১০,২০১.
১০০, ১১৬, ?, ১৯৬ শূন্যস্থানের সংখ্যাটি কত হবে?
ব্যাখ্যা
১০০ + ১৬ = ১১৬
১১৬ + ৩২ = ১৪৮
১৪৮ + ৪৮ = ১৯৬
১১৬ + ৩২ = ১৪৮
১৪৮ + ৪৮ = ১৯৬
PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন
বীজগণিত
বীজগণিত
PrepBank · পাতা ১০৩ / ২০১ · ১০,২০১–১০,৩০০ / ২০,২০৭
১০,২০২.
দুইটি সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 113 এবং সংখ্যা দুইটির গুণফল 56 হলে, সংখ্যা দুইটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 113 এবং সংখ্যা দুইটির গুণফল 56 হলে, সংখ্যা দুইটি কত?
সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যা দুটি x ও y
দেওয়া আছে,
x2 + y2 = 113
এবং xy = 56
আমরা জানি,
(x + y)2 = x2 + y2 + 2xy
বা, (x + y)2 = 113 + 2 × 56
বা, (x + y)2 = 113 + 112
বা, (x + y)2 = 225
বা, (x + y)2 = (15)2
∴ x + y = 15..............(1)
আবার,
(x - y)2 = x2 + y2 - 2xy
বা, (x - y)2 = 113 - 2 × 56
বা, (x - y)2 = 113 - 112
বা, (x - y)2 = 1
∴ x - y = 1 ................(2)
(1) + (2) নং হতে পাই,
x + y + x - y = 15 + 1
বা, 2x = 16
∴ x = 8
(1) সমীকরণে x -এর মান বসিয়ে পাই,
x + y = 15
বা, 8 + y = 15
বা, y = 15 - 8
∴ y = 7
∴ সংখ্যা দুইটি (x, y) = (8, 7)।
সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যা দুটি x ও y
দেওয়া আছে,
x2 + y2 = 113
এবং xy = 56
আমরা জানি,
(x + y)2 = x2 + y2 + 2xy
বা, (x + y)2 = 113 + 2 × 56
বা, (x + y)2 = 113 + 112
বা, (x + y)2 = 225
বা, (x + y)2 = (15)2
∴ x + y = 15..............(1)
আবার,
(x - y)2 = x2 + y2 - 2xy
বা, (x - y)2 = 113 - 2 × 56
বা, (x - y)2 = 113 - 112
বা, (x - y)2 = 1
∴ x - y = 1 ................(2)
(1) + (2) নং হতে পাই,
x + y + x - y = 15 + 1
বা, 2x = 16
∴ x = 8
(1) সমীকরণে x -এর মান বসিয়ে পাই,
x + y = 15
বা, 8 + y = 15
বা, y = 15 - 8
∴ y = 7
∴ সংখ্যা দুইটি (x, y) = (8, 7)।
১০,২০৩.
১৪, ১৬, ২১, ২৩, ২৬, ৩২
উপাত্তসমূহের মধ্যক কত?
উপাত্তসমূহের মধ্যক কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১৪, ১৬, ২১, ২৩, ২৬, ৩২
উপাত্তসমূহের মধ্যক কত?
সমাধান:
উপাত্তগুলোর মানের উর্ধবক্রম অনুসারে সাজিয়ে পাই,
১৪, ১৬, ২১, ২৩, ২৬, ৩২
যেহেতু এখানে জোড় সংখ্যক সংখ্যা রয়েছে। তাই মধ্যক হবে মাঝের দুইটি সংখ্যার গড়।
∴ মধ্যক = (২১ + ২৩)/২
= ৪৪/২
= ২২
অতএব, ১৪, ১৬, ২১, ২৩, ২৬, ৩২ উপাত্তগুলোর মধ্যক হলো ২২।
উপাত্তসমূহের মধ্যক কত?
সমাধান:
উপাত্তগুলোর মানের উর্ধবক্রম অনুসারে সাজিয়ে পাই,
১৪, ১৬, ২১, ২৩, ২৬, ৩২
যেহেতু এখানে জোড় সংখ্যক সংখ্যা রয়েছে। তাই মধ্যক হবে মাঝের দুইটি সংখ্যার গড়।
∴ মধ্যক = (২১ + ২৩)/২
= ৪৪/২
= ২২
অতএব, ১৪, ১৬, ২১, ২৩, ২৬, ৩২ উপাত্তগুলোর মধ্যক হলো ২২।
১০,২০৪.
x − 1/x = 3 হলে x4 + 1/x4 এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x − 1/x = 3 হলে x4 + 1/x4 এর মান কত?
সমাধান:
x4 + 1/x4
= (x2)2 + (1/x2)2
= (x2 + 1/x2)2 − 2 . x2. 1/x2
= {(x − 1/x)2 + 2 . x . 1/x}2 − 2
= {(3)2 + 2)2 − 2
= (9 + 2)2 − 2
= (11)2 − 2
= 121 − 2
= 119
১০,২০৫.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 অঙ্কগুলি প্রত্যেক সংখ্যায় কেবল একবার ব্যবহার করে 5 অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলি জোড় সংখ্যা গঠন করা যাবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 অঙ্কগুলি প্রত্যেক সংখ্যায় কেবল একবার ব্যবহার করে 5 অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলি জোড় সংখ্যা গঠন করা যাবে?
সমাধান:
জোড় সংখ্যা গঠনের জন্য শেষ সংখ্যা 0, 2, 4, 6 এর যে কোন একটি হতে হবে।
5 অঙ্কবিশিষ্ট জোড় সংখ্যা = 4C1 × 7C4 × 4!
= 4 × 35 × 24
= 3360
প্রথম অঙ্কটি শূন্য এমন 5 অঙ্কবিশিষ্ট জোড় সংখ্যা = 3C1 × 6C3 × 3!
= 3 × 20 × 6
= 360
প্রথম অঙ্কটি শূন্য হলে তা মূলত চার অঙ্কের হয়ে যায়।
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 অঙ্কগুলি প্রত্যেক সংখ্যায় কেবল একবার ব্যবহার করে 5 অঙ্কবিশিষ্ট জোড় সংখ্যা গঠন করা যাবে
= 3360 - 360
= 3000
সমাধান:
জোড় সংখ্যা গঠনের জন্য শেষ সংখ্যা 0, 2, 4, 6 এর যে কোন একটি হতে হবে।
5 অঙ্কবিশিষ্ট জোড় সংখ্যা = 4C1 × 7C4 × 4!
= 4 × 35 × 24
= 3360
প্রথম অঙ্কটি শূন্য এমন 5 অঙ্কবিশিষ্ট জোড় সংখ্যা = 3C1 × 6C3 × 3!
= 3 × 20 × 6
= 360
প্রথম অঙ্কটি শূন্য হলে তা মূলত চার অঙ্কের হয়ে যায়।
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 অঙ্কগুলি প্রত্যেক সংখ্যায় কেবল একবার ব্যবহার করে 5 অঙ্কবিশিষ্ট জোড় সংখ্যা গঠন করা যাবে
= 3360 - 360
= 3000
১০,২০৬.
যদি (a + 3)2 = 225 হয় তবে (a + 1) এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি (a + 3)2 = 225 হয় তবে (a + 1) এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
(a + 3)2 = 225
বা, (a + 3)2 = 152
বা, a + 3 = 15
বা, a = 15 - 3
∴ a = 12
∴ a + 1 = 12 + 1 = 13
সমাধান:
দেওয়া আছে,
(a + 3)2 = 225
বা, (a + 3)2 = 152
বা, a + 3 = 15
বা, a = 15 - 3
∴ a = 12
∴ a + 1 = 12 + 1 = 13
১০,২০৭.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:
সমাধান:
= {(a3)1/3}1/3
= a1/3
সমাধান:
= {(a3)1/3}1/3
= a1/3
১০,২০৮.
উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন: 2x2 - 5x - 3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন- উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন: 2x2 - 5x - 3
সমাধান-
2x2 - 5x - 3
= 2x2 - 6x + x - 3
= 2x (x - 3) + 1(x - 3)
= (2x + 1) (x - 3)
সমাধান-
2x2 - 5x - 3
= 2x2 - 6x + x - 3
= 2x (x - 3) + 1(x - 3)
= (2x + 1) (x - 3)
১০,২০৯.
p + q = 5 এবং p - q = 3 হলে, p2 + q2 এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: p + q = 5 এবং p - q = 3 হলে, p2 + q2 এর মান কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
2 (p2 + q2) = (p + q)2 + (p - q)2
বা, (p2 + q2) = {(p + q)2 + (p - q)2}/2
= {(5)2 + (3)2}/2
= (25 + 9)/2
= 34/2
= 17
সমাধান:
আমরা জানি,
2 (p2 + q2) = (p + q)2 + (p - q)2
বা, (p2 + q2) = {(p + q)2 + (p - q)2}/2
= {(5)2 + (3)2}/2
= (25 + 9)/2
= 34/2
= 17
১০,২১০.
xy - y, x3y - xy, x2 - 2x + 1 রাশিগুলোর গ.সা.গু নির্ণয় করুন।
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: xy - y, x3y - xy, x2 - 2x + 1 রাশিগুলোর গ.সা.গু নির্ণয় করুন।
সমাধান:
১ম রাশি = xy - y
= y(x - 1)
২য় রাশি = x3y - xy
= xy(x2 - 1)
= xy(x + 1)(x - 1)
৩য় রাশি = x2 - 2x + 1
= (x - 1)2
= (x - 1)(x - 1)
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = (x - 1)
সমাধান:
১ম রাশি = xy - y
= y(x - 1)
২য় রাশি = x3y - xy
= xy(x2 - 1)
= xy(x + 1)(x - 1)
৩য় রাশি = x2 - 2x + 1
= (x - 1)2
= (x - 1)(x - 1)
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = (x - 1)
১০,২১১.
১ - [৫ - {২ + (- ৫ + ৬ - ২)২}]-এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১ - [৫ - {২ + (- ৫ + ৬ - ২)২}] - এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ - [৫ - {২ + (- ৫ + ৬ - ২)২}]
= ১ - [৫ - {২ + (- ১)২}]
= ১ - [৫ - {২ - ২}]
= ১ - [৫ - ০]
= ১ - ৫
= - ৪
১০,২১২.
1থেকে 17 পর্যন্ত (সংখ্যা 2টি সহ) সংখ্যাগুলোর মধ্যে একটি মৌলিক সংখ্যা নির্বাচনের সম্ভাব্যতা কত?
ব্যাখ্যা
1 থেকে 17 পর্যন্ত মোট সংখ্যা 17টি
1 থেকে 17 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা 6টি। যথা- 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17
নির্নেয় সম্ভব্যতা = মৌলিক সংখ্যা / সর্বমোট সংখ্যা =7/17
1 থেকে 17 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা 6টি। যথা- 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17
নির্নেয় সম্ভব্যতা = মৌলিক সংখ্যা / সর্বমোট সংখ্যা =7/17
১০,২১৩.
13 + 23 + 33 + ............ + 243 = কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 13 + 23 + 33 + ............ + 243 = কত?
সমাধান:
এখানে, শেষ পদ n = 24
আমরা জানি, প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টির সূত্র,
Sn = {n(n + 1)/2}2
⇒ S24 = {24(24 + 1)/2}2
⇒ S24 = {24 × 25/2}2
⇒ S24 = (12 × 25)2
⇒ S24 = (300)2
∴ S24 = 90000
∴ ধারাটির সমষ্টি হলো 90000
১০,২১৪.
যদি ∇ = {z : z স্বাভাবিক সংখ্যা যা 3 ও 5 দ্বারা বিভাজ্য এবং z < 90} হয় তবে P(∇) এর সদস্য সংখ্যা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি ∇ = {z : z স্বাভাবিক সংখ্যা যা 3 ও 5 দ্বারা বিভাজ্য এবং z < 90} হয় তবে P(∇) এর সদস্য সংখ্যা কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
∇ = {z : z স্বাভাবিক সংখ্যা যা 3 ও 5 দ্বারা বিভাজ্য এবং z < 90}
3 ও 5 এর লসাগু = 15
90 অপেক্ষা ছোট 3 ও 5 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো হলো: 15, 30, 45, 60, 75 = 5 টি
90 অপেক্ষা ছোট 3 ও 5 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো হলো: 15, 30, 45, 60, 75 = 5 টি
∴ P(∇) এর সদস্য সংখ্যা = 25
= 32 টি
= 32 টি
১০,২১৫.
1/2, 2/3, 3/4 ....... ধারাটির n তম পদ-
ব্যাখ্যা
1, 2, 3 ...... ধারার n তম পদ = 1 + (n - 1)1 = n
2, 3, 4 ...... ধারার n তম পদ = 2 + (n - 1)1 = n + 1
∴ 1/2, 2/3, 3/4 ...... ধারার n তম পদ = n/(n + 1)
১০,২১৬.
x2- 3x + 1 = 0 হলে (x2 - 1/x2) এর মান কত?
ব্যাখ্যা
x2 - 3x+1 = 0
∴ x + 1/x = 3
এবং x - 1/x = √5
এখন,
x2 - 1/x2
= (x + 1/x) (x - 1/x)
= 3√5
১০,২১৭.
MONDAY শব্দটির সবগুলো অক্ষর নিয়ে কতটি শব্দ গঠন করা যাবে যার প্রথমে M থাকবে কিন্তু শেষে Y থাকবে না?
ব্যাখ্যা
MONDAY শব্দটিতে ৬ টি অক্ষর আছে। প্রথমে M রেখে বিন্যাস সংখ্যা 5! = 120
এবং প্রথমে M এবং শেষে Y রেখে বিন্যাস সংখ্যা 4! = 24
প্রথমে M থাকবে কিন্তু শেষে Y থাকবে না এমন
শব্দের বিন্যাস সংখ্যা (120 - 24) বা 96
১০,২১৮.
A = { x : x বাস্তব সংখ্যা এবং x2 < 0} হলে, সেটটির তালিকা পদ্ধতি কোনটি?
ব্যাখ্যা
A = { x : x বাস্তব সংখ্যা এবং x2 < 0} হলে, সেটটির তালিকা পদ্ধতি ফাঁকা সেট।
কারণ কোনো বাস্তব সংখ্যার বর্গ ঋণাত্মক হতে পারে না।
কারণ কোনো বাস্তব সংখ্যার বর্গ ঋণাত্মক হতে পারে না।
১০,২১৯.
x + y = 10 , x - y = 4 হলে, x2 + y2 এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + y = 10 , x - y = 4 হলে, x2 + y2 এর মান কত?
সমধান:
দেওয়া আছে, x + y = 10 x - y = 4
আমরা জানি,
2(x2 + y2) = (x + y)2 + (x - y)2
⇒ 2(x2 + y2) = 102 + 42
⇒ 2(x2 + y2) = 100 + 16
⇒ 2(x2 + y2) = 116
⇒ x2 + y2 = 116/2
∴ x2 + y2 = 58
১০,২২০.
প্রদত্ত ভেনচিত্রে, যদি A ∩ B = B ∩ C হয়, তবে x এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রদত্ত ভেনচিত্রে, যদি A ∩ B = B ∩ C হয়, তবে x এর মান কত?
সমাধান:
A ∩ B = x
B ∩ C = 4
A ∩ B = B ∩ C
x = 4
সমাধান:
A ∩ B = x
B ∩ C = 4
A ∩ B = B ∩ C
x = 4
১০,২২১.
যদি 3(x - y) = 27 এবং 3(x + y) = 243 হয়, x এর মান কত?
ব্যাখ্যা
3(x - y) = 27
3(x - y) = 33
x - y = 3 ........ (1)
3(x + y) = 243
3(x + y) = 35
x + y = 5......... (2)
(1) নং+ (2)নং ⇒
x - y + x + y= 3 + 5
2x = 8
x = 8/2
x = 4
3(x - y) = 33
x - y = 3 ........ (1)
3(x + y) = 243
3(x + y) = 35
x + y = 5......... (2)
(1) নং+ (2)নং ⇒
x - y + x + y= 3 + 5
2x = 8
x = 8/2
x = 4
১০,২২২.
a - {a - (a + 1)} = কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a - {a - (a + 1)} = কত?
সমাধান:
a - {a - (a + 1)}
= a - {a - a - 1}
= a - { - 1}
= a + 1
সমাধান:
a - {a - (a + 1)}
= a - {a - a - 1}
= a - { - 1}
= a + 1
১০,২২৩.
3x + 2y = 7, x - y = - 1 হলে, xy =কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3x + 2y = 7, x - y = -1 হলে, xy = কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
3x + 2y = 7 .....(i)
x - y = - 1 ......(ii)
(ii) নং সমীকরণকে 2 দ্বারা গুণ করে, (i) নং সমীকরণের সাথে যোগ করে পাই-
3x + 2y + 2x - 2y = 7 - 2
বা, 5x = 5
∴ x = 1
এখন, (ii) নং সমীকরণে x-এর মান বসিয়ে পাই-
1 - y = - 1
বা, - y = - 1 - 1
বা, - y = - 2
∴ y = 2
∴ xy = 1 × 2
= 2
সমাধান:
দেওয়া আছে,
3x + 2y = 7 .....(i)
x - y = - 1 ......(ii)
(ii) নং সমীকরণকে 2 দ্বারা গুণ করে, (i) নং সমীকরণের সাথে যোগ করে পাই-
3x + 2y + 2x - 2y = 7 - 2
বা, 5x = 5
∴ x = 1
এখন, (ii) নং সমীকরণে x-এর মান বসিয়ে পাই-
1 - y = - 1
বা, - y = - 1 - 1
বা, - y = - 2
∴ y = 2
∴ xy = 1 × 2
= 2
১০,২২৪.
loga(xn/yn) + loga(yn/zn) + loga(zn/xn) = কত
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: loga(xn/yn) + loga(yn/zn) + loga(zn/xn) = কত
সমাধান:
loga(xn/yn) + loga(yn/zn) + loga(zn/xn)
= loga(xn - yn) + loga(yn - zn) + loga(zn - xn)
= logaxn - logayn + logayn - logazn + logazn - logaxn
= 0
loga(x/y)
সমাধান:
loga(xn/yn) + loga(yn/zn) + loga(zn/xn)
= loga(xn - yn) + loga(yn - zn) + loga(zn - xn)
= logaxn - logayn + logayn - logazn + logazn - logaxn
= 0
loga(x/y)
১০,২২৫.
4 + 8 +16 +......... ধারাটির 10তম পদ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 4 + 8 +16 +......... ধারাটির 10তম পদ কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রদত্ত ধারাটির প্রথম পদ, a = 4,
সাধারণ অনুপাত, r = 8/4 = 16/8 = 2, সুতরাং প্রদত্ত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = ar(n-1)
সুতরাং ধারাটির 10 তম পদ = 4×2(10-1)
= 22×29
= 211
= 2048
সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রদত্ত ধারাটির প্রথম পদ, a = 4,
সাধারণ অনুপাত, r = 8/4 = 16/8 = 2, সুতরাং প্রদত্ত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = ar(n-1)
সুতরাং ধারাটির 10 তম পদ = 4×2(10-1)
= 22×29
= 211
= 2048
১০,২২৬.
12x2 - 13x + 3 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ হলো-
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 12x2 - 13x + 3 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ হলো-
সমাধান:
12x2 - 13x + 3
= 12x2 - 9x - 4x + 3
= 3x(4x - 3) - 1(4x - 3)
= (4x - 3)(3x - 1)
সমাধান:
12x2 - 13x + 3
= 12x2 - 9x - 4x + 3
= 3x(4x - 3) - 1(4x - 3)
= (4x - 3)(3x - 1)
১০,২২৭.
৪ + ৭ + ১০ + ...... + ৬৭ ধারাটির পদসংখ্যা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৪ + ৭ + ১০ + ...... + ৬৭ ধারাটির পদসংখ্যা কত?
সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ = ৪
শেষ পদ = ৬৭
সাধারন অন্তর = ৭ - ৪ = ৩
∴ পদসংখ্যা = {( শেষ পদ - প্রথম পদ )/ সাধারন অন্তর } + ১
= {(৬৭ - ৪)/৩} + ১
= ২১ + ১
= ২২
সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ = ৪
শেষ পদ = ৬৭
সাধারন অন্তর = ৭ - ৪ = ৩
∴ পদসংখ্যা = {( শেষ পদ - প্রথম পদ )/ সাধারন অন্তর } + ১
= {(৬৭ - ৪)/৩} + ১
= ২১ + ১
= ২২
১০,২২৮.
যদি B = {x : x হলো 6, 8 দ্বারা বিভাজ্য এবং x < 100} হয় তবে P(B) এর সদস্য সংখ্যা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি B = {x : x হলো 6, 8 দ্বারা বিভাজ্য এবং x < 100} হয় তবে P(B) এর সদস্য সংখ্যা কত?
সমাধান:
x যদি 6 এবং 8 উভয় দ্বারা বিভাজ্য হয়, তাহলে x অবশ্যই 6 এবং 8 এর লসাগু দ্বারা বিভাজ্য হবে।
6 এবং 8 এর লসাগু = 24
এখন, 100 এর চেয়ে ছোট যেসব সংখ্যা 24 দ্বারা বিভাজ্য:
24, 48, 72, 96
সুতরাং, B = {24, 48, 72, 96}
∴ n(B) = 4
আমরা জানি,
যদি কোনো সেটে n সংখ্যক সদস্য থাকে, তবে তার পাওয়ার সেট P(B) এর সদস্য সংখ্যা = 2n
∴ P(B) এর সদস্য সংখ্যা = 24 = 16
১০,২২৯.
চারটি নিরপেক্ষ মুদ্রা একত্রে নিক্ষেপ করা হলে একটি হেড ও তিনটি টেল পাওয়ার সম্ভাবনা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: চারটি নিরপেক্ষ মুদ্রা একত্রে নিক্ষেপ করা হলে একটি হেড ও তিনটি টেল পাওয়ার সম্ভাবনা কত?
সমাধান:
চারটি নিরপেক্ষ মুদ্রা একবার নিক্ষেপ করলে মোট নমুনা বিন্দু হবে = {HHHH, HHHT, HHTH, HHTT, HTHH, HTHT, HTTH, HTTT, THHH, THHT, THTH, THTT, TTHH, TTHT, TTTH, TTTT}
= 16 টি
তিনটি টেল ও একটি হেড পাওয়ার অনুকূল ঘটনাগুলো = {HTTT, THTT, TTHT, TTTH}
= 4 টি।
∴ একটি হেড ও তিনটি টেল পাওয়ার সম্ভাবনা = 4/16 = 1/4
সমাধান:
চারটি নিরপেক্ষ মুদ্রা একবার নিক্ষেপ করলে মোট নমুনা বিন্দু হবে = {HHHH, HHHT, HHTH, HHTT, HTHH, HTHT, HTTH, HTTT, THHH, THHT, THTH, THTT, TTHH, TTHT, TTTH, TTTT}
= 16 টি
তিনটি টেল ও একটি হেড পাওয়ার অনুকূল ঘটনাগুলো = {HTTT, THTT, TTHT, TTTH}
= 4 টি।
∴ একটি হেড ও তিনটি টেল পাওয়ার সম্ভাবনা = 4/16 = 1/4
১০,২৩০.
a2 + b2 = 5 এবং a2 - b2 = 3 হলে, a4 + b4 = ?
ব্যাখ্যা
2(a4 + b4) = 2[(a2)2 + (b2)2]
= [(a2+b2)2 + (a2 - b2)2]
= (52 + 32)
বা, 2(a4+b4) = (25 + 9)
বা, 2(a4 + b4) = 34
∴ a4 + b4 = 17
১০,২৩১.
একটি অনুষ্ঠানে কিছু লোক উপস্থিত ছিল। তারা কেবল একজন মাত্র একজনের সাথে একবার করমর্দন করতে পারে। যদি মোট করমর্দনের সংখ্যা 210টি হয়, তবে মোট কতজন উপস্থিত ছিল?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি অনুষ্ঠানে কিছু লোক উপস্থিত ছিল। তারা কেবল একজন মাত্র একজনের সাথে একবার করমর্দন করতে পারে। যদি মোট করমর্দনের সংখ্যা 210টি হয়, তবে মোট কতজন উপস্থিত ছিল?
সমাধান:
মনে করি,
মোট উপস্থিত = n জন
মোট করমর্দন = nC2
প্রশ্নমতে,
nC2 = 210
⇒ n!/(n - 2)! 2! = 210
⇒ n(n - 1)/1 × 2 = 210
⇒ n2 - n = 420
⇒ n2 - n - 420 = 0
⇒ n2 - 21n + 20n - 420 = 0
⇒ n(n - 21) + 20(n - 21) = 0
⇒ (n - 21) (n + 20) = 0
হয়, n - 21 = 0
∴ n = 21
অথবা, n + 20 = 0
∴ n = - 20
যা গ্রহণযোগ্য নয়। কেননা জনসংখ্যা কখনও ঋণাত্বক হতে পারে না।
∴ মোট উপস্থিত 21 জন।
সমাধান:
মনে করি,
মোট উপস্থিত = n জন
মোট করমর্দন = nC2
প্রশ্নমতে,
nC2 = 210
⇒ n!/(n - 2)! 2! = 210
⇒ n(n - 1)/1 × 2 = 210
⇒ n2 - n = 420
⇒ n2 - n - 420 = 0
⇒ n2 - 21n + 20n - 420 = 0
⇒ n(n - 21) + 20(n - 21) = 0
⇒ (n - 21) (n + 20) = 0
হয়, n - 21 = 0
∴ n = 21
অথবা, n + 20 = 0
∴ n = - 20
যা গ্রহণযোগ্য নয়। কেননা জনসংখ্যা কখনও ঋণাত্বক হতে পারে না।
∴ মোট উপস্থিত 21 জন।
১০,২৩২.
Q = {x ∈ N : x3 < 216} হলে, Q সেটের উপাদান সংখ্যা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: Q = {x ∈ N : x3 < 216} হলে, Q সেটের উপাদান সংখ্যা কত?
সমাধান:
এখানে
N = স্বাভাবিক সংখ্যার সেট
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,......}
ধরি,
Q = {x ∈ N : x3 < 216}
এখন,
x = 1 হলে, 13 = 1 < 216
x = 2 হলে, 23 = 8 < 216
x = 3 হলে, 33 = 27 < 216
x = 4 হলে, 43 = 64 < 216
x = 5 হলে, 53 = 125 < 216
x = 6 হলে, 63 = 216 < 216 ; যা সত্য নয় ।
নির্ণেয় সেট Q = {1, 2, 3, 4, 5}
∴ Q সেটের উপাদান সংখ্যা = 5
১০,২৩৩.
শুভ্রর বর্তমান বয়স অভ্রুর দ্বিগুণ। তিন বৎসর পূর্বে শুভ্রর বয়স অভ্রুর বয়সের তিনগুণ ছিল। শুভ্রর বর্তমান বয়স কত?
ব্যাখ্যা
ধরি, অভ্রুর বর্তমান বয়স x বছর।
সুতরাং, শুভ্রর বর্তমান বয়স 2x বছর।
প্রশ্নমতে, (2x - 3) = 3(x - 3)
⇒ 2x - 3 = 3x - 9
⇒ x = 6
শুভ্রর বর্তমান বয়স = 2×6 = 12
সুতরাং, শুভ্রর বর্তমান বয়স 2x বছর।
প্রশ্নমতে, (2x - 3) = 3(x - 3)
⇒ 2x - 3 = 3x - 9
⇒ x = 6
শুভ্রর বর্তমান বয়স = 2×6 = 12
১০,২৩৪.
(ax/ay)z . (ay/az)x . (az/ax)y = ?
ব্যাখ্যা
(ax/ay)z . (ay/az)x . (az/ax)y
= (axz/ayz) . (axy/axz) . (ayz/axy)
= axz - yz + xy - xz + yz - xy
= a0
= 1
= (axz/ayz) . (axy/axz) . (ayz/axy)
= axz - yz + xy - xz + yz - xy
= a0
= 1
১০,২৩৫.
x + y = 12, x - y = 2 হলে, x2 + y2 এর মান-
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + y = 12, x - y = 2 হলে, x2 + y2 এর মান-
সমধান:
x + y = 12
x - y = 2
2(x2 + y2) = (x + y)2 + (x - y)2
2(x2 + y2) = 122 + 22
2(x2 + y2) = 144 + 4
2(x2 + y2)= 148
x2 + y2 = 74
সমধান:
x + y = 12
x - y = 2
2(x2 + y2) = (x + y)2 + (x - y)2
2(x2 + y2) = 122 + 22
2(x2 + y2) = 144 + 4
2(x2 + y2)= 148
x2 + y2 = 74
১০,২৩৬.
2q2 + 5q + 4 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি নিচের কোনটি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2q2 + 5q + 4 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি নিচের কোনটি?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
2q2 + 5q + 4 = 0
সমীকরণটিকে aq2 + bq + c = 0 এর সাথে তুলনা করে পাই,
a = 2, b = 5, এবং c = 4
∴ সমীকরণের নিশ্চায়ক (Discriminant), D = b2 - 4ac
⇒ D = (5)2 - 4 × 2 × 4
⇒ D = 25 - 32
⇒ D = - 7
যেহেতু, (D < 0), তাই সমীকরণটির মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে।
দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি:
১. যদি D < 0 হয়, তবে মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে।
২. যদি D = 0 হয়, তবে মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
৩. যদি D > 0 হয়, তবে মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
৪. যদি D > 0 এবং D পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয়, তবে মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে।
১০,২৩৭.
3x2 + 11x - 4 একটি উৎপাদক (x + 4) হলে, অপরটি হবে-
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3x2 + 11x - 4 একটি উৎপাদক (x + 4) হলে, অপরটি হবে-
সমাধান:
3x2 + 11x - 4
3x2 + 12x - x - 4
3x(x + 4) - 1(x + 4)
(x + 4)(3x - 1)
সমাধান:
3x2 + 11x - 4
3x2 + 12x - x - 4
3x(x + 4) - 1(x + 4)
(x + 4)(3x - 1)
১০,২৩৮.
যদি x = y = 2z এবং xyz = 256 হয়, তবে y = কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি x = y = 2z এবং xyz = 256 হয়, তবে y = কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = y = 2z
xyz = 256
⇒ y . y . (y/2) = 256
⇒ y3 = 256 × 2
⇒ y3 = 512
∴ y = 8
সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = y = 2z
xyz = 256
⇒ y . y . (y/2) = 256
⇒ y3 = 256 × 2
⇒ y3 = 512
∴ y = 8
১০,২৩৯.
a2 + b2 = 4 এবং a2 - b2 = - 4 হলে, a4 + b4 এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a2 + b2 = 4 এবং a2 - b2 = - 4 হলে, a4 + b4 এর মান কত?
সমাধান:
a2 + b2 = 4 .......... (1)
a2 - b2 = - 4 ........ (2)
(1) + (2) নং ⇒
a2 + b2 + a2 - b2 = 4 - 4
⇒ 2a2 = 0
⇒ a2 = 0
∴ a = 0
আবার, a2 + b2 = 4
⇒ 0 + b2 = 4
⇒ b2 = 4
∴ b = 2
অতএব, a4 + b4 = 04 + 24 = 16
সমাধান:
a2 + b2 = 4 .......... (1)
a2 - b2 = - 4 ........ (2)
(1) + (2) নং ⇒
a2 + b2 + a2 - b2 = 4 - 4
⇒ 2a2 = 0
⇒ a2 = 0
∴ a = 0
আবার, a2 + b2 = 4
⇒ 0 + b2 = 4
⇒ b2 = 4
∴ b = 2
অতএব, a4 + b4 = 04 + 24 = 16
১০,২৪০.
logxy4 = 4a এবং logyx3 = 3b হলে, ab = কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: logxy4 = 4a এবং logyx3 = 3b হলে, ab = কত?
সমাধান:
logxy4 = 4a
⇒ 4logxy = 4a
⇒ logxy = a ......(1)
আবার,
logyx3 = 3b
⇒ 3logyx = 3b
⇒ logyx = b .......(2)
আমরা জানি,
logxy × logyx = 1
∴ ab = a × b
= logxy × logyx
= 1
১০,২৪১.
একজন লোকের কুমিল্লা হতে ঢাকায় বাসে যাওয়ার সম্ভাবনা ৫/৭ এবং ঢাকা থেকে রাজশাহী ট্রেনে যাওয়ার সম্ভবনা ৫/৮। লোকটি ঢাকায় বাসে না যাওয়ার এবং রাজশাহী ট্রেনে যাওয়ার সম্ভাবনা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একজন লোকের কুমিল্লা হতে ঢাকায় বাসে যাওয়ার সম্ভাবনা ৫/৭ এবং ঢাকা থেকে রাজশাহী ট্রেনে যাওয়ার সম্ভবনা ৫/৮। লোকটি ঢাকায় বাসে না যাওয়ার এবং রাজশাহী ট্রেনে যাওয়ার সম্ভাবনা কত?
সমাধান:
কুমিল্লা হতে ঢাকায় বাসে যাওয়ার সম্ভাবনা ৫/৭
কুমিল্লা হতে ঢাকায় বাসে না যাওয়ার সম্ভাবনা ১ - (৫/৭) = ২/৭
ঢাকা থেকে রাজশাহী ট্রেনে যাওয়ার সম্ভবনা ৫/৮
∴ ঢাকায় বাসে না যাওয়ার এবং রাজশাহী ট্রেনে যাওয়ার সম্ভাবনা (২/৭) × (৫/৮)
= ১০/৫৬
= ৫/২৮
সমাধান:
কুমিল্লা হতে ঢাকায় বাসে যাওয়ার সম্ভাবনা ৫/৭
কুমিল্লা হতে ঢাকায় বাসে না যাওয়ার সম্ভাবনা ১ - (৫/৭) = ২/৭
ঢাকা থেকে রাজশাহী ট্রেনে যাওয়ার সম্ভবনা ৫/৮
∴ ঢাকায় বাসে না যাওয়ার এবং রাজশাহী ট্রেনে যাওয়ার সম্ভাবনা (২/৭) × (৫/৮)
= ১০/৫৬
= ৫/২৮
১০,২৪২.
9x/2y এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল 2y/x হবে?
ব্যাখ্যা
মনে করি রাশিটি ক
ক + 9x/2y = 2y/x
ক = 2y/x - 9x/2y
ক = ( 4y² - 9x² )/2xy
ক = (( 2y )² - ( 3x )²)/2xy
১০,২৪৩.
a + b = 7 এবং a2 + b2 = 25 হলে, a3 + b3 এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = 7 এবং a2 + b2 = 25 হলে, a3 + b3 এর মান কত?
সমাধান:
a2 + b2 = 25
⇒ (a + b)2 - 2ab = 25
⇒ 72 - 2ab = 25
⇒ - 2ab = 25 - 49
⇒ 2ab = 24
∴ ab = 12
এখন,
a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab (a + b)
= (7)3 - 3 × 12 × 7
= 343 - 252
= 91
১০,২৪৪.
n সংখ্যক উপাদান রয়েছে এমন একটি সেটের মোট কতগুলো উপসেট থাকতে পারে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: n সংখ্যক উপাদান রয়েছে এমন একটি সেটের মোট কতগুলো উপসেট থাকতে পারে?
সমাধান:
আমরা জানি,
n উপাদানবিশিষ্ট একটি প্রদত্ত সেটের উপসেটের সংখ্যা = 2n
উদাহরণ, যদি কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা, n = 4 হয়,
তাহলে, প্রদত্ত সেটের উপসেটের সংখ্যা = 2n
= 24
= 16
১০,২৪৫.
x2 + 4x - 21 > 0 অসমতাটির সমাধান কোনটি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 + 4x - 21 > 0 অসমতাটির সমাধান কোনটি?
সমাধান: x2 + 4x - 21 > 0
⇒ x2 + 7x - 3x - 21 > 0
⇒ x(x + 7) - 3(x + 7) > 0
⇒ (x + 7)(x - 3) > 0
এই অসমতার সমাধান বিন্দু দুটি হলো x = - 7 এবং x = 3
(x + 7)(x - 3) > 0 এর গুণফল ধনাত্মক হয়, যখন উভয় উৎপাদকই ধনাত্মক (অর্থাৎ x > 3) অথবা উভয় উৎপাদকই ঋণাত্মক (অর্থাৎ x < - 7)।
অর্থাৎ, x < - 7 অথবা x > 3।
ব্যবধি আকারে লিখলে হয়: (- ∞, - 7) ∪ (3, ∞)
১০,২৪৬.
x2 - 2ax + (a + b)(a - b) এর উৎপাদক কোনটি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - 2ax + (a + b) (a - b) এর উৎপাদক কোনটি?
সমাধান:
x2 - 2ax + (a + b)(a - b)
= x2 - 2ax + a2 - b2
= (x - a)2 - b2
= (x - a - b)(x - a + b)
∴ নির্ণেয় উৎপাদক = (x - a - b)(x - a + b).
সমাধান:
x2 - 2ax + (a + b)(a - b)
= x2 - 2ax + a2 - b2
= (x - a)2 - b2
= (x - a - b)(x - a + b)
∴ নির্ণেয় উৎপাদক = (x - a - b)(x - a + b).
১০,২৪৭.
{a + (1/a)}2 = 3 হলে, (a6 + 1)/a3 এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: {a + (1/a)}2 = 3 হলে, (a6 + 1)/a3 এর মান কত?
সমাধান:
{a + (1/a)}2 = 3
∴ {a + (1/a)} = √3
এখন,
(a6 + 1)/a3
= (a6/a3) + (1/a3)
= a3 + (1/a3)
= {a + (1/a)}3 - 3 ⋅ a ⋅ (1/a) ⋅ {a + (1/a)}
= (√3)3 - 3√3
= 3√3 - 3√3
= 0
সমাধান:
{a + (1/a)}2 = 3
∴ {a + (1/a)} = √3
এখন,
(a6 + 1)/a3
= (a6/a3) + (1/a3)
= a3 + (1/a3)
= {a + (1/a)}3 - 3 ⋅ a ⋅ (1/a) ⋅ {a + (1/a)}
= (√3)3 - 3√3
= 3√3 - 3√3
= 0
১০,২৪৮.
একটি থলিতে ১২০টি মুদ্রা আছে, যার মধ্যে কিছু ১ টাকার এবং কিছু ২ টাকার। যদি মোট টাকার পরিমাণ ১৮০ টাকা হয়, তবে ১ টাকার মুদ্রার সংখ্যা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন একটি থলিতে ১২০টি মুদ্রা আছে, যার মধ্যে কিছু ১ টাকার এবং কিছু ২ টাকার। যদি মোট টাকার পরিমাণ ১৮০ টাকা হয়, তবে ১ টাকার মুদ্রার সংখ্যা কত?
সমাধান:
মনে করি ১ টাকার মুদ্রা সংখ্যা x এবং ২ টাকার মুদ্রা সংখ্যা y। তাহলে,
x + y = ১২০ --- (১)
x + 2y = ১৮০ --- (২)
(২) থেকে (১) বিয়োগ করে পাই,
y = ৬০
সুতরাং, x = ১২০ - ৬০ = ৬০ টি
সমাধান:
মনে করি ১ টাকার মুদ্রা সংখ্যা x এবং ২ টাকার মুদ্রা সংখ্যা y। তাহলে,
x + y = ১২০ --- (১)
x + 2y = ১৮০ --- (২)
(২) থেকে (১) বিয়োগ করে পাই,
y = ৬০
সুতরাং, x = ১২০ - ৬০ = ৬০ টি
১০,২৪৯.
আবহাওয়া অফিসের রিপোর্ট অনুযায়ী-2025 সালের জানুয়ারি মাসের ২য় সপ্তাহে বৃষ্টি হয়েছে মোট 3 দিন। ঐ সপ্তাহে শনিবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: আবহাওয়া অফিসের রিপোর্ট অনুযায়ী-2025 সালের জানুয়ারি মাসের ২য় সপ্তাহে বৃষ্টি হয়েছে মোট 3 দিন। ঐ সপ্তাহে শনিবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা কত?
সমাধান:
20২5 সালের জানুয়ারি মাসের ২য় সপ্তাহে মোট 7 দিন।
যার মধ্যে বৃষ্টি হয়েছিল 3 দিন।
শনিবার বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা = 3/7
শনিবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা = 1 - (3/7)
=(7 - 3)/7
= 4/7
সমাধান:
20২5 সালের জানুয়ারি মাসের ২য় সপ্তাহে মোট 7 দিন।
যার মধ্যে বৃষ্টি হয়েছিল 3 দিন।
শনিবার বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা = 3/7
শনিবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা = 1 - (3/7)
=(7 - 3)/7
= 4/7
১০,২৫০.
কোনো ক্লাসে ২৫০ জন শিক্ষার্থীর মধ্যে কোনো পরীক্ষায় ১৫০ জন পদার্থবিজ্ঞানে, ১৭০ জন রসায়নে এবং ১২০ জন উভয় বিষয়ে পাস করেছে। তাহলে কতজন শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো ক্লাসে ২৫০ জন শিক্ষার্থীর মধ্যে কোনো পরীক্ষায় ১৫০ জন পদার্থবিজ্ঞানে, ১৭০ জন রসায়নে এবং ১২০ জন উভয় বিষয়ে পাস করেছে। তাহলে কতজন শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে?
সমাধান:
মোট শিক্ষার্থী = ২৫০ জন
শুধুমাত্র পদার্থবিজ্ঞানে পাস করেছে = (১৫০ - ১২০) জন = ৩০ জন
শুধুমাত্র রসায়নে পাস করেছে = (১৭০ - ১২০) জন = ৫০ জন
যেকোনো একটি বা উভয় বিষয়ে পাস করেছে এমন শিক্ষার্থীর সংখ্যা
= (৩০ + ৫০ + ১২০) জন = ২০০ জন
উভয় বিষয়ে ফেল করেছে এমন শিক্ষার্থীর সংখ্যা
= (মোট শিক্ষার্থী - যেকোনো একটি বা উভয় বিষয়ে পাস করা শিক্ষার্থী)
= (২৫০ - ২০০) জন = ৫০ জন
সুতরাং, ৫০ জন শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে।
১০,২৫১.
2x + 2/x = 4 হলে, x2 + (1/x)2 = কত?
ব্যাখ্যা
2x + 2/x = 4
বা, 2 (x + 1/x) = 4
বা, x + (1/x) = 2
এখন,
x2 + (1/x)2
= (x + 1/x)2 - 2x(1/x)
= (2)2 - 2
= 4 - 2
= 2
১০,২৫২.
একটি মুদ্রা ৩ বার নিক্ষেপ করা হলে তিনবারই একই পিঠ পড়ার সম্ভাবনা কত?
ব্যাখ্যা
একটি মুদ্রা ৩ বার নিক্ষেপ করা হলে নমুনা ক্ষেত্র হবে
(HHH), (HHT), (HTH), (HTT), (THH), (THT), (TTH), (TTT)
মোট নমুনা ক্ষেত্র = ৮
একই পিঠ ২টি (HHH)(TTT)
নির্নেয় সম্ভাবনা ২/৮ = ১/৪
১০,২৫৩.
a - b = 3 এবং a2 + b2 = 17 হলে ab এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a - b = 3 এবং a2 + b2 = 17 হলে ab এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
a2 + b2 = 17
এবং
a - b = 3
⇒ (a - b)2 = 32
⇒ a2 - 2ab + b2 = 9
⇒ (a2 + b2) - 2ab = 9
⇒ 17 - 2ab = 9
⇒ 2ab = 17 - 9
⇒ 2ab = 8
⇒ ab = 8/2 = 4
সমাধান:
দেওয়া আছে,
a2 + b2 = 17
এবং
a - b = 3
⇒ (a - b)2 = 32
⇒ a2 - 2ab + b2 = 9
⇒ (a2 + b2) - 2ab = 9
⇒ 17 - 2ab = 9
⇒ 2ab = 17 - 9
⇒ 2ab = 8
⇒ ab = 8/2 = 4
১০,২৫৪.
9a2 + 30a এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 9a2 + 30a এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ হবে?
সমাধান:
9a2 + 30a
= (3a)2 + 2 ⋅ 3a ⋅ 5 + 52 - 52
= (3a + 5)2 - 52
= (3a + 5)2 - 25
∴ 25 যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ হবে।
সমাধান:
9a2 + 30a
= (3a)2 + 2 ⋅ 3a ⋅ 5 + 52 - 52
= (3a + 5)2 - 52
= (3a + 5)2 - 25
∴ 25 যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ হবে।
১০,২৫৫.
52টি তাস থেকে একটি তাস টানা হলে তা টেক্কা না হওয়ার সম্ভাবনা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 52টি তাস থেকে একটি তাস টানা হলে তা টেক্কা না হওয়ার সম্ভাবনা কত?
সমাধান:
52টি তাসের মধ্যে টেক্কা থাকে 4টি।
টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা = 4/52 = 1/13
∴ টেক্কা না হওয়ার সম্ভাবনা = 1 - (1/13) = (13 - 1)/13 = 12/13
সমাধান:
52টি তাসের মধ্যে টেক্কা থাকে 4টি।
টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা = 4/52 = 1/13
∴ টেক্কা না হওয়ার সম্ভাবনা = 1 - (1/13) = (13 - 1)/13 = 12/13
১০,২৫৬.
যদি 22x - 1= 1/8x- 3 হয়, তাহলে x এর মান কত?
ব্যাখ্যা
22x - 1= 1/8x- 3
22x - 1 = 1/(23)x - 3
22x - 1 =1/23x - 9
22x - 1 =2-(3x - 9)
2x - 1 = -(3x - 9)
2x - 1 = - 3x + 9
2x+ 3x = 9 +1
5x = 10
x = 10/5
x = 2
22x - 1 = 1/(23)x - 3
22x - 1 =1/23x - 9
22x - 1 =2-(3x - 9)
2x - 1 = -(3x - 9)
2x - 1 = - 3x + 9
2x+ 3x = 9 +1
5x = 10
x = 10/5
x = 2
১০,২৫৭.
8 + 11 + 14 +.................ধারাটির কোন পদ 278 হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 8 + 11 + 14 +.................ধারাটির কোন পদ 278 হবে?
সমাধান:
ধারাটির, ১ম পদ, a = 8
সাধারণ অন্তর, d = 11 - 8 = 3
ধরি,
r-তম পদ = 278
তাহলে, a + (r - 1)d = 278
⇒ 8 + (r - 1)3 = 278
⇒ 8 + 3r - 3 = 278
⇒ 3r + 5 = 278
⇒ 3r = 278 - 5
⇒ 3r = 273
⇒ 3r = 273/3
∴ r = 91
সমাধান:
ধারাটির, ১ম পদ, a = 8
সাধারণ অন্তর, d = 11 - 8 = 3
ধরি,
r-তম পদ = 278
তাহলে, a + (r - 1)d = 278
⇒ 8 + (r - 1)3 = 278
⇒ 8 + 3r - 3 = 278
⇒ 3r + 5 = 278
⇒ 3r = 278 - 5
⇒ 3r = 273
⇒ 3r = 273/3
∴ r = 91
১০,২৫৮.
(x/3) - (x/4) = (x + 1)/6 সমীকরণের সমাধান কোনটি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (x/3) - (x/4) = (x + 1)/6 সমীকরণের সমাধান কোনটি?
সমাধান:
(x/3) - (x/4) = (x + 1)/6
বা, (4x - 3x)/12 = (x + 1)/6
বা, x/12 = (x + 1)/6
বা, 12x + 12 = 6x
বা, 12x - 6x = - 12
বা, 6x = - 12
বা, x = - 12/6
∴ x = - 2
১০,২৫৯.
৩ × ০.৩/২ = ?
ব্যাখ্যা
৩ × ০.৩/২
= ৩ × ০.১৫
= ০.৪৫
= ৩ × ০.১৫
= ০.৪৫
১০,২৬০.
x + y = 12, x - y = 2 হলে, xy এর মান কত?
ব্যাখ্যা
x + y + x - y = 12 + 2
বা, 2x = 14
বা, x = 7
∴ y = 5
∴ xy = 35
সমাধানের বিকল্প পদ্ধতিঃ
4xy = ( x + y)2 – (x – y)2 [সূত্র]
বা, xy = {(12)2 – (2)2}/4
বা, xy = 140/4
∴ xy = 35
১০,২৬১.
কোন একটি নির্দিষ্ট এলাকায় দেখা গেল ৫৫ জন ইত্তেফাক, ৬০ জন ডেইলি স্টার এবং ৬৫ জন প্রথম আলো পত্রিকা পড়ে। এদের মধ্য হতে একজনকে দৈবভাবে নির্বাচন করলে তার ডেইলি স্টার পড়ার সম্ভাবনা কত?
ব্যাখ্যা
এখানে মোট পত্রিকা পড়েন = ৫৫+৬০+৬৫ = ১৮০ জন।
ডেইলি স্টার পত্রিকা পড়েন = ৬০ জন।
সুতরাং ঐ ব্যক্তির ডেইলি স্টার পত্রিকা পড়ার সম্ভাবনা = ৬০/১৮০ = ১/৩।
১০,২৬২.
P = {x ∈ N: x, 9 এর গুণনীয়ক) এবং Q = {x ∈ N : 2 < x < 6} হলে, P - Q এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: P = {x ∈ N: x, 9 এর গুণনীয়ক) এবং Q = {x ∈ N : 2 < x < 6} হলে, P - Q এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
P = {x ∈ N : x, 9 এর গুণনীয়ক)
= {1, 3, 9}
Q = {x ∈ N : 2 < x < 6}
= {3, 4, 5}
∴ P - Q = {1, 3, 9} - {3, 4, 5}
= {1, 9}
সমাধান:
দেওয়া আছে,
P = {x ∈ N : x, 9 এর গুণনীয়ক)
= {1, 3, 9}
Q = {x ∈ N : 2 < x < 6}
= {3, 4, 5}
∴ P - Q = {1, 3, 9} - {3, 4, 5}
= {1, 9}
১০,২৬৩.
a + b = 7 এবং ab = 12 হলে a - b = কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = 7 এবং ab = 12 হলে a - b = কত?
সমাধান:
a + b = 7
ab = 12
আমরা জানি
(a - b)2 = (a + b)2 - 4ab
বা, (a - b)2 = 72 - 4× 12
বা, (a - b)2 = 49 - 48
বা, (a - b)2 = 1
a - b = 1
সমাধান:
a + b = 7
ab = 12
আমরা জানি
(a - b)2 = (a + b)2 - 4ab
বা, (a - b)2 = 72 - 4× 12
বা, (a - b)2 = 49 - 48
বা, (a - b)2 = 1
a - b = 1
১০,২৬৪.
p + (1/p) = √3 + √2 হলে, p2 + (1/p2) এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: p + (1/p) = √3 + √2 হলে, p2 + (1/p2) এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
p + (1/p) = √3 + √2
এখন,
p2 + (1/p2) = {p + (1/p)}2 - 2 · p · (1/p)
= (√3 + √2)2 - 2
= (√3)2 + 2 · √3 · √2 + (√2)2 - 2
= 3 + 2 · √3 · √2 + 2 - 2
= 3 + 2√6
১০,২৬৫.
(n + 1)!/(n - 2)! = ?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (n + 1)!/(n - 2)! = ?
সমাধান:
(n + 1)!/(n - 2)!
= (n + 1) × n × (n - 1) × (n - 2)!/(n - 2)! [কারণ (n + 1)! = (n + 1) n (n - 1) (n - 2)!]
= (n + 1) × n × (n - 1)
= n × (n + 1) × (n - 1)
= n × (n2 - 1)
= n3 - n
১০,২৬৬.
(x + 7)(x - 3) + 9 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (x + 7)(x - 3) + 9 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?
সমাধান:
(x + 7)(x - 3) + 9
= x2 - 3x + 7x - 21 + 9
= x2 + 4x - 12
= x2 + 6x - 2x - 12
= x(x + 6) - 2(x + 6)
= (x + 6)(x - 2)
১০,২৬৭.
৪, ১৩, ৭, ৮, ৯, ১২, ১১, ৩, ১৪, ১৫, ১০, ৫, ১৭ উপাত্তগুলোর মধ্যক কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৪, ১৩, ৭, ৮, ৯, ১২, ১১, ৩, ১৪, ১৫, ১০, ৫, ১৭ উপাত্তগুলোর মধ্যক কত?
সমাধান:
প্রদত্ত উপাত্তগুলোকে মানের ঊর্ধ্ব ক্রমানুসারে সাজিয়ে পাই,
৩, ৪, ৫, ৭, ৮, ৯, ১০, ১১, ১২, ১৩, ১৪, ১৫, ১৭
যদি উপাত্তের সংখ্যা n হয় এবং n যদি বিজোড় সংখ্যা হয়
আমরা জানি,
মধ্যক = (n + 1)/2 তম পদের মান।
এখানে উপাত্তের সংখ্যা ১৩টি, যা বিজোড়।
∴ মধ্যক = (১৩ + ১)/২ তম পদ = ৭ তম পদের মান = ১০
∴ উপাত্তগুলোর মধ্যক হবে = ১০
সমাধান:
প্রদত্ত উপাত্তগুলোকে মানের ঊর্ধ্ব ক্রমানুসারে সাজিয়ে পাই,
৩, ৪, ৫, ৭, ৮, ৯, ১০, ১১, ১২, ১৩, ১৪, ১৫, ১৭
যদি উপাত্তের সংখ্যা n হয় এবং n যদি বিজোড় সংখ্যা হয়
আমরা জানি,
মধ্যক = (n + 1)/2 তম পদের মান।
এখানে উপাত্তের সংখ্যা ১৩টি, যা বিজোড়।
∴ মধ্যক = (১৩ + ১)/২ তম পদ = ৭ তম পদের মান = ১০
∴ উপাত্তগুলোর মধ্যক হবে = ১০
১০,২৬৮.
রনি বাংলায় ৭০, ইংরেজিতে ৭৫ নম্বর পেল। সে গণিতে কত পেলে তার গড় নম্বর ৭৪ হবে?
ব্যাখ্যা
ধরি,
গণিতে প্রাপ্ত নম্বর a
∴ (a + ৭০ + ৭৫)/৩ = ৭৪
বা, a + ১৪৫ = ২২২
∴ a = ৭৭
গণিতে প্রাপ্ত নম্বর a
∴ (a + ৭০ + ৭৫)/৩ = ৭৪
বা, a + ১৪৫ = ২২২
∴ a = ৭৭
১০,২৬৯.
কোনো সমান্তর ধারার 20-তম পদ 198 এবং সাধারণ অন্তর 10 হলে ধারাটির প্রথম পদ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার 20-তম পদ 198 এবং সাধারণ অন্তর 10 হলে ধারাটির প্রথম পদ কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমান্তর ধারাটির 20 তম পদ = 198
সাধারণ অন্তর, d = 10
প্রথম পদ, a = ?
আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 20 তম পদ = a + (20 - 1)d
⇒ 198 = a + (19 × 10)
⇒ 198 = a + 190
⇒ a = 198 - 190
⇒ a = 8
সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমান্তর ধারাটির 20 তম পদ = 198
সাধারণ অন্তর, d = 10
প্রথম পদ, a = ?
আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 20 তম পদ = a + (20 - 1)d
⇒ 198 = a + (19 × 10)
⇒ 198 = a + 190
⇒ a = 198 - 190
⇒ a = 8
১০,২৭০.
যদি x - 1 > - x + 7 হয়, তাহলে নিচের কোনটি সত্য?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি x - 1 > - x + 7 হয়, তাহলে নিচের কোনটি সত্য?
সমাধান:
x - 1 > - x + 7
⇒ x + x > 7 + 1
⇒ 2x > 8
∴ x > 4
সমাধান:
x - 1 > - x + 7
⇒ x + x > 7 + 1
⇒ 2x > 8
∴ x > 4
১০,২৭১.
যদি 6 - 4x ≤ 14 হয়, তাহলে x এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি 6 - 4x ≤ 14 হয়, তাহলে x এর মান কত?
সমাধান:
6 - 4x ≤ 14
বা, 6 - 6 - 4x ≤ 14 - 6 [ 6 বিয়োগ করে]
বা, - 4x ≤ 8
∴ x ≥ - 2 [- 4 দিয়ে ভাগ করে]।
সমাধান:
6 - 4x ≤ 14
বা, 6 - 6 - 4x ≤ 14 - 6 [ 6 বিয়োগ করে]
বা, - 4x ≤ 8
∴ x ≥ - 2 [- 4 দিয়ে ভাগ করে]।
১০,২৭২.
একটি থলেতে 5 টি নীল বল 4 টি সাদা বল এবং 3 টি কালো বল আছে। দৈবভাবে দু’টি বল তুললে বলদ্বয় একই রংয়ের হওয়ার সম্ভাবনা কত?
ব্যাখ্যা
থলেতে,
নীল বল আছে 5 টি
সাদা বল আছে 4 টি
কালো বল আছে 3 টি
মোট বল আছে = 12 টি
∴ বল দু'টি একই রংয়ের হওয়ার সম্ভাবনা = (5c2 + 4c2 + 3c2)/12c2
= (10 + 6 + 3)/66
= 19/66
১০,২৭৩.
একটি ক্রিকেট টিমের কোচের 3টি খালি পদের জন্য প্রার্থী আছে 5 জন। খালি পদের সংখ্যা অপেক্ষা বেশি নয় এরূপ যে কোনো সংখ্যক প্রার্থীকে নির্বাচিত করা যেতে পারে। কত প্রকারে প্রার্থী নির্বাচিত করা যেতে পারে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ক্রিকেট টিমের কোচের 3টি খালি পদের জন্য প্রার্থী আছে 5 জন। খালি পদের সংখ্যা অপেক্ষা বেশি নয় এরূপ যে কোনো সংখ্যক প্রার্থীকে নির্বাচিত করা যেতে পারে। কত প্রকারে প্রার্থী নির্বাচিত করা যেতে পারে?
সমাধান:
3টি পদ খালি পদের জন প্রার্থী আছে 5 জন
1 জনকে নির্বাচিত করার উপায় = 5c1 = 5
2 জনকে নির্বাচিত করার উপায় = 5c2 = 10
3 জনকে নির্বাচিত করার উপায় = 5c3 = 10
∴ মোট উপায় = 5 + 10 + 10 = 25
সমাধান:
3টি পদ খালি পদের জন প্রার্থী আছে 5 জন
1 জনকে নির্বাচিত করার উপায় = 5c1 = 5
2 জনকে নির্বাচিত করার উপায় = 5c2 = 10
3 জনকে নির্বাচিত করার উপায় = 5c3 = 10
∴ মোট উপায় = 5 + 10 + 10 = 25
১০,২৭৪.
পরিসর ১২০ এবং শ্রেণিসংখা ১০ হলে, শ্রেণি ব্যবধান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: পরিসর ১২০ এবং শ্রেণিসংখা ১০ হলে, শ্রেণি ব্যবধান কত?
সমাধান:
শ্রেণি সংখ্যা = পরিসর/শ্রেণি ব্যবধান
⇒ শ্রেণি ব্যবধান = পরিসর/শ্রেণি সংখ্যা
= ১২০/১০
= ১২
সমাধান:
শ্রেণি সংখ্যা = পরিসর/শ্রেণি ব্যবধান
⇒ শ্রেণি ব্যবধান = পরিসর/শ্রেণি সংখ্যা
= ১২০/১০
= ১২
১০,২৭৫.
৭ জন পুরুষ ও ৪ জন মহিলার মধ্য থেকে ৪ জনের একটি কমিটি গঠন করতে হবে। অন্তত ১ জন মহিলাকে নিয়ে মোট কত প্রকারের কমিটি গঠন হতে পারে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৭ জন পুরুষ ও ৪ জন মহিলার মধ্য থেকে ৪ জনের একটি কমিটি গঠন করতে হবে। অন্তত ১ জন মহিলাকে নিয়ে মোট কত প্রকারের কমিটি গঠন হতে পারে?
সমাধান:
কমিটিতে অত্যন্ত ১ জন মহিলা থাকবে।
পুরুষ (৭ জন) - মহিলা (৪ জন)
৩ জন - ১ জন
২ জন - ২ জন
১ জন - ৩ জন
০ জন - ৪ জন
মোট কমিটি গঠন হতে পারে
(7C3 × 4C1 )+ (7C2 × 4C2) + (7C1 × 4C3)+ (7C0 × 4C4)
= (35 × 4) + (21 × 6) + (7 × 4) + (1 × 1)
= 140 + 126 + 28 + 1
= 295
১০,২৭৬.
আবহাওয়া দপ্তর থেকে পাওয়া রিপোর্ট অনুযায়ী জুন মাসে ঢাকা শহরে ২৫ দিন বৃষ্টি হয়েছে। তাহলে ৮ জুন বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা কত?
ব্যাখ্যা
যেহেতু জুন মাস ৩০ দিন এবং জুন মাসে ২৫ দিন বৃষ্টি হয়েছে।
তাহলে যেকোনো একদিন বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা = ২৫/৩০
= ৫/৬
অতএব ৮ জুন বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা = ৫/৬
১০,২৭৭.
x2 - x - 6 = 0 সমীকরণের সমাধান কত হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - x - 6 = 0 সমীকরণের সমাধান কত হবে?
সমাধান:
x2 - x - 6 = 0
⇒ x2 - 3x + 2x - 6 = 0
⇒ x(x - 3) + 2(x - 3) = 0
⇒ (x - 3)(x + 2) = 0
হয়
x - 3 = 0
∴ x = 3
অথবা,
x + 2 = 0
∴ x = - 2
∴ নির্ণেয় সমাধান: x = 3, - 2
সমাধান:
x2 - x - 6 = 0
⇒ x2 - 3x + 2x - 6 = 0
⇒ x(x - 3) + 2(x - 3) = 0
⇒ (x - 3)(x + 2) = 0
হয়
x - 3 = 0
∴ x = 3
অথবা,
x + 2 = 0
∴ x = - 2
∴ নির্ণেয় সমাধান: x = 3, - 2
১০,২৭৮.
0.6 + 0.06 + 0.006 + .......... ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 0.6 + 0.06 + 0.006 + .......... ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 0.6 = 6/10 = 3/5
সাধারণত অনুপাত, r = 0.06/0.6
= 1/10 < 1
সুতরাং, অসীমতক সমষ্টি = a/(1 - r)
= (3/5) ÷ {1 - (1/10)}
= (3/5) ÷ (9/10)
= (3/5) × (10/9)
= 2/3
সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 0.6 = 6/10 = 3/5
সাধারণত অনুপাত, r = 0.06/0.6
= 1/10 < 1
সুতরাং, অসীমতক সমষ্টি = a/(1 - r)
= (3/5) ÷ {1 - (1/10)}
= (3/5) ÷ (9/10)
= (3/5) × (10/9)
= 2/3
১০,২৭৯.
a + b = 9 এবং a2 + b2 = 41 হলে, 4ab এর মান কত
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = 9 এবং a2 + b2 = 41 হলে, 4ab এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 9
a2 + b2 = 41
আমরা জানি,
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
বা, (9)2 = 41 + 2ab
বা, 81 - 41 = 2ab
বা, 2ab = 40
∴ 4ab = 80
সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 9
a2 + b2 = 41
আমরা জানি,
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
বা, (9)2 = 41 + 2ab
বা, 81 - 41 = 2ab
বা, 2ab = 40
∴ 4ab = 80
১০,২৮০.
একটি সভা শেষে উপস্থিত লোকজন প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে হ্যান্ডশেক করলো। সভায় উপস্থিত লোকের সংখ্যা 20 জন হলে হ্যান্ডশেকের সংখ্যা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সভা শেষে উপস্থিত লোকজন প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে হ্যান্ডশেক করলো। সভায় উপস্থিত লোকের সংখ্যা 20 জন হলে হ্যান্ডশেকের সংখ্যা কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
লোকের সংখ্যা = 20
∴ হ্যান্ডশেকের সংখ্যা = 20C2
= 20!/{2! × (20 - 2)!}
= 20!/(2! × 18!)
= (20 × 19 × 18!)/(2! × 18!)
= 190
১০,২৮১.
10টি পুস্তক হতে 5টি পুস্তক কতভাবে বাছাই করা যাবে যেখানে 2টি পুস্তক সর্বদা অন্তর্ভুক্ত থাকবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন- 10টি পুস্তক হতে 5টি পুস্তক কতভাবে বাছাই করা যাবে যেখানে 2টি পুস্তক সর্বদা অন্তর্ভুক্ত থাকবে?
সমাধান-
2টি পুস্তক সর্বদা অন্তর্ভুক্ত থাকলে 10 - 2 = 8টি পুস্তক হতে 5 - 2 = 3টি পুস্তক বাছাই করতে হবে।
মোট বাছাই সংখ্যা = 8c3 = 56
সমাধান-
2টি পুস্তক সর্বদা অন্তর্ভুক্ত থাকলে 10 - 2 = 8টি পুস্তক হতে 5 - 2 = 3টি পুস্তক বাছাই করতে হবে।
মোট বাছাই সংখ্যা = 8c3 = 56
১০,২৮২.
{1/|6x - 7|} ≥ (1/12) অসমতাটির সমাধান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: {1/|6x - 7|} ≥ (1/12) অসমতাটির সমাধান কত?
সমাধান:
{1/|6x - 7|} ≥ (1/12)
⇒ |6x - 7| ≤ 12
⇒ - 12 ≤ 6x - 7 ≤ 12
⇒ - 12 + 7 ≤ 6x - 7 + 7 ≤ 12 + 7
⇒ - 5 ≤ 6x ≤ 19
⇒ - 5/6 ≤ 6x/6 ≤ 19/6
⇒ - (5/6) ≤ x ≤ (19/6)
সমাধান:
{1/|6x - 7|} ≥ (1/12)
⇒ |6x - 7| ≤ 12
⇒ - 12 ≤ 6x - 7 ≤ 12
⇒ - 12 + 7 ≤ 6x - 7 + 7 ≤ 12 + 7
⇒ - 5 ≤ 6x ≤ 19
⇒ - 5/6 ≤ 6x/6 ≤ 19/6
⇒ - (5/6) ≤ x ≤ (19/6)
১০,২৮৩.
log2(log4256) এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: log2(log4256) এর মান কত?
সমাধান:
log2(log4256)
= log2(log444)
= log2(4. log44)
= log24
= log222
= 2. log22
= 2
সমাধান:
log2(log4256)
= log2(log444)
= log2(4. log44)
= log24
= log222
= 2. log22
= 2
১০,২৮৪.
4a² + 11a + 6 = 0 হলে, a = ?
ব্যাখ্যা
4a² + 11a + 6 = 0
⇒ 4a² + 8a + 3a + 6 = 0
⇒ 4a(a + 2) + 3(a + 2) = 0
⇒ (4a + 3)(a + 2) = 0
হয়, a = -3/4 = -0.75 অথবা a = -2
⇒ 4a² + 8a + 3a + 6 = 0
⇒ 4a(a + 2) + 3(a + 2) = 0
⇒ (4a + 3)(a + 2) = 0
হয়, a = -3/4 = -0.75 অথবা a = -2
১০,২৮৫.
4log√5 + 3log2 - (1/4)log10000 =?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 4log√5 + 3log2 - (1/4)log10000 =?
সমাধান:
4log√5 + 3log2 - (1/4)log10000
= log(√5)4 + 3log2 - (1/4)log104
= log52 + 3log2 - (4/4) log10
= 2log5 + 3log2 - log10
= 2log5 + 3log2 - log (2 × 5)
= 2log5 + 3log2 - log2 - log5
= log5 + 2log2
= log5 + log22
= log(5 × 4)
= log20
সমাধান:
4log√5 + 3log2 - (1/4)log10000
= log(√5)4 + 3log2 - (1/4)log104
= log52 + 3log2 - (4/4) log10
= 2log5 + 3log2 - log10
= 2log5 + 3log2 - log (2 × 5)
= 2log5 + 3log2 - log2 - log5
= log5 + 2log2
= log5 + log22
= log(5 × 4)
= log20
১০,২৮৬.
SCIENCE শব্দটির বর্ণগুলোকে মোট কত উপায়ে সাজানো যায়?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: SCIENCE শব্দটির বর্ণগুলোকে মোট কত উপায়ে সাজানো যায়?
সমাধান:
SCIENCE শব্দটিতে,
মোট বর্ণসংখ্যা = 7 টি
এর মধ্যে C = 2 টি এবং E = 2 টি ।
∴ মোট বিন্যাস সংখ্যা = 7!/(2! × 2!)
= (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2)/(2 × 2)
= 1260
১০,২৮৭.
১ থেকে ১০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে একটি মৌলিক সংখ্যা নির্বাচনের সম্ভাব্যতা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১ থেকে ১০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে একটি মৌলিক সংখ্যা নির্বাচনের সম্ভাব্যতা কত?
সমাধান:
১ থেকে ১০ পর্যন্ত মোট সংখ্যা ১০ টি।
১ থেকে ১০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ৪টি।
যথা- ২, ৩, ৫, ৭
মৌলিক সংখ্যা হওয়ার সম্ভব্যতা
= মৌলিক সংখ্যা / সর্বমোট সংখ্যা
= ৪/১০
= ২/৫
সমাধান:
১ থেকে ১০ পর্যন্ত মোট সংখ্যা ১০ টি।
১ থেকে ১০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ৪টি।
যথা- ২, ৩, ৫, ৭
মৌলিক সংখ্যা হওয়ার সম্ভব্যতা
= মৌলিক সংখ্যা / সর্বমোট সংখ্যা
= ৪/১০
= ২/৫
১০,২৮৮.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:
সমাধান:
সমাধান:
১০,২৮৯.
যদি x - y = 12 এবং xy = 28 হয়, তাহলে x + y = কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি x - y = 12 এবং xy = 28 হয়, তাহলে x + y = কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে
x - y = 12
xy = 28
এখন
(x + y)2 = (x - y)2 + 4xy
= 122 + 4 × 28
= 144 + 112
= 256
∴ x + y = √256 = 16
সমাধান:
দেওয়া আছে
x - y = 12
xy = 28
এখন
(x + y)2 = (x - y)2 + 4xy
= 122 + 4 × 28
= 144 + 112
= 256
∴ x + y = √256 = 16
১০,২৯০.
একটি শ্রেণির প্রতিবেঞ্চে 4 জন করে ছাত্র বসালে 3টি বেঞ্চ খালি থাকে। আবার, প্রতিবেঞ্চে 3 জন করে ছাত্র বসালে 6 জন ছাত্রকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণির ছাত্র সংখ্যা কত জন?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি শ্রেণির প্রতিবেঞ্চে 4 জন করে ছাত্র বসালে 3টি বেঞ্চ খালি থাকে। আবার, প্রতিবেঞ্চে 3 জন করে ছাত্র বসালে 6 জন ছাত্রকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণির ছাত্র সংখ্যা কত?
সমাধান:
মনে করি, শ্রেণিটির ছাত্র সংখ্যা x
যেহেতু প্রতিবেঞ্চে 4 জন করে বসালে 3টি বেঞ্চ খালি থাকে,
সেহেতু ঐ শ্রেণির বেঞ্চের সংখ্যা x/4 + 3
আবার, যেহেতু প্রতিবেঞ্চে 3 জন করে বসালে 6 জনকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়,
সেহেতু ঐ শ্রেণির বেঞ্চের সংখ্যা = (x - 6)/3
যেহেতু শ্রেণির বেঞ্চের সংখ্যা একই থাকবে,
সুতরাং x/4 + 3 = (x - 6)/3
বা, (x + 12)/4 = (x - 6)/3
বা, 4x - 24 = 3x + 36
বা, 4x - 3x = 36 + 24
বা, x = 60
∴ ঐ শ্রেণির ছাত্র সংখ্যা 60 জন।
১০,২৯১.
কোন সমান্তর ধারার প্রথম পদ ও ৩য় পদ যথাক্রমে ৫ এবং ১৫। ধারাটির প্রথম ১৬টি পদের সমষ্টি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন সমান্তর ধারার প্রথম পদ ও ৩য় পদ যথাক্রমে ৫ এবং ১৫। ধারাটির প্রথম ১৬টি পদের সমষ্টি কত?
সমাধান:
ধরি,
ধারার ১ম পদ a = ৫
সাধারণ অন্তর = d
∴ ৩য় পদ = a + (৩ - ১)d = ১৫
বা, ৫ + ২d = ১৫
বা, ২d = ১০
∴ d = ৫
∴ ধারাটির প্রথম ১৬টি পদের সমষ্টি = (১৬/২){২ × ৫ + (১৬ - ১) × ৫}
= ৮ × (১০ + ৭৫)
= ৮ × ৮৫
= ৬৮০
সমাধান:
ধরি,
ধারার ১ম পদ a = ৫
সাধারণ অন্তর = d
∴ ৩য় পদ = a + (৩ - ১)d = ১৫
বা, ৫ + ২d = ১৫
বা, ২d = ১০
∴ d = ৫
∴ ধারাটির প্রথম ১৬টি পদের সমষ্টি = (১৬/২){২ × ৫ + (১৬ - ১) × ৫}
= ৮ × (১০ + ৭৫)
= ৮ × ৮৫
= ৬৮০
১০,২৯২.
x যদি y এর চেয়ে বড় হয়, তবে 1/x এর চেয়ে 1/y -
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x যদি y এর চেয়ে বড় হয়, তবে 1/x এর চেয়ে 1/y -
সমাধান:
x > y
⇒ 1/x < 1/y [ভাগ করলে অসমতার চিহ্ন উল্টে যায়]
১০,২৯৩.
a + b = 13 এবং a - b = 3 হলে, a2 + b2 এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = 13 এবং a - b = 3 হলে, a2 + b2 এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 13
এবং a - b = 3
আমরা জানি,
2(a2 + b2) = (a + b)2 + (a - b)2
বা, 2(a2 + b2) = (13)2 + (3)2
বা, 2(a2 + b2) = 169 + 9
বা, 2(a2 + b2) = 178
বা, (a2 + b2) = 178/2
∴ a2 + b2 = 89
সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 13
এবং a - b = 3
আমরা জানি,
2(a2 + b2) = (a + b)2 + (a - b)2
বা, 2(a2 + b2) = (13)2 + (3)2
বা, 2(a2 + b2) = 169 + 9
বা, 2(a2 + b2) = 178
বা, (a2 + b2) = 178/2
∴ a2 + b2 = 89
১০,২৯৪.
যদি a + b + c = 15 এবং a2 + b2 + c2 = 75 হয়, তাহলে ab + bc + ca এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি a + b + c = 15 এবং a2 + b2 + c2 = 75 হয়, তাহলে ab + bc + ca এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b + c = 15
a2 + b2 + c2 = 75
আমরা জানি,
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)
⇒ 2(ab + bc + ca) = (a + b + c)2 - (a2 + b2 + c2)
⇒ 2(ab + bc + ca) = (15)2 - 75
⇒ 2(ab + bc + ca) = 225 - 75
⇒ 2(ab + bc + ca) = 150
∴ ab + bc + ca = 75
সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b + c = 15
a2 + b2 + c2 = 75
আমরা জানি,
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)
⇒ 2(ab + bc + ca) = (a + b + c)2 - (a2 + b2 + c2)
⇒ 2(ab + bc + ca) = (15)2 - 75
⇒ 2(ab + bc + ca) = 225 - 75
⇒ 2(ab + bc + ca) = 150
∴ ab + bc + ca = 75
১০,২৯৫.
1/√5, 1, √5, ...... ধারাটির কোন পদ 25√5 হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 1/√5, 1, √5, ...... ধারাটির কোন পদ 25√5 হবে?
সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ, a = 1/√5
সাধারণ অনুপাত, r = 1/(1/√5) = √5
ধরি, n তম পদ = 25√5
প্রশ্নমতে,
arn - 1 = 25√5
⇒ (1/√5) × (√5)n - 1 = 25√5
⇒ (√5)n - 1 = 25√5 × √5
⇒ (√5)n - 1 = 25 × 5
⇒ (√5)n - 1 = 125
⇒(√5)n - 1 = (√5)6
⇒ n - 1 = 6
⇒ n = 7
∴ ৭ম পদ 25√5
১০,২৯৬.
k এর মান কত হলে kx2 + 3x + 4 রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: k এর মান কত হলে, kx2 + 3x + 4 রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে?
সমাধান:
পূর্ণবর্গ হওয়ার শর্ত:
একটি দ্বিঘাত রাশি ax2 + bx + c পূর্ণবর্গ হবে যদি এর নিশ্চায়ক শূন্য হয়।
অর্থাৎ b2 - 4ac = 0
kx2 + 3x + 4 এর সাথে ax2 + bx + c তুলনা করে পাই,
a = k, b = 3, এবং c = 4.
∴ 32 - 4 × k × 4 = 0
⇒ 9 - 16k = 0
⇒ 16k = 9
∴ k = 9/16.
সমাধান:
পূর্ণবর্গ হওয়ার শর্ত:
একটি দ্বিঘাত রাশি ax2 + bx + c পূর্ণবর্গ হবে যদি এর নিশ্চায়ক শূন্য হয়।
অর্থাৎ b2 - 4ac = 0
kx2 + 3x + 4 এর সাথে ax2 + bx + c তুলনা করে পাই,
a = k, b = 3, এবং c = 4.
∴ 32 - 4 × k × 4 = 0
⇒ 9 - 16k = 0
⇒ 16k = 9
∴ k = 9/16.
১০,২৯৭.
3 + 6 + 9 + ............... ধারাটির কত তম পদ 33?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3 + 6 + 9 + ............... ধারাটির কত তম পদ 33?
সমাধান:
এখানে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অন্তর, d = 3
মনে করি,
n তম পদ = 33
∴ a + (n - 1) d = 33
বা, 3 + (n - 1) 3 = 33
বা, 3 + 3n - 3 = 33
বা, 3n = 33
বা, n = 33/3
∴ n = 11
∴ ধারাটির 11 তম পদ 33 ।
সমাধান:
এখানে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অন্তর, d = 3
মনে করি,
n তম পদ = 33
∴ a + (n - 1) d = 33
বা, 3 + (n - 1) 3 = 33
বা, 3 + 3n - 3 = 33
বা, 3n = 33
বা, n = 33/3
∴ n = 11
∴ ধারাটির 11 তম পদ 33 ।
১০,২৯৮.
92a + 1 = 27 হলে, a এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 92a + 1 = 27 হলে, a এর মান কত?
সমাধান:
92a + 1 = 27
⇒ (32)2a + 1 = 33
⇒ 34a + 2 = 33
⇒ 4a + 2 = 3
⇒ 4a = 3 - 2
⇒ 4a = 1
∴ a = 1/4
১০,২৯৯.
যদি 3x + 2 = 81 হয়, তবে 3x - 2 = কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি 3x + 2 = 81 হয়, তবে 3x - 2 = কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
3x + 2 = 81
বা, 3x + 2 = 34
বা, x + 2 = 4
∴ x = 2
এখন,
3x - 2 = 32 - 2
= 30
= 1
সমাধান:
দেওয়া আছে,
3x + 2 = 81
বা, 3x + 2 = 34
বা, x + 2 = 4
∴ x = 2
এখন,
3x - 2 = 32 - 2
= 30
= 1
১০,৩০০.
(27)2 - 1 এর বৃহত্তম মৌলিক উৎপাদক হলো -
ব্যাখ্যা
এখানে
(27)2 - 1 = (27)2 - 12
= (27 + 1)(27 - 1)
= 28 × 26
= 2 × 2 × 7 × 2 × 13
সুতরাং, বৃহত্তম মৌলিক উৎপাদক হলো 13
(27)2 - 1 = (27)2 - 12
= (27 + 1)(27 - 1)
= 28 × 26
= 2 × 2 × 7 × 2 × 13
সুতরাং, বৃহত্তম মৌলিক উৎপাদক হলো 13