বীজগণিত

PrepBank · পাতা ৪৬ / ২০১ · ৪,৫০১–৪,৬০০ / ২০,২০৭

৪,৫০১.

একটি ব্যাটমিন্টন টুর্ণামেন্ট খেলায় মোট ২১টি ম্যাচ হয়। প্রত্যেক দল প্রতিটি দলের সাথে একটি করে ম্যাচ খেললে মোট দলের সংখ্যা কত?

ক
৭
খ
৯
গ
১০
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ব্যাটমিন্টন টুর্ণামেন্ট খেলায় মোট ২১টি ম্যাচ হয়। প্রত্যেক দল প্রতিটি দলের সাথে একটি করে ম্যাচ খেললে মোট দলের সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
মোট দলের সংখ্যা n টি

∴ ⁿC_২ = ২১
⇒ n!/{(n - ২)! × ২!} = ২১
⇒ n(n - ১) = ৪২
⇒ n^২ - n - ৪২ = ০
⇒ n^২ - ৭n + ৬n - ৪২ = ০
⇒ n(n - ৭) + ৬(n - ৭) = ০
⇒ (n - ৭)(n + ৬) = ০
∴ n = ৭ অথবা n = - ৬
n = - ৬ গ্রহণযোগ্য নয়।

∴ মোট দলের সংখ্যা ৭টি।

৪,৫০২.

১^২ + ২^২ + ৩^২ + ৪^২ + ৫^২ + ... ... ... + ৫০^২ = ?

ক
ক) ৪২৯২৫
খ
খ) ১২৭৫
গ
গ) ১৬২৫৬২৫
ঘ
ঘ) উপরের কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

১^২ + ২^২ + ৩^২ + ৪^২ + ৫^২ + ... ... ... + ৫০^২ = ৫০(৫০ + ১)(২ × ৫০ + ১)/৬ = ৫০ × ৫১ × ১০১/৬ = ৪২৯২৫

৪,৫০৩.

x² - 1 - y(y - 2) এর উৎপাদক কী কী?

ক
(x +y -1) (x - y -1)
খ
(x - y -1) (x - y +1)
গ
(x +y +1) (x + y +1)
ঘ
(x +y -1) (x - y +1)

ব্যাখ্যা

x²- 1 - y(y - 2)
x² - 1 - y² + 2y
x² - (y² - 2y + 1)
x² - (y - 1)²
{x + (y - 1)}{x - (y - 1)}
(x +y -1) (x - y +1)

৪,৫০৪.

|y - 6| ≤ 5 হলে, y এর সর্বনিম্ন মান কত?

ক
0
খ
1
গ
5
ঘ
11

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |y - 6| ≤ 5 হলে, y এর সর্বনিম্ন মান কত?

সমাধান:
|y - 6| ≤ 5
⇒ - 5 ≤ y - 6 ≤ 5
⇒ - 5 + 6 ≤ y - 6 + 6 ≤ 5 + 6
⇒ 1 ≤ y ≤ 11

∴ y এর সর্বনিম্ন মান = 1

৪,৫০৫.

(x - 1)² - 25 এর উৎপাদক কত?

ক
(x + 1)(x - 5)
খ
(x + 6)(x - 4)
গ
(x + 4)(x - 6)
ঘ
(x + 5)(x - 1)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (x - 1)² - 25 এর উৎপাদক কত?

সমাধান:
(x - 1)² - 25
= (x - 1)² - 52
= (x - 1 + 5)(x - 1 - 5)
= (x + 4)(x - 6)

৪,৫০৬.

এক প্যাকেট থেকে দৈবভাবে দু’টি তাস নেয়া হলো, তাস দু’টি ইস্কাপন হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
1/13
খ
1/4
গ
1/2
ঘ
1/17

ব্যাখ্যা

মোট তাস = 52টি
ইস্কাপন = 13টি
∴ 2টি তাস নিলে তা ইস্কাপন হওয়ার সম্ভাবনা = ¹³c₂/⁵²c₂
= 78/1326
= 1/17

৪,৫০৭.

log₂(64) + log₄(16) এর মান কত?

ক
16
খ
10
গ
8
ঘ
18√3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₂(64) + log₄(16) এর মান কত?

সমাধান:
log₂(64) + log₄(16)
= log₂(2⁶) + log₄(4²)
= 6 × log₂2 + 2 × log₄4
= 6 × 1 + 2 × 1
= 6 + 2
= 8

৪,৫০৮.

2 + 6 + 18 + 54 + 162 + ......... ধারাটির কততম পদ 1458?

ক
6 তম পদ
খ
7 তম পদ
গ
8 তম পদ
ঘ
10 তম পদ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2 + 6 + 18 + 54 + 162 + ......... ধারাটির কততম পদ 1458?

সমাধান:
প্রথম পদ a = 2,
সাধারণ অনুপাত r = 3

আমরা জানি,
n তম পদ a_n= ar^{n - 1}
⇒ a_n = 2 × 3^{n - 1}
⇒ 1458/2 = 3^{n - 1}
⇒ 729 = 3^{n - 1}
⇒ 3⁶= 3^{n - 1}
⇒ 6 = n - 1
⇒ n = 7

∴ 7 তম পদ 1458

৪,৫০৯.

x² - 2ax + (a + b)(a - b) এর উৎপাদক বিশ্লেষণ কোনটি?

ক
ক) (x + a - b)(x - a - b)
খ
খ) (x - a - b)(x - a + b)
গ
গ) (x + a + b)(x - a - b)
ঘ
ঘ) (x - a + b)(x + a - b)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² - 2ax + (a + b)(a - b) এর উৎপাদক বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
x² - 2ax + (a + b)(a - b)
= x² - 2ax + a² - b²
= (x - a)² - b²
= (x - a - b)(x - a + b)

∴ নির্ণেয় উৎপাদক = (x - a - b)(x - a + b)

৪,৫১০.

A, B দু'টি সেটের ক্ষেত্রে x ∈ A হলে যদি x ∈ B হয় তবে কোনটি অবশ্যই সত্য?

ক
A = B
খ
A ≠ B
গ
A ⊂ B
ঘ
A ⊂ A ∩ B

ব্যাখ্যা

উপসেটের সংজ্ঞানুসারে x ∈ A ⇒ x ∈ B
তবে A ⊂ B

৪,৫১১.

ক
ক) 1/81
খ
খ) - 1/81
গ
গ) - 1/243
ঘ
ঘ) 1/27

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = - (1/3)

∴ ৬ষ্ঠ পদ = ar⁵= 3 × {- (1/3)}⁵
= - {3 × (1/3⁵)}
= - (1/3⁴)
= - 1/81

৪,৫১২.

একটি নৌকায় 3 জন লোক উঠতে পারে, নৌকাটি দ্বারা 4 জন লোক কত প্রকারে নদী পার হতে পারে?

ক
ক) 1
খ
খ) 2
গ
গ) 3
ঘ
ঘ) 4

ব্যাখ্যা

নৌকাটি দ্বারা 4 জন লোক নদী পার হতে পারে 4!/(3!.1!) = 4 উপায়ে।

৪,৫১৩.

(x + 6)²= x² + bx + c সমীকরণে b ও c এর মান কত হলে সমীকরণটি অভেদ হবে?

ক
10, 25
খ
12, 36
গ
3, 10
ঘ
15, 25

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (x + 6)²= x² + bx + c সমীকরণে b ও c এর মান কত হলে সমীকরণটি অভেদ হবে?

সমাধান:
(x + 6)² = x² + bx + c
⇒ x²+ 2.x.6 + 6² = x² + bx + c
⇒ x² + 12x + 36 = x² + bx + c

∴ x ও ধ্রবক পদের সহগ সমীকৃত করে পাই,
b = 12
c = 36

৪,৫১৪.

4^x + 4^{1 - x}= 4 হলে 2x = ?

ক
ক) 1/2
খ
খ) 2
গ
গ) 1
ঘ
ঘ) 4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4^x + 4^{1 - x}= 4 হলে 2x = ?

সমাধান:
4^x + 4^{1 - x} = 4
⇒ 4^x + 4¹ . 4^{- x}= 4
⇒ 4^x + 4/4^x = 4
⇒ a + 4/a = 4 [ধরি 4x = a]
⇒ a² + 4 = 4a
⇒ a² - 4a + 4 = 0
⇒ a² - 2. 2. a + 2² = 0
⇒ (a - 2)² = 0
⇒ a - 2 = 0
⇒ a = 2
⇒ 4^x = 2
⇒ (2²)^x = 2
⇒ 2^2x= 2¹
⇒ 2x = 1

৪,৫১৫.

a ও c দুটি স্বাভাবিক সংখ্যা এবং b ঋনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। তাহলে a > c হলে নিচের কোনটি সত্য

ক
ক) ac < bc
খ
খ) - a/b > b/c
গ
গ) ab/c ≠ ac/b
ঘ
ঘ) ab > ac

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a ও c দুটি স্বাভাবিক সংখ্যা এবং b ঋনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। তাহলে a > c হলে নিচের কোনটি সত্য?

সমাধান:
মনে করি,
a = 2
b = - 1
c = 1

তাহলে,
• ac < bc
⇒ 2.1 < (-1).1
⇒ 2 < - 1, যা সত্য নয়।

• - a/b > b/c
⇒ (-2)/(-2) > (- 1)/1
⇒ 1 > - 1 যা সত্য।

• ab/c ≠ ac/b
⇒ 2.(- 1)/1 ≠ 2.1/(-1)
⇒ - 2 ≠ - 2, যা সত্য নয়।

• ab > ac
⇒ 2.(-1) > 2 .1
⇒ - 2 > 2, যা সত্য নয়।

৪,৫১৬.

1 + 3¹ + 3² + .... + 3⁵ এর সমষ্টি কত?

ক
728
খ
364
গ
182
ঘ
1456

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 + 3¹ + 3² + .... + 3⁵ এর সমষ্টি কত?

সমাধান:
a = 1
r = 3/1 = 3
n = 6

S = a × {(rⁿ - 1)/(r - 1)}
= 1 × {(3⁶ - 1)/(3 - 1)}
= 364

৪,৫১৭.

3 জন পুরুষ ও 4 জন মহিলাকে এক সারিতে রেখে কতভাবে সাজানো যায় যেখানে 3 জন পুরুষ সর্বদা একত্রে থাকবে?

ক
560
খ
670
গ
840
ঘ
720

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3 জন পুরুষ ও 4 জন মহিলাকে এক সারিতে রেখে কতভাবে সাজানো যায় যেখানে 3 জন পুরুষ সর্বদা একত্রে থাকবে?

সমাধান:
মোট পুরুষ ও মহিলা = (3 + 4) = 7 জন
তিনজন পুরুষ একত্রে থাকলে মোট সংখ্যা = (1 + 4) জন
= 5 জন
∴ 5 জনকে সাজানো যায় = 5!
∴ 3 জন পুরুষকে সাজানো যায় = 3!

সুতরাং, একত্রে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 5! × 3!
= (5 × 4 × 3 × 2 × 1) × (3 × 2 × 1)
= 120 × 6
= 720

৪,৫১৮.

7, 8, 9, 7, 6, 5, 8, 7 উপাত্তসমূহের মধ্যক কত?

ক
7
খ
9
গ
8
ঘ
6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 7, 8, 9, 7, 6, 5, 8, 7 উপাত্তসমূহের মধ্যক কত?

সমাধান:
উপাত্তগুলো সাজিয়ে পাই: 5, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9
উপাত্তের সংখ্যা 8টি। যা জোড় সংখ্যা।

∴ মধ্যক = {(8/2) তম পদ + (8/2 + 1) তম পদ}/2
= (4 তম পদ + 5 তম পদ)/2
= (7 + 7)/2
= 14/2
= 7

৪,৫১৯.

A = {x ∈ N : 6 < x < 11} এবং B = {x : x জোড় সংখ্যা} হলে A - B = ?

ক
∅
খ
{0}
গ
{7, 9}
ঘ
{2, 4, 6, 7, 8, 9, 10,......}

ব্যাখ্যা

A = {x ∈ N : 6 < x < 11}
= {7, 8, 9, 10}
B ={x : x জোড় সংখ্যা}
= {2, 4 ,6, 8........}
∴ A - B
= {7, 9}

৪,৫২০.

2^y + 2^y + 2^y + 2^y = ?

ক
2^{y + 2}
খ
2^{y + 4}
গ
4^{y + 2}
ঘ
2^{y - 2}

ব্যাখ্যা

2^y + 2^y + 2^y + 2^y
= 4 × 2^y
= 2² × 2^y
= 2^{y + 2}

৪,৫২১.

একটি সমান্তর ধারার 101 তম পদ 305 এবং 127 তম পদ 383 হলে, ধারাটির প্রথম পদ ও সাধারণ অন্তর কত?

ক
5, 3
খ
8, 5
গ
9, 4
ঘ
7, 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার 101 তম পদ 305 এবং 127 তম পদ 383 হলে, ধারাটির প্রথম পদ ও সাধারণ অন্তর কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রথম পদ = a
এবং সাধারণ অন্তর = d
আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 101 তম পদ = a + (101 - 1)d = 305
বা, a + 100d =305 ........ (i)
আবার, 127 তম পদ = a + (127 - 1) d = 383
বা, a + 126d = 383 ........ (ii)

সমীকরণ (ii) থেকে সমীকরণ (i) বিয়োগ করে পাই,
126d - 100d = 383 - 305
বা, 26d = 78
∴ d = 3

সমীকরণ (i) -এ d এর মান বসিয়ে পাই,
a + 100 × 3 = 305
বা, a = 305 - 300
∴ a = 5
∴ নির্ণেয় প্রথম পদ = 5 এবং সাধারণ অন্তর = 3.

৪,৫২২.

6q² - q - 15 এর একটি উৎপাদক 2q + 3 হলে, অপর উৎপাদকটি কত?

ক
3q + 5
খ
5q - 3
গ
3q - 5
ঘ
3q - 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 6q² - q - 15 এর একটি উৎপাদক 2q + 3 হলে, অপর উৎপাদকটি কত?

সমাধান:
6q² - q - 15
= 6q² + 9q - 10q - 15
= 3q(2q + 3) - 5(2q + 3)
= (2q + 3)(3q - 5)

∴ 6q² - q - 15 এর একটি উৎপাদক 2q + 3 হলে, অপর উৎপাদকটি হবে 3q - 5.

৪,৫২৩.

log_√55 - log_√327 + log_√216 এর মান কত?

ক
12
খ
4
গ
6
ঘ
2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_√55 - log_√327 + log_√216 এর মান কত?

সমাধান:
= log_√55 - log_√327 + log_√216
= log_√5(√5)² - log_√3(√3)⁶ + log_√2(√2)⁸
= 2log_√5√5 - 6log_√3√3 + 8log_√2√2
= 2 - 6 + 8
= 4

৪,৫২৪.

নিচের কোনটি a² - 4a - 21 এর একটি উৎপাদক?

ক
(a + 1)
খ
(a + 3)
গ
(a - 2)
ঘ
(a - 4)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি a² - 4a - 21 এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
a² - 4a - 21
= a² - 7a + 3a - 21
= a(a - 7) + 3(a - 7)
= (a - 7)(a + 3)

৪,৫২৫.

3, 5 এবং 7 এই তিনটি সংখ্যা ব্যবহার করে কতগুলি দুই অঙ্কের সংখ্যা তৈরি করা যাবে? (অঙ্কগুলির পুনরাবৃত্তির অনুমতি রয়েছে)

ক
9
খ
8
গ
3
ঘ
6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3, 5 এবং 7 এই তিনটি সংখ্যা ব্যবহার করে কতগুলি দুই অঙ্কের সংখ্যা তৈরি করা যাবে? (অঙ্কগুলির পুনরাবৃত্তির অনুমতি রয়েছে)

সমাধান:
3 , 5 এবং 7 এই তিনটি সংখ্যা ব্যবহার করে দুই অঙ্কের সংখ্যা তৈরি হতে পারে = 3 × 3 = 9

9 টি দুই অঙ্কের সংখ্যা সৃষ্টি হতে পারে।
সংখ্যাগুলো: 33, 35, 37, 53, 55, 57, 73, 75, 77

৪,৫২৬.

²ⁿc_r = ²ⁿc_r+2 হলে, n = ?

ক
r - 1
খ
r
গ
r + 1
ঘ
r + 2

ব্যাখ্যা

²ⁿc_r = ²ⁿc_r+2
বা, ²ⁿc_2n-r = ²ⁿc_r+2
∴ 2n - r = r + 2
বা, 2n = 2r + 2
∴ n = r + 1

৪,৫২৭.

১ থেকে ১৫ পর্যন্ত একটি সংখ্যা নির্বাচন করলে তা মৌলিক না হবার সম্ভাবনা কত?

ক
২/৫
খ
৩/৫
গ
৭/১৫
ঘ
৮/১৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১ থেকে ১৫ পর্যন্ত একটি সংখ্যা নির্বাচন করলে তা মৌলিক না হবার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
১ থেকে ১৫ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা : ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩ মোট ৬টি

১ থেকে ১৫ পর্যন্ত মৌলিক নয় = ১৫ - ৬ = ৯টি

১ থেকে ১৫ পর্যন্ত একটি সংখ্যা নির্বাচন করলে তা মৌলিক না হবার সম্ভাবনা ৯/১৫ = ৩/৫

৪,৫২৮.

একটি সমান্তর ধারার তৃতীয় পদ 20 এবং ষষ্ঠ পদ 32 হলে, ধারাটির প্রথম পদ কত?

ক
10
খ
12
গ
14
ঘ
15

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার তৃতীয় পদ 20 এবং ষষ্ঠ পদ 32 হলে, ধারাটির প্রথম পদ কত?

সমাধান:
মনেকরি
সমান্তর ধারার ১ম পদ = a
সাধারণ অন্তর = d

প্রশ্নমতে,
a + 2d = 20 ..........(i)
a + 5d = 32 ..........(ii)

(ii) থেকে (i) নং বিয়োগ করে পাই।
3d = 12
∴ d = 4

(i) নং সমীকরণ হতে পাই,
a + (2 × 4) = 20
⇒ a = 20 - 8
∴ a = 12

∴ ধারাটির প্রথম 12

৪,৫২৯.

০.২৭ + ০.০০২৭ + ০.০০০০২৭ + ...... ধারাটির অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল কত?

ক
৩/১১
খ
১/২৭
গ
৯/৬৭
ঘ
৫/১৯

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ০.২৭ + ০.০০২৭ + ০.০০০০২৭ + ...... ধারাটির অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ, a = ০.২৭
সাধারণ অন্তর, r = ০.০০২৭/০.২৭
= ০.০১

∴ সমষ্টি = a/(১ - r)
= ০.২৭/(১ - ০.০১)
= ০.২৭/০.৯৯
= ২৭/৯৯
= ৩/১১

৪,৫৩০.

যদি (49)^{x + 2}= 7^{3x + 4}হয়, তবে x-এর মান কত?

ক
0
খ
1
গ
2
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি (49)^{x + 2}= 7^{3x + 4} হয়, তবে x-এর মান কত?

সমাধান:
(49)^{x + 2}= 7 ^{3x + 4}
⇒ (7²)^{x + 2}= 7 ^{3x + 4}
⇒ 2x + 4 = 3x + 4
⇒ 2x - 3x = 4 - 4
⇒ - x = 0
⇒ x = 0

৪,৫৩১.

ময়ূর ও হরিণ একত্রে ৮০টি। কিন্তু তাদের মোট পায়ের সংখ্যা ২০০। কয়টি ময়ূর আছে?

ক
৬০
খ
৫০
গ
৪০
ঘ
৩০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ময়ূর ও হরিণ একত্রে ৮০টি। কিন্তু তাদের পায়ের সংখ্যা ২০০টি। তা হলে কতটি ময়ুর আছে?

সমাধান:
ধরি
ময়ূর আছে ক টি
হরিণ আছে = (৮০ - ক)টি

প্রশ্নমতে,
২ক + ৪(৮০ - ক) = ২০০
বা, ২ক + ৩২০ - ৪ক = ২০০
বা, ৩২০ - ২ক = ২০০
বা, - ২ক = ২০০ - ৩২০
বা, - ২ক = - ১২০
∴ ক = ৬০

∴ ময়ূর আছে ৬০ টি।

৪,৫৩২.

5log3 - log9 = ?

ক
log3
খ
log9
গ
1
ঘ
log27

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5log3 - log9 = ?

সমাধান:
5log3 - log9
= 5log3 - log3²
= 5log3 - 2log3
= 3log3
= log3³
= log27

৪,৫৩৩.

শাহিক 240 টাকায় কতগুলো কলম কিনল। সে যদি ঐ টাকায় একটি কলম বেশি পেত তাহলে প্রতিটি কলমের দাম গড়ে 1 টাকা কম পড়তো। সে কতগুলো কলম কিনল?

ক
ক) 14
খ
খ) 15
গ
গ) 16
ঘ
ঘ) 17

ব্যাখ্যা

মনে করি,
শাহিক 240 টাকায় y টি কলম কিনেছিল।
অতএব, প্রতিটি কলমের দাম 240/y টাকা

সে যদি 240 টাকায় (y + 1) টি কলম পেতো তবে প্রতিটি কলমের দাম পড়তো 240/(y + 1) টাকা

প্রশ্নানুসারে,
240/y - 240/(y + 1) = 1
⇒ (240y + 240 - 240y)/y(y + 1) = 1
⇒ y² + y = 240
⇒ y² + 16y - 15y - 240 = 0
⇒ y(y + 16)-15(y + 16) = 0
⇒ (y + 16)(y - 15) = 0
⇒ y = 15, y + 16 ≠ 0
∴ সে 15 টি কলম কিনেছিল।

৪,৫৩৪.

(3x - 7y, y - 2x) = (- 10, 3) হলে y এর মান কত?

ক
1
খ
2
গ
- 1
ঘ
- 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (3x - 7y, y - 2x) = (- 10, 3) হলে y এর মান কত?

সমাধান:
3x - 7y = - 10 ...... (1)
y - 2x = 3 ...... (2)

(1) নং + (2) নং × 7 ⇒
3x - 7y + 7y - 14x = - 10 + 21
⇒ - 11x = 11
∴ x = - 1

(1) নং থেকে ⇒
y - 2 ⋅ (-1) = 3
⇒ y = 3 - 2
∴ y = 1

৪,৫৩৫.

যদি (x² + 6x + 9) + 6(x + 3) + 9 = 0 হয়, তাহলে x = কত?

ক
3
খ
- 3
গ
- 6
ঘ
0

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি (x² + 6x + 9) + 6(x + 3) + 9 = 0 হয়, তাহলে x = কত?

সমাধান:
(x² + 6x + 9) + 6(x + 3) + 9 = 0
⇒ x² + 6x + 9 + 6x + 18 + 9 = 0
⇒ x² + 12x + 36 = 0
⇒ x² + 2.x.6 + 6² = 0
⇒ (x + 6)² = 0
⇒ x + 6 = 0
∴ x = - 6

৪,৫৩৬.

একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল - 3 ও 9 হলে, সমীকরণটি -

ক
x² + 8x - 27 = 0
খ
x² - 6x + 27 = 0
গ
x² - 6x - 27 = 0
ঘ
x² + 6x - 27 = 0

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল - 3 ও 9 হলে, সমীকরণটি -

সমাধান:
একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল - 3 ও 9 হলে, সমীকরণটি নিম্নরুপ:
x² - (মূলদ্বয়ের যোগফল)x + মূলদ্বয়ের গুণফল = 0
⇒ x² - (- 3 + 9)x + (- 3 × 9) = 0
⇒ x² - 6x - 27 = 0

৪,৫৩৭.

দুটি সংখ্যার অর্ধেকের যোগফল ৪০। তাদের পার্থক্যের এক তৃতীয়াংশ সমান ২৪। ছোট সংখ্যাটি কত?

ক
ক) ৮
খ
খ) ৪
গ
গ) ১২
ঘ
ঘ) ৬

ব্যাখ্যা

মনেকরি
বড় সংখ্যাটি x এবং
ছোট সংখ্যাটি y

১ম শর্তমতে,
(x/2) + (y/2) = 40
(x + y)/2 = 40
x + y = 80 ............... (1)

২য় শর্তমতে
(x - y)/3 = 24
x - y = 72 ..............(2)

(1) নং - (2)নং =>
x + y - x + y = 80 - 72
2y = 8
y = 4

৪,৫৩৮.

2x + (2/x) = 6 হলে, x² + 1/x² এর মান-

ক
9
খ
3
গ
5
ঘ
7

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2x + (2/x) = 6 হলে, x² + 1/x² এর মান-

সমাধান:
দেওয়া আছে
2x+ (2/x) = 6
⇒ 2(x + 1/x) = 6
∴ x + 1/x = 3

প্রদত্ত রাশি = x² + 1/x²
= (x + 1/x)² - 2. x. (1/x)
= (3)² - 2
= 9 - 2
= 7

৪,৫৩৯.

৯, ৩৬, ৮১, ১৪৪, _____ এর পরবর্তী সংখ্যা কত?

ক
ক) ১৬৯
খ
খ) ২২৫
গ
গ) ২৫৬
ঘ
ঘ) ২৭২

ব্যাখ্যা

এখানে
রাশিগুলো ৩^২,৬^২,৯^২,১২^২,১৫^২, .......এভাবে দেওয়া আছে।
৩^২ = ৯
৬^২= ৩৬
৯^২ = ৮১
১২^২ = ১৪৪
১৫^২ = ২২৫

তাহলে খালি ঘরে হবে=১৫^২
=২২৫

৪,৫৪০.

5log2 + log3 এর মান কত?

ক
log 46
খ
log 50
গ
log 68
ঘ
log 96

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5log2 + log3 এর মান কত?

সমাধান:
5log2 + log3
= log2⁵ + log3
= log32 + log3
= log(32 × 3)
= log 96

৪,৫৪১.

6 জন ছাত্র এবং 5 জন ছাত্রী থেকে 2 জন ছাত্র ও 1 জন ছাত্রী নিয়ে কতপ্রকারে একটি কমিটি নির্ণয় করা যায়?

ক
ক) 70
খ
খ) 72
গ
গ) 74
ঘ
ঘ) 75

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 6 জন ছাত্র এবং 5 জন ছাত্রী থেকে 2 জন ছাত্র ও 1 জন ছাত্রী নিয়ে কতপ্রকারে একটি কমিটি নির্ণয় করা যায়?

সমাধান:
6 জন ছাত্র থেকে 2 জন ছাত্র নিয়ে গঠিত কমিটি সংখ্যা =⁶C₂ = (6 × 5)/(1 × 2) = 15আবার,
5 জন ছাত্রী থেকে 1 জন ছাত্রী নিয়ে গঠিত কমিটি সংখ্যা = ⁵C₁ = 5/1 = 5

∴ 6 জন ছাত্র এবং 5 জন ছাত্রী থেকে 2 জন ছাত্র ও 1 জন ছাত্রী নিয়ে গঠিত মোট কমিটি সংখ্যা = (15 × 5)
= 75

৪,৫৪২.

x + y = 6 হলে x²y⁴ এর বৃহত্তম মান কত?

ক
1024
খ
2048
গ
625
ঘ
729

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + y = 6 হলে x²y⁴ এর বৃহত্তম মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 6

তাই,
x এর মান 1 হলে y এর মান 5 হয়।
∴ x²y⁴ = 625

x এর মান 2 হলে y এর মান 4 হয়।
∴ x²y⁴ = 4 × 256 = 1024

x এর মান 3 হলে y এর মান 3 হয়।
∴ x²y⁴ = 9 × 81 = 729

x এর মান 4 হলে y এর মান 2 হয়।
∴ x²y⁴ = 16 × 16 = 256

x এর মান 5 হলে y এর মান 1 হয়।
∴ x²y⁴ = 25 × 1 = 25

সুতরাং x²y⁴ এর বৃহত্তম মান 1024

৪,৫৪৩.

3 + 9 + 27 + 81 +..... এই ধারাটির কততম পদ 243?

ক
8
খ
5
গ
7
ঘ
4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3 + 9 + 27 + 81 +..... এই ধারাটির কততম পদ 243?

সমাধান:
ইহ একটি গুণোত্তর ধারা।
যার ১ম পদ, a = 3
এবং সাধারণ অনুপাত, r = 9/3 = 3

আমরা জানি,
গুণোত্তর অনুক্রমের n তম পদ = ar^{n - 1}

প্রশ্নমতে,
⇒ ar^{n - 1} = 243
⇒ 3^{n - 1} = 243/3
⇒ 3^{n - 1} = 81 = 3⁴
⇒ n - 1 = 4
∴ n = 5
অতএব, ২৪৩ হলো ৫ম পদ।

৪,৫৪৪.

A = {a, b, c, d} এবং B = {c, d, e, f, g} হলে P(A ∪ B) এর উপাদান সংখ্যা কত?

ক
32 টি
খ
64 টি
গ
100 টি
ঘ
128 টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A = {a, b, c, d} এবং B = {c, d, e, f, g} হলে P(A ∪ B) এর উপাদান সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, A = {a, b, c, d} এবং B = {c, d, e, f, g}

A ∪ B = {a, b, c, d} ∪ {c, d, e, f, g} = {a, b, c, d, e, f, g}

A ∪ B সেটের উপাদান সংখ্যা, n = 7 টি।

আমরা জানি,
কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে তার পাওয়ার সেটের (Power Set) উপাদান সংখ্যা হবে 2ⁿ টি।

অতএব,
P(A ∪ B) এর উপাদান সংখ্যা = 2⁷ = 128 টি।

৪,৫৪৫.

1+3+5+ ...... +71 = ?

ক
ক) 1266
খ
খ) 1296
গ
গ) 1298
ঘ
ঘ) 1364

ব্যাখ্যা

প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = (3-1) = 2
সুতরাং, n তম পদ = a+(n-1).d
⇒ 71 = 1+(n-1)2
⇒ 71 = 1+2n-2
⇒ 71 + 1 = 2n
⇒ n = 72/2
∴ n = 36
∴ সমষ্টি S = n/2{2a+(n-1)d}
= 36/2{2×1+(36-1)2}
= 18(2 + 70)
= 18 × 72
= 1296

৪,৫৪৬.

১৫টি পুস্তক থেকে ৭টি কত প্রকারে বাছাই করা যায় যেখানে ২টি পুস্তক সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে?

ক
৬৪৩৫
খ
৩০০৩
গ
১৭১৬
ঘ
১২৮৭

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১৫টি পুস্তক থেকে ৭টি কত প্রকারে বাছাই করা যায় যেখানে ২টি পুস্তক সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে?

সমাধান:
যেহেতু, ২টি পুস্তক সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে সেহেতু পুস্তক বাকি থাকে (১৫ - ২) বা ১৩টি এবং ৭টি থেকে বাছাই করতে হবে (৭ - ২) বা ৫ টি।

∴ ১৩টি পুস্তক থেকে ৫টি পুস্তক বাছাই করার উপায় = ^১৩C_৫ = ১২৮৭

৪,৫৪৭.

5 + 11 + 17 + ……… একটি ধারা। ধারাটির প্রথম 15টি পদের সমষ্টি কত?

ক
ক) 605
খ
খ) 705
গ
গ) 805
ঘ
ঘ) 905

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5 + 11 + 17 + ……… একটি ধারা। ধারাটির প্রথম 15 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধরি, প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অন্তর, d = 11 - 5 = 6
প্রদত্ত ধারাটি একটি সমান্তর ধারা।

আমরা জানি,
n সংখ্যক পদের সমষ্টি, ‍S = (n/2){2a + (n - 1)d}
∴ প্রথম 15 টি পদের সমষ্টি = (15/2){(2 × 5) + (15 - 1) × 6}
= (15/2)(10 + 84)
= (15 × 47)
= 705

৪,৫৪৮.

x² + 5x + 1 = 0 হলে, x³ + 1/x³ এর মান কত?

ক
110
খ
140
গ
- 140
ঘ
- 110

ব্যাখ্যা

x² + 5x + 1 = 0
⇒ x² + 1 = - 5x
⇒ (x² + 1)/x = - 5
⇒ x + 1/x = - 5

এখন, x³ + 1/x³
= (x + 1/x)³ - 3.x.1/x(x + 1/x)
= (- 5)³ - 3 × (- 5)
= - 125 + 15
= - 110

৪,৫৪৯.

a³ - 1, 1 + a³ এবং 1 + a² + a⁴ রাশির ল.সা.গু. কত?

ক
(a³ + 1)(a - 1)
খ
a⁶ - 1
গ
a⁶ + 1
ঘ
a² - 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a³ - 1, 1 + a³ এবং 1 + a² + a⁴ রাশির ল.সা.গু. কত?

সমাধান:
১ম রাশি,
a³ - 1 = (a - 1) (a² + a + 1)

২য় রাশি,
a³ + 1 = (a + 1) (a² - a + 1)

৩য় রাশি,
1 + a² + a⁴
= 1 + 2. 1. a² + (a²)² - a²
= (a² + 1)² - a²
= (a² + a + 1) (a² - a + 1)

∴ নির্ণেয় ল.সা.গু. = (a - 1) (a² + a + 1) (a + 1) (a² - a + 1)
= (a³ + 1) (a³ - 1)
= a⁶ - 1

৪,৫৫০.

নিচের কোনটি গুণোত্তর ধারা নয়?

ক
৪ + ৮ + ১২ + .....
খ
৩ + ৯ + ২৭ + ......
গ
২ + ৪ + ৮ + .......
ঘ
(১/২) + (১/৪) + (১/৮) + ......

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি গুণোত্তর ধারা নয়?

সমাধান:
গুণোত্তর ধারা:
- যে ধারার যেকোনো পদের সাথে তার পূর্ববর্তী পদের অনুপাত সর্বদা সমান হয় অর্থাৎ যেকোনো পদকে তার পূর্ববর্তী পদ দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল সব সময় সমান হয়, সে ধারাকে গুণোত্তর ধারা বলে এবং ভাগফলকে সাধারণ অনুপাত বলে।

যেমন:
২ + ৪ + ৮ + .......
৩, ৯, ২৭, ......
১/২, ১/৪, ১/৮......

৪,৫৫১.

'SUCCESS' শব্দটির অক্ষরগুলোকে কত উপায়ে সাজানো যায়?

ক
৮৪০
খ
৫০৪০
গ
১০২০
ঘ
৪২০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'SUCCESS' শব্দটির অক্ষরগুলোকে কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
'SUCCESS' শব্দটির মোট অক্ষর = ৭টি

এদের মধ্যে:
S অক্ষরটি পুনরাবৃত্ত = ৩টি
C অক্ষরটি পুনরাবৃত্ত = ২টি
∴ নির্ণেয় সাজানোর উপায় = ৭!/(৩! × ২!)
= (৭ × ৬ × ৫ × ৪ × ৩ × ২ × ১)/{(৩ × ২ × ১) × (২ × ১)}
= ৫০৪০/(৬ × ২)
= ৫০৪০/১২
= ৪২০

∴ 'SUCCESS' শব্দটির অক্ষরগুলোকে ৪২০ উপায়ে সাজানো যায়।

৪,৫৫২.

x² - 5x + c = 0 সমীকরণের একটি মূল যদি 2 হয়, তাহলে c এর মান কত?

ক
4
খ
5
গ
6
ঘ
8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² - 5x + c = 0 সমীকরণের একটি মূল যদি 2 হয়, তাহলে c এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
একটি মূল = 2
অর্থাৎ, x = 2

এখন,
x² - 5x + c = 0
⇒ (2)² - 5 × 2 + c = 0
⇒ 4 - 10 + c = 0
⇒ - 6 + c = 0
∴ c = 6

৪,৫৫৩.

এর মান কত?

ক
2
খ
3
গ
6
ঘ
1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: এর মান কত?

সমাধান:
log_a√(a³) × 4
= log_a(a³)^1/2 × 4
= log_aa^3/2 × 4
= (3/2)log_aa × 4
= (3/2) × 4
= 3 × 2
= 6

৪,৫৫৪.

ক
2
খ
4
গ
0
ঘ
√4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৪,৫৫৫.

1-1+1-1+...... এর ধারাটির (2n+1) পদের সমষ্টি হবে?

ক
ক) -1
খ
খ) 1
গ
গ) 0
ঘ
ঘ) 2

ব্যাখ্যা

ধারাটির জোড় সংখ্যক পদের যোগফল = ০ এবং বেজোড় সংখ্যক পদের যোগফল = ১ (2n+1) একটি বেজোড় সংখ্যা হওয়ায় এর যোগফল হবে = ১।

৪,৫৫৬.

2^{2a + 1} = 256 হলে, a এর মান কত?

ক
5/2
খ
7/2
গ
4/3
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2^{2a + 1} = 256 হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
2^{2a + 1} = 256
⇒ 2^{2a + 1} = 2⁸
⇒ 2a + 1 = 8
⇒ 2a = 8 - 1
⇒ 2a = 7
⇒ a = 7/2

৪,৫৫৭.

{(a²b^-1)/(a^-2b)}² এর মান কত?

ক
1
খ
a²
গ
a⁸/b²
ঘ
a⁸/b⁴

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: {(a²b^-1)/(a^-2b)}² এর মান কত?

সমাধান:
{(a²b^-1)/(a^-2b)}²
= {(a²/b)/(b/a²)}²
= {(a²/b) × (a²/b)}²
= (a⁴/b²)²
= a⁸/b⁴

৪,৫৫৮.

N-1 থেকে শুরু করে তিনটি ক্রমিক সংখ্যার গড় কত?

ক
ক) 3n
খ
খ) n
গ
গ) 3(n-1)
ঘ
ঘ) n-1

ব্যাখ্যা

n-1 থেকে শুরু করে তিনটি ক্রমিক সংখ্যা = n-1, n, n+1
∴ গড় = ((n-1) + n +n (n+1))/3 - n

৪,৫৫৯.

রাকিব 240 টাকায় একই রকম কতগুলো কলম কিনে দেখল যে, যদি সে একটি কলম বেশি পেত তাহলে প্রতিটি কলমের মূল্য 1 টাকা কম পরতো। সে কতগুলো কলম কিনেছিল?

ক
13
খ
14
গ
15
ঘ
16

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: রাকিব 240 টাকায় একই রকম কতগুলো কলম কিনে দেখল যে, যদি সে একটি কলম বেশি পেত তাহলে প্রতিটি কলমের মূল্য 1 টাকা কম পরতো। সে কতগুলো কলম কিনেছিল?

সমাধান:
ধরি,
রাকিব কলম কিনেছিল x টি
প্রতিটি কলমের মূল্য= 240/x টাকা

1 কলম বেশি পেলে কলমের সংখ্যা হত = x + 1 টি
তখন প্রতিটি কলমের মূল্য হত = 240/(x + 1)

শর্তানুসারে,
240/x - 240/(x + 1) = 1
⇒ 240x + 240 - 240x = x² + x
⇒ x² + x - 240 = 0

সমাধান করে পাই,
x= - 16,15
কিন্তু, x= - 16 গ্রহণযোগ্য নয়
x = 15

৪,৫৬০.

2a + 7 > 11 অসমতাটির সমাধান সেট কোনটি?

ক
S = {a ∈ R: a > 4}
খ
S = {a ∈ R: a < 4}
গ
S = {a ∈ R: a < 2}
ঘ
S = {a ∈ R: a > 2}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2a + 7 > 11 অসমতাটির সমাধান সেট কোনটি?

সমাধান:
2a + 7 > 11
⇒ 2a + 7 - 7 > 11 - 7
⇒ 2a > 4
⇒ 2a/2 > 4/2
⇒ a > 2
∴ নির্ণেয় সমাধান: a > 2

এবং সমাধান সেট, S = {a ∈ R: a > 2}

৪,৫৬১.

x² - 11x + 30 < 0 অসমতাটির সমাধান কত?

ক
ক) 6 < x < 7
খ
খ) 4 < x < 5
গ
গ) 4 < x < 6
ঘ
ঘ) 5 < x < 6

ব্যাখ্যা

x² - 11x + 30 < 0
বা, (x - 5)(x - 6) < 0

অসমতাটি সত্য হবে যদি x - 5 > 0 এবং x - 6 < 0 হয়।
x - 5 > 0
বা, x > 5
x - 6 < 0
বা, x < 6
x > 5 এবং x <6 অর্থাৎ x এর মান 5 এর চেয়ে বড় এবং 6এর চেয়ে ছোট হবে।

অসমতাটি সত্য হবে যদি 5 < x < 6 হয়।
অসমতাটির সমাধানঃ 5 < x < 6

আবার,
অসমতাটি সত্য হবে যদি x - 5 < 0 এবং x - 6 > 0 হয়।
x - 5 < 0
বা, x < 5
x - 6 > 0
বা, x > 6
x < 5 এবং x > 6 অর্থাৎ 5 এর চেয়ে ছোট এবং 6 এর চেয়ে বড় এমন সংখ্যা পাওয়া অসম্ভব।

সুতরাং অসমতাটির সমাধানঃ 5 < x < 6

৪,৫৬২.

চাকুরির নিয়োগ পরীক্ষায় 2টি খালি পদের জন্য 11 জন প্রার্থী আছেন। খালি পদের সংখ্যা বেশি নয় এরুপ যে কোনো সংখ্যক প্রার্থীকে নির্বাচিত করা যেতে পারে। কত প্রকারে প্রার্থী নির্বাচন করা যায়?

ক
ক) 44
খ
খ) 66
গ
গ) 56
ঘ
ঘ) কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: চাকুরির নিয়োগ পরীক্ষায় 2টি খালি পদের জন্য 11 জন প্রার্থী আছেন। খালি পদের সংখ্যা বেশি নয় এরুপ যে কোনো সংখ্যক প্রার্থীকে নির্বাচিত করা যেতে পারে। কত প্রকারে প্রার্থী নির্বাচন করা যায়?

সমাধান:
2টি খালি পদের জন্য প্রার্থী সংখ্যা 11 জন
1 জনকে নির্বাচনের উপায় = ¹¹C₁ = 11
2 জনকে নির্বাচনের উপায় = ¹¹C₂ = 55

∴ নির্বাচনের মোট উপায় = 11 + 55
= 66

৪,৫৬৩.

729 এর 3 ভিত্তিক লগারিদম কত?

ক
9
খ
5
গ
6
ঘ
8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 729 এর 3 ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান:
729 এর 3 ভিত্তিক লগারিদম = log₃729
= log₃3⁶
= 6log₃3
= 6

৪,৫৬৪.

x + (2/x) = 3 হলে, x³ + (8/x³) এর মান কত?

ক
1
খ
8
গ
9
ঘ
16

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + (2/x) = 3 হলে, x³ + (8/x³) এর মান কত?

সমাধান:
x³ + (8/x³)
= x³ + (2/x)³
= {x + (2/x)}³ - 3.x.(2/x).{x + (2/x)}
= 3³ - 3 × 2 × 3
= 27 - 18
= 9

৪,৫৬৫.

একটি বক্সে ১০টি লাল ও ১৫ টি নীল মার্বেল আছে। ২টি মার্বেল তোলা হলে একই রংয়ের হওয়ার সম্ভবনা কত?

ক
১/২
খ
১/৩
গ
১/৪
ঘ
২/৩

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বক্সে ১০টি লাল ও ১৫ টি নীল মার্বেল আছে। ২টি মার্বেল তোলা হলে একই রংয়ের হওয়ার সম্ভবনা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
লাল মার্বেল = ১০টি
নীল মার্বেল = ১৫টি
∴ মোট মার্বেল = (১০ + ১৫) টি
= ২৫ টি

এখন,
২টি লাল মার্বেল হওয়ার সম্ভাবনা = (১০/২৫) × (৯/২৪)
= ৩/২০
আবার,
২টি নীল মার্বেল হওয়ার সম্ভাবনা = (১৫/২৫) × (১৪/২৪)
= ৭/২০

∴ একই রংয়ের হওয়ার মোট সম্ভাবনা = (৩/২০) + (৭/২০)
= ১০/২০
= ১/২।

৪,৫৬৬.

কামাল ঢাকা থেকে রাজশাহী ৫ উপায়ে যেতে পারে এবং রাজশাহী থেকে রংপুর ৩ উপায়ে যেতে পারে। সে ঢাকা থেকে রংপুর কত উপায়ে যেতে পারবে?

ক
ক) ৮
খ
খ) ১৫
গ
গ) ৩^৫
ঘ
ঘ) ৫^৩

ব্যাখ্যা

কামাল ঢাকা থেকে রাজশাহী ৫ উপায়ে যেতে পারে
অর্থাৎ ঢাকা থেকে রাজশাহী যাওয়ার পথ বা যানবাহন ৫ টি

রাজশাহী থেকে রংপুর ৩ উপায়ে যেতে পারে।
অর্থাৎ রাজশাহী থেকে রংপুর যাওয়ার পথ বা যানবাহন ৩ টি

মোট উপায় = ৩ × ৫ = ১৫

৪,৫৬৭.

P এর মান কত হলে 4x² - px + 9 একটি পূর্ণবর্গ হবে?

ক
24
খ
15
গ
12
ঘ
18

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: P এর মান কত হলে 4x² - px + 9 একটি পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
4x² - px + 9
= (2x)² - px + 32
= (2x)² - 2 × 2x × 3 + 32 [ ধরি, p = 2 × 2 × 3 = 12]
= (2x - 3)², যা একটি পূর্ণবর্গ রাশি।

∴ p এর মান 12 হলে 4x² - px + 9 একটি পূর্ণবর্গ হবে।

৪,৫৬৮.

2a² - 5a + 6 + a³ বহুপদীর মুখ্যপদের সহগ কত?

ক
ক) - 1
খ
খ) 0
গ
গ) 1
ঘ
ঘ) 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2a² - 5a + 6 + a³ বহুপদীর মুখ্যপদের সহগ কত?

সমাধান:
বহুপদীর যে পদের চলকের মাত্রা সবচেয়ে বেশি সেই পদটি মুখ্য পদ।
মুখ্য পদের সহগই হচ্ছে মুখ্য সহগ।
2a² - 5a + 6 + a³ বহুপদীর মুখ্য পদ a³, যার সহগ 1

∴ প্রদত্ত বহুপদীর মুখ্য সহগ = 1

৪,৫৬৯.

p² + 2pq - 2qr - r² এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

ক
(p - r)(p + r + 2q)
খ
(p + r)(p + r + 2q)
গ
(p + r)(p - r - 2q)
ঘ
(p + r)(p + 2qr)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: p² + 2pq - 2qr - r² এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
p² + 2pq - 2qr - r²
= p² - r²+ 2pq - 2qr
= (p + r)(p - r) + 2q(p - r)
= (p - r)(p + r + 2q)

৪,৫৭০.

x²- 15x + 54 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে হবে-

ক
ক) (x + 9) (x - 6)
খ
খ) (x - 9) (x + 6)
গ
গ) (x + 9) (x + 6)
ঘ
ঘ) (x - 9) (x - 6)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x²- 15x + 54 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে হবে-

সমাধান:
x² - 15x + 54
= x² - 9x - 6x + 54
= x(x - 9) - 6(x - 9)
= (x - 9) (x - 6)

৪,৫৭১.

log₃(1/81) = কত?

ক
- 4
খ
- 1
গ
2
ঘ
- 5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₃(1/81) = কত?

সমাধান:
log₃(1/81)
= log₃(1/3⁴)
= log₃3^{- 4} [∵ 1/a⁴ = a^{- 4}]
= - 4 × log₃3
= - 4 × 1 [∵ log_aa = 1]
= - 4

৪,৫৭২.

Complete the following series: 9, 11, 15, 23, 39, ?

ক
ক) 64
খ
খ) 42
গ
গ) 56
ঘ
ঘ) 71
ঙ
ঙ) 60

ব্যাখ্যা

9+2 = 11
11+4 = 15
15+8 = 23
23+16 = 39
39+32 = 71
⇒ ? = 71

৪,৫৭৩.

|x - 2| < 3 হলে, p এবং q এর কোন মানের জন্য p < 3x + 5 < q হবে?

ক
ক) p = 5, q = 40
খ
খ) p = 3, q = 30
গ
গ) p = 2, q = 20
ঘ
ঘ) p = 2, q = 10

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |x - 2| < 3 হলে, p এবং q এর কোন মানের জন্য p < 3x + 5 < q হবে?

সমাধান:
|x - 2| < 3
বা, - 3 < x - 2 < 3
বা, - 3 + 2 < x - 2 + 2 < 3 + 2
বা, - 1 < x < 5
বা, - 3 < 3x < 15
বা, - 3 + 5 < 3x + 5 < 15 + 5
∴ 2 < 3x + 5 < 20

যেখানে, p < 3x + 5 < q
∴ p = 2 এবং q = 20

৪,৫৭৪.

x² - y² + 6y - 9 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

ক
x + y + 3
খ
x + y - 6
গ
x - y - 3
ঘ
x + y - 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² - y² + 6y - 9 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
x² - y² + 6y - 9
= x² - (y² - 6y + 9)
= x² - {(y)² - 2 .y . 3 + 3²}
= x² - (y - 3)²
= {x + (y - 3)}{x - (y - 3)}
= (x + y - 3)(x - y + 3)

৪,৫৭৫.

6 - x - 9/x = 0 হলে x² ÷ (x² - x - 3) এর মান -

ক
ক) 0
খ
খ) 1
গ
গ) 2
ঘ
ঘ) 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 6 - x - 9/x = 0 হলে x²÷ (x² - x - 3) এর মান -

সমাধান:
6 - x - 9/x = 0
6 = x + 9/x
(x² + 9)/x = 6
x² + 9 = 6x
x²- 6x + 9 = 0
x² - 2.x.3 + 3² = 0
(x - 3)² = 0
x - 3 = 0
x = 3

x² ÷ (x² - x - 3) = 3² ÷ (3² - 3 - 3)
= 9 ÷ (9 - 6)
= 9 ÷ 3
= 3

৪,৫৭৬.

a + b = 1 এবং ab = - 20 হলে, a³ + b³ এর মান কত?

ক
44
খ
34
গ
59
ঘ
61

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a + b = 1 এবং ab = - 20 হলে, a³ + b³ এর মান কত?

সমাধান:
a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)
= 1³ - 3 ⋅ (- 20) ⋅ 1
= 1 + 60
= 61

৪,৫৭৭.

P = {2, q} হলে, P(P) কোনটি হবে?

ক
{{2, q}, {2}, {q}, ∅}
খ
{ }
গ
{{2}, {q}}
ঘ
{{2}, {q}, {2, q}}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: P = {2, q} হলে, P(P) কোনটি হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P = {2, q}

∴ P(P) = {{2, q}, {2}, {q}, ∅}

উল্লেখ্য যে,
n উপাদানবিশিষ্ট একটি প্রদত্ত সেটের উপসেটের সংখ্যা = 2ⁿ ।

৪,৫৭৮.

a²+ 3a, a³- 9a এবং a³ + 2a² - 3a এর গ. সা.গু = ?

ক
a(a + 3)
খ
a(a - 3)
গ
(a + 3)
ঘ
(a - 3)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a²+ 3a, a³- 9a এবং a³ + 2a² - 3a এর গ. সা.গু = ?

সমাধান:
১ম রাশি =a² + 3a
= a(a + 3)
২য় রাশি = a³ - 9a
= a(a² - 9)
= a{a²- 3²}
=a(a + 3)(a - 3)

৩য় রাশি = a³ + 2a² - 3a
= a(a² + 2a - 3)
= a(a² + 3a - a - 3)
= a{a(a + 3) - 1(a + 3)}
=a(a + 3)(a - 1)

নির্ণেয় গ.সা.গু = a(a + 3)

৪,৫৭৯.

একটি ব্যাগে 2টি লাল গোলাপ, 4টি হলুদ গোলাপ এবং 6টি গোলাপী গোলাপ রয়েছে। দুটি গোলাপ দৈবভাবে তোলা হলে, একই রঙের না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
3/5
খ
2/3
গ
4/7
ঘ
3/8

ব্যাখ্যা

1 - ( 2/12 ×1/11 + 4/12 ×3/11 + 6/12 × 5/11)
⇒ 1- (1/66 + 1/11 + 5/22 )
⇒ 1 - { (1 + 6 + 15)/66 }
⇒ 1 - 22/66
⇒ 1 -1/3
⇒ (3-1) / 3
∴ 2/3

৪,৫৮০.

যদি a + b = 9 এবং a²+ b² = 53 হয়, তবে a³ + b³ এর মান কত?

ক
429
খ
333
গ
351
ঘ
378

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি a + b = 9 এবং a² + b² = 53 হয়, তবে a³ + b³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 9
a² + b² = 53

আমরা জানি,
(a + b)² = a² + b² + 2ab
বা, 81 = 53 + 2ab
বা, 2ab = 28
∴ ab = 14

আমরা জানি,
a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)
= 9³ - 3 × 14 × 9
= 729 - 378
= 351

৪,৫৮১.

A = {x : x, বিজোড় মৌলিক সংখ্যা এবং x ≤ 7} এবং B = {1, 4, 5} হলে A ∪ B এর মান কত?

ক
ক) {1, 2, 3, 4, 5, 7}
খ
খ) {5}
গ
গ) {1, 3, 4, 5, 7}
ঘ
ঘ) {1, 3, 4, 5}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A = {x : x, বিজোড় মৌলিক সংখ্যা এবং x ≤ 7} এবং B = {1, 4, 5} হলে A ∪ B এর মান কত?

সমাধান:
A = {x : x, বিজোড় মৌলিক সংখ্যা এবং x ≤ 7}
A = {3, 5, 7}
B = {1, 4, 5}

A ∪ B = {3, 5, 7} ∪ {1, 4, 5}
= {1, 3, 4, 5, 7}

৪,৫৮২.

2 - 5 - 12 - 19 - .......... ধারাটির 12তম পদ ও সাধারণ অন্তরের সমষ্টি কত?

ক
- 75
খ
- 86
গ
- 68
ঘ
- 82

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2 - 5 - 12 - 19 - .......... ধারাটির 12তম পদ ও সাধারণ অন্তরের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধারাটির ১ম পদ, a = 2
সাধারণ অন্তর, d = - 5 - 2 = - 7

ধারাটির 12 তম পদ = a + (12 - 1)d
= 2 + 11(- 7)
= 2 - 77
= - 75

∴ 12তম পদ ও সাধারণ অন্তরের সমষ্টি = - 75 + (- 7) = - 82

৪,৫৮৩.

log_a(1/243) = - 5 হলে, a এর মান কত?

ক
3
খ
6
গ
9
ঘ
1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_a(1/243) = - 5 হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
log_a(1/243) = - 5
⇒ a^{- 5} = 1/243
⇒ 1/a⁵ = 1/243
⇒ a⁵ = 243
⇒ a⁵ = 3⁵
∴ a = 3

৪,৫৮৪.

নিচের কোনটি ডিমরগানের সূত্র-

ক
ক) A ∪ B = A ∩ B
খ
খ) (A ∪ B)' = A' ∪ B'
গ
গ) (A ∩ B)' = A' ∪ B'
ঘ
ঘ) A' ∪ B' = A' ∩ B'

ব্যাখ্যা

ডিমরগানের সূত্রানুসারে (A ∩ B)' = A' ∪ B' এবং A' ∪ B' = A' ∩ B'

৪,৫৮৫.

9x²+ 16y² এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

ক
12xy
খ
24xy
গ
36xy
ঘ
48xy

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 9x²+ 16y² এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

সমাধান:
9x² + 16y²= (3x)² + (4y)² + 2. 3x. 4y - 24xy
= (2x + 3y)²- 24xy

∴ 9x² + 16y² এর সাথে 24xy যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

৪,৫৮৬.

যদি a - (1/a) = 2 হয়, তবে a⁴ + (1/a⁴) এর মান কত?

ক
ক) 36
খ
খ) 32
গ
গ) 34
ঘ
ঘ) 40

ব্যাখ্যা

a - (1/a) = 2
∴ a + (1/a) = √[{(a - (1/a)}² + 4.a.(1/a)}]
= √{(2)² + 4}
= √8
= 2√2
∴ a⁴ + (1/a⁴) = (a²)² + (1/a²)²
= {a² + (1/a²)}² - 2.a².(1/a²)
= {a² + (1/a²)}² - 2
= {(a + 1/a)² - 2.a.(1/a)}² - 2
= {(2√2)² - 2}² - 2
= 36 - 2
= 34

৪,৫৮৭.

x/2 + y/3 = 1, x/3 + y/2 = 1 এর সমাধান কোনটি?

ক
ক) (6/5, 6/5)
খ
খ) (6/5, - 6/5)
গ
গ) (- 6/5, 6/5)
ঘ
ঘ) (- 6/5, - 6/5)

ব্যাখ্যা

x/2 + y/3 = 1 ⇒ x/6 + y/9 = 1/3
x/3 + y/2 = 1 ⇒ x/6 + y/4 = 1/2
y/4 - y/9 = 1/2 - 1/3
⇒ 5y/36 = 1/6
∴ y = 6/5
এখন, x/2 + (6/5)/3 = 1
⇒ x/2 =1 - 2/5 = 3/5
∴ x = 6/5

৪,৫৮৮.

x + 5y = 16 এবং x = -3y হলে, y-এর মান কত?

ক
ক) 24
খ
খ) -2
গ
গ) 8
ঘ
ঘ) 2

ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে, x + 5y = 16 এবং x = -3y হলে
বা, - 3y + 5y = 16
বা, 2y = 16
বা, y = 8

৪,৫৮৯.

f(x) = 12x² - 38x + 20 একটি x এর ফাংশন। x এর কোন মানের জন্য f(x) = 0 হবে?

ক
ক) 1/3
খ
খ) 1/2
গ
গ) 3/2
ঘ
ঘ) 5/2

ব্যাখ্যা

12x² - 38x + 20
= 2(6x² - 19x + 10)
= 2(6x² - 15x - 4x + 10)
= 2{3x(2x - 5) - 2(2x - 5)}
= 2(2x - 5)(3x - 2)

যেহেতু f(x) = 0
সুতরাং 2(2x - 5)(3x - 2) = 0
⇒ 2x - 5 = 0 অথবা 3x - 2 = 0
∴ x = 5/2 ∴ x = 2/3

৪,৫৯০.

2x³ + x² - 8x - 7 রাশিটির একটি উৎপাদক -

ক
x - 1
খ
x + 1
গ
x + 2
ঘ
x - 2

ব্যাখ্যা

প্র্রশ্ন: 2x³ + x² - 8x - 7 রাশিটির একটি উৎপাদক -

সমাধান:
ধরি,
f(x) = 2x³ + x² - 8x - 7
∴ f(- 1) = 2 . (- 1)³ + (- 1)² - 8. (- 1) - 7
= - 2 + 1 + 8 - 7
= 0
x = - 1 হলে রাশিটির মান শূন্য হয়।
∴ (x + 1), f(x) এর একটি উৎপাদক।

এখন,
2x³ + x² - 8x - 7
= 2x³ + 2x² - x² - x - 7x - 7
= 2x²(x + 1) - x(x + 1) - 7(x + 1)
= (x + 1)(2x² - x - 7)

৪,৫৯১.

a + b = 5, a - b = 3 এবং 2a² + 2b² এর মান কত?

ক
29
খ
34
গ
42
ঘ
64

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a + b = 5, a - b = 3 এবং 2a² + 2b² এর মান কত?

সমাধান:
2a² + 2b² = 2(a²+ b²)
= (a + b)² + (a - b)²
= 5² + 3²
= 25 + 9
= 34

৪,৫৯২.

4^x × 5²⁰ = (2 × 5)²⁰ হলে, x এর মান কত?

ক
15
খ
8
গ
12
ঘ
10

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4^x × 5²⁰ = (2 × 5)²⁰ হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
4^x × 5²⁰ = (2 × 5)²⁰
⇒ 2^2x × 5²⁰ = 2²⁰ × 5²⁰
⇒ 2^2x = 2²⁰
⇒ 2x = 20
⇒ x = 20/2
∴ x = 10

৪,৫৯৩.

চারটি নিরপেক্ষ মুদ্রা একত্রে নিক্ষেপ করা হলে তিনটি টেল ও একটি হেড পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
1/6
খ
2/7
গ
3/16
ঘ
1/4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: চারটি নিরপেক্ষ মুদ্রা একত্রে নিক্ষেপ করা হলে তিনটি টেল ও একটি হেড পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
চারটি নিরপেক্ষ মুদ্রা একবার নিক্ষেপ করলে মোট নমুনা বিন্দু হবে = {HHHH, HHHT, HHTH, HHTT, HTHH, HTHT, HTTH, HTTT, THHH, THHT, THTH, THTT, TTHH, TTHT, TTTH, TTTT}
= 16 টি

তিনটি টেল ও একটি হেড পাওয়ার অনুকূল ঘটনাগুলো = {HTTT, THTT, TTHT, TTTH}
= 4 টি।

∴ তিনটি টেল ও একটি হেড পাওয়ার সম্ভাবনা = 4/16 = 1/4

৪,৫৯৪.

log₅(x² - 4x) = 1 হলে, x = ?

ক
ক) 2
খ
খ) 3
গ
গ) 4
ঘ
ঘ) 5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log ₅ (x² - 4x) = 1 হলে, x = ?

সমাধান:
log ₅ ( x² - 4x) = 1
⇒ x² - 4x = 5¹
⇒ ( x² - 4x) = 5
⇒ x² - 4x -5 = 0
⇒ x² - 5x + x -5 = 0
⇒ x( x - 5) + 1 (x - 5) = 0
⇒ (x - 5) (x + 1) = 0
⇒ x = 5 অথবা x = -1

৪,৫৯৫.

a⁴ + a²b² + b⁴ = 3, a² + ab + b² =3 হলে, a² - ab + b² =?

ক
ক) 9
খ
খ) - 1
গ
গ) 1
ঘ
ঘ) 1/3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a⁴ + a²b² + b⁴ = 3, a² + ab + b² =3 হলে, a² - ab + b² =?

সমাধান:
a⁴ + a²b² + b⁴ = 3
⇒ (a²)² + a²b² + (b²)² = 3
⇒ (a²)² + 2a²b² + (b²)² - a²b² = 3
⇒ (a² + b²)² - (ab)² = 3
⇒ (a² +ab + b²) (a² - ab + b²) = 3
⇒ 3(a² - ab + b²) = 3
∴ a² - ab + b² = 1

৪,৫৯৬.

(x - 1)² - 25 এর উৎপাদক কত?

ক
(x - 4)(x + 6)
খ
(x + 4)(x - 6)
গ
(x + 24)(x - 24)
ঘ
(x - 24)(x + 26)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (x - 1)² - 25 এর উৎপাদক কত?

সমাধান:
(x - 1)² - 25
= (x - 1)² - 5²
= (x - 1 + 5)(x - 1 - 5)
= (x + 4)(x - 6)

৪,৫৯৭.

একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের অন্তর ৪; লব থেকে ২ বিয়োগ ও হরের সাথে ২ যোগ করলে যে ভগ্নাংশ পাওয়া যাবে তা ১/৩ এর সমান। ভগ্নাংশটি কত?

ক
৩/১০
খ
১/১০
গ
৭/১০
ঘ
৬/১০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের অন্তর ৪; লব থেকে ২ বিয়োগ ও হরের সাথে ২ যোগ করলে যে ভগ্নাংশ পাওয়া যাবে তা ১/৩ এর সমান। ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
ধরি, লব ক
হর ক + ৪

প্রশ্নমতে,
(ক - ২)/(ক + ৪ + ২) = ১/৩
⇒ (ক - ২)/(ক + ৬) = ১/৩
⇒ ৩(ক - ২) = ক + ৬
⇒ ৩ক - ৬ = ক + ৬
⇒ ২ক = ১২
∴ ক = ৬

লব ৬
হর = ৬ + ৪
= ১০
ভগ্নাংশটি ৬/১০

৪,৫৯৮.

log₁₀ (0.00001) এর মান কত?

ক
3
খ
- 4
গ
- 5
ঘ
4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₁₀ (0.00001) এর মান কত?

সমাধান:
log₁₀ (0.00001)
= log₁₀(1/100000)
= log₁₀ (10^{- 5})
= - 5 log₁₀10
= - 5 × 1
= - 5

৪,৫৯৯.

5^x + 8.5^x + 16.5^x = 1 হলে x এর মান কত?

ক
- 1
খ
3
গ
- 2
ঘ
- (1/2)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5^x + 8.5^x + 16.5^x = 1 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
5^x + 8.5^x + 16.5^x = 1
⇒ 5^x(1 + 8 + 16) = 1
⇒ 5^x. 25 = 1
⇒ 5^x.5² = 1
⇒ 5^{x + 2} = 50
⇒ x + 2 = 0
∴ x = - 2

৪,৬০০.

1 + 2 + 3 +.....................+ 75 = কত?

ক
2650
খ
2850
গ
2775
ঘ
2575

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 + 2 + 3 +.....................+ 75 = কত?

সমাধান:
1 + 2 + 3 +.....................+ 75
এখানে,
ধারাটির প্রথম পদ = 1
ধারাটির শেষ পদ = 75 এবং
পদসংখ্যা = 75

∴ নির্ণেয় সমষ্টি = {(শেষ পদ + প্রথম পদ) × পদসংখ্যা}/2
= {(75 + 1) × 75}/2
= (76 × 75)/2
= 38 × 75
= 2850