বীজগণিত

PrepBank · পাতা ৪৩ / ২০১ · ৪,২০১–৪,৩০০ / ২০,২০৭

৪,২০১.

নিচের কোনটি : a² + 6a + 8 - y² + 2y এর একটি উৎপাদক?

ক
(a - y + 2)
খ
(a + y - 2)
গ
(a + y + 4)
ঘ
(a - y + 4)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি : a² + 6a + 8 - y² + 2y এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
a² + 6a + 8 - y² + 2y
= a² +2.a.3 + (3)² - y² + 2.y.1 - (1)²
= (a + 3)² - (y - 1)²
= {(a + 3) + (y - 1)}{(a + 3) - (y - 1)}
= (a + 3 + y - 1)(a + 3 - y + 1)
= (a + y + 2)(a - y + 4)

৪,২০২.

1 + 2 + 3 + ....... + 105 = কত?

ক
ক) 5555
খ
খ) 5655
গ
গ) 5505
ঘ
ঘ) 5565

ব্যাখ্যা

n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = n(n + 1)/2
∴ 105টি স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = 105(105 + 1)/2
= (105 × 106)/2
= 5565

৪,২০৩.

শোভনের মাসিক বেতন জামালের মাসিক বেতনের চেয়ে ৪০০০ টাকা বেশি। তাদের দুজনের বার্ষিক বেতনের যোগফল ৫,২৮,০০০ টাকা হলে জামালের মাসিক বেতন কত টাকা?

ক
১২০০০ টাকা
খ
২০০০০ টাকা
গ
১৯০০০ টাকা
ঘ
১৫৫০০ টাকা
ঙ
কোনোটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: শোভনের মাসিক বেতন জামালের মাসিক বেতনের চেয়ে ৪০০০ টাকা বেশি। তাদের দুজনের বার্ষিক বেতনের যোগফল ৫,২৮,০০০ টাকা হলে জামালের মাসিক বেতন কত টাকা?

সমাধান:
ধরি,
জামালের মাসিক বেতন = ক টাকা
শোভনের মাসিক বেতন = ক + ৪০০০

প্রশ্নমতে
১২ক + ১২(ক + ৪০০০) = ৫২৮০০০
১২ক + ১২ক + ৪৮০০০ = ৫২৮০০০
২৪ক + ৪৮০০০ = ৫২৮০০০
২৪ক = ৫২৮০০০ - ৪৮০০০
২৪ক = ৪৮০০০০
ক = ৪৮০০০০/২৪
ক = ২০০০০

জামালের মাসিক বেতন = ২০০০০ টাকা

৪,২০৪.

128 + 64 + 32 +..........ধারাটির সাধারণ পদ কত?

ক
2^{6 - n}
খ
1/2^{5 - n}
গ
1/2⁹
ঘ
2^{8 - n}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 128 + 64 + 32 +..........ধারাটির সাধারণ পদ কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ, a = 128
সাধারণ অনুপাত, r = 64/128 = 1/2

∴ সাধারণ পদ = ar^{n - 1}
= 128 × (1/2)^{n - 1}
= (128 × 1)/2^{n - 1}
= 128/2^{n - 1}
= 2⁷/2^{n - 1}
= 2^{7 - n + 1}
= 2^{8 - n}

৪,২০৫.

50 জন লোকের মধ্যে 35 জন ইংরেজি, 25 জন বাংলায় এবং প্রত্যেকেই দুইটি ভাষার অন্তত একটি ভাষায় কথা বলতে পারে। কতজন উভয় ভাষায় কথা বলতে পারে?

ক
10 জন
খ
15 জন
গ
25 জন
ঘ
30 জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 50 জন লোকের মধ্যে 35 জন ইংরেজি, 25 জন বাংলায় এবং প্রত্যেকেই দুইটি ভাষার অন্তত একটি ভাষায় কথা বলতে পারে। কতজন উভয় ভাষায় কথা বলতে পারে?

সমাধান:
মনে করি,
মোট লোক , n(E U B) = 50 জন
ইংরেজি ভাষায় কথা বলে, n(E) = 35 জন
বাংলা ভাষায় কথা বলে, n(B) = 25 জন
উভয় ভাষায় কথা বলে, n(E ∩ B) = ?

আমরা জানি,
n(E U B) = n(E) + n(B) - n(E ∩ B)
⇒ n(E ∩ B) = n(E) + n(B) - n(E U B)
= 35 + 25 - 50
= 60 - 50
= 10 জন

৪,২০৬.

400 এর কত ভিত্তিক লগ 4 এর সমান?

ক
√3
খ
√5
গ
2√5
ঘ
3√5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 400 এর কত ভিত্তিক লগ 4 এর সমান?

সমাধান:
ধরি,
ভিত্তি = a

প্রশ্নমতে,
log_a400 = 4
বা, a⁴ = 400
বা, a⁴ = (20)²
বা, a⁴ = (4 × 5)²
বা, a⁴ = 2⁴ (√5)⁴
বা, a⁴ = (2√5)⁴
∴ a = 2√5

∴ ভিত্তি = 2√5 ।

৪,২০৭.

¹²P_r = 1320 হলে r এর মান কত?

ক
3
খ
2
গ
5
ঘ
4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ¹²P_r = 1320 হলে r এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
¹²P_r = 1320
⇒ 12!/(12 - r)! = 10 × 11 × 12
⇒ (12 - r)! × 10 × 11 × 12 = 12!
⇒ (12 - r)! = (12 × 11 × 10 × 9!)/(10 × 11 × 12)
⇒ (12 - r)! = 9!
⇒ (12 - r) = 9
⇒ r = 12 - 9
∴ r = 3

৪,২০৮.

A = {x : x ∈ N, x² < 36} সেটটির শক্তি সেটের সদস্য সংখ্যা কত?

ক
4
খ
5
গ
16
ঘ
32

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A = {x : x ∈ N, x² < 36} সেটটির শক্তি সেটের সদস্য সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {x : x ∈ N, x² < 36}
∴ A = {1, 2, 3, 4, 5}

এখন,
A সেটের শক্তি সেট = P(A)
P(A) এর উপাদান সংখ্যা = 2ⁿ [ যেখানে, n হলো A সেটের সদস্য সংখ্যা]
= 2⁵
= 32

৪,২০৯.

ARRANGE শব্দটির অক্ষরগুলো নিয়ে গঠিত বিন্যাস সংখ্যা কত?

ক
1840
খ
1050
গ
720
ঘ
1260

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ARRANGE শব্দটির অক্ষরগুলো নিয়ে গঠিত বিন্যাস সংখ্যা কত?

সমাধান:
ARRANGE শব্দটিতে 7টি অক্ষর রয়েছে, যার মধ্যে দুইটি A, দুইটি R এবং বাকি অক্ষরগুলো ভিন্ন ভিন্ন।

নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা = 7!/2!2!
= 1260

৪,২১০.

16 × 16 = 4^x হলে, x এর মান কত?

ক
ক) 2
খ
খ) 3
গ
গ) 4
ঘ
ঘ) 5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 16 × 16 = 4^x হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
⇒ 16 × 16 = 4^x
⇒ 4² × 4² = 4^x
⇒ 4⁴ = 4^x
∴ x = 4

৪,২১১.

x² + y² + z², x² - y² + z², - x² + y² - z² তিনটি বীজগণিতীয় রাশি। এখন প্রথম দুইটি রাশির যোগফল থেকে তৃতীয় রাশি বিয়োগ করলে বিয়োগফল নিচের কোনটি হবে?

ক
ক) 3x² - 2y² + 3z²
খ
খ) 3x² + y² + 3z²
গ
গ) 3x² - y² + z²
ঘ
ঘ) 3x² - y² + 3z²

ব্যাখ্যা

x² + y² + z², x² - y² + z², -x² + y² - z² তিনটি বীজগণিতীয় রাশি।
এখন, প্রথম দুইটি রাশির যোগফল = 2x² + 2z²
∴ প্রথম দুইটি রাশির যোগফল থেকে তৃতীয় রাশি বিয়োগ করলে বিয়োগফল = 3x² - y² + 3z²

৪,২১২.

X⁰ = কত?

ক
১
খ
০
গ
অসীম
ঘ
x এর মানের উপর নির্ভরশীল

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: X⁰ = কত?

সমাধান:
ঘাত শূন্য হলে ফলাফল ১ হয়
X⁰ = 1

৪,২১৩.

১ থেকে ১৫ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে দৈবভাবে একটি সংখ্যা নির্বাচন করা হলে, সংখ্যাটি মৌলিক সংখ্যা না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
৩/৫
খ
২/৫
গ
৩/৪
ঘ
২/৩

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১ থেকে ১৫ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে দৈবভাবে একটি সংখ্যা নির্বাচন করা হলে, সংখ্যাটি মৌলিক সংখ্যা না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
১ থেকে ১৫ পর্যন্ত মোট সংখ্যা ১৫ টি।
১ থেকে ১৫ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ৬ টি। যথা- ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩

মৌলিক সংখ্যা হওয়ার সম্ভব্যতা = মৌলিক সংখ্যা / সর্বমোট সংখ্যা
= ৬/১৫
= ২/৫

∴ মৌলিক সংখ্যা না হওয়ার সম্ভব্যতা = ১ - (২/৫)
= (৫ - ২)/৫
= ৩/৫

৪,২১৪.

যদি (a/b)^{x- 1} = (b/a)^{x- 3} হয়, x এর মান কত?

ক
ক) - 3
খ
খ) 1
গ
গ) - 2
ঘ
ঘ) 2

ব্যাখ্যা

(a/b)^{x- 1} = (b/a)^{x- 3}
(a/b)^{x- 1} = (a/b)^{-(x- 3)}
x- 1 = -(x- 3)
x - 1 = - x + 3
x + x = 3 +1
2x = 4
x = 2

৪,২১৫.

2.8 + (5.2 ÷ 1.3 × 2) - 6 × 4 ÷ 8 + 2 = ?

ক
11.8
খ
10.8
গ
9.8
ঘ
8.8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2.8 + (5.2 ÷ 1.3 × 2) - 6 × 4 ÷ 8 + 2 = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2.8 + (5.2 ÷ 1.3 × 2) - 6 × 4 ÷ 8 + 2
= 2.8 + (4 × 2) - 6 × 0.5 + 2
= 2.8 + 8 - 3 + 2
= 12.8 - 3
= 9.8

৪,২১৬.

2a + (2/a) = 6 হলে, a²+ (1/a²) এর মান কত?

ক
2
খ
4
গ
5
ঘ
7

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2a + (2/a) = 6 হলে, a²+ (1/a²) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2a + (2/a) = 6
বা, 2{a + (1/a)} = 6
বা, a + (1/a) = 6/2
∴ a + (1/a) = 3

এখন,
a² + (1/a²)
= a² + (1/a)²= {a + (1/a)}² - {2 × a × (1/a)}
= 3² - 2
= 9 - 2
= 7

∴ a² + (1/a²) এর মান 7.

৪,২১৭.

x < 0 এবং x² = - 8x হলে x এর মান কোনটি?

ক
- 2
খ
- 4
গ
- 8
ঘ
- 16

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x < 0 এবং x² = - 8x হলে x এর মান কোনটি?

সমাধান:
x² = - 8x
⇒ x² + 8x = 0
⇒ x(x + 8) = 0
হয় x = 0 [গ্রহণযোগ্য নয়]
অথবা x + 8 = 0
∴ x = - 8

৪,২১৮.

x² - 5x + 6 < 0 হলে -

ক
ক) 2 < x < 3
খ
খ) -3 < x < -2
গ
গ) x < 2
ঘ
ঘ) x < 3

ব্যাখ্যা

x² - 5x + 6 < 0
⇒ x² - 3x - 2x + 6 < 0
⇒ x (x - 3) - 2 (x - 3) < 0
⇒ (x - 3) (x - 2) < 0
অর্থাৎ, (x - 3) ও (x - 2) এর মধ্যে একটি ধনাত্মক ও একটি ঋণাত্মক হবে।
2 < x < 3 হলে, x - 3 < 0, এবং x - 2 > 0
∴ নির্ণেয় অসমতা = 2 < x < 3

৪,২১৯.

x + y = 10 এবং xy = 24 হলে, x = ? [x > y]

ক
ক) 4
খ
খ) 6
গ
গ) 8
ঘ
ঘ) 10

ব্যাখ্যা

(x - y)²
= (x + y)² - 4xy
= 10² - 4.24
= 4
∴ x - y = 2

∴ (x + y) + (x - y) = 10 + 2
বা, 2x = 12
∴ x = 6

৪,২২০.

x - y = 2 এবং xy = 3 হলে x + y এর মান কত?

ক
ক) ৪
খ
খ) -৪
গ
গ) ১৬
ঘ
ঘ) ±৪

ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে, x - y = 2, xy = 3
∴ x + y = √{(x - y)² + 4xy}
= √{(2)² + 4.3}
= √16
= ±4

৪,২২১.

ইংরেজি বর্ণমালা হতে প্রত্যেক বার ৫ টি বর্ণ নিয়ে কতগুলি শব্দ গঠন করা যায় তা নির্ণয় করুন।

ক
ক) 21!/26!
খ
খ) 26!/21!
গ
গ) 27!/21!
ঘ
ঘ) 26!/23!

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, ইংরেজি বর্ণমালায় মোট ২৬ টি বর্ণ আছে। এই ২৬ টি বর্ণ হতে প্রত্যেকবার ৫ টি করে বর্ণ নিয়ে
গঠিত শব্দের সংখ্যা = ²⁶P₅ = 26!/21! = ৭৮৯৩৬০০

৪,২২২.

|p - 2| ≤ 5 হলে, p এর সর্বনিম্ন মান কত?

ক
- 3
খ
1
গ
1/2
ঘ
2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |p - 2| ≤ 5 হলে, p এর সর্বনিম্ন মান কত?

সমাধান:
|p - 2| ≤ 5
⇒ - 5 ≤ p - 2 ≤ 5
⇒ - 5 + 2 ≤ p - 2 + 2 ≤ 5 + 2
⇒ - 3 ≤ p ≤ 7

∴ p এর সর্বনিম্ন মান - 3

৪,২২৩.

log_x(3/2) = - 1/2 হলে, x এর মান-

ক
4/9
খ
9/4
গ
√3/2
ঘ
√2/3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_x(3/2) = - 1/2 হলে, x এর মান-

সমাধান:
log_x(3/2) = - 1/2
বা, x^{- 1/2} = 3/2
বা, 1/x^1/2 = 3/2
বা, x^1/2 = 2/3
বা, (x^1/2)² = (2/3)²
∴ x = 4/9

৪,২২৪.

4x⁴ - 27x² - 81 এর উৎপাদক হবে -

ক
(x + 3)(x + 3) (4x² + 9)
খ
(x + 3)(x - 3) (5x² + 9)
গ
(x + 3)(x - 3) (4x² - 9)
ঘ
(x + 3)(x - 3) (4x² + 9)

ব্যাখ্যা

4x⁴ - 27x² - 81
= 4x⁴ - 36x² + 9x² - 81
= 4x²(x² - 9) + 9 (x² - 9)
= (x² - 9)(4x² + 9)
= (x² - 3²) (4x² + 9)
= (x + 3)(x - 3) (4x² + 9)

৪,২২৫.

x = √4 + √3 হলে, x³ + 1/x³ এর মান কত?

ক
ক) 5√3
খ
খ) 52
গ
গ) 5√2
ঘ
ঘ) 2√5

ব্যাখ্যা

x = √4 + √3
∴ 1/x = 1/(√4 + √3)
= (√4 - √3)/(√4 + √3)(√4 - √3)
= (√4 - √3)/{(√4)2 - (√3)2}
= (√4 - √3)/(4 - 3)
= √4 - √3
x + 1/x
= √4 + √3 + √4 - √3
=2√4
= 2 × 2 [√4 = 2]
= 4

x³ + 1/x³
= (x + 1/x)³ - 3.x.1/x(x + 1/x)
= 4³ - (3 × 4)
= 64 - 12
= 52

৪,২২৬.

(x - 1/x)² = 3 হলে, x³ - 1/x³ = কত?

ক
ক) 0
খ
খ) 6
গ
গ) 6√3
ঘ
ঘ) 9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (x - 1/x)² = 3 হলে, x³ - 1/x³ = কত?

সমাধান:
(x - 1/x)² = 3
x - 1/x = √3

x³ - 1/x³ = (x - 1/x)3 + 3.x.1/x(x - 1/x)
= (√3)³ + 3√3
= 3√3 + 3√3
= 6√3

৪,২২৭.

2^2x = 1024 হলে, 2^x = কত?

ক
64
খ
128
গ
256
ঘ
32

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2^2x = 1024 হলে, 2^x = কত?

সমাধান:
2^2x = 1024
⇒ 2^2x = 2¹⁰⇒ 2x = 10
⇒ x = 10/2
∴ x = 5

∴ 2^x = 2⁵ = 32

৪,২২৮.

x² - 10xy - 11y² এর উৎপাদক -

ক
(x - y)(x + 11y)
খ
(x - 11y)(x + y)
গ
4y(x - 5y)
ঘ
(x + 5y)(x - 4y)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² - 10xy - 11y² এর উৎপাদক -

সমাধান:
= x²- 10xy - 11y2
= x² - 11xy + xy - 11y²
= x(x - 11y) + y(x - 11y)
= (x - 11y)(x + y)

৪,২২৯.

3p² + 9, p⁴ - 9 এবং p⁴ + 6p² + 9 -এর ল.সা.গু কত?

ক
3(p² + 3)² (p² - 3) (p² + 4)
খ
3(p² + 3)² (p - 3)
গ
(p² + 3)² (p² - 3)
ঘ
3(p² + 3)² (p² - 3)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3p² + 9, p⁴ - 9 এবং p⁴ + 6p² + 9 -এর ল.সা.গু কত?

সমাধান:
১ম রাশি = 3p² + 9
= 3 (p² + 3)

২য় রাশি = p⁴ - 9
= (p²)² - (3)²
= (p² + 3) (p² - 3)

৩য় রাশি = p⁴ + 6p² + 9
= (p²)² + 2.p².3 + (3)²
= (p² + 3)²
= (p² + 3) (p² + 3)

∴ নির্ণেয় ল.সা.গু = 3(p² + 3)² (p² - 3) ।

৪,২৩০.

p^{- 4}= 0.20 হলে p¹² মান কত?

ক
144
খ
216
গ
81
ঘ
125

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: p^{- 4}= 0.20 হলে p¹² মান কত?

সমাধান:
p^{- 4} = 0.20
⇒ (1/p)⁴= 0.20
⇒ p⁴= 1/0.20
⇒ p⁴ = 5
⇒ (p⁴)³ = 5³
∴ p¹² = 125

৪,২৩১.

x = 7 এবং y = 6 হলে, 16x² - 40xy + 25y² এর মান কত?

ক
1
খ
2
গ
- 2
ঘ
4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x = 7 এবং y = 6 হলে, 16x² - 40xy + 25y² এর মান কত?

সমাধান:
প্রদত্ত রাশি = 16x² - 40xy + 25y²
= (4x)² - 2.4x.5y + (5y)²
= (4x - 5y)²
= {(4 × 7) - (5 × 6)}²
= (28 - 30)²
= (- 2)²
= (- 2) × (- 2)
= 4 ।

৪,২৩২.

x² + y² = 185, x - y = 3 এর একটি সমাধান হবে -

ক
ক) (10, 7)
খ
খ) (12, 9)
গ
গ) (11, 8)
ঘ
ঘ) (9, 6)

ব্যাখ্যা

x² + y² = 185 ---------- (1)
⇒ (x - y)² + 2xy = 185
⇒ 2xy = 185 - (3)²
⇒ 2xy = 176 -------- (2)
আবার,
x² + y² = (x + y)² - 2xy
⇒ 185 = (x + y)² - 176 [1 ও 2 থেকে মান বসিয়ে]
⇒ (x + y)²= 361
⇒ x + y = 19 ---------- (3)
এখন,
(x + y) + (x - y) = 19 + 3
⇒ 2x = 22
⇒ x = 11
এবং,
(x + y) - (x - y) = 19 - 3
⇒ 2y = 16
⇒ y = 8
∴ (x, y) = (11, 8)

৪,২৩৩.

৪ + ৭ + ১০ + .............. + ৬৭ ধারাটির পদসংখ্যা কত?

ক
২২ টি
খ
২০ টি
গ
২৩ টি
ঘ
২১ টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৪ + ৭ + ১০ + .............. + ৬৭ ধারাটির পদসংখ্যা কত?

সমাধান:
এখানে,
ধারাটির প্রথম পদ = ৪
ধারাটির শেষ পদ = ৬৭
ধারাটির সাধারন অন্তর = ৭ - ৪ = ৩

∴ পদসংখ্যা = {(শেষ পদ - প্রথম পদ)/সাধারন অন্তর} + ১
= {(৬৭ - ৪)/৩} + ১
= {(৬৩)/৩} + ১
= ২১ + ১
= ২২ ।

৪,২৩৪.

a + (2/a) = 4 হলে, a³ + (8/a³) এর মান কত?

ক
38
খ
40
গ
46
ঘ
54

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a + (2/a) = 4 হলে, a³ + (8/a³) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + (2/a) = 4

∴ প্রদত্ত রাশি = a³ + (8/a³)
= a³ + (2/a)³
= {a + (2/a)}³ - 3 · a · (2/a){a + (2/a)}
= 4³ - 6 · 4
= 64 - 24
= 40

৪,২৩৫.

যদি x² + (9/x²)= 31 হয়, x - (3/x) এর মান কত?

ক
ক) 5
খ
খ) 4
গ
গ) 7
ঘ
ঘ) 9

ব্যাখ্যা

দেয়া আছে
x² + (9/x²)= 31
x² + (3/x)² = 31
(x - 3/x)² + 2 .x .3/x = 31
(x - 3/x)² + 6 = 31
(x - 3/x)² = 25
(x - 3/x)² = 5²
x - 3/x = 5

৪,২৩৬.

x³ + 3x + 36 এর উৎপাদক নিচের কোনটি?

ক
ক) x + 3
খ
খ) x - 3
গ
গ) x + 2
ঘ
ঘ) x - 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x³ + 3x + 36 এর উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান:
ধরি,
f(x) = x³ + 3x + 36
f(- 3) = (- 3)³ + 3(- 3) + 36
= - 27 - 9 + 36
= - 36 + 36
= 0

x³ + 3x + 36
= x³ + 3x² - 3x² - 9x + 12x + 36
= x²(x + 3) - 3x(x + 3) + 12(x + 3)
= (x + 3)(x² - 3x + 12)

৪,২৩৭.

ARRANGE শব্দটিকে কত উপায়ে সাজানো যায়?

ক
২০২৫
খ
১২৬০
গ
১৪৬০
ঘ
২২৪০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ARRANGE শব্দটিকে কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
ARRANGE শব্দটিতে মোট অক্ষর আছে ৭টি যেখানে A আছে ২টি, R আছে ২টি বাকিগুলো ভিন্ন।
∴ মোট সাজানোর উপায় = ৭!/(২! × ২!)
= ১২৬০

৪,২৩৮.

log_a√216 = 3/2 হয়, তবে a এর মান কত?

ক
6
খ
2
গ
1
ঘ
4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_a√216 = 3/2 হয়, তবে a এর মান কত?

সমাধান:
log_a√216 = 3/2
⇒ a^(3/2) = √216
⇒ (a^3/2)² = (√216)²
⇒ a³ = 216
⇒ a³ = 6³
∴ a = 6

৪,২৩৯.

কোন সংখ্যার বর্গমূলের সাথে ১০ যোগ করলে যোগফল ৪ এর বর্গ হবে?

ক
ক) ১৬
খ
খ) ২৫
গ
গ) ৩৬
ঘ
ঘ) ৯

ব্যাখ্যা

ধরি, সংখ্যাটি x
শর্তমতে, √x + ১০ = ৪^২
বা, √x = ১৬ - ১০ = ৬
বা, (√x)২ = ৬^২ = ৩৬
∴ x = ৩৬

৪,২৪০.

a + 1/a = 3 হলে a² + 1/a² = কত?

ক
ক) 9
খ
খ) 7
গ
গ) 11
ঘ
ঘ) 12

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a + (1/a) = 3 হলে a² + 1/a²= কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
a + 1/a = 3

এখন
a² + 1/a² = (a + 1/a)² - 2.a.(1/a)
= 3²- 2
= 9 - 2
= 7

৪,২৪১.

১৩০ টি পঁচিশ পয়সার মুদ্রা ও দশ পয়সার মুদ্রা একত্রে ২৮ টাকা হলে, কোন প্রকারের মুদ্রার সংখ্যা কত?

ক
ক) পঁচিশ পয়সার মুদ্রা ৬৪ টি এবং দশ পয়সার মুদ্রা ৬৬ টি
খ
খ) পঁচিশ পয়সার মুদ্রা ১০০ টি এবং দশ পয়সার মুদ্রা ৩০ টি
গ
গ) পঁচিশ পয়সার মুদ্রা টি ৯০ এবং দশ পয়সার মুদ্রা ৪০ টি
ঘ
ঘ) পঁচিশ পয়সার মুদ্রা টি এবং ৮০ দশ পয়সার মুদ্রা ৫০ টি

ব্যাখ্যা

ধরি, দশ পয়সা ক টি
তাহলে, পঁচিশ পয়সা (১৩০ - ক) টি
যেহেতু, ২৮ টাকা = ২৮০০ পয়সা
প্রশ্নমতে,
১০ক + ২৫(১৩০ - ক) = ২৮০০
১০ক + ৩২৫০ - ২৫ক = ২৮০০
১৫ক = ৪৫০
ক = ৩০
∴ দশ পয়সার মুদ্রা ২০টি
∴ পঁচিশ পয়সার মুদ্রা (১৩০ - ৩০) = ১০০টি।

৪,২৪২.

১, ৫, ৯ .... ৮১ ধারাটির সংখ্যাগুলোর গড় কত?

ক
ক) ৪০
খ
খ) ৪১
গ
গ) ৪২
ঘ
ঘ) ৪৩

ব্যাখ্যা

১ম পদ (a) = ১,
সাধারণ অন্তর (d) = ৫ - ১ = ৪
শেষ পদ = a + (n - ১)d = ৮১
বা, ১ + (n - ১)৪ = ৮১
বা, (n - ১)৪ = ৮০
বা, n - ১ = ২০
∴ n = ২১

∴ সমষ্টি (s) = n/২ {২a + (n - 1)d}
= (২১/২){(২ × ১) + (২১ - ১)৪}
= (২১/২)(২ + ৮০)
= ২১ × ৪১

∴ গড় = (২১ × ৪১)/২১
= ৪১

৪,২৪৩.

(a - b, 3) = (0, a + 2b) হলে, (a, b) = কত?

ক
(1, 1)
খ
(- 1, 1)
গ
(1, - 1)
ঘ
(1, 3)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (a - b, 3) = (0, a + 2b) হলে, (a, b) = কত?

সমাধান:
a - b = 0 ............ (1)
a + 2b = 3 ............ (2)

(2) নং - (1) নং ⇒
a + 2b - a + b = 3 - 0
⇒ 3b = 3
∴ b = 1

(1) নং- এ b এর মান বসিয়ে পাই,
a - 1 = 0
∴ a = 1

∴ (a, b) = (1, 1)

৪,২৪৪.

⁴√x³ = 8 হলে x = ?

ক
0
খ
2
গ
8
ঘ
16

ব্যাখ্যা

⁴√x³ = 8
বা, x³ = (8)⁴ = (2⁴)³
বা, x = 2⁴
= 16

৪,২৪৫.

৪, ৬, ৭, ১৮, ১২, ১৯, ৮, ১৪, ১৭, ২১ সংখ্যাগুলোর মধ্যক কত?

ক
ক) ১৫
খ
খ) ১৪
গ
গ) ১৩
ঘ
ঘ) ১২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৪, ৬, ৭, ১৮, ১২, ১৯, ৮, ১৪, ১৭, ২১ সংখ্যাগুলোর মধ্যক কত?

প্রদত্ত সংখ্যাগুলোকে মানের ঊর্ধক্রমানুসারে সাজিয়ে পাই,
৪, ৬, ৭, ৮, ১২, ১৪, ১৭, ১৮, ১৯, ২১
এখানে,
n = ১০

মধ্যক = {(১০/২) তম পদ ও (১০/২) + ১ তম পদের যোগফল}/২
= { ৫তম পদ ও ৬ তম পদের যোগফল}/২
=(১২ + ১৪)/২
= ২৬/২
= ১৩

৪,২৪৬.

3x - 7 > 14 অসমতাটির সমাধান সেট কোনটি?

ক
{X ∈ R : x > 2}
খ
{X ∈ R : x > 4}
গ
{X ∈ R : x > 5}
ঘ
{X ∈ R : x > 7}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3x - 7 > 14 অসমতাটির সমাধান সেট কোনটি?

সমাধান:
x - 7 > 14
⇒ 3x - 7 + 7 > 14 + 7
⇒ 3x > 21
⇒ (3x/3) > (21/3)
⇒ x > 7
∴ নির্ণেয় সমাধান: x > 7

সুতরাং, সমাধান সেট, S = {X ∈ R : x > 7}

৪,২৪৭.

(2x^{- 1})² ÷ x^{- 5} = কত?

ক
2x
খ
3x
গ
4x²
ঘ
4x³

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (2x^{- 1})² ÷ x^{- 5} = কত?

সমাধান:
(2x^{- 1})² ÷ x^{- 5}
= 2² × x^{- 2} ÷ x^{- 5}
= 4 × x^{- 2 - (- 5)}
= 4 × x^{- 2 + 5}
= 4 × x³
= 4x³

৪,২৪৮.

'CUPCAKE' শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?

ক
180
খ
720
গ
360
ঘ
480

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'CUPCAKE' শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?

সমাধান:
'CUPCAKE' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 7টি
Vowel আছে 3টি (U, A, E)
Vowel তিনটিকে সাজানো যায় = 3! = 6

Vowel তিনটিকে একটি ধরে মোট বর্ণ 5টি
5টি বর্ণকে সাজানো যায় = 5!/2! = 60 [2 টি C আছে]

স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট সাজানো যাবে = 6 × 60
= 360

৪,২৪৯.

'CALCULUS' শব্দটির বর্ণগুলোকে কত উপায়ে সাজানো যায়?

ক
720
খ
5040
গ
1020
ঘ
3550

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'CALCULUS' শব্দটির বর্ণগুলোকে কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
'CALCULUS' শব্দটির মোট অক্ষর = 8টি

এদের মধ্যে,
C অক্ষরটি পুনরাবৃত্ত = 2টি
L অক্ষরটি পুনরাবৃত্ত = 2টি
U অক্ষরটি পুনরাবৃত্ত = 2টি

∴ নির্ণেয় সাজানোর উপায় = 8!/(2! × 2! × 2!)
= (8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)/{(2 × 1) × (2 × 1) × (2 × 1)}
= 40320/(2 × 2 × 2)
= 40320/8
= 5040

∴ 'CALCULUS' শব্দটির অক্ষরগুলোকে 5040 উপায়ে সাজানো যায়।

৪,২৫০.

ক
9
খ
125
গ
27
ঘ
18

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৪,২৫১.

নিচের কোনটি গুণোত্তর ধারা নয়?

ক
1 − 2 + 4 −8 + 16 − 32,…
খ
3 + 6 + 9 + 12 + 15,…
গ
81 + 27 + 9 + 3 + 1…
ঘ
3 + 6 + 12 + 24 + 48,…

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি গুণোত্তর ধারা নয়?

সমাধান:
গুণোত্তর ধারা:
যে ধারার যেকোনো পদের সাথে তার পূর্ববতী পদের অনুপাত সর্বদা সমান হয় অর্থাৎ যেকোনো পদকে তার পূর্ববতী পদ দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল সব সময় সমান হয়, সে ধারাকে গুণোত্তর ধারা বলে এবং ভাগফলকে সাধারণ অনুপাত বলে ।

যেমন :
1, − 2, 4, −8, 16, −32,…
3, 6, 12, 24, 48,…

৪,২৫২.

2x² + x - 15 এর উৎপাদক কোনটি?

ক
(x + 3)(2x - 5)
খ
(x - 3)(2x -5)
গ
(x - 3)(2x + 5)
ঘ
(x + 3)(2x + 5)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2x² + x - 15 এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
2x² + x - 15
= 2x² + 6x - 5x - 15
= 2x(x + 3) - 5(x + 3)
= (x + 3)(2x - 5)

৪,২৫৩.

যদি y = 5x² - 2x এবং x = 3 হয়, তাহলে y =?

ক
24
খ
27
গ
39
ঘ
51

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি y = 5x² - 2x এবং x = 3 হয়, তাহলে y =?

সমাধান:
x = 3

y = 5x² - 2x
= 5 × 3² - 2 × 3
= 5 × 9 - 6
= 45 - 6
= 39

৪,২৫৪.

একটি গুণোত্তর অনুক্রমের দ্বিতীয় পদটি 48 এবং পঞ্চম পদটি 3/4 হলে, ১ম পদটি কত?

ক
ক) 144
খ
খ) 169
গ
গ) 192
ঘ
ঘ) 224

ব্যাখ্যা

গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ a ও সাধারণ অনুপাত r হলে,
২য় পদ = ar = 48
পঞ্চম পদ = ar⁴ = 3/4
অতএব, ar⁴/ar = 3/4 ÷ (48) = 1/64 = (1/4)³
⇒ r³ = (1/4)³
⇒ r = 1/4
a = 48 × 4 = 192
১ম পদটি 192
-----------------------------------------------
সংক্ষেপে,
সাধারণ অনুপাতের ক্ষেত্রে,
r^{5 - 2} = (3/4) ÷ 48 [ 5 = ৫ম পদ এবং 2 = ২য় পদ ; r = সাধারণ অনুপাত ]
⇒ r³ = 1/64 = (1/4)³ ⇒ r = 1/4
১ম পদ = ২য় পদ/r = 48 × 4 = 192

৪,২৫৫.

{(x²y^-1)/(x^-2y)}² এর মান কত?

ক
x⁸/y⁴
খ
x²
গ
x⁸/y²
ঘ
1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: {(x²y^-1)/(x^-2y)}² এর মান কত?

সমাধান:
{(x²y^-1)/(x^-2y)}²
= {(x²/y)/(y/x²)}²
= {(x²/y) × (x²/y)}²
= (x⁴/y²)²
= x⁸/y⁴

৪,২৫৬.

3^{x + 1} = 9 হলে, logx এর মান কত?

ক
ক) 1
খ
খ) - 1
গ
গ) 0
ঘ
ঘ) 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3^{x + 1} = 9 হলে, logx এর মান কত?

সমাধান:
3^{x + 1} = 9
বা, 3^{x + 1} = 3²
বা, x + 1 = 2
বা, x = 2 - 1
∴ x = 1

logx = log1
= 0

৪,২৫৭.

x + 2y = 7 এবং 2x - 3y = 0 হলে, (x, y) = কত?

ক
ক) (1,3)
খ
খ) (3,1)
গ
গ) (2,3)
ঘ
ঘ) (3,2)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + 2y = 7 এবং 2x - 3y = 0 হলে, (x, y) = কত?

সমাধান:
x + 2y = 7......................(1)
2x - 3y = 0......................(2)

(1) × 3 + (2) × 2 ⇒
3x + 6y + 4x - 6y = 21
7x = 21
x = 3

(1)নং হতে পাই,
3 + 2y = 7
2y = 7 - 3
2y = 4
y = 2

নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (3,2)

৪,২৫৮.

x এর মান কত হলে 2^{4x - 12} = 16 হবে?

ক
2
খ
3
গ
4
ঘ
6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x এর মান কত হলে 2^{4x - 12} = 16 হবে?

সমাধান:
2^{4x - 12} = 16
বা, 2^{4x - 12} = 2⁴
বা, 4x - 12 = 4
বা, 4x = 4 + 12
বা, 4x = 16
বা, x = 16/4
∴ x = 4

৪,২৫৯.

'COURAGE' শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে কতগুলো বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয় করা যায়, যেন প্রত্যেক বিন্যাসের প্রথমে একটি ব্যঞ্জনবর্ণ থাকে?

ক
480
খ
1260
গ
2160
ঘ
720

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'COURAGE' শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে কতগুলো বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয় করা যায়, যেন প্রত্যেক বিন্যাসের প্রথমে একটি ব্যঞ্জনবর্ণ থাকে?

সমাধান:
COURAGE শব্দটিতে মোট 7টি বিভিন্ন বর্ণ আছে যাদের মধ্যে 4টি স্বরবর্ণ এবং 3টি ব্যঞ্জনবর্ণ।
শব্দের ১ম শূণ্যস্থানটি ব্যঞ্জনবর্ণ দিয়ে পূর্ণ করার উপায় = 3P1 = 3
অবশিষ্ট ছয়টি শূণ্যস্থান পূর্ণ করা যায় 6! = 720 উপায়ে।
∴ মোট বিন্যাস সংখ্যা = 720 × 3
= 2160

৪,২৬০.

216(√6)^-^2x = 1 হলে x এর মান কত?

ক
ক) - 3
খ
খ) 2
গ
গ) 3
ঘ
ঘ) - 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 216(√6)^-^2x = 1 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
216(√6)^-^2x = 1
বা, (√6)^{- 2x} = 1/216
বা, (√6)^{- 2x} = 1/(√6)⁶
বা, (√6)^{- 2x} = (√6)^{- 6}
বা, - 2x = - 6
∴ x = 3

৪,২৬১.

a/b এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল 2b/a হবে?

ক
(2b² - a²)/ab
খ
(a² - 2b²)/ab
গ
(2a² - b²)/ab
ঘ
(a² - b²)/ab

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a/b এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল 2b/a হবে?

সমাধান:
ধরি,
(a/b) এর সাথে x যোগ করলে যোগফল (2b/a) হবে

প্রশ্নমতে,
(a/b) + x = (2b/a)
⇒ x = (2b/a) - (a/b)
⇒ x = (2b² - a²)/ab
∴ x = (2b² - a²)/ab

৪,২৬২.

x² - 8x - 8y + 16 + y² এর সঙ্গে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণ বর্গ হবে?

ক
4xy
খ
2xy
গ
6xy
ঘ
8xy

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² - 8x - 8y + 16 + y² এর সঙ্গে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণ বর্গ হবে?

সমাধান:
x²- 8x - 8y + 16 + y²
=x² + y² + 16 - 8x - 8y
=(x)² + (y)² + (- 4)² + 2.x.y + 2.y.(- 4) + 2.(- 4).x - 2xy
=(x + y - 4)² - 2xy

সুতরাং রাশিটির সাথে 2xy যোগ করলে রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে।

৪,২৬৩.

10 জন ও 9 জন খেলোয়াড়ের দুইটি দল থেকে 11 জন খেলোয়াড়ের একটি ক্রিকেট টিম গঠন করতে হবে যাতে 10 জনের দল থেকে কমপক্ষে 8 জন খেলোয়াড় ঐ টিমে থাকবে। ক্রিকেট টিমটি কত উপায়ে গঠন করা যাবে?

ক
3430
খ
3660
গ
4200
ঘ
4149

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 10 জন ও 9 জন খেলোয়াড়ের দুইটি দল থেকে 11 জন খেলোয়াড়ের একটি ক্রিকেট টিম গঠন করতে হবে যাতে 10 জনের দল থেকে কমপক্ষে 8 জন খেলোয়াড় ঐ টিমে থাকবে। ক্রিকেট টিমটি কত উপায়ে গঠন করা যাবে?

সমাধান:
১ম দল (10 জন) - ২য় দল (9 জন)
________________ _________________
1) 10 1
2) 9 2
3) 8 3

1) নং ক্ষেত্রে টিম গঠনের উপায় = ¹⁰C₁₀ × ⁹C₁ = (1 × 9) = 9
2) নং ক্ষেত্রে টিম গঠনের উপায় = ¹⁰C₉ × ⁹C₂ = (10 × 36) = 360
3) নং ক্ষেত্রে টিম গঠনের উপায় = ¹⁰C₈ × ⁹C₃ = (45 × 84) = 3780

টিম গঠনের উপায় = 9 + 360 + 3780
= 4149

৪,২৬৪.

3 + 7 + 11 + 15 + ................ ধারাটির প্রথম 13টি পদের সমষ্টি কত?

ক
52
খ
110
গ
297
ঘ
351

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3 + 7 + 11 + 15 + ................ ধারাটির প্রথম 13টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
প্রথম পদ a = 3
সাধারণ অন্তর d = 7 - 3 = 4
পদ সংখ্যা n = 13

S_n = (n/2)[2a + (n - 1)d]
⇒ S₁₃ = (13/2)[2 × 3 + (13 - 1) × 4]
⇒ S₁₃ = (13/2) [6 + 12 × 4]
⇒ S₁₃ = (13/2) [6 + 48]
⇒ S₁₃ = (13/2) × 54
⇒ S₁₃ = 13 × 27
⇒ S₁₃ = 351

∴ প্রথম 13টি পদের সমষ্টি 351

৪,২৬৫.

নিচের কোনটি 12a² + 7a - 10 এর একটি উৎপাদক?

ক
(3a - 4)
খ
(3a - 2)
গ
(4a + 3)
ঘ
(3a + 4)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি 12a² + 7a - 10 এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
12a² + 7a - 10
= 12a² + 15a - 8a - 10
= 3a(4a + 5) - 2(4a + 5)
= (4a + 5)(3a - 2)

৪,২৬৬.

x² + (a + b)x + ab = 0 এর সমাধান সেট-

ক
{-a, -b}
খ
{-a, b}
গ
{a, -b}
ঘ
{a, b}

ব্যাখ্যা

x² + (a + b)x + ab = 0
বা, x² + ax + bx + ab = 0
বা, x(x + a) + b(x + a) = 0
বা, (x + a)(x + b) = 0
∴ x = -a, -b
∴ সমাধান সেট = {-a, -b}

৪,২৬৭.

একটি সমান্তর ধারার 10 তম পদ 53 হলে, ধারাটির প্রথম 19 পদের সমষ্টি কত?

ক
ক) 1007
খ
খ) 1005
গ
গ) 1107
ঘ
ঘ) 2007

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার 10 তম পদ 53 হলে ধারাটির প্রথম 19 পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
মনে করি,
ধারাটি প্রথম পদ, a
সাধারণ অন্তর, d

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
10 তম পদ = a + (10 - 1)d
= a + 9d

প্রশ্নমতে, a + 9d = 53

আমরা জানি,
n তম পদের সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
সুতরাং প্রথম 19টি পদের সমষ্টি = (19/2) {2a + (19 - 1)d}
= (19/2) (2a + 18d)
= (19/2) × 2 (a + 9d)
= 19 × (a + 9d)
= 19 × 53
= 1007

৪,২৬৮.

16^{n - (1/2)} = 64 হলে, n এর মান কত?

ক
2
খ
4
গ
8
ঘ
6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 16^{n - (1/2)} = 64 হলে, n এর মান কত?

সমাধান:
16^{n - (1/2)} = 64
⇒ (2⁴)^{n - (1/2)} = 2⁶
⇒ 2^{4n - 2} = 2⁶
⇒ 4n - 2 = 6
⇒ 4n = 6 + 2
⇒ 4n = 8
⇒ n = 8/4
∴ n = 2

৪,২৬৯.

পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি ৮৪ বছর। ১০ বছর পূর্বে তাদের বয়সের অনুপাত ৫ : ৩ ছিল। ১০ বছর পর এ অনুপাত কত হবে?

ক
ক) ২৭ : ১৭
খ
খ) ১৫ : ১১
গ
গ) ১৭ : ১৩
ঘ
ঘ) ১৯ : ১১

ব্যাখ্যা

মনে করি,
১০ বছর পূর্বে পিতার বয়স ছিল ৫x বছর এবং পুত্রের বয়স ছিল ৩x বছর।
∴ পিতার বর্তমান বয়স (৫x + ১০) বছর এবং পুত্রের বর্তমান বয়স (৩x +১০) বছর।

প্রশ্নমতে,
(৫x + ১০) + (৩x +১০) = ৮৪
⇒ ৮x + ২০ = ৮৪
⇒ ৮x = ৬৪
∴ x = ৮

∴ পিতার বর্তমান বয়স (৫ × ৮ + ১০) = ৫০ বছর
এবং পুত্রের বর্তমান বয়স (৩ × ৮ +১০) = ৩৪ বছর

∴ ১০ বছর পর পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত হবে
(৫০+১০) : (৩৪+১০)
= ৬০ : ৪৪
= ১৫ : ১১

৪,২৭০.

(x - 6)(x - 6) = x² + bx + c সমীকরণে b ও c এর মান কত হলে সমীকরণটি অভেদ হবে?

ক
6, - 36
খ
- 6, 12
গ
- 12, 36
ঘ
10, 24

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (x - 6)(x - 6) = x² + bx + c সমীকরণে b ও c এর মান কত হলে সমীকরণটি অভেদ হবে?

সমাধান:
(x - 6)(x - 6) = x² + bx + c
⇒ (x - 6)² = x² + bx + c
⇒ x² - 2. x. 6 + 6² = x² + bx + c
⇒ x² - 12x + 36 = x² + bx + c

x ও ধ্রুবক পদের সহগ সমীকৃত করে পাই
b = - 12
c = 36

৪,২৭১.

একটি স্কুলের ৭০% ছাত্র ফুটবল, ৭৫% ছাত্র হকি ও ৬০ % ছাত্র ক্রিকেট খেলতে পছন্দ করে। প্রত্যেক ছাত্র কমপক্ষে একটি খেলা পছন্দ করে। ঐ স্কুলের শতকরা কতজন তিনটি খেলাই পছন্দ করে না?

ক
৫ জন
খ
৯৫ জন
গ
১৫ জন
ঘ
২৫ জন

ব্যাখ্যা

ফুটবল পছন্দ করেনা = (১০০ - ৭০) জন = ৩০ জন
হকি পছন্দ করে না = (১০০ - ৭৫) জন = ২৫ জন
ক্রিকেট পছন্দ করে না = (১০০ - ৬০) জন = ৪০ জন
একত্রে ৩টি খেলাই পছন্দ করেনা = ৩০ + ২৫ + ৪০ = ৯৫ জন

৪,২৭২.

5 জন পুরুষ এবং 4 জন মহিলার মধ্য হতে 4 জনের একটি কমিটি কত উপায়ে গঠন করা যাবে, যেখানে ন্যূনতম 2 জন পুরুষ এবং 1 জন মহিলা অন্তর্ভুক্ত থাকবে?

ক
100
খ
120
গ
200
ঘ
240

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5 জন পুরুষ এবং 4 জন মহিলার মধ্য হতে 4 জনের একটি কমিটি কত উপায়ে গঠন করা যাবে, যেখানে ন্যূনতম 2 জন পুরুষ এবং 1 জন মহিলা অন্তর্ভুক্ত থাকবে?

সমাধান:
মোট দুই প্রকারে বাছাই করা যাবে।
2 জন পুরুষ ও 2 জন মহিলা = ⁵C₂ × ⁴C₂ = 10 × 6 = 60
3 জন পুরুষ ও 1 জন মহিলা = ⁵C₃ × ⁴C₁ = 10 × 4 = 40

∴ মোট উপায় = 60 + 40 = 100

৪,২৭৩.

x - {x - x - (x - 1)} এর মান কত?

ক
ক) 1
খ
খ) -1
গ
গ) 2x - 1
ঘ
ঘ) 2x + 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x - {x - x - (x - 1)} এর মান কত?

সমাধান:
x - {x - x - (x - 1)}
= x - {x - x - x + 1)}
= x - {-x + 1}
= x + x - 1
= 2x - 1

৪,২৭৪.

a - 1/a = 2 হলে, a³ - 1/a³ এর মান কত?

ক
12
খ
19
গ
27
ঘ
14

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a - 1/a = 2 হলে, a³ - 1/a³ এর মান কত?

সমাধান:
a³ - 1/a³
= (a - 1/a)³ + 3.a.(1/a)(a - 1/a)
= (2)³ + 3 × 2
= 8 + 6
= 14

৪,২৭৫.

একটি পাত্রে ৮টি সাদা, ৬টি কালো এবং ৪টি নীল বল আছে। একটি বল বাছাই করলে বলটি কালো না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
১/৬
খ
১/৩
গ
১/২
ঘ
২/৩

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি পাত্রে ৮টি সাদা, ৬টি কালো এবং ৪টি নীল বল আছে। একটি বল বাছাই করলে বলটি কালো না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সাদা বল = ৮টি
কালো বল = ৬ টি
নীল বল = ৪ টি

∴ মোট বল = ৮ + ৬ + ৪ = ১৮টি

∴ বলটি কালো হওয়ার সম্ভাবনা = ৬/১৮ = ১/৩

∴ বলটি কালো না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (১/৩) = (৩ - ১)/৩ = ২/৩

৪,২৭৬.

5 + x + y + 135 গুণোত্তর ধারাটির x ও y এর মান কত?

ক
x = 10, y = 40
খ
x = 10, y = 15
গ
x = 15, y = 45
ঘ
x = 10, y = 5

ব্যাখ্যা

এখানে, ৪র্থ পদ aq^4-1= 135 বা aq³ = 135 ----------- (i)
এবং, প্রথম পদ a = 5 ----------- (ii)
(i) ÷ (ii)⇒
aq³/a = 135/5
q³ = 27
∴ q = 3
অর্থাৎ, সাধারণ অনুপাত, q = 3
সুতরাং, x = 5×3 = 15
y = 15 × 3 = 45

৪,২৭৭.

1³ + 2³ + 3³ + ……… + 10³ = কত?

ক
3010
খ
3016
গ
3025
ঘ
3040

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1³ + 2³ + 3³ + ……… + 10³ = কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি = {n(n + 1)/2}²
= {10(10 + 1)/2}²
= {(10 · 11)/2}²
= (110/2)²
= 3025

৪,২৭৮.

x² + 4x + 1 এর উৎপাদক-

ক
(x - 2 + √3)(x + 2 - √3)
খ
(x + 2 + √3)(x - 2 - √3)
গ
(x - 2 - √3)(x + 2 - √3)
ঘ
(x + 2 + √3)(x + 2 - √3)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² + 4x + 1 এর উৎপাদক-

সমাধান:
x² + 4x + 1
= x² + 4x + 4 - 3
= (x + 2)² - (√3)²
= (x + 2 + √3)(x + 2 - √3)

৪,২৭৯.

2x + 2/x = 8 হলে, x² + 1/x² এর মান কত?

ক
ক) 12
খ
খ) 22
গ
গ) 28
ঘ
ঘ) 14

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2x + 2/x = 8 হলে, x² + 1/x² এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে
2x + 2/x = 8
2(x + 1/x) = 8
x + 1/x = 4

x² + 1/x² = (x)² + (1/x)²
= (x + 1/x)²- 2.x.1/x
= 42 - 2
= 16 - 2
= 14

৪,২৮০.

256 এর √2 ভিত্তিক লগারিদম কত?

ক
8
খ
16
গ
20
ঘ
32

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 256 এর √2 ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান:
256 এর √2 ভিত্তিক লগারিদম = log_√2256
= log_√22⁸
= 8 × log_√22
= 8 × log_√2(√2)²
= 2 × 8 × log_√2√2
= 2 × 8 × 1
= 16

৪,২৮১.

2a = 3b + 5 হলে, 4a - 6b এর মান কত?

ক
8
খ
10
গ
12
ঘ
15

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2a = 3b + 5 হলে, 4a - 6b এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2a = 3b + 5
⇒ 2a - 3b = 5
⇒ 4a - 6b = 10 [ 2 দ্বারা গুণ করে]

৪,২৮২.

5 + 2√6 এর বর্গমূল কোনটি?

ক
ক) √5 - √2
খ
খ) √5 + √2
গ
গ) 1/(√3 + √2)
ঘ
ঘ) √3 + √2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5 + 2√6 এর বর্গমূল কোনটি?

সমাধান:
5 + 2√6 এর বর্গমূল = √(5 + 2√6)
= √(3 + 2 √3 √2 + 2)
= √{(√3)² + 2 √3 √2 +(√2)²}
= √(√3 + √2)²
= √3 + √2

৪,২৮৩.

x² - x - 4 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কেমন?

ক
অবাস্তব ও সমান
খ
অবাস্তব ও অসমান
গ
বাস্তব ও অসমান
ঘ
বাস্তব ও সমান

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² - x - 4 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কেমন?

সমাধান:
এখানে,
x² - x - 4 = 0 কে ax² + bx + c = 0 এর সাথে তুলনা করে পাই,
a = 1, b = - 1 এবং c = - 4

এখন,
b² - 4ac = (- 1)² - 4. 1. (- 4)
= 17

যেহেতু,
b² - 4ac > 0 সেহেতু, মূলদ্বয়ের প্রকৃতি বাস্তব ও অসমান।

• দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি:
1. যদি b² - 4ac = 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
2. যদি b² - 4ac > 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
3. যদি b² - 4ac < 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে।
4. যদি b² - 4ac পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় মূলদ ও অসমান হবে।

৪,২৮৪.

|2x + 5| < 7 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

ক
- 8 < x < 3
খ
1 > x > - 12
গ
- 6 < x < 1
ঘ
2 > x > 5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |2x + 5| < 7 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
|2x + 5| < 7
(2x + 5) অঋণাত্মক হলে প্রদত্ত অসমতা দাঁড়ায় (2x + 5) < 7
⇒ 2x + 5 - 5 < 7 - 5
⇒ 2x < 2
∴ x < 1

আবার,
(2x + 5) ঋণাত্মক হলে প্রদত্ত অসমতা দাঁড়ায় - (2x + 5) < 7
⇒ (2x + 5) > - 7
⇒ 2x + 5 - 5 > - 7 - 5
⇒ 2x > - 12
∴ x > - 6
∴ অসমতাটির সমাধান: - 6 < x < 1

৪,২৮৫.

a এর কোন মানের জন্য -ax² + ax + 1 একটি পূর্ণবর্গ হবে?

ক
ক) 4
খ
খ) 2
গ
গ) -4
ঘ
ঘ) -2

ব্যাখ্যা

-ax² + ax + 1
= 4x² - 4x + 1 [যখন a = -4]
= (2x - 1)²
∴ a = -4

৪,২৮৬.

একটি স্কুলের বার্ষিক পরীক্ষায় ৪০% শিক্ষার্থী ইংরেজিতে ফেল করে এবং ৩৫% শিক্ষার্থী গণিতে ফেল করে। যদি ৩০% শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করে থাকে তবে ৮০ জন শিক্ষার্থীর মধ্যে কতজন উভয় বিষয়ে পাশ করেন?

ক
৪৪ জন
খ
৫৫ জন
গ
৩৪ জন
ঘ
৪৮ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি স্কুলের বার্ষিক পরীক্ষায় ৪০% শিক্ষার্থী ইংরেজিতে ফেল করে এবং ৩৫% শিক্ষার্থী গণিতে ফেল করে। যদি ৩০% শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করে থাকে তবে ৮০ জন শিক্ষার্থীর মধ্যে কতজন উভয় বিষয়ে পাশ করেন?

সমাধান:
উভয় বিষয়ে ফেল = ৩০%
শুধুমাত্র ইংরেজিতে ফেল = ৪০% - ৩০% = ১০%
শুধুমাত্র গনিতে ফেল = ৩৫% - ৩০% = ৫%

মোট ফেল = ১০% + ৫% + ৩০% = ৪৫%
∴ উভয় বিষয়ে পাস = ১০০% - ৪৫% = ৫৫%
∴ ৮০ জনের মধ্যে উভয় বিষয়ে মোট পাশ = (৮০ × ৫৫%) জন
= ৪৪ জন

৪,২৮৭.

a^{3x² - 27} = b^{3x² - 27} হলে, x = ?

ক
-3
খ
-2
গ
0
ঘ
2

ব্যাখ্যা

a^{3x² - 27} = b^{3x² - 27}
বা, a^{3x² - 27}/b^{3x² - 27} = 1
বা, (a/b)^{3x² - 27} = (a/b)⁰
বা, 3x² - 27 = 0
বা, 3x² = 27
বা, x² = 9
∴ x = ±3

৪,২৮৮.

A = {x : x,12 এর গুণনীয়কসমূহ} এবং B = {x, 3 এর গুণিতক এবং x ≤ 12} হলে A - B =?

ক
{3, 6, 12}
খ
{1, 2}
গ
{1, 2, 4}
ঘ
{1, 2, 4, 9}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A = {x : x,12 এর গুণনীয়কসমূহ} এবং B = {x, 3 এর গুণিতক এবং x ≤ 12} হলে A - B = ?

সমাধান:
A = {x : x, 12 এর গুণনীয়কসমূহ}
= {1, 2, 3, 4, 6, 12}

B = {x : x, 3 এর গুণিতক এবং x ≤ 12}
= {3, 6, 9, 12}

∴ A - B = {1, 2, 3, 4, 6, 12} - {3, 6, 9, 12}
= {1, 2, 4}

৪,২৮৯.

যদি (64)^2/3 + (25)^1/2 = 3k হয় তবে k = কত?

ক
9
খ
7
গ
18
ঘ
27

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি (64)^2/3 + (25)^1/2 = 3k হয় তবে k = কত?

সমাধান:
(64)^2/3 + (25)^1/2 = 3k
⇒ (2⁶)^2/3 + (5²)^1/2 = 3k
⇒ 2^{{6 × (2/3)}} = 5^{{2 × (1/2)}} = 3k
⇒ 2⁴ + 5 = 3k
⇒ 16 + 5 = 3k
⇒ 21 = 3k
∴ k = 7

৪,২৯০.

হলে, x = কত?

ক
5
খ
3
গ
4
ঘ
2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: হলে, x = কত?

সমাধান:

৪,২৯১.

৪, ৭, ১০ .... ধারার ২৮ তম পদ কত?

ক
ক) ৭৯
খ
খ) ৮২
গ
গ) ৮৫
ঘ
ঘ) ৮৮

ব্যাখ্যা

১ম পদ (a) = ৪,
সাধারণ অন্তর (d) = ৭ - ৪ = ৩
পদসংখ্যা (n) = ২৮
∴ ২৮-তম পদ = a + (২৮ - ১)d
= ৪ + ২৭ × ৩
= ৮৫

৪,২৯২.

log_0.50.125 + log₂64 এর মান কত?

ক
6
খ
7
গ
9
ঘ
11

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_0.50.125 + log₂64 এর মান কত?

সমাধান:
log_0.50.125 + log264
= log_0.5(0.5)³ + log226
= 3log_0.5(0.5) + 6log₂2
= 3 × 1 + 6 × 1
= 3 + 6
= 9

৪,২৯৩.

49x² - 70x এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে?

ক
9
খ
14
গ
16
ঘ
25

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 49x² - 70x এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
49x² - 70x
= (7x)² - 2.7x.5 + 5² - 5²
= (7x - 5)² - 25

∴ 49x² - 70x এর সাথে 25 যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

৪,২৯৪.

একটি ধনাত্নক সংখ্যার দ্বিগুণের বর্গের সাথে 15 যোগ করলে যোগফল 415 হয়। সংখ্যাটি কত?

ক
ক) 12
খ
খ) 10
গ
গ) 14
ঘ
ঘ) 16

ব্যাখ্যা

মনে করি,
সংখ্যাটি x

প্রশ্নমতে,
(2x)² + 15 = 415
4x² + 15 = 415
4x² = 400
x² = 100
x² = 10²
x = 10

৪,২৯৫.

নিচের কোনটি 3a² - 16a - 12 এর একটি উৎপাদক?

ক
(a + 2)
খ
(3a + 2)
গ
(3a - 1)
ঘ
(4a + 2)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি 3a² - 16a - 12 এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
3a² - 16a - 12
= 3a² - 18a + 2a - 12
= 3a(a - 6) + 2(a - 6)
= (a - 6)(3a + 2)

৪,২৯৬.

15 টি ফলের মধ্যে 6 টি ফল কত প্রকারে বাছাই করা যায়, যাতে নির্দিষ্ট তিনটি ফল সর্বদা বাদ থাকে?

ক
983
খ
432
গ
589
ঘ
924

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 15 টি ফলের মধ্যে 6 টি ফল কত প্রকারে বাছাই করা যায়, যাতে নির্দিষ্ট তিনটি ফল সর্বদা বাদ থাকে?

সমাধান:
নির্দিষ্ট তিনটি ফল সর্বদা বাদ থাকে, অতএব (15 - 3) বা 12 টি থেকে 6 টি বাছাই করতে হবে।

∴ বাছাই করার উপায় = ¹²C₆
= 12!/(6! 6!)
= 924

৪,২৯৭.

x² - 6x + 8, x² - 7x + 10 এবং x² - 5x + 6 এর গ.সা.গু = কত?

ক
ক) (x - 3)
খ
খ) (x - 4)
গ
গ) (x - 5)
ঘ
ঘ) (x - 2)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² - 6x + 8, x² - 7x + 10 এবং x² - 5x + 6 এর গ.সা.গু = কত?

সমাধান:
১ম রাশি = x² - 6x + 8
= x² - 2x - 4x + 8
= x(x - 2) - 4(x - 2)
= (x - 2)(x - 4)

৩য় রশি = x² - 7x + 10
= x² - 2x - 5x + 10
= x(x - 2) - 5(x - 2)
= (x - 2)(x - 5)

২য় রশি = x² - 5x + 6
= x² - 2x - 3x + 6
= x(x - 2) - 3(x - 2)
= (x - 2)(x - 3)

নির্ণেয় গ.সা.গু = (x - 2)

৪,২৯৮.

একটি শ্রেণিতে যতজন ছাত্রী আছে প্রত্যেককে তত টাকা করে প্রদান করলে মোট ৫০৪১ টাকা হয়। ছাত্রী সংখ্যা কত?

ক
৬১ জন
খ
৮১ জন
গ
৬৫ জন
ঘ
৭১ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিতে যতজন ছাত্রী আছে প্রত্যেককে তত টাকা করে প্রদান করলে মোট ৫০৪১ টাকা হয়। ছাত্রী সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি, ছাত্রী সংখ্যা = ক
এবং প্রত্যেক ছাত্রীকে তার সংখ্যার সমান টাকা দিলে মোট ৫০৪১ টাকা হয়।

প্রশ্নমতে,
⇒ ক × ক = ৫০৪১
⇒ ক^২ = ৫০৪১
⇒ ক = √৫০৪১
∴ ক = ৭১

সুতরাং ছাত্রী সংখ্যা হলো ৭১ জন।

৪,২৯৯.

একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে 100 এবং 50 হলে ধারাটির পঞ্চম পদ কত?

ক
25
খ
25/4
গ
1/25
ঘ
4/25

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে 100 এবং 50 হলে ধারাটির পঞ্চম পদ কত?

সমাধান:

৪,৩০০.

6x² - 7x - 5 এর উৎপাদক নিচের কোনটি?

ক
ক) (3x - 5)(2x + 1)
খ
খ) (3x + 5)(2x - 1)
গ
গ) (2x + 5)(3x - 1)
ঘ
ঘ) (2x - 5)(3x + 1)

ব্যাখ্যা

6x² - 7x - 5
6x² - 10x + 3x - 5
2x(3x - 5) + 1(3x - 5)
(3x - 5)(2x + 1)