প্রাথমিক শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি (আর্কাইভ)

প্রশ্ন: যদি a + b = 10 এবং ab = 21 হয়, তবে a - b এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
a + b = 10 এবং ab = 21

আমরা জানি,
(a - b)² = (a + b)² - 4ab
= 10² - (4 × 21)
= 100 - 84
= 16
⇒ (a - b) = √16
∴ a - b = 4

প্রশ্ন: x = 2 এবং y = 7 হলে, 25x² - 70xy + 49y² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
x = 2 এবং y = 7

প্রদত্ত রাশি,
= 25x² - 70xy + 49y²
= (5x)² - 2 × 5x × 7y + (7y)²
= (5x - 7y)2
= (5 × 2 - 7 × 7)²   ; [x ও y এর মান বসিয়ে]
= (10 - 49)²
= (- 39)²
= 1521

প্রশ্ন: যদি x + (1/x) = 4 হয়, তবে {x² - (1/x²)}² এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x + 1/x = 4

আমরা জানি,
(x - 1/x)² = (x + 1/x)² - 4 . x . (1/x)
= 4² - 4 = 16 - 4 = 12
∴ x - (1/x) = √12

প্রদত্ত রাশি, 
x² - (1/x²)²
= [{x + (1/x)}{x - (1/x)}]²
= (4 × √12)²
= 16 × 12
= 192

প্রশ্ন: 9a² - 12a এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান:
9a² - 12a
= (3a)² - 2 × 3a × 2 + (2)² - 4
= (3a - 2)² - 4

∴ 4 যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

প্রশ্ন: (x² - 2x) কে (x + 3) দ্বারা গুণ করলে, গুণফল নিচের কোনটি?

সমাধান:
 (x² - 2x)(x + 3)
= (x²)x + 3x² - 2x . x - 2x(3)
= x³ + 3x² - 2x² - 6x
= x³ + x² - 6x

প্রশ্ন: যদি p = 4x² + 4xy + y² এবং q = 4x² - 4xy + y² হয়, তবে q - p = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
p = 4x² + 4xy + y² এবং q = 4x² - 4xy + y²

প্রদত্ত রাশি, 
q - p
= (4x² - 4xy + y²) - (4x² + 4xy + y²) 
= 4x² - 4xy + y² - 4x² - 4xy - y²
= - 8xy

প্রশ্ন: যদি p + q = 20 এবং p - q = 6 হয়, তবে 3p² + 3q² = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
p + q = 20 এবং p - q = 6

প্রদত্ত রাশি, 
3p² + 3q²
= (3/2){2(p² + q²)}
= (3/2){(p + q)² + (p - q)²}
= (3/2)(20² + 6²)
= (3/2)(400 + 36)
= (3/2) × 436
= 3 × 218
= 654

প্রশ্ন: 16x⁴ + 36x² + 81 কে 4x² - 6x + 9 দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল কত হবে?

সমাধান:


সুতরাং, সঠিক উত্তর গ) 4x² + 6x + 9

প্রশ্ন: উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন: x² - 23x + 132

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x² - 23x + 132
= x² - 12x - 11x + 132
= x(x - 12) - 11(x - 12)
= (x - 12)(x - 11)

প্রশ্ন: যদি x + y = 9 এবং x - y = 3 হয়, তাহলে x³ + y³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
x + y = 9 এবং x - y = 3

আমরা জানি, 
xy = {(x + y)² - (x - y)²}/4
= {(9)² - (3)²}/4
= (81 - 9)/4
= 72/4
= 18

আমরা জানি, 
x³ + y³ = (x + y)³ - 3xy(x + y)
= (9)³ - 3 × 18 × 9
= 729 - 486
= 243

প্রশ্ন: 9a³b²c², 12a²bc ও 15ab³c³ এর গ.সা.গু. নির্ণয় করুন- 

সমাধান:
9, 12, 15 এর গ.সা.গু. = 3
a³, a², a এর গ.সা.গু = a
b², b, b³ এর গ.সা.গু = b
c², c, c³ এর গ.সা.গু = c

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু. = 3abc

প্রশ্ন: (4m + 2n)³ + 3(4m + 2n)²(m - 2n) + 3(4m + 2n)(m - 2n)² + (m - 2n)³ = ? 

সমাধান:
ধরি,
4m + 2n = a
এবং m - 2n = b

প্রদত্ত রাশি,
a³ + 3a²b + 3ab² + b³ 
= (a + b)³
= {(4m + 2n) + (m - 2n)}³
= (4m + 2n + m - 2n)³
= (5m)³
= 125m³

প্রশ্ন: x³ + x²y, x²y + xy², x³ + y³ এবং (x + y)³ এর ল.সা.গু. কত?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম রাশি,
x³ + x²y 
= x²(x + y) 

দ্বিতীয় রাশি,
x²y + xy²
= xy(x + y) 

তৃতীয় রাশি,
x³ + y³
= (x + y)(x² - xy + y²) 

চতুর্থ রাশি,
 (x + y)³
= (x + y)(x + y)(x + y)

ল.সা.গু. = x²y(x + y)³(x² - xy + y²)
= x²y(x + y)²(x³ + y³)

প্রশ্ন: (x² + 2) এবং (x⁴ - 2x² + 4) এর গুণফল নির্ণয় করুন- 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
(x² + 2)(x⁴ - 2x² + 4)
= (x² + 2){(x²)² - x² × 2 + 2²}
= (x²)³ + (2)³
= x⁶ + 8

প্রশ্ন: x² + 2px + p² - 4 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন। 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x² + 2px + p² - 4
= (x² + 2px + p²) - 4
= (x + p)² - 4
= (x + p)² - 2²
= (x + p + 2)(x + p - 2)

প্রশ্ন: a² + b² = c² হয়, তবে a⁶ + b⁶ + 3a²b²c² = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a² + b² = c²

প্রদত্ত রাশি, 
a⁶ + b⁶ + 3a²b²c²
= (a²)³ + (b²)³ + 3a²b²c²
= (a² + b²)³ - 3a²b²(a² + b²) + 3a²b²c²  ; [a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)]
= (c²)³ - 3a²b²c² + 3a²b²c²
= c⁶

প্রশ্ন: x² - 10x + 21 ও x² - 6x - 7 দুইটি বীজগাণিতিক রাশি হলে, 
i. রাশি দুইটির গ.সা.গু x - 7
ii. রাশি দুইটির ল.সা.গু (x + 1)(x - 3)(x - 7)
iii. রাশি দুইটির গুণফল x⁴ - 60x² - 147

সমাধান: 
১ম রাশি,
x² - 10x + 21 
= x² - 7x - 3x + 21
= x(x - 7) - 3(x - 7)
= (x - 7)(x - 3)

২য় রাশি,
x² - 6x - 7
= x² - 7x + x - 7
= x(x - 7) + 1(x - 7)
= (x - 7)(x + 1)

গ.সা.গু. = (x - 7)
ল.সা.গু. = (x + 1)(x - 3)(x - 7)
এবং রাশি দুইটির গুণফল = (x² - 10x + 21)(x² - 6x - 7) 
= (x - 7)(x - 3)(x - 7)(x + 1)
= (x - 3)(x + 1)(x - 7)²
= (x² - 2x - 3)(x² - 14x + 49)
= x⁴ - 16x³ + 95x² - 98x - 147 

সুতরাং, সঠিক উত্তর ক) i ও ii

প্রশ্ন: যদি x + y = √13 এবং x - y = √5 হয়, তবে xy এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
x + y = √13
x - y = √5

আমরা জানি,
xy = {(x + y)/2}² - {(x - y)/2}²
= (√13/2)² - (√5/2)²
= (13/4) - (5/4)
= (13 - 5)/4
= 8/4
= 2

প্রশ্ন: যদি a = 2 + √5 এবং b = 2 - √5​ হয়, তবে a² + b² এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a = 2 + √5 এবং b = 2 - √5

এখন, 
ab = (2 + √5)(2 - √5) = 2² - (√5)²
= 4 - 5 = - 1
∴ ab = - 1 

প্রদত্ত রাশি, 
a² + b² = (a + b)² - 2ab
= 16 - 2(- 1)
= 16 + 2
= 18

প্রশ্ন: যদি p² + 2p - 35 এর একটি উৎপাদক (p + 7) হয়, তবে অপর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
p² + 2p - 35
= p² + 7p - 5p - 35
= p(p + 7) - 5(p + 7)
= (p + 7)(p - 5)

সুতরাং, অপর উৎপাদক (p - 5)। 

প্রশ্ন: 6a² + 3ab, 2a³ + 5a² - 12a এবং a⁴ - 8a এর গ.সা.গু. নির্ণয় করুন-

সমাধান: 
প্রথম রাশি, 
 6a² + 3ab
= 3a(2a + b)

দ্বিতীয় রাশি,
2a³ + 5a² - 12a
= a(2a² + 5a - 12)

তৃতীয় রাশি,
a⁴ - 8a
= a(a³ - 8)
= a(a³ - 2³)
= a(a - 2)(a² + 2a + 4)

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু. = a

প্রশ্ন: 12x²y⁴ কে 5x²y³ দ্বারা গুণ করলে গুণফল কত হবে? 

সমাধান: 
12x²y⁴ × 5x²y³
= (12 × 5) × (x² × x²) × (y⁴ × y³)
= (12 × 5) × (x^{2 + 2}) × (y^{4 + 3})
= 60x⁴y⁷  [সূচক নিয়ম অনুযায়ী]

∴ নির্ণেয় গুণফল = 60x⁴y⁷

প্রশ্ন: যদি q² - 11q + 30  এবং q² - 8q + 15 হয়, সাধারণ উৎপাদক কত?

সমাধান:
১ম রাশি, 
q² - 11q + 30
= q² - 6q - 5q + 30
= q(q - 6) - 5(q - 6)
= (q - 6)(q - 5)

২য় রাশি, 
q² - 8q + 15
= q² - 5q - 3q + 15
= q(q - 5) - 3(q - 5)
= (q - 5)(q - 3)

সুতরাং, সাধারণ উৎপাদক (q - 5)

প্রশ্ন: x + y = √11 এবং x - y = √3 হলে, 8xy(x² + y²) =?

সমাধান: 
8xy(x² + y²)
= 4xy × 2(x² + y²)
= {(x + y)² - (x - y)²}{(x + y)² + (x - y)²}
= {(√11)² - (√3)²}{(√11)² + (√3)²}
= (11 - 3)(11 + 3)
= 8 × 14
= 112

প্রশ্ন: (p²/q²) + 2(p/q) এর সাথে কত যোগ করলে সংখ্যাটি পূর্ণ বর্গ হবে?

প্রশ্ন: f(x) = a³ + 4a² + a - 6 হলে, নিচের কোনটি f(a) এর সঠিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ?

সমাধান:
ধরি,
a = 1

∴ f(1) = 1³ + 4 .1² + 1 - 6 
= 1 + 4 + 1 - 6
= 6 - 6 
= 0
∴ (a - 1) হলে f(a) এর একটি উৎপাদক 

f(a) = a³ + 4a² + a - 6
= a³ - a² + 5a² - 5a + 6a - 6
= a²(a - 1) + 5a(a - 1) + 6(a - 1)
= (a - 1)(a² + 5a + 6)
= (a - 1)(a² + 2a + 3a + 6)
= (a - 1){a(a + 2) + 3(a + 2)}
= (a - 1)(a + 2)(a + 3)

প্রশ্ন: 2x + 3y = 13 এবং xy = 6 হলে, 8x³ + 27y³ এর মান নির্ণয় করুন। 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
2x + 3y = 13 এবং xy = 6 

প্রদত্ত রাশি, 
8x³ + 27y³
= (2x)³ + (3y)³
= (2x + 3y)³ - 3 . 2x . 3y(2x + 3y)
= (13)³ - 18 . 6 . 13
= 2197 - 1404
= 793

প্রশ্ন: x² - 2x + 1 = 0 হলে x² - 1/x² এর মান-

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x² - 2x + 1 = 0
⇒ x² + 1 = 2x
⇒ x + 1/x = 2

এখন,
(x - 1/x)² = {x + (1/x)}² - 4.x.(1/x)
= (2)² - 4
= 4 - 4
= 0
∴ ‍x - 1/x = 0

প্রদত্ত রাশি,
x² - 1/x² = (x + 1/x)(x - 1/x)
= 2 × 0
= 0

প্রশ্ন: x² + 3x + 2, x² -1 এবং x² + x - 2 এর ল.সা.গু. কত? 

সমাধান: 
১ম রাশি, 
x² + 3x + 2
= x² + 2x + x + 2
= x(x + 2) + 1(x + 2)
= (x + 2)(x + 1)

২য় রাশি, 
x² -1 
= (x + 1)(x - 1) 

৩য় রাশি, 
x² + x - 2
= x² + 2x - x - 2
= x(x + 2) - 1(x + 2)
= (x + 2)(x - 1) 

অতএব, ল.সা.গু = (x + 1)(x + 2)(x - 1) 

প্রশ্ন: a⁴ + a²b² + b⁴ = 8 এবং a² + ab + b² = 4 হলে, a² - ab + b² এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a⁴ + a²b² + b⁴ = 8
a² + ab + b² = 4

এখন, 
a⁴ + a²b² + b⁴ = 8
⇒ (a²)² + 2 . a² . b² + (b²)² - a² . b² = 8
⇒ (a² + b²)²  - (ab)² = 8
⇒ (a² + b² + ab)(a² + b² - ab) = 8
⇒ 4(a² - ab + b²) = 8
⇒ (a² - ab + b²) = 8/4
∴ a² - ab + b² = 2