লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

বীজগণিত

মোট প্রশ্ন২০,২০৭এই পাতা১০০প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

বীজগণিত

PrepBank · পাতা ১১ / ২০১ · ১,০০১–১,১০০ / ২০,২০৭

১,০০১.
x + 1/3x = 4 হলে 9x2 + 1/x2 এর মান কত?
  1. ক
    108
  2. খ
    138
  3. গ
    148
  4. ঘ
    158
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + 1/3x = 4 হলে 9x2 + 1/x2 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
x + 1/3x = 4
3(x + 1/3x) = 12
3x + 1/x = 12

প্রদত্ত রাশি = 9x2 + 1/x2
= (3x)2 + (1/x)2
= (3x + 1/x)2 - 2.3x.1/x
= 122 - 6
= 144 - 6
= 138


১,০০২.
x4 - x2 + 1 = 0 হলে (x + 1/x)2 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 0
  2. খ
    খ) 2
  3. গ
    গ) - 1
  4. ঘ
    ঘ) 3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x4 - x2 + 1 = 0 হলে (x + 1/x)2 এর মান কত?

সমাধান:
x4 - x2 + 1 = 0
বা, x4 + 1 = x2
বা, x2 + 1/x2 = 1
বা, (x + 1/x)2 - 2 . x . 1/x = 1
∴ (x + 1/x)2 = 3
১,০০৩.
৬ জন অতিথিকে একটি গোল টেবিলের চারপাশে কত উপায়ে বসিয়ে আপ্যায়ন করা যায়?
  1. ক
    ক) ১১৯
  2. খ
    খ) ১২০
  3. গ
    গ) ৫৯
  4. ঘ
    ঘ) ৬০
ব্যাখ্যা

গোলটেবিলের চারপাশের বসার ক্ষেত্রে একজনকে স্থির রাখতে হয়।
সেক্ষেত্রে অবশিষ্ট (৬ - ১) = ৫ জনকে বসানোর উপায় ৫! = ১২০

১,০০৪.
x + 1/x = √3 হলে, {(x6 + 1)/x3} + 1 এর মান কত?
  1. ক
    ক) - 1
  2. খ
    খ) 1
  3. গ
    গ) 0
  4. ঘ
    ঘ) 3√3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + 1/x = √3 হলে, {(x6 + 1)/x3} + 1 এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে 
x + 1/x = √3
(x + 1/x)3 = (√3)3
x3 + 1/x3 + 3x.(1/x)(x + 1/x) = 3√3
x3 + 1/x3 + 3√3 = 3√3
x3 + 1/x3 = 0
(x6 + 1)/x3 = 0


{(x6 + 1)/x3} + 1
= 0 + 1
= 1
১,০০৫.
1/32 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম কত?
  1. ক
    ক) 1/5
  2. খ
    খ) 5
  3. গ
    গ) - 4
  4. ঘ
    ঘ) - 5
ব্যাখ্যা
1/32 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম
= log2(1/32)
= log2(1/25)
=log2(1/2)5
= log22- 5
= - 5log22
= - 5
১,০০৬.
A = {2, 3, 5, 8} এবং B = {3, 5, 7, 9} হলে B - A = ?
  1. ক
    ক) {3, 5}
  2. খ
    খ) {2, 8}
  3. গ
    গ) {7, 9}
  4. ঘ
    ঘ) ∅
ব্যাখ্যা

B - A = B তে আছে কিন্তু A তে নাই এমন উপাদানের সেট = {7, 9}

১,০০৭.
12 + 22 + 32 + 42 + ........... +152 = কত?
  1. ক
    ক) 1260
  2. খ
    খ) 1250
  3. গ
    গ) 1270
  4. ঘ
    ঘ) 1240
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 12 + 22 + 32 + 42 + ........... +152 = কত?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
12 + 22 + 32 + 42 + ........... + n2 = (1/6){n(n+1)(2n + 1)} 

12 + 22 + 32 + 42 + ........... + 152 = (1/6){15(15 + 1)(2 × 15 + 1)}
                                       = (15 × 16 × 31)/6
                                        = 1240
১,০০৮.
একজন ব্যক্তি স্থির পানিতে প্রতি ঘণ্টায় 7.5 কি.মি বেগে সাঁতার কাঁটতে পারে। যদি স্রোতের গতিবেগ 1.5 কি.মি./ঘণ্টা হয়, তাহলে একটি নির্দিষ্ট স্থানে গিয়ে ফিরে আসতে তার 50 মিনিট লাগে। সেই স্থানটির দূরত্ব কত?
  1. ক
    ক) 3 কি.মি.
  2. খ
    খ) 4 কি.মি.
  3. গ
    গ) 5 কি.মি.
  4. ঘ
    ঘ) 6 কি.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একজন ব্যক্তি স্থির পানিতে প্রতি ঘণ্টায় 7.5 কি.মি বেগে সাঁতার কাঁটতে পারে। যদি স্রোতের গতিবেগ 1.5 কি.মি./ঘণ্টা হয়, তাহলে একটি নির্দিষ্ট স্থানে গিয়ে ফিরে আসতে তার 50 মিনিট লাগে। সেই স্থানটির দূরত্ব কত?

সমাধান: 
মনেকরি 
স্থানটির দূরত্ব = x  
স্রোতের অনুকূলে গতিবেগ = (7.5 + 1.5)কি.মি./ঘণ্টা 
 = 9 কি.মি./ঘণ্টা 

স্রোতের প্রতিকূলে গতিবেগ =(7.5 - 1.5)কি.মি./ঘণ্টা 
= 6 কি.মি./ঘণ্টা

প্রশ্নমতে 
(x/9) + (x/6) = 50/60
(2x + 3x)/18 = 5/6
5x/18 = 5/6
x/18 = 1/6
x = 18/6
x = 3 

স্থানটির দূরত্ব = 3  কি.মি.
১,০০৯.
log10 2 + log10 5 - 1 =?
  1. ক
    0
  2. খ
    1
  3. গ
    2
  4. ঘ
    3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: log10 2 + log10 5 - 1 =? 

সমাধান: 
 log10 2 + log10 5 - 1
= log10(2 × 5) - 1
= log1010 - 1
= 1 - 1
= 0 
১,০১০.
1 + 3 + 5 + ..........ধারাটির কোন পদ 383 হবে?
  1. ক
    190
  2. খ
    191
  3. গ
    192
  4. ঘ
    198
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 + 3 + 5 + ..........ধারাটির কোন পদ 383 হবে?

সমাধান: 
পদ সংখ্যা = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/ 2} + 1
= {(383 - 1)/ 2} + 1
= (382/ 2) + 1
= 191 + 1
= 192

১,০১১.
1 + 2 + 4 +................. ধারার প্রথম 6 টি পদের সমষ্টি কত? 
  1. ক
    63
  2. খ
    27
  3. গ
    36
  4. ঘ
    72
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 + 2 + 4 +................. ধারার প্রথম 6 টি পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
ধারাটির প্রথম পদ, a = 1
ধারাটির সাধারণ অনুপাত, r = 2/1 = 2 [এখানে, r এর মান 1 থেকে বড় তাই]

∴ ধারাটির সমষ্টি, Sn = a.(rn - 1)/r - 1
= 1. (26 - 1)/2 - 1
= (64 - 1)/1 
= 63 

∴ 6 টি পদের সমষ্টি = 63 ।

১,০১২.
(1/x) + (1/y) = 5 এবং (1/x2) - (1/y2) = 15 হলে, (1/x) - (1/y) এর মান কত?
  1. ক
    1/3
  2. খ
    3
  3. গ
    9
  4. ঘ
    1/9
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (1/x) + (1/y) = 5 এবং (1/x2) - (1/y2) = 15 হলে, (1/x) - (1/y) এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
(1/x) + (1/y) = 5 
এবং (1/x2) - (1/y2) = 15

এখন,
(1/x2) - (1/y2) = 15 
⇒ {(1/x) + (1/y)}{(1/x) - (1/y)} = 15
⇒ 5(1/x) - (1/y) = 9  [(1/x) + (1/y) = 15
⇒ (1/x) - (1/y) = 15/5
∴ (1/x) - (1/y) = 3
১,০১৩.
  1. ক
    1
  2. খ
    a
  3. গ
    a3
  4. ঘ
    a1/3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 

সমাধান:
∛.∛a3
= ∛(a3) 1/3
= ∛a3/3
= ∛a
= a1/3
১,০১৪.
2 জন বালক ও 7 জন বালিকাকে এক সারিতে রেখে কতভাবে সাজানো যায় যেখানে 2 জন বালক সর্বদা একত্রে থাকবে?
  1. ক
    70924
  2. খ
    80640
  3. গ
    60230
  4. ঘ
    5040
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2 জন বালক ও 7 জন বালিকাকে এক সারিতে রেখে কতভাবে সাজানো যায় যেখানে 2 জন বালক সর্বদা একত্রে থাকবে?

সমাধান:
মোট বালক বালিকা = (2 + 7 ) = 9
জন দুইজন বালক একত্রে থাকলে মোট সংখ্যা = (1 + 7) জন
= 8 জন
8 জন কে সাজানো যায় = 8!
2 জন বালক কে সাজানো যায় = 2!

সুতরাং, একত্রে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 8! × 2!
= (8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) × (2 × 1)
= 80640
১,০১৫.
2x - 1/3x = 3 হলে, 8x3 - 1/27x3 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 32
  2. খ
    খ) 33
  3. গ
    গ) 28
  4. ঘ
    ঘ) 36
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2x - 1/3x = 3 হলে, 8x3 - 1/27x3 এর মান কত? 

সমাধান: 
দেয়া আছে,
2x - 1/3x = 3

প্রদত্ত রাশি = 8x3 - 1/27x3 
                 = (2x)3 - (1/3x)3
                 = (2x - 1/3x)3 + 3. 2x.1/3x (2x - 1/3x)
                  = 33 + 2 × 3
                   = 27 + 6 
                    = 33
১,০১৬.
৫ + ১১ + ১৭ + ২৩ + .............. + ১১৯ ধারাটির পদসংখ্যা কত?
  1. ক
    ১৮টি
  2. খ
    ২০টি
  3. গ
    ২৩টি
  4. ঘ
    ২৪টি
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৫ + ১১ + ১৭ + ২৩ + .............. + ১১৯ ধারাটির পদসংখ্যা কত?

সমাধান:
১১ - ৫ = ৬
১৭ - ১১ = ৬
∴ ইহা একটি সমান্তর ধারা।

এখানে, প্রথম পদ, a = ৫
সাধারণ অন্তর, d = ৬
শেষপদ = ১১৯

আমরা জানি, সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - ১) × d

প্রশ্নমতে, a + (n - ১) × d = ১১৯
বা, ৫ + (n - ১) × ৬ = ১১৯
বা, (n - ১) × ৬ = ১১৯ - ৫
বা, (n - ১) × ৬ = ১১৪
বা, n - ১ = ১১৪/৬
বা, n - ১ = ১৯
বা, n = ১৯ + ১
∴ n = ২০

∴ ধারাটির পদসংখ্যা = ২০টি।

১,০১৭.
৮, ২৭, ৬৪ এর গুণোত্তর গড় কত?
  1. ক
    ২৪
  2. খ
    ২৭
  3. গ
    ৩২
  4. ঘ
    ৩৫
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৮, ২৭, ৬৪ এর গুণোত্তর গড় কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক সংখ্যার জ্যামিতিক বা গুণোত্তর গড় (GM) = (x১ . x২ . x৩.........xn)১/n

সুতরাং, ৮, ২৭, ৬৪ এর গুণোত্তর গড় = (৮ × ২৭ × ৬৪)১/৩
= (২৩ × ৩৩ × ৪৩)১/৩
= (২ × ৩ × ৪)৩ × ১/৩
= ২৪

১,০১৮.
যদি A = {5, 15, 20, 30, 35} এবং B = {3, 5, 15, 18, 20, 24} হয়, তবে নিচের কোনটি (A ∩ B) নির্দেশ করবে?
  1. ক
    {5, 15, 35}
  2. খ
    {5, 15, 20}
  3. গ
    {5, 15, 30}
  4. ঘ
    {5, 15, 25}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি A = {5, 15, 20, 30, 35} এবং B = {3, 5, 15, 18, 20, 25} হয়, তবে নিচের কোনটি (A ∩ B) নির্দেশ করবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {5, 15, 20, 30, 35}
এবং B = {3, 5, 15, 18, 20, 24}

এখন,
A ∩ B = {5, 15, 20, 30, 35} ∩ {3, 5, 15, 18, 20, 25}
= {5, 15, 20}
১,০১৯.
একটি নির্দিষ্ট দিনে বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা 40%। একটি শিশুর শুষ্ক আবহাওয়ায় পড়ে যাওয়ার সম্ভাবনা 50% এবং ভেজা আবহাওয়ায় পড়ে যাওয়ার সম্ভাবনা 80%। তবে ঐ নির্দিষ্ট দিনে শিশুটির না পড়ার সম্ভাবনা কত?
  1. ক
    42%
  2. খ
    0%
  3. গ
    25%
  4. ঘ
    38%
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি নির্দিষ্ট দিনে বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা 40%। একটি শিশুর শুষ্ক আবহাওয়ায় পড়ে যাওয়ার সম্ভাবনা 50% এবং ভেজা আবহাওয়ায় পড়ে যাওয়ার সম্ভাবনা 80%। তবে ঐ নির্দিষ্ট দিনে শিশুটির না পড়ার সম্ভাবনা কত? 

সমাধান: 
বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা 40%
বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা 100% - 40%
= 60%

একটি শিশুর শুষ্ক আবহাওয়ায় পড়ে যাওয়ার সম্ভাবনা 50%
একটি শিশুর শুষ্ক আবহাওয়ায় না পড়ে যাওয়ার সম্ভাবনা 100% - 50% = 50%

ভেজা আবহাওয়ায় পড়ে যাওয়ার সম্ভাবনা 80%
ভেজা আবহাওয়ায় না পড়ে যাওয়ার সম্ভাবনা 100% - 80%
= 20%

ঐ নির্দিষ্ট দিনে শিশুটির না পড়ার সম্ভাবনা = P (বৃষ্টির দিনে না পড়া) + P (শুষ্ক আবহাওয়ায় না পড়া)
= (.4 × .2) + (.6 × .5)
= 0.08 + 0.3
= 0.38
= 38%
১,০২০.
a এর কোন মানের জন্য 4x + 5y = 12 এবং 8x - ay = 20 সরলরেখা দুটি সমান্তরাল?
  1. ক
    12
  2. খ
    - 6
  3. গ
    5
  4. ঘ
    - 10
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a এর কোন মানের জন্য 4x + 5y = 12 এবং 8x - ay = 20 সরলরেখা দুটি সমান্তরাল?

সমাধান: 
দুটি সরলরেখা সমান্তরাল হওয়ার শর্ত হলো তাদের ঢাল সমান হতে হবে।

দেওয়া আছে, 
প্রথম সরলরেখা, 4x + 5y = 12
⇒ 5y = - 4x + 12
⇒ y = (- 4/5)x + (12/5)
∴ ঢাল m1 = - 4/5  ; [y = mx + c এর সাথে তুলনা করে পাই] 

আবার, 
দ্বিতীয় সরলরেখা, 8x - ay = 20
⇒ ay = 8x - 20 
⇒ y = (8/a)x - 20/a ; (যদি k ≠ 0 হয়)
∴ ঢাল m2 = 8/a ; [y = mx + c এর সাথে তুলনা করে পাই] 

∴ সমান্তরাল হওয়ার শর্ত, m1 = m2
⇒ - 4/5 = 8/a
⇒ 4a = - 40
⇒ a = - 40/4
∴ a = - 10

সুতরাং, a এর মান - 10 হলে দুটি সরলরেখা সমান্তরাল হবে।

১,০২১.
p এর মান কত হলে 4x2 - px + 9 একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?
  1. ক
    9
  2. খ
    12
  3. গ
    16
  4. ঘ
    24
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: p এর মান কত হলে 4x2 - px + 9 একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে? 

সমাধান: 
4x2 - px + 9
= (2x)2 - px + 32
= (2x)2 - 2 × 2x × 3 + 32   [ ধরি, p = 2 × 2 × 3 = 12]
= (2x - 3)2, যা একটি পূর্ণবর্গ রাশি। 

∴ p এর মান 12 হলে 4x2 - px + 9 একটি পূর্ণবর্গ হবে।
১,০২২.
a3 + a2b, a2b + ab2 এবং a3 - ab2 এর গ, সা, গু কত?
  1. ক
    a(a - b)
  2. খ
    (a + b)
  3. গ
    ab(a + b)
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a3 + a2b, a2b + ab2 এবং a3 - ab2 এর গ, সা, গু কত?

সমাধান:
১ম রাশি,
a3 + a2b = a2(a + b)

২য় রাশি,
a2b + ab2 = ab(a + b)

৩য় রাশি,
a3 - ab2 = a(a2 - b2) = a(a + b)(a - b)

∴ নির্ণয়ে গ, সা, গু = a(a + b)
১,০২৩.
a = 16 - 5b এবং b = a/3 হলে, b এর মান কত?
  1. ক
    2
  2. খ
    3
  3. গ
    4
  4. ঘ
    6
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a = 16 - 5b এবং b = a/3 হলে, b এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
b = a/3
বা, a = 3b …… (i)

আবার,
a = 16 - 5b
বা, a + 5b = 16
বা, 3b + 5b = 16 [(i) নং হতে a এর মান বসিয়ে]
বা, 8b = 16
বা, b = 16/8
∴ b = 2

∴ b এর মান 2.
১,০২৪.
3x3 + 2x2 - 21x - 20 রাশিটির একটি উৎপাদক -
  1. ক
    ক) x + 2
  2. খ
    খ) x - 2
  3. গ
    গ) x + 1
  4. ঘ
    ঘ) x - 1
ব্যাখ্যা
প্র্রশ্ন: 3x3 + 2x2 - 21x - 20 রাশিটির একটি উৎপাদক -

সমাধান:
ধরি,
f(x) = 3x³ + 2x² - 21x - 20
∴ f(- 1) = 3 . (- 1)³ + 2 . (-1)² - 21 . (- 1) - 20
= - 3 + 2 + 21 - 20
= 0
x = - 1 হলে রাশিটির মান শূন্য হয়।
∴ (x + 1), f(x) এর একটি উৎপাদক।
 
এখন,
3x³ + 2x² - 21x - 20
= 3x³ + 3x² - x² - x - 20x - 20
= 3x²(x + 1) - x(x + 1) - 20(x + 1)
= (x +1)(3x² - x - 20)
১,০২৫.
(2a-1 + 3b-1)-1 এর মান কত?
  1. ক
    ab/(2b + 3a)
  2. খ
    2ab/(2b + 3a)
  3. গ
    2b/(2b + 3a)
  4. ঘ
    2a/(2b + 3a)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (2a-1 + 3b-1)-1 এর মান কত?

সমাধান:
(2a-1 + 3b-1)-1
= {2(1/a) + 3(1/b)}-1 [যেহেতু a-n = (1/an)]
= {(2/a) + (3/b)}-1
= {(2b + 3a)/ab}-1
= ab/(2b + 3a)

১,০২৬.
সমান্তর ধারার 10 তম পদ 20 হলে, এর প্রথম 19টি পদের সমষ্টি কত?
  1. ক
    380
  2. খ
    680
  3. গ
    520
  4. ঘ
    460
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সমান্তর ধারার 10 তম পদ 20 হলে, এর প্রথম 19টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
সমান্তর ধারার ১ম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d 
10 তম পদ = 20
⇒ a + (n - 1)d = 20
⇒ a + (10 - 1)d = 20
⇒ a + 9d = 20 ......... (1)

আমরা জানি,
n তম পদের সমষ্টি, Sn = (n/2){2a + (n - 1)d}
প্রথম 19টি পদের সমষ্টি,
Sn= (19/2){2a + (19 - 1)d}
=  (19/2){2a + 18d}
= (19/2){2(a + 9d)}
= 19 × 20
= 380
১,০২৭.
yy√y = (y√y)y হয়, তবে y√y এর মান কত?
  1. ক
    ক) 9/4
  2. খ
    খ) 16/3
  3. গ
    গ) 27/8
  4. ঘ
    ঘ) 24/9
ব্যাখ্যা
yy√y = (y√y)y
(yy)√y = (y y1/2)y
(yy)√y = (y3/2)y
(yy)√y = (yy)3/2
√y = 3/2
(√y)2 = (3/2)2
y = 9/4
 
সুতরাং, 
y√y =  (3/2)(9/4)
       = 27/8
১,০২৮.
প্রশ্নবোধক চিহ্নিত স্থানে কোনটি বসবে?
JAK, KBL, LCM, MDN, ? 
  1. ক
    EON
  2. খ
    NEO
  3. গ
    MEN
  4. ঘ
    NEM
ব্যাখ্যা
এখানে, 
১ম বর্ণ সিরিজ =J, K, L, M, N
২য় বর্ণ সিরিজ = A, B, C, D, E
৩য় বর্ণ সিরিজ = K, L, M, N, O
১,০২৯.
2log525 + 3log7343 + 4log636 এর মান কত?
  1. ক
    12
  2. খ
    21
  3. গ
    24
  4. ঘ
    36
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2log525 + 3log7343 + 4log636 এর মান কত?

সমাধান:
= 2log525 + 3log7343 + 4log636
= 2log5(52) + 3log7(73) + 4log6(62)
= 2 × 2log55 + 3 × 3log77 + 4 × 2log66
= 4log55 + 9log77 + 8log66
= 4 × 1 + 9 × 1 + 8 × 1   [ logaa = 1]
= 4 + 9 + 8
= 21

১,০৩০.
দুইটি ভিন্ন সরলরেখার সর্বাধিক কয়টি সাধারণ বিন্দু থাকতে পারে?
  1. ক
    ৪ টি
  2. খ
    ২ টি
  3. গ
    ১ টি
  4. ঘ
    অসংখ্য
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি ভিন্ন সরলরেখার সর্বাধিক কয়টি সাধারণ বিন্দু থাকতে পারে ?

সমাধান:
দুইটি ভিন্ন সরলরেখার সর্বাধিক ১ টি সাধারণ বিন্দু থাকতে পারে।

দুইটি ভিন্ন সরলরেখার সাধারণ বিন্দু বলতে সেই বিন্দুকে বোঝায়, যেখানে দুইটি সরলরেখা পরস্পর ছেদ করে বা একে অপরকে অতিক্রম করে। এই বিন্দুটি দুইটি সরলরেখার অন্তর্গত এবং তা যথেষ্ট একক হতে হবে, অর্থাৎ এই বিন্দুতে দুইটি রেখার মধ্যকার সম্পর্ক বা যোগসূত্র স্থাপন হয়।

এটি একধরণের ছেদ বিন্দু বা ইন্টারসেকশন পয়েন্ট হিসাবে পরিচিত।
১,০৩১.
১ থেকে ৩০ পর্যন্ত সংখ্যার ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলোর মধ্যক কত?
  1. ক
    ক) ১৫
  2. খ
    খ) ১৬.৫
  3. গ
    গ) ১৮
  4. ঘ
    ঘ) ১৯.৫
ব্যাখ্যা

৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা = ৩, ৬, ৯, ১২, ১৫, ১৮, ২১, ২৪, ২৭, ৩০
মোট ১০ টি সংখ্যা
∴ মধ্যক = ১০/২ এবং (১০/২ + ১) তম পদের গড়
= ৫ম ও ৬ষ্ঠ পদের গড়
= (১৫ + ১৮)/২
= ৩৩/২
= ১৬.৫

১,০৩২.
3x + 6y = 12 সমীকরণের কতটি সমাধান আছে? 
  1. ক
    একটিও না 
  2. খ
    মাত্র একটি 
  3. গ
    দুইটি 
  4. ঘ
    অসীম সংখ্যক 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3x + 6y = 12 সমীকরণের কতটি সমাধান আছে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
3x + 6y = 12
⇒ 3(x + 2y) = 12
⇒ x + 2y = 12/3
⇒ x + 2y = 4
⇒ 2y = 4 - x
∴ y = (4 - x)/2

এখন, সমীকরণটিতে x ও y দুইটি চলক। x চলকের বিভিন্ন বাস্তব মানের জন্য y চলকের বিভিন্ন বাস্তব মান পাওয়া যাবে। 
সুতরাং, সমীকরণটির সমাধান অসীম। 
যেমন,
যদি x = 2 হয়, তবে, y = (4 - 2)/2 = 2/2 = 1
যদি x = 4 হয়, তবে, y = (4 - 4)/2 = 0/2 = 0
যদি x = - 2 হয়, তবে, y = (4 + 2)/2 = 6/2 = 3
অর্থাৎ, এভাবে অসংখ্য জোড়া মান পাওয়া যায়।

১,০৩৩.
x3 - 8 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?
  1. ক
    ক) (x + 2)
  2. খ
    খ) (x2 + 2x + 2)
  3. গ
    গ) (x + 4)
  4. ঘ
    ঘ) (x2 + 2x + 4)
ব্যাখ্যা
x3 - 8
= x3 - 23
= (x - 2) (x2 + 2x + 4)
১,০৩৪.
  1. ক
    6/17
  2. খ
    11/6
  3. গ
    9/5
  4. ঘ
    14/7
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:
​
​

১,০৩৫.
একটি লঞ্চে মোট যাত্রী 90 জন। কেবিনের মাথাপিছু ভাড়া ডেকের ভাড়ার দ্বিগুণের চেয়ে 10 টাকা বেশি। ডেকের ভাড়া মাথাপিছু 40 টাকা এবং মোট ভাড়া প্রাপ্তি 5200 টাকা হলে কেবিনে কতজন যাত্রী আছে?
  1. ক
    32 জন
  2. খ
    35 জন
  3. গ
    37 জন
  4. ঘ
    42 জন
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি লঞ্চে মোট যাত্রী 90 জন। কেবিনের মাথাপিছু ভাড়া ডেকের ভাড়ার দ্বিগুণের চেয়ে 10 টাকা বেশি। ডেকের ভাড়া মাথাপিছু 40 টাকা এবং মোট ভাড়া প্রাপ্তি 5200 টাকা হলে কেবিনে কতজন যাত্রী আছে?

সমাধান:
ধরি, ডেকের যাত্রী = x জন
∴ কেবিনের যাত্রী = (90 - x) জন

ডেকের ভাড়া মাথাপিছু 40 টাকা।
∴ কেবিনের ভাড়া = (40 × 2 + 10) টাকা
= 80 + 10 = 90 টাকা

প্রশ্নমতে,
40x + 90(90 - x) = 5200
⇒ 40x + 8100 - 90x = 5200
⇒ 8100 - 50x = 5200
⇒ 50x = 8100 - 5200
⇒ 50x = 2900
⇒ x = 2900/50
∴ x = 58

∴ কেবিনের যাত্রী সংখ্যা = 90 - 58 = 32 জন।

১,০৩৬.
দুইটি সংখ্যার পার্থক্য ১০ এবং তাদের যোগফল পার্থক্যের ৪ গুণ। সংখ্যা দুইটি কত?
  1. ক
    ২৫ এবং ১৫
  2. খ
    ৩৫ এবং ২০
  3. গ
    ১৮ এবং ১৫
  4. ঘ
    ৩৬ এবং ১৪
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার পার্থক্য ১০ এবং তাদের যোগফল পার্থক্যের ৪ গুণ। সংখ্যা দুইটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যা দুইটি যথাক্রমে x এবং y

প্রশ্নমতে,
x - y = ১০ ...........(1)

এবং,
x + y = ৪(x - y)
⇒ x + y = ৪(১০) [(1) নং থেকে মান বসিয়ে]
⇒ x + y = ৪০ ...........(2)

এখন, (1) ও (2) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
(x - y) + (x + y) = ১০ + ৪০
⇒ ২x = ৫০
⇒ x = ৫০/২
⇒ x = ২৫

এবার x এর মান (2) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
২৫ + y = ৪০
⇒ y = ৪০ - ২৫
⇒ y = ১৫

অতএব, সংখ্যা দুইটি হলো ২৫ এবং ১৫

১,০৩৭.
3, 6, 2, 8 সংখ্যা গুলো একবার ব্যবহার করে তিন অংকের কয়টি বিজোড় সংখ্যা গঠন করা যাবে?
  1. ক
    ক) 6
  2. খ
    খ) 5
  3. গ
    গ) 3
  4. ঘ
    ঘ) 2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3, 6, 2, 8 সংখ্যা গুলো একবার ব্যবহার করে তিন অংকের কয়টি বিজোড় সংখ্যা গঠন করা যাবে?

সমাধান:
4 টি সংখ্যার মধ্যে একটি বিজোড় 
তাই বিজোড় সংখ্যা হতে হলে অবশ্যই এই সংখ্যাটি শেষ ঘরে হতে হবে।

বাকি তিনটি সংখ্যাকে সামনের দুই ঘরে 3p2 = 6 ভাবে সাজানো যাবে।

∴ মোট সাজানো যাবে = 6 × 1 = 6 ভাবে।
১,০৩৮.
7 + 13 + 19 + 25 + … ধারাটির কোন পদ 157?
  1. ক
    26 তম পদ
  2. খ
    21 তম পদ
  3. গ
    25 তম পদ
  4. ঘ
    28 তম পদ
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 7 + 13 + 19 + 25 + … ধারাটির কোন পদ 157?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা (Arithmetic Series)।
ধারাটির প্রথম পদ, a = 7
সাধারণ অন্তর, d = 13 - 7 = 6
ধরি, ধারাটির n তম পদ = 157

আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1)d
প্রশ্নমতে,
7 + (n - 1) × 6 = 157
⇒ 6(n - 1) = 157 - 7
⇒ 6(n - 1) = 150
⇒ n - 1 = 150 / 6
⇒ n - 1 = 25
⇒ n = 25 + 1
∴ n = 26

∴ ধারাটির 26 তম পদ = 157

১,০৩৯.
a + a-1 = 2 হলে 2a/(a2 - a + 1) এর মান-
  1. ক
    ক) -2
  2. খ
    খ) -1
  3. গ
    গ) 1
  4. ঘ
    ঘ) 2
ব্যাখ্যা

a + a-1 = 2
বা, a + 1/a = 2
বা, a2 + 1 = 2a
বা, a2 - a + 1 = a
বা, 1/(a2 - a + 1) = 1/a
বা, 2a/(a2 - a + 1) = 2a/a
∴ 2a/(a2 - a + 1) = 2

১,০৪০.
'RAJSHAHI' শব্দটির একত্রে বিন্যাস সংখ্যা 'BARISAL' শব্দটির একত্রে বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ? 
  1. ক
    চারগুণ
  2. খ
    পাঁচগুণ
  3. গ
    তিনগুণ
  4. ঘ
    দ্বিগুণ
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'RAJSHAHI' শব্দটির একত্রে বিন্যাস সংখ্যা 'BARISAL' শব্দটির একত্রে বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ? 

সমাধান-
'RAJSHAHI' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 8 টি, যার মধ্যে A আছে 2 টি এবং H আছে  2 টি।
সবগুলো বর্ণ নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = 8! / (2! × 2!) = 40320/4 = 10080

'BARISAL' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 7 টি, যার মধ্যে A আছে 2 টি। 
সবগুলো বর্ণ নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = 7! / 2! = 5040/2 = 2520

এখন,
RAJSHAHI / BARISAL = 10080/2520
⇒ RAJSHAHI / BARISAL = 4
⇒ RAJSHAHI = 4 × BARISAL

অর্থাৎ 'RAJSHAHI' শব্দটির একত্রে বিন্যাস সংখ্যা 'BARISAL' শব্দটির একত্রে বিন্যাস সংখ্যার - চারগুণ।

১,০৪১.
2 - 4 + 8 - 16 + ..... ধারাটির প্রথম সাতটি পদের সমষ্টি কত?
  1. ক
    72
  2. খ
    74
  3. গ
    86
  4. ঘ
    98
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2 - 4 + 8 - 16 + ..... ধারাটির প্রথম সাতটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধারাটির প্রথম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = - 4/2 = - 2 [r < 1]
পদসংখ্যা, n = 7

∴ প্রথম 7টি পদের সমষ্টি = {a(1 - r7)}/(1 - r)
= {2(1 - (- 2)7}/{(1 - (- 2)}
= {2(1 + 128)}/(1 + 2)
= {2 × 129}/3  
=  258/3
=  86
১,০৪২.
ax2 + bx + c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে যদি -
  1. ক
    b2 - 4ac = 0
  2. খ
    b2 - 4ac > 0
  3. গ
    b2 - 4ac < 0
  4. ঘ
    b2 - 4ac পূর্ণবর্গ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ax2 + bx + c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে যদি - 

সমাধান: 
দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি:
1. যদি b2 - 4ac = 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
2. যদি b2 - 4ac > 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
3. যদি b2 - 4ac < 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে।
4.  যদি b2 - 4ac পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় মূলদ ও অসমান হবে।
১,০৪৩.
(x2 - 3xy + 2y2) + (4x2 + xy - 5y2) এর সরলীকরণে y2 এর সহগ কত হবে?
  1. ক
    3
  2. খ
    - 7
  3. গ
    - 3
  4. ঘ
    - 5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (x2 - 3xy + 2y2) + (4x2 + xy - 5y2) এর সরলীকরণে y2 এর সহগ কত হবে?

সমাধান:
(x2 - 3xy + 2y2) + (4x2 + xy - 5y2)
= (x2 + 4x2) + (- 3xy + xy) + (2y2 - 5y2)
= 5x2 - 2xy - 3y2

∴ সরলীকরণে y2 এর সহগ - 3
১,০৪৪.
০.১২ + ০.০০১২ + ০.০০০০১২ + ........ ধারাটির অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল-
  1. ক
    ক) 8/৩৩
  2. খ
    খ) ৪/৯৯
  3. গ
    গ) ১১২/৯৯
  4. ঘ
    ঘ) ১৪/৯৯
ব্যাখ্যা

০.১২ + ০.০০১২ + ০.০০০০১২ + ......
= ০.১২ + ০.১২×০.০১ + ০.১২×(০.০১)২ + ......
এখানে,
a = ০.১২, r = ০.০১ < ১
∴ n পদের সমষ্টি, s = a . {(১-rn)/(১-r)}
= ০.১২ × {(১-(০.০১)n)/(১-০.০১)}
= ০.১২ × {(১-(১/১০০)n)/০.৯৯)}
= (০.১২/০.৯৯) × {১-(১/১০২)n}
= (১২/৯৯) × {১-(১/১০২n)}
n অসীম হলে, s = (১২/৯৯) × {১-(১/১০∞)}
= (৪/৩৩)(১-০)
= ৪/৩৩

১,০৪৫.
একটি ক্লাসের 15 জন শিক্ষার্থীর মধ্য থেকে প্রতিবার 5 জন নিয়ে কতটি কমিটি গঠন করা যায়, যেখানে 5 জন ছাত্রী কোন কমিটিতে থাকবেনা?
  1. ক
    320
  2. খ
    280
  3. গ
    252
  4. ঘ
    480
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ক্লাসের 15 জন শিক্ষার্থীর মধ্য থেকে প্রতিবার 5 জন নিয়ে কতটি কমিটি গঠন করা যায়, যেখানে 5 জন ছাত্রী কোন কমিটিতে থাকবেনা?

সমাধান:
5 জনকে সর্বদা বাদ দিয়ে 5 জনের কমিটি গঠনের উপায়,
= (15 - 5)C5
= 10C5
= 10!/5!(10 - 5)!
= 10!/(5! × 5!)
= 252
১,০৪৬.
3√3 এর 3 ভিত্তিক লগারিদম কত?
  1. ক
    ক) 2/3
  2. খ
    খ) 3/2
  3. গ
    গ) 4/5
  4. ঘ
    ঘ) 5/4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3√3 এর 3 ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান:
3√3 এর 3 ভিত্তিক লগারিদম = log33√3
 = log33(1 + 1/2)
  = log333/2
= (3/2) × log33
= (3/2) × 1
 = 3/2
১,০৪৭.
100 টি দুই টাকার মুদ্রা ও পাঁচ টাকার মুদ্রায় মোট 440 টাকা হলে পাঁচ টাকার মুদ্রার সংখ্যা কয়টি?
  1. ক
    ক) ৬০ টি
  2. খ
    খ) ৮০ টি
  3. গ
    গ) ৯০ টি
  4. ঘ
    ঘ) ৫০ টি
ব্যাখ্যা

মনে করি, দুই টাকার মুদ্রা সংখ্যা 'ক' টি।
তাহলে পাঁচ টাকার মুদ্রার সংখ্যা (100 - ক) টি।
প্রশ্নমতে, ক × 2 + (100 - ক) × 5 = 440
বা, 2ক + 500 - 5ক = 440
বা, - 3ক = 440 - 500
বা, - 3ক = - 60
সুতরাং ক = 20
সুতরাং দুই টাকার মুদ্রা সংখ্যা 20টি এবং পাঁচ টাকার মুদ্রার সংখ্যা (100 - 20) বা, 80 টি।

১,০৪৮.
1 + 3 + 5 + …….. ধারাটির কোন পদ 383 হবে?
  1. ক
    ক) 192
  2. খ
    খ) 182
  3. গ
    গ) 194
  4. ঘ
    ঘ) 196
ব্যাখ্যা
ধারাটির প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 3-1 = 2
মনে করি,n তম পদ = 383

∴ a + (n-1)d = 383
⇒ 1 + (n-1)2 = 383
⇒ 1 + 2n - 2 = 383
⇒ 2n - 1 = 383
⇒ 2n = 384
∴ n = 192
১,০৪৯.
(a + 5)2 - (a - 2)2 এর সরলীকৃত মান কোনটি?
  1. ক
    14a + 21
  2. খ
    a - 7
  3. গ
    9a - 18
  4. ঘ
    12a - 22
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (a + 5)2 - (a - 2)2 এর সরলীকৃত মান কোনটি?

সমাধান: 
প্রদত্ত রাশি = (a + 5)2 - (a - 2)2
= (a + 5 + a - 2)(a + 5 - a + 2)
= (2a + 3)(7)
= 14a + 21
১,০৫০.
x ≤ x/3 + 4 এর সমাধান হলো- 
  1. ক
    ক) x ≤12
  2. খ
    খ) x ≤ 4
  3. গ
    গ) x ≥ 6
  4. ঘ
    ঘ) x ≤ 6
ব্যাখ্যা
x ≤ x/3 + 4 
⇒x - x/3 ≤x/3 + 4 - x/3   
⇒(3x - x)/3 ≤ 4
⇒2x/3 ≤ 4
⇒(2x/3) ×(3/2)≤ (4 ×3)/2
 ∴ x≤6
১,০৫১.
A = {x ∈ N : 2 < x ≤ 8} এবং B = {x ∈ N : x বিজোড় এবং x ≤ 9} হলে, A ∪ B = কত?
  1. ক
    {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
  2. খ
    {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
  3. গ
    {4, 6, 8}
  4. ঘ
    {3, 5, 7}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: A = {x ∈ N : 2 < x ≤ 8} এবং B = {x ∈ N : x বিজোড় এবং x ≤ 9} হলে, A ∪ B = কত?

সমাধান:
A = {x ∈ N : 2 < x ≤ 8}
= {3, 4, 5, 6, 7, 8}

B = {x ∈ N : x বিজোড় এবং x ≤ 9}
= {1, 3, 5, 7, 9}

সুতরাং, A ∪ B = {3, 4, 5, 6, 7, 8} ∪ {1, 3, 5, 7, 9}
= {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
১,০৫২.
(a/b) + (b/a) = 1 হলে, a3 + b3 এর মান কত?
  1. ক
    3
  2. খ
    1
  3. গ
    0
  4. ঘ
    - 1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (a/b) + (b/a) = 1 হলে, a3 + b3 এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
a/b + b/a = 1
(a2 + b2)/ab = 1
a2 + b2 = ab
a2 - ab + b2 = 0

এখন,
a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)
= (a + b) × 0
= 0
১,০৫৩.
(152 - 42)/(162 - 42) = কত?
  1. ক
    0.88
  2. খ
    209/240
  3. গ
    15/16
  4. ঘ
    0.74
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (152 - 42)/(162 - 42) = কত?

সমাধান:
(152 - 42)/(162 - 42)
=(15 + 4)(15 - 4)/(16 + 4)(16 - 4)
= (19 × 11)/(20 × 12)
= 209/240
১,০৫৪.
x + (1/x) = 2 হলে, x5 + (1/x5) = কত?
  1. ক
    2
  2. খ
    4
  3. গ
    27
  4. ঘ
    64
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + (1/x) = 2 হলে, x5 + (1/x5) = কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x + (1/x) = 2 
বা, (x2 + 1)/x = 2 
বা, x2 + 1 = 2x 
বা, x2 - 2x + 1 = 0 
বা, (x - 1)2 = 0 
বা, x - 1 = 0 
∴ x = 1 

এখন, 
x5 + (1/x5) 
= (1)5 + {1/(1)5} 
= 1 + (1/1) 
= 1 + 1 
= 2
১,০৫৫.
এক ব্যক্তি ৮২৫০০ টাকায় একটি ফ্রিজ কিনতে রাজি হন। তাকে প্রত্যেক কিস্তি পূর্বের কিস্তি থেকে ৫০০ টাকা বেশি দিতে হবে। যদি প্রথম কিস্তি ২০০০ টাকা হয়, কতগুলো কিস্তিতে ফ্রিজের টাকা পরিশোধ করতে পারবেন?
  1. ক
    ২২
  2. খ
    ২০
  3. গ
    ১৮
  4. ঘ
    ১৫
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: এক ব্যক্তি ৮২৫০০ টাকায় একটি ফ্রিজ কিনতে রাজি হন। তাকে প্রত্যেক কিস্তি পূর্বের কিস্তি থেকে ৫০০ টাকা বেশি দিতে হবে। যদি প্রথম কিস্তি ২০০০ টাকা হয়, কতগুলো কিস্তিতে ফ্রিজের টাকা পরিশোধ করতে পারবেন?

সমাধান: 
১ম কিস্তি = ২০০০ টাকা
২য় কিস্তি = ২০০০ + ৫০০ টাকা = ২৫০০ টাকা
৩য় কিস্তি = ২৫০০ + ৫০০ টাকা = ৩০০০ টাকা

ধারাটি = ২০০০ + ২৫০০ + ৩০০০ + .....................
এখানে 
১ম পদ a = ২০০০
সাধারণ অনুপাত d = ২৫০০ - ২০০০ = ৫০০ 
কিস্তি পরিশোধ সংখ্যা  = n

আমরা জানি
(n/2){2a + (n - 1) d = সমষ্টি / মোট টাকা
n/২{২ × ২০০০ + (n - ১)৫০০ = ৮২৫০০
(n/২){৪০০০ + ৫০০n - ৫০০ = ৮২৫০০
n(৫০০n + ৩৫০০) = ১৬৫০০০
৫০০n২ + ৩৫০০n - ১৬৫০০০ = ০
৫০০(n২ + ৭n - ৩৩০) = ০
n২ + ৭n - ৩৩০ = ০
n২ + ২২n - ১৫n - ৩৩০ = ০
n(n + ২২) - ১৫(n + ২২) = ০
(n + ২২) (n - ১৫) = ০

হয় 
n + ২২ = ০
n = - ২২ [গ্রহণ যোগ্য নয়]

অথবা
n - ১৫ = ০
n  = ১৫
১,০৫৬.
CHATTOGRAM শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা CUMILLA শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?
  1. ক
    180
  2. খ
    360
  3. গ
    720
  4. ঘ
    1020
ব্যাখ্যা

‘CHATTOGRAM’ শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = 10!/2!2!
‘CUMILLA’ শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = 7!/2!
‘CHATTOGRAM’ শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা ‘CUMILLA’ শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যার (10!/2!2!)/(7!/2!) গুণ বা 360 গুণ।

১,০৫৭.
যদি p = 7/10, q = 4/5 এবং r = 11/20 হয়, তাহলে 20p - 15q + 40r এর মান কত?
  1. ক
    32
  2. খ
    22
  3. গ
    18
  4. ঘ
    24
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি p = 7/10, q = 4/5 এবং r = 11/20 হয়, তাহলে 20p - 15q + 40r এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
p = 7/10, q = 4/5 এবং r = 11/20

প্রদত্ত রাশি, 
20p - 15q + 40r
= 20 × (7/10) - 15 × (4/5) + 40 × (11/20)
= (2 × 7) - (3 × 4) + (2 × 11)
= 14 - 12 + 22
= 2 + 22
= 24

১,০৫৮.
a2 + 6a + 8 - y2 + 2y এর উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    (a + y + 2)(a - y + 4)
  2. খ
    (a + y + 1)(a - y + 5)
  3. গ
    (a + y + 3)(a - y + 2)
  4. ঘ
    (a + y + 4)(a - y + 2)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a2 + 6a + 8 - y2 + 2y এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
a2 + 6a + 8 - y2 + 2y
= a2 + 2 . a . 3 + 32 - 1 - y2 + 2y
= (a + 3)2 - (y2 - 2y + 1) 
=  (a + 3)2 - (y - 1)2
= (a + 3 + y - 1)(a + 3 - y + 1)
= (a + y + 2)(a - y + 4)

১,০৫৯.
(3- 1 + 7- 1) - 1 = কত?
  1. ক
    ক) 2.1
  2. খ
    খ) 21
  3. গ
    গ) 10/21
  4. ঘ
    ঘ) .21
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (3- 1 + 7- 1) - 1 = কত?

সমাধান: 
 (3- 1 + 7- 1) - 1
= {(1/3) + (1/7)}- 1
= {(7 + 3)/21}- 1
= (10/21)- 1
= 1/(10/21)
= 21/10
= 2.1
১,০৬০.
যদি (x - y)2 = 14, xy = 2, তবে  x 2 + y 2 = ?
  1. ক
    12
  2. খ
    14
  3. গ
    16
  4. ঘ
    18
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি (x - y)2 = 14, xy = 2, তবে  x 2 + y 2 = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে
(x - y)2 = 14 
xy = 2

আমরা জানি, 
x2 + y2 = (x - y)2 + 2xy 
= 14 + (2 × 2)  
= 14 + 4 
= 18 

১,০৬১.
2x2 + kx - 10 রাশিটির একটি উৎপাদক x - 5 হলে, k এর মান কত?
  1. ক
    - 5
  2. খ
    - 4
  3. গ
    5
  4. ঘ
    - 8
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2x2 + kx - 10 রাশিটির একটি উৎপাদক x - 5 হলে, k এর মান কত?

সমাধান:
ধরি,
f(x) = 2x2 + kx - 10
x - 5, f(x) এর একটি উৎপাদক বলে উৎপাদকের উপপাদ্য অনুযায়ী, f(5) = 0 হবে।

∴ f(5) = 2(5)2 + k(5) - 10
= 50 + 5k - 10
= 5k + 40

শর্তমতে,
5k + 40
⇒ 5k = - 40
⇒ k = - 40/5
∴ k = - 8

১,০৬২.
x + 2/x = 5 হলে x3 + 8/x3 এর মান কত?
  1. ক
    105
  2. খ
    155
  3. গ
    100
  4. ঘ
    95
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + 2/x = 5 হলে x3 + 8/x3 এর মান কত?
 
সমাধান:
x3 + 8/x3
= x3 + (2/x)3
= (x + 2/x)3 - 3.x.(2/x).(x + 2/x)
= 53 - 3 × 2 × 5
= 125 - 30
= 95
১,০৬৩.
কোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ 3 এবং দ্বিতীয় পদ 5 হলে ধারাটির প্রথম 16 টি পদের সমষ্টি কত? 
  1. ক
    256
  2. খ
    288
  3. গ
    298
  4. ঘ
    308
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ 3 এবং দ্বিতীয় পদ 5 হলে ধারাটির প্রথম 16 টি পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
এখানে, 
ধারাটির প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অন্তর, d = (5 - 3) = 2 
এবং পদসংখ্যা, n = 16 

আমরা জানি, 
সমান্তর ধারার 16 তম পদের সমষ্টি, S16 = (16/2) {2. a + (16 - 1)d}
= 8 {2 × 3 + 15 × 2}
= 8 (6 + 30)
= 8 × 36
= 288  । 
১,০৬৪.
A = {x:x Fibonacci সংখ্যা এবং x3 < 512} হলে P(A) এর উপাদান কয়টি?
  1. ক
    32
  2. খ
    64
  3. গ
    16
  4. ঘ
    6
ব্যাখ্যা

এখানে, Fibonacci সংখ্যা 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13................
এখানে, 83 = 512
∴ {0, 1, 1, 2, 3, 5}
= {0, 1, 2, 3, 5}, n(A) = 5
∴ n{P(A)} = 25 = 32

১,০৬৫.
একটা ক্লাসের ৫০ জন ছাত্রছাত্রীর ১৮ জন মিউজিক, ২৬ জন আর্ট এবং ২ জন উভয় বিষয় নিয়েছে। কতজন শিক্ষার্থী এই দু’টোর একটিও নেয় নি?
  1. ক
    ক) ৬
  2. খ
    খ) ৮
  3. গ
    গ) ১৬
  4. ঘ
    ঘ) ২৪
ব্যাখ্যা
মিউজিক নিয়েছে n(A) = ১৮ জন, আর্ট নিয়েছে n(B) = ২৬ জন
উভয় বিষয় নিয়েছে n(A∩B) = ২ জন
∴ যেকোনো একটি নিয়েছে n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B)
= ১৮ + ২৬ - ২
= ৪২ জন
∴ দু’টোর একটিও নেয়নি = ৫০ - ৪২
= ৮ জন।
১,০৬৬.
x2 - 8x - 8y + 16 + y2 রাশিটির সঙ্গে কোনটি যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে?
  1. ক
    - 2xy
  2. খ
    8xy
  3. গ
    - 9xy
  4. ঘ
    2xy
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - 8x - 8y + 16 + y2 রাশিটির সঙ্গে কোনটি যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে? 

সমাধান: 
x2 - 8x - 8y + 16 + y2
= x2 + y2 + (- 4)2 + 2. x.( - 4) + 2.y.(- 4) + 2.x.y - 2xy
= (x + y - 4)2 - 2xy

∴ x2 - 8x - 8y + 16 + y2 এর সাথে 2xy যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে।
১,০৬৭.
a = 5, b = 3, c = 6 এবং d = 2 হলে, a - (- b) + (- c) - (- d) = কত?
  1. ক
    2
  2. খ
    3
  3. গ
    4
  4. ঘ
    5
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a = 5, b = 3, c = 6 এবং d = 2 হলে, a - (- b) + (- c) - (- d) = কত?

সমাধান:
a - (- b) + (- c) - (- d)
= a + b - c + d
= 5 + 3 - 6 + 2
= 4

১,০৬৮.
X = {2, 3, 5} হলে, নিচের কোনটি সঠিক ? 
  1. ক
    ক) X = {x ∈ N : 1 < x < 5 এবং x মৌলিক সংখ্যা}
  2. খ
    খ) X = {x ∈ N : 2 ≤ x < 7 এবং x মৌলিক সংখ্যা}
  3. গ
    গ) X = {x ∈ N : 2 ≤ x ≤ 5 এবং x মৌলিক সংখ্যা}
  4. ঘ
    ঘ) খ ও গ উভয়ই
ব্যাখ্যা
X = {2, 3, 5} হলো 
2থেকে শুরু করে 5 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা। 
অপশন খ তে শর্ত হলো 
2 থেকে শুরু করে 7 থেকে ছোট  মৌলিক সংখ্যা অর্থাৎ 2, 3, 5

অপশন গ  এর শর্ত হলো 2 থেকে শুরু করে 5 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা অর্থাৎ 2, 3, 5

অতএব, অপশন ঘ সঠিক উত্তর হবে। 
১,০৬৯.
x + 1/x = √5 হলে, (x - 1/x)2 এর মান কত?
  1. ক
    ক) 1
  2. খ
    খ) 5
  3. গ
    গ) 9
  4. ঘ
    ঘ) 3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + 1/x = √5 হলে, (x - 1/x)2 এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
x + 1/x = √5

এখন,
(x - 1/x)2 
= (x + 1/x)2 - 4x(1/x)
= (√5)2 - 4
= 5 - 4
= 1
১,০৭০.
।x - 3। ≤ 5 অসমতাটির সমাধান সেট হবে ________
  1. ক
    -2 ≤ x ≤ - 8
  2. খ
    2 ≤ x ≤ 8
  3. গ
    -2 ≥ x ≥ 8
  4. ঘ
    -2 ≤ x ≤ 8
ব্যাখ্যা

এখানে, 
।x - 3। ≤ 5 
বা,- 5 ≤ x - 3 ≤ 5
বা,- 5 + 3 ≤ x - 3 + 3 ≤ 5 + 3
∴, - 2 ≤ x ≤ 8 

১,০৭১.
দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার অংকদ্বয়ের সমষ্টি 9। অংকদ্বয় স্থান পরিবর্তন করলে সংখ্যাটির মান 9 বৃদ্ধি পায়। সংখ্যাটি কত?
  1. ক
    ক) 36
  2. খ
    খ) 45
  3. গ
    গ) 18
  4. ঘ
    ঘ) 27
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার অংকদ্বয়ের সমষ্টি 9। অংকদ্বয় স্থান পরিবর্তন করলে সংখ্যাটির মান 9 বৃদ্ধি পায়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
ধরি
একক স্থানীয় অঙ্ক = x
দশক স্থানীয় অঙ্ক = y
∴ সংখ্যাটি = 10y + x
অঙ্কদ্বয় স্থান পরিবর্তন করলে নতুন সংখ্যাটি হয় = 10x + y

প্রশ্নমতে,
10y + x + 9 = 10x + y
9x - 9y = 9
∴ x - y = 1....................(1)
এবং x + y = 9...................(2)

এখন,
(1) + (2) ⇒
2x = 10
x = 5
(2)⇒
এবং y = 4

∴ সংখ্যাটি = 10 × 4 + 5
= 45
১,০৭২.
log25125 = কত?
  1. ক
    1/5
  2. খ
    3/2
  3. গ
    2/5
  4. ঘ
    1/3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: log25125 = কত?

সমাধান:
ধরি,
log25125 = a
⇒ (25)a = 125
⇒ 52a = 53
⇒ 2a = 3
∴ a = 3/2
১,০৭৩.
p2 + p-2 = 47 হলে, p + (1/p) এর মান কত?
  1. ক
    ± 3
  2. খ
    ± 5
  3. গ
    ± 7
  4. ঘ
    ± 4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: p2 + p-2 = 47 হলে, p + (1/p) এর মান কত?

সমাধান:
p2 + p-2 = 47
⇒ p2 + (1/p2) = 47
⇒ {p + (1/p)}2 - 2 ⋅ p ⋅ (1/p) = 47
⇒ {p + (1/p)}2 = 47 + 2
⇒ {p + (1/p)}2 = 49
∴ p + (1/p) = ± 7
১,০৭৪.
= কত?
  1. ক
    a1/2
  2. খ
    a1/3
  3. গ
    a1/4
  4. ঘ
    a1/5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:
 = কত?

সমাধান:

= {(a3)1/3}1/3
= a1/3
১,০৭৫.
A ও B যথাক্রমে 36 ও 45 এর গুণনীয়ক সেট হলে, A ∩ B এর মান কত?
  1. ক
    ক) {6, 9}
  2. খ
    খ) {1, 9}
  3. গ
    গ) {}
  4. ঘ
    ঘ) {1, 3, 9}
ব্যাখ্যা
36 এর গুণনীয়ক = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12,18, 36
45 এর গুণনীয়ক  = 1, 3, 5, 9, 15, 45

A ={1, 2, 3, 4, 6, 9, 12,18, 36}
B ={1, 3, 5, 9, 15, 45}

A ∩ B = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12,18, 36} ∩ {1, 3, 5, 9, 15, 45}
            = {1, 3, 9}
১,০৭৬.
log4[log4(log4x)] = 1 হলে x এর মান কত?
  1. ক
    464
  2. খ
    4128
  3. গ
    4256
  4. ঘ
    4512
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: log4[log4(log4x)] = 1 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
log4[log4(log4x)] = 1
⇒ log4(log4x) = 41
⇒ log4(log4x) = 4
⇒ log4x = 44
⇒ log4x = 256
⇒ x = 4256
১,০৭৭.
  1. ক
    ক) 2n+12n+1
  2. খ
    খ) 2n−12n-1
  3. গ
    গ) -2
  4. ঘ
    ঘ) 4
১,০৭৮.
6q2 - q - 15 এর একটি উৎপাদক 2q + 3 হলে, অপর উৎপাদকটি কত?
  1. ক
    q - 5
  2. খ
    3q + 5
  3. গ
    3q - 5
  4. ঘ
    3q - 3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 6q2 - q - 15 এর একটি উৎপাদক 2q + 3 হলে, অপর উৎপাদকটি কত?

সমাধান:
6q2 - q - 15
= 6q2 + 9q - 10q - 15
= 3q(2q + 3) - 5(2q + 3)
= (2q + 3)(3q - 5)

∴ 6q2 - q - 15 এর একটি উৎপাদক 2q + 3 হলে, অপর উৎপাদকটি হবে 3q - 5.
১,০৭৯.
32 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম কত?
  1. ক
    ক) 4
  2. খ
    খ) 5
  3. গ
    গ) 6
  4. ঘ
    ঘ) 3
ব্যাখ্যা
log232
= log225
= 5 × log22
= 5 × 1
= 5
১,০৮০.
3/x + 4/(x+1) = 2 হলে x =?
  1. ক
    ক) -1/2
  2. খ
    খ) 1/2
  3. গ
    গ) 1/3
  4. ঘ
    ঘ) -1/3
ব্যাখ্যা

3/x + 4/(x+1) = 2
বা, (3x + 3 + 4x)/{x(x + 1)} = 2
বা, (7x + 3)/(x2 + x) = 2
বা, 2x2 + 2x = 7x + 3
বা, 2x2 - 5x -3 = 0
বা, 2x2 - 6x + x - 3 = 0
বা, 2x(x - 3) + 1 (x - 3) = 0
বা, (x - 3)(2x + 1) = 0
∴ x = 3, - 1/2

১,০৮১.
a - b = 5 এবং ab = 36 হলে, a3 - b3 এর মান কত?
  1. ক
    - 415
  2. খ
    125
  3. গ
    665
  4. ঘ
    415
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a - b = 5 এবং ab = 36 হলে, a3 - b3 এর মান কত?

সমাধান:
a3 - b3 
= (a - b)3 + 3.ab.(a - b)
= 53 + 3 × 36 × 5
= 125 + 540
= 665
১,০৮২.
3a2 - a - 14 এর উৎপাদক গুলো হলো-
  1. ক
    ক) (3a + 2)(a + 7)
  2. খ
    খ) (7a - 3)(a + 3)
  3. গ
    গ) (3a - 7)(a + 2)
  4. ঘ
    ঘ) (3a + 7)(a - 2)
ব্যাখ্যা
3a2 - a - 14 
3a2 - a - 14 
= 3a2 - 7a + 6a - 14 
= a(3a - 7) + 2(3a - 7)
= (3a - 7)(a + 2)
১,০৮৩.
- 6x + 6x2 - 3 = 0 সমীকরণে মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?
  1. ক
    অবাস্তব ও অসমান
  2. খ
    বাস্তব ও অসমান
  3. গ
    মূলদ ও অসমান
  4. ঘ
    বাস্তব ও সমান
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: - 6x + 6x2 - 3 = 0 সমীকরণে মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
- 6x + 6x2 - 3 = 0
নিশ্চায়ক = b2 - 4ac
= ( - 6)2 - 4 × 6 × (- 3)
= 36 + 72
= 108 > 0
যেহেতু, b2 - 4ac > 0 হলে মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান।


দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি:
1. যদি b2 - 4ac = 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
2. যদি b2 - 4ac > 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
3. যদি b2 - 4ac < 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে।
4.  যদি b2 - 4ac পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় মূলদ ও অসমান হবে।
১,০৮৪.
6Pr = 360 এবং 6Cr = 15 হলে r এর মান কত?
  1. ক
    ক) 6
  2. খ
    খ) 4
  3. গ
    গ) 5
  4. ঘ
    ঘ) 3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 6Pr = 360 এবং 6Cr = 15 হলে r এর মান কত? 

সমাধান: 
nPr = nCr × r!
6Pr = 6Cr × r!
6Pr = 15 × r!
360 = 15 × r!
r! = 360/15
r! = 24
r! = 4!
r = 4
১,০৮৫.
(x - 1/x)2 = 5 হলে, [x3 - (1/x3)]2 = কত?
  1. ক
    160
  2. খ
    80
  3. গ
    320
  4. ঘ
    8√5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (x - 1/x)2 = 5 হলে, [x3 - (1/x3)]2 = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
{x - (1/x)}2 = 5
⇒ x - (1/x) = √5

এখন
⇒ x3 - (1/x3) = {x - (1/x)}3 + 3 · x · (1/x){x - (1/x)}
= (√5)3 + 3√5
= 5√5 + 3√5
= 8√5

∴ [x3 - (1/x3)]2 = (8√5)2
= 64 × 5
= 320
১,০৮৬.
একটি শ্রেণীতে প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে ছাত্র বসলে ২টি বেঞ্চ ফাঁকা থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে বসলে ৬ জন ছাত্র দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণীর ছাত্রসংখ্যা কত?
  1. ক
    ৪৮ জন
  2. খ
    ৫৪ জন
  3. গ
    ৬০ জন
  4. ঘ
    ৭২ জন
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি শ্রেণীতে প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে ছাত্র বসলে ২টি বেঞ্চ ফাঁকা থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে বসলে ৬ জন ছাত্র দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণীর ছাত্রসংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি, বেঞ্চ সংখ্যা = ক টি।

প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে বসলে ২টি বেঞ্চ ফাঁকা থাকে।
∴ ছাত্রসংখ্যা = (ক - ২) × ৪

প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে বসলে ৬ জন দাঁড়িয়ে থাকে।
∴ ছাত্রসংখ্যা = ৩ক + ৬

প্রশ্নমতে,
(ক - ২) × ৪ = ৩ক + ৬
⇒ ৪ক - ৮ = ৩ক + ৬
⇒ ৪ক - ৩ক = ৬ + ৮
⇒ ক = ১৪

∴ বেঞ্চ সংখ্যা = ১৪টি।
∴ ছাত্রসংখ্যা = (১৪ - ২) × ৪ = ১২ × ৪ = ৪৮ জন

১,০৮৭.
A = {a, b, c}, B = {b, c, d} হলে, n(A ∩ B) = কত?
  1. ক
    2
  2. খ
    3
  3. গ
    4
  4. ঘ
    6
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: A = {a, b, c}, B = {b, c, d} হলে, n(A ∩ B) = কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {a, b, c}
B = {b, c, d}
A ∩ B = {a, b, c} ∩ {b, c, d} = {b, c}

∴ A ∩ B এর উপাদান সংখ্যা n(A ∩ B) = 2
১,০৮৮.
নিচের কোনটি 2a2 - 2a - 4 এর একটি উৎপাদক?
  1. ক
    (a + 4)
  2. খ
    (a + 1)
  3. গ
    (2a - 1)
  4. ঘ
    (2a + 1)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি 2a2 - 2a - 4 এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
2a2 - 2a - 4
= 2a2 - 4a + 2a - 4
= 2a(a - 2) + 2(a - 2)
= (a - 2)(2a + 2)
= 2(a - 2)(a + 1)
১,০৮৯.
১২ + ৩২ + ৫২+ ………. +৩১২সমান কত?
  1. ক
    ক) ২৫৮
  2. খ
    খ) ২৫৬
  3. গ
    গ) ২৫৪
  4. ঘ
    ঘ) ২৫২
ব্যাখ্যা
প্রশ্নে ভূল আছে। ধারাটিতে বর্গ না থাকলে ২৫৬ উত্তর হবে।
যেহেতু এটি জব সল্যুশনের প্রশ্ন, তাই সম্ভাব্য উত্তরটিকে সঠিক ধরা হয়েছে।

পদ সংখ্যা = ((৩১ - ১) ÷ প্রতিপদে বৃদ্ধি) + ১)
                 = (৩০ ÷ ২) + ১
                = ১৬
যোগফল = [(১ + ৩১) × ১৬] ÷ ২
               = ২৫৬
১,০৯০.
একটি দ্রব্য ১০% লাভে বিক্রয় করলে ১০% ক্ষতিতে বিক্রয় মূল্য অপেক্ষা ৩০ টাকা বেশি পাওয়া যায়। দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য কত?
  1. ক
    ১০০ টাকা
  2. খ
    ১২০ টাকা
  3. গ
    ১৩০ টাকা
  4. ঘ
    ১৫০ টাকা
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি দ্রব্য ১০% লাভে বিক্রয় করলে ১০% ক্ষতিতে বিক্রয় মূল্য অপেক্ষা ৩০ টাকা বেশি পাওয়া যায়। দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য কত?

উত্তর:
ধরি, দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য ক টাকা
১০% লাভে বিক্রয়মূল্য = ক + ক এর ১০%
= ক + ক × ১০/১০০
= ক + .১ক
= ১.১ক

১০% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য =ক - ক এর ১০%
= ক - ০.১ক
= ০.৯ক

প্রশ্নমতে,
১.১ক - ০.৯ক = ৩০
⇒ ০.২ক = ৩০
⇒ ক = ৩০/ ০.২
= ১৫০ টাকা
১,০৯১.
একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের হর ও লবের অন্তর 1 হলে ভগ্নাংশটি কত?
  1. ক
    (x + 1)/x
  2. খ
    x/(x - 1)
  3. গ
    x/(x + 1)
  4. ঘ
    (x + 2)/(x + 1) 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের হর ও লবের অন্তর 1 হলে ভগ্নাংশটি কত?
সমাধান: 
ধরি, ভগাংশটি x/y (যেখানে, y > x) 

শর্তানুযায়ী, 
y - 1 = x
∴ y = x + 1

অতএব, ভগ্নাংশ = x/(x + 1)

১,০৯২.
নিচের কোন ক্ষেত্রে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে?
  1. ক
    b2 - 4ac = 0
  2. খ
    b2 - 4ac > 0
  3. গ
    b2 - 4ac < 0
  4. ঘ
    b2 - 4ac পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটির ক্ষেত্রে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে?

সমাধান: 
দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি:
1. যদি b2 - 4ac = 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
2. যদি b2 - 4ac > 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
3. যদি b2 - 4ac < 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে।
4.  যদি b2 - 4ac পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় মূলদ ও অসমান হবে।
১,০৯৩.
1 + x2p2 = 0 হলে, p এর মান নির্ণয় করুন। 
  1. ক
    ix, i/x
  2. খ
    ± (i/x)
  3. গ
    ± (1/x)
  4. ঘ
    ± ix
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 + x2p2 = 0 হলে, p এর মান নির্ণয় করুন। 

সমাধান:
এখানে, 
1 + x2p2 = 0
⇒ x2p2 = -1
⇒ p2 = -1
⇒ p2 = -(1/x2)
⇒ p = ± √[-(1/x2)]
⇒ p = ± (1/x) . √(-1)
∴ p = ± (i/x)

১,০৯৪.
যদি M = {x : x, 2 এর গুণিতক এবং x ≤ 8} হয়, তবে M এর প্রকৃত উপসেট সংখ্যা কত? 
  1. ক
    7
  2. খ
    8
  3. গ
    15
  4. ঘ
    16
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি M = {x : x, 2 এর গুণিতক এবং x ≤ 8} হয়, তবে M এর প্রকৃত উপসেট সংখ্যা কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
M = {x : x, 2 এর গুণিতক এবং x ≤ 8}
M = {2, 4, 6, 8}
M এর উপাদান সংখ্যা, n = 4

M এর প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 2n - 1 
= 24 - 1
= 16 - 1 
= 15

১,০৯৫.
যদি a + 2b = 4 এবং 1/ab = 1/2 হয়, তবে a = কত?
  1. ক
    0
  2. খ
    2
  3. গ
    1
  4. ঘ
    4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি a + 2b = 4 এবং 1/ab = 1/2 হয়, তবে a = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
1/ab = 1/2
বা, ab = 2
b = 2/a

এখন,
a + 2(2/a) = 4
বা, a + (4/a) = 4
বা, a2 + 4 = 4a
বা, a2 - 4a + 4 = 0
বা, a2 - 2 . a . 2 + 22 = 0
বা, (a - 2)2 = 0
বা, a - 2 = 0
∴ a = 2
১,০৯৬.
একটি গুণোত্তর ধারার তৃতীয় পদ √2 এবং অষ্টম পদ 8 হলে, ধারাটির সাধারণ অনুপাত কত? 
  1. ক
    ক) 1
  2. খ
    খ) √2
  3. গ
    গ) 0
  4. ঘ
    ঘ) 1/√2
ব্যাখ্যা
ধরি
গুণোত্তর ধারার ১ম পদ a 
গুণোত্তর ধারার সাধারণ অনুপাত r 

দেয়া আছে,
তৃতীয় পদ = √2  
অষ্টম পদ  = 8

ar3 - 1 = ar2 = √2  ...............(1)
ar8 - 1 = ar7 = 8...........(2)

(2) ÷ (1)
ar7/ar2  = 8/√2
r5 = 4√2
r5 = (√2)5
r = √2
১,০৯৭.
p2 - 3p + 1 = 0 হলে, p3 + (1/p3) এর মান কত?
  1. ক
    ক) 0
  2. খ
    খ) 9
  3. গ
    গ) 18
  4. ঘ
    ঘ) 27
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: p2 - 3p + 1 = 0 হলে, p3 + (1/p3) এর মান কত? 

সমাধান: 
 p2 - 3p + 1 = 0
⇒ p2 + 1 = 3p
⇒ (p2 + 1)/p = 3p/p
⇒ p + (1/p) = 3

p3 + (1/p3)
= (p + 1/p)3 - 3.p.1/p(p + 1/p)
= 33 - 3.3
= 27 - 9
= 18 
১,০৯৮.
x4 + x2 + 1 এর একটি উৎপাদক x2 + x + 1 হলে অপরটি কত?
  1. ক
    ক) x2 + x - 1
  2. খ
    খ) x2 - x + 1
  3. গ
    গ) x2 + 1
  4. ঘ
    ঘ) x + 1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x4 + x2 + 1 এর একটি উৎপাদক x2 + x + 1 হলে অপরটি কত?

সমাধান:
 x4 + x2 + 1
= x4 + 2x2 + 1 - x2 
= {(x2)2 + 2. x2 .1 + (1)2} - (x)2 
= (x2 + 1)2 - x2 
= (x2 + 1 + x) (x2 + 1 - x) 
= (x2 + x + 1) (x2 - x + 1)
১,০৯৯.
- 5 < a < 9 অসমতাটিকে পরমমান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ করলে নিচের কোনটি হবে?
  1. ক
    |a - 4| < 6
  2. খ
    |a - 3| < 8
  3. গ
    |a - 1| < 5
  4. ঘ
    |a - 2| < 7
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: - 5 < a < 9 অসমতাটিকে পরমমান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ করলে নিচের কোনটি হবে?

সমাধান:
অসমতাটির উর্ধ্বসীমা ও নিম্নসীমার গড় = (9 - 5)/2
= 4/2
= 2

এখন,
- 5 < a < 9
⇒ - 5 - 2 < a - 2 < 9 - 2 
⇒ - 7 < a - 2 < 7
⇒ |a - 2| < 7

∴ পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ: |a - 2| < 7
১,১০০.
১+০.১+০.০১+০.০০১+ ……………………. এই ধারাটির অসীমতক সমষ্টি নির্ণয় করুন?
  1. ক
    ক) ১৯/১০
  2. খ
    খ) ১/১০
  3. গ
    গ) ১০/৮
  4. ঘ
    ঘ) ১০/৯
ব্যাখ্যা

প্রথম পদ a = ১,
সাধারন অনুপাত d = ০.১/১ = ১/১০ < ১
ধারাটির অসীমতক সমষ্টি
= a/1-r
= ১/১-(১/১০)
= ১০/৯