প্রাইমারি ডেইলি কুইজ

প্রশ্ন: x² + 3x - 10 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত রাশি = x² + 3x - 10
= x² + 5x - 2x - 10
= x(x + 5) - 2(x + 5)
= (x + 5)(x - 2)

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার তিনগুণের সাথে ৫ যোগ করলে যোগফল সংখ্যাটির দ্বিগুণ অপেক্ষা ৯ বেশি হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
 ধরি, সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
৩ক + ৫ = ২ক + ৯
বা, ৩ক - ২ক = ৯ - ৫
বা, ক = ৪

∴ সংখ্যাটি = ৪

প্রশ্ন: 2x + y = 11 এবং 3x - y = 4 হলে x ও y এর মান কত?

সমাধান:
2x + y = 11 ............ (1)
3x - y = 4 ............ (2)

(1) ও (2) নং সমীকরণকে যোগ করে পাই,
2x + y + 3x - y = 11 + 4
⇒ 5x = 15
⇒ x = 15/5
⇒ x = 3

x এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
2(3) + y = 11
⇒ 6 + y = 11
⇒ y = 11 - 6
⇒ y = 5

∴ x = 3 এবং y = 5

প্রশ্ন: x² - y² - 2y - 1 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
x² - y² - 2y - 1
= x² - (y² + 2y + 1)
= x² - (y + 1)²
= (x + y + 1)(x - y - 1)

প্রশ্ন: {(3x - 2)/4} + 1 = (x + 3)/2 সমীকরণটিতে x এর মান কত?

সমাধান:
 {(3x - 2)/4} + 1 = (x + 3)/2
⇒ (3x - 2 + 4)/4 = (x + 3)/2
⇒ (3x + 2)/4 = (x + 3)/2
⇒ 2(3x + 2) = 4(x + 3)
⇒ 6x + 4 = 4x + 12
⇒ 6x - 4x = 12 - 4
⇒ 2x = 8
⇒ x = 8/2
∴ x = 4

প্রশ্ন: একটি সমিতি থেকে যতজন সদস্য আছে, প্রত্যেকে তত টাকা করে চাঁদা দিলে মোট ৯৬১ টাকা সংগৃহীত হয়। ঐ সমিতির সদস্য সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি, সদস্য সংখ্যা = ক জন

এখন, ১ জন সদস্য চাঁদা দেয় = ক টাকা
∴ মোট সংগৃহীত চাঁদা = ক × ক = ক^২ টাকা

প্রশ্নমতে,
ক^২ =৯৬১ 
⇒ ক = √৯৬১ 
∴ ক = ৩১

অতএব সমিতির সদস্য সংখ্যা = ৩১ জন

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার পার্থক্য ১০ এবং তাদের যোগফল পার্থক্যের ৪ গুণ। সংখ্যা দুইটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যা দুইটি যথাক্রমে x এবং y

প্রশ্নমতে,
x - y = ১০ ...........(1)

এবং,
x + y = ৪(x - y)
⇒ x + y = ৪(১০) [(1) নং থেকে মান বসিয়ে]
⇒ x + y = ৪০ ...........(2)

এখন, (1) ও (2) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
(x - y) + (x + y) = ১০ + ৪০
⇒ ২x = ৫০
⇒ x = ৫০/২
⇒ x = ২৫

এবার x এর মান (2) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
২৫ + y = ৪০
⇒ y = ৪০ - ২৫
⇒ y = ১৫

অতএব, সংখ্যা দুইটি হলো ২৫ এবং ১৫

প্রশ্ন: a⁴ + 64b⁴ এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
a⁴ + 64b⁴
= (a²)² + (8b²)²
= (a²)² + 2a² . 8b² + (8b²)² - 16a²b²
= (a² + 8b²)² - (4ab)²
= (a² + 8b² + 4ab)(a² + 8b² - 4ab)
= (a² + 4ab + 8b²)(a² - 4ab + 8b²)

প্রশ্ন: (√3 + 1)x + 2 = 2√3 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:

প্রশ্ন: কোনো ভগ্নাংশের লবের সাথে 7 যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান 2 হয় এবং হর থেকে 2 বাদ দিলে ভগ্নাংশটির মান 1 হয়। ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
ধরা যাক,
ভগ্নাংশের লব = x
এবং হর = y
∴ ভগ্নাংশ = x/y

১ম শর্তমতে,
(x + 7)/y = 2
⇒ x + 7 = 2y
⇒ x - 2y = - 7 ..........(1)

২য় শর্তমতে,
x/(y - 2) = 1
⇒ x = y - 2
⇒ x - y = - 2 ..........(2)

(1) - (2) ⇒
x - 2y - x + y = - 7 + 2
⇒ - y = - 7 + 2
⇒ - y = -5
∴ y = 5

y এর মান (2) নং এ বসিয়ে পাই,
⇒ x - 5 = - 2
∴ x = - 2 + 5 = 3

∴ নির্ণেয় ভগ্নাংশ = 3/5

প্রশ্ন: x³ - x² কে x - 2 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত থাকবে?

সমাধান:
ভাগশেষ উপপাদ্য অনুযায়ী, কোনো বহুপদী রাশি f(x) কে (x - a) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় f(a)।

এখানে, ভাজ্য, f(x) = x³ - x²
ভাজক, g(x) = x - 2

এখন, x = 2 মানটি f(x)-এ বসিয়ে ভাগশেষ নির্ণয় করি,
f(2) = (2)³ - (2)²
 = 8 - 4
= 4

∴ নির্ণেয় ভাগশেষ হলো 4

প্রশ্ন: (5x - y, 21) = (39, 3x - y) হলে, (x, y) এর মান কত?

সমাধান:
ক্রমজোড়ের শর্তানুসারে পাই,
3x - y = 21 ........(1)
5x - y = 39 ........(2)

(2) নং সমীকরণ থেকে (1) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,
(5x - y - 3x + y) = 39 - 21
⇒ 2x = 18
⇒ x = 9

x এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
3(9) - y = 21
⇒ 27 - y = 21
⇒ y = 27 - 21
⇒ y = 6

∴ নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (9, 6)

প্রশ্ন: একটি লঞ্চে মোট যাত্রী ৬০ জন। কেবিনের মাথাপিছু ভাড়া ডেকের ভাড়ার দ্বিগুণেরও ১০ টাকা বেশি। ডেকের ভাড়া মাথাপিছু ৫০ টাকা এবং মোট ভাড়া প্রাপ্তি ৪২০০ টাকা হলে কেবিনে কতজন যাত্রী আছে?

সমাধান:
ধরি, ডেকের যাত্রী ক জন কেবিনের যাত্রী সংখ্যা = ৬০ - ক জন

ডেকের ভাড়া মাথাপিছু ৫০ টাকা
∴ কেবিনের ভাড়া = ৫০ × ২ + ১০ টাকা = ১১০ টাকা

প্রশ্নমতে,
৫০ক + ১১০(৬০ - ক) = ৪২০০ টাকা
⇒ ৫০ক + ৬৬০০ - ১১০ক = ৪২০০
⇒ ৬৬০০ - ৬০ক = ৪২০০
⇒ ৬০ক = ৬৬০০ - ৪২০০
⇒ ৬০ক = ২৪০০
∴ ক = ৪০

∴ কেবিনের যাত্রী সংখ্যা = ৬০ - ৪০ = ২০ জন

প্রশ্ন: x³ - 7x - 6 এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
x³ - 7x - 6
= x³ + x² - x² - x - 6x - 6
= x²(x + 1) - x(x + 1) - 6(x + 1)
= (x + 1){x² - x - 6}
= (x + 1){x² - 3x + 2x - 6}
= (x + 1){x(x - 3) + 2(x - 3)}
= (x + 1)(x - 3)(x + 2)

∴ নির্ণেয় উৎপাদক = (x + 1)(x + 2)(x - 3)

প্রশ্ন: যদি 5xy + 28x - 2 = 0 এবং y = - 4 হয়, তাহলে 4x - y = কত?

সমাধান:
5xy + 28x - 2 = 0
বা, 5x(- 4) + 28x - 2 = 0   [ y = - 4 ]
বা, - 20x + 28x - 2 = 0
বা, 8x - 2 = 0
বা, 8x = 2
বা, x = 2/8
∴ x = 1/4

∴ 4x - y = 4(1/4) - (- 4)
= 1 + 4
= 5

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিকক্ষের প্রতি বেঞ্চে ৫ জন করে শিক্ষার্থী বসলে ৩টি বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে বসলে ৪ জন শিক্ষার্থীকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণিতে বেঞ্চের সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
ধরি, বেঞ্চের সংখ্যা = ক টি

প্রথম শর্তমতে, শিক্ষার্থীর সংখ্যা = ৫(ক - ৩)
দ্বিতীয় শর্তমতে, শিক্ষার্থীর সংখ্যা = ৪ক + ৪

প্রশ্নমতে, 
৫(ক - ৩) = ৪ক + ৪
⇒ ৫ক - ১৫ = ৪ক + ৪
⇒ ৫ক - ৪ক = ৪ + ১৫
⇒ ক = ১৯

∴ বেঞ্চের সংখ্যা ১৯ টি

প্রশ্ন: a² + 6a + 8 - y² + 2y এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
a² + 6a + 8 - y² + 2y
= a² + 2 . a . 3 + 3² - 1 - y² + 2y
= (a + 3)² - (y² - 2y + 1) 
=  (a + 3)² - (y - 1)²
= (a + 3 + y - 1)(a + 3 - y + 1)
= (a + y + 2)(a - y + 4)

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার বর্গের সমষ্টি ও বর্গের অন্তরফল যথাক্রমে 130 ও 32 হলে, সংখ্যা দুইটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যা দুইটি x এবং y
∴ x² + y² = 130 .........(1)
x² - y² = 32 .........(2)

(1) ও (2) যোগ করে পাই,
2x² = 162
বা, x² = 162 / 2
বা, x² = 81
বা, x² = 9²
∴ x = 9

(i) সমীকরণে x-এর মান বসিয়ে পাই,
y² = 130 - x²
বা, y² = 130 - (9)²
বা, y² = 130 - 81
বা, y² = 49
বা, y² = 7²
∴ y = 7

∴ (x, y) = (9, 7)

প্রশ্ন: x³ - 7x² + ax + 18 বহুপদীর একটি উৎপাদক x - 3 হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
ধরি, f(x) = x³ - 7x² + ax + 18
যেহেতু (x - 3) রাশিটির একটি উৎপাদক, সেহেতু x = 3 হলে f(x) এর মান শূন্য হবে।

এখন,
f(3) = (3)³ - 7(3)² + a(3) + 18
= 27 - 7(9) + 3a + 18
= 27 - 63 + 3a + 18
= - 18 + 3a

শর্তমতে, f(3) = 0
⇒ - 18 + 3a = 0
⇒ 3a = 18
∴ a = 6

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা অপর একটি সংখ্যার ২/৫ গুণ। সংখ্যা দুইটির সমষ্টি ৯৮ হলে, সংখ্যা দুইটি কত?

সমাধান:
ধরি,
একটি সংখ্যা = ক
অপর সংখ্যাটি = ২ক/৫

প্রশ্নমতে,
ক + (২ক/৫) = ৯৮
বা, (৫ক + ২ক)/৫ = ৯৮
বা, ৭ক/৫ = ৯৮
বা, ৭ক = ৯৮ × ৫
বা, ক = (৯৮ × ৫)/৭
বা, ক = ৭০

অতএব, একটি সংখ্যা = ৭০
ও অপর সংখ্যাটি = (২ × ৭০)/৫ = ২৮