বীজগণিত

3x + 3y + 3z = 108
⇒ 3(x + y + z) = 108
⇒ (x + y + z) = 36

∴ x, y, z এর সমষ্টি = 36

মোট ছাত্র n(S) = ৫০,
ফুটবল খেলে n(F) = ৩৫ জন,
ক্রিকেট খেলে n(C) = ২২ জন,
কিছুই খেলেনা n(C∪F)′ = ৮ জন।
যেকোন একটি খেলা খেলে, n(C∪F) = n(S) - n(C∪F)′
= ৫০ - ৮
= ৪২ জন
∴ উভয় খেলা খেলে n(C∩F) = ?
∴ n(C∪F) = n(C) + n(F) - n(C∩F)
বা, ৪২ = ২২ + ৩৫ - n(C∩F)
∴ n(C∩F) = ১৫

প্রশ্ন: log_ap = 2, log_aq = 3, log_ar = 4 হলে, log_a{(p²q²)/r} এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log_ap = 2 ⇒ a² = p
log_aq = 3, ⇒ a³ = q
log_ar = 4 ⇒ a⁴ = r

এখন,
log_a{(p²q²)/r}
= log_a{(a²)²(a³)²/a⁴}
= log_a{(a⁴)(a⁶)/a⁴}
= log_aa⁶
= 6 log_aa
= 6 × 1
= 6

প্রশ্ন: 2log₁₀5 + 2log₁₀6 - 2log₁₀3 = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
= 2log₁₀5 + 2log₁₀6 - 2log₁₀3
= log₁₀5² + log₁₀6² - log₁₀3²   ; [ plog_kM = log_kM^p]
= log₁₀ {(5² × 6²)/3²}  ; [log_kM + log_kN = logk(MN), log_kM - log_kN = log_k(M/N)]
= log₁₀{(25 × 36)/9}
= log₁₀100
= log₁₀10²
= 2log₁₀10
= 2.1
= 2

ধরি,
ভগ্নাংশটি a/(a + 2)
∴ (a - 5)/(a + 2 - 5) + 1/4 = 1
বা, (a - 5)/(a - 3) = 1 - 1/4
(a - 5)/(a - 3) = 3/4
বা, 4a - 20 = 3a - 9
বা, a = -9 + 20
= 11
∴ ভগ্নাংশটি = a/a + 2 = 11/(11 + 2)
= 11/13

প্রশ্ন: ৮, ১৬ এবং ৩২ এর জ্যামিতিক গড় কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক সংখ্যার গুণোত্তর গড় বা জ্যামিতিক গড় =

∴ ৮, ১৬ এবং ৩২ এর জ্যামিতিক গড় = (৮ × ১৬ × ৩২)^১/৩
= (২^৩ × ২^৪ × ২^৫)^১/৩
= (২^১২)^১/৩
= ২^৪
= ১৬

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার দশকের অঙ্কের সাথে ৩ যোগ করলে এবং এককের অঙ্ক থেকে ২ বিয়োগ করলে প্রাপ্ত সংখ্যাটি মূল সংখ্যার তিন গুণ হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
ধরি, 
দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যার এককের অঙ্ক = x এবং
দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যার দশকের অঙ্ক = y
∴ সংখ্যাটি = x + ১০y 
​
আবার,
নতুন সংখ্যাটির এককের অঙ্ক = x - ২
নতুন সংখ্যাটির দশকের অঙ্ক = y + ৩
∴ নতুন সংখ্যাটি = x - ২ + ১০ (y + ৩) 
= x - ২ + ১০y + ৩০
= x + ১০y + ২৮ 

প্রশ্নমতে,
৩ (x + ১০y) = x + ১০y + ২৮
বা, ৩x + ৩০y = x + ১০y + ২৮
বা, ৩x - x +৩০y - ১০y = ২৮
বা, ২x + ২০y = ২৮
বা, ২ (x + ১০y) = ২৮
বা, (x + ১০y) = ২৮/২
∴ (x + ১০y) = ১৪

∴ সংখ্যাটি = ১৪।

মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = 6টি
জোড় অথবা মৌলিক সংখ্যার অনুকূলে নমূনাবিন্দুর সংখ্যা = {2, 3, 4, 5, 6} = 5টি
∴ সম্ভাবনা = 5/6

প্রশ্ন: 5 - (x/2) ≤ 3 এর সমাধান কোনটি?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
5 - (x/2) ≤ 3
⇒ 5 - (x/2) - 5 ≤ 3 - 5  ; [উভয় পক্ষ থেকে 5 বিয়োগ করে] 
⇒ - (x/2) ≤ - 2
⇒ x/2 ≥ 2   ; [এখন উভয় পক্ষকে - 2 দিয়ে গুণ করে (ঋণাত্মক সংখ্যা দিয়ে গুণ/ভাগ করলে অসমতার চিহ্ন উল্টে যায়)] 
∴ x ≥ 4

x³+1/x^{3
= ( x + 1/x )}3 ^{- 3.x.1/x (x + 1/x)
= (√3)³- 3√3
= 3√3 - 3√3
= 0}

x²+ 5x - 6
= x² + 6x - x - 6
= x(x + 6) -1(x + 6)
= (x +6)(x - 1)

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিতে 100 জন শিক্ষার্থীর মধ্যে 55 জন উচ্চতর গনিত, 40 জন জীববিজ্ঞান নিয়েছে এবং 20 জন কোনটিই নেয় নি। কতজন শিক্ষার্থী শুধুমাত্র একটি বিষয় নিয়েছে? 

সমাধান:

ধরি,
উভয় বিষয় নিয়েছে = x জন
∴ শুধু উচ্চতর গনিত নিয়েছে = (55 - x) জন
∴ শুধু জীববিজ্ঞান নিয়েছে = (40 - x) জন

দেওয়া আছে,
কোনো বিষয় নেয় নি = 20 জন

প্রশ্নমতে,
(55 - x) + x + (40 - x) + 20 = 100
⇒ 95 - x = 100 - 20
⇒ 95 - x = 80
 ⇒ x = 95 - 80
 ⇒ x = 15

শুধু উচ্চতর গনিত নিয়েছে = (55 - 15) জন = 40 জন 
শুধু জীববিজ্ঞান নিয়েছে = (40 - 15) জন = 25 জন

∴ শুধুমাত্র একটি বিষয় নিয়েছে (উচ্চতর গনিত বা জীববিজ্ঞান) = (40 + 25) জন = 65 জন 

প্রশ্ন: ৯৬ এর মৌলিক উৎপাদকগুলোর মধ্যে প্রচুরক কত?

সমাধান:
৯৬ এর মৌলিক উৎপাদকে ভাংলে, 
৯৬ = ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ৩

এখানে মৌলিক উৎপাদক ২ মোট ৫ বার এসেছে এবং ৩ মাত্র ১ বার।

তাহলে প্রচুরক = ২ 

∴ প্রচুরক = ২ 

প্রশ্ন: যদি x² - √8x + 1 = 0 হয়, তবে x - (1/x) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x² - √8x + 1 = 0
⇒ x² + 1 = √8x
⇒ x + (1/x) = √8 [উভয়পাশে x দ্বারা ভাগ করে]

এখন, 
{x - (1/x)}² = {x + (1/x)}² - 4 . x . (1/x)
⇒ {x - (1/x)}² = (√8)² - 4
⇒ {x - (1/x)}² = 8 - 4
⇒ {x - (1/x)}² = 4
⇒ x - (1/x) = √4
∴ x - (1/x) = 2

প্রশ্ন: (200x)⁰ + 200x⁰ + (200x)⁰ এর মান কত?

সমাধান:
(200x)⁰ + 200x⁰ + (200x)⁰   [আমরা জানি, a⁰ = 1 ; যেখানে a ≠ 0]
= 1 + (200 × 1) + 1
= 1 + 200 + 1
= 202

প্রশ্ন: যদি ⁸P_r = 336 হয়, তবে r এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
⁸P_r = 336
⇒ 8!/(8 - r)! = 8 × 7 × 6
⇒ (8 - r)! = 8!/(8 × 7 × 6)
⇒ (8 - r)! = (8 × 7 × 6 × 5!)/(8 × 7 × 6)
⇒ (8 - r)! = 5!
⇒ 8 - r = 5
⇒ r = 8 - 5
∴ r = 3

ধরি,
সে কলম কিনেছিলো x টি
প্রতিটি কলমের দাম= 240/x টাকা
আবার,
১ টি কলম বেশি পেলে কলমের দাম= 240/(x+1) টাকা

প্রশ্নমতে,
240/x-240/(x+1) = 1
⇒ (240x+240-240x)/x(x+1) = 1
⇒ x²+x = 240
⇒ x²+16x-15x-240 = 0
⇒ x(x+16)-15(x+16) = 0
⇒ (x-15)(x+16) = 0
Either, x-15 = 0 or, x+16 = 0
∴ x=15 | ∴ x=-16(Which is not acceptable)
∴ সে 15টি কলম কিনেছিলো।

প্রশ্ন: 9x² - 30x + 25 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কী?

সমাধান:
9x² - 30x + 25 = 0
এখানে,
a = x² এর সহগ = 9
b = x এর সহগ = - 30
c = ধ্রুবক = 25
নিশ্চায়ক = b² - 4ac
= (- 30)² - 4 × 9 × 25
= 900 - 900
= 0
নিশ্চায়ক = 0 হলে, মূল দুইটি বাস্তব ও পরস্পর সমান হবে।
∴ মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান।

উল্লেখ্য:
• b² - 4ac > 0 এবং পূর্ণবর্গ হলে মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ।
• b² - 4ac > 0 কিন্তু পূর্ণবর্গ নয় মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ।
• b² - 4ac = 0 হলে মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান।
• b² - 4ac < 0 হলে বাস্তব মূল নেই (কাল্পনিক মূল)।

সঠিক উত্তর: খ) বাস্তব ও সমান

2^x + 2^x + 2^x + 2^x
= 4.2^x
= 2² . 2^x
= 2^(2+x)
= 2^(x+2)

z³ + 1/z³
= (z + 1/z)³ - 3 . z . 1/z . (z + 1/z)
= 4³ - 3 X 4
= 64 - 12
= 52

a^x√x = (a^√x)^x
বা, a^x√x = a^x√x
বা, x^√x = x√x
বা, x^√x = x^3/2
বা, √x = 3/2
∴ x = 9/4

প্রশ্ন: (5x/6) + 4 এবং (x/3) + 12 পরস্পর সমান হলে x এর মান কত? 

সমাধান: 
(5x/6) + 4 =  (x/3) + 12 
⇒ (5x/6) - (x/3) = 12 - 4 
⇒ (5x - 2x)/6 = 8 
⇒ 3x/6 = 8 
⇒ x/2 = 8 
⇒ x = 8 × 2 
∴ x = 16

প্রশ্ন: নিচের কোনটি 3a³ + 2a - 5 এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
ধরি,
f(a) = 3a³ + 2a - 5
∴ f(1) = 3(1)³ + 2 × 1 - 5
= 3 + 2 - 5
= 0
অতএব (a - 1), 3a³ + 2a -5 এর একটি উৎপাদক।

এখন,
3a³ + 2a - 5
= 3a³ - 3a² + 3a² - 3a + 5a - 5
= 3a²(a - 1) + 3a(a - 1) + 5(a - 1)
= (a - 1)(3a² + 3a + 5)

a = ৩, d = 8, n =?
৭৯ = ৩ + (n - ১)৪ বা, ৭৬ = (n - ১)৪ বা, ১৯ = n - ১ ∴ n = ২০
∴ সমষ্টি = ৭৯+৩/২ × ২০ = ৮২×২০/২ = ৮২০

প্রশ্ন: |x - 4| ≤ 10 হলে, x এর সর্বোচ্চ মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
|x - 4| ≤ 10
⇒ - 10 ≤ x - 4 ≤ 10
⇒ - 10 + 4 ≤ x - 4 + 4 ≤ 10 + 4 ; [উভয় পাশে 4 যোগ করি] 
⇒ - 6 ≤ x ≤ 14

সুতরাং x এর সম্ভাব্য মানের সীমা, x ∈ [- 6, 14]
∴ x এর সর্বোচ্চ মান হলো 14

প্রশ্ন: 5.2ⁿ - 10.2^{n - 1} এর মান কত?

সমাধান:
= 5.2ⁿ - 10.2^{n - 1}
= 5.2ⁿ - 10.(2ⁿ/2)
= 5.2ⁿ - 5.2ⁿ
= 2ⁿ(5 - 5)
= 2ⁿ × 0
= 0

প্রশ্ন: - 5 < x < 3 এর পরম মান কত?

সমাধান: 
- 5 < x < 3
বা, - 5 + 1 < x + 1 < 3 + 1
বা, - 4 < x + 1 < 4
∴ |x + 1| < 4

প্রতি ট্রিপে অবশ্যই রাজু সাহেবকে থাকতে হবে।
∴ ভ্রমন করার মোট উপায় ^(10-1)c_(5-1)
= ⁹c₄
= 126

প্রশ্ন: একটি ট্রেন ঘণ্টায় 30 কি.মি. বেগে চলে কমলাপুর স্টেশন থেকে নারায়ণগঞ্জ স্টেশনে পৌঁছাল। ট্রেনটির বেগ ঘণ্টায় 25 কি.মি. হলে 10 মিনিট সময় বেশি লাগত। দুই স্টেশনের মধ্যে দূরত্ব কত?

সমাধান:
ধরি, কমলাপুর থেকে নারায়ণগঞ্জের দূরত্ব = d কি.মি.

তাহলে, বেগ ৩০ কি.মি./ঘণ্টা হলে, সময় লাগে = d/30 ঘণ্টা
এবং বেগ ২৫ কি.মি./ঘণ্টা হলে, সময় লাগে = d/25 ঘণ্টা

আবার, 
25 কি.মি./ঘণ্টা বেগে চললে 10 মিনিট বেশি সময় লাগে।
∴ 10 মিনিট = 10/60 = 1/6 ঘণ্টা

প্রশ্নানুসারে,
(d/25) - (d/30) = 1/6
⇒ (6d - 5d)/150 = 1/6
⇒ d/150 = 1/6
⇒ d = 150 × (1/6)
∴ d = 25 কি.মি.

সুতরাং, দুই স্টেশনের মধ্যে দূরত্ব 25 কিলোমিটার। 

এখানে a = 3, d = 2,
সুতরাং ধারাটির n তম পদ = a + (n - 1)d
= 3 + (n - 1)×2
= 2n + 1

প্রশ্ন: এক ব্যক্তির ৭ জন বন্ধু আছেন। তিনি তার জন্মদিনে এক বা একাধিক বন্ধুকে কত উপায়ে নিমন্ত্রণ করতে পারেন?

সমাধান:
প্রতিটি বন্ধুর জন্য নিমন্ত্রনের উপায় = ২ টি ( নিমন্ত্রন করা কিংবা না করা)

৭ জন বন্ধুর জন্য মোট উপায় সংখ্যা = ২^৭ - ১
= ১২৮ - ১ = ১২৭ (কাউকে না কাউকে নিমন্ত্রন করবেনই)

সুতরাং, তিনি ১ বা একাধিক বন্ধুকে নিমন্ত্রণ করতে ১২৭ উপায়ে পারেন।

প্রশ্ন: x⁴ + 2x² + 1 = 5x² হলে, ‍x + 1/x এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x⁴ + 2x² + 1 = 5x² 
⇒ x² + 2 + 1/x² = 5 
⇒ x² + 1/x² = 5 - 2 
⇒ x² + 1/x² = 3 
⇒ (x + 1/x)² – 2.x.(1/x) = 3 
⇒ (x + 1/x)² = 3 + 2
⇒ (x + 1/x)² = 5 
∴ x + 1/x = √5

প্রশ্ন: x/y এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল y/x হবে?

সমাধান:
মনে করি,
x/y + p = y/x
বা, p = y/x - x/y
বা, p = (y² - x²) / xy

A = {x ∈ N : 2 < x ≤ 7}
= {3, 4, 5, 6, 7}
B = {x ∈ N : x বিজোড় সংখ্যা এবং x ≤ 8}
= {1, 3, 5, 7}
∴ A∩B = {3, 5, 7}

প্রশ্ন: x² - y² + 4y - 4 এর একটি উৎপাদক কোনটি? 

সমাধান: 
 x² - y² + 4y - 4 
= x² - (y² - 4y + 4) 
= x² - {(y)² - 2. y. 2 + (2)²} 
= x² - (y - 2)² 
= {x + (y - 2)} {x - (y - 2)} 
= (x + y - 2) (x - y + 2) 

x² - y² - 2x + 1
= (x² - 2x + 1) - y²
= (x - 1)² - y²
= (x + y - 1)(x - y - 1)

(x - y)/xy + (y - z)/yz + (z - x)/zx
= (zx - yz + xy - zx + yz - xy)/xyz
= 0/xyz
= 0