Math Master

x² - 2xy - 4y - 4 
x² - 2xy + y² - y² - 4y - 4 
(x² - 2xy + y²) - (y² + 2.y.2 + 2²)
(x - y)² - (y + 2)²
{(x - y) + (y + 2)}{(x - y) - (y + 2)}
(x - y + y + 2)(x - y - y  - 2)
(x + 2)(x - 2y - 2)

দেয়া আছে,
2x + 3y = 13 ............(1)
6x - 7y = - 9 ............(2)

(1)নং × 3 -  (2)নং ⇒
6x + 9y - 6x + 7y = 39 + 9
16y = 48
y= 48/16
y = 3

(1)নং এ y এর মান বসিয়ে পাই, 
2 x + 3 × 3  = 13
2x + 9 = 13
2x = 13 - 9
2x = 4
x = 2

ধরি 
সংখ্যা দুটি x  এবং y 

x + y = 20 
xy = 64 

1/x + 1/y = (x + y)/xy 
                = 20/64 
                 = 5/16

1 - x² + 2xy - y²
1 - (x² - 2xy + y²)
1² - (x - y)²
{1 + (x - y)}{1 - (x - y)}
(1 + x - y)(1 - x + y)

।1 - 2x। < 1 
- 1 < 1 - 2x < 1
- 1  - 1< 1 - 2x  - 1 < 1 - 1 
 - 2 < - 2x < 0
 - 2/2 < - 2x/2 < 0/2
- 1 < - x < 0
- 1 ( - 1)> - x ( - 1) > 0( - 1)
1 > x > 0
0 < x < 1

মনেকরি
ভগ্নাংশটির লব x 
ভগ্নাংশটির হর y 

ভগ্নাংশটি = x/y 

১ম শর্তমতে 
(x + 2)/y = 1
x + 2 = y 
x - y = - 2 ...............(1)
 
২য়  শর্তমতে 
x/(y + 5) = 1/2
2x = y + 5 
2x - y = 5 ......................(2)

(2)নং থেকে (1)নং বিয়োগ করে পাই
2x - y - x + y = 5 + 2 
x = 7 

(1)নং এ x এর মান  বসিয়ে পাই 
x - y = - 2
7 - y = - 2 
- y = - 2 - 7 
- y = - 9 
y = 9 

ভগ্নাংশটি = 7/9

a < b এবং c < 0 
এখানে c একটি ঋণাত্মক সংখ্যা 
ঋণাত্মক চিহ্ন দ্বারা গুণ বা ভাগ করলে অসমতার চিহ্ন পরিবর্তন হয়।
ac > bc

ধরি,
f(x) = x³ - x - 24 
f(3) = 3³ - 3 - 24 
f(3) =27 - 27 
      = 0
(x - 3) হলো x³ - x - 24 এর একটি উৎপাদক। 

5(3 - 2m) ≤ 3(4 - 3m)
15 - 10m ≤ 12 - 9m
- 10m + 9m  + 15 ≤ 12 - 9m + 9m
- m + 15 ≤ 12
- m + 15 - 15 ≤ 12 - 15
- m ≤ - 3
- m(- 1) ≥ - 3(- 1)
m ≥ 3

মনেকরি 
লোকসংখ্যা x জন 

প্রশ্নমতে,
5x × x = 6125 
5x² = 6125
x² = 1225
x² = 35² 
x = 35

x² - 7x + 10 < 0
x² - 5x - 2x + 10 < 0
x(x - 5) - 2 (x - 5) < 0
∴ (x - 2)(x - 5) < 0

x² - 7x + 10 < 0 সত্য হবে যদি x - 2 < 0 এবং x - 5 > 0 হয়।
এখন, x - 2 < 0 এবং x - 5 > 0
অর্থাৎ,  x < 2 এবং x > 5
2 এর চেয়ে ছোট এবং 5 এর চেয়ে বড় x এর কোন মান নাই।
এক্ষেত্রে অসমতাটির কোন সমাধান পাওয়া যাবে না।

আবার,
x² - 7x + 10 < 0 সত্য হবে যদি x - 2 > 0 এবং x - 5 < 0 হয়।
এখন,  x - 2 > 0 এবং x - 5 < 0
অর্থাৎ x > 2 এবং x <5
x এর মান 2 এর চেয়ে বড় এবং 5 এর চেয়ে ছোট।
সুতরাং অসমতাটির সমাধান পাওয়া যাবে.  

সুতরাং নির্ণেয় সমাধানঃ 2 < x < 5

মনেকরি 
বৃহত্তম সংখ্যা = x 
ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = y 

x + y = 150...... (1)
x - y = 10..............(2)

 (1)নং এবং (2)নং যোগ করে পাই 
x + y + x - y = 150 + 10 
2x = 160
x = 80 

2x² + 3x - 2 = 0 
2x² + 4x - x - 2 = 0
2x(x + 2) - 1(x - 2) = 0
(x + 2)(2x - 1) = 0
হয়                    অথবা 
x + 2 = 0               2x - 1 = 0  
x = - 2                    x = 1/2

(x - p)/(p² - q²) = (x - q)/(q² - p²) 
(x - p)/(p² - q²) = (x - q)/ - (p² - q²) 
(x - p)/(p² - q²) = - (x - q)/(p² - q²) 
x - p = - (x - q)
x - p = - x + q
x + x = p + q
2x = p + q
x = (p + q)/2

1/।1 - 2x। ≥ 5
।1 - 2x। ≤ 1/5

ধনাত্মক চিহ্ন নিয়ে পাই,
1 - 2x ≤ 1/5
1 - 2x - 1 ≤ - 1 + 1/5
- 2x ≤ (- 5 + 1)/5
- 2x ≤ - 4/5
2x ≥ 4/5
x ≥ 2/5
2/5 ≤ x

ঋণাত্মক চিহ্ন নিয়ে পাই, 
- (1 - 2x) ≤ 1/5
- 1 + 2x ≤ 1/5 
- 1 + 2x + 1 ≤ 1 + 1/5
2x ≤ (5 + 1)/5
2x ≤ 6/5
x ≤ 3/5
নির্ণেয় সমাধান = (2/5) ≤ x ≤ (3/5)

মনে করি,
একক স্থানীয় অংক x
দশক স্থানীয় অংক 7 - x
∴ সংখ্যাটি = 10(7 - x) + x = 70 - 9x
অংক দুইটি স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি হবে,
= 10x + 7 - x = 9x + 7
প্রশ্নমতে,
9x + 7 = 70 - 9x - 9
9x + 9x = 61 - 7
⇒ 18x = 54
⇒ x = 3

∴ নির্ণেয় সংখ্যা = 70 - 27 = 43

6a² - a - 15 
= 6a² - 10a + 9a - 15
= 2a(3a - 5) + 3(3a - 5)
=(3a - 5)(2a + 3)