গুরুত্বপূর্ণ টপিকের উপর পরীক্ষা - ১৩৫ মার্কস্‌ কাভার

প্রশ্ন: x³ - 21x - 20 এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান: 
ধরি
f(x) = x³ - 21x - 20
f( - 1) = ( - 1)³ - 21( - 1) - 20
= - 1 + 21 - 20
= 21 - 21
= 0

(x + 1) হলো x³ - 21x - 20 এর একটি উৎপাদক।

প্রশ্ন: |4a + 2| < 6 অসমতাটির সমাধান কত?

সমাধান: 
|4a + 2| < 6
⇒ - 6 < 4a + 2 < 6
⇒ - 6 - 2 < 4a + 2 - 2 < 6 - 2
⇒ - 8 < 4a < 4
⇒ - 2 < a < 1

∴ নির্ণেয় সমাধান: - 2 < a < 1

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে ২০ ও ২১ সেন্টিমিটার হলে এর অতিভুজের মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে ২০ সেন্টিমিটার ও ২১ সেন্টিমিটার

আমরা জানি,
পিথাগোরাসের সূত্রানুযায়ী,
(অতিভুজ)^২ = (ভূমি)^২ + (লম্ব)^২
⇒ অতিভুজ = √(২০^২ + ২১^২)
⇒ অতিভুজ = √(৪০০ + ৪৪১)
⇒ অতিভুজ = √(৮৪১)
∴ অতিভুজ = ২৯ সেন্টিমিটার

প্রশ্ন: a + b = 11 এবং a - b = 3 হলে, a² + b² এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
a + b = 11
এবং a - b = 3

আমরা জানি,
2(a² + b²) = (a + b)² + (a - b)²
⇒ 2(a² + b²) = (11)² + (3)²
⇒ 2(a² + b²) = 121 + 9
⇒ 2(a² + b²) = 130
⇒ (a² + b²) = 130/2
∴ (a² + b²) = 65 

প্রশ্ন: log₃9 + log₄64 + log₅625 = কত?

সমাধান:
= log₃9 + log₄64 + log₅625
= log₃3² + log₄4³ + log₅5⁴
= 2 log₃3 + 3 log₄4 + 4 log₅5
= (2 × 1) + (3 × 1) + (4 × 1)   [log_aa = 1]
= (2 + 3 + 4)
= 9

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের ক্ষেত্রফল 49π বর্গ একক হলে, ঐ বৃত্তের পরিসীমা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

প্রশ্নমতে,
πr² = 49π
⇒ r² = 49
⇒ r = √49
⇒ r = 7

∴ বৃত্তের পরিসীমা = 2πr
= 2 × (22/7) × (7)
= 44 একক

প্রশ্ন: a² - 23a + 132 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে হবে -

সমাধান:
a²- 23a + 132
= a² - 12a - 11a + 132
= a(a - 12) - 11(a - 12)
= (a - 12)(a - 11)

প্রশ্ন: 3 < x < 5 হলে, পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ হবে-

সমাধান:
এখানে,
অসমতাটির উর্ধ্বসীমা ও নিম্নসীমার গড় = (3 + 5)/2
= 8/2
= 4

এখন,
3 < x < 5
⇒ 3 - 4 < x - 4 < 5 - 4 [উভয় পক্ষ থেকে 4 বিয়োগ করে]
⇒ - 1 < x - 4 < 1
⇒ |x - 4| < 1

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ২৫ সে.মি. এবং অপর দুই বাহুর অন্তর ৫ সে.মি. হলে, সবচেয়ে ছোট বাহুর দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান:
ধরি,
ত্রিভুজের এক বাহু = ক
অপর বাহু = (ক + ৫)

শর্তমতে,
ক^২ + (ক + ৫)^২ = ২৫^২
⇒ ক^২ + ক^২ + ১০ক + ২৫ = ৬২৫
⇒ ২ক^২ + ১০ক - ৬০০ = ০
⇒ ক^২ + ৫ক - ৩০০ = ০
⇒ ক^২ + ২০ক - ১৫ক - ৩০০ = ০
⇒ ক(ক + ২০) - ১৫(ক + ২০) = ০
⇒ (ক + ২০)(ক - ১৫) = ০
হয়, ক = ১৫ অথবা, ক = - ২০  [দৈর্ঘ্য ঋনাত্নক হতে পারে না]

∴ সবেচেয়ে ছোট বাহুর দৈর্ঘ্য = ১৫ সে.মি.

প্রশ্ন: যদি √x + (1/√x) = 2 হয়, (√x)³ + (1/√x)³ =?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
√x + (1/√x) = 2  

আমরা জানি,
(√x)³ + (1/√x)³ = {√x + (1/√x)}³ - 3. √x. (1/√x){√x + (1/√x)}
= (2)³ - 3. 2 
= 8 - 6  
= 2

∴ (√x)³ + (1/√x)³ = 2

প্রশ্ন: (625)^0.16 × (625)^0.09 = কত?

সমাধান:
(625)^0.16 × (625)^0.09
= 625^{0.16 + 0.09}
= (625)^0.25
= (625)^(25/100)
= (625)^(1/4)
= (5⁴)^(1/4)
= 5¹
= 5

প্রশ্ন: ১১ সে.মি ব্যাসার্ধ ও ১৮ সে.মি. ব্যাস বিশিষ্ট দুইটি বৃত্ত পরস্পর বহিঃস্পর্শ করে অবস্থান করলে, তাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

সমাধান: 

আমরা জানি,
বহিঃস্পর্শ করা দুইটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের যোগফলই তাদের মধ্যবর্তী দূরত্বের সমান।

এখানে,
১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ১১ সে.মি.
২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ১৮/২ = ৯ সে.মি.

∴ তাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব = (১১ + ৯) সে.মি.
= ২০ সে.মি.

প্রশ্ন: 7a² + 4a + 5 - 5(a² + a + 4) এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ নিচের কোনটি?

সমাধান: 
7a² + 4a + 5 - 5(a² + a + 4)
= 7a² + 4a + 5 - 5a² - 5a - 20
= 2a² - a - 15
= 2a² - 6a + 5a - 15
= 2a(a - 3) + 5(a - 3)
= (a - 3)(2a + 5)

প্রশ্ন: x ≤ (3x/8) + 5 অসমতাটির সমাধান সেট কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত অসমতা,
x ≤ (3x/8) + 5
⇒ 8x ≤ 3x + 40
⇒ 8x - 3x ≤ 3x + 40 - 3x
⇒ 5x ≤ 40
∴ x ≤ 8

∴ নির্ণেয় সমাধান সেট, S = {x ∈ R : x ≤ 8}

প্রশ্ন: যদি x = 3 + 2√2 হয়, তবে (√x - 1/√x)² = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = 3 + 2√2
⇒ x = 2 + 2√2 + 1
⇒ x = (√2 + 1)²
⇒ √x = √2 + 1

আবার,
⇒ 1/√x =1/(√2 + 1)
⇒ 1/√x = {1 × (√2 - 1)}/{√2 +1)(√2 - 1)}
⇒ 1/√x = (√2 - 1){(√2)² - 1}
⇒ 1/√x = (√2 - 1)(2 - 1)
⇒ 1/√x = √2 - 1

এখন,
√x - 1/√x = √2 + 1 - √2 + 1 = 2
(√x - 1/√x)² = 2² = 4

প্রশ্ন: 49a² - 56a এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
49a² - 56a
= (7a)² - 2 . 7a . 4 + 4² - 4²
= (7a - 4)² - 16

∴ 49a² - 56a এর সাথে 16 যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

প্রশ্ন: 4logx + 4logy = log81 হলে xy এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
4logx + 4logy = log81
⇒ logx⁴ + logy⁴ = log3⁴
⇒ logx⁴y⁴ = log3⁴
⇒ (xy)⁴ = 3⁴
⇒ xy = 3

প্রশ্ন: চিত্রে ABC সমবাহু ত্রিভুজ হলে, ∠BOC এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
ABC সমবাহু ত্রিভুজ
∴ ∠A = ∠B = ∠C = 60°
∴ ∠BAC = 60°

এখন,
যেহেতু ∠BAC এবং ∠BOC একই চাপ BC এর উপর দণ্ডায়মান।

আমরা জানি,
বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ, বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
∴ ∠BOC = 2 × ∠BAC
= 2 × 60°
= 120°

প্রশ্ন: x² + 5x - 24 এবং x² - x - 6 এর সাধারণ উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
১ম রাশি = x² + 5x - 24
= x² + 8x - 3x - 24
= x(x + 8) - 3(x + 8)
= (x + 8)(x - 3)

২য় রাশি = x² - x - 6
= x² - 3x + 2x - 6
= x(x - 3) + 2(x - 3)
= (x - 3)(x + 2)

∴ প্রদত্ত রাশিদ্বয়ের সাধারণ উৎপাদক = x - 3

প্রশ্ন: সমাধান করুন: |5 - x| > 11

সমাধান:
এখন, (5 - x) > 0 হলে প্রদত্ত অসমতা, 5 - x > 11
⇒ - x > 11 - 5
⇒  - x > 6
⇒ x < - 6   [ -1 দ্বারা গুণ করে ]

আবার, (5 - x) < 0 হলে প্রদত্ত অসমতা, - (5 - x ) > 11
⇒ 5 - x < - 11  [ -1 দ্বারা গুণ করে]
⇒ 5 - x - 5 < - 11 - 5
⇒ - x < - 16
⇒ x > 16

∴ নির্ণেয় সমাধান: x < - 6 অথবা x > 16

প্রশ্ন: একটি অর্ধ-বৃত্ত আকারের জানালার ব্যাস 63 সে.মি. হলে তার পরিসীমা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
অর্ধবৃত্তের পরিসীমা = বৃত্তের অর্ধ পরিধি + ব্যাস
= πr + 2r
= (22/7) × (63/2) +  63
= (99 + 63)
= 162 সে.মি.

প্রশ্ন: 36^{x + 1} = 216 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
36^{x + 1} = 216
⇒ (6²)^{x + 1} = 6³
⇒ 6^{2x + 2} = 6³
⇒ 2x + 2 = 3
⇒ 2x = 3 - 2
⇒ 2x = 1
∴ x = 1/2

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত ৪ : ৭ হলে তাদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?

সমাধান: 
ধরি,
ব্যাসার্ধ যথাক্রমে ৪ক ও ৭ক

ক্ষেত্রফলের অনুপাত = π(৪ক)^২ : π(৭ক)^২
= ১৬ : ৪৯

প্রশ্ন: 10p² + 7p - 12 এর উৎপাদকে বিশ্লেষিত রূপ কোনটি?

সমাধান: 
10p² + 7p - 12
= 10p² + 15p - 8p - 12
= 5p(2p + 3) - 4(2p + 3)
= (2p + 3)(5p - 4)

প্রশ্ন: |y - 6| ≤ 5 হলে, y এর সর্বনিম্ন মান কত?

সমাধান:
|y - 6| ≤ 5
⇒ - 5 ≤ y - 6 ≤ 5
⇒ - 5 + 6 ≤ y - 6  + 6 ≤ 5 + 6
⇒ 1 ≤ y ≤ 11

∴ y এর সর্বনিম্ন মান = 1

প্রশ্ন: যদি x² - 2x = - 1 হয়,

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x² - 2x = - 1
⇒ x² + 1 = 2x
⇒ x + 1/x = 2

প্রশ্ন: যদি log_xy = 100 এবং log₂x = 1 হয়, তাহলে y এর মান-

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log₂x = 1
∴ x = 2

এখন,
log_xy = 100
⇒ y = x¹⁰⁰ = (2)¹⁰⁰
∴ y = 2¹⁰⁰