প্রাইমারি শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি [লং কোর্স]

সমস্যা: একটি বাক্সে ৬টি লাল ও ৯টি নীল মার্বেল রয়েছে। বাক্সটি থেকে একটি মার্বেল বাছাই করলে মার্বেলটি লাল না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
বাক্সে মোট মার্বেল সংখ্যা = ৬টি লাল + ৯টি নীল = ১৫টি

মার্বেলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা = লাল মার্বেলের সংখ্যা/মোট মার্বেলের সংখ্যা
= ৬/১৫
= ২/৫

∴ মার্বেলটি লাল না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (২/৫)
= (৫ - ২)/৫
= ৩/৫

প্রশ্ন: PEOPLE শব্দটিকে কতভাবে সাজানো যায় যাতে স্বরবর্ণগুলো একত্রে থাকবে?

সমাধান:
PEOPLE শব্দটিতে মোট অক্ষর 6 টি যাদের মধ্যে 3 টি (E, O, E) স্বরবর্ণ এবং বাকী 3 টি ব্যাঞ্জনবর্ণ।

স্বরবর্ণগুলোকে একটি বর্ণ ধরে সাজানোর উপায় 4!/2! = 12 [P দুইটি]
আবার স্বরবর্ণগুলোকে নিজেদের মধ্যে সাজানো যায় = 3!/2! = 3 উপায়ে [E দুইটি]

∴ সাজানোর মোট উপায় = 12 × 3
= 36

প্রশ্ন: ১৫, ৩৫, ২০, ৪০, ২৫, ৩০ উপাত্তসমূহের মধ্যক কত?

সমাধান:
উপাত্তগুলোর মানের উর্ধ্বক্রম অনুসারে সাজিয়ে পাই,
১৫, ২০, ২৫, ৩০, ৩৫, ৪০
যেহেতু এখানে জোড় সংখ্যক সংখ্যা রয়েছে। তাই মধ্যক হবে মাঝের দুইটি সংখ্যার গড়।
∴ মধ্যক = (২৫ + ৩০)/২
= ৫৫/২
= ২৭.৫
অতএব, ১৫, ৩৫, ২০, ৪০, ২৫, ৩০ উপাত্তগুলোর মধ্যক হলো ২৭.৫।

প্রশ্ন: 0, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 অঙ্কগুলি প্রত্যেক সংখ্যায় কেবল একবার ব্যবহার করে 5 অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলি জোড় সংখ্যা গঠন করা যাবে?

সমাধান:
জোড় সংখ্যা গঠনের জন্য শেষ সংখ্যা 0, 2, 4, 6 এর যে কোন একটি হতে হবে।
5 অঙ্কবিশিষ্ট জোড় সংখ্যা = ⁴C₁ × ⁷C₄ × 4!
= 4 × 35 × 24
= 3360

প্রথম অঙ্কটি শূন্য এমন 5 অঙ্কবিশিষ্ট জোড় সংখ্যা = ³C₁ × ⁶C₃ × 3!
= 3 × 20 × 6
= 360

প্রথম অঙ্কটি শূন্য হলে তা মূলত চার অঙ্কের হয়ে যায়।
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 অঙ্কগুলি প্রত্যেক সংখ্যায় কেবল একবার ব্যবহার করে 5 অঙ্কবিশিষ্ট জোড় সংখ্যা গঠন করা যাবে
= 3360 - 360
= 3000

প্রশ্ন: লুডুর দুইটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করলে, দুইটি সংখ্যা একই (জোড় সংখ্যা) আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
লুডুর দুইটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে মোট ঘটনা = 6² = 36

লুডুর দুইটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে, দুইটি সংখ্যা (জোড় সংখ্যা) পাওয়ার অনুকূল ঘটনা = {(2, 2), (4, 4), (6, 6)}
= 3 টি

দুইটি সংখ্যা একই (জোড় সংখ্যা) পাওয়ার সম্ভাবনা = 3/36 = 1/12

প্রশ্ন: 10 টি বইয়ের মধ্যে 5 টি বই কত প্রকারে বাছাই করা যায়, যাতে নির্দিষ্ট দুইটি বই সর্বদা বাদ থাকে?

সমাধান:
নির্দিষ্ট দুইটি বই সর্বদা বাদ থাকে, অতএব (10 - 2) বা 8 টি থেকে 5 টি বাছাই করতে হবে।

∴ বাছাই করার উপায় = ⁸C₅
= 8!/(5! 3!)
= 56

প্রশ্ন: আবহাওয়া অফিসের রিপোর্ট অনুযায়ী-2025 সালের জানুয়ারি মাসের ২য় সপ্তাহে বৃষ্টি হয়েছে মোট 3 দিন। ঐ সপ্তাহে শনিবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
20২5 সালের জানুয়ারি মাসের ২য় সপ্তাহে মোট 7 দিন।
যার মধ্যে বৃষ্টি হয়েছিল 3 দিন।

শনিবার বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা = 3/7
শনিবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা = 1 - (3/7)
=(7 - 3)/7
= 4/7

প্রশ্ন: একটি ক্লাসে প্রত্যেক ছাত্র অন্য প্রত্যেক ছাত্রের সাথে একটি করে প্রজেক্ট করবে। মোট প্রজেক্টের সংখ্যা 45 টি হলে ক্লাসে মোট কতজন ছাত্র আছে?

সমাধান:
ধরি, ক্লাসে মোট ছাত্র সংখ্যা = n
∴ মোট প্রজেক্টের সংখ্যা ⁿC₂ = 45
বা, {(n)(n - 1)}/2 = 45
বা, (n² - n)/2 = 45
বা, n² - n = 90
বা, n² - n - 90 = 0
বা, n² - 10n + 9n - 90 = 0
বা, n(n - 10) + 9(n - 10) = 0
বা, (n - 10)(n + 9) = 0
∴ n - 10 = 0
n = 10
অথবা
n + 9 = 0
n = - 9 [গ্রহণযোগ্য নয়]
সুতরাং ক্লাসে মোট 10 জন ছাত্র আছে।

প্রশ্ন: আগামীকাল 11:00 PM-এ ঢাকার আকাশে সূর্য দেখা যাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
11:00 PM-এ ঢাকায় রাত বিরাজমান থাকে।
রাতের বেলা সূর্য দেখা যাওয়া সম্ভব নয়। অর্থাৎ, যেকোনো দিন 11:00 PM-এ ঢাকার আকাশে সূর্য দেখা যাওয়ার সম্ভাবনা শূন্য।

প্রশ্ন: দুইটি মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করা হলো। দুইটি মুদ্রাতেই হেড অথবা দুইটি মুদ্রাতেই টেল আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
দুইটি মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করা হলে যে ঘটনাগুলো ঘটে সেগুলো হলো {HH, HT, TH, TT}
এখানে,
মোট ঘটনা = 4
অনুকূল ঘটনা = {HH, TT} = 2 

∴ দুইটি মুদ্রাতেই হেড অথবা দুইটি মুদ্রাতেই টেল আসার সম্ভাবনা = অনুকূল ঘটনা/মোট ঘটনা
= 2/4
= 0.50

প্রশ্ন: একটি অফিসের 4 জন পুরুষ এবং 3 জন মহিলা কর্মচারীকে একটি সারিতে কতভাবে বসানো যায় যেখানে 4 জন পুরুষ কর্মচারী সর্বদা পাশাপাশি থাকবে?

সমাধান:
মোট কর্মচারী = (4 + 3) = 7 জন
4 জন পুরুষ কর্মচারী একত্রে থাকলে তাদেরকে একটি ইউনিট হিসেবে ধরলে মোট সংখ্যা = (1 + 3) জন
= 4 জন

4 জনকে বসানো যায় = 4!
4 জন পুরুষ কর্মচারীকে নিজেদের মধ্যে সাজানো যায় = 4!
3 জন মহিলা কর্মচারীকে নিজেদের মধ্যে সাজানো যায় = 3!
সুতরাং, মোট বিন্যাস সংখ্যা = 4! × 4! × 3!
= 24 × 24 × 6
= 3456

প্রশ্ন: ৩, ৫, ২, ৪, ৬, ১, ১৫, ২ ও ১২ সংখ্যাগুলোর প্রচুরক কত?

সমাধান:
উপাত্তের মধ্যে যে সংখ্যাটি সব থেকে বেশি সংখ্যকবার থাকে তাকে প্রচুরক বলে।
প্রদত্ত উপাত্তে ২ সংখ্যাটি সর্বোচ্চ সংখ্যক বার (২ বার) আছে, তাই এখানে প্রচুরক ২।

প্রশ্ন: একটি বাস্কেটবল টুর্নামেন্টে 7 টি দল অংশগ্রহণ করেছে, একক লীগ পদ্ধতিতে খেলা হলে মোট কতটি খেলা পরিচালনা করতে হবে?

সমাধান:
7 টি দল অংশগ্রহণ করে একক লীগ পদ্ধতিতে খেলা হলে প্রত্যেকে প্রত্যেকের সংখ্যা 1 টি করে খেলা খেলবে।
তাহলে মোট খেলা হবে ⁷C₂ = 21 টি।

প্রশ্ন: জুয়েল সিটি লিমিটেডের একজন কর্মচারি। জুয়েলের চাকরি ছেড়ে দেওয়ার সম্ভাবনা ৩/৫ হলে, চাকরিতে থাকার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
চাকরি ছেড়ে দেওয়ার সম্ভাবনা = ৩/৫

∴ চাকরিতে থাকার সম্ভাবনা = ১ - (৩/৫)
= (৫ - ৩)/৫
= ২/৫

প্রশ্ন: একটি স্কুলের ১০ জন শিক্ষকের মধ্যে থেকে প্রধান শিক্ষক এবং সহকারী প্রধান শিক্ষক বাছাই করতে হলে কতভাবে এই নির্বাচন করা যাবে?

সমাধান:
১০ জন শিক্ষক থেকে প্রধান শিক্ষক নির্বাচন করার উপায় ^১০C_১ = ১০
বাকি (১০ - ১) = ৯ জন শিক্ষক থেকে সহকারী প্রধান শিক্ষক নির্বাচন করার উপায় ^৯C_১ = ৯
∴ মোট বাছাই করার উপায় = ১০ × ৯ = ৯০

প্রশ্ন: P(A) = 3/4, P(B) = 1/3 হলে A ও B স্বাধীন হলে P(A ∪ B) এর মান কত?

সমাধান:
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
= P(A) + P(B) - P(A).P(B) [যেহেতু A ও B স্বাধীন]
= (3/4) + (1/3) - (3/4) × (1/3)
= (3/4) + (1/3) - (1/4)
= (9 + 4 - 3)/12
= 10/12
= 5/6

প্রশ্ন: 'PLANET' শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?

সমাধান:
PLANET শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে ৬টি, Vowel আছে ২টি (A,E)।
Vowel দুটিকে একটি ধরে মোট বর্ণ = ৫টি
৫টি বর্ণকে সাজানো যায় = ৫!
Vowel দুটি সাজানো যায় = ২!
∴ স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট সাজানো যাবে = ৫! × ২!
= ১২০ × ২
= ২৪০

প্রশ্ন: ৩০ থেকে ৪০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলো হতে ইচ্ছেমত ১টি সংখ্যা নির্বাচন করা হলে সংখ্যাটি মৌলিক না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
৩০ থেকে ৪০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ৩১, ৩৭
৩০ থেকে ৪০ পর্যন্ত মোট সংখ্যা = ১১

মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা = ২/১১

মৌলিক না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (২/১১)
=(১১ - ২)/১১
= ৯/১১

প্রশ্ন: যদি ⁿC₆ = ⁿC₄ হয়, তবে ¹⁵C_n =?

সমাধান:
ⁿC₆ = ⁿC₄
⇒ ⁿC_{n - 6} = ⁿC₄
⇒ n - 6 = 4
∴ n = 6 + 4 = 10

¹⁵C_n = ¹⁵C₁₀
= 15!/(10! × 5!)
= (15 × 14 × 13 × 12 × 11)/(5 × 4 × 3 × 2 × 1)
= 3003

প্রশ্ন: একটি বাক্সে ৫টি নীল, ৪টি হলুদ এবং ৬টি সাদা বল রয়েছে। বাক্স থেকে কমপক্ষে কয়টি বল বের করলে প্রত্যেক রঙের অন্তত একটি করে বল থাকবে?

সমাধান:
দেয়া আছে,
নীল বল আছে ৫টি
হলুদ বল আছে ৪টি
সাদা বল আছে ৬টি

প্রত্যেক রঙের অন্তত একটি বল পেতে হলে কমপক্ষে মোট বল বের করতে হবে
= সবচেয়ে বেশি সংখ্যক বলের রঙের সংখ্যা + দ্বিতীয় সর্বোচ্চ সংখ্যক বলের রঙের সংখ্যা + ১
= ৬ (সাদা) + ৫ (নীল) + ১
= ১২টি

প্রশ্ন: 4 টি পোস্ট বাক্সে 6 টি চিঠি কতভাবে ফেলা যায়?

সমাধান:
পোস্ট বাক্সের সংখ্যা n = 4 টি
চিঠির সংখ্যা r = 6 টি

চিঠি ফেলা যায় = (পোস্ট বক্স)^চিঠি
= n^r
= 4⁶

প্রশ্ন: TABLE শব্দের বিন্যাস সংখ্যা SEA শব্দের বিন্যাস সংখ্যার কতগুণ?

সমাধান:
TABLE শব্দের বিন্যাস সংখ্যা = 5!
SEA শব্দের বিন্যাস সংখ্যা = 3!
এখন, 5!/3! = (5 × 4 × 3!)/3!
= 20
∴ TABLE শব্দের বিন্যাস সংখ্যা SEA শব্দের বিন্যাস সংখ্যার 20 গুণ।