বীজগণিত

PrepBank · পাতা ৩১ / ২০১ · ৩,০০১–৩,১০০ / ২০,২০৭

৩,০০১.

(256)^3/4 + (243)^2/5 = 146y হলে, y এর মান কত?

ক
ক) 2
খ
খ) 1/2
গ
গ) 4
ঘ
ঘ) 1/4

ব্যাখ্যা

(256)^3/4 + (243)^2/5 = 146y
⇒ (4⁴)^3/4 + (3⁵)^2/5 = 146y
⇒ {(4⁴)^1/4}³ + {(3⁵)^1/5}² = 146y
⇒ 4³ + 3² = 146y
⇒ 64 + 9 = 146y
⇒ 73 = 146y
⇒ y = 73/146
⇒ y = 1/2

৩,০০২.

x³ - x - 24 এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?

ক
ক) x - 1
খ
খ) x - 2
গ
গ) x - 3
ঘ
ঘ) x - 4

ব্যাখ্যা

ধরি,
f(x) = x³ - x - 24
f(3) = 3³ - 3 - 24
f(3) =27 - 27
= 0
(x - 3) হলো x³ - x - 24 এর একটি উৎপাদক।

৩,০০৩.

৩, ৭, ২, ৪, ৬, ১, ১৫ ও ১০ সংখ্যাগুলোর প্রচুরক কত?

ক
ক) ১৫
খ
খ) ১
গ
গ) ১০
ঘ
ঘ) প্রচুরক নেই

ব্যাখ্যা

উপাত্তের মধ্যে যে সংখ্যাটি সব থেকে বেশি সংখ্যকবার থাকে তাকে প্রচুরক বলে।
প্রদত্ত উপাত্তে কোন সংখ্যাই এক বারের বেশি নেই। তাই এখানে প্রচুরক নেই।

৩,০০৪.

এক ব্যক্তির 5 জন বন্ধু আছে। সে কত প্রকারে এক বা একাধিক বন্ধুকে নিমন্ত্রণ করতে পারে?

ক
ক) 63
খ
খ) 64
গ
গ) 32
ঘ
ঘ) 31

ব্যাখ্যা

5 জন বন্ধুর মধ্য থেকে সমাবেশ গঠন করতে প্রত্যেক বন্ধুর জন্য দুইভাবে ব্যবস্থা করা যাবে- তাকে নিমন্ত্রণ করা অথবা বাদ দেওয়া।
যেহেতু প্রতি বন্ধুর যেকোনো ব্যবস্থার সাথে অবশিষ্ট প্রতিটি বন্ধুর যেকোনো ব্যবস্থা সংযোগ করা যায়।
অতএব 5 জন বন্ধুকে মোট 2×2×2×2×2 = 2⁵ উপায়ে ব্যবস্থা করা যাবে।

কিন্তু এর মধ্যে একটি সমাবেশে সব বন্ধুই বাদ পড়ে গেছে যা গ্রহণযোগ্য নয়।

সুতরাং নির্ণেয় নিমন্ত্রণের সংখ্যা = 2⁵ - 1
= 32 - 1
= 31

৩,০০৫.

২-৫-১২-১৯ ........... ধারাটির ১৬ তম পদ?

ক
ক) -৬১
খ
খ) -৬৭
গ
গ) -৯৩
ঘ
ঘ) -১০৩

ব্যাখ্যা

ধারাটির প্রথম পদ a = ২, সাধারণ অন্তর d = -৫-২ = -৭
১৬ তম পদ = a+(১৬-১)d
= ২ + ১৫(-৭) = ২-১০৫ = -১০৩

৩,০০৬.

A ও B দুইটি শেয়ার কোম্পানির শেয়ার গড় মূল্য যথাক্রমে 20 টাকা ও 25 টাকা, যার পরিমিত ব্যবধান যথাক্রমে 5.6 টাকা ও 5 টাকা। A কোম্পানির শেয়ার মূল্যের বিভেদাঙ্ক কত?

ক
ক) 20%
খ
খ) 28%
গ
গ) 15%
ঘ
ঘ) 24%

ব্যাখ্যা

A কোম্পানির শেয়ার মূল্যের বিভেদাঙ্ক
= 5.6/20 × 100%
= 28%

৩,০০৭.

7, p, q, 189 একটি গুণোত্তর ধারা হলে p ও q এর মান কত?

ক
21, 42
খ
42, 63
গ
21, 63
ঘ
21, 84

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 7, p, q, 189 একটি গুণোত্তর ধারা হলে p ও q এর মান কত?

সমাধান:
ধারাটির প্রথম পদ, a = 7
ধরি, সাধারণ অনুপাত = r
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = ar^{n - 1}
ধারাটির ৪র্থ পদ = ar^{4 - 1} = ar³
⇒ ar³ = 189
⇒ 7r³ = 189
⇒ r³ = 189/7 = 27
∴ r = 3
ধারাটির দ্বিতীয় পদ, p = ar¹ = 7 × 3 = 21
ধারাটির তৃতীয় পদ, q = ar² = 7 × 3² = 63

৩,০০৮.

64 + 32 + 16 + 8 + ..... ধারাটির ৮ম পদ কত?

ক
1
খ
2
গ
1/2
ঘ
3/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 64 + 32 + 16 + 8 + ..... ধারাটির ৮ম পদ কত?

সমাধান:
এখানে,
32 ÷ 64 = 1/2
16 ÷ 32 = 1/2
ইহা একটি গুণোত্তর ধারা।

ধারাটির প্রথম পদ, a = 64
ধারাটির সাধারণ অনুপাত, r = 1/2
পদ, n = 8

আমরা জানি,
n তম পদ, ar^{n -1}
∴ ৮ম পদ = 64 × (1/2)^{8 - 1}
= 64 × (1/2)⁷
= 64 × 1/128
= 64/128
= 1/2

৩,০০৯.

a² + 13a + 36 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন।

ক
(a + 12)(a + 3)
খ
(a + 9)(a + 4)
গ
(a + 6)(a + 6)
ঘ
(a + 8)(a + 5)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a² + 13a + 36 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a² + 13a + 36
= a² + 9a + 4a + 36
= a(a + 9) + 4(a + 9)
= (a + 9)(a + 4)

৩,০১০.

যদি log₇(a + 3) + log₇(a - 3) = 1, তাহলে a = ?

ক
4
খ
9
গ
10
ঘ
12

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি log₇(a + 3) + log₇(a - 3) = 1, তাহলে a = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,

৩,০১১.

প্রথম ১০ কেজি পরিবহনের জন্য প্রতি কেজিকে ৫ টাকা এবং ১০ কেজির উপরে প্রতি কেজিতে ৪ টাকা ফি নেওয়া হয়। ২৭ কেজি পরিবহনের জন্য কত ফি দিতে হবে?

ক
১০২ টাকা
খ
১০৬ টাকা
গ
১১০ টাকা
ঘ
১১৮ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: প্রথম ১০ কেজি পরিবহনের জন্য প্রতি কেজিকে ৫ টাকা এবং ১০ কেজির উপরে প্রতি কেজিতে ৪ টাকা ফি নেওয়া হয়। ২৭ কেজি পরিবহনের জন্য কত ফি দিতে হবে?

সমাধান:
প্রথম ১০ কেজির মধ্যে
১ কেজি পরিবহনের জন্য দিতে হবে = ৫ টাকা
১০ কেজি পরিবহনের জন্য দিতে হবে = ৫ × ১০ টাকা
= ৫০ টাকা

(২৭ - ১০) = ১৭ কেজিতে
১ কেজি পরিবহনের জন্য দিতে হবে = ৪ টাকা
১৭ কেজি পরিবহনের জন্য দিতে হবে = ৪ × ১৭ টাকা
= ৬৮ টাকা

২৭ কেজিতে ফি দিতে হবে = (৫০ + ৬৮) টাকা
= ১১৮ টাকা

৩,০১২.

ক
8/5
খ
10/3
গ
4/3
ঘ
5/12

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৩,০১৩.

।5x - 4। < 6 অসমতাটির সমাধান হলো-

ক
ক) - 2/5 < x < 2
খ
খ) - 4/5 < x < 3
গ
গ) - 1/5 < x < 4
ঘ
ঘ) - 3/5 < x < 5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ।5x - 4। < 6 অসমতাটির সমাধান হলো-

সমাধান:
।5x - 4। < 6
- 6 < 5x - 4 < 6
- 6 + 4 < 5x - 4 + 4 < 6 + 4
- 2 < 5x < 10
- 2/5 < 5x/5 < 10/5
- 2/5 < x < 2

৩,০১৪.

√(x^-1y) × √(y^-1z) × √(z^-1x) এর সরল মান কত?

ক
ক) 0
খ
খ) 1
গ
গ) xyz
ঘ
ঘ) ± 1

ব্যাখ্যা

√(x^-1y) × √(y^-1z) × √(z^-1x)
= √(y/x).√(z/y).√(x/z)
= √(y/x × z/y × x/z)
= √1
= 1

৩,০১৫.

A = {x : x² - 5x + 6 = 0} এবং B = {x : x² - 11x + 24 = 0} হয় তবে (A - B) এর মান কত?

ক
ক) {2, 3}
খ
খ) {2}
গ
গ) {8}
ঘ
ঘ) {3, 8}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A = {x : x² - 5x + 6 = 0} এবং B = {x : x² - 11x + 24 = 0} হয় তবে (A - B) এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
x² - 5x + 6 = 0
বা, x² - 2x - 3x + 6 = 0
বা, x(x - 2) - 3(x - 2) = 0
বা, (x - 2)(x - 3) = 0

হয় x - 2 = 0
বা, x = 2
অথবা,
x - 3 = 0
বা, x = 3

∴ A = {2, 3}

আবার,
x² - 11x + 24 = 0
বা, x² - 3x - 8x + 24 = 0
বা, x(x - 3) - 8(x - 3) = 0
বা, (x - 3)(x - 8) = 0

হয়
x - 3 = 0
বা, x = 3
অথবা,
x - 8 = 0
বা, x = 8

∴ B = {3, 8}

এখন,
A - B = {2, 3} - {3, 8}
= {2}

৩,০১৬.

একটি মুদ্রাকে তিনবার নিক্ষেপ করা হল। কমপক্ষে একটি T পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
ক) 1/8
খ
খ) 3/4
গ
গ) 3/8
ঘ
ঘ) 7/8

ব্যাখ্যা

একটি মুদ্রাকে তিনবার নিক্ষেপ করলে নমুনা বিন্দু হবে = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}
= 8 টি
নমুনা ক্ষেত্র থেকে দেখা যাচ্ছে, কমপক্ষে একটি T আছে {HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT} ৭টিতে।
সুতরাং কমপক্ষে একটি T আসার সম্ভাবনা = 7/8।

৩,০১৭.

m³ - 21m - 20 এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?

ক
(m - 1)
খ
(m + 3)
গ
(m + 1)
ঘ
(m + 2)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: m³ - 21m - 20 এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান:
এখানে,
m = 1 বসিয়ে পাই,
m³ - 21m - 20 = (- 1)³ - 21 (- 1) - 20
= - 1 + 21 - 20
= 0

∴ (m + 1) হবে রাশিটির একটি উৎপাদক।
m³ - 21m - 20
= m³ + m² - m² - m - 20m - 20
= m²(m + 1) - m(m +1) - 20(m + 1)
= (m + 1) (m² - m - 20)

৩,০১৮.

(y + 5)(y - 5) = 39 হলে y এর মান কত?

ক
ক) ±5
খ
খ) ±6
গ
গ) ±8
ঘ
ঘ) ±7

ব্যাখ্যা

(y + 5)(y - 5) = 39
y² - 5² = 39
y² - 25 = 39
y² = 39 + 25
y² = 64
y = ±√64
y = ±8

৩,০১৯.

যদি x - 1/x = 7 হলে, x⁴ + 1/x⁴ এর মান কত?

ক
2401
খ
2211
গ
2599
ঘ
2603

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x - 1/x = 7 হলে, x⁴ + 1/x⁴ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x - 1/x = 7
⇒ (x - 1/x)² = 7²
⇒ x² + 1/x² - 2.x.(1/x) = 49
⇒ x² + 1/x² = 51
⇒ (x² + 1/x²)² = (51)²
⇒ x⁴ + 1/x⁴ + 2.x².(1/x²) = 2601
∴ x⁴ + 1/x⁴ = 2599

৩,০২০.

। 3 - x । < 7 এর সমাধান কোনটি?

ক
ক) - 4 > x > 10
খ
খ) 4 < x < 10
গ
গ) - 4 < x
ঘ
ঘ) - 4 < x < 10

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: । 3 - x । < 7 এর সমাধান কোনটি?

সমাধান:
3 - x < 7
⇒ 3 - 7 < x
⇒ - 4 < x
∴ x > - 4

-(3 - x) < 7
⇒ 3 - x > - 7
⇒ 3 + 7 > x
⇒ 10 > x
∴ x < 10

। 3 - x । < 7 এর সমাধান - 4 < x < 10

৩,০২১.

।2x - 5। < 3 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

ক
ক) 3 < x < 5
খ
খ) - 2 < x < 2
গ
গ) 1 < x < 4
ঘ
ঘ) - 1/2 < x < 2

ব্যাখ্যা

।2x - 5। < 3
- 3 < 2x - 5 < 3
- 3 + 5 < 2x - 5 + 5 < 3 + 5
2 < 2x < 8
2/2 < 2x/2 < 8/2
1 < x < 4

৩,০২২.

x² + 1/x² = 98 হলে, (x + 1/x)³ =?

ক
729
খ
1331
গ
512
ঘ
1000

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² + 1/x² = 98 হলে, (x + 1/x)³ =?

সমাধান:
x² + 1/x² = 98
⇒ (x + 1/x)² - 2.x.(1/x) = 98
⇒ (x + 1/x)²= 98 + 2
⇒ (x + 1/x)²= 100
∴ x + 1/x = 10

∴ (x + 1/x)³ = (10)³= 1000

৩,০২৩.

3x² - 6x + 3 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?

ক
অবাস্তব ও অসমান
খ
বাস্তব ও অসমান
গ
বাস্তব ও সমান
ঘ
মূলদ ও অসমান

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3x² - 6x + 3 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
3x² - 6x + 3 = 0
এখানে, a = 3, b = - 6, c = 3

আমরা জানি, নিশ্চয়ক = b² - 4ac
= (- 6)² - 4 × 3 × 3
= 36 - 36
= 0

যেহেতু নিশ্চয়কের মান 0, তাই সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।

উল্লেখ্য:
দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি:
1. যদি b² - 4ac = 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
2. যদি b² - 4ac > 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
3. যদি b² - 4ac < 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে। অর্থাৎ কাল্পনিক।
4. যদি b² - 4ac > 0 এবং পূর্ণবর্গ হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে।

৩,০২৪.

128 + 64 + 32 + ............ ধারাটির কোন পদ 1/4 ?

ক
ক) 9
খ
খ) 10
গ
গ) 11
ঘ
ঘ) 12

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 128 + 64 + 32 + ............ ধারাটির কোন পদ 1/4 ?

সমাধান:
এখানে
a = 128
r = 64/128 = 1/2

ধরি,
n তম পদ = 1/4

প্রশ্নমতে,
ar^n-1 = 1/4
বা, 128 × (1/2)^{n - 1} = 1/4
বা, (1/2)^{n -1} = 1/512
বা, (1/2)^{n -1} = (1/2)⁹
বা, n - 1 = 9
বা, n = 9 + 1
∴ n = 10

৩,০২৫.

১²+২²+৩²+ ---- +৫০² = ?

ক
ক) ৩৫৭২৫
খ
খ) ৪২৯২৫
গ
গ) ৪৫৫০০
ঘ
ঘ) ৪৭২২৫

ব্যাখ্যা

ধারাটির যোগফল
= 1/6 × n(n + 1)(2n + 1)
= (1/6) × 50 (50 + 1)(2 × 50 +1)
= (1/6) × 50 × 51 × 101
= 42925

৩,০২৬.

a = 15 এবং b = 6 হলে 9a² - 48ab + 64b² এর মান কত?

ক
6
খ
7
গ
8
ঘ
9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a = 15 এবং b = 6 হলে 9a² - 48ab + 64b² এর মান কত?

সমাধান:
9a² - 48ab + 64b²
= (3a)² - 2. (3a). (8b) + (8b)²
= (3a - 8b)²
= {3 × (15) - 8 × (6)}²
= (45 - 48)²
= (- 3)²
= 9

৩,০২৭.

9 + 7 + 5 + ... ধারাটির প্রথম n সংখ্যক পদের যােগফল –144 হলে, n এর মান কত?

ক
ক) 8
খ
খ) 18
গ
গ) 9
ঘ
ঘ) 17

ব্যাখ্যা

১ম পদ,a = 9 এবং
সাধারণ অন্তর, d = 7 - 9 = - 2

ধারাটির প্রথম n সংখ্যক পদের যােগফল,
n/2{2 × 9 + (n - 1)(- 2)} = - 144
⇒ n/2{18 - 2n + 2} = - 144
⇒ n/2{20 - 2n} = - 144
⇒ n/2 × 2(10 - n) = - 144
⇒ n(10 - n) = - 144
⇒ 10n - n² = - 144
⇒ n² - 10n - 144 = 0
⇒ n² - 18n + 8n - 144 = 0
⇒ n(n - 18) + 8(n - 18) = 0
⇒ n = 18; n ≠ - 8

৩,০২৮.

log_3√21/324 = ?

ক
ক) -4
খ
খ) -3
গ
গ) 3
ঘ
ঘ) 4

ব্যাখ্যা

log_3√21/324 = log_3√21/(3√2)⁴
= log_3√2(3√2)^-4
= -4log_3√23√2
= -4.1
= -4

৩,০২৯.

যদি x + 1/x = 2 হয়, তাহলে x/(x² - x + 1) = কত?

ক
ক) 1
খ
খ) 2
গ
গ) 3
ঘ
ঘ) 4

ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে, x + 1/x = 2
বা, (x² +1)/x = 2
বা, x² +1 = 2x
এখন, x/(x² - x +1)
= x/(x² + 1 - x)
= x/(2x - x)
= x/x
= 1

৩,০৩০.

x² - 9, x² + 7x + 12, x³ + 27 বীজগাণিতিক রাশির ল.সা.গু. কত?

ক
(x³ + 27)
খ
(x + 4)(x - 3)(x³ + 27)
গ
(x - 4)(x³ + 27)
ঘ
(x - 4)(x - 3)(x³ + 9)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² - 9, x² + 7x + 12, x³ + 27 বীজগাণিতিক রাশির ল.সা.গু. কত?

সমাধান:
১ম রাশি = x² - 9
= x² - 3²
= (x + 3)(x - 3)

২য় রাশি = x² + 7x + 12
= x² + 4x + 3x + 12
= x(x + 4) + 3(x + 4)
= (x + 4)(x + 3)

৩য় রাশি = x³ + 27
= x³ + 3³
= (x + 3)(x² + 3x + 9)

∴ ল.সা.গু. = (x + 4)(x - 3)(x + 3)(x2 + 3x + 9)
= (x + 4)(x - 3)(x³ + 27)

৩,০৩১.

ধারাটির ধারাটির পরবর্তী সংখ্যা কত?
৩,৫, ৯, ১৭,............

ক
৩৩
খ
৩৪
গ
৫০
ঘ
৫২

ব্যাখ্যা

১ম পদ = ৩
২য়পদ = ৩ × ২ - ১ = ৫
৩য় পদ = ৫ × ২ - ১ = ৯
৪র্থ পদ = ৯ × ২ - ১ =১৭
৫ম পদ = ১৭ × ২ - ১ = ৩৩

৩,০৩২.

1 + (-1/2)ⁿ সাধারণ পদটির অনুক্রম কি হবে?

ক
1/2, 5/4, 7/8, 17/16,------
খ
3/2, 3/4, 10/9,15/16,-----
গ
1/2, 5/4, 7/8, 15/16,------
ঘ
3/2, 5/4, 7/8. 17/16,------

ব্যাখ্যা

1 + (-1/2)ⁿ সাধারণ পদটিতে,
n = 1 হলে, প্রথম পদটি = 1/2
n = 2 হলে, প্রথম পদটি = 5/4
n = 3 হলে, প্রথম পদটি = 7/8
n = 4 হলে, প্রথম পদটি = 17/16
-------------------------------
-------------------------------
অনুক্রমটি ঃ 1/2, 5/4, 7/8, 17/16, --------------------

৩,০৩৩.

উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন: 4x² - 4xy + y² - z²

ক
(2x + y + z) (2x - y - z)
খ
(2x - y + z) (2x - y + z)
গ
(2x - y + z) (2x + y - z)
ঘ
(2x - y + z) (2x - y - z)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন: 4x² - 4xy + y² - z²

সমাধান:
4x² - 4xy + y² - z²
= (2x)² - 2 × 2x × y + (y)² - z²
= (2x - y)² - z²
= (2x - y + z) (2x - y - z)

৩,০৩৪.

a - b = 4, ab = 221 হলে, a² + b² = কত?

ক
624
খ
334
গ
458
ঘ
552

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a - b = 4, ab = 221 হলে, a² + b² = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a - b = 4
এবং ab = 221

প্রদত্ত রাশি = a² + b²
= (a - b)² + 2ab
= (4)² + 2 × 221
= 16 + 442
= 458

৩,০৩৫.

একটি ছক্কা ২ বার নিক্ষেপ করা হলো। মোট ১১ উঠার সম্ভাবনা কত?

ক
১/৬
খ
১/১৮
গ
১/৩৬
ঘ
২/২১

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ছক্কা ২ বার নিক্ষেপ করা হলো। মোট ১১ উঠার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
২ বার নিক্ষেপ করলে মোট ৬ × ৬ = ৩৬ টি সম্ভাব্য মান থাকতে পারে।
এর মধ্যে ১১ হতে হলে ২ টি ঘটনা ঘটবে।
(৬, ৫) বা, (৫, ৬)

অর্থাৎ মোট ১১ উঠার সম্ভাবনা = ২/৩৬ = ১/১৮

৩,০৩৬.

7 জন ব্যক্তিকে 1 টি গোলটেবিলের চারপাশে কতভাবে বসানো যাবে?

ক
620
খ
720
গ
1120
ঘ
5040

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 7 জন ব্যক্তিকে 1 টি গোলটেবিলের চারপাশে কতভাবে বসানো যাবে?

সমাধান:
7 জন ব্যক্তিকে 1 টি গোলটেবিলের চারপাশে সাজানো যাবে (n - 1)! উপায়ে।
= (7 - 1)!
= 6!
= 720

৩,০৩৭.

একটি লঞ্চে যাত্রী সংখ্যা 47। মাথাপিছু কেবিনের ভাড়া ডেকের ভাড়ার দ্বিগুণ। ডেকের ভাড়া মাথাপিছু 30 টাকা। মোট ভাড়া প্রাপ্তি 1680 টাকা হলে কেবিনের যাত্রী সংখ্যা কত?

ক
9
খ
11
গ
12
ঘ
15

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি লঞ্চে যাত্রী সংখ্যা 47। মাথাপিছু কেবিনের ভাড়া ডেকের ভাড়ার দ্বিগুণ। ডেকের ভাড়া মাথাপিছু 30 টাকা। মোট ভাড়া প্রাপ্তি 1680 টাকা হলে কেবিনের যাত্রী সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
ডেকের যাত্রী ক জন
কেবিনের যাত্রী সংখ্যা ৪৭ - ক জন

ডেকের ভাড়া মাথাপিছু ৩০ টাকা
কেবিনের ভাড়া = ৩০ × ২ টাকা
= ৬০ টাকা

প্রশ্নমতে,
৩০ক + ৬০ (৪৭ - ক) = ১৬৮০ টাকা
⇒ ৩০ক + ২৮২০ - ৬০ক = ১৬৮০
⇒ ২৮২০ - ৩০ক = ১৬৮০
⇒ ৩০ক = ২৮২০ - ১৬৮০
⇒ ৩০ক = ১১৪০
∴ ক = ৩৮

কেবিনের যাত্রী সংখ্যা = ৪৭ - ৩৮ = ৯ জন

৩,০৩৮.

একটি বালিকা বিদ্যালয়ের একটি শ্রেণিকক্ষে প্রতিবেঞ্চে ৬ জন করে ছাত্রী বসালে ২ টি বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে ৫ জন করে ছাত্রী বসালে ৬ জন ছাত্রীকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণির ছাত্রী সংখ্যা কয়টি?

ক
৯০ জন
খ
৯৪ জন
গ
৯৬ জন
ঘ
৯৮ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বালিকা বিদ্যালয়ের একটি শ্রেণিকক্ষে প্রতিবেঞ্চে ৬ জন করে ছাত্রী বসালে ২ টি বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে ৫ জন করে ছাত্রী বসালে ৬ জন ছাত্রীকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণির ছাত্রী সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
ধরি, বেঞ্চ সংখ্যা ক

একটি বালিকা বিদ্যালয়ের একটি শ্রেণিকক্ষে প্রতিবেঞ্চে ৬ জন করে ছাত্রী বসালে ২ টি বেঞ্চ খালি থাকে।
ছাত্রী সংখ্যা = (ক - ২) × ৬ জন

প্রতি বেঞ্চে ৫ জন করে ছাত্রী বসালে ৬ জন ছাত্রীকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়।
ছাত্রী সংখ্যা = ৫ক + ৬

প্রশ্নমতে,
৫ক + ৬ = (ক - ২) × ৬
⇒ ৫ক + ৬ = ৬ক - ১২
⇒ ৬ক - ৫ক = ১২ + ৬
∴ ক = ১৮

অতএব, ছাত্রী সংখ্যা = (৫ × ১৮) + ৬
= ৯০ + ৬
= ৯৬ জন

৩,০৩৯.

3^{x + 5} = 3^{x + 3} + (24/3) হলে, x এর মান কত?

ক
- 5
খ
8
গ
- 3
ঘ
2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3^{x + 5} = 3^{x + 3} + (24/3) হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
⇒ 3^{x + 5} = 3^{x + 3} + (24/3)
⇒ 3^{x + 3 + 2} = 3^{x + 3} + 8
⇒ 3^{x + 3} × 3² = 3^{x + 3} + 8
⇒ 3^{x + 3} × 9 = 3^{x + 3} + 8
⇒ 9y = y + 8 [ধরি, 3^{x + 3} = y]
⇒ 9y - y = 8
⇒ 8y = 8
⇒ y = 1
⇒ 3^{x + 3} = 3⁰
⇒ x + 3 = 0
∴ x = - 3

৩,০৪০.

যদি P(x) ধনাত্মক মাত্রার বহুপদী ও a কোন নির্দিষ্ট সংখ্যা হয়, তবে P(x) কে x - a দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ P(a) হবে। এটি কোন উপপাদ্য?

ক
ক) ভাগশেষ উপপাদ্য
খ
খ) উৎপাদক উপপাদ্য
গ
গ) উৎপাদক উপপাদদের বিপরীত উপপাদ্য
ঘ
ঘ) কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

যদি P(x) ধনাত্মক মাত্রার বহুপদী ও a কোন নির্দিষ্ট সংখ্যা হয়, তবে P(x) কে x - a দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ P(a) হবে। এটি ভাগশেষ উপপাদ্য।

প্রমানঃ
P(x) কে x - a দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 0 বা অশূন্য ধ্রুবক হবে।
ভাগশেষ R ও ভাগফল Q(x) হলে, ভাগের নিয়মে সকল x এর জন্য,
P(x) = (x - a)Q(x) + R
x = a বসিয়ে পাই,
P(x) = (a - a)Q(x) + R = R
∴ P(x) = R
সুতরাং যদি P(x) ধনাত্মক মাত্রার বহুপদী ও a কোন নির্দিষ্ট সংখ্যা হয়, তবে P(x) কে x - a দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ P(a) হবে।

৩,০৪১.

A = {1, 2, 3} এবং B = {1, 3} হলে -

ক
ক) A ⊂ B
খ
খ) A × B = B × A
গ
গ) A × A = B × B
ঘ
ঘ) B × B ⊂ A × A

ব্যাখ্যা

A × A = {(1, 1), (1, 2), (1, 3) (2, 1) (2, 2) (2, 3) (3, 1) (3, 2) (3, 3)}
B × B = {(1, 1), (1, 3), (3, 1) (3, 3)}
∴ A × A ⊂ B × B.

৩,০৪২.

এক চলকবিশিষ্ট বহুপদীর সাধারণ আকার কোনটি?

ক
ক) cx^p যেখানে, c = x-বর্জিত নির্দিষ্ট সংখ্যা যা শূন্য হতে পারে এবং p = অঋণাত্মক পূর্ণ সংখ্যা
খ
খ) cx^p যেখানে, c = x-বর্জিত নির্দিষ্ট সংখ্যা যা শূন্য হতে পারে এবং p = ঋণাত্মক পূর্ণ সংখ্যা
গ
গ) cx^p যেখানে, c = x-বর্জিত নির্দিষ্ট সংখ্যা যা শূন্য হতে পারে এবং p = ধণাত্মক পূর্ণ সংখ্যা
ঘ
ঘ) cx^p যেখানে, c = স্বাভাবিক সংখ্যা এবং p = অঋণাত্মক পূর্ণ সংখ্যা

ব্যাখ্যা

cx^p যেখানে, c = x-বর্জিত নির্দিষ্ট সংখ্যা যা শূন্য হতে পারে এবং p = অঋণাত্মক পূর্ণ সংখ্যা

৩,০৪৩.

'ACADEMIC' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা কত?

ক
10020 উপায়ে
খ
10040 উপায়ে
গ
10080 উপায়ে
ঘ
10060 উপায়ে

ব্যাখ্যা

'ACADEMIC' শব্দটিতে বর্ণ আছে 8টি Academic
A = 2 টি
C=2টি

∴ সাজানো যাবে =8!/(2!2!)
=10080 উপায়ে

৩,০৪৪.

x² + 5x, x² - 25, x² + 7x + 10 এর গ.সা.গু কত?

ক
x - 5
খ
x(x + 5)
গ
(x + 5)
ঘ
x(x - 5)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² + 5x, x² - 25, x² + 7x + 10 এর গ.সা.গু কত?

সমাধান:
১ম রাশি,
= x² + 5x
= x(x + 5)

২য় রাশি,
= x² - 25
= x² - 5²
= (x + 5)(x - 5)

৩য় রাশি,
= x² + 7x + 10
= x² + 2x +5x + 10
= x(x + 2) + 5(x + 2)
= (x + 2)(x + 5)

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = (x + 5) ।

৩,০৪৫.

যদি x+5y = 16 এবং x = 3y হয়, তাহলে y = কত?

ক
2
খ
-4
গ
-2
ঘ
4

ব্যাখ্যা

এখানে, x + 5y = 16
বা, 3y + 5y = 16
বা, 8y = 16
∴ y = 2

৩,০৪৬.

একটি পাত্রে ৫টি লাল এবং ৪টি সবুজ বল এবং অপর একটি পাত্রে ৩টি লাল ও ৬টি সবুজ বল আছে। প্রত্যেক পাত্র হতে একটি করে বল তোলা হলে, প্রত্যেক বলের মধ্যে কমপক্ষে একটি বল লাল হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
ক) ৮/৯
খ
খ) ৪/৯
গ
গ) ১/৮১
ঘ
ঘ) ১৯/২৭

ব্যাখ্যা

১ম পাত্রে
লাল বল = ৫টি
সবুজ বল = ৪টি
মোট বল = (৫ + ৪)টি = ৯টি

২য় পাত্রে
লাল বল = ৩টি
সবুজ বল = ৬টি
মোট বল = (৩ + ৬)টি = ৯টি

১ম পাত্রে হতে লাল এবং ২য় পাত্রে সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা = (৫/৯) × (৬/৯) = ১০/২৭
১ম পাত্রে হতে সবুজ এবং ২য় পাত্রে লাল হওয়ার সম্ভাবনা = (৪/৯) × (৩/৯) = ৪/২৭
১ম পাত্রে হতে লাল এবং ২য় পাত্রে লাল হওয়ার সম্ভাবনা = (৫/৯) × (৩/৯) = ৫/২৭

মোট লাল বল হওয়ার সম্ভবনা = (১০/২৭) + (৪/২৭) + (৫/২৭)
= (১০ + ৪ + ৫)/২৭
= ১৯/২৭

৩,০৪৭.

2(a² + b²) = কত?

ক
ক) (a - b)² - (a + b)²
খ
খ) (a + b)² - (a - b)²
গ
গ) (a + b)² + (a - b)²
ঘ
ঘ) (a + b)² - 4ab

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2(a² + b²) = কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
a² + b² = (a + b)² - 2ab
বা, a² + b² = (a - b)² + 2ab
বা, a² + b² = {(a + b)² + (a - b)²}/2
বা, 2(a² + b²) = (a + b)² + (a - b)²

∴ 2(a² + b²) = (a + b)² + (a - b)²

৩,০৪৮.

একটি প্রশ্নপত্রে ক বিভাগ, খ বিভাগ প্রতিটিতে 5টি করে মোট দশটি প্রশ্ন আছে। একজন পরীক্ষার্থী কোন বিভাগ থেকে 4টির বেশি প্রশ্ন না নিয়ে মোট 6টি প্রশ্ন কত উপায়ে বাছাই করতে পারবে?

ক
25
খ
200
গ
1000
ঘ
80

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি প্রশ্নপত্রে ক বিভাগ, খ বিভাগ প্রতিটিতে 5টি করে মোট দশটি প্রশ্ন আছে। একজন পরীক্ষার্থী কোন বিভাগ থেকে 4টির বেশি প্রশ্ন না নিয়ে মোট 6টি প্রশ্ন কত উপায়ে বাছাই করতে পারবে?

সমাধান:
6টি প্রশ্ন বাছাই করার ক্ষেত্রে,
(i) ক বিভাগ হতে 2টি খ বিভাগ হতে 4টি
(ii) ক বিভাগ হতে 3টি খ বিভাগ হতে 3টি
(iii) ক বিভাগ হতে 4টি খ বিভাগ হতে 2টি প্রশ্ন বাছাই করবে।

(i) এর ক্ষেত্রে বাছাই করার উপায় = ⁵C₂ × ⁵C₄
= 10 × 5 = 50

(ii) এর ক্ষেত্রে বাছাই করার উপায় = ⁵C₃ × ⁵C₃
= 10 × 10 = 100

(iii) এর ক্ষেত্রে বাছাই করার উপায় = ⁵C₄ × ⁵C₂= 5 × 10 = 50

∴ বাছাই করার মোট উপায় = 50 + 100 + 50 = 200

৩,০৪৯.

2 + x + y + 16 গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে, xy এর মান কত?

ক
32
খ
40
গ
56
ঘ
24

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2 + x + y + 16 গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে, xy এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ, a = 2

ধরি,
সাধারণ অনুপাত = r

প্রশ্নমতে,
ar^4-1 = 16
⇒ ar³ = 16
⇒ 2 . r³ = 16
⇒ r³ = 8 = 2³
∴ r = 2

∴ ধারাটির দ্বিতীয় পদ,
x = ar^{2 - 1}
= 2 × 2^{2 - 1}
∴ x = 4

∴ ধারাটির তৃতীয় পদ,
y = 2 × 2^{3 - 1}
= 2 × 2²
∴ y = 8

∴ xy = 4 × 8
= 32

৩,০৫০.

JOEBIDEN শব্দের বর্ণগুলোর সবগুলো একত্রে নিয়ে কত উপায়ে সাজানো যায়, যেন ১ম ও শেষ অক্ষর E থাকে?

ক
ক) 20,160
খ
খ) 720
গ
গ) 40320
ঘ
ঘ) 360

ব্যাখ্যা

শব্দটিতে মোট 8টি বর্ণ আছে, যাদের মধ্যে ২টি E।
১ম এবং শেষ E নির্দিষ্ট রেখে অবশিষ্ট বর্ণগুলো সাজানো যায় 6! = 720 উপায়ে

৩,০৫১.

a - (1/a) = 4 হলে, a³ - (1/a³) = কত?

ক
- 76
খ
76
গ
- 79
ঘ
79

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a - 1/a = 4 হলে, a³ - 1/a³ = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
a - 1/a = 4

এখানে
a³ - 1/a³= a³- (1/a)³
= (a - 1/a)³ + 3.a./a(a - 1/a)
= 4³ + 3 × 4
= 64 + 12
= 76

৩,০৫২.

ইংরেজি প্রশ্নপত্রে দুইটি গ্রুপের প্রতিটি গ্ৰুপে 5টি করে প্রশ্ন আছে। একজন পরীক্ষার্থীকে 6টি করে প্রশ্নের উত্তর দিতে হবে কিন্তু কোনো গ্ৰুপ থেকে 4টির বেশি উত্তর দিতে পারবে না। পরীক্ষার্থী কত প্রকারে প্রশ্নগুলো বাছাই করতে পারবে?

ক
ক) 180
খ
খ) 160
গ
গ) 200
ঘ
ঘ) 220

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ইংরেজি প্রশ্নপত্রে দুইটি গ্রুপের প্রতিটি গ্ৰুপে 5টি করে প্রশ্ন আছে। একজন পরীক্ষার্থীকে 6টি করে প্রশ্নের উত্তর দিতে হবে কিন্তু কোনো গ্ৰুপ থেকে 4টির বেশি উত্তর দিতে পারবে না। পরীক্ষার্থী কত প্রকারে প্রশ্নগুলো বাছাই করতে পারবে?

সমাধান:
গ্ৰুপ(১)- ৫ গ্ৰুপ(২)- ৫
1) 4 2
2) 3 3
3) 2 4

১) নং ক্ষেত্রে প্রশ্ন বাছাইয়ের উপায় = ⁵C₄ × ⁵C₂ = 5 × 10 = 50
২)নং ক্ষেত্রে প্রশ্ন বাছাইয়ের উপায় = ⁵C₃ × ⁵C₃ = 10 × 10 =100
৩)নং ক্ষেত্রে প্রশ্ন বাছাইয়ের উপায় = ⁵C₂ × ⁵C₄ = 10 × 5 =50

প্রশ্ন বাছাইয়ের মোট উপায় = 50 + 100 + 50 = 200

৩,০৫৩.

(9x)⁰ + 9x⁰ + (9x)⁰ এর মান কত?

ক
1
খ
10
গ
11
ঘ
0

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (9x)⁰ + 9x⁰ + (9x)⁰ এর মান কত?

সমাধান:
(9x)⁰ + 9x⁰ + (9x)⁰
= 1 + (9 × 1) + 1
= 1 + 9 + 1
= 11

৩,০৫৪.

f(x) = x³ - 4x² - 2x -15 এর একটি উৎপাদক হলো-

ক
ক) x - 5
খ
খ) x - 2
গ
গ) x - 1
ঘ
ঘ) x + 1

ব্যাখ্যা

f(x) = x³ - 4x² - 2x -15
f(5) = 5³ - 4 .5² - 2.5 -15
=125 - 100 - 10 - 15
= 125 - 125
= 0
f(x) = x³ - 4x² - 2x -15 এর একটি উৎপাদক হলো x - 5

৩,০৫৫.

সৌরভ 3 টাকা দরে x টি কলম এবং 6 টাকা দরে (x + 2) টি খাতা কিনেছে। মোট ক্রয়মূল্য অনুর্দ্ধ 93 টাকা হলে, সে সর্বাধিক কয়টি কলম কিনেছে?

ক
7 টি
খ
8 টি
গ
9 টি
ঘ
10 টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সৌরভ 3 টাকা দরে x টি কলম এবং 6 টাকা দরে (x + 2) টি খাতা কিনেছে। মোট ক্রয়মূল্য অনুর্দ্ধ 93 টাকা হলে, সে সর্বাধিক কয়টি কলম কিনেছে?

সমাধান:
x টি কলমের ক্রয়মূল্য = 3x টাকা
আবার, (x + 2) টি খাতার ক্রয়মূল্য = 6(x + 2) টাকা

প্রশ্নমতে,
3x + 6 (x + 2) ≤ 93
⇒ 3x + 6x + 12 ≤ 93
⇒ 9x + 12 ≤ 93
⇒ 9x + 12 - 12 ≤ 93 - 12 [উভয় পক্ষ হতে 12 বিয়োগ করে]
⇒ 9x ≤ 81
⇒ 9x/9 ≤ 81/9 [উভয় পক্ষকে 9 দ্বারা ভাগ করে]
∴ x ≤ 9

অতএব, সৌরভ সর্বাধিক 9 টি কলম কিনেছে।

৩,০৫৬.

x² + 5x - 6 < 0 এর সমাধান -

ক
ক) 1 < x < 6
খ
খ) -6 < x < 1
গ
গ) x < 1 অথবা x > 6
ঘ
ঘ) x < -6 অথবা x > 1

ব্যাখ্যা

x² + 5x - 6 < 0
বা, (x + 6) (x - 1) < 0
এখন সংখ্যা রেখা হতে পাই,

সমাধান = -6 < x < 1

৩,০৫৭.

a - 1/a = 2 হলে a⁴ + (1/a)⁴ এর মান কত?

ক
ক) 40
খ
খ) 34
গ
গ) 32
ঘ
ঘ) 36

ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে, a - 1/a = 2
এখন, a² + (1/a)²
= (a - 1/a)² + 2. a. 1/a
= 2² + 2
= 4 + 2
∴ a² + (1/a)²= 6
বাঁ, {(a² + (1/a)²}²= 6²
বাঁ, a⁴ + 2.a².1/a² + (1/a)⁴ = 36
∴ a⁴ + (1/a)⁴ = 36 - 2 = 34

৩,০৫৮.

a + b = 7 এবং a² + b² = 25 হলে ab এর মান কোনটি?

ক
12
খ
10
গ
6
ঘ
5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a + b = 7 এবং a² + b² = 25 হলে ab এর মান কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে
a + b = 7
a² + b² = 25

আমরা জানি
(a + b)² = a² + b² + 2ab
বা, 7² = 25 = 2ab
বা, 49 - 25 = 2ab
বা, 2ab = 24
∴ ab = 12

৩,০৫৯.

(81)^0.16× (81)^0.09 এর মান কত?

ক
ক) 0
খ
খ) 1
গ
গ) 5
ঘ
ঘ) 3

ব্যাখ্যা

(81)^0.16× (81)^0.09
= (81)^{(0.16 + 0.09)}
= (81)^0.25
= (81)^25/100
= 81^1/4
= (3⁴)^(1/4)
= 3¹
= 3

৩,০৬০.

3x - 7y + 10 = 0 এবং y - 2x - 3 = 0 এর সমাধান -

ক
ক) x = -1, y = 2
খ
খ) x = -1, y = 1
গ
গ) x = 1, y = -1
ঘ
ঘ) x = -1, y = 0

ব্যাখ্যা

১ম সমীকরণ,
3x - 7y = -10
২য় সমীকরণ,
-14x + 7y = 21 [7y মিলানোর জন্য ২য় সমীকরণকে ৭ দিয়ে গুণ করা হয়েছে]
সমীকরণদ্বয় যোগ করলে পাই,
-11x = 11
∴ x = -1
এখন, ১ম সমীকরণে x এর মান বসিয়ে পাই,
3(-1) - 7y = -10
⇒ 7y = 10 - 3
∴ y = 1

৩,০৬১.

2a + (2/a) = 3 হলে, a² + (1/a²) এর মান কত?

ক
ক) 4
খ
খ) 1/3
গ
গ) 3
ঘ
ঘ) 1/4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2a + (2/a) = 3 হলে, a² + (1/a²) এর মান কত?

সমাধান:
2a + (2/a) = 3
⇒ a + (1/a) = 3/2

a² + (1/a²)
= (a + 1/a)² - 2.a.(1/a)
= (3/2)² - 2
= (9/4) - 2
= (9 - 8)/4
= 1/4

৩,০৬২.

১ হতে ২৭ পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যাগুলোর গড় কত?

ক
১২
খ
১০
গ
১৪
ঘ
১৮

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১ হতে ২৭ পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যাগুলোর গড় কত?

সমাধান:
এখানে,
ধারাটির পদগুলো হলো- ১, ২, ৩, ৪, ৫, ............... ২৭
এটি একটি সমান্তর ধারা,
∴ ধারাটির প্রথম পদ = ১
ধারাটির শেষ পদ = ২৭

∴ নির্ণেয় গড় = (শেষ পদ + প্রথম পদ)/২
= (২৭ + ১)/২
= ২৮/২
= ১৪

৩,০৬৩.

১ + ২ + ৩ + --- --- --- + ১৯৯ = ?

ক
১৯৯০০
খ
১৯৯০
গ
৩৯৮০০
ঘ
৯৯৫০

ব্যাখ্যা

১ + ২ + ৩ + --- --- --- + ১৯৯
= ১৯৯ × (১৯৯ + ১)/২
= ১৯৯ × ২০০ / ২
= ১৯৯ × ১০০
= ১৯৯০০

৩,০৬৪.

4 + 8 + 16 + 32 + .... ধারাটির n পদের সমষ্টি 508 হলে n = ?

ক
ক) 7
খ
খ) 8
গ
গ) 9
ঘ
ঘ) 10

ব্যাখ্যা

ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
১ম পদ (a) = 4,
সাধারন অনুপাত r = 2
∴ n পদের সমষ্টি = a.{(rⁿ - 1)/(r - 1)} = 508
বা, 4 × {(2ⁿ - 1)/(2 - 1)} = 508
বা, 4(2ⁿ - 1) = 508
বা, 2ⁿ-1 = 127
বা, 2ⁿ = 128 = 2⁷
∴ n = 7

৩,০৬৫.

নিম্নোক্ত উপাত্তগুলোর প্রচুরক কত?
4, 3, 2, 14, 8, 1, 11, 5, 9, 18, 7, 6, 8, 12, 17, 19, 16, 8, 13, 15

ক
3
খ
6
গ
7
ঘ
8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিম্নোক্ত উপাত্তগুলোর প্রচুরক কত?
4, 3, 2, 14, 8, 1, 11, 5, 9, 18, 7, 6, 8, 12, 17, 19, 16, 8, 13, 15

সমাধান:
প্রথমে উপাত্তগুলোকে মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19

এখানে উপাত্তগুলোর প্রচুরক হলো 8 কারণ 8 সংখ্যাটি সবচেয়ে বেশিবার রয়েছে।

৩,০৬৬.

4x² - 24x এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে?

ক
4
খ
9
গ
25
ঘ
36

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4x² - 24x এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
4x² - 24x
= (2x)² - 2.2x.6 + 6² - 6²
= (2x - 6)² - 36

∴ 4x² - 24x এর সাথে 36 যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

৩,০৬৭.

যদি g(x) = x⁴ + 2x³ + bx² + cx + 6 একটি বহুপদী ফাংশন যেখানে g(1) = 0 এবং g(- 2) = 0 হয়, তবে b এর মান নির্ণয় করুন?

ক
- 1
খ
3
গ
- 4
ঘ
2
ঙ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি g(x) = x⁴ + 2x³ + bx² + cx + 6 একটি বহুপদী ফাংশন যেখানে g(1) = 0 এবং g(- 2) = 0 হয়, তবে b এর মান নির্ণয় করুন?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
g(x) = x⁴ + 2x³ + bx² + cx + 6
⇒ g(1) = (1)⁴ + 2(1)³ + b(1)² + c(1) + 6
⇒ g(1) = 1 + 2 + b + c + 6
⇒ g(1) = b + c + 9
∴ b + c + 9 = 0 ...... (1) ;[g(1) = 0]

আবার,
g(x) = x⁴ + 2x³ + bx² + cx + 6
⇒ g(- 2) = (- 2)⁴ + 2(- 2)³ + b(- 2)² + c(- 2) + 6
⇒ g(- 2) = 16 - 16 + 4b - 2c + 6
⇒ g(- 2) = 4b - 2c + 6
⇒ 4b - 2c + 6 = 0 ;[g(- 2) = 0]
∴ 2b - c + 3 = 0 ......... (2)

এখন (1) + (2) করে পাই,
⇒ b + c + 9 + (2b - c + 3) = 0
⇒ b + c + 9 + 2b - c + 3 = 0
⇒ 3b = - 12
∴ b = - 4

৩,০৬৮.

কোনো শ্রেণির 35 জন শিক্ষার্থীর মধ্যে 20 জন ফুটবল এবং 15 জন ক্রিকেট খেলা পছন্দ করে । দুইটি খেলাই পছন্দ করে এরূপ শিক্ষার্থীর সংখ্যা 10। কতজন শিক্ষার্থী দুইটি খেলাই পছন্দ করে না?

ক
ক) 5 জন
খ
খ) 10 জন
গ
গ) 15 জন
ঘ
ঘ) 20 জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো শ্রেণির 35 জন শিক্ষার্থীর মধ্যে 20 জন ফুটবল এবং 15 জন ক্রিকেট খেলা পছন্দ করে । দুইটি খেলাই পছন্দ করে এরূপ শিক্ষার্থীর সংখ্যা 10। কতজন শিক্ষার্থী দুইটি খেলাই পছন্দ করে না?

সমাধান:
দুটি খেলা পছন্দ করে = 10 জন
শুধু ফুটবল পছন্দ করে = 20 - 10 = 10 জন
শুধু ক্রিকেট পছন্দ করে = 15 - 10 = 5 জন

∴খেলা পছন্দ করে = 10 + 10 + 5 = 25 জন

দুটি খেলাই পছন্দ করে না = 35 - 25 = 10 জন।

৩,০৬৯.

{x ∈ N : x মৌলিক সংখ্যা এবং x ≤ 5} সেটটির তালিকা পদ্ধতি নিচের কোনটি?

ক
{1, 3, 5}
খ
{1, 2, 5}
গ
{2, 3, 5}
ঘ
{3, 5, 7}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: {x ∈ N : x মৌলিক সংখ্যা এবং x ≤ 5} সেটটির তালিকা পদ্ধতি নিচের কোনটি?

সমাধান:
মৌলিক সংখ্যা: ১ এর চেয়ে বড় যে সকল সংখ্যাকে শুধু ১ এবং ঐ সংখ্যা ছাড়া আর কোনো সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না, তাদেরকে মৌলিক সংখ্যা বলে।
অর্থাৎ মৌলিক সংখ্যার উৎপাদক হবে দুইটি: ১ এবং শুধুমাত্র সেই সংখ্যাটি।

১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মোট মৌলিক সংখ্যা ২৫টি। - এগুলো হলো - ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯, ৬১, ৬৭, ৭১, ৭৩, ৭৯, ৮৩, ৮৯, ৯৭।

∴ {x ∈ N : x মৌলিক সংখ্যা এবং x ≤ 5} = {2, 3, 5}

৩,০৭০.

{(4^{m + 1})/((2^{m - 1})^{m + 1})} ÷ {(2^{m + 1})/(2^{m² - m}} = ?

ক
ক) 1/4
খ
খ) 1/2
গ
গ) 2
ঘ
ঘ) 4

ব্যাখ্যা

{(4^{m + 1})/((2^{m - 1})^{m + 1})} ÷ {(2^{m + 1})/(2^{m² - m}}
= {((2²)^{m + 1})/(2^{m² - 1}} ÷ {(2^{m + 1})/2^{m² - m}}
= (2^{2m + 2}/2^{m² - 1}) × (2^{m² - m}/2^{m + 1})
= (2^{2m + 2 + m² - m})/(2^{m² - 1 + m + 1)}
= (2^{m² + m + 2})/(2^{m² + m})
= 2^{m² + m + 2 - m² - m}
= 2²
= 4

৩,০৭১.

যদি a - b = 3 এবং a² + b² = 29 হয়, ab এর মান কত হবে?

ক
ক) 10
খ
খ) 11
গ
গ) 9
ঘ
ঘ) 12

ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে,
a - b = 3
a² + b² =29

আমরা জানি,
a² + b² = (a - b)² + 2ab
29 = 3² + 2ab
29 - 9 = 2ab
20 = 2ab
ab= 20/2
ab = 10

৩,০৭২.

x² - px - 14 রাশিটির একটি উৎপাদক x - 7 হলে, p এর মান কত?

ক
- 5
খ
6
গ
5
ঘ
- 7

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² - px - 14 রাশিটির একটি উৎপাদক x - 7 হলে, p এর মান কত?

সমাধান:
ধরি,
f(x) = x² - px - 14
x - 7, f(x) এর উৎপাদক বলে f(7) = 0 হবে

f(7) = 7² - p × 7 - 14
= 49 - 7p - 14
= 35 - 7p

শর্তমতে,
35 - 7p = 0
⇒ 7p = 35
∴ p = 5

৩,০৭৩.

2x = 3y + 5 হলে, 6x - 9y = কত?

ক
ক) 10
খ
খ) 12
গ
গ) 14
ঘ
ঘ) 15

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2x = 3y + 5 হলে, 6x - 9y = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2x = 3y + 5
2x - 3y = 5
3(2x - 3y) = 5 × 3
6x - 9y = 15

৩,০৭৪.

|a + 2| = |a - 1| হলে, a এর মান কত?

ক
3/2
খ
2
গ
1
ঘ
- 1/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |a + 2| = |a - 1| হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
|a + 2| = |a - 1|
⇒ |a + 2|² = |a - 1|²
⇒ (a + 2)² = (a - 1)²
⇒ a²+ 2 · a · 2 + 2²= a²- 2 · a · 1 + 1²
⇒ a²+ 4a + 4 - a²+ 2a - 1 = 0
⇒ 6a + 3 = 0
⇒ 6a = - 3
⇒ a = - 3/6
∴ a = - 1/2

৩,০৭৫.

a + b = 5 এবং a - b = 3 হলে, 15ab/(a² - b²) = কত?

ক
3
খ
4
গ
5
ঘ
6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a + b = 5 এবং a - b = 3 হলে, 15ab/(a² - b²) = কত?

সমাধানব:
a + b = 5 .......... (1)
এবং a - b = 3 ........... (2)

(1) + (2) ⇒ a + b + a - b = 5 + 3
⇒ 2a = 8
∴ a = 4

(1) - (2) ⇒ a + b - a + b = 5 - 3
⇒ 2b = 2
∴ b = 1

∴ 15ab/(a² - b²) = (15 ⋅ 4 ⋅ 1)/(4²- 1²)
= 60/(16 - 1)
= 4

৩,০৭৬.

log8 + log64 + log512 +............ ধারাটির প্রথম 9 টি পদের সমষ্টি কত?

ক
25log8
খ
45log8
গ
55log8
ঘ
80log8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log8 + log64 + log512 +............ ধারাটির প্রথম 9 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log 8 + log 64 + log 512 +...........
= log 8¹ + log 8²+ log 8³ +...........
= log 8 + 2 log 8 + 3 log 8 +...........
=( 1 + 2 + 3 +.....) log 8

এখন, 1 + 2 + 3 +..... ধারাটির 9 টি পদের সমষ্টি,
= n(n + 1)/2
= {9 × (9 + 1)}/2
= (9 × 10)/2
= 90/2
= 45

সুতরাং প্রদত্ত ধারাটির সমষ্টি = 45 log 8

৩,০৭৭.

3 এর গুণিতকের সেট কোন ধরনের সেট?

ক
ক) সসীম সেট
খ
খ) অসীম সেট
গ
গ) ফাঁকা সেট
ঘ
ঘ) পূরক সেট

ব্যাখ্যা

অসীম সেট (Infinite set):
যে সেটের উপাদান সংখ্যা গণনা করে নির্ধারণ করা যায় না, একে অসীম সেট বলে ।
অসীম সেটের একটি উদাহরণ 3 এর গুণিতকের সেট , A = {3, 6, 9, 12, 15,.......}
এখানে, A সেটের উপাদান সংখ্যা অসংখ্য যা গণনা করে নির্ধারণ করা যায় না ।

৩,০৭৮.

(4x + 3) এর বর্গ কত?

ক
ক) 4x² + 24x + 9
খ
খ) 16x² + 12x + 9
গ
গ) 8x² + 12x + 9
ঘ
ঘ) 16x² + 24x + 9

ব্যাখ্যা

(4x + 3) এর বর্গ
= (4x + 3)²
= (4x)² + 2.4x.3 + 3²
= 16x² + 24x + 9

৩,০৭৯.

গুণোত্তর ধারার ১ম পদ a, সাধারণ অনুপাত r এবং পদ সংখ্যা n হলে, n সংখ্যক পদের সমষ্টি কত?

ক
ক) 1 + ar + ar² + ar³ + --- --- --- + ar^{n - 1}
খ
খ) a + ar + ar² + ar³ + --- --- --- + ar^{n + 1}
গ
গ) a + ar + ar² + ar³ + --- --- --- + arⁿ
ঘ
ঘ) a + ar + ar² + ar³ + --- --- --- + ar^{n - 1}

ব্যাখ্যা

গুণোত্তর ধারার ১ম পদ a, সাধারণ অনুপাত r এবং পদ সংখ্যা n হলে, n সংখ্যক পদের সমষ্টি
= a + ar + ar² + ar³ + --- --- --- + ar^{n - 1}

৩,০৮০.

সমাধান করুন, |3 - x| > 7

ক
x < - 4 অথবা x > 10
খ
x < - 4 অথবা x > - 10
গ
x < - 4 অথবা x < 10
ঘ
x > - 4 অথবা x > 10

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমাধান করুন, |3 - x| > 7

সমাধান:
এখন, (3 - x) > 0 হলে প্রদত্ত অসমতা, 3 - x > 7
⇒ - x > 7 - 3
⇒ - x > 4
⇒ x < - 4 [ -1 দ্বারা গুণ করে ]

আবার, (3 - x) < 0 হলে প্রদত্ত অসমতা, - (3 - x ) > 7
⇒ 3 - x < - 7 [ -1 দ্বারা গুণ করে]
⇒ - x < - 7 - 3
⇒ - x < - 10
⇒ x > 10

∴ নির্ণেয় সমাধান: x < - 4 অথবা x > 10

৩,০৮১.

'ALGEBRA' শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?

ক
180
খ
360
গ
720
ঘ
কোনোটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'ALGEBRA' শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?

সমাধান:
'ALGEBRA' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে = 7 টি
Vowel আছে = 3 টি
Vowel তিনটিকে একটি ধরে মোট বর্ণ = 5 টি
5টি বর্ণকে সাজানো যায় = 5!
Vowel তিনটিকে সাজানো যায় = 3!/2! = 3 [ A আছে 2টি]

∴ স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট সাজানো যাবে = 5! × 3
= 120 × 3
= 360 ।

৩,০৮২.

x² - 1 - y (y - 2) এর উৎপাদক কত?

ক
(x - y + 1) (x + y + 1)
খ
(x - y - 1) (x - y + 1)
গ
(x - y - 1) (x + y - 1)
ঘ
(x + y - 1) (x - y + 1)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² - 1 - y (y - 2) এর উৎপাদক কত?

সমাধান:
x² - 1 - y (y - 2)
= x² - 1 - y² + 2y
= x² - (y² - 2y + 1)
= x² - (y - 1)²
= (x + y - 1) (x - y + 1)

৩,০৮৩.

(1/√2) - 1 + √2 - .........ধারাটির কত তম পদ 8√2?

ক
6 তম
খ
9 তম
গ
10 তম
ঘ
12 তম

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (1/√2) - 1 + √2 - .........ধারাটির কত তম পদ 8√2?

সমাধান:
১ম পদ, a = 1/(√2)
সাধারণ অনুপাত, r = (-1)/(1/√2) = (- √2)

মনেকরি,
ধারাটির n তম পদ = 8√2

∴ n তম পদ = ar^{n - 1} = 8√2
⇒ (1/√2)(-√2)^{n - 1} = 8√2
⇒ (-√2)^{n - 1}= (8√2 × √2)
⇒ (-√2)^{n - 1} = 8 × 2
⇒ (-√2)^{n - 1} = 16
⇒ (-√2)^{n - 1} = (-√2)⁸
⇒ n - 1 = 8
⇒ n = 8 + 1
∴ n = 9

৩,০৮৪.

কোন সংখ্যার ১/৩ অংশের সাথে ৮ যোগ করলে সংখ্যাটির ২/৩ অংশ হবে?

ক
২৪
খ
১৮
গ
৩২
ঘ
২৮

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার ১/৩ অংশের সাথে ৮ যোগ করলে সংখ্যাটির ২/৩ অংশ হবে?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
⇒ (ক/৩) + ৮ = ২ক/৩
⇒ (ক + ২৪)/৩ = ২ক/৩
⇒ ক + ২৪ = ২ক
⇒ ২ক - ক = ২৪
∴ ক = ২৪

৩,০৮৫.

পিতা ও দুই পুত্রের বর্তমান গড় বয়স ২৩ বছর। ৩ বছর পর দুই পুত্রের গড় বয়স ১২ বছর হলে,৩ বছর পর পিতার বয়স কত হবে?

ক
ক) ৫০ বছর
খ
খ) ৫১বছর
গ
গ) ৫২ বছর
ঘ
ঘ) ৫৪ বছর

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: পিতা ও দুই পুত্রের বর্তমান গড় বয়স ২৩ বছর। ৩ বছর পর দুই পুত্রের গড় বয়স ১২ বছর হলে,৩ বছর পর পিতার বয়স কত হবে?

সমাধান:
পিতা ও দুই পুত্রের বর্তমান গড় বয়স ২৩ বছর।
পিতা ও দুই পুত্রের বর্তমান বয়সের সমষ্টি = (২৩ × ৩)
= ৬৯ বছর

৩ বছর পর দুই পুত্রের গড় বয়স ১২ বছর
৩ বছর পর দুই পুত্রের বয়সের সমষ্টি = ১২ × ২ বছর
= ২৪ বছর
বর্তমানে দুই পুত্রের বয়সের সমষ্টি = ২৪ - ৩ - ৩ বছর
= ১৮ বছর

∴ পিতার বর্তমান বয়স = ৬৯ - ১৮ বছর
= ৫১ বছর

৩ বছর পর পিতার বয়স = ৫১ + ৩
= ৫৪ বছর

৩,০৮৬.

একটি শ্রেণির প্রতি বেঞ্চ ৪ জন করে ছাত্র বসালে ৩ টি বেঞ্চ খালি থাকে । আবার, প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে ছাত্র বসালে ৬ জন ছাত্রকে দাড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণির ছাত্র সংখ্যা কত?

ক
ক) ৫৫
খ
খ) ৬০
গ
গ) ৬৫
ঘ
ঘ) ৫০

ব্যাখ্যা

ছাত্র সংখ্যা ক হলে,
প্রশ্নমতে, ক/৪ + ৩ = ক/৩ - ৬/৩
⇒ ক/৪ + ৩ = ক/৩ - ২
⇒ ক/৩ - ক/৪ = ৩+২
⇒ (৪ক - ৩ক)/১২ = ৫
∴ ক = ৬০

৩,০৮৭.

৭ এর গুণিতকের সেট কোন ধরনের সেট?

ক
ক) সসীম সেট
খ
খ) ফাঁকা সেট
গ
গ) সার্বিক সেট
ঘ
ঘ) অসীম সেট

ব্যাখ্যা

৭ এর গুণিতকগুলো হচ্ছে = ৭, ১৪, ২১, ২৮, ৩৫………
∴ ৭ এর গুণিতক নিয়ে সেট = {৭, ১৪, ২১, ২৮, ৩৫……}
অর্থাৎ, সেটটি অসীম।

৩,০৮৮.

log3 + log9 + log27 + ......... ধারাটির প্রথম সাতটি পদের সমষ্টি কত?

ক
3 log3
খ
9 log3
গ
27 log3
ঘ
28 log3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log3 + log9 + log27 + ......... ধারাটির প্রথম সাতটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
log3 + log9 + log27 + ......... প্রথম সাতটি পদের সমষ্টি
= log3 + log3² + log3³ + ......... প্রথম সাতটি পদের সমষ্টি
= log3 + 2 log3 + 3 log3 + ......... প্রথম সাতটি পদের সমষ্টি
= (1 + 2 + 3 + ..................... + 7) log3
= {7(7 + 1)/2} log3
= 28 log3

৩,০৮৯.

কোনো সমান্তর প্রগমনে প্রথম দুটি সংখ্যা ৫ ও ১৭ হয় তবে ৫০তম পদটি কত?

ক
৬০৭
খ
৬০৩
গ
৫৯৭
ঘ
৫৯৩

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর প্রগমনে প্রথম দুটি সংখ্যা ৫ ও ১৭ হয় তবে ৫০তম পদটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমান্তর প্রগমনে প্রথম দুটি সংখ্যা ৫ ও ১৭ হলে
এখানে
প্রথম পদ a = ৫
সাধারণ অন্তর d = (১৭ - ৫)
= ১২

আমরা জানি
nতম পদ = a + (n - 1)d
৫০তম পদ = a + (৫০ - ১)d
= ৫ + ৪৯ × ১২
= ৫ + ৫৮৮
= ৫৯৩

৩,০৯০.

১ + ৫ + ৯ + . . . . . ধারাটির ৭ম পদ কত?

ক
ক) ২১
খ
খ) ২৫
গ
গ) ১৭
ঘ
ঘ) ২৯

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১ + ৫ + ৯ + . . . . . ধারাটির ৭ম পদ কত?

সমাধান:
১ + ৫ + ৯ + . . . . .

এখানে,
প্রথম পদ a = ১
সাধারণ অন্তর d = ৪

৭ম পদ = a + (n - 1)d
= ১ + (৭ - ১)৪
= ২৫

৩,০৯১.

3^{(x - 3)} = 9a^{(x - 5)} হলে x এর মান কত?

ক
2/x
খ
x/2
গ
3
ঘ
5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3^{(x - 3)} = 9a^{(x - 5)} হলে x এর মান কত?

সমাধান:
3^{(x - 3)} = 9a^{(x - 5)}
⇒ 3^{(x - 3)}/9 = a^{(x - 5)}
⇒ 3^{(x - 3)}/3² = a^{(x - 5)}
⇒ 3^{(x - 3 - 2)} = a^{(x - 5)}
⇒ 3^{(x - 5)} = a^{(x - 5)}
⇒ 3^{(x - 5)}/a^{(x - 5)} = 1
⇒ (3/a)^{(x - 5)} = (3/a)⁰
⇒ x - 5 = 0
⇒ x = 5

৩,০৯২.

x²- x - 2 = 0 সমীকরণে মূলগুলোর সমষ্টি কত?

ক
ক) - 1
খ
খ) 1
গ
গ) 2
ঘ
ঘ) 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x²- x - 2 = 0 সমীকরণে মূলগুলোর সমষ্টি কত?

সমাধান:
x² - x - 2 = 0
x² - 2x + x - 2 = 0
x(x - 2) + 1(x - 2) = 0
(x - 2)(x + 1) = 0

হয়
x - 2 = 0
x = 2
অথবা
x + 1 = 0
x = - 1

মূলগুলোর সমষ্টি = 2 + (- 1) = 2 - 1 = 1

৩,০৯৩.

ক
a
খ
a^pqr
গ
1
ঘ
0

ব্যাখ্যা

সমাধান:
(a^p)^{q - r} × (a^q)^{r - p} × (a^r)^{p - q}
= a^{p(q - r)} × a^{q(r - p)}× a^{r(p - q)}
= a^{pq - pr} × a^{qr - qp} × a^{rp - rq}
= a^{pq - pr + qr - qp + rp - rq}
= a⁰
= 1

৩,০৯৪.

x² − y² + 4y − 4 এর একটি উৎপাদক-

ক
ক) x + y - 2
খ
খ) x + y + 2
গ
গ) x - y - 2
ঘ
ঘ) x - 2y + 1

ব্যাখ্যা

x² − y² + 4y − 4
= x² − (y² - 4y + 4)
= x² − (y − 2)²
= (x + y − 2) (x − y + 2)

৩,০৯৫.

একটি সমান্তর ধারার সাধারণ অন্তর 10 এবং 7 তম পদটি 62 হলে 16 তম পদটি কত?

ক
ক) 142
খ
খ) 132
গ
গ) 152
ঘ
ঘ) 122

ব্যাখ্যা

7 তম পদ = a + 6 × 10
⇒ 62 = a + 60
⇒ a = 2
16 তম পদ = 2 + 15 × 10 = 152

৩,০৯৬.

Q = {d : d = 3x, যেখানে 2 ≤ x ≤ 8 এবং x ∈ N} হলে Q এর উপাদান সংখ্যা কত?

ক
7
খ
6
গ
2
ঘ
অসংখ্য

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: Q = {d : d = 3x, যেখানে 2 ≤ x ≤ 8 এবং x ∈ N} হলে Q এর উপাদান সংখ্যা কত?

সমাধান:
d = 3x এবং x এর মান 2 ≤ x ≤ 8 এবং x ∈ N

x = 2 হলে, d = 6
x = 3 হলে, d = 9
x = 4 হলে, d = 12
x = 5 হলে, d = 15
x = 6 হলে, d = 18
x = 7 হলে, d = 21
x = 8 হলে, d = 24

∴ Q = {6, 9, 12, 15, 18, 21, 24}
∴ Q এর উপাদান সংখ্যা 7

৩,০৯৭.

একটি গুণোত্তর ধারার দ্বিতীয় পদ 12 এবং পঞ্চম পদ 324 হলে, ধারাটির সাধারণ অনুপাত কত?

ক
9
খ
5
গ
27
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার দ্বিতীয় পদ 12 এবং পঞ্চম পদ 324 হলে, ধারাটির সাধারণ অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি,
গুণোত্তর ধারার ১ম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = ar^{n - 1}

∴ ২য় পদ, ar^{2 - 1} = ar = 12 ........ (1)
পঞ্চম পদ = ar^{5 - 1} = ar⁴ = 324 ....... (2)

(2) ÷ (1) করে পাই,
⇒ ar⁴/ar = 324/12
⇒ r³ = 27 = 3³
∴ r = 3

∴ ধারাটির সাধারণ অনুপাত, r = 3

৩,০৯৮.

3 + 6 + 12 + 24 +................ ধারাটির নবম পদ কত?

ক
640
খ
384
গ
512
ঘ
768

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3 + 6 + 12 + 24 +................ ধারাটির নবম পদ কত?

সমাধান:
এখানে,
ধারাটির প্রথম পদ a = 3
সাধারণ অনুপাত r = 6/3 = 2

আমরা জানি,
গুণত্তর ধারার n তম পদ = ar^n-1

∴ ধারাটির নবম পদ = 3 × 2^9-1
= 3 × 2⁸
= 3 × 256
= 768

৩,০৯৯.

(1/2)log₁₀(7 + 4√3) = log₁₀(2 + x) হলে x এর মান কত?

ক
ক) 2√3
খ
খ) √3
গ
গ) 1/√3
ঘ
ঘ) 3√3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (1/2)log₁₀(7 + 4√3) = log₁₀(2 + x) হলে x এর মান কত?

সমাধান:
(1/2)log₁₀(7 + 4√3) = log₁₀(2 + x)
⇒ (1/2)log₁₀{4 + 4√3 + (√3)²} = log₁₀(2 + x)
⇒ (1/2)log₁₀(2² + 2 . 2 . √3 + (√3)²} = log₁₀(2 + x)
⇒ (1/2)log₁₀(2 + √3)² = log₁₀(2 + x)
⇒ (1/2) × 2 log₁₀(2 + √3) = log₁₀(2 + x)
⇒ log₁₀(2 + √3) = log₁₀(2 + x)
⇒ 2 + √3 = 2 + x
∴ x = √3

৩,১০০.

প্রশ্ন:

ক
0
খ
√5
গ
5√3
ঘ
2√5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান: