১৪তম - ২০তম গ্রেড পরীক্ষার প্রস্তুতি

প্রশ্ন: একটি চতুর্ভুজে দুটি বিপরীত বাহু সমান্তরাল ও সমান না হলে সেটি কোনটি?

সমাধান:
• ট্রাপিজিয়াম (Trapezium) হলো এমন একটি চতুর্ভুজ যার দুটি বিপরীত বাহু সমান্তরাল কিন্তু সমান নয়। বাকি দুটি বাহু অসমান্তরাল হয়।
- এটি অন্যান্য চতুর্ভুজের তুলনায় বিশেষ একটি রূপ, যেখানে সমান্তরাল বাহুগুলিকে ভিত্তি (bases) এবং অসমান্তরাল বাহুগুলিকে বাহু (legs) বলা হয়।

প্রধান বৈশিষ্ট্য:
- একটি জোড়া বিপরীত বাহু সমান্তরাল।
- সমান্তরাল বাহুগুলির দৈর্ঘ্য সমান নাও হতে পারে।
- কর্ণদ্বয় সাধারণত সমান নয়।
- যদি অসমান্তরাল বাহুদ্বয় সমান হয়, তবে সেটি সমবাহু ট্রাপিজিয়াম (Isosceles Trapezium) নামে পরিচিত।

∴ চতুর্ভুজটি ট্রাপিজিয়াম

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু-সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ১০ সেমি হলে প্রতিটি বাহু কত? 

সমাধান:
সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ হলো এমন একটি ত্রিভুজ, যেখানে দুটি বাহু সমান এবং একটি কোণ ৯০°।
ধরি, সমান বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য = ক সেমি

পাইথাগোরাস সূত্র অনুযায়ী,
অতিভুজ^২ = বাহু^২ + বাহু^২
⇒ ১০^২ = ক^২ + ক^২
⇒ ১০০ = ২ক^২
⇒ ৫০ = ক^২
⇒ ক = √৫০
∴ ক = ৫√২ সেমি

প্রশ্ন: রেখাংশের কয়টি প্রান্ত বিন্দু থাকে?

সমাধান:
রেখাংশ:
- রেখার যে কোন অংশকে রেখাংশ বলে।
- রেখাংশের প্রান্ত বিন্দু দুইটি।
রশ্মি (Ray):
- একটি রেখার কোনো বিন্দু ও উহার এক পাশের অংশকে একত্রে রশ্মি বলা হয় এবং ঐ বিন্দুটিকে রশ্মিটির প্রান্ত বিন্দু বলা হয়।
- রশ্মির একটি মাত্র প্রান্ত বিন্দু থাকে।

রেখা (Line):
- দুটি তল পরস্পরকে ছেদ করলে রেখা হয়।
- রেখার কোন প্রান্ত বিন্দু নেই।

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য ১৭ সেমি এবং একটি বাহু ৮ সেমি। অপর বাহুর দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান:
আয়তক্ষেত্রে কর্ণ দুটি সমান হয় এবং একে অপরকে ছেদ করে। কর্ণ, দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের মধ্যে সম্পর্ক হলো পাইথাগোরাস সূত্র দ্বারা প্রকাশিত।

কর্ণ^২ = দৈর্ঘ্য^২ + প্রস্থ^২
এখানে,
কর্ণ = ১৭ সেমি
একটি বাহু (প্রস্থ) = ৮ সেমি

সুতরাং,
⇒ ১৭^২ = ৮^২ + অপরবাহু^২
⇒ ২৮৯ = ৬৪ + অপরবাহু^২
⇒ অপরবাহু^২ = ২৮৯ - ৬৪
⇒ অপরবাহু^২ = ২২৫ 
⇒ অপরবাহু =√২২৫
অপর বাহু = ১৫

∴ অপর বাহু = ১৫ সেমি

প্রশ্ন: যদি কোনো ত্রিভুজে দুই বাহুর যোগ তৃতীয় বাহুর সমান হয়, তবে সেই ত্রিভুজটি কী হবে? 

সমাধান:
ত্রিভুজ অসমতা উপপাদ্য (Triangle Inequality Theorem) অনুযায়ী, ত্রিভুজের যে কোনো দুই বাহুর যোগফল সর্বদা তৃতীয় বাহুর চেয়ে বড় হতে হবে।

• যদি দুই বাহুর যোগ তৃতীয় বাহুর সমান হয়, তাহলে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল শূন্য হবে এবং এটি কোনো ত্রিভুজ গঠন করতে পারবে না।

উদাহরণ:
- বাহুসমূহ a, b, c এবং a + b = c।
- ত্রিভুজ গঠনের জন্য a + b > c হতে হবে।
- a + b = c হলে এটি এক সরলরেখা তৈরি করে, ত্রিভুজ নয়।

∴ ত্রিভুজটি আঁকা সম্ভব নয়।

প্রশ্ন: একটি সমান্তর চতুর্ভুজের ভিত্তি দ্বিগুণ এবং উচ্চতা অর্ধেক করলে ক্ষেত্রফলের কী পরিবর্তন হবে? 

সমাধান:
সমান্তর চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল সূত্র:
A = ভিত্তি × উচ্চতা
প্রাথমিক ভিত্তি b এবং উচ্চতা h

প্রাথমিক ক্ষেত্রফল: A₁ = b × h

নতুন মান:
ভিত্তি দ্বিগুণ = 2b
উচ্চতা অর্ধেক = h/2
A₂ = 2b × h/2 = b × h = A₁

∴ ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকবে।

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজে বাহুর দৈর্ঘ্য 10 সেমি। উচ্চতার দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান:
সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতার সূত্র:
h = (√3/2) × a

যেখানে, a হলো সমবাহু ত্রিভুজের বাহু।
প্রদত্ত: a = 10

h = (√3/2) × 10 = 5√3

∴ সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা 5√3 সেমি

প্রশ্ন: রেখা 3x - 4y = 12 এর ঢাল কত?

সমাধান:
প্রদত্ত সরলরেখার সমীকরণ:
3x - 4y = 12 এটিকে y = mx + c আকারে লিখলে,
⇒ - 4y = - 3x + 12
⇒ y = 3/4x - 3
এখানে x এর সহগ হলো রেখার ঢাল m = 3/4

∴ রেখাটির ঢাল = 3/4

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণ 14 সেমি হলে এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি, বর্গক্ষেত্রের বাহু = a সেমি

দেওয়া আছে, কর্ণ = 14 সেমি

আমরা জানি, বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = a√2
∴ a√2 = 14
⇒ a = 14/√2
⇒ a = (14/√2) × (√2/√2)
⇒ a = 14√2/2
⇒ a = 7√2 সেমি

এখন, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = a²
= (7√2)²
= 49 × 2
= 98 বর্গ সেমি

∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 98 বর্গ সেমি

প্রশ্ন: ২৪ মিটার বাহু বিশিষ্ট একটি ত্রিভুজের সমপরিসীমা বিশিষ্ট একটি বর্গ আঁকলে, সেই বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য কত হবে? 

সমাধান:
ত্রিভুজের বাহু = ২৪ মি
পরিসীমা = ৩ × ২৪ = ৭২ মি  

সমপরিসীমা বিশিষ্ট বর্গের বাহু
বর্গের পরিসীমা = ৪ × বাহু 
⇒ ৪ × বাহু = ৭২
⇒ বাহু = ৭২ / ৪
⇒ বাহু = ১৮ মিটার

∴ বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = ১৮ মিটার

প্রশ্ন: দুটি সম্পূরক কোণের পার্থক্য 30° হলে তাদের মান কত?

সমাধান:
দুটি কোণ সম্পূরক হলে তাদের যোগফল হয় 180°।
ধরা যাক, কোণ দুটি x এবং y এবং x < y। 

তাহলে,
x + y = 180°
আবার,
y - x = 30°
 ⇒ y = x + 30°

প্রথম সমীকরণে y = x + 30° বসিয়ে পাই:
x + (x + 30°) = 180°
⇒ 2x + 30° = 180°
⇒ 2x = 150°
⇒ x = 75°

অতএব,
y = x + 30° = 75° + 30° = 105°

∴ (x, y) = (75°, 105°)

প্রশ্ন: দুটি রেখা 3x - 2y + 4 = 0 ও 6x - 4y + k = 0 সমান্তরাল হলে k এর মান কী হতে পারে?

সমাধান:
প্রদত্ত দুটি রেখা হলো;
(1) 3x - 2y + 4 = 0
(2) 6x - 4y + k = 0

দুটি রেখা সমান্তরাল হবে তখনই, যখন তাদের ঢাল (slope) সমান হয়।
রেখা Ax + By + C = 0 এর ঢাল হলো m = - A/B

এখন দুই রেখার ঢাল বের করি
প্রথম রেখার জন্য,
m₁ = (- 3)/(- 2) = 3/2
​দ্বিতীয় রেখার জন্য,
m₂ = (- 6)/(- 4) = 3/2

অতএব, m₁ = m₂
অর্থাৎ দুই রেখার ঢাল সমান, তাই তারা সমান্তরাল হবে।
এখন k এর মানের ওপর ঢাল নির্ভর করে না, কারণ k কেবলমাত্র ধ্রুবক, যা রেখার অবস্থান পরিবর্তন করে কিন্তু ঢাল পরিবর্তন করে না।

∴ যেকোনো মান হতে পারে।
∴ সঠিক উত্তর : (ঘ)

প্রশ্ন: একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল 108 বর্গমিটার এবং একটি কর্ণ 12 মিটার হলে, অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান:
রম্বসের ক্ষেত্রফল সূত্র:
ক্ষেত্রফল = 1/2 × d₁ × d₂
​যেখানে d₁, d₂​ হলো রম্বসের কর্ণদ্বয়।

প্রদত্ত:
ক্ষেত্রফল = 108, d₁ = 12
অতএব, অপর কর্ণ:
108 = 1/2 × 12 × d₂​
d₂ = 108/6 
d₂ = 18 মিটার

∴ অপর কর্ণ = ১৮ মিটার

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা 6√3 সেমি হলে তার পরিধি কত?

সমাধান:
a হলো সমবাহু ত্রিভুজের বাহু।
তাহলে উচ্চতা;
h = (√3/2) × a
প্রদত্ত: h = 6√3​

6√3 = (√3/2) × a
⇒ a = (6√3 × 2) / √3
⇒ a = (6 × 2)
⇒ a = 12

পরিধি (P) = 3 × বাহু
P = 3 × 12 = 36 সেমি

∴ সমবাহু ত্রিভুজের পরিধি = 36 সেমি

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ ৬ মিটার ও পরিসীমা ৩৬ মিটার হলে, ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান:
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা সূত্র:
পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
৩৬ = ২(দৈর্ঘ্য + ৬)
দৈর্ঘ্য + ৬ = ১৮
দৈর্ঘ্য = ১২ মিটার

ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = ১২ × ৬ = ৭২  বর্গমিটার

∴ ক্ষেত্রফল = ৭২  বর্গমিটার

প্রশ্ন: দুটি সমান্তর রেখা একে অপরের থেকে ৬ সেমি দূরে। এই দুটি রেখার মধ্যবর্তী প্রতিটি লম্বের দৈর্ঘ্য____

সমাধান: 
দুটি সমান্তর রেখা বলতে বোঝায় এমন দুইটি সরলরেখা, যেগুলো একে অপরকে কখনও ছেদ করে না এবং সর্বত্র তাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব অপরিবর্তিত থাকে।
- যেহেতু রেখাদ্বয় সমান্তর, তাই তাদের মধ্যে টানা যেকোনো লম্বের দৈর্ঘ্য সর্বদা সমান হবে।
- অর্থাৎ, প্রতিটি বিন্দু থেকে অপর রেখায় টানা লম্বের দৈর্ঘ্য স্থির থাকে এবং এখানে তা ৬ সেমি।

∴ দুটি সমান্তর রেখার মধ্যবর্তী প্রতিটি লম্বের দৈর্ঘ্য সমান।

প্রশ্ন: যদি একটি ত্রিভুজের তিন কোণ অনুপাত 2 : 3 : 4 হয়, তাহলে বৃহত্তম কোণ কত ডিগ্রি? 

সমাধান:
ত্রিভুজের তিনকোণের যোগফল সবসময় 180° হয়।

ধরি,
কোণগুলো: 2x, 3x, 4x

প্রশ্নমতে,
2x + 3x + 4x = 180°
⇒ 9x = 180°
⇒ x = 20°

বৃহত্তম কোণ = 4x = 4 × 20° = 80°

∴ ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণ হবে 80°

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 12 এবং প্রস্থ 5। এই আয়তক্ষেত্রের কর্ণকে নতুন আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ধরে এবং প্রস্থ আগের মতো 5 ধরে নতুন আয়তক্ষেত্র আঁকা হলে, নতুন আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল আগের তুলনায় শতকরা কত শতাংশ বড় হবে?

সমাধান:
মূল আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
A₁ = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = 12 × 5 = 60 বর্গএকক

আয়তক্ষেত্রের কর্ণ সূত্র:
d = √(L² + W²)
= √(12² + 5²)
= √(144 + 25)
= √169
= 13 বর্গএকক

নতুন দৈর্ঘ্য = কর্ণ = 13 একক, প্রস্থ = 5 একক
A₂ = 13 × 5 = 65 বর্গএকক

ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = A₂ - A₁ = 65 - 60 = 5 একক
শতকরা বৃদ্ধি = 5/60 × 100% = 8.33%

∴ শতকরা বৃদ্ধি = 8.33%

প্রশ্ন: নিচের কোনটি পিথাগোরাসের উপপাদ্যকে সমর্থন করে? 

সমাধান:
পিথাগোরাসের উপপাদ্য,
সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলো satisfy করে।
(অতিভুজ)^২ = (এক বাহু)^২ + (অপর বাহু)^২

অপশন যাচাই করে পাই:
ক) ৩^২ + ৪^২ = ৯ + ১৬ = ২৫ = ৫^২
খ) ৪^৫ + ৫^২ = ১৬ + ২৫ = ৪১ ≠ ৬^২
গ) ৪^২ + ৫^২ = ১৬ + ২৫ = ৪১ ≠ ৯^২ 
ঘ) ১১^২ + ১২^২ = ১২১ + ১৪৪ = ২৫৬ ≠  ১৫^২ 

∴ ৩, ৪ ও ৫ পিথাগোরাসের উপপাদ্যকে সমর্থন করে।

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ৩৯০ বর্গমিটার। ভূমি ৩০ মিটার হলে উচ্চতার পরিমাণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
⇒ ৩৯০ = ৩০ × উচ্চতা
⇒ উচ্চতা = ৩৯০/৩০ = ১৩

সুতরাং, উচ্চতার পরিমাণ ১৩ মিটার।

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থের অনুপাত 5 : 3 এবং ক্ষেত্রফল 1500 হলে, দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
দৈর্ঘ্য = 5x একক
প্রস্থ = 3x একক
ক্ষেত্রফল = 1500 বর্গএকক

প্রশ্নমতে,
ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
⇒ 5x × 3x = 1500 
⇒ 15x² = 1500
⇒ x² = 100
⇒ x = 10 একক

দৈর্ঘ্য:
5x = 5 × 10 = 50 একক
 
∴ দৈর্ঘ্য = 50 একক

প্রশ্ন: একটি অর্ধবৃত্তে একটি ত্রিভুজ আঁকা হলে, সেই ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত হবে? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
অর্ধবৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
অর্ধবৃত্তে সর্বোচ্চ ক্ষেত্রফলের ত্রিভুজ হবে ব্যাসার্ধকে ভিত্তি ধরে এবং কেন্দ্র থেকে শীর্ষবিন্দু পর্যন্ত উঁচু।

এই ক্ষেত্রে, ত্রিভুজের ভিত্তি = 2r (অর্ধবৃত্তের ব্যাস)
উচ্চতা = r
তাহলে, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সূত্র:
A = 1/2 × ভিত্তি × উচ্চতা
= 1/2 × 2r × r 
= r²

∴ r ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট অর্ধবৃত্তে আঁকা বৃহত্তম ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হবে r²

প্রশ্ন: (2, - 5) বিন্দুটি নিচের কোন সরল রেখার উপর অবস্থিত?

সমাধান: 
x = 2, y = - 5 বসিয়ে,

অপশন (ক)- এ, 4x + 3y = 5
4(2) + 3(- 5) = 8 - 15 = - 7 ≠ 5

অপশন (খ)- এ, 2x - y + 1 = 0
2(2) - (- 5) + 1 = 4 + 5 + 1 = 10 ≠ 0

অপশন (গ)- এ, 2x + y = 1
2(2) + (- 5) = 4 - 5 = - 1 ≠ 1

অপশন (ঘ)- এ, 4x - 3y = 23
4(2) - 3(- 5) = 8 + 15 = 23
∴ 23 = 23 ;যা সত্য

অতএব, বিন্দুটি 4x - 3y = 23 রেখার উপর অবস্থিত।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৮ মিটার, ১২ মিটার এবং ১৪ মিটার হলে, বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম বাহুর মধ্যবিন্দু দু’টির দূরত্ব কত মিটার?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের যে কোন দুইবাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল ও অর্ধেক।

এখানে বৃহত্তম বাহু = ১৪ মিটার
এবং ক্ষুদ্রতম বাহু = ৮ মিটার।

∴ এদের মধ্যবিন্দু দুটির দূরত্ব হবে তৃতীয় বাহু ১২ মিটার এর অর্ধেক।
অর্থাৎ ৬ মিটার