অন্তত একটি ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (দুটিই ত্রুটিহীন হওয়ার সম্ভাবনা)
= ১ - (১২/১৯)
= (১৯ - ১২)/১৯
= ৭/১৯

সুতরাং, অন্তত একটি ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার সম্ভাবনা ৭/১৯

৫,২৮৭.

তিনটি নিরপেক্ষ মুদ্রা একবার নিক্ষেপ করা হলে অন্তত দুইটি টেল পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
ক) 1/2
খ
খ) 3/8
গ
গ) 1/3
ঘ
ঘ) 1/8

ব্যাখ্যা

তিনটি নিরপেক্ষ মুদ্রা একবার নিক্ষেপ করলে মোট নমুনা বিন্দু হবে = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}
= 8 টি

অন্তত দুইটি টেল পাওয়ার অনুকূল ঘটনাগুলো = {HTT, THT, TTH, TTT}
= 4 টি।

সুতরাং অন্তত দুইটি টেল পাওয়ার সম্ভাবনা, = 4/8
= 1/2

৫,২৮৮.

x² - 4x + 1 = 0 হলে, x² - (1/x²) = ?

ক
2√3
খ
5√3
গ
6√2
ঘ
8√3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² - 4x + 1 = 0 হলে, x² - (1/x²) = ?

সমাধান:
দেয়া আছে,
x² - 4x + 1 = 0
⇒ x - 4 + (1/x) = 0 [উভয় পাশে x দিয়ে ভাগ করে]
∴ x + (1/x) = 4

আমরা জানি,
(x - 1/x)² = (x + 1/x)² - 4 . x . 1/x
= 4² - 4
= 16 - 4
⇒ (x - 1/x)² = 12
⇒ x - 1/x = √12
∴ x - (1/x) = 2√3

সুতরাং,
x² - (1/x²)
= (x + 1/x)(x - 1/x)
= 4 × (2√3)
= 8√3

৫,২৮৯.

২৬০০ টাকা আসল এরূপ দুই ভাগে ধার দেয়া হলো যাতে শতকরা ১০ টাকা হারে ৫ বছরের ১ম ভাগের সুদ হবে অন্য ভাগের শতকরা ৯ টাকা হারে ৬ বছরের সুদের সমান। শতকরা ১০ টাকা হলে কত টাকা ধার দেয়া হয়েছিল?

ক
১১৫০
খ
১২৫০
গ
১৩৫০
ঘ
১৫৫০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ২৬০০ টাকা আসল এরূপ দুই ভাগে ধার দেয়া হলো যাতে শতকরা ১০ টাকা হারে ৫ বছরের ১ম ভাগের সুদ হবে অন্য ভাগের শতকরা ৯ টাকা হারে ৬ বছরের সুদের সমান। শতকরা ১০ টাকা হলে কত টাকা ধার দেয়া হয়েছিল?

সমাধান:
শতকরা ১০ টাকা হারে ধার দেয়া হয়েছিল = ক টাকা
শতকরা ৯ টাকা হারে ধার দেয়া হয়েছিল = ২৬০০ - ক টাকা

প্রশ্নমতে
ক × (১০/১০০) × ৫ = (২৬০০ - ক) × (৯/১০০) × ৬
৫০ক = (২৬০০ - ক)৫৪
৫০ক = ১৪০৪০০ - ৫৪ক
৫০ক + ৫৪ক = ১৪০৪০০
১০৪ক = ১৪০৪০০
ক = ১৪০৪০০/১০৪
ক = ১৩৫০ টাকা

৫,২৯০.

একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদ এবং শেষ পদ যথাক্রমে 7 এবং 46 । যদি সাধারণ অন্তর 3 হয় তবে পদ সংখ্যা কত?

ক
ক) 12
খ
খ) 13
গ
গ) 14
ঘ
ঘ) 15

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদ এবং শেষ পদ যথাক্রমে 7 এবং 46 । যদি সাধারণ অন্তর 3 হয় তবে পদ সংখ্যা কত?

সমাধান:
পদ সংখ্যা = {(শেষ পদ - প্রথম পদ)/সাধারণ অন্তর} + 1
= {(46 - 7)/3} + 1
= 13 + 1
= 14

৫,২৯১.

16 সদস্যবিশিষ্ট একটি ক্রিকেট দল থেকে একজন অধিনায়ক ও একজন সহ-অধিনায়ক কতভাবে নির্বাচন করা যাবে?

ক
240
খ
188
গ
220
ঘ
120

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 16 সদস্যবিশিষ্ট একটি ক্রিকেট দল থেকে একজন অধিনায়ক ও একজন সহ-অধিনায়ক কতভাবে নির্বাচন করা যাবে?

সমাধান:
16 জন থেকে 1 জন অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ¹⁶C₁ = 16 উপায়ে
15 জন থেকে 1 জন সহ অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ¹⁵C₁ = 15 উপায়ে

∴ বাছাই সংখ্যা = 16 × 15 = 240

৫,২৯২.

x − 1/x = 2 হলে x³ - 1/x³ এর মান কত?

ক
ক) 3.9
খ
খ) 4.0
গ
গ) 12
ঘ
ঘ) 14

ব্যাখ্যা

x³ - 1/x³ = (x - 1/x)³ + 3.x.1/x(x - 1/x)
= 2³ + 3.2
= 14

৫,২৯৩.

দুইটি সংখ্যার গুণফল 120 ও তাদের বর্গের যোগফল 289। সংখ্যাদ্বয়ের অন্তর কত?

ক
5
খ
7
গ
9
ঘ
10

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গুণফল 120 ও তাদের বর্গের যোগফল 289। সংখ্যাদ্বয়ের অন্তর কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুটি x ও y

প্রশ্নমতে,
x² + y² = 289
xy = 120

আমরা জানি
(x - y)² = x² + y² - 2xy
বা, (x - y)² = 289 - (2 × 120)
বা, (x - y)² = 289 - 240
বা, (x - y)² = 49
বা, (x - y)² = 7²
∴ x - y = 7

৫,২৯৪.

'DEGREE' শব্দটি থেকে প্রতিবারে 4 টি করে বর্ণ নিয়ে মোট কতগুলো শব্দ তৈরি করা যাবে?

ক
11
খ
7
গ
13
ঘ
9

ব্যাখ্যা

'DEGREE' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 6টি যার মধ্যে 3টি E আছে। 3টি E কে একটি ধরে বর্ণ সংখ্যা হয় 4টি।

(1) সবগুলো ভিন্ন হলে সমাবেশ সংখ্যা = ⁴C₄
= 1

(2) দুটি অভিন্ন এবং দুটি ভিন্ন হলে সমাবেশ সংখ্যা = ²C₂ × ³C₂
= 1 × 3
= 3

(3) তিনটি অভিন্ন এবং একটি ভিন্ন হলে সমাবেশ সংখ্যা = ³C₃ × ³C₁
= 1 × 3
=3

সুতরাং মোট শব্দ তৈরি করা যাবে = 1 + 3 + 3
= 7

৫,২৯৫.

x যদি y এর চেয়ে বড় হয় তবে 1/x এর চেয়ে 1/y -

ক
বড়
খ
ছোট
গ
সমান
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

x > y তাই , 1/x < 1/y
∴ 1/x এর চেয়ে 1/y বড়

৫,২৯৬.

AMERICA শব্দটির বর্ণগুলো থেকে প্রতিবারে 3 টি বর্ণ নিয়ে গঠিত ভিন্ন ভিন্ন শব্দ সংখ্যা কত হবে?

ক
ক) 120
খ
খ) 135
গ
গ) 240
ঘ
ঘ) 270

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত শব্দটিতে A দুইবার আছে। 6 টি ভিন্ন ভিন্ন বর্ণ থেকে প্রতিবারে 3 টি বর্ণ নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা
= ⁶P₃
= 120
আবার, 2 টি A কে 5 টি ভিন্ন ভিন্ন বর্ণের সাথে নিলে 3 টি বর্ণ নিয়ে গঠিত শব্দ সংখ্যা
= ³C₂ × ⁵C₁
= 3 × 5
= 15
মোট শব্দ সংখ্যা = 120 + 15 = 135

৫,২৯৭.

যদি 5x - y = 9 এবং x = 2y হয়, তবে y এর মান কত?

ক
1
খ
0
গ
- 2
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 5x - y = 9 এবং x = 2y হয়, তবে y এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
5x - y = 9 এবং x = 2y ......(1)
⇒ 5(2y) - y = 9
⇒ 10y - y = 9
⇒ 9y = 9
⇒ y = 9/9
∴ y = 1

৫,২৯৮.

x³a - a²x² এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

ক
a(x - a)
খ
ax²(x + a)
গ
ax²(x - a)
ঘ
x²(x - a)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x³a - a²x² এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
x³a - a²x²
= x²a(x - a)
= ax²(x - a)

৫,২৯৯.

একটি থলিতে নীল বল ১২ টি, সাদা বল ১৬ টি এবং কালো বল ২০ টি আছে। দৈবভাবে একটা বল নেওয়া হলো। বলটি নীল হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
ক) ১/১৬
খ
খ) ১/৮
গ
গ) ১/১২
ঘ
ঘ) ১/৪

ব্যাখ্যা

থলিতে মোট বল আছে = (১২+১৬+২০) = ৪৮ টি।
বলটি নীল হওয়ার সম্ভাবনা = নীল বলের অনুকূল ফলাফল/সমগ্র সম্ভাব্য ফলাফল
= ১২/৪৮
= ১/৪

৫,৩০০.

a - (1/a) = 5√3 হলে a² + (1/a²) = কত?

ক
60√3
খ
60
গ
70√3
ঘ
77

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a - 1/a = 5√3 হলে a²+ 1/a² = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
a - 1/a = 5√3

আমরা জানি
a² + 1/a² =(a - 1/a)² + 2.a.1/a
= (5√3)² + 2
= 75 + 2
= 77