প্রাইমারি শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি [লং কোর্স]

প্রশ্ন : x² = 15 + 2√56 হলে, 1/x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
বা, x² = 15 + 2√56
বা, x² = 8 + 2√56  + 7
বা, x² = (√8)2 + 2.√8.√7 + (√7)2
বা, x² = (√8 + √7)2
বা, x = √8 + √7
বা, 1/x = 1/√8 + √7
বা, 1/x = (√8 - √7)/(√8 + √7)(√8 - √7)
বা, 1/x =  (√8 - √7)/(√8)² - (√7)²
বা, 1/x = (√8 - √7)/(8 - 7)
    1/x = (√8 - √7)

প্রশ্ন: x³ + x²y এবং x²y + xy² এর ল. সা. গু. কোনটি? 

সমাধান: 
x³ + x²y 
= x² (x + y) 

এবং x²y + xy² 
= xy (x + y) 

∴ ল. সা. গু. = x²y (x + y)

প্রশ্ন: x = 10 হলে নিচের কোনটির মান সর্বনিম্ন? 

সমাধান: 
উক্ত অপশন অনুযায়ী, 
(ক) 2 - x = 2 - 10 = - 8 (ক্ষুদ্রতম) 
(খ) x/2 = 10/2 = 5 (বৃহত্তম) 
(গ) 2/x = 2/10 = 0.5 (বৃহত্তম) 
(ঘ) (2 - x)² = (2 - 10)² = (- 8)² = 64 (বৃহত্তম) 

∴ 2 - x এর মান সর্বনিম্ন। 

প্রশ্ন: a + b = 6 এবং a - b = 4 হয়, তবে (a² + b²) = কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
2(a² + b²) = (a + b)² + (a - b)²
বা, (a² + b²) = {(a + b)² + (a - b)²}/2 
= {(6)² + (4)²}/2 
= (36 + 16)/2 
= 52/2 
= 26 

∴ (a² + b²) = 26 

প্রশ্ন: 9x² - (2x - 3y)² = ? 

সমাধান: 
9x² - (2x - 3y)² 
= (3x)² - (2x - 3y)² 
= {3x + (2x - 3y)} {3x - (2x - 3y)} 
= (3x + 2x - 3y) (3x - 2x + 3y) 
= (5x - 3y) (x + 3y)

প্রশ্ন: a = 15 এবং b = 6 হলে 9a² - 48ab + 64b² এর মান কত? 

সমাধান: 
9a² - 48ab + 64b² 
= (3a)² - 2. (3a). (8b) + (8b)² 
= (3a - 8b)² 
= {3 × (15) - 8 × (6)}² 
= (45 - 48)² 
= (- 3)² 
= 9

প্রশ্ন: যদি Q/P = 1/4 হয়, তবে (P + Q)/(P - Q) এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
 Q/P = 1/4 
বা, P/Q = 4/1 
বা, (P + Q)/(P - Q) = (4 + 1)/(4 -1) [যোজন বিয়োজন করে] 
বা, (P + Q)/(P - Q) = 5/3 

∴ (P + Q)/(P - Q) = 5/3 

প্রশ্ন: x + y = 17 এবং xy = 60 হলে, x - y = কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
(x - y)² = (x + y)² - 4xy 
বা, (x - y)² = (17)² - 4 × (60) 
বা, (x - y)² = 289 - 240 
বা, (x - y)² = 49 
বা, (x - y)² = (7)² 
∴ x - y = 7 

প্রশ্ন: 3x² + 9, x⁴ - 9 এবং x⁴ + 6x² + 9 এর ল. সা. গু. কত? 

সমাধান: 
১ম রাশি = 3x² + 9 
= 3 (x² + 3) 

২য় রাশি = x⁴ - 9 
= (x²)² - (3)² 
= (x² + 3) (x² - 3) 

এবং ৩য় রাশি = x⁴ + 6x² + 9 
= (x²)² + 2. x². 3 + (3)² 
= (x² + 3)² 
= (x² + 3) (x² + 3) 

∴ নির্ণেয় ল. সা. গু. = 3(x² + 3)²(x² - 3)

প্রশ্ন: x + y = 12 এবং x - y = 2 হলে xy এর মান কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
4xy = (x + y)² - (x - y)² 
বা, 4xy = (12)² - (2)² 
বা, 4xy = 144 - 4 
বা, 4xy = 140 
বা, xy = 140/4 
∴ xy = 35 

প্রশ্ন: x² - y² + 4y - 4 এর একটি উৎপাদক কোনটি? 

সমাধান: 
 x² - y² + 4y - 4 
= x² - (y² - 4y + 4) 
= x² - {(y)² - 2. y. 2 + (2)²} 
= x² - (y - 2)² 
= {x + (y - 2)} {x - (y - 2)} 
= (x + y - 2) (x - y + 2) 

প্রশ্ন: x² + y² = 8 এবং xy = 7 হলে (x + y)² এর মান কত?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
(x + y)² = x² + y² + 2xy 
= (x² + y²) + 2xy 
= 8 + (2 × 7) 
= 8 + 14 
= 22 

∴ (x + y)² = 22 

প্রশ্ন: x - {x - x - (x - 1)} এর মান কত? 

সমাধান: 
x - {x - x - (x - 1)}
= x - {x - x - x + 1)} 
= x - {-x + 1} 
= x + x - 1
= 2x - 1 

প্রশ্ন: a + (1/a) = 4 হলে a² + (1/a²) এর মান কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
a² + (1/a²) = {a + (1/a)}² - 2. a. (1/a) 
= (4)² - 2 
= 16 - 2 
= 14 

প্রশ্ন: x³ - 8 এর উৎপাদক কোনটি? 

সমাধান: 
x³ - 8 
= (x)³ - (2)³ 
= (x - 2) (x² + 2x + 2) 

প্রশ্ন: a²b³/c²d কে a³b²/cd³ দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল কত? 

সমাধান: 
a²b³/c²d ÷ a³b²/cd³ 
= a²b³/c²d × cd³/a³b² 
= bd²/ca 

প্রশ্ন: a + a^-1 = 3 হলে a⁴ + (a^-1)⁴ = কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a + a^-1 = 3 
বা, a + (1/a) = 3 

এখন, 
 a⁴ + (a^-1)⁴ 
= a⁴ + (1/a⁴) 
= (a²)² + (1/a²)² 
= {(a)² + (1/a²)}² - 2.a². 1/a² 
= {(a + 1/a)² - 2. a. 1/a}² - 2 
= {(3)² - 2}² - 2 
= (9 - 2)² - 2 
= (7)² - 2 
= 49 - 2 
= 47 

প্রশ্ন: 2a + 4b এবং 2a² + a - b এর যোগফলের মান কত হবে যখন a = 2 এবং b = 3 হয়? 

সমাধান: 
2a + 4b + 2a² + a - b 
= 2a² + 3a + 3b 
= 2 × (2)² + 3 × 2 + 3 × 3 
= 8 + 6 + 9 
= 23

প্রশ্ন: p - (1/p) = 5 হলে {p + (1/p)}² = কত? 

সমাধান:
{p + (1/p)}² = {p - (1/p)}² + 4. p. 1/p 
= (5)² + 4 
= 25 + 4 
= 29 

প্রশ্ন: a³ - 7a - 6 এর উৎপাদক কত? 

সমাধান:
 a³ - 7a - 6 
= a³ + a² - a² - a - 6a - 6 
= a² (a + 1) - a (a + 1) - 6 (a + 1) 
= (a + 1) (a² - a - 6) 
= (a + 1) (a² - 3a + 2a - 6) 
= (a + 1) {a (a - 3) + 2 (a -3)} 
= (a + 1) (a - 3) (a + 2) 

∴ নির্ণেয় উৎপাদক = (a + 1)(a + 2)(a - 3) .

প্রশ্ন: x + (1/x) = √5 হলে x³ + (1/x³) = কত? 

সমাধান:
x³ + (1/x³) 
= {x + 1/x)}³ - 3.x.1/x {x + (1/x)} 
= (√5)³ - 3. √5 
= 5√5 - 3√5 
= 2√5