গুরুত্বপূর্ণ টপিকের উপর পরীক্ষা - ১৩৫ মার্কস্‌ কাভার

প্রশ্ন: a - {a - (a - 1)} =?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
= a - {a - (a - 1)}
= a - {a - a + 1}
= a - {1}
= a - 1

প্রশ্ন: । 2x + 6। < 10 অসমতাটির সমাধান কত?

সমাধান:
। 2x + 6। < 10
⇒ - 10 < 2x + 6 < 10
⇒ - 10 - 6 < 2x + 6 - 6 < 10 - 6
⇒ - 16 < 2x < 4
⇒ - 8 < x < 2

প্রশ্ন: 9 × 2ⁿ - 2 × 2^{n - 1} =?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
= 9 × 2ⁿ - 2 × 2^{n - 1}
= 9 × 2ⁿ - 2 × 2ⁿ × 2^-1
= 9 × 2ⁿ - 2 × 2ⁿ × (1/2)
= 2ⁿ(9 - 1)
= 2ⁿ × 8
= 2ⁿ × 2³
= 2^{n + 3}

প্রশ্ন: x² + 8x - 48 -এর উৎপাদক কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
= x² + 8x - 48
= x² + 12x - 4x - 48
= x(x + 12) - 4(x + 12)
= (x + 12)(x - 4)

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 14 সে. মি. এবং কেন্দ্রীয় কোণ 120° হলে, বৃত্তচাপের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r =14 সে. মি.
এবং কেন্দ্রীয় কোণ, θ = 120°

আমরা জানি,
বৃত্তচাপের ক্ষেত্রফল ​= (θ/360) ​× πr²
= (120°/360°) ​× π × (14)² 
= (1/3)​ × (22/7) ​× 196
= (22 ​× 28)/3
= 616/3
= 205.33 বর্গ সে. মি.

প্রশ্ন: 9p² - 14p এর সাথে কত যোগ করলে একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান:
= 9p² - 14p
= (3p)² - 2 × 3p × (7/3) + (7/3)² - (7/3)²
= {3p - (7/3)}² - (49/9)

∴ 9p2 - 14p এর সাথে 49/9 যোগ করলে একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে ।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের ভূমি এবং লম্বের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 15 সে. মি. এবং 20 সে. মি.। ঐ ত্রিভুজের অতিভুজ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ভূমি এবং লম্বের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 15 সে. মি. এবং 20 সে. মি.

পিথাগোরাসের উপপাদ্য হতে জানি,
⇒ অতিভুজ^২ = লম্ব^২ + ভূমি^২
⇒ অতিভুজ^২ = ২০^২ + ১৫^২
⇒ অতিভুজ^২ = ৪০০ + ২২৫
⇒ অতিভুজ^২ = ৬২৫
⇒ অতিভুজ = √৬২৫ = ২৫ সে. মি.

প্রশ্ন: 4(a - 2) < 12 এর সমাধান সেট কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
4(a - 2) < 12
⇒ 4(a - 2)/4 < 12/4 [উভয় পক্ষে 4 দ্বারা ভাগ করে]
⇒ a - 2 < 3
⇒ a - 2 + 2 < 3 + 2
⇒ a < 5

∴ নির্ণেয় সমাধান সেট, S = { a ∈ R : a < 5}

প্রশ্ন:


সমাধান:

প্রশ্ন: 729 এর 3 ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান:
729 এর 3 ভিত্তিক লগারিদম = log₃729
= log₃3⁶
= 6log₃3
= 6

প্রশ্ন: x² + (a + bc)x + abc -এর উৎপাদক কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
= x² + (a + bc)x + abc
= x² + ax + bcx + abc
= x(x + a) + bc(x + a)
= (x + a)(x + bc)

প্রশ্ন: যদি a + b = √8 এবং a - b = √6 হলে, 8ab(a² + b²) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = √8 এবং a - b = √6
প্রদত্ত রাশি,
= 8ab(a² + b²)
= 4ab × 2(a² + b²)
= {(a + b)² - (a - b)²}{(a + b)² + (a - b)²}
= {(√8)² - (√6)²}{(√8)² + (√6)²}
= (8 - 6)(8 + 6)
= 2 × 14
= 28

প্রশ্ন: দুটি বৃত্তের ব্যাস যথাক্রমে 14 সে.মি. ও 10 সে.মি. যদি বৃত্ত দুইটি পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করে, তবে তাদের কেন্দ্রের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব বৃত্ত দুইটির ব্যাসার্ধের যোগফলের সমান।

এখানে ১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 14/2 = 7 সে.মি.
এবং ২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 10/2 = 5 সে.মি.
সুতরাং কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = 7 + 5 = 12 সে.মি.

প্রশ্ন: 3 সে. মি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র হতে 5 সে. মি. দূরের কোনো বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

পিথাগোরাসের উপপাদ্য হতে,
OP² = OQ² + PQ²

এখানে,
OP = 5 সেমি এবং OQ = 3 সেমি

এখন,
⇒ PQ² = OP² - OQ²
⇒ PQ² = 5² - 3² = 25 - 9 = 16
⇒ PQ = √16 = 4
∴ অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য 4 সে. মি.

প্রশ্ন: 7² - 2⁵ = x ÷ (7² + 2⁵) হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
⇒ 7² - 2⁵ = x ÷ (7² + 2⁵)
⇒ (49 - 32) = x/(49 + 32)
⇒ 17 × 81 = x
⇒ x = 1377

প্রশ্ন: p = log₂72 - log₂18 + log₂8 হলে, p এর মান কত?

সমাধান:
⇒ p = log₂72 - log₂18 + log₂8
⇒ P = log₂(72 × 8) - log₂18 
⇒ p = log₂{(72 × 8)/18}
⇒ p = log₂32
⇒ p = log₂2⁵
⇒ p = 5log₂2
∴ p = 5

প্রশ্ন: x³ - 3x²y + 3xy² - 28y³ -এর উৎপাদক কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
= x³ - 3x²y + 3xy² - 28y³
= (x³ - 3x²y + 3xy² - y³) - 27y³
= (x - y)³ - (3y)³
= (x - y - 3y){(x - y)² + (x - y)3y + (3y)²}       ;[a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)]
= (x - 4y)(x² - 2xy + y² + 3xy - 3y² + 9y²)
= (x - 4y)(x² + xy + 7y²)

প্রশ্ন: কোন বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ 70° হলে, কেন্দ্রস্থ কোণ হবে-

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ তার বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।

∴ বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ 70° হলে, কেন্দ্রস্থ কোণ হবে = 70° × 2
= 140°

∴ কোন বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ 70° হলে, কেন্দ্রস্থ কোণ হবে 140°।

প্রশ্ন:


সমাধান:

প্রশ্ন:


সমাধান:

প্রশ্ন: log₂128 + log₂32 + log₂16 = কত?

সমাধান:
= log₂128 + log₂32 + log₂16 
= log₂2⁷ + log₂2⁵ + log₂2⁴
= 7log₂2 + 5log₂2 + 4log₂2
= (7 × 1) + (5 × 1) + (4 × 1)
= 7 + 5 + 4
= 16

প্রশ্ন: x³ + 3x + 36 -এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
= x³ + 3x + 36
= x³ + 3x² - 3x² - 9x + 12x + 36
= x²(x + 3) - 3x(x + 3) + 12(x + 3)
= (x + 3)(x² - 3x + 12)

∴ একটি উৎপাদক (x + 3)

প্রশ্ন: দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত 3 : 4 হলে, তাদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধের অনুপাত 3x এবং 4x

আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
বৃত্ত দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত = π(3x)² : π(4x)²
= 9πx² : 16πx²
= 9 : 16

প্রশ্ন:


সমাধান:

প্রশ্ন: 3(x - 4) ≥ 4x - 5 হলে x এর বৃহত্তম মান কোনটি?

সমাধান:
3(x - 4) ≥ 4x - 5
⇒ 3x - 12 ≥ 4x - 5
⇒ 3x - 4x ≥ - 5 + 12
⇒ - x ≥ 7
∴ x ≤ - 7

∴ x এর বৃহত্তম মান হবে - 7

প্রশ্ন: একটি চাকার ব্যাসার্ধ 35 সে. মি. এবং এটি 1.1 কি. মি. পথ অতিক্রম করলে, মোট কতবার ঘুরবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
চাকার ব্যাসার্ধ 35 সে. মি.

চাকার পরিধি = 2πr = 2 × (22/7) × 35 = 220 সে. মি.

∴ ঘূর্ণন সংখ্যা = 110000/220 = 500   [1 কি. মি. = 100000 সে. মি.]


∴ চাকাটি 1.1 কি. মি. পথ অতিক্রম করতে 500 বার ঘুরবে ।

প্রশ্ন: log₁₆x = 0.50 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
log₁₆x = 0.50
∴ x = 16^0.50
⇒ x = (2⁴)^1/2
⇒ x = 2²
∴ x = 4