বীজগণিত

PrepBank · পাতা ১৫ / ২০১ · ১,৪০১–১,৫০০ / ২০,২০৭

১,৪০১.

5 + 15 + m + n + 405 + ........ একটি গুণোত্তর ধারা হলে m + n এর মান কত?

ক
170
খ
180
গ
190
ঘ
200

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5 + 15 + m + n + 405 + ........ একটি গুণোত্তর ধারা হলে m + n এর মান কত?

সমাধান:
ধরি,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অনুপাত, r = 15/5 = 3

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = ar^{n - 1}

তাহলে,
ধারাটির তৃতীয় পদ, m = ar²
= 5 × 3²
= 5 × 9
= 45

ধারাটির চতুর্থ পদ, n = ar³
= 5 × 3³
= 5 × 27
= 135

∴ m + n = 45 + 135 = 180

১,৪০২.

(19)¹² × (19)⁸ ÷ (19)⁴ = (19)^?

ক
8
খ
16
গ
12
ঘ
4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (19)¹² × (19)⁸ ÷ (19)⁴ = (19)^?

সমাধান:
(19)¹² × (19)⁸ ÷ (19)⁴
= (19)¹² × (19)⁸ / (19)⁴
= (19^{12 + 8}) / (19)⁴
= 19²⁰/19⁴
= 19^{20 - 4}
= 19¹⁶

∴ (19)¹² × (19)⁸ ÷ (19)⁴ = (19)¹⁶

১,৪০৩.

প্রথম 5 টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি কত?

ক
15
খ
115
গ
225
ঘ
325

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: প্রথম 5 টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = {n(n + 1)/2}²

∴ প্রথম ৫টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি
= {5(5 + 1)/2}²
= {(5 × 6)/2}²
= (30/2)²
= 15²
= 225

∴ নির্ণেয় সমষ্টি = 225

১,৪০৪.

16x⁴ + 36x² + 81 কে 4x² - 6x + 9 দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল কত হবে?

ক
4x² + 9
খ
2x² - 6x + 3
গ
4x² - 6x + 3
ঘ
4x² + 6x + 9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 16x⁴ + 36x² + 81 কে 4x² - 6x + 9 দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল কত হবে?

সমাধান:

১,৪০৫.

F(x) = (x - 1)²⁵³ হলে, F(2) = কত?

ক
ক) 0
খ
খ) 225359
গ
গ) 1
ঘ
ঘ) কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: F(x) = (x - 1)²⁵³ হলে, F(2) = কত?

সমাধান:
F(x) = (x - 1)²⁵³

∴ F(2) = (2 - 1)²⁵³
= 1²⁵³
= 1

১,৪০৬.

কোন সমান্তর ধারার ১ম পদ ১১ এবং ৩য় পদ ১৯ হলে ৮ম পদ কত?

ক
৩১
খ
৩৫
গ
৩৯
ঘ
৪৩

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন সমান্তর ধারার ১ম পদ ১১ এবং ৩য় পদ ১৯ হলে ৮ম পদ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম পদ, a = ১১
৩য় পদ = ১৯
∴ ২য় পদ = (১১ + ১৯)/২ = ৩০/২ = ১৫

∴ সাধারণ অন্তর, d = (১৫ - ১১) = ৪

আমরা জানি,
n তম পদ = a +(n - ১)d
∴ ৮ম পদ,
= ১১ + (৮ - ১)৪
= ১১ + (৭ × ৪)
= ১১ + ২৮
= ৩৯

১,৪০৭.

5p - 3q = 36 এবং 5p + 3q = 24 হলে ।p। + ।q। এর মান কত?

ক
ক) 8
খ
খ) 10
গ
গ) 12
ঘ
ঘ) 14

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5p - 3q = 36 এবং 5p + 3q = 24 হলে ।p। + ।q। এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
5p - 3q = 36 ...........(1)
5p + 3q = 24...........(2)

(1) + (2)⇒
5p - 3q + 5p + 3q = 36 + 24
বা, 10p = 60
p = 6
(2) নং সমীকরণে p এর মান বসিয়ে পাই,
5 × 6 + 3q = 24
বা, 30 + 3q = 24
বা, 3q = 24 - 30
বা, 3q = - 6
q = - 2
এখন
।p। + ।q। = ।6। + ।- 2। = 6 + 2 = 8

১,৪০৮.

9x - x² - 20 > 0 হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

ক
2 < x < 4
খ
1 < x < 4
গ
2 < x < 5
ঘ
4 < x < 5

ব্যাখ্যা

9x - x² - 20 > 0
বা, - x²+ 9x - 20 > 0
বা, - (x² - 9x + 20) > 0
বা, x² - 9x + 20 < 0
বা, x² - 4x - 5x + 20 < 0
∴ (x - 4)(x - 5) < 0

x²- 9x + 20 < 0 সত্য হবে যদি x - 4 < 0 এবং x - 5 > 0 হয়।
এখন, x - 4 < 0 এবং x - 5 > 0
অর্থাৎ, x < 4 এবং x > 5
4 এর চেয়ে ছোট এবং 5 এর চেয়ে বড় x এর কোন মান নাই।
এক্ষেত্রে অসমতাটির কোন সমাধান পাওয়া যাবে না।

আবার,
x² - 9x + 20 < 0 সত্য হবে যদি x - 4 > 0 এবং x - 5 < 0 হয়।
এখন, x - 4 > 0 এবং x - 5 < 0
অর্থাৎ x > 4 এবং x < 5
x এর মান 4 এর চেয়ে বড় এবং 5 এর চেয়ে ছোট।
সুতরাং অসমতাটির সমাধান পাওয়া যাবে.

সুতরাং নির্ণেয় সমাধানঃ 4 < x < 5

১,৪০৯.

IMMEDIATE শব্দের বর্ণগুলো একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা কত?

ক
ক) 9!
খ
খ) 9!/(3 × 2!)
গ
গ) 9!/6!
ঘ
ঘ) 9!/(2!2!2!)

ব্যাখ্যা

IMMEDIATE শব্দটিতে মোট 9 টি অক্ষর আছে যাদের 2 টি I, 2 টি M, 2 টি E বাকীগুলো ভিন্ন ভিন্ন।
সুতরাং সবগুলো একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = 9!/(2!2!2!)

১,৪১০.

log_√27x = - (4/3) হলে, x এর মান কত?

ক
1/8
খ
1/9
গ
1/3
ঘ
1/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_√27x = - (4/3) হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log_√27x = - (4/3)
x = (√27)^{- (4/3)}
x = (3^3/2)^{- (4/3)}
x = 3^{- 2}
x = 1/3²
x = 1/9

১,৪১১.

একটি ক্লাবের 15 জন সদস্যের মধ্য থেকে প্রতিবার 5 জন নিয়ে কতটি কমিটি গঠন করা যায়, যেখানে 4 জন সদস্য কোনো কমিটিতে থাকবে না?

ক
330
খ
462
গ
494
ঘ
520

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ক্লাবের 15 জন সদস্যের মধ্য থেকে প্রতিবার 5 জন নিয়ে কতটি কমিটি গঠন করা যায়, যেখানে 4 জন সদস্য কোনো কমিটিতে থাকবে না?

সমাধান:
4 জন সদস্যকে বাদ দিয়ে বাকি 11 জন সদস্যের মধ্য থেকে 5 জন নির্বাচন করতে হবে।
∴ 5 জনের কমিটি গঠনের উপায়,
= ¹¹C₅
= 11!/{5! × (11 - 5)!}
= 11!/(5! × 6!)
= (11 × 10 × 9 × 8 × 7)/(5 × 4 × 3 × 2 × 1)
= 55440/120
= 462

১,৪১২.

ক
0
খ
12
গ
10
ঘ
6√3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

১,৪১৩.

a + b = 10 এবং a - b = 6 হলে ‍ab = কত?

ক
ক) 20
খ
খ) 18
গ
গ) 16
ঘ
ঘ) 12

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a + b = 10 এবং a - b = 6 হলে ‍ab = কত?

সমাধান:
a + b = 10
a - b = 6

আমরা জানি
4ab = (a + b)2 - (a - b)2
বা, 4ab = 10² - 6²
বা, 4ab = 100 - 36
বা, 4ab = 64
ab = 16

১,৪১৪.

'MILLENNIUM' শব্দটি কত প্রকারে সাজানো যাবে যেখানে প্রথমে ও শেষে M থাকবে?

ক
2520
খ
226800
গ
40320
ঘ
5040

ব্যাখ্যা

'MILLENNIUM' শব্দটিতে10 টি বর্ণ আছে।
যেখানে M= 2টি, I = 2টি এবং L = 2টি N= 2টি

প্রথমে ও শেষে M থাকবে

সাজানো সংখ্যা = 8!/2!2!2!
=40320/8
= 5040

১,৪১৫.

1 + 2 + 3 + ............... + n = 55 হলে, n এর মান কত?

ক
ক) 10
খ
খ) 11
গ
গ) 12
ঘ
ঘ) 13

ব্যাখ্যা

(1 + 2 + 3 + ............... + n) = 55
n(n + 1)/2 = 55
n(n + 1) = 110
n² + n - 110 = 0
n² + 11n - 10n - 110 = 0
n(n + 11) - 10 (n + 11 )= 0
(n + 11)(n - 10) = 0

হয়
n + 11 = 0
n = - 11 [গ্রহণযোগ্য নয়]

অথবা
n - 10 = 0
n = 10

১,৪১৬.

log₂√6 + log₂√(2/3) = কত?

ক
1
খ
√2
গ
1/√2
ঘ
2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₂√6 + log₂√(2/3) = কত?

সমাধান:
log₂√6 + log₂√(2/3)
= log₂√(3 ⋅ 2) + log₂√2/√3
= log₂√3 + log₂√2 + log₂√2 - log₂√3
= 2 log₂√2
= 2 log₂2^1/2
= 2 ⋅ (1/2) log₂2
= 1 ⋅ 1
= 1

১,৪১৭.

9a² + 5a + x = 0, সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে x এর মান কত?

ক
5/6
খ
25/36
গ
5/3
ঘ
25/9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 9a² + 5a + x = 0, সমীকরণের মূলদ্বয়বাস্তব ও সমান হলে x এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি, কোন দ্বিঘাত রাশির মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে সেই রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা।

দেয়া আছে,
9a² + 5a + x = 0, সমীকরণের মূলদ্বয়বাস্তব ও সমান।

এখন,
9a² + 5a + x
= (3a)² + 2×3a×5/6 + x

দেখা যাচ্ছে যে, x এর মান (5/6)² বা 25/36 হলে রাশিটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয় এবং তখন মূলদ্বয়বাস্তব ও সমান হবে।

উত্তর: 25/36

১,৪১৮.

a² - √7a + 1 = 0 হলে, a² + (1/a²) এর মান কত?

ক
1
খ
3
গ
4
ঘ
5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a² - √7a + 1 = 0 হলে, a² + (1/a²) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a² - √7a + 1 = 0
⇒ a² + 1 = √7a
⇒ a²/a + (1/a) = √7a/a
⇒ a + (1/a) = √7

∴ প্রদত্ত রাশি, a² + (1/a²)
= {a + (1/a)}² - 2 · a · (1/a)
= (√7)² - 2
= 7 - 2
= 5

১,৪১৯.

6x² - 13x - 5 এর উৎপাদক-

ক
(3x - 1)(3x + 5)
খ
(2x - 5)(3x + 1)
গ
(2x - 3)(5x + 1)
ঘ
(5x - 3)(2x + 1)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 6x² - 13x - 5 এর উৎপাদক-

সমাধান:
6x² - 13x - 5
= 6x² - 15x + 2x - 5
= 3x(2x - 5) + 1(2x - 5)
= (2x - 5)(3x + 1)

১,৪২০.

x + 1/x = 2 হলে, x - 1/x এর মান কত?

ক
ক) 1
খ
খ) -1
গ
গ) 0
ঘ
ঘ) 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + 1/x = 2 হলে, x - 1/x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + 1/x = 2

আমরা জানি,
(x - 1/x)² = (x + 1/x)² - 4 . x . 1/x
= (2)² - 4
= 4 - 4
= 0
∴ x - 1/x = 0

১,৪২১.

|x + 1| < 7 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

ক
8 < x < - 6
খ
- 8 < x < 6
গ
6 < x < - 8
ঘ
- 8 ≤ x ≤ 6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |x + 1| < 7 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত অসমতাটি হলো,
|x + 1| < 7
⇒ - 7 < x + 1 < 7
⇒ - 7 - 1 < x + 1 - 1 < 7 - 1 [উভয়পক্ষে - 1 যোগ করে]
⇒ - 8 < x < 6

∴ অসমতাটির সমাধান, S = {x ∈ R: - 8 < x < 6}

১,৪২২.

একটি সমান্তর অনুক্রমের সাধারণ অন্তর 4 এবং 10 তম পদটি 42 হলে, 30 তম পদটি কত?

ক
ক) 120
খ
খ) 122
গ
গ) 116
ঘ
ঘ) 114

ব্যাখ্যা

ধরি
সমান্তর অনুক্রমের প্রথম পদ a এবং
সাধারণ অন্তর d

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n -1)d

এখানে, 10 তম পদ 42
সুতরাং a + (10 - 1) × 4= 42
বা, a + 36 = 42
a = 6

সুতরাং, 30 তম পদ = 6 + (30 - 1)× 4
= 6 + 116
= 122

১,৪২৩.

3x³ + 2x² - 21x - 20 রাশিটির একটি উৎপাদক ?

ক
ক) x + 2
খ
খ) x + 1
গ
গ) x + 3
ঘ
ঘ) x - 3

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত রাশিতে একমাত্র x + 1 = 0 বা, x = -1 বসালে, ইহা সিদ্ধ হয়।

১,৪২৪.

MISSISSIPPI শব্দটির প্রত্যেকটি বর্ণ আলাদা কাগজে লিখে একটি বাক্সের মধ্যে রাখা হলো এবং মিশানো হলো। একটি কাগজ দৈবভাবে তুললে তা I হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
১/৩
খ
৪/১১
গ
২/১১
ঘ
১/১১

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: MISSISSIPPI শব্দটির প্রত্যেকটি বর্ণ আলাদা কাগজে লিখে একটি বাক্সের মধ্যে রাখা হলো এবং মিশানো হলো। একটি কাগজ দৈবভাবে তুললে তা I হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
M I S S I S S I P P I শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে = ১১টি।
যার মধ্যে,
M আছে ১টি, I আছে ৪টি, S আছে ৪টি এবং P আছে ২টি

∴ I এর সংখ্যা = ৪টি

∴ P(I হওয়ার সম্ভাবনা) = (I এর সংখ্যা)/(মোট বর্ণের সংখ্যা)
= ৪/১১

১,৪২৫.

1 + 2 + 3 + ..............… + 60 = কত?

ক
1516
খ
1650
গ
1774
ঘ
1830

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 + 2 + 3 + … + 60 = কত?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ, a = 1
পদসংখ্যা, n = 60
সাধারণ অন্তর, d = 2 - 1 = 1

∴ সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
= (60/2){2 · 1 + (60 - 1) · 1}
= 30(2 + 59)
= 30 × 61
= 1830

১,৪২৬.

x + (1/x) = 2 হলে, x⁶ + (1/x⁶) = কত?

ক
0
খ
1
গ
3
ঘ
2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + (1/x) = 2 হলে, x⁶ + (1/x⁶) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + (1/x) = 2
⇒ (x² + 1)/x = 2
⇒ x² + 1 = 2x
⇒ x² - 2x + 1 = 0
⇒ (x - 1)² = 0
⇒ x - 1 = 0
∴ x = 1

এখন,
x⁶ + (1/x⁶)
= (1)⁶ + {1/(1)⁶}
= 1 + (1/1)
= 1 + 1
= 2

১,৪২৭.

২ - ৪ + ৮ - ১৬ + .................. ধারাটির প্রথম ৮টি পদের সমষ্টি কত?

ক
১৬৮
খ
- ১৭০
গ
১৭২
ঘ
- ১৭৪

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ২ - ৪ + ৮ - ১৬ + .................. ধারাটির প্রথম ৮টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রথম পদ, a = ২
সাধারন অনুপাত, r = - ৪/২ = - ২
প্রদত্ত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
এবং পদ সংখ্যা, n = ৮

আমরা জানি,
n সংখ্যক পদের সমষ্টি = a . (১ - rⁿ)/(১ - r)
∴ ৮টি পদের সমষ্টি = ২ . {১ - (- ২)^৮}/(১ + ২)
= ২ (১ - ২৫৬)/৩
= ২ × (- ২৫৫)/৩
= ২ × (- ৮৫)
= - ১৭০

১,৪২৮.

m + (1/m) = r হলে, m³ + m^-3 এর মান কত?

ক
r³- 3r
খ
1/r³
গ
r³+ 1
ঘ
1 + r³

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: m + (1/m) = r হলে, m³ + m^-3 এর মান কত?

সমাধান:
m³ + m^-3
= m³ + (1/m³)
= {m + (1/m)}³ - 3 · m · (1/m) {m + (1/m)}
= {m + (1/m)}³ - 3 {m + (1/m)}
= r³ - 3r

১,৪২৯.

a + b = 6, ab = 4 হলে, a³ + b³ = কত?

ক
ক) 216
খ
খ) 144
গ
গ) 136
ঘ
ঘ) 120

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a + b = 6, ab = 4 হলে, a³ + b³ = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
a + b = 6
ab = 4

আমরা জানি
a³ + b³= (a + b)³ - 3ab(a + b)
= 6³ - 3 × 4 × 6
= 216 - 72
= 144

১,৪৩০.

একটি সমান্তর ধারার ১ম পদ ১১ এবং ৩য় পদ ১৯ হলে প্রথম ৯ টি পদের সমষ্টি কত?

ক
১২৭
খ
১৮৯
গ
২৪৩
ঘ
২৭২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার ১ম পদ ১১ এবং ৩য় পদ ১৯ হলে প্রথম ৯ টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ = ১১

দ্বিতীয় পদ = (১১ + ১৯)/২ = ৩০/২ = ১৫

সাধারণ অন্তর = ১৫ - ১১ = ৪
n সংখ্যক পদের সমষ্টি = (n/২){২a + (n - ১)d}
∴ প্রথম ৯ টি পদের সমষ্টি = (৯/২){২a + (৯ - ১)d}
= (৯/২)(২ × ১১ + ৮ × ৪)
= (৯/২)(২২ + ৩২)
= (৯/২) × ৫৪
= ৯ × ২৭
= ২৪৩

১,৪৩১.

2x + (2/x) = 3 হলে x² + (1/x²) এর মান কত?

ক
1/4
খ
2/3
গ
1/3
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2x + (2/x) = 3 হলে x² + (1/x²) এর মান কত?

সমাধান:

১,৪৩২.

একটি সংখ্যার সাথে ১৩ যোগ করলে তার ১/৩ অংশ ঐ সংখ্যার দ্বিগুণের চেয়ে ১ বেশি হয়। সংখ্যাটি কত?

ক
ক) ৬
খ
খ) ৫
গ
গ) ৩
ঘ
ঘ) ২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার সাথে ১৩ যোগ করলে তার ১/৩ অংশ ঐ সংখ্যার দ্বিগুণের চেয়ে ১ বেশি হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনেকরি
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে
(ক + ১৩)/৩ = ২ক + ১
বা, ক + ১৩ = ৬ক + ৩
বা, ৬ক - ক = ১৩ - ৩
বা, ৫ক = ১০
∴ ক = ২

১,৪৩৩.

৫০ জন শিক্ষার্থীর গড় নম্বর ৭৫। এদের মধ্যে ৩০ জন ছাত্রের গড় নম্বর ৭৮। ছাত্রীদের গড় নম্বর কত?

ক
ক) ৭১
খ
খ) ৭০.৫
গ
গ) ৭২
ঘ
ঘ) ৭৩.৫

ব্যাখ্যা

৫০ জন শিক্ষার্থীর মোট নম্বর = (৫০ × ৭৫) = ৩৭৫০
৩০ জন ছাত্রের মোট নম্বর = (৩০ × ৭৮) = ২৩৪০
(৫০ - ৩০) বা ২০ জন ছাত্রীর মোট নম্বর = (৩৭৫০ - ২৩৪০) = ১৪১০
∴ ২০ জন ছাত্রীর গড় নম্বর = ১৪১০/২০ = ৭০.৫

১,৪৩৪.

x = 8 এবং y = 7 হলে, 9x² - 30xy + 25y² এর মান নির্ণয় করুন।

ক
141
খ
152
গ
185
ঘ
121

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x = 8 এবং y = 7 হলে, 9x² - 30xy + 25y² এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = 8 এবং y = 7

প্রদত্ত রাশি = 9x² - 30xy + 25y²
= (3x)² - 2.3x.5y + (5y)²
= (3x - 5y)²
= {(3 x 8) - (5 x 7)}² [x ও y এর মান বসিয়ে]
= (24 - 35)²
= (- 11)²
= 121

১,৪৩৫.

কোনাে ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি n(n² - 1) হলে, ধারাটির প্রথম 8টি পদের সমষ্টি কত?

ক
ক) 505
খ
খ) 503
গ
গ) 504
ঘ
ঘ) 501

ব্যাখ্যা

প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি n(n²- 1)
ধারাটির প্রথম 8টি পদের সমষ্টি= 8(8² - 1)
= 8(64 - 1)
= 8 × 63
= 504

১,৪৩৬.

যদি 2 × ⁿP₄ = ⁿP₅ হয়, তাহলে n = কত?

ক
2
খ
4
গ
6
ঘ
8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 2 × ⁿP₄ = ⁿP₅ হয়, তাহলে n = কত?

সমাধান:
2 × ⁿP₄ = ⁿP₅
⇒ 2 × n!/(n - 4)! = n!/(n - 5)!
⇒ 2 × n!/(n - 4)(n - 5)! = n!/(n - 5)!
⇒ 2/(n - 4) = 1
⇒ n - 4 = 2
∴ n = 6

১,৪৩৭.

log₅(∛5)(√5) = কত?

ক
5/6
খ
2/3
গ
1
ঘ
3/5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₅(∛5)(√5) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
= log₅(∛5)(√5)
= log₅(∛5) + log₅(√5) [logxy = logx + logy]
= log₅5^1/3+ log₅5^1/2
= (1/3) log₅5 + (1/2) log₅5
= (1/3) + (1/2)
= (2 + 3)/6
= 5/6

১,৪৩৮.

কোনো পরীক্ষায় ২০% পরীক্ষার্থী ইংরেজিতে, ১৮% পরীক্ষার্থী গণিতে এবং ১১% পরীক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে। শতকরা কতজন পরীক্ষার্থী উভয় বিষয়ে পাশ করেছে?

ক
ক) ৭০ জন
খ
খ) ৭৩ জন
গ
গ) ৭৫ জন
ঘ
ঘ) ৭৬ জন

ব্যাখ্যা

শুধু ইংরেজিতে ফেল করে = (২০ - ১১)%
= ৯%
শুধু গণিতে ফেল করে = (১৮ - ১১)%
= ৭%
ইংরেজি, গণিত এবং উভয় বিষয়ে ফেল করে = (৯ + ৭ + ১১)%
= ২৭%
∴ উভয় বিষয়ে পাস করে = (১০০ - ২৭)%
= ৭৩%

১,৪৩৯.

3, 4, 6, 8 এবং 9 অংকগুলোর প্রতিটি একবার নিয়ে চার অংকের কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যাবে?

ক
360
খ
240
গ
120
ঘ
90

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3, 4, 6, 8 এবং 9 অংকগুলোর প্রতিটি একবার নিয়ে চার অংকের কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যাবে?

সমাধান:
মোট অংক 5টি।
প্রতিবার 4টি অংক নিয়ে গঠনকৃত সংখ্যা = ⁵P₄
= 120

১,৪৪০.

x² + y² = 8 এবং xy = 7 হলে, (x + y)² এর মান কত?

ক
14
খ
16
গ
22
ঘ
30

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² + y²= 8 এবং xy = 7 হলে, (x + y)² এর মান কত?

সমাধান:
x²+ y² = 8
xy = 7

আমরা জানি
(x + y)² = x² + y² + 2xy
= 8 + 2 × 7
= 8 + 14
= 22

১,৪৪১.

5 + 8 + 11 + 14 +.......... ধারাটির 100 তম পদ কত?

ক
300
খ
302
গ
308
ঘ
310

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5 + 8 + 11 + 14 +.......... ধারাটির 100 তম পদ কত?

সমাধান:
এখানে,
ধারার প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অন্তর, d = 8 - 5 = 3
পদ সংখ্যা, n = 100

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 100 তম পদ = 5 + {(100 - 1) × (3)}
= 5 + (99 × 3)
= 5 + 297
= 302

১,৪৪২.

যদি 9^x=(27)^yহয় তাহলে x/y এর মান কত?

ক
ক) 2/3
খ
খ) 3/2
গ
গ) 9/2
ঘ
ঘ) 1/3

ব্যাখ্যা

(3²)^x = (3³)^y
3^2x = 3^3y
2x = 3y
x/y = 3/2

১,৪৪৩.

A ও B এর একটি অংক সমাধান করতে পারার সম্ভাব্যতা যথাক্রমে ১/৪ ও ১/৬। তারা একত্রে অঙ্কটি সমাধান করার চেষ্টা করলে অঙ্কটির সমাধান নির্নয়ের সম্ভাব্যতা কত?

ক
ক) ৫/৬
খ
খ) ৩/৮
গ
গ) ৩/৪
ঘ
ঘ) ৫/৮

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A ও B এর একটি অংক সমাধান করতে পারার সম্ভাব্যতা যথাক্রমে ১/৪ ও ১/৬। তারা একত্রে অঙ্কটি সমাধান করার চেষ্টা করলে অঙ্কটির সমাধান নির্নয়ের সম্ভাব্যতা কত?

সমাধান:
A এর অঙ্কটি করতে না পারার সম্ভাব্যতা
= ১ - (১/৪)
= ৩/৪

B এর অঙ্কটি করতে না পারার সম্ভাব্যতা
= ১ - (১/৬)
= ৫/৬

A ও B এর একত্রে অঙ্কটি করতে না পারার সম্ভাব্যতা
= (৩/৪) × (৫/৬)
= ৫/৮

A ও B এর একত্রে অঙ্কটি করতে পারার সম্ভাব্যতা
= ১ - (৫/৮)
= ৩/৮

১,৪৪৪.

5^{(nx - 1)} = 5a^{(nx - 2)} হলে, x এর মান কত?

ক
2/n
খ
5n
গ
2
ঘ
n/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5^{(nx - 1)} = 5a^{(nx - 2)} হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
⇒ 5^{(nx - 1)} = 5a^{(nx - 2)}
⇒ 5^{(nx - 1)}/5 = a^{(nx - 2)}
⇒ 5^{(nx - 1 - 1)} = a^{(nx - 2)}
⇒ 5^{(nx - 2)} = a^{(nx - 2)}
⇒ (5/a)^{(nx - 2)} = 1
⇒ (5/a)^{(nx - 2)} = (5/a)⁰
⇒ (nx - 2) = 0
⇒ nx = 2
∴ x = 2/n

১,৪৪৫.

2y/x থেকে কত বিয়োগ করলে x/y হবে?

ক
ক) 2x² + y²
খ
খ) (x² - y²)/xy
গ
গ) (2y² - x²)/xy
ঘ
ঘ) (x² - 2y²)/xy

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2y/x থেকে কত বিয়োগ করলে x/y হবে?

সমাধান:
মনে করি,
2y/x থেকে P বিয়োগ করলে x/y হবে।

প্রশ্নমতে,
(2y/x) - P = (x/y)
⇒ (2y/x) - (x/y) = P
⇒ P = (2y/x) - (x/y)
∴ P = (2y² - x²)/xy

∴ 2y/x থেকে (2y² - x²)/xy বিয়োগ করলে x/y হবে।

১,৪৪৬.

'DAUGHTER' শব্দটিকে কতভাবে সাজানো যায় যাতে স্বরবর্ণগুলো একত্রে থাকবে?

ক
ক) 720
খ
খ) 4320
গ
গ) 5040
ঘ
ঘ) 2860

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন- 'DAUGHTER' শব্দটিকে কতভাবে সাজানো যায় যাতে স্বরবর্ণগুলো একত্রে থাকবে?

সমাধান-
'DAUGHTER' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 8 টি এবং স্বরবর্ণ আছে 3 টি।
এখানে সবগুলো বর্ণ ভিন্ন ভিন্ন।

স্বরবর্ণ 3 টি কে একটি মনে করে মোট বর্ণ হয় 6 টি।
তাদের বিন্যাস সংখ্যা = 6! = 720

স্বরবর্ণ 3 টির নিজদের মধ্যে বিন্যাস সংখ্যা = 3! = 6

∴ মোট বিন্যাস সংখ্যা = 720 × 6 = 4320

১,৪৪৭.

27^{n - (1/3)} = 243 হলে, n এর মান কত?

ক
1
খ
2
গ
3
ঘ
4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 27^{n - (1/3)} = 243 হলে, n এর মান কত?

সমাধান:
27^{n - (1/3)} = 243
⇒ (3³)^{n - (1/3)} = 3⁵
⇒ 3^{3n - 1}= 3⁵
⇒ 3n - 1 = 5
⇒ 3n = 5 + 1
⇒ 3n = 6
∴ n = 2

১,৪৪৮.

x + y + z = 16, x - y = z হলে, x = ?

ক
6
খ
8
গ
10
ঘ
5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + y + z = 16, x - y = z হলে, x = ?

সমাধান:
x - y = z
বা, x = y + z

∴ x + y + z = 16
বা, x + x =16
বা, 2x = 16
∴ x = 8

১,৪৪৯.

4 জন মহিলা এবং 6 জন পুরুষের মধ্য থেকে 4 সদস্যবিশিষ্ট কমিটি কত উপায়ে গঠন করা যায় যেন কমপক্ষে 1 জন পুরুষ এবং কমপক্ষে 1 জন মহিলা উপস্থিত থাকেন?

ক
ক) 190
খ
খ) 192
গ
গ) 194
ঘ
ঘ) 196

ব্যাখ্যা

4 সদস্যের কমিটি গঠনপ্রক্রিয়া নিম্নরুপ-
মহিলা (4 জন) -- পুরুষ (6 জন)
(i) 1 -- 3
(ii) 2 -- 2
(iii) 3 -- 1

(i) এর ক্ষেত্রে কমিটির সংখ্যা = ⁴c₁ × ⁶c₃
= 4 × 20
= 80

(ii) এর ক্ষেত্রে কমিটির সংখ্যা = ⁴c₂ × ⁶c₂
= 90

(iii) এর ক্ষেত্রে কমিটির সংখ্যা = ⁴c₃ × ⁶c₁
= 24

∴ মোট কমিটি গঠনের উপায় = 80 + 90 + 24
= 194

১,৪৫০.

log₂√10 - log₂√(5/2) = কত?

ক
ক) 0
খ
খ) 1
গ
গ) 2
ঘ
ঘ) 3

ব্যাখ্যা

log₂√10 - log₂√(5/2)
= log₂(10)^1/2 - log₂(5/2)^1/2
= 1/2 log₂10 - 1/2 log₂5/2
= 1/2 [log₂(5×2) - log₂5/2]
= 1/2 [log₂5 + log₂2 - (log₂5 - log₂2)]
= 1/2 [log₂5 + 1 - log₂5 + 1]
= 1/2 × 2
= 1

১,৪৫১.

A = {x ∈ N : 5 ≤ x < 11} এবং B = {x ∈ N : x বিজোড় সংখ্যা এবং x < 12} হলে A ∩ B এর মান কত?

ক
{6, 8, 10}
খ
{5, 7, 9}
গ
{1, 3, 5}
ঘ
{7, 9, 11}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A = {x ∈ N : 5 ≤ x < 11} এবং B = {x ∈ N : x বিজোড় সংখ্যা এবং x < 12} হলে A ∩ B এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {x ∈ N : 5 ≤ x < 11}
এখানে, x এর মান 5 এর সমান বা বড় এবং 11 এর ছোট স্বাভাবিক সংখ্যা।
∴ A = {5, 6, 7, 8, 9, 10}

আবার,
B = {x ∈ N : x বিজোড় সংখ্যা এবং x < 12}
এখানে, x এর মান 12 এর ছোট স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যা।
∴ B = {1, 3, 5, 7, 9, 11}

প্রদত্ত রাশি,
A ∩ B = {5, 6, 7, 8, 9, 10} ∩ {1, 3, 5, 7, 9, 11}
= {5, 7, 9}

∴ A ∩ B এর মান {5, 7, 9}

১,৪৫২.

নিচের কোনটি x⁴ + x² - 20 এর উৎপাদক নয়?

ক
(x - 2)
খ
(x + 2)
গ
(x² + 5)
ঘ
(x² + 4)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি x⁴ + x² - 20 এর উৎপাদক নয়?

সমাধান:
x⁴ + x² - 20
= x⁴ + 5x² - 4x² - 20
= x²(x² + 5) - 4(x² + 5)
= (x² + 5)(x² - 4)
= (x² + 5)(x² - 2²)
=(x² + 5)(x + 2)(x - 2)

১,৪৫৩.

যদি x + 1/x = 2 হয়, তাহলে x⁶ - 1/x⁶ এর মান কত?

ক
0
খ
1
গ
- 1
ঘ
2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x + 1/x = 2 হয়, তাহলে x⁶ - 1/x⁶ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + 1/x = 2
বা, (x² + 1)/x = 2
বা, x² + 1 = 2x
বা, x² - 2. x . 1 + 1² = 0
বা, (x - 1)² = 0
বা, x - 1 = 0
∴ x = 1

এখন,
x⁶ - 1/x⁶
= (1)⁶ - {1/(1)⁶}
= 1 - 1/1
= 1 - 1
= 0

১,৪৫৪.

x² + 7x - 120 এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?

ক
ক) (x - 7)
খ
খ) (x - 15)
গ
গ) (x - 8)
ঘ
ঘ) (x - 6)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² + 7x - 120 এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান:
= x² + 7x - 120
= x² + 15x - 8x - 120
=x(x + 15) - 8(x + 15)
= (x + 15)(x - 8)

১,৪৫৫.

x² + 4x - 5 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কেমন?

ক
মূলদ ও অসমান
খ
বাস্তব ও সমান
গ
অবাস্তব ও অসমান
ঘ
বাস্তব ও অসমান

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² + 4x - 5 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কেমন?

সমাধান:
x² + 4x - 5 = 0
এখন,
b² - 4ac = (4)² - 4. 1 . (- 5)
= 16 + 20
= 36
যেহেতু,
b² - 4ac > 0 সেহেতু, মূলদ্বয়ের প্রকৃতি বাস্তব ও অসমান।

• দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি:
1. যদি b² - 4ac = 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
2. যদি b² - 4ac > 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
3. যদি b² - 4ac < 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে।
4. যদি b² - 4ac পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় মূলদ ও অসমান হবে।

১,৪৫৬.

কোন সংখ্যার ১/২ অংশের সাথে ৬ যোগ করলে সংখ্যাটির ২/৩ অংশ হবে। সংখ্যাটি কত?

ক
ক) ৫৩
খ
খ) ৩৬
গ
গ) ৬৩
ঘ
ঘ) ৩৫

ব্যাখ্যা

ধরি, সংখ্যাটি x
x এর ১/২ + ৬ = x এর ২/৩
⇒x/২ + ৬ = ২x/৩
⇒২x/৩ - x/২ = ৬
⇒(৪x - ৩x)/৬ = ৬
x = ৩৬

১,৪৫৭.

a³ - 21a - 20 এর একটি উৎপাদক -

ক
ক) (a + 1)
খ
খ) (a - 1)
গ
গ) (a - 31a + 20)
ঘ
ঘ) খ ও গ উভয়ই

ব্যাখ্যা

১৪ এবং ১৯ একই ম্যাথ দুইবার হয়ে গেছে। শেষ মুহূর্তে পরিবর্তন করার সময় অন্য একটা ম্যাথের বদলে এটা ১৯ নাম্বারেও চলে এসেছে। অনাকাঙ্ক্ষিত সমস্যার জন্য দুঃখিত।

a³ - 21a - 20
এখানে f(a) = a³ - 21a - 20 ধরে অপশনগুলো থেকে a এর মান নিয়ে সমাধান করাটা সহজ হবে।
সবগুলো অপশন থেকে মান নিয়ে যাচাই করলে দেখা যায় যে, f(-1) = 0 হয়।
অর্থাৎ, (a+1) প্রদত্ত রাশিটির একটি উৎপাদক হবে।

১,৪৫৮.

52 টি তাসের একটি প্যাকেট থেকে একটি তাস তোলা হলো। তাসটি টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
2/13
খ
1/26
গ
1/13
ঘ
1/52

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 52 টি তাসের একটি প্যাকেট থেকে একটি তাস তোলা হলো। তাসটি টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
52 টি তাসের মধ্যে টেক্কা থাকে = 4 টি

∴ তাসটি টেক্কা হওয়ার সম্ভাব্যতা= 4/52
= 1/13

১,৪৫৯.

F এর মান 140 হলে, C/5 = R/4 = (F - 32)/9 সমীকরণে C এর মান কত?

ক
40
খ
50
গ
60
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: F এর মান 140 হলে, C/5 = R/4 = (F - 32)/9 সমীকরণে C এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
C/5 = R/4 = (F - 32)/9

সমীকরণ থেকে পাই,
C/5 = (F - 32)/9
⇒ C = 5(F - 32)/9
= 5(140 - 32)/9
= 60

১,৪৬০.

(x + 6)² = x² + 2bx + c সমীকরণে b ও c এর মান কত হলে সমীকরণটি অভেদ হবে?

ক
12, 36
খ
6, 36
গ
6, 20
ঘ
12, 24

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (x + 6)² = x² + 2bx + c সমীকরণে b ও c এর মান কত হলে সমীকরণটি অভেদ হবে?

সমাধান:
(x + 6)² = x² + 2bx + c
x² + 2.x.6 + 6² = x² + 2bx + c
x² + 12x + 36= x² + 2bx + c

x ও ধ্রবক পদের সহগ সমীকৃত করে পাই
b = 6
c = 36

১,৪৬১.

"যদি f(x) ধনাত্মক মাত্রার বহুপদী হয় এবং f(a) = 0 হয়, তবে f(x) এর একটি উৎপাদক (x - a) হবে।" - এটি কোন উপপাদ্য?

ক
ক) উৎপাদক উপপাদ্য
খ
খ) ভাগশেষ উপপাদ্য
গ
গ) উৎপাদক উপপাদ্যের বিপরীত উপপাদ্য
ঘ
ঘ) উপরের কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

"যদি f(x) ধনাত্মক মাত্রার বহুপদী হয় এবং f(a) = 0 হয়, তবে f(x) এর একটি উৎপাদক (x - a) হবে।" - এটি উৎপাদক উপপাদ্য।

সূত্র - নবম-দশম শ্রেণি, উচ্চতর গণিত, বোর্ড বই।

১,৪৬২.

ক
ক) 3
খ
খ) 4
গ
গ) 5
ঘ
ঘ) 6

ব্যাখ্যা

সমাধান:
(3^1/2)^{x + 1} = (3^1/3)^{2x - 1}
3^{(x + 1)/2} = 3^{(2x - 1)/3}
(x + 1)/2 = (2x - 1)/3
4x - 2 = 3x + 3
4x - 3x = 3 + 2
x = 5

১,৪৬৩.

x + (1/y) = 3/2 এবং y + (1/x) = 3 সমীকরণদ্বয়ের সমাধান কত?

ক
(x, y) = (2, 1), (1, 1/2)
খ
(x, y) = (1, 2), (1/2, 1)
গ
(x, y) = (1, 1), (1/2, 1/2)
ঘ
(x, y) = (- 1, 2), (- 1/2, 1)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + (1/y) = 3/2 এবং y + (1/x) = 3 সমীকরণদ্বয়ের সমাধান কত?

সমাধান:
x + (1/y) = 3/2 ..........(A)
y + (1/x) = 3 .............(B)

সমীকরণ (A) ⇒ xy + 1 = 3y/2 ..........(1) [উভয়পক্ষে y গুণ করে]

সমীকরণ (B) ⇒ xy + 1 = 3x .............(2) [উভয়পক্ষে x গুণ করে]

এখন, (2) - (1) ⇒
3x - (3y/2) = 0
⇒ 3x = (3y/2)
⇒ x = y/2 .............(3)

সমীকরণ (A) ⇒
(y/2)+ (1/y) = 3/2
⇒ (y² + 2)/2y = 3/2
⇒ y² + 2 = 3y
⇒ y² - 3y + 2 = 0
⇒ y² - 2y - y + 2 = 0
⇒ y(y - 2) - 1(y - 2) = 0
⇒ (y - 2)(y - 1) = 0

∴ y = 2, 1

y = 2 হলে (3) হতে,
x = 2/2 = 1

এবং y = 1 হলে (3) হতে,
x = 1/2

∴ (x, y) = (1, 2), (1/2, 1)

১,৪৬৪.

x এর মান কত হলে, 72.3^{3x - 5} = 2³ হবে?

ক
1
খ
2
গ
5/3
ঘ
3/5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x এর মান কত হলে, 72.3^{3x - 5} = 2³ হবে?

সমাধান:
72.3^{3x - 5} = 2³
বা, 2³.3².3^{3x - 5} = 2³
বা, 3².3^{3x - 5} = 2³/2³
বা, 3^{2 + 3x - 5} = 1
বা, 3^{3x - 3} = 3⁰
বা, 3x - 3 = 0
বা, 3x = 3
বা, x = 3/3
∴ x = 1

১,৪৬৫.

3 - 3 + 3 - 3 + ............. ধারাটির (2n + 2) সংখ্যক পদের সমষ্টি কত?

ক
ক) 3
খ
খ) 1
গ
গ) - 1
ঘ
ঘ) 0

ব্যাখ্যা

ধরি
১ম পদ = 3
সাধারণ অনুপাত r = - 3/3 = - 1

গুণোত্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি a(1 - rⁿ)/(1- r)
গুণোত্তর ধারার (2n + 2) সংখ্যক পদের সমষ্টি
= 3{1 - (- 1)^{(2n + 2)}}/{1 - (- 1)}
= 3{1 - 1}/{1 + 1}
= 3 × 0/2
= 0/2
= 0

১,৪৬৬.

(x - 5) (x + a) = 0 হলে x এর মান কত?

ক
ক) a, 5
খ
খ) - 5, a
গ
গ) - a, 5
ঘ
ঘ) কোনটি না

ব্যাখ্যা

হয়
x - 5 = 0
x = 5

অথবা
x + a = 0
x = - a

১,৪৬৭.

x³+ 3x² + 3x + 2 এর সঠিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ হলো-

ক
ক) (x - 2)(x² - x + 1)
খ
খ) (x + 2)(x² + x + 1)
গ
গ) (x + 1)(x² + x + 2)
ঘ
ঘ) (x - 2)(x² + x - 1)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x³+ 3x² + 3x + 2 এর সঠিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ হলো-

সমাধান:
ধরি
f(x) = x³ + 3x² + 3x + 2
f(- 2) = (- 2)³ + 3(- 2)² + 3(- 2) + 2
= - 8 + 12 - 6 + 2
= 14 - 14
= 0
x + 2, f(x) এর একটি উৎপাদক

f(x) = x³ + 3x²+ 3x + 2
= x³ + 2x² + x² + 2x + x + 2
= x²(x + 2)+ x(x + 2) + 1(x + 2)
= (x + 2)(x² + x + 1)

১,৪৬৮.

6 টি গণিতের এবং 6 টি পদার্থের বই থেকে 5 টি বই কত উপায়ে বাচাই করা যায় যেখানে গণিতের 3 টি বই থাকবে এবং বাকীগুলো পদার্থ বিজ্ঞানের বই।

ক
ক) 30
খ
খ) 300
গ
গ) 15
ঘ
ঘ) 150

ব্যাখ্যা

6 টি গণিতের বই থেকে 3 টি বাছাই করা যায় = ⁶C₃ = 20 উপায়ে
6 টি পদার্থবিজ্ঞানের বই থেকে 2 টি বাছাই করা যায় = ⁶C₂ = 15 উপায়ে
∴ 5 টি বই বাছাইয়ের উপায় = 20×15 = 300

১,৪৬৯.

f(x) = 6x² - ax - 3 এবং (3x - 1), f(x) এর একটি উৎপাদক হলে a এর মান কত?

ক
7
খ
- 7
গ
- 8
ঘ
8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: f(x) = 6x² - ax - 3 এবং (3x - 1), f(x) এর একটি উৎপাদক হলে a এর মান কত?

সমাধান:
f(x) = 6x² - ax - 3
∴ f(1/3) = 6(1/3)² - a(1/3) - 3 = 0
⇒ 6/9 - a/3 - 3 = 0
⇒ 6 - 3a - 27 = 0
⇒ - 3a = 21
∴ a = - 7

১,৪৭০.

একটি সংখ্যার এক-তৃতীয়াংশের সঙ্গে ১০ যোগ করলে সংখ্যাটির অর্ধেকের সমান হয়। সংখ্যাটি কত?

ক
৩০
খ
৪০
গ
৪৮
ঘ
৬০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার এক-তৃতীয়াংশের সঙ্গে ১০ যোগ করলে সংখ্যাটির অর্ধেকের সমান হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
(ক/৩) + ১০ = ক/২
⇒ (ক + ৩০)/৩ = ক/২
⇒ ২(ক + ৩০) = ৩ক
⇒ ২ক + ৬০ = ৩ক
⇒ ৩ক - ২ক = ৬০
∴ ক = ৬০

১,৪৭১.

a + b = 8 এবং a² + b² = 34 হলে, ab এর মান কত?

ক
10
খ
12
গ
15
ঘ
18

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a + b = 8 এবং a² + b² = 34 হলে, ab এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 8
এবং a² + b² = 34

এখন,
(a + b)² = a² + 2ab + b²
⇒ 8² = 34 + 2ab
⇒ 64 = 34 + 2ab
⇒ 2ab = 64 - 34
⇒ 2ab = 30
∴ ab = 15

১,৪৭২.

প্রথম ৫০ টি জোড় সংখ্যার সমষ্টি ও প্রথম ৫০ টি বিজোড় সংখ্যার সমষ্টির মধ্যে পার্থক্য কত?

ক
ক) ০
খ
খ) ৫০
গ
গ) ৮০
ঘ
ঘ) ১০০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: প্রথম ৫০ টি জোড় সংখ্যার সমষ্টি ও প্রথম ৫০ টি বিজোড় সংখ্যার সমষ্টির মধ্যে পার্থক্য কত?

সমাধান:
প্রথম n সংখ্যক জোড় সংখ্যার সমষ্টি = n² + n
প্রথম n সংখ্যক বিজোড় সংখ্যার সমষ্টি = n²

প্রথম n সংখ্যক জোড় সংখ্যার সমষ্টি ও প্রথম n সংখ্যক বিজোড় সংখ্যার সমষ্টি এর পার্থক্য = n² + n - n²
= n

∴ প্রথম ৫০ টি জোড় সংখ্যার সমষ্টি ও প্রথম ৫০ টি বিজোড় সংখ্যার সমষ্টির মধ্যে পার্থক্য = ৫০

১,৪৭৩.

2 + 4 + 8 + 16 + ............. এই ধারাটির কোন পদের মান 512?

ক
7
খ
8
গ
9
ঘ
6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2 + 4 + 8 + 16 + ............. এই ধারাটির কোন পদের মান 512?

সমাধান:
2 + 4 + 8 + 16 + .............
ধারাটির ১ম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = 4/2 = 2

∴ n তম পদ = ar^{n - 1}
বা, 2.2^{n - 1} = 512
বা, 2^{1 + n - 1} = 512
বা, 2ⁿ = 512
বা, 2ⁿ = 2⁹
∴ n = 9

∴ ধারাটির 9 তম পদের মান 512.

১,৪৭৪.

একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা 10 মিটার বেশি। আয়তকার ক্ষেত্রটির পরিসীমা 140 মিটার হলে আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ কত?

ক
ক) 30 মিটার
খ
খ) 20 মিটার
গ
গ) 25 মিটার
ঘ
ঘ) 35 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা 10 মিটার বেশি। আয়তকার ক্ষেত্রটির পরিসীমা 140 মিটার হলে আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ কত?

সমাধান:
মনে করি
আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ x মিটার
আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য x + 10 মিটার

প্রশ্নমতে,
2(x + x + 10) = 140
2(2x + 10) = 140
2x + 10 = 70
2x = 70 - 10
2x = 60
x = 30

১,৪৭৫.

'ACCURATE' শব্দটিকে কত প্রকারে সাজানো যায় যেন ১ম অক্ষর R ও শেষ অক্ষর T থাকে?

ক
ক) 120
খ
খ) 140
গ
গ) 160
ঘ
ঘ) 180

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'ACCURATE' শব্দটিকে কত প্রকারে সাজানো যায় যেন ১ম অক্ষর R ও শেষ অক্ষর T থাকে?

সমাধান:
'ACCURATE' শব্দে 8টি বর্ণ আছে। যেখানে
A = 2টি
C = 2টি

১ম অক্ষর R ও শেষ অক্ষর T থাকলে বাকী থাকে 6টি অক্ষর

∴ সাজানো যাবে = 6!/(2!2!)
= 180 উপায়ে

১,৪৭৬.

1/(log_a(abc)) + 1/(log_b(abc)) + 1/(log_c(abc)) =কত?

ক
ক) 0
খ
খ) 1
গ
গ) 2
ঘ
ঘ) 1/2

ব্যাখ্যা

1/(log_a(abc)) + 1/(log_b(abc)) + 1/(log_c(abc))
= log_ka/(log_k(abc)) + log_kb/(log_k(abc)) + log_kc/(log_k(abc))
= (log_ka + log_kb + log_kc)/( log_k(abc)) {সূত্র log_aM= (log_bM)/(log_ba)}
= ( log_k(abc)) / ( log_k(abc))
= 1

১,৪৭৭.

A = {a,b}, B = {a,b,c} এবং C = A ∪ B হলে, P(C) এর উপাদান সংখ্যা কত?

ক
ক) 3
খ
খ) 8
গ
গ) 12
ঘ
ঘ) 16

ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে,
A= {a, b}
B = {a, b, c}
C = A ∪ B
= {a,b} ∪ {a, b, c}
= {a, b, c}

C এর উপাদান সংখ্যা n = 3

P(C) এর উপাদান সংখ্যা = 2ⁿ
= 2³
= 8

১,৪৭৮.

A, B, C বর্ণের ৩টি বর্ণ নিয়ে কত প্রকারে বিন্যাস করা যায়?

ক
৩
খ
৬
গ
৯
ঘ
১২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A, B, C বর্ণের ৩টি বর্ণ নিয়ে কত প্রকারে বিন্যাস করা যায়?

সমাধান:
৩টি করে বর্ণ নিয়ে বিন্যাস করা যায় = ৩!
= ৬ উপায়ে

১,৪৭৯.

কোনটি কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপ নয়?

ক
ক) গড়
খ
খ) মধ্যক
গ
গ) প্রচুরক
ঘ
ঘ) পরিসর

ব্যাখ্যা

কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপগুলো হলো: গড়, মধ্যক, প্রচুরক।

১,৪৮০.

x² - 5x + 6 < 0 হলে-

ক
1 < x < 6
খ
- 3 < x < - 2
গ
x < 2
ঘ
2 < x < 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² - 5x + 6 < 0 হলে-

সমাধান:
x² - 5x + 6 < 0
বা, x² - 2x - 3x + 6 < 0
বা, x(x - 2) - 3(x - 6) < 0
∴ (x - 2)(x - 3) < 0

x² - 5x + 6 < 0 সত্য হবে যদি x - 2 < 0 এবং x - 3 > 0 হয়।
এখন, x - 2 < 0 এবং x - 3 > 0
অর্থাৎ, x < 2 এবং x > 3
2 এর চেয়ে ছোট এবং 3 এর চেয়ে বড় x এর কোন মান নাই।
এক্ষেত্রে অসমতাটির কোন সমাধান পাওয়া যাবে না।

আবার,
x² - 5x + 6 < 0 সত্য হবে যদি x - 2 > 0 এবং x - 3 < 0 হয়।
এখন, x - 2 > 0 এবং x - 3 < 0
অর্থাৎ x > 2 এবং x < 3
x এর মান 2 এর চেয়ে বড় এবং 3 এর চেয়ে ছোট।
সুতরাং অসমতাটির সমাধান পাওয়া যাবে.

সুতরাং নির্ণেয় সমাধানঃ 2 < x < 3

১,৪৮১.

p²- r ²+ q²- 2pq এর সঠিক উৎপাদক কোনটি?

ক
(p - q + r)(p - q - r)
খ
(p + q - r)(p - q + r)
গ
(p - q + r)(p + q + r)
ঘ
(p - q - r)(p + q - r)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: p²- r²+ q²- 2pq এর সঠিক উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
p²- 2pq + q²- r²
=(p - q)²- (r)²
=(p - q + r) (p - q - r)

১,৪৮২.

x + y = 12 এবং xy = 35 হলে, x - y এর মান কত ?

ক
2
খ
3
গ
4
ঘ
6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + y = 12 এবং xy = 35 হলে, x - y এর মান কত ?

সমাধান:
x + y = 12
xy = 35

আমরা জানি
4xy = (x + y)² - (x - y)²
⇒ (x - y)² = 12² - 4xy
⇒ (x - y)² = 144 - 4 × 35
⇒ (x - y)² = 144 - 140
⇒ (x - y)² = 4
∴ x - y = 2

১,৪৮৩.

√27এর 3 ভিত্তিক log কত?

ক
ক) 1/3
খ
খ) 2/3
গ
গ) 3/2
ঘ
ঘ) 1/2

ব্যাখ্যা

√27এর 3 ভিত্তিক log = log₃√27
= log₃(27)^1/2
= log₃(3³)^1/2
= log₃3^3/2
= (3/2)log₃3
=(3/2) . 1
= 3/2

১,৪৮৪.

a³ - 21a -20 রাশিটির একটি উৎপাদক হবে নিচের কোনটি?

ক
ক) (a + 2)
খ
খ) (a - 2)
গ
গ) (a + 1)
ঘ
ঘ) (a - 1)

ব্যাখ্যা

a³ - 21a -20
= a³ + a² - a² - a - 20a - 20
= a²(a + 1) - a ( a + 1) - 20(a + 1)
= (a+1)(a² -a - 20)

১,৪৮৫.

a² - 6a + 8 = 0 হলে, a এর মান কত?

ক
3 অথবা 5
খ
1 অথবা 8
গ
2 অথবা 4
ঘ
4 অথবা 5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a² - 6a + 8 = 0 হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
a² - 6a + 8 = 0
⇒ a² - 4a - 2a + 8 = 0
⇒ a(a - 4) - 2(a - 4) = 0
⇒ (a - 4)(a - 2) = 0
∴ a = 4 অথবা 2

∴ a এর মান = 2 অথবা 4

১,৪৮৬.

৮০, _______ , ১১২, ১২৮ শূন্য স্থানের সংখ্যাটি কত হবে?

ক
ক) ১২০
খ
খ) ৬৪
গ
গ) ৯৬
ঘ
ঘ) ৮৮

ব্যাখ্যা

৮০+১৬ = ৯৬
৯৬+১৬ = ১১২
১১২+১৬ = ১২৮
অর্থাৎ শূন্যস্থানে ৯৬ বসবে।

১,৪৮৭.

3x + 4y - 7 = 0 এবং y - 2x + 3 = 0 এর সমাধান কত?

ক
(19/11, 5/11)
খ
(13/11, 5/9)
গ
(17/10, 7/11)
ঘ
(7/4, 5/6)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3x + 4y - 7 = 0 এবং y - 2x + 3 = 0 এর সমাধান কত?

সমাধান:
3x + 4y - 7 = 0 ......... (1)
y - 2x + 3 = 0
⇒ y = 2x - 3 ............ (2)

(1) নং সমীকরণে y এর মান বসিয়ে পাই,
3x + 4(2x - 3) - 7 = 0
⇒ 3x + 8x - 12 - 7 = 0
⇒ 11x - 19 = 0
⇒ 11x = 19
∴ x = 19/11

x এর মান (2) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
y = 2 · (19/11) - 3
⇒ y = (38/11) - 3
⇒ y = (38 - 33)/11
⇒ y = 5/11

∴ নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (19/11, 5/11)

১,৪৮৮.

যদি a + b + c = 5 এবং a² + b² + c² = 9 হয়, তবে ab + bc + ca = কত?

ক
4
খ
8
গ
12
ঘ
16

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি a + b + c = 5 এবং a² + b² + c² = 9 হয়, তবে ab + bc + ca = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b + c = 5
এবং
a² + b² + c² = 9

আমরা জানি,
(a + b + c)² = a² + b² + c²+ 2(ab + bc + ca)
বা, 2(ab + bc + ca) = (a + b + c)² - (a² + b² + c²)
বা, 2(ab + bc + ca) = {(5)2 - 9}
বা, 2(ab + bc + ca) = (25 - 9)
বা, 2(ab + bc + ca) = 16
বা, (ab + bc + ca) = 16/2
∴ (ab + bc + ca) = 8

১,৪৮৯.

এক প্যাকেট কার্ড থেকে একটি Hearts সরিয়ে নেয়ার পর আবার একটি কার্ড নিরপেক্ষভাবে তোলা হলে কার্ডটি Hearts হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
ক) 1/4
খ
খ) 12/52
গ
গ) 13/51
ঘ
ঘ) 4/17

ব্যাখ্যা

মোট কার্ড = 52টি, Hearts এর সংখ্যা = 13টি
একটি Hearts সরিয়ে নিলে মোট কার্ড = 51টি এবং Hearts = 12টি
∴ এক্ষেত্রে সম্ভাবনা = 12/51
= 4/17

১,৪৯০.

(x/2) + 4 = (x/3) + 6 সমীকরণে x এর মান কত?

ক
10
খ
24
গ
12
ঘ
9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (x/2) + 4 = (x/3) + 6 সমীকরণে x এর মান কত?

সমাধান:
(x/2) + 4 = (x/3) + 6
⇒ (x/2) - (x/3) = 6 - 4
⇒ (3x - 2x)/6 = 2
⇒ x/6 = 2
∴ x = 12

১,৪৯১.

বিভিন্ন কাজের জন্য তিনটি পুরস্কার দশজন বালকের মধ্যে কতভাবে বিতরণ করা যায়?

ক
ক) 100
খ
খ) 1000
গ
গ) 59049
ঘ
ঘ) কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

পুরস্কার বিতরণ করার উপায় =(লোকসংখ্যা)^{পুরস্কার} = 10 ³= 1000

১,৪৯২.

3.27^x= 9^{x - 4} এ x এর মান কত?

ক
- 7
খ
7
গ
- 9
ঘ
11

ব্যাখ্যা

3.27^x= 9^{x - 4}
3.(3³)^x = (3²)^{x - 4}
3. 3^3x= 3^{2x - 8}
3^{3x + 1}= 3^{2x - 8}
3x + 1 = 2x - 8
3x - 2x = - 8 - 1
x = - 9

১,৪৯৩.

যদি (p/q)^{3x - 7} = (q/p)^{x - 3} হয়, তবে x এর মান কত?

ক
3
খ
2.5
গ
4
ঘ
5.5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি (p/q)^{3x - 7} = (q/p)^{x - 3} হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
(p/q)^{3x - 7} = (q/p)^{x - 3}
⇒ (p/q)^{3x - 7} = (p/q)^{-(x - 3)}
⇒ 3x - 7 = -(x - 3)
⇒ 3x - 7 = -x + 3
⇒ 3x + x = 3 + 7
⇒ 4x = 10
∴ x = 10/4 = 2.5

১,৪৯৪.

log_x(2/3) = - (1/2) হলে, x -এর মান কত?

ক
9/4
খ
√3/2
গ
4/9
ঘ
2/√3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন, log_x(2/3) = - (1/2) হলে, x -এর মান কত?

সমাধান,
log_x 2/3 = - (1/2)
বা, x^{- (1/2)} = 2/3
বা, 1/x^½ = 2/3
বা, 1/√x = 2/3
বা, √x = 3/2
বা, (√x)² = (3/2)²

∴ x = 9/4

১,৪৯৫.

ক
1
খ
abc
গ
x
ঘ
1/abc

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

১,৪৯৬.

x² - 3x + 2 এর উৎপাদক গুলো কী কী?

ক
ক) (x - 2)(x + 1)
খ
খ) (x - 2)(x - 1)
গ
গ) (x + 2)(x - 1)
ঘ
ঘ) (x + 2)(x + 1)

ব্যাখ্যা

x² - 3x + 2
x² - 2x - x + 2
x(x - 2) - 1(x - 2)
(x - 2)(x - 1)

১,৪৯৭.

দুই অঙ্কের একটি সংখ্যার ক্ষেত্রে, দশকের অঙ্ক এককের চেয়ে ২ বেশি। সেই সংখ্যা তার অঙ্কগুলির যোগফলের ৭ গুণের চেয়ে ৩ বেশি। সংখ্যাটি নির্ণয় করুন।

ক
৩১
খ
৩৩
গ
৩৫
ঘ
৩৮

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুই অঙ্কের একটি সংখ্যার ক্ষেত্রে, দশকের অঙ্ক এককের চেয়ে ২ বেশি। সেই সংখ্যা তার অঙ্কগুলির যোগফলের ৭ গুণের চেয়ে ৩ বেশি। সংখ্যাটি নির্ণয় করুন।

সমাধান:
ধরি,
একক স্থানীয় অংক = ক
দশক স্থানীয় অংক = (ক + ২)
∴সংখ্যাটি = ১০(ক + ২) + ক
= ১১ক + ২০

শর্তানুসারে,
১১ক + ২০ = ৭(ক + ক + ২) + ৩
বা, ১১ক + ২০ = ৭(২ক + ২) + ৩
বা, ১১ক + ২০ = ১৪ক + ১৪ + ৩
বা, ৩ক = ৩
∴ ক = ১

সংখ্যাটি = ১১ × ১ + ২০
= ৩১

১,৪৯৮.

|x + 4| ≤ 7 হলে, x এর সর্বোচ্চ মান কত?

ক
11
খ
7
গ
3
ঘ
4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |x + 4| ≤ 7 হলে, x এর সর্বোচ্চ মান কত?

সমাধান:
প্রদত্ত: |x + 4| ≤ 7
⇒ - 7 ≤ x + 4 ≤ 7
⇒ - 7 - 4 ≤ x ≤ 7 - 4
⇒ - 11 ≤ x ≤ 3

∴ x এর সর্বোচ্চ মান = 3

১,৪৯৯.

m/(m - x) + n/(n - x) = (m + n)/(m + n - x) হলে, m² + n² - 4x² = কত?

ক
{m + n}
খ
- 2mn
গ
2mn
ঘ
{(m + n)/2}

ব্যাখ্যা

m/(m - x) + n/(n - x) = (m + n)/(m + n - x)
⇒ m/(m - x) + n/(n - x) = m/(m + n - x) + n/(m + n - x)
⇒ m/(m - x) - m/(m + n - x) = n/(m + n - x) - n/(n - x)
⇒ {m(m + n - x) - m((m - x)}/(m - x)(m + n - x) = {n((n - x) - n(m + n - x)}/(m + n - x)(n - x)
⇒ (m² + mn - mx - m² + mx)/(m - x)(m + n - x) = (n² - nx - mn - n² + nx)/(m + n - x)(n - x)
⇒ mn/(m - x) = -mn/(n - x)
⇒ 1/(m - x) = -1/(n - x)
⇒ m - x = - n + x
⇒ 2x = m + n
⇒ m + n = 2x
⇒ (m + n)² = (2x)²
⇒ (m + n)² = 4x²
⇒ m² + 2mn + n² = 4x²
⇒ m² + n² - 4x² = - 2mn

১,৫০০.

যদি a + b = 9 এবং a² + b² = 41 হয়, তবে a³ + b³ এর মান কত?

ক
189
খ
343
গ
690
ঘ
232

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি a + b = 9 এবং a² + b² = 41 হয়, তবে a³ + b³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a² + b² = 41 এবং a + b = 9

আমরা জানি,
(a + b)² = a² + 2ab + b²
⇒ (9)² = 41 + 2ab
⇒ 81 = 41 + 2ab
⇒ 2ab = 81 - 41
⇒ 2ab = 40
⇒ ab = 40/2
⇒ ab = 20

এখন,
a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)
= (9)³ - (3 × 20 × 9)
= 729 - 540
= 189