ডেইলি কুইজ [২০০ দিন]

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ও তার গুণাত্মক বিপরীতের সমষ্টি 2 হলে, সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যাটি = x 

প্রশ্নমতে, 
x + (1/x) = 2 
বা, (x² + 1)/x = 2 
বা, x² + 1 = 2x 
বা, x² - 2x + 1 = 0
বা, (x)² - 2.x.1 + (1)² = 0
বা, (x - 1)² = 0
বা, x - 1 = 0 
∴ x = 1

∴ সংখ্যাটি = 1 . 

প্রশ্ন: x > y এবং z < 0 হলে, নিচের কোনটি সঠিক? 

সমাধান: 
x > y ...…..... (1)
z < 0 ............ (2)

(2) নং হতে, z অবশ্যই ঋণাত্মক সংখ্যা।

(1) নং কে z দ্বারা গুন করলে, xz < yz

প্রশ্ন: x + 2y = 4 এবং xy = 2 হয়, তবে x = কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
xy = 2
বা, y = 2/x 

এখন, 
x + 2y = 4 
বা, x + 2 × 2/x = 4 
বা, x + 4/x = 4
বা, x² + 4 = 4x 
বা, x² - 4x + 4 = 0 
বা, (x)² - 2. x. 2 + (2)² = 0 
বা, (x - 2)² = 0 
বা, x - 2 = 0 
বা, x = 2
∴ x = 2

প্রশ্ন: এক ব্যক্তির নিকট যাকাতের ৮০০ টাকা আছে। কিছু সংখ্যক লোকের প্রত্যেককে ৬ টাকা করে দিলে ১০০ টাকা কম পড়ে। লোকের সংখ্যা কত?

সমাধান: 
মনে করি, 
লোকের সংখ্যা = x জন 

প্রশ্নমতে, 
৬x - ১০০ = ৮০০ 
বা, ৬x = ৮০০ + ১০০
বা, ৬x = ৯০০
বা, x = ৯০০/৬ 
∴ x = ১৫০ 

∴ লোকের সংখ্যা = ১৫০ জন। 

প্রশ্ন: Ιx - 2Ι ≤ 5 হলে, x এর সর্বনিম্ন মান কত?

সমাধান: 
 Ιx - 2Ι ≤ 5
বা, - 5 ≤ x - 2 ≤ 5 
বা, - 5 + 2 ≤ x - 2 + 2 ≤ 5 + 2 
বা, - 3 ≤ x ≤ 7 

∴ x -এর সর্বনিম্ন মান = - 3.

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিতে যতজন ছাত্র আছে প্রত্যেককে তত টাকা করে প্রদান করলে মোট ৬৫৬১ টাকা হয়। ছাত্র সংখ্যা কত?

সমাধান: 
ধরি, 
ছাত্র সংখ্যা = x 

প্রশ্নমতে, 
x × x = ৬৫৬১ 
বা, x^২ = ৬৫৬১ 
বা, x = √(৬৫৬১) 
∴ x = ৮১ 

∴ ছাত্র সংখ্যা = ৮১ জন।

প্রশ্ন: একটি শ্রেণির প্রতি বেঞ্চে ৫ জন করে ছাত্র বসলে ৫ খানা বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে বসলে ৭ জন ছাত্র দাঁড়িয়ে থাকে। ঐ শ্রেণির ছাত্র সংখ্যা কত?

সমাধান: 
ধরি,
ঐ শ্রেণির ছাত্র সংখ্যা = x জন

১ম ক্ষেত্রে, 
৫ জন বসে ১ টি বেঞ্চে 
∴ x জন বসে x/৫ টি বেঞ্চে
∴ ১ম ক্ষেত্রে, মোট বেঞ্চ সংখ্যা = (x/৫) + ৫ টি 

২য় ক্ষেত্রে,
3 জন বসে 1 টি বেঞ্চে 
∴ (x - ৭) জন বসে (x - ৭)/৩ টি বেঞ্চে 

তাহলে,
(x/৫) + ৫ = (x - ৭)/৩ 
বা, (x + ২৫)/৫ = (x - ৭)/৩ 
বা, ৫x - ৩৫ = ৩x + ৭৫ 
বা, ৫x - ৩x = ৭৫ + ৩৫
বা, ২x = ১১০ 
বা, x = ১১০/২ 
∴ x = ৫৫ 

∴ ঐ শ্রেণির ছাত্র সংখ্যা = ৫৫ জন।

প্রশ্ন: x² + x - 2 < 0 অসমতাটির সমাধান কত?

সমাধান: 
x² + x - 2 < 0
বা, x² + 2x - x - 2 < 0
বা, x (x + 2) - 1(x + 2) < 0 
বা, (x + 2) (x - 1) < 0 ---------(¡) 

অসমতাটি সত্য হবে যদি x + 2 > 0 এবং x - 1 < 0 হয়।
x + 2 > 0
বা, x > - 2
x - 1 < 0
বা, x < 1
x > - 2 এবং x < 1 অর্থাৎ x এর মান - 2 এর চেয়ে বড় এবং 1 এর চেয়ে ছোট হবে।
অসমতাটি সত্য হবে যদি - 2 < x < 1 হয়।
অসমতাটির সমাধানঃ - 2 < x < 1

আবার,
অসমতাটি সত্য হবে যদি x + 2 < 0 এবং x - 1 > 0 হয়।
x + 2 < 0
বা, x < - 2

x - 1 > 0
বা, x > 1
x < - 2 এবং x > 1 অর্থাৎ  - 2 এর চেয়ে ছোট এবং 1 এর চেয়ে বড় এমন সংখ্যা পাওয়া অসম্ভব।

সুতরাং অসমতাটির সমাধানঃ - 2 < x < 1

প্রশ্ন: একটি ভগ্নাংশের লব, হর অপেক্ষা 13 কম। লবের সাথে 3 যোগ করলে এবং হর থেকে 5 বিয়োগ করলে যে ভগ্নাংশ গঠিত হয়, তার  মান 3/4 হলে, ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
মনে করি, 
লব = x 
∴ হর = x + 13
∴ ভগ্নাংশটি = x/(x + 13) 

প্রশ্নমতে, 
(x + 3)/(x + 13 - 5) = 3/4 
বা, (x + 3)/(x + 8) = 3/4 
বা, 4x + 12 = 3x + 24 
বা, 4x - 3x = 24 - 12 
∴ x = 12 
অর্থাৎ লব = 12 
∴ হর = (12 + 13) = 25 

∴ ভগ্নাংশটি = 12/25 

প্রশ্ন: যদি 6 - 4x ≤ 14 হয়, তাহলে x এর মান কত?

সমাধান:
 6 - 4x ≤ 14
বা, 6 - 6 - 4x ≤ 14 - 6 [ 6 বিয়োগ করে] 
বা, - 4x ≤ 8 
∴ x ≥ - 2 [- 4 দিয়ে ভাগ করে]।

প্রশ্ন:  y² = y√3 এ y এর মান হলো-

সমাধান:
y² = y√3
y² - y√3 = 0
y(y - √3) = 0

হয় 
y = 0

অথবা
y - √3 = 0
y = √3

প্রশ্ন: Ιx + 3Ι < 5 অসমতার সমাধান কোনটি?

সমাধান: 
(x + 3) ধনাত্মক ধরে, 
(x + 3) < 5 
বা, x + 3 - 3 < 5 - 3 
বা, x < 2 

আবার,
(x + 3) ঋনাত্মক ধরে, 
- (x + 3) < 5 
বা, (x + 3) > - 5
বা, x + 3 - 3 > - 5 - 3 
বা, x > - 8

∴ নির্ণেয় সমাধান: s = {x ∈ R: - 8 < x < 2}।

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা অপর একটি সংখ্যা হতে 4 বেশি এবং সংখ্যা দুটির যোগফল 36 হলে, সংখ্যা দুটি কত?

সমাধান: 
মনে করি, 
সংখ্যা দুটি x এবং x + 4 

শর্তমতে, 
x + x + 4 = 36 
বা, 2x = 36 - 4 
বা, 2x = 32 
বা, x = 32/2 
∴ x = 16 

∴ একটি সংখ্যা = 16 
এবং অপর সংখ্যা = x + 4 
= 16 + 4 
= 20 

∴ সংখ্যা দুটি = 16, 20.

প্রশ্ন: (x - a)/(a² - b²) = (x - b)/(b² - a²) হলে, x এর মান কত?

সমাধান: 
(x - a)/(a² - b²) = (x - b)/(b² - a²)
বা,(x - a)/(a + b) (a - b) = (x - b)/- (a + b) (a - b) 
বা, (x - a) = - (x - b)
বা, x - a = - x + b
বা, x + x = a + b 
বা, 2x = a + b 
বা, x = (a + b)/2 
∴ x = 1/2 (a + b)

প্রশ্ন: |3 - x| > 7 এর সমাধান কোনটি?

সমাধান: 
এখন, (3 - x) > 0 হলে প্রদত্ত অসমতা,
3 - x > 7 
বা, - x > 7 - 3
বা,  - x > 4
বা, x < - 4   [-1 দ্বারা গুণ করে]

আবার,
(3 - x) < 0 হলে প্রদত্ত অসমতা,
– (3 - x) > 7
বা, 3 − x < - 7  [-1 দ্বারা গুণ করে] 
বা, - x < - 7 - 3
বা, - x < - 10
বা, x > 10

∴ নির্ণেয় সমাধান: x < - 4 অথবা x > 10 

প্রশ্ন: (a - 5) (x + a) = a² - 25 হলে, x -এর মান কত?

সমাধান: 
(a - 5) (x + a) = a² - 25
বা, ax - 5x + a² - 5a = a² - 25 
বা, x (a - 5) = 5a - 25 
বা, x (a - 5) = 5 (a - 5)
বা, x = 5 (a - 5)/(a - 5) 
∴ x = 5 

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা অপর একটি সংখ্যার দেড়গুণ এবং সংখ্যা দু'টির যোগফল 25 । বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
ধরি, 
অপর সংখ্যাটি = x 
∴ বড় সংখ্যাটি = 3x/2

প্রশ্নমতে, 
x + (3x/2) = 25 
বা, (2x + 3x)/2 = 25 
বা, 5x/2 = 25 
বা, 5x = 50 
বা, x = 50/5 
∴ x = 10

∴ বড় সংখ্যাটি = (3 × 10)/2
= 15 

প্রশ্ন: যদি x > 2 ও y > - 1 হয়, তবে কোনটি সঠিক?

সমাধান: 
x এবং y এর ভিন্ন ভিন্ন মানের জন্য ভিন্ন ভিন্ন অপশন সত্য হতে পার, কিন্তু অপশন (খ) সবসময় সঠিক হবে।

এখন ভিন্ন ভিন্ন মানের শুদ্ধিপরীক্ষা:

⇒ x = 10 এবং y = 20 ধরে, 

ক) 200 > - 2, যা সঠিক।
খ) - 10 < 40, যা সঠিক।
গ) 200 < - 2, যা সঠিক নয়।
ঘ) - 10 > 40, যা সঠিক নয়।

⇒ x = 20 এবং y = 10 ধরে,

ক) 200 > - 2, যা সঠিক।
খ) - 20 < 20, যা সঠিক।
গ) 200 < - 2, যা সঠিক নয়।
ঘ) - 20 > 20, যা সঠিক নয়।

⇒ x = 10 এবং y = - 0.5 ধরে, 

ক) - 5 > - 2, যা সঠিক নয়।
খ) - 10 < - 1, যা সঠিক।
গ) - 5 < - 2, যা সঠিক।
ঘ) - 10 > - 1, যা সঠিক নয়।

⇒ x = 10 এবং y = 0 ধরে,

ক) 0 > - 2, যা সঠিক।
খ) - 10 < 0, যা সঠিক।
গ) 0 < - 2, যা সঠিক নয়।
ঘ) - 10 > 0, যা সঠিক নয়।

উপর্যুক্ত পর্যালোচনা থেকে আমরা এই সিদ্ধান্তে উপনীত হতে পারি যে, অপশন (খ) সকল ক্ষেত্রেই সঠিক।

তাই সর্বাধিক গ্রহণযোগ্য উত্তর: খ) - x < 2y

প্রশ্ন: 3/5 এর লব ও হরের সাথে কোন একই সংখ্যা যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান 4/5 হয়?

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যাটি = x 

শর্তমতে, 
(3 + x)/(5 + x) = 4/5 
বা, 15 + 5x = 20 + 4x 
বা, 5x - 4x = 20 - 15 
∴ x = 5 

∴ সংখ্যাটি = 5. 

প্রশ্ন: একটি বইয়ের মূল্য একটি কলমের মূল্য অপেক্ষা 7 টাকা কম এবং উক্ত বই ও কলমের মোট ক্রয়মূল্য 43 টাকা হলে বইটির মূল্য কত টাকা?

সমাধান:
ধরি, 
কলমের মূল্য = x টাকা 
∴ বইয়ের মূল্য = (x - 7) টাকা 

প্রশ্নমতে, 
x + x - 7 = 43 
বা, 2x = 43 + 7 
বা, 2x = 50 
বা, x = 50/2 
∴ x = 25 

∴ বইয়ের মূল্য = (25 - 7) টাকা
= 18 টাকা। 

প্রশ্ন: কোন দুটি x² - x - 6 = 0 সমীকরণের মূল? 

সমাধান: 
x²- x - 6 = 0 
⇒ x² - 3x + 2x − 6 = 0 
⇒ x(x - 3) + 2(x - 3) = 0
⇒ (x - 3) (x + 2) = 0 
এখন, 
x - 3 = 0
⇒ x = 3

আবার, 
x + 2 = 0 
⇒ x = - 2 

∴ x = 3, - 2

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার চারগুণের সাথে ১ যোগ করলে যোগফল ঐ সংখ্যার ৩ গুণ হতে ৫ বেশি হবে?

সমাধান:
ধরি, 
সংখ্যাটি = ক 

প্রশ্নমতে, 
৪ক + ১ = ৩ক + ৫ 
বা, ৪ক - ৩ক = ৫ - ১
বা, ক = ৪ 
∴ ক = ৪

∴ সংখ্যাটি = ৪