বীজগণিত

PrepBank · পাতা ১০৮ / ২০১ · ১০,৭০১–১০,৮০০ / ২০,২০৭

১০,৭০১.

9a² - 12a এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

ক
4
খ
- 16
গ
- 6
ঘ
25

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 9a² - 12a এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান:
9a²- 12a
= (3a)² - 2 × 3a × 2 + (2)² - 4
= (3a - 2)² - 4

∴ 4 যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

১০,৭০২.

কোন স্থানে যত জন লোক ছিল, প্রত্যেকে তত ৫ টাকা করে চাঁদা দেওয়ায় মোট ৪৫০০ টাকা আদায় হলো। ঐ স্থানে লোকসংখ্যা কত ছিল?

ক
ক) ৪০
খ
খ) ৩০
গ
গ) ৩৫
ঘ
ঘ) ৪৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন স্থানে যত জন লোক ছিল, প্রত্যেকে তত ৫ টাকা করে চাঁদা দেওয়ায় মোট ৪৫০০ টাকা আদায় হলো। ঐ স্থানে লোকসংখ্যা কত ছিল?

সমাধান:
ঐ স্থানে লোকসংখ্যা ছিল = ক জন
প্রত্যেকে চাঁদা দেয় = ৫ক

প্রশ্নমতে
৫ক × ক = ৪৫০০
বা, ৫ক^২ = ৪৫০০
বা, ক^২ = ৯০০
বা, ক^২ = ৩০^২
ক = ৩০

১০,৭০৩.

পাঁচটি ক্রমিক সংখ্যার শেষ তিনটির যোগফল 24 হলে প্রথম তিনটির গড় কত?

ক
ক) 6
খ
খ) 7
গ
গ) 5
ঘ
ঘ) 6.5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: পাঁচটি ক্রমিক সংখ্যার শেষ তিনটির যোগফল 24 হলে প্রথম তিনটির গড় কত?

সমাধান:
ধরি,
৫ টি ক্রমিক সংখ্যা যথাক্রমে X, X + 1, X + 2, X + 3, X + 4

প্রশ্নমতে,
X + 2 + X + 3 + X + 4 = 24
বা, 3X + 9 = 24
বা, X = 15/3 = 5

∴ প্রথম ৩ টি সংখ্যার গড় = (5 + 6 + 7)/3 = 6

১০,৭০৪.

125(√5)^2x = 1 হলে x এর মান কত?

ক
3
খ
- 3
গ
7
ঘ
9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 125(√5)^2x = 1 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
125(√5)^2x = 1
বা, 5³.(5^1/2)^2x = 1
বা, 5³ . 5^x = 1
বা, 5^{3 + x}= 50
বা, 3 + x = 0
∴ x = - 3

১০,৭০৫.

2^{(8x - 2)} = 512 হলে, x এর মান কত?

ক
1/4
খ
0
গ
9/2
ঘ
11/8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2^{(8x - 2)} = 512 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
2^{(8x - 2)} = 512
⇒ 2^{(8x - 2)} = 2⁹
⇒ 8x - 2 = 9
⇒ 8x = 9 + 2
⇒ 8x = 11
⇒ x = 11/8

১০,৭০৬.

4(2x + 1) = 4(x - 2) হলে x এর মান কত?

ক
2
খ
- 3
গ
- 2
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4(2x + 1) = 4(x - 2) হলে x এর মান কত?

সমাধান:
4(2x + 1) = 4(x - 2)
বা, 8x + 4 = 4x - 8
বা, 8x - 4x = - 8 - 4
বা, 4x = -12
বা, x = -12/4
∴ x = - 3

১০,৭০৭.

তিনটি নিরপেক্ষ মুদ্রা একসাথে একবার নিক্ষেপ করা হল। তিনটাই হেড পাবার সম্ভাবনা কত?

ক
ক) 1/4
খ
খ) 1/12
গ
গ) 1/3
ঘ
ঘ) 1/8

ব্যাখ্যা

Probability tree নিম্নরূপঃ

নমুনা ক্ষেত্রটি = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}
মোট নমুনা বিন্দু 8 টি।
নমুনা ক্ষেত্রে, HHH নমুনা বিন্দু মাত্র 1 টি
তিনটাই হেড পাবার সম্ভাবনা = 1/8

১০,৭০৮.

একটা মুদ্রা চারবার নিক্ষেপ করা হলো। ঠিক দুইবার টেল আসার সম্ভাবনা কত?

ক
ক) ১১/১৬
খ
খ) ১/৮
গ
গ) ১/২
ঘ
ঘ) ৩/৮

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটা মুদ্রা চারবার নিক্ষেপ করা হলো। ঠিক দুইবার টেল আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
একটি মুদ্রা চারবার নিক্ষেপ করলে পাই,

নমুনাক্ষেত্র = {HHHH, HHHT, HHTH, HHTT, HTHH, HTHT, HTTH, HTTT, THHH, THHT, THTH, THTT, TTHH, TTHT, TTTH, TTTT}
মোট নমুনা বিন্দু = ১৬টি

ঠিক দুইবার টেল আছে ৬টি নমুনা বিন্দুতে।

ঠিক দুইবার টেল আসার সম্ভাবনা = ৬/১৬ = ৩/৮

১০,৭০৯.

যদি A = {5, 15, 20, 30} এবং B = {3, 5, 15, 18, 20} হয়, তাহলে (A ∩ B) =?

ক
{3, 18, 30}
খ
{5, 15, 20}
গ
{3, 5, 15, 18, 20, 30}
ঘ
কোনোটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি A = {5, 15, 20, 30} এবং B = {3, 5, 15, 18, 20} হয়, তাহলে (A ∩ B) =?

সমাধান:
A = {5, 15, 20, 30}
B = {3, 5, 15, 18, 20}

∴ (A ∩ B)
= {5, 15, 20, 30} ∩ {3, 5, 15, 18, 20}
= {5, 15, 20}

১০,৭১০.

৭, ১০, ১৬, ২৮,...... পরবর্তী সংখ্যাটি কত হবে?

ক
ক) ৫২
খ
খ) ৭৫
গ
গ) ১০০
ঘ
ঘ) ১৫০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৭, ১০, ১৬, ২৮,...... পরবর্তী সংখ্যাটি কত হবে?

সমাধান:
১০ - ৭ = ৩
১৬ - ১০ = ৬ = ৩ × ২
২৮ - ১৬ = ১২ = ৬ × ২

অর্থাৎ, পরবর্তী ব্যবধান হবে ১২ × ২ = ২৪

∴ পরবর্তী সংখ্যাটি = ২৮ + ২৪
= ৫২

১০,৭১১.

জুয়েল 12 টি কমলা কিনতে বাজারে গিয়েছিল। কিন্তু সে দেখলো তার নিকট যে টাকা আছে তা দিয়ে 10 টি কমলা কিনতে পারবে। সে হিসাব করে দেখলো যদি প্রতিটি কমলার দাম 5 টাকা কম হত, তবে সে 12 টি কমলা কিনতে পারতো। জুয়েলের নিকট কত টাকা ছিল?

ক
180 টাকা
খ
300 টাকা
গ
480 টাকা
ঘ
500 টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: জুয়েল 12 টি কমলা কিনতে বাজারে গিয়েছিল। কিন্তু সে দেখলো তার নিকট যে টাকা আছে তা দিয়ে 10 টি কমলা কিনতে পারবে। সে হিসাব করে দেখলো যদি প্রতিটি কমলার দাম 5 টাকা কম হত, তবে সে 12 টি কমলা কিনতে পারতো। জুয়েলের নিকট কত টাকা ছিল?

সমাধান:
মনে করি, জুয়েলের নিকট ছিল x টাকা

প্রশ্নমতে, (x/10) - (x/12) = 5
⇒ (6x - 5x)/60 = 5
⇒ x/60 = 5
⇒ x = 5 × 60
∴ x = 300

জুয়েলের নিকট 300 টাকা ছিল।

১০,৭১২.

একটি গুনোত্তর ধারার প্রথম পদ a সাধারন অনুপাত r হলে, n সংখ্যক পদের সমষ্টি -

ক
ক) a(1 - rⁿ)/1 - r (যেখানে r>1)
খ
খ) a(1 + rⁿ/1+ r) (যেখানে r<1)
গ
গ) a(rⁿ - 1)/r - 1 (যেখানে r>1)
ঘ
ঘ) a(rⁿ - 1/r - 1) (যেখানে r<1)

ব্যাখ্যা

এটি একটি সুত্র।

১০,৭১৩.

p = log₄72 - log₄18 হলে p এর মান কত?

ক
1
খ
6
গ
2
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: p = log₄72 - log₄18 হলে p এর মান কত?

সমাধান:
p = log₄72 - log₄18
⇒ p = log₄(72/18)
⇒ p = log₄4
∴ p = 1

১০,৭১৪.

x এর মান কত হলে log_x(1/64) = - 3 হবে?

ক
ক) 2
খ
খ) 3
গ
গ) 4
ঘ
ঘ) 5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x এর মান কত হলে log_x(1/64) = - 3 হবে?

সমাধান:
log_x(1/64) = - 3
⇒ x^-3 = 1/64
⇒ 1/x³ = 1/64
⇒ x³ = 64
⇒ x³ = 4³
x = 4

১০,৭১৫.

400 জন লোকের একটি দলের 375 জন ইংরেজি ও 200 জন বাংলায় কথা বলতে পারে। কতজন উভয় ভাষায় কথা বলতে পারে?

ক
ক) 175
খ
খ) 25
গ
গ) 200
ঘ
ঘ) 75

ব্যাখ্যা

উভয় ভাষায় কথা বলতে পারে {(৩৭৫+২০০) - ৪০০} = ১৭৫ জন

১০,৭১৬.

x²y + xy² এবং x² + xy এর গ.সা.গু কত?

ক
(x + y)
খ
x(x + y)
গ
y(x + y)
ঘ
xy(x + y)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x²y + xy² এবং x² + xy এর গ.সা.গু কত?

সমাধান:
১ম রাশি = x²y + xy²
= xy (x + y)

২য় রাশি = x² + xy
= x (x + y)

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = x (x + y) ।

১০,৭১৭.

16x² - px + 625 সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ হলে p এর মান কত?

ক
ক) 50
খ
খ) 100
গ
গ) 200
ঘ
ঘ) 400

ব্যাখ্যা

16x² - px + 625
= (4x)² - px + 25²
∴ px = 2 . 4x . 25
বা, p = 200

১০,৭১৮.

সমাধান করুন ।x - 3। < 5

ক
2 < x < 8
খ
- 2 < x < 8
গ
- 8 < x < - 2
ঘ
- 4 < x < 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমাধান করুন ।x - 3। < 5

সমাধান:
।x - 3। এটা ধনাত্মক বা ঋণাত্মক ও হতে পারে।

x - 3 ধনাত্মক হলে,
⇒ x - 3 < 5
⇒ x < 8

আবার, x -3 ঋণাত্মক হলে,
- (x - 3)< 5
⇒ x > - 5 + 3
⇒ x > - 2

∴ - 2 < x < 8

১০,৭১৯.

a² - 23a + 132 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে হবে -

ক
(a - 33)(a + 10)
খ
(a - 44)(a - 3)
গ
(a - 12)(a - 11)
ঘ
(a - 15)(a - 8)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a² - 23a + 132 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে হবে -

সমাধান:
a²- 23a + 132
= a² - 12a - 11a + 132
= a(a - 12) - 11(a - 12)
= (a - 12)(a - 11)

১০,৭২০.

x² + mx - 3 এর দুইটি উৎপাদক (x - 1) এবং (x + 3) হলে, m এর মান কত?

ক
ক) 1
খ
খ) 2
গ
গ) 3
ঘ
ঘ) 4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² + mx - 3 এর দুইটি উৎপাদক (x - 1) এবং (x + 3) হলে, m এর মান কত?

সমাধান:
x² + mx + n এর একটি উৎপাদক x - 1 হলে x = 1
1²+ m + n = 0
m + n = - 1 ..........(1)

x² + mx + n এর একটি উৎপাদক x + 3 হলে x = - 3
(- 3)² + m( - 3) + n = 0
9 - 3m + n = 0
- 3m + n = - 9................(2)

(1) - (2) ⇒
m + n - ( - 3m + n) = - 1 - (- 9)
m + n + 3m - n = - 1 + 9
4m = 8
m = 2

১০,৭২১.

4 + 12 + 36 + …………গুণোত্তর ধারাটির পাঁচটি পদের যোগফল কত?

ক
ক) 372
খ
খ) 384
গ
গ) 448
ঘ
ঘ) 484

ব্যাখ্যা

১ম পদ a = 4
সাধারণ অনুপাত r = 12/4 = 3
সমষ্টি s = {a(rⁿ - 1)} / (r -1)
সাতটি পদের সমষ্টি S₅ = 4(3⁵ - 1)/(3 - 1)
S₅ = 484

১০,৭২২.

1/√3, 1, √3, ............... ধারাটির কোন পদ 27√3 হবে?

ক
9তম পদ
খ
11তম পদ
গ
12তম পদ
ঘ
10তম পদ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1/√3, 1, √3, ............... ধারাটির কোন পদ 27√3 হবে?

সমাধান:
এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
এখানে,
প্রথম পদ, a = 1/√3
সাধারণ অনুপাত, r = √3
ধরি, n তম পদ হবে = 27√3
আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = ar^{n - 1}

প্রশ্নমতে,
ar^{n - 1} = 27√3
বা, (1/√3) × (√3)^{n - 1} = 27√3
বা, (√3)^{n - 1} = 27√3 × √3
বা, (√3)^{n - 1} = 27 × 3
বা, (√3)^{n - 1} = 81
বা, (√3)^{n - 1} = 3⁴
বা, (√3)^{n - 1} = (√3)⁸
বা, n - 1 = 8
∴ n = 9

∴ 9 তম পদ = 27√3

১০,৭২৩.

যদি log⁡(2x) = log⁡10 হয়, তবে x এর মান কত?

ক
5
খ
10
গ
12
ঘ
15

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি log⁡(2x) = log⁡10 হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
log⁡(2x) = log⁡10
⇒ 2x = 10
⇒ x = 10/2
⇒ x = 5

১০,৭২৪.

x = 1 + √3 হলে x³ = কত?

ক
ক) 4 + 3√3
খ
খ) 5 + 6√3
গ
গ) 10 + 9√3
ঘ
ঘ) 10 + 6√3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x = 1 + √3 হলে x³ = কত?

সমাধান:
x = 1 + √3

x³ = (1 + √3)³
= 1³ + 3.1².√3 + 3.1.(√3)² + (√3)³
= 1 + 3√3 + 9 + 3√3
= 10 + 6√3

১০,৭২৫.

'DREAM' শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?

ক
60 টি
খ
48 টি
গ
320 টি
ঘ
120 টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'DREAM' শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?

সমাধান:
DREAM শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 5 টি, Vowel আছে 2টি।
Vowel দুইটিকে একটি ধরে মোট বর্ণ = 4টি

4টি বর্ণকে সাজানো যায় = 4!
Vowel দুইটি সাজানো যায় = 2!

∴ স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট সাজানো যাবে = 4! × 2!
= 24 × 2
= 48

∴ "DREAM" শব্দটির স্বরবর্ণগুলো একত্রে রেখে মোট 48টি উপায়ে সাজানো যাবে।

১০,৭২৬.

x³ = -8 হলে x + 2 = ?

ক
ক) -1
খ
খ) 0
গ
গ) 1
ঘ
ঘ) 2

ব্যাখ্যা

x³ = -8
বা, x³ + 8 = 0
বা, x³ + 2³ = 0
(x + 2)(x² - 2x + 4) = 0
হয়,
x + 2 = 0
অথবা,
x² - 2x + 4 = 0

১০,৭২৭.

x - y = 2 এবং xy = 15 হলে (x + y) এর মান কত?

ক
ক) 4
খ
খ) 8
গ
গ) 10
ঘ
ঘ) 12

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x - y = 2 এবং xy = 15 হলে (x + y) এর মান কত?

সমাধান:
x - y = 2
xy = 15

আমরা জানি
(x + y)² = (x - y)² + 4xy
(x + y)² = 2² + 4 × 15
(x + y)² = 4 + 60
(x + y)² =64
(x + y)² =8²
(x + y) = 8

১০,৭২৮.

যদি (a/b)^a/b = a^{(a/b) - 1} এবং a = 2b হয়, তবে b এর মান কত?

ক
8
খ
6
গ
4
ঘ
2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি (a/b)^a/b = a^{(a/b) - 1} এবং a = 2b হয়, তবে b এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a = 2b
এবং,
⇒ (a/b)^a/b = a^{(a/b) - 1}
⇒ (2b/b)^(2b/b) = (2b)^{(2b/b) - 1}
⇒ 2² = (2b)^{(2 - 1)}
⇒ 4 = 2b
∴ b = 2

১০,৭২৯.

একটি নিরপেক্ষ ছক্কা নিক্ষেপে ১২ এর গুণনীয়ক পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
১/৬
খ
৫/৬
গ
২/৫
ঘ
১/৪

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি নিরপেক্ষ ছক্কা নিক্ষেপে ১২ এর গুণনীয়ক পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
ছক্কা নিক্ষেপ মোট নমুনা বিন্দু = {১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬} = মোট ৬ টি
১২ এর গুণনীয়ক = {১, ২, ৩, ৪, ৬, ১২}
১২ এর গুণনীয়ক যা ছক্কায় বিদ্যমান = {১, ২, ৩, ৪, ৬} = ৫ টি [ছক্কায় সর্বোচ্চ সংখ্যা ৬, তাই ১২ বাদ যাবে]

∴ সম্ভাবনা = ৫/৬

১০,৭৩০.

রহিম ও রফিকের যথাক্রমে 8টি এবং 10টি বই আছে। যদি একটির পরিবর্তে একটি বই বিনিময় করে তারা কত প্রকারে বইগুলো বিনিময় করতে পারবে?

ক
ক) 50
খ
খ) 60
গ
গ) 70
ঘ
ঘ) 80

ব্যাখ্যা

8টি বই হতে 1টি নির্বাচনের উপায় = ⁸C₁ = 8
10টি বই হতে 1টি নির্বাচনের উপায় = ¹⁰C₁ = 10

বিনিময়ের মোট উপায় = 8 × 10 = 80

১০,৭৩১.

প্রদত্ত উপাত্তগুলোর মধ্যক নির্ণয় করুন
১২, ৯, ১৫, ৫, ২০, ৮, ২৫, ১৭, ২১, ২৩, ১১

ক
১২
খ
১৩
গ
১৪
ঘ
১৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: প্রদত্ত উপাত্তগুলোর মধ্যক নির্ণয় করুন
১২, ৯, ১৫, ৫, ২০, ৮, ২৫, ১৭, ২১, ২৩, ১১

সমাধান:
প্রদত্ত উপাত্তগুলোকে ঊর্ধ্বক্রম অনুসারে সাজিয়ে পাই- ৫, ৮, ৯, ১১, ১২, ১৫, ১৭, ২০, ২১, ২৩, ২৫
আমরা জানি,
উপাত্তের সংখ্যা n হলে এবং n যদি বিজোড় সংখ্যা হয় তবে মধ্যক হবে (n + 1)/2 তম পদের মান।

এখানে,
n = ১১ যা একটি বিজোড় সংখ্যা
∴ মধ্যক = (১১ + ১)/২ তম পদের মান
= ৬ তম পদের মান
= ১৫

১০,৭৩২.

a = 2b = 3c এবং abc = 36 হলে c = কত?

ক
2
খ
3
গ
4
ঘ
5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a = 2b = 3c এবং abc = 36 হলে c = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, a = 2b = 3c এবং abc = 36
∴2b = 3c
⇒ b = 3c/2

এখন,
abc = 36
বা, 2b × bc = 36
বা, 2 × 2b²c = 2 × 36
বা, (2b)² × c = 72
বা, (3c)² × c = 72
বা, 9c³ = 72
বা, c³ = 72/9
বা, c³ = 8
বা, c³ = 2³
∴ c = 2

১০,৭৩৩.

1 + 3 + 5 +........ + (2n + 1) = কত?

ক
ক) n²
খ
খ) (n - 1)²
গ
গ) (n + 1)²
ঘ
ঘ) {(n + 1)/1}²

ব্যাখ্যা

১ম পদ a = 1,
সাধারন অন্তর d = 2,
শেষ পদ = 2n + 1
∴ পদ সংখ্যা = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/d} + 1
= {(2n + 1 - 1)/2} + 1
= n + 1
∴ সমষ্টি = {পদ সংখ্যা (শেষ পদ + ১ম পদ)}/2
= {(n + 1)(2n + 1 + 1)}/2
= {(n + 1)(2n + 2)}/2
= (n + 1)²

১০,৭৩৪.

দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু. ৪২ এবং সংখ্যাদ্বয়ের অনুপাত ২ : ৩ হলে সংখ্যাদ্বয়ের সমষ্টি কত হবে?

ক
২৪
খ
৩২
গ
৩৫
ঘ
৪০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু. ৪২ এবং সংখ্যাদ্বয়ের অনুপাত ২ : ৩ হলে সংখ্যাদ্বয়ের সমষ্টি কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুইটি সংখ্যার অনুপাত = ২ : ৩
তাদের ল.সা.গু = ৪২

মনে করি,
একটি সংখ্যা = ২ক
অপর সংখ্যা = ৩ক
∴ সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু = ৬ক

প্রশ্নমতে,
৬ক = ৪২
⇒ ক = ৪২/৬
⇒ ক = ৭

∴ সংখ্যাদ্বয়ের সমষ্টি = ২ক + ৩ক
= (২ × ৭) + (৩ × ৭)
= ১৪ + ২১
= ৩৫

১০,৭৩৫.

a/b+b/a = 6 হলে, a²/b² + b²/a² + 2 এর মান কত?

ক
ক) 40
খ
খ) 36
গ
গ) 32
ঘ
ঘ) 30

ব্যাখ্যা

a²/b² + b²/a² + 2
= (a/b)² + 2.a/b.b/a + (b/a)²
=(a/b + b/a)²
= 6²
= 36

১০,৭৩৬.

10 বছর পূর্বে পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত ছিল 4 : 1। 10 বছর পরে পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত হবে 2 : 1। পুত্রের বর্তমান বয়স কত?

ক
ক) 20
খ
খ) 50
গ
গ) 25
ঘ
ঘ) 55

ব্যাখ্যা

পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়স যথাক্রমে x ও y বছর।
সুতরাং (x - 10) : (y - 10) = 4 : 1
বা, x - 10 = 4y - 40
বা, x = 4y - 30
এবং (x + 10) : (y + 10) = 2 : 1
বা, x + 10 = 2y + 20
বা, 4y - 30 + 10 = 2y + 20
বা, 2y = 40
বা, y = 20
∴ পুত্রের বয়স 20 বছর।

১০,৭৩৭.

log₂√6 + log₂√(2/3) = কত?

ক
ক) 1/2
খ
খ) 1
গ
গ) 1/6
ঘ
ঘ) কোনোটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₂√6 + log₂√(2/3) = কত?

সমাধান:
log₂√(2 × 3) + log₂√(2/3)
log₂(2 × 3)^1/2 + log₂(2/3)^1/2
(1/2)log₂2 + (1/2)log₂3 + (1/2)log₂2 - (1/2)log₂3
= (1/2) .1 + (1/2) .1
= (1/2) + (1/2)
= (1 + 1)/2
= 2/2
= 1

১০,৭৩৮.

ক
6
খ
12
গ
- 9
ঘ
24

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

১০,৭৩৯.

a = 4c, a/b = c/d এবং d = 6 হলে b = কত?

ক
20
খ
24
গ
28
ঘ
30

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a = 4c, a/b = c/d এবং d = 6 হলে b = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a/b = c/d
বা, 4c/b = c/6 [a = 4c এবং d = 6 বসিয়ে]
বা, bc = 24c
বা, b = 24c/c
∴ b = 24

১০,৭৪০.

- 1 < 2x - 3 < 5 কে পরমমান চিহ্নের সাহায্য়ে প্রকাশ করলে হবে -

ক
ক) ।2x - 4। < 3
খ
খ) ।2x - 5। < 3
গ
গ) ।4x - 3। < 5
ঘ
ঘ) ।3x - 5। < 3

ব্যাখ্যা

এখানে,
(- 1 + 5)/ 2 = 4/2 = 2

- 1 < 2x - 3 < 5
- 1 - 2 < 2x - 3 - 2 < 5 - 2
- 3 < 2x - 5 < 3
।2x - 5। < 3

১০,৭৪১.

একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের হর ও লবের অন্তর ৩, হর ও লব থেকে ২ বিয়োগ করলে যে ভগ্নাংশ পাওয়া যায় তার সাথে ৩/৫ যোগ করলে যোগফল ১ হয়, ভগ্নাংশটির হর কত?

ক
ক) 3
খ
খ) 4
গ
গ) 5
ঘ
ঘ) 7

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের হর ও লবের অন্তর ৩, হর ও লব থেকে ২ বিয়োগ করলে যে ভগ্নাংশ পাওয়া যায় তার সাথে ৩/৫ যোগ করলে যোগফল ১ হয়, ভগ্নাংশটির হর কত?

সমাধান:
ধরি,
ভগ্নাংশটির লব = x
এবং হর = x + 3
∴ ভগ্নাংশটি = x/(x + 3)

প্রশ্নমতে,
(x - 2)/(x + 3 - 2) + (3/5) = 1
⇒ (x - 2)/(x + 1) = 1 - (3/5)
⇒ (x - 2)/(x + 1) = 2/5
⇒ 5x - 10 = 2x + 2
⇒ 5x - 2x = 10 + 2
⇒ 3x = 12
⇒ x = 12/3
∴ x = 4

∴ ভগ্নাংশটির হর = x + 3 = 4 + 3 = 7

১০,৭৪২.

a² + b² = 13 এবং ab = 6 হলে, a⁴ + b⁴ এর মান কত?

ক
102
খ
97
গ
60
ঘ
169

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a² + b² = 13 এবং ab = 6 হলে, a⁴ + b⁴ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a² + b² = 13 এবং ab = 6

প্রদত্ত রাশি,
a⁴ + b⁴
=(a²)² + (b²)²
= (a² + b²)² - 2a²b²= (a² + b²)² - 2(ab)²
= (13)² - 2 × (6)²
= 169 - 72
= 97

১০,৭৪৩.

4 - x² + 2xy - y² এর সঠিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ হলো-

ক
ক) (2 - x + y)(2 - x + y)
খ
খ) (2 - x - y)(2 - x + y)
গ
গ) (2 + x - y)(2 + x + y)
ঘ
ঘ) (2 + x - y)(2 - x + y)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন : 4 - x² + 2xy - y² এর সঠিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ হলো-

সমাধান :

4 - x² + 2xy - y²
বা, 4 - (x² - 2xy + y²)
বা, 2² - (x - y)²
বা, {2 + (x - y)}{2 - (x - y)}
বা, (2 + x - y)(2 - x + y)

১০,৭৪৪.

একটি অনুষ্ঠানে উপস্থিত প্রত্যেক ব্যক্তি পরস্পরের সাথে করমর্দন করেন। যদি মোট 66 টি করমর্দন হয়, তবে অনুষ্ঠানে কতজন লোক উপস্থিত ছিল?

ক
ক) 11 জন
খ
খ) 12 জন
গ
গ) 13 জন
ঘ
ঘ) 14 জন

ব্যাখ্যা

ধরি,
সভায় মোট লোক ছিল = n,

∴ মোট করমর্দন ⁿc₂ = 66
বা, {(n)(n - 1)}/2 = 66
বা, (n² - n)/2 = 66
বা, n² - n = 132
বা, n² - n - 132 = 0
বা, n² - 12n + 11n - 132 = 0
বা, n(n - 12) + 11(n - 12) = 0
বা, (n - 12)(n + 11) = 0

হয় অথবা
n - 12 = 0 n + 11 = 0
n = 12 n = - 11 [গ্রহণযোগ্য নয় ]

১০,৭৪৫.

যদি P(y) = 1 হয়, তাহলে y ঘটনাটি হলো-

ক
নিশ্চিত ঘটনা
খ
অসম্ভব ঘটনা
গ
স্বাধীন ঘটনা
ঘ
অনিশ্চিত ঘটনা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি P(y) = 1 হয়, তাহলে y ঘটনাটি হলো-

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা = ঘটনাটির অনুকূল ফলাফল/সমগ্র সম্ভাব্য ফলাফল

∴ কোনো ঘটনা ঘটার সর্বোচ্চ মান ১ এবং সর্বনিম্ন মান ০

অর্থাৎ কোনো ঘটনা যখন অবশ্যই ঘটবে তার মান ১
এবং যখন অবশ্যই ঘটবেনা অর্থাৎ অসম্ভব ঘটনা তার মান ০

১০,৭৪৬.

{(a + b)/a} + {(a - b)/b} - {(a² - b²)/ab} = কত?

ক
1
খ
2b/a
গ
ab
ঘ
1/ab

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: {(a + b)/a} + {(a - b)/b} - {(a² - b²)/ab} = কত?

সমাধান:
{(a + b)/a} + {(a - b)/b} - {(a² - b²)/ab}
= (ab + b² + a² - ab - a² + b²)/ab
= 2b²/ab
= 2b/a

১০,৭৪৭.

log₃(1/81) এর মান কত?

ক
ক) - 4
খ
খ) 2
গ
গ) - 1
ঘ
ঘ) 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₃(1/81) এর মান কত?

সমাধান:
log₃(1/81)
= log₃(1/3⁴)
= log₃3^-4
= - 4 log₃3
=- 4 . 1
= - 4

১০,৭৪৮.

একটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে 3 এর গুণিতক আসার সম্ভাবনা কত?

ক
1/6
খ
1/2
গ
1/3
ঘ
2/3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে 3 এর গুণিতক আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
ছক্কার নমুনাক্ষেত্র = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
3 এর গুণিতক নমুনা = {3, 6}
∴ 3 এর গুণিতক আসার সম্ভাবনা= 2/6
= 1/3 ।

১০,৭৪৯.

x² + y² = 20 এবং xy = 4 হলে (x - y)² এর মান কত?

ক
14
খ
16
গ
12
ঘ
18

ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে,
x² + y² = 20 এবং
xy = 4
আমরা জানি,
(x - y)² = x² + y² - 2xy
= 20 - 2 × 4
= 20 - 8
= 12

১০,৭৫০.

x এর মান কত হলে (5 + x) + 5(x + 5) = 0 হবে?

ক
3
খ
2
গ
- 5
ঘ
- 4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x এর মান কত হলে (5 + x) + 5(x + 5) = 0 হবে?

সমাধান:
(5 + x) + 5(x + 5) = 0
⇒ 5 + x + 5x + 25 = 0
⇒ 6x + 30 = 0
⇒ 6x = - 30
⇒ x = - (30/6)
∴ x = - 5

১০,৭৫১.

(125)^{a + 2} = 5^{2a + 4} হয়, তবে a এর মান কত?

ক
1
খ
2
গ
- 2
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (125)^{a + 2} = 5^{2a + 4} হয়, তবে a এর মান কত?

সমাধান:
(125)^{a + 2} = 5^{2a + 4}
⇒ (5³)^{a + 2₌}5^{2a + 4}
⇒ 5^{3a + 6} = 5^{2a + 4}
⇒ 3a + 6 = 2a + 4
⇒ 3a - 2a = 4 - 6
∴ a = - 2

১০,৭৫২.

128 + 64 + 32 +........... ধারাটির কোন পদ 1/2 ?

ক
8
খ
6
গ
9
ঘ
10

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 128 + 64 + 32 +........... ধারাটির কোন পদ 1/2 ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ, a = 128
সাধারণ অনুপাত, r = 64/128 = 1/2
n-তম পদ = 1/2

আমরা জানি,
n-তম পদ = arn - 1

প্রশ্নমতে,
arn - 1 = 1/2
⇒ 128 × (1/2)n - 1 = 1/2
⇒ (1/2)n - 1 = 1/(2 × 128)
⇒ (1/2)n - 1 = 1/256
⇒ (1/2)n - 1 = (1/2)8
⇒ n - 1 = 8
⇒ n = 8 + 1
⇒ n = 9

১০,৭৫৩.

একটি সংখ্যার অর্ধেকের সাথে 7 যোগ করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায়, সেই সংখ্যাটির দ্বিগুণ থেকে 26 বিয়োগ করলেও একই সংখ্যা পাওয়া যায়। সংখ্যাটি কত?

ক
22
খ
17
গ
18
ঘ
21

ব্যাখ্যা

ধরি,
সংখ্যাটি = x
সংখ্যার অর্ধেক = x/2
সংখ্যার দ্বিগুণ = 2x

প্রশ্নমতে,
x/2 + 7 = 2x - 26
বা, x + 14 = 4x - 52
বা, -3x = -66
∴ x = 22

১০,৭৫৪.

5টি চকলেট 3 জন বালিকার মধ্যে কত উপায়ে বিতরণ করা যেতে পারে?

ক
135
খ
145
গ
243
ঘ
240

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5টি চকলেট 3 জন বালিকার মধ্যে কত উপায়ে বিতরণ করা যেতে পারে?

সমাধান:
বালিকার সংখ্যা n = 3 জন
চকলেট r = 5টি

চকলেট বিতরণ করা যেতে পারে = n^r
= 3⁵
= 243

১০,৭৫৫.

১-২০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলো থেকে একটি সংখ্যা নির্বাচন করলে তা মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
ক) ১/৫
খ
খ) ২/৫
গ
গ) ৩/৫
ঘ
ঘ) ৪/৫

ব্যাখ্যা

১-২০ পর্যন্ত মোট সংখ্যা = ২০টি
মৌলিক সংখ্যা = {২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭ ,১৯}
মোট = ৮টি
∴ সম্ভাবনা = ৮/২০
= ২/৫

১০,৭৫৬.

x⁴ - 64 এর উৎপাদক কোনটি?

ক
(x² + 8) (x - 2√2) (x - 2√2)
খ
(x² + 8) (x + 2√2) (x +2√2)
গ
(x² + 8) (x + 2√2) (x - 2√2)
ঘ
(x² + 8) (x + √2) (x - √2)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x⁴ - 64 এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
x⁴ - 64
= (x²)² - (8)²
= (x² + 8) (x² - 8)
= (x² + 8) {(x)² - (2√2)²}
= (x² + 8) (x + 2√2) (x - 2√2)

১০,৭৫৭.

২৫, ১৭, ৩২, ২১, ২৮, ১৫, ২০ উপাত্তগুলোর মধ্যক কত?

ক
১৯
খ
২০
গ
২১
ঘ
২২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ২৫, ১৭, ৩২, ২১, ২৮, ১৫, ২০ উপাত্তগুলোর মধ্যক কত?

সমাধান:
উপাত্তগুলোর মানের উর্ধবক্রম অনুসারে সাজিয়ে পাই,
১৫, ১৭, ২০, ২১, ২৫, ২৮, ৩২
যেহেতু এখানে বিজোড় সংখ্যক সংখ্যা রয়েছে। তাই মধ্যক হবে মাঝের সংখ্যাটি।
মাঝের সংখ্যাটির অবস্থান = (n+1)/2 = (7 + 1)/2 = 4 তম সংখ্যা
∴ মধ্যক = ২১
অতএব, ২৫, ১৭, ৩২, ২১, ২৮, ১৫, ২০ উপাত্তগুলোর মধ্যক হলো ২১।

১০,৭৫৮.

a ও b দুইটি ধনাত্মক সংখ্যা এবং ab/x = √b হলে x/√a = কত?

ক
ক) √a
খ
খ) √b
গ
গ) √(ab)
ঘ
ঘ) √(a/b)

ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে,
ab/x = √b
∴ x = a√b
এখন,
x/√a
= a√b / √a
= √a √b
= √(ab)

১০,৭৫৯.

সকল পূর্ণসংখ্যার সেট কোনটি?

ক
R
খ
Q
গ
N
ঘ
Z

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সকল পূর্ণসংখ্যার সেট কোনটি?

সমাধান:
আমরা জানি সকল স্বাভাবিক সংখ্যাই (N) পূর্ণসংখ্যা (Z), আবার সকল পূর্ণসংখ্যাই (Z) মূলদ সংখ্যা (Q), আবার সকল মূলদ সংখ্যাই (Q) বাস্তব সংখ্যার (R) অন্তর্ভুক্ত। যেহেতু এরা প্রত্যেকেই পরস্পরের উপসেট তাই এদেরকে N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R এভাবে প্রকাশ করা যায়।

১০,৭৬০.

3x - 3 > 2x - 1 এর সমাধান সেট কোনটি?

ক
[2, ∞)
খ
(2, ∞]
গ
(2, ∞)
ঘ
[2, ∞]

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3x - 3 > 2x - 1 এর সমাধান সেট কোনটি?

সমাধান:
3x - 3 > 2x - 1
বা, 3x - 3 + 3 > 2x - 1 + 3
বা, 3x > 2x + 2
বা, 3x - 2x > 2x - 2x + 2
∴ x > 2

অর্থাৎ x এর মান 2 থেকে বড় যে কোন সংখ্যা হতে পারে।
∴ নির্ণেয় সমাধান সেট = (2, ∞)

১০,৭৬১.

একটি ছাত্রাবাসে রোজ 4x কেজি চাল এবং (x - 3) কেজি ডাল লাগে এবং চাল ও ডাল মিলে 42 কেজির বেশি লাগে না।তাহলে নিচের কোনটি সঠিক?

ক
x ≤ 9
খ
x ≤ 10
গ
x ≥ 9
ঘ
x ≤ 11

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ছাত্রাবাসে রোজ 4x কেজি চাল এবং (x - 3) কেজি ডাল লাগে এবং চাল ও ডাল মিলে 42 কেজির বেশি লাগে না।তাহলে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
দৈনিক মোট চাল + ডাল ≤ 42 কেজি
⇒ 4x + (x - 3) ≤ 42
⇒ 5x - 3 ≤ 42
⇒ 5x ≤ 45
⇒ x ≤ 9
সঠিক অসমতা x ≤ 9
অর্থাৎ, x সর্বোচ্চ 9 হতে পারে।

১০,৭৬২.

2log(15/18) - log(25/162) + log(4/9) =?

ক
0
খ
1
গ
log2
ঘ
log5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2log(15/18) - log(25/162) + log(4/9) =?

সমাধান:

2log(15/18) - log(25/162) + log(4/9)
= log(15/18)² - log(25/162) + log(4/9)
= log(225/324) - log(25/162) + log(4/9)
= log[(225/324)(4/9)] - log(25/162)
= log[(225/324)(4/9)]/(25/162)
= log(72/36)
= log2

১০,৭৬৩.

6 টি পোস্ট বাক্সে 4 টি চিঠি কতভাবে ফেলা যায়?

ক
360
খ
720
গ
1296
ঘ
4096

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 6 টি পোস্ট বাক্সে 4 টি চিঠি কতভাবে ফেলা যায়?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পোস্ট বাক্সের সংখ্যা, n = 6 টি
চিঠির সংখ্যা, r = 4 টি

∴ চিঠি ফেলা যায় = (পোস্ট বক্স)^চিঠি
= n^r
= 6⁴
= 1296 টি উপায়ে

১০,৭৬৪.

২৪৩, -৮১, ২৭, -৯,...... ধারাটির ১ম ছয়টি পদের সমষ্টি কত?

ক
ক) ১৮০
খ
খ) ১৮১
গ
গ) ১৮২
ঘ
ঘ) ১৮৩

ব্যাখ্যা

১ম পদ a = ২৪৩,
r = -(১/৩) < ১
∴ সমষ্টি = a.(১ - r^৬)/(১ - r)
= ২৪৩ × [১ - {-(১/৩)}^৬]/[১ - {-(১/৩)}]
= ২৪৩ × (১ - ১/৭২৯)/(১ + ১/৩)
= ২৪৩ × (৭২৮/৭২৯)/(৪/৩)
= ২৪৩ × ৭২৮/৭২৯ × ৩/৪
= ১৮২

১০,৭৬৫.

2, 3, 3, 4, 4, 4, 5 অংকগুলো দিয়ে সাত অংক বিশিষ্ট কতগুলো ভিন্ন সংখ্যা গঠন করা যাবে?

ক
ক) 5040
খ
খ) 2520
গ
গ) 840
ঘ
ঘ) 420

ব্যাখ্যা

7!/(2!3!)
= 5040/12
= 420

১০,৭৬৬.

(x - 2) / (x - 1) = 2 - {1/(x - 1)} এর সমাধান সেট নির্ণয় করুন

ক
ক) {1}
খ
খ) {0}
গ
গ) {2}
ঘ
ঘ) ∅

ব্যাখ্যা

প্রশ্নঃ (x - 2) / (x - 1) = 2 - {1/(x - 1)} এর সমাধান সেট নির্ণয় করুন

সমাধানঃ
(x - 2) / (x - 1) = 2 - {1/(x - 1)
⇒ {(x - 2) / (x - 1)} + {1/(x - 1)} = 2
⇒ (x - 2 +1) / (x - 1) = 2
⇒ (x - 1) / (x - 1) = 2
⇒ 1 = 2, যা সম্ভব নয়।

∴ প্রদত্ত সমীকরণের কোন সমাধান নেই।

∴ নির্ণেয় সমাধান সেট, S = ∅

১০,৭৬৭.

3^x - 3^{x - 1}= 18 হলে x এর মান কত?

ক
ক) 2
খ
খ) 1
গ
গ) 3
ঘ
ঘ) 0

ব্যাখ্যা

3^x - 3^{x - 1}= 18
3^x - 3^x .3^{- 1} = 18
3^x - 3^x/3 = 18
3^x(1 - 1/3) = 18
3^x . 2/3 = 18
3^x = (18 × 3)/2
3^x = 27
3^x = 3³
x = 3

১০,৭৬৮.

∣2x + 1∣ < 5 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

ক
- 5 < x <2
খ
- 3 < x < 2
গ
- 3 > x < 2
ঘ
- 2< x < 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ∣2x + 1∣ < 5 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
∣2x + 1∣ < 5
⇒ - 5 < 2x + 1 < 5
⇒ - 5 - 1 < 2x < 5 - 1
⇒ - 6 < 2x < 4
⇒ - 3 < x < 2 [2 দ্বারা ভাগ করে]

১০,৭৬৯.

(2 + x) + 3 = 3(x + 2) হলে x এর মান কত?

ক
- 1/2
খ
1/2
গ
1/3
ঘ
2/3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (2 + x) + 3 = 3(x + 2) হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
(2 + x) + 3 = 3(x + 2)
বা, 2 + x + 3 = 3x + 6
বা, 3x + 6 = x + 5
বা, 3x - x = 5 - 6
বা, 2x = - 1
∴ x = - 1/2

১০,৭৭০.

'ক', 'খ' ও 'গ' এর মানের গড় 20 ' এবং 'গ' এর মান ২২ হলে, ক' ও 'খ' এর মানের গড় কত?

ক
ক) ১৭
খ
খ) ১৮
গ
গ) ১৯
ঘ
ঘ) ২১

ব্যাখ্যা

'ক', 'খ' ও 'গ' এর মানের গড় ২০
'ক', 'খ' ও 'গ' এর মানের সমষ্টি = ২০ × ৩ = ৬০
'গ' এর মান ২২

ক', ও 'খ' এর মানের সমষ্টি =৬০ - ২২ = ৩৮
'ক' ও 'খ' এর মানের গড় = ৩৮/২ = ১৯

১০,৭৭১.

১ + (১/২) + (১/৪) + (১/৮) + ................. ধারাটির প্রথম পাঁচটি পদের সমষ্টি কত?

ক
৩৩/৩১
খ
৩১/১৬
গ
৬৩/৩২
ঘ
৬৩/৬৪

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১ + (১/২) + (১/৪) + (১/৮) + ................. ধারাটির প্রথম পাঁচটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ইহা একতি গুণোত্তর ধারা ।
যার ১ম পদ, a= ১
সাধারণ অনুপাত, r = (১/২)/১ = ১/২ ; [ r < ১ ]
n তম পদের সমষ্টি, S_n = a(১ - rⁿ)/(১ - r)
৫ তম পদের সমষ্টি, S_৫ = ১{১ - (১/২)^৫}/{১ - (১/২)}
= {১ - (১/৩২)}/(১/২)
= {(৩২ - ১)/৩২} × ২
=৩১/১৬

১০,৭৭২.

a + b = 4 এবং a - b = 2 হলে, a² + b² এর মান কত?

ক
3
খ
10
গ
16
ঘ
20

ব্যাখ্যা

2(a² + b²)
= (a + b)² + (a - b)²
= 4² + 2²
= 20
সুতরাং a²+ b²= 20/2
= 10

১০,৭৭৩.

7^{2a - 8}= 5^{2a - 8} হলে a/2 এর মান কত?

ক
ক) 2
খ
খ) 4
গ
গ) 6
ঘ
ঘ) 0

ব্যাখ্যা

দেয়া আছে,
7^{2a - 8} = 5^{2a - 8}
7^{2a - 8}/5^{2a - 8}= 1
(7/5)^{2a - 8} = 1
(7/5)^{2a - 8} = (5/3)⁰
2a - 8 = 0
2a = 8
a = 4
a/2 = 4/2
a/2 = 2

১০,৭৭৪.

দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার অংকদ্বয়ের সমষ্টি 9।অঙ্ক দুটি স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যাবে তা প্রদত্ত সংখ্যা হতে 45 কম। সংখ্যাটি কত?

ক
ক) 45
খ
খ) 72
গ
গ) 39
ঘ
ঘ) 98

ব্যাখ্যা

মনে করি, একক স্থানীয় অংক x
দশক স্থানীয় অংক 9 - x
∴ সংখ্যাটি = 10(9 - x) + x = 90 - 9x
অংক দুইটি স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি হবে,
= 10x + 9 - x = 9x + 9
প্রশ্নমতে,
9x + 9 = 90 - 9x - 45
⇒ 18x = 36
⇒ x = 2
∴ নির্ণেয় সংখ্যা = 90 - 18 = 72

১০,৭৭৫.

log₃(x² + x) - log₃(x + 1) = 2 হলে x এর মান কত?

ক
ক) 3
খ
খ) 2
গ
গ) 9
ঘ
ঘ) 4

ব্যাখ্যা

log₃(x² + x) - log₃(x + 1) = 2
log₃{(x² + x)/(x + 1)} = 2
log₃{x(x + 1)/(x + 1)} = 2
log₃x = 2
x = 3²
x = 9

১০,৭৭৬.

(x - 8) = (x - 8)/x হলে, x এর মান কত?

ক
1
খ
8
গ
4
ঘ
ক ও খ উভয়ই

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (x - 8) = (x - 8)/x হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
(x - 8) = (x - 8)/x
⇒ x(x - 8) = x - 8
⇒ x(x - 8) - (x - 8) = 0
⇒ (x - 8) (x - 1) = 0

হয়, x - 8 = 0
⇒ x = 8

অথবা,
x - 1 = 0
⇒ x = 1

১০,৭৭৭.

2log_x12 = 4 হলে, x এর মান কত?

ক
ক) 3√2
খ
খ) √6
গ
গ) 2
ঘ
ঘ) 6/√3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2log_x12 = 4 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
2log_x12 = 4
⇒ log_x12 = 2
⇒ x² = 12
⇒ x = √12
= √(2√3)²
= 2√3
= 2√3√3/√3
= 6/√3

১০,৭৭৮.

যদি 4a² + (1/a)² = 4 হয়, তবে 8a³ + (1/a)³ এর মান কত?

ক
7√2
খ
5√2
গ
4√2
ঘ
15√2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 4a² + (1/a)² = 4 হয়, তবে 8a³ + (1/a)³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে ,
4a² + (1/a)² = 4
⇒ (2a)² + (1/a)² = 4
⇒ {2a + (1/a)}² - 2 × 2a × (1/a) = 4
⇒ {2a + (1/a)}² = 4 + 4
⇒ {2a + (1/a)}² = 8
∴ 2a + (1/a) =√8 = 2√2

এখন,
8a³ + (1/a)³
= (2a)³ + (1/a)³
= {2a + (1/a)}³- 3 × 2a × (1/a) {2a + (1/a)}
= (2√2)³ - 6 × 2√2
= 16√2 - 12√2
= 4√2

১০,৭৭৯.

ক
1/2
খ
2
গ
1/5
ঘ
5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

১০,৭৮০.

{x ∈ N : 31 < x < 37 এবং x মৌলিক সংখ্যা} কে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করলে কোনটি হয়?

ক
{Ø}
খ
{ 0 }
গ
{ }
ঘ
{6, 7}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: {x ∈ N : 31 < x < 37 এবং x মৌলিক সংখ্যা} কে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করলে কোনটি হয়?

সমাধান:
x ∈ N : 31 < x < 37 হলে এর মান ৩১ থেকে ৩৭ এর মধ্যে এবং x একটি মৌলিক সংখ্যা।
৩১ এবং ৩৭ এর মধ্যে সংখ্যাগুলো হলো- ৩২, ৩৩, ৩৪, ৩৫, ৩৬।
এই সংখ্যাগুলোর মধ্যে কোনোটিই মৌলিক সংখ্যা নয়। কারণ, ৩২, ৩৪, ৩৬ জোড় সংখ্যা এবং ৩৩, ৩৫ সংখ্যাগুলো ৩ এবং ৫ দিয়ে বিভাজ্য।
সুতরাং সেটটি খালি।
তাই সঠিক উত্তর হবে { } বা ফাঁকা সেট।

১০,৭৮১.

x⁴ - 1 কে x² + 1 দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল কত?

ক
- 1
খ
1
গ
x² - 1
ঘ
x² + 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x⁴ - 1 কে x² + 1 দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল কত?

সমাধান:
এখানে, রাশি দুটি x এর ঘাতের অধঃক্রম অনুসারে সাজানো আছে।
x² + 1 ) x⁴ - 1 ( x² - 1
x⁴ + x²
_____________________
- x² - 1
- x² - 1
_____________________
0

∴ নির্ণেয় ভাগফল = x² - 1 ।

১০,৭৮২.

a - 1/a = 5√3 হলে ‍a² + 1/a² = কত?

ক
60√3
খ
60
গ
70√3
ঘ
77

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a - 1/a = 5√3 হলে ‍a² + 1/a² = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
a - 1/a = 5√3

আমরা জানি
a² + 1/a² = (a - 1/a)² + 2.a.1/a.
= (5√3)² + 2
= 25 × 3 + 2
= 75 + 2
= 77

১০,৭৮৩.

'MUGDHO' শব্দটির অক্ষর দিয়ে এমন কয়টি 3-অক্ষরের শব্দ গঠন করা যাবে, যেগুলোর শুরুতে অবশ্যই 'M' থাকবে?

ক
৩৫
খ
৬০
গ
১৮০
ঘ
২০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'MUGDHO' শব্দটির অক্ষর দিয়ে এমন কয়টি 3-অক্ষরের শব্দ গঠন করা যাবে, যেগুলোর শুরুতে অবশ্যই 'M' থাকবে?

সমাধান:
'MUGDHO' শব্দটিতে মোট অক্ষর আছে = 6 টি
অক্ষরগুলো- M, U, G, D, H, O সব অক্ষর ভিন্ন।
প্রতিটি শব্দ 3 অক্ষরের এবং প্রথম অক্ষর M স্থির।
বাকি 2টি অক্ষর বেছে নিতে হবে অবশিষ্ট 5টি অক্ষর থেকে।

∴ 5 টি অক্ষর থেকে 2টি বেছে নেওয়া উপায় = ⁵C₂ = 5!/2!(5 - 2)!
= (5 × 4 ×3!)/(2 × 3!) = 10

এবং প্রত্যেক জোড়ার বিন্যাস করা যায় = 2! = 2

∴ মোট শব্দ সংখ্যা = 10 × 2 = 20

অথবা
প্রথম অক্ষর M ধরে নিলে 3-অক্ষরের শব্দ গঠন করার জন্য আরও 2টি অক্ষর বেছে নিতে হবে।

বাকি অক্ষর = 5টি (U, G, D, H, O)

5 টি অক্ষর থেকে 2টি বেছে নেওয়া উপায় = ⁵P₂= 5 × 4 = 20

সুতরাং, প্রথমে M স্থির রেখে মোট 20টি ভিন্ন শব্দ গঠন করা যাবে।

১০,৭৮৪.

x³ - 1 এবং x² - 1 এর গ. সা. গু 2 হলে, x এর মান কত?

ক
ক) 1
খ
খ) 2
গ
গ) 3
ঘ
ঘ) 4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x³ - 1 এবং x² - 1 এর গ. সা. গু 2 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
x³ - 1 = (x - 1) (x² + x + 1)
x² - 1 = (x + 1) (x - 1)

x³ - 1 এবং x² - 1 এর গ. সা. গু x - 1

x - 1 = 2
⇒ x = 2 + 1
∴ x = 3

১০,৭৮৫.

প্রথম ষোলটি বিজোড় সংখ্যার যোগফল কত?

ক
১৯৬
খ
২২৪
গ
২৫৬
ঘ
২৮৯

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: প্রথম ষোলটি বিজোড় সংখ্যার যোগফল কত?

সমাধান:
প্রথম n সংখ্যক বিজোড় সংখ্যার যোগফল = n²
প্রথম দশটি বিজোড় সংখ্যার যোগফল = (১৬)^২ = ২৫৬

১০,৭৮৬.

x > y এবং z > 0 হলে কোনটি সত্য?

ক
z/x > z/y
খ
z/x < z/y
গ
zx < yz
ঘ
-zx > -yz

ব্যাখ্যা

x > y হলে 1/x < 1/y
∴ z/x < z/y

১০,৭৮৭.

4y² - a² + 6a - 9 এর একটি উৎপাদক-

ক
2y + √a - 3
খ
2y - a - 3
গ
2y + a + 3
ঘ
2y + a - 3

ব্যাখ্যা

4y² - a² + 6a - 9
= 4y² - (a² - 6a + 9)
= 4y² - (a² - 2.a.3 + 3²)
= (2y)² - (a - 3)²
= (2y + a - 3)(2y - a + 3)

১০,৭৮৮.

log₃(a - 5) = 1 হলে, a এর মান কত?

ক
3
খ
4
গ
6
ঘ
8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₃(a - 5) = 1 হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
log₃(a - 5) = 1
⇒ 3¹= a - 5
⇒ a - 5 = 3
⇒ a = 3 + 5
∴ a = 8

১০,৭৮৯.

log_x(5/3) = - 1/2 হলে x এর মান কত?

ক
ক) 25/9
খ
খ) √(5/3)
গ
গ) √(3/5)
ঘ
ঘ) 9/25

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_x(5/3) = - 1/2 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
log_x(5/3) = - 1/2
⇒ x^{- 1/2} = 5/3
⇒1/x^1/2 = 5/3
⇒ x^1/2= 3/5
⇒ (x^1/2)² = (3/5)²
⇒ x = 9/25

১০,৭৯০.

0.5 + 0.05 + 0.005 + 0.0005 +.......... ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

ক
3/2
খ
5/4
গ
1/2
ঘ
5/9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 0.5 + 0.05 + 0.005 + 0.0005 +.......... ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 0.5 = 5/10 = 1/2
সাধারণত অনুপাত, r = 0.05/0.5
= 1/10 < 1

সুতরাং, অসীমতক সমষ্টি = a/(1 - r)
= (1/2) ÷ {1 - (1/10)}
= (1/2) ÷ (9/10)
= (1/2) × (10/9)
= 5/9

১০,৭৯১.

কোন পরীক্ষায় পরীক্ষার্থীদের ৪০% ইংরেজিতে ,৩০% বাংলায় ফেল করেছে।যদি ২০% উভয় বিষয়ে ফেল করে থাকে তবে শতকরা কতজন উভয় বিষয়ে পাশ করেছে?

ক
১০
খ
২৫
গ
৩০
ঘ
৫০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন পরীক্ষায় পরীক্ষার্থীদের ৪০% ইংরেজিতে ,৩০% বাংলায় ফেল করেছে।যদি ২০% উভয় বিষয়ে ফেল করে থাকে তবে শতকরা কতজন উভয় বিষয়ে পাশ করেছে?

সমাধান:
শুধু ইংরেজিতে ফেল করে = ৪০ - ২০ = ২০ জন
শুধু বাংলায় ফেল করে = ৩০ - ২০ = ১০ জন
এবং উভয় বিষয়ে ফেল করে = ২০ জন

∴ মোট ফেল করে = ২০ + ১০ + ২০ = ৫০ জন
সুতরাং, উভয় বিষয়ে পাশ করে = ১০০ - ৫০ = ৫০ জন

১০,৭৯২.

'ARRANGE' শব্দটিকে কত প্রকারে সাজানো যায় যেন ১ম অক্ষর N ও শেষ অক্ষর G থাকে?

ক
30
খ
60
গ
120
ঘ
180

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'ARRANGE' শব্দটিকে কত প্রকারে সাজানো যায় যেন ১ম অক্ষর N ও শেষ অক্ষর G থাকে?

সমাধান:
'ARRANGE' শব্দে 7টি বর্ণ আছে। যেখানে,
A = 2টি
R = 2টি

১ম অক্ষর N ও শেষ অক্ষর G থাকলে বাকী থাকে 5টি অক্ষর।

∴ ১ম অক্ষর N ও শেষ অক্ষর G রেখে সাজানো যাবে = 5!/(2! 2!)
= 30 উপায়ে

১০,৭৯৩.

a² + b² = c² হয়, তবে a⁶ + b⁶ + 3a²b²c² = ?

ক
c⁴
খ
c²
গ
a⁶ + b⁶
ঘ
c⁶

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a² + b² = c² হয়, তবে a⁶ + b⁶ + 3a²b²c² = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a² + b² = c²

প্রদত্ত রাশি,
a⁶ + b⁶ + 3a²b²c²
= (a²)³ + (b²)³ + 3a²b²c²
= (a² + b²)³ - 3a²b²(a² + b²) + 3a²b²c² ; [a³ + b³ = (a + b)³- 3ab(a + b)]
= (c²)³ - 3a²b²c² + 3a²b²c²
= c⁶

১০,৭৯৪.

যদি 3x + 2y = 7 এবং 2x - y = 7 হয়, তাহলে x এর মান কত?

ক
0
খ
1
গ
7/5
ঘ
21/11
ঙ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 3x + 2y = 7 এবং 2x - y = 7 হয়, তাহলে x এর মান কত?

সমাধান:
3x + 2y = 7 ..................(1)
2x - y = 7 ..................(2)

(2) নং কে 2 দ্বারা গুণ করে (1) এর সাথে যোগ করে পাই,
3x + 2y = 7
4x - 2y = 14
_______________
7x = 21
∴ x = 3

১০,৭৯৫.

x + 4y = 14 এবং 7x - 3y = 5 সমীকরণদ্বয়ের সমাধান নিচের কোনটি?

ক
ক) (2, 4)
খ
খ) (2, 3)
গ
গ) (3, 4)
ঘ
ঘ) (4, 5)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + 4y = 14 এবং 7x - 3y = 5 সমীকরণদ্বয়ের সমাধান নিচের কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়
x + 4y = 14 ...............(1)
7x - 3y = 5 ...............(2)

(1) নং সমীকরণকে 3 দ্বারা এবং (2) নং সমীকরণকে 4 দ্বারা গুণ করে পাই,
3x + 12y = 42 .................(3)
28x - 12y = 20 ...............(4)

(3) নং ও (4) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
3x + 12y + 28x - 12y = 42 + 20
বা, 31x = 62
বা, x = 62/31
∴ x = 2

এখন, x এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
2 + 4y = 14
বা, 4y = 14 - 2
বা, 4y = 12
বা, y = 12/4
y = 3

নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (2, 3)

১০,৭৯৬.

3x+2y = 15 সমীকরণটির সমাধান কতটি?

ক
ক) একটি
খ
খ) দুইটি
গ
গ) একটিও না
ঘ
ঘ) অসীম

ব্যাখ্যা

সমীকরণ হতে x এর ভিন্ন ভিন্ন মানের জন্য y এর ভিন্ন ভিন্ন মান পেতে পারি। তাই সমীকরণটির অসংখ্য বা অসীম সমাধান আছে।

১০,৭৯৭.

১ থেকে ২১০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর একটি দৈবচয়ন পদ্ধতিতে নেওয়া হলে, সংখ্যাটি বর্গসংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
৭/২১০
খ
১/১৪
গ
১/১৫
ঘ
১৩/২১০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১ থেকে ২১০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর একটি দৈবচয়ন পদ্ধতিতে নেওয়া হলে, সংখ্যাটি বর্গসংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
১ থেকে ২২০ পর্যন্ত মোট নমুনাবিন্দু = ২১০
পূর্ণ বর্গসংখ্যার অনুকূলে নমুনাবিন্দু - {১, ৪, ৯, ১৬, ২৫, ৩৬, ৪৯, ৬৪, ৮১, ১০০, ১২১, ১৪৪, ১৬৯, ১৯৬} = মোট ১৪টি

∴ এক্ষেত্রে সম্ভাবনা = ১৪/২১০
= ১/১৫

১০,৭৯৮.

x² - x - 6 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের যোগফল কত?

ক
- 1
খ
2
গ
1
ঘ
- 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² - x - 6 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের যোগফল কত?

সমাধান:
x² - x - 6 = 0
বা, x² - 3x + 2x - 6 = 0
বা, x(x - 3) + 2(x - 3) = 0
বা, (x - 3)(x + 2) = 0

হয়
x - 3 = 0
x = 3

অথবা x + 2 = 0
x = - 2

মূলদ্বয়ের যোগফল = 3 + (- 2)
= 3 - 2 = 1

১০,৭৯৯.

একটি অধিবর্ষে (Leap Year) বছরে 52 রবিবার থাকার সম্ভাবনা কত?

ক
5/7
খ
4/7
গ
3/7
ঘ
4/9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি অধিবর্ষে (Leap Year) বছরে 52 রবিবার থাকার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
একটি লিপ ইয়ারে 52 টি রবিবার হওয়ার সম্ভাবনা বের করুন।

একটি লিপ ইয়ারে 52 টি রবিবার বা 53 টি রবিবার থাকতে পারে।

একটি লিপ ইয়ারে মোট 366 দিন থাকে, যার মধ্যে 52 টি পূর্ণ সপ্তাহ এবং অবশিষ্ট 2 দিন থাকে।

এখন এই দুইটি দিন হতে পারে:
(Sat, Sun)
(Sun, Mon)
(Mon, Tue)
(Tue, Wed)
(Wed, Thu)
(Thu, Fri)
(Fri, Sat)

সুতরাং মোট 7টি সম্ভাব্য কেস রয়েছে, যেগুলোর মধ্যে (Sat, Sun) এবং (Sun, Mon) দুটি অনুকূল কেস।

P(53 রবিবার) = 2/7

এখন,
P(52 রবিবার) + P(53 রবিবার) = 1
∴ P(52 রবিবার) = 1 - P(53 রবিবার) = 1 - 2/7 = 5/7

সুতরাং 52টি রবিবারের সম্ভাবনা = 5/7

১০,৮০০.

x = √6 + √5 হলে, x³ + 1/x³ এর মান কত?

ক
54√6
খ
42√6
গ
34√5
ঘ
46√5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x = √6 + √5 হলে, x³ + 1/x³ এর মান কত?

সমাধান:
x = √6 + √5
∴ 1/x = 1/(√6 + √5)
= (√6 - √5)/{(√6)² - (√5)²}
= (√6 - √5)/(6 - 5)
= √6 - √5

x + 1/x
= √6 + √5 + √6 - √5
= 2√6

x³ + 1/x³
= (x + 1/x)³ - 3.x.1/x(x + 1/x)
= (2√6)³ - 3. 2√6
= 48√6 - 6√6
= 42√6