লগ ইননিবন্ধন
পরীক্ষা আর্কাইভ

৪৯তম বিসিএস ⎯ গণিত [৫৫১]

পরীক্ষা৪৯তম বিসিএস ⎯ গণিত [৫৫১]তারিখতারিখ অনির্ধারিতসময়30 minutes
মোট প্রশ্ন২৯
সিলেবাস
Exam - 2 Topics: 1. Summation of finite algebraic and trigonometric series. 2. Polynomials and their roots, Honer’s scheme (synthetic division), Descartes rule of signs. 3. Relation between roots and coefficients. Symmetric functions of roots. [Source: Class - 2 and Relevant Books]
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

৪৯তম বিসিএস ⎯ গণিত [৫৫১]

৪৯তম বিসিএস ⎯ গণিত [৫৫১] · তারিখ অনির্ধারিত · ২৯ প্রশ্ন

১.
If the sum of first n terms of a G.P. is Sn = 7(2n - 1), then the common ratio is:
  1. ক
    1
  2. খ
    2
  3. গ
    3
  4. ঘ
    4
সঠিক উত্তর: খ
2
উত্তর
সঠিক উত্তর: খ
2
খ
ব্যাখ্যা
This matches the form:
২.
Evaluate:
    সঠিক উত্তর: ক
    উত্তর
    সঠিক উত্তর: ক
    ক
    ব্যাখ্যা

    ​
    ৩.
    A series where each term cancels with a part of the next term is called:
    1. ক
      Arithmetic Series
    2. খ
      Geometric Series
    3. গ
      Telescoping Series
    4. ঘ
      Harmonic Series
    সঠিক উত্তর: গ
    Telescoping Series
    উত্তর
    সঠিক উত্তর: গ
    Telescoping Series
    গ
    ব্যাখ্যা
    A series where each term cancels with a part of the next term is called telescoping series.
    ৪.
    The sum of the series 5 + 8 + 11 +.........+ 50 is-
    1. ক
      510
    2. খ
      550
    3. গ
      440
    4. ঘ
      660
    সঠিক উত্তর: গ
    440
    উত্তর
    সঠিক উত্তর: গ
    440
    গ
    ব্যাখ্যা
    here   a=5, d=3, l=50
    ​
    ৫.
    For geometric progression is true when
    1. ক
      r < 1
    2. খ
      r > 1
    3. গ
      r > 0
    4. ঘ
      none
    সঠিক উত্তর: খ
    r > 1
    উত্তর
    সঠিক উত্তর: খ
    r > 1
    খ
    ব্যাখ্যা
    ৬.
    The sum 2 + 4 + 6 +.................+ 2n equals:
    1. ক
      n(n + 1)
    2. খ
      2n(n + 1)
    3. গ
      n2
    4. ঘ
      n2+ 1
    সঠিক উত্তর: ক
    n(n + 1)
    উত্তর
    সঠিক উত্তর: ক
    n(n + 1)
    ক
    ব্যাখ্যা
    Sn= (n/2) [2a + (n - 1)d] = n(n + 1)
    ৭.
    sin10°+ sin20°+.............+ sin100° equals:
    1. গ
      None
    2. ঘ
      0
    সঠিক উত্তর: গ
    None
    উত্তর
    সঠিক উত্তর: গ
    None
    গ
    ব্যাখ্যা
    ​​​
    ৮.
    the nth term of tan- 1 (1/3) + tan- 1 (2/9) + ....
    1. ক
      tan-1 2n - tan-1 2n -1
    2. খ
      tan-1 2n-1 - tan-1 2n
    3. গ
      tan-1 2n + tan-1 2n -1
    4. ঘ
      none
    সঠিক উত্তর: ক
    tan-1 2n - tan-1 2n -1
    উত্তর
    সঠিক উত্তর: ক
    tan-1 2n - tan-1 2n -1
    ক
    ব্যাখ্যা
    ৯.
    A polynomial has 4 sign changes in P(x). The number of positive real roots can be:
    1. ক
      4, 2, or 0
    2. খ
      3
    3. গ
      1 only
    4. ঘ
      None
    সঠিক উত্তর: ক
    4, 2, or 0
    উত্তর
    সঠিক উত্তর: ক
    4, 2, or 0
    ক
    ব্যাখ্যা
    For positive real roots:
    From Descarte’s rule of sign change 
    Count the number of sign changes in  which is 4
    Each sign change corresponds to:
    • a possible real root, or
    • Fewer roots than the count by a multiple of 2.
    ১০.
    For P(x) = x3- 6x2+ 11x - 6, number of sign changes:
    1. ক
      0
    2. খ
      1
    3. গ
      2
    4. ঘ
      3
    সঠিক উত্তর: ঘ
    3
    উত্তর
    সঠিক উত্তর: ঘ
    3
    ঘ
    ব্যাখ্যা
    Here number of sign change is = 3
    ​+x3 to - 6x2, then - 6x2 to + 11x, then  +11x  to - 6
    ১১.
    After synthetic division of x3- 3x2+ 3x - 1 by x - 1, the quotient is:
    1. ক
      x2- 2x + 1
    2. খ
      x2+ 2x + 1
    3. গ
      x2 - 3x + 1
    4. ঘ
      x2- x + 2
    সঠিক উত্তর: ক
    x2- 2x + 1
    উত্তর
    সঠিক উত্তর: ক
    x2- 2x + 1
    ক
    ব্যাখ্যা
    x3- 3x2 + 3x - 1
    ​= x2(x - 1) - 2x(x-1) + 1(x - 1)
    ​= (x - 1)(x2- 2x + 1)
    ​So (x2 - 2x + 1) is the quotient
    ১২.
    Synthetic division is most efficient when divisor is:
    1. ক
      Quadratic
    2. খ
      x + a
    3. গ
      x2+ ax + b
    4. ঘ
      Cubic
    সঠিক উত্তর: খ
    x + a
    উত্তর
    সঠিক উত্তর: খ
    x + a
    খ
    ব্যাখ্যা
    Synthetic division is most efficient when divisor is linear 
    ১৩.
    In synthetic division, if the remainder is 0, then:
    1. ক
      The value is not a root
    2. খ
      The divisor is a factor
    3. গ
      The polynomial is even
    4. ঘ
      The polynomial is odd
    সঠিক উত্তর: খ
    The divisor is a factor
    উত্তর
    সঠিক উত্তর: খ
    The divisor is a factor
    খ
    ব্যাখ্যা
    In synthetic division, if the remainder is 0, then the divisor is a factor
    ১৪.
    A polynomial equation of degree 5 can have how many complex roots at most?
    1. ক
      3
    2. খ
      4
    3. গ
      5
    4. ঘ
      6
    সঠিক উত্তর: গ
    5
    উত্তর
    সঠিক উত্তর: গ
    5
    গ
    ব্যাখ্যা
    A polynomial equation of degree n can have how many complex roots at most n.
    ১৫.
    The polynomial P(x) = x2+ 4x + 4 has:
    1. ক
      Two distinct real roots
    2. খ
      Two complex roots
    3. গ
      One real repeated root
    4. ঘ
      No roots
    সঠিক উত্তর: গ
    One real repeated root
    উত্তর
    সঠিক উত্তর: গ
    One real repeated root
    গ
    ব্যাখ্যা
    Discriminant, D = 42 - 4.1.4 = 0  
    One real repeated root
    ১৬.
    The remainder when P(x) = x3+ 2x2- x + 5 is divided by x - 1 is:
    1. ক
      7
    2. খ
      - 7
    3. গ
      5
    4. ঘ
      0
    সঠিক উত্তর: ক
    7
    উত্তর
    সঠিক উত্তর: ক
    7
    ক
    ব্যাখ্যা
    Remainder  = P(1) = 13 + 2.12 - 1 + 5 = 7
    ১৭.
    The degree of (x2+ 1)(x - 2 + x3) is:
    1. ক
      2
    2. খ
      3
    3. গ
      5
    4. ঘ
      6
    সঠিক উত্তর: গ
    5
    উত্তর
    সঠিক উত্তর: গ
    5
    গ
    ব্যাখ্যা
    Degree is sum of highest degrees: 2 + 3 = 5
    ১৮.
    If α, β are roots of 3x2 - 2x + 1 = 0, the equation whose roots are α2, β2 is:
    1. ক
      3x2+ 2x - 1=0
    2. খ
      9x2+ 4x + 1=0
    3. গ
      3x2- 4x + 1=0
    4. ঘ
      9x2+ 2x + 1=0
    সঠিক উত্তর: ঘ
    9x2+ 2x + 1=0
    উত্তর
    সঠিক উত্তর: ঘ
    9x2+ 2x + 1=0
    ঘ
    ব্যাখ্যা

    ​
    ১৯.
    If 2x2+ 2x - k is a full square, then what is the value of k?
    1. ক
      3/2
    2. খ
      - (3/2)
    3. গ
      1/2
    4. ঘ
      - (1/2)
    সঠিক উত্তর: ঘ
    - (1/2)
    উত্তর
    সঠিক উত্তর: ঘ
    - (1/2)
    ঘ
    ব্যাখ্যা
    Since 2x2 + 2x - k is a square then discriminant of 2x2 + 2x - k = 0 is = 0
    So, 22- 4.2.(- k) = 0 or, k = - (1/2)
    ২০.
    What is the maximum value of 5 + 3x - x2? 
    1. ক
      3
    2. খ
      11/4
    3. গ
      29/4
    4. ঘ
      27/4
    সঠিক উত্তর: গ
    29/4
    উত্তর
    সঠিক উত্তর: গ
    29/4
    গ
    ব্যাখ্যা
    ২১.
    For what value of p, x2+ px + 1 = 0 has complex roots?
    1. ক
      - 2 ≤ p ≤2
    2. খ
      - 4 ≤ p ≤ 4
    3. গ
      - 2 < p < 2
    4. ঘ
      - 4 < p < 4
    সঠিক উত্তর: গ
    - 2 < p < 2
    উত্তর
    সঠিক উত্তর: গ
    - 2 < p < 2
    গ
    ব্যাখ্যা
    Here x2 + px + 1=0
    Now for complex roots,
    D = 0
    Or, P2- 4.1.1<0
    Or, p2 < 4
    Or, -  2
    ২২.
    If the roots 3x2- 10x + k = 0 has roots a and 1/a , what is the value of k?
    1. ক
      3
    2. খ
      1
    3. গ
      0
    4. ঘ
      - 3
    সঠিক উত্তর: ক
    3
    উত্তর
    সঠিক উত্তর: ক
    3
    ক
    ব্যাখ্যা
    ২৩.
    1. ক
      0.5
    2. খ
      0
    3. গ
      1
    4. ঘ
      none
    সঠিক উত্তর: গ
    1
    উত্তর
    সঠিক উত্তর: গ
    1
    গ
    ব্যাখ্যা
    ২৪.
    Which one of the following is the quadratic equation having root 5 + 3i?
    1. ক
      x2- 10x + 34 = 0
    2. খ
      x2- 10x - 34 = 0
    3. গ
      x2+ 10x - 34 = 0
    4. ঘ
      x - 5 = 3i
    সঠিক উত্তর: ক
    x2- 10x + 34 = 0
    উত্তর
    সঠিক উত্তর: ক
    x2- 10x + 34 = 0
    ক
    ব্যাখ্যা
    If one root is, a = 5 + 3i, other root is b=5 - 3i
    ​So the equation is, x2-(a + b)x + ab=0
    ​Or, x2- (5 + 3i + 5 - 3i)x + (5 + 3i)(5 - 3i) = 0
    ​Or, x2- 10x + 34 = 0
    ২৫.
    If one root of a quadratic equation is, 1/(2 - √5) find the other one-
    1. ক
      - 2 - √5
    2. খ
      2 + √5
    3. গ
      2 - √5
    4. ঘ
      - 2 + √5
    সঠিক উত্তর: ঘ
    - 2 + √5
    উত্তর
    সঠিক উত্তর: ঘ
    - 2 + √5
    ঘ
    ব্যাখ্যা
    ২৬.
    Evaluate:
    1. ক
      0
    2. খ
      1
    3. গ
      - 2
    4. ঘ
      2
    সঠিক উত্তর: ক
    0
    উত্তর
    সঠিক উত্তর: ক
    0
    ক
    ব্যাখ্যা
    ২৭.
    In a telescoping series, which terms usually remain?
    1. ক
      First and last
    2. খ
      All terms
    3. গ
      Middle terms
    4. ঘ
      Only one term
    সঠিক উত্তর: ক
    First and last
    উত্তর
    সঠিক উত্তর: ক
    First and last
    ক
    ব্যাখ্যা
    By the definition, a telescoping series is one where consecutive terms cancel out, leaving only a few terms at the beginning and end.
    ২৮.
    What is the nth term of the series
    1. ঘ
      None
    সঠিক উত্তর: ক
    উত্তর
    সঠিক উত্তর: ক
    ক
    ব্যাখ্যা
    ২৯.
    Result of dividing x2 - 3x + 2 by x - 1:
    1. ক
      Quotient: x - 2, Remainder: 0
    2. খ
      Quotient: x + 2, R: 1
    3. গ
      Quotient: x - 1, R: 2
    4. ঘ
      None
    সঠিক উত্তর: ক
    Quotient: x - 2, Remainder: 0
    উত্তর
    সঠিক উত্তর: ক
    Quotient: x - 2, Remainder: 0
    ক
    ব্যাখ্যা
    Now, no, remainder left.
    Else we can use synthetic division method.