Math Master

প্রশ্ন: একটি ১৭ মিটার লম্বা মই দেয়ালের সাথে হেলান দিয়ে রাখা হয়েছে। মইয়ের এক প্রান্ত দেয়াল থেকে ১৫ মিটার দূরে থাকলে, মইয়ের অপর প্রান্ত দেয়ালের কত উচ্চতায় স্পর্শ করেছে?

সমাধান:
ধরি,
মইয়ের অপর প্রান্ত দেয়ালের ”ক” মিটার উচ্চতায় স্পর্শ করেছে।

দেওয়া আছে,
মইয়ের দৈর্ঘ্য = ১৭ মিটার
দেয়াল থেকে মইয়ের দূরত্ব = ১৫ মিটার

যেহেতু দেয়াল মাটির সাথে ৯০° কোণ উৎপন্ন করে।

∴ পিথাগোরাসের সূত্রানুসারে,
(দেয়ালের উচ্চতা)^২ + (দেয়াল থেকে মইয়ের দূরত্ব)^২ = (মইয়ের দৈর্ঘ্য)^২
⇒ (দেয়ালের উচ্চতা)^২ + (১৫)^২ = (১৭)^২
⇒ (দেয়ালের উচ্চতা)^২ + ২২৫ = ২৮৯
⇒ (দেয়ালের উচ্চতা)^২ = ২৮৯ - ২২৫
⇒ (দেয়ালের উচ্চতা)^২ = ৬৪
⇒ দেয়ালের উচ্চতা = √৬৪
∴ দেয়ালের উচ্চতা = ৮

মইয়ের অপর প্রান্ত দেয়ালের ৮ মিটার উচ্চতায় স্পর্শ করেছে

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ৬ মিটার হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a = ৬ মিটার

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × a^২ বর্গ একক
= {(√৩/৪) × ৬^২} বর্গমিটার
= {(√৩/৪) × ৩৬} বর্গমিটার
= ৯√৩ বর্গমিটার

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = ৯√৩ বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৬ মিটার, ১০ মিটার এবং ১২ মিটার হলে, বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম বাহুর মধ্যবিন্দু দু’টির দূরত্ব কত মিটার?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের যে কোন দুইবাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল ও অর্ধেক।
এখানে বৃহত্তম বাহু = ১২ মিটার
এবং ক্ষুদ্রতম বাহু = ৬ মিটার।

∴ এদের মধ্যবিন্দু দুটির দূরত্ব হবে তৃতীয় বাহু ১০ মিটার এর অর্ধেক।
অর্থাৎ ৫ মিটার

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলো যথাক্রমে ১২ সেমি, ১৫ সেমি এবং ৯ সেমি। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
সমকোণী ত্রিভুজের তিন বাহুর = ১২ সেমি, ১৫ সেমি ও ৯ সেমি হলে,
বৃহত্তম বাহুটি অতিভুজ এবং অপর দুই বাহু ভূমি এবং লম্ব।

অর্থাৎ লম্ব ১২ সেমি হলে ভূমি ৯ সেমি
অথবা লম্ব ৯ সেমি হলে ভূমি ১২ সেমি

অতএব, ক্ষেত্রফল = ১/২ × ১২ × ৯
= ৫৪ বর্গসেমি

প্রশ্ন: ত্রিভুজের তিন কোণের সমদ্বিখণ্ডক গুলো যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে কি বলে?

সমাধান:
অন্তঃকেন্দ্রঃ ত্রিভুজের তিন কোণের সমদ্বিখণ্ডকগুলো যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে অন্তঃকেন্দ্র বলে।
পরিকেন্দ্রঃ ত্রিভুজের যেকোন দুই বাহুর লম্বদ্বিখন্ডক যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র বলে।
ভরকেন্দ্রঃ ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের ছেদবিন্দুকে ভরকেন্দ্র বলে।
বহিঃকেন্দ্রঃ যে বিন্দু হতে ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দুর দূরত্ব সমান তাকে বহিঃকেন্দ্র বলে।

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ব্যতীত অপর দুইটি কোণের পার্থক্য 10 ডিগ্রি হলে, ঐ কোণ দুইটির মধ্যে বৃহত্তম কোণ কত?

সমাধান: 
ধরি,
অপর দুইটি কোণের মধ্যে ক্ষুদ্রতম কোণ = x°
∴ বৃহত্তম কোণ = (x + 10)°

প্রশ্নমতে,
x + (x +10) + 90 = 180
⇒ 2x + 100 = 180
⇒ 2x = 180 - 100
⇒ 2x = 80
⇒ x = 80/2
∴ x = 40

∴ বৃহত্তম কোণ = (40 + 10)°
= 50

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 3, 7 এবং 8 মিটার হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a = 3 মিটার
b = 7 মিটার
c = 8 মিটার

∴ ত্রিভুজটির অর্ধ-পরিসীমা s = (a + b + c)/2
= (3 + 7 + 8)/2 মিটার
= 9 মিটার

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = √{s(s - a)(s - b)(s - c)} বর্গ একক
= √{9 × (9 - 3)(9 - 7)(9 - 8)} বর্গমিটার
=√(9 × 6 × 2 × 1) বর্গমিটার
= √108 বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 16 মিটার। এর সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য ভূমির 5/6 অংশ হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি,
ত্রিভুজটির ভূমি b = x মিটার
∴ ত্রিভুজটির সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a = 5x/6 মিটার

প্রশ্নমতে,
x + (5x/6) + (5x/6) = 16
⇒ (6x + 5x + 5x)/6 = 16 
⇒ 16x/6 = 16
⇒ x = 6

∴ ত্রিভুজটির ভূমি b = 6 মিটার
∴ সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a = 6 × 5/6
= 5 মিটার

ক্ষেত্রফল = (b/4) √(4a²- b²)
= (6/4) √{4(5)²- (6)²}
= (6/4) √(100 - 36)
= (6/4) √(64)
= (6/4) × 8
= 12 বর্গমিটার

প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজাকৃতির মাঠের অতিভুজ ১০ সেমি এবং ভূমি ৬ সেমি হলে মাঠটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমকোণী ত্রিভুজাকৃতির মাঠের অতিভুজ = ১০ সেমি
এবং ভূমি = ৬ সেমি

∴ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
(ভূমি)^২ + (লম্ব)^২ = (অতিভুজ)^২
⇒ (লম্ব)^২ = (অতিভুজ)^২ - (ভূমি)^২
⇒ (লম্ব)^২ = (১০)^২ - (৬)^২
⇒ (লম্ব)^২ = ১০০ - ৩৬
⇒ (লম্ব)^২ = ৬৪
⇒ লম্ব = √৬৪
∴ লম্ব = ৮

∴ মাঠটির ক্ষেত্রফল = (১/২) × লম্ব × ভূমি
= (১/২) × ৮ × ৬
= ২৪ বর্গসেমি

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 4 : 5 : 9 হলে, ত্রিভুজটির ক্ষুদ্রতম কোণের মান কত?

সমাধান:
অনুপাতের যোগফল = (4 + 5 + 9)
= 18

আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180°

∴ ক্ষুদ্রতম কোণের মান = (180° এর 4/18)
= 40°

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 5 সে.মি. ও 12 সে.মি. হলে ত্রিভুজটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহু লম্ব এবং ভূমি
ধরি,
লম্ব = 5 সে.মি
এবং ভূমি = 12 সে.মি.

∴ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
 (অতিভুজ)^২ = (ভূমি)^২ + (লম্ব)^২
⇒ (অতিভুজ)^২ = (12)² + (5)²
⇒ (অতিভুজ)^২ = 144 + 25
⇒ (অতিভুজ)^২ = 169
⇒ অতিভুজ = √169
∴ অতিভুজ = 13

∴ ত্রিভুজটির পরিসীমা = (13 + 5 + 12) সেমি
= 30 সেমি

প্রশ্ন: ABC সমবাহু ত্রিভুজের একটি মধ্যমা AD এবং G ভরকেন্দ্র। AG = ১০ সেমি হলে AD = ?

সমাধান:
আমরা জানি,
ভরকেন্দ্র ত্রিভুজের মধ্যমাকে ২ : ১ অনুপাতে বিভক্ত করে।

প্রশ্নমতে,
AG : GD = ২ : ১
⇒ ১০/GD = ২/১
⇒ GD = ১০/২
∴ GD = ৫

∴ AD = (AG + GD) সেমি
= (১০ + ৫) সেমি
= ১৫ সেমি

প্রশ্ন: শুধু পরিসীমা দেয়া থাকলে কোন ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব?

সমাধান:
পরিসীমাকে ৩ দিয়ে ভাগ করে সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য পাওয়া যায়।

∴ শুধু পরিসীমা দেয়া থাকলে সমবাহু ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 150 বর্গসেমি। ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হতে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য 20 সেমি হলে, ভূমির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ক্ষেত্রফল = 150 বর্গসেমি
লম্ব = 20 সেমি

আমরা জানি,
(1/2) × ভূমি × উচ্চতা = ক্ষেত্রফল
⇒ (1/2) × 20 × উচ্চতা = 150
⇒ উচ্চতা = (150 × 2) ÷ 20
∴ উচ্চতা = 15

∴ ভূমির দৈর্ঘ্য = 15 সেমি

প্রশ্ন: ABC ত্রিভুজে AB=30 মিটার, BC= 20 মিটার এবং ক্ষেত্রফল 300 বর্গ মিটার হলে, ∠B = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
AB= 30 মিটার
BC= 20 মিটার
এবং ABC ত্রিভুজে ক্ষেত্রফল = 300 বর্গ মিটার


আমরা জানি,
একটি ত্রিভুজের সন্নিহিত বাহুদ্বয় a, b হলে এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ θ হলে,
ক্ষেত্রফল = (1/2)ab sinθ

∴ △ABC এর ক্ষেত্রফল = (1/2) × AB × BC × sin ∠B
⇒ 300 = (1/2) × 30 × 20 × sin ∠B
⇒ 300 = 300 × sin ∠B
⇒ 300 ÷ 300 = sin ∠B
⇒ sin ∠B = 1
⇒ sin ∠B = sin 90°
∴ ∠B = 90°

প্রশ্ন: যদি একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহু যথাক্রমে ৭ সেমি এবং ৫ সেমি হয়, তবে ত্রিভুজের অপর বাহুটির দৈর্ঘ্য কোনটি হওয়া সম্ভব নয়?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের যে কোন দুই বাহুর সমষ্টি তার তৃতীয় বাহু অপেক্ষায় বৃহত্তম।

∴ ত্রিভুজের দুইটি বাহু যথাক্রমে ৭ সেমি এবং ৫ সেমি হলে তৃতীয় বাহুটি অবশ্যই তাদের যোগফল অপেক্ষায় ছোট হবে।
অর্থাৎ তৃতীয় বাহুটি = (৭ + ৫) = ১২ অপেক্ষায় ছোট হবে।

∴ যদি একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহু যথাক্রমে ৭ সেমি এবং ৫ সেমি হয় তবে ত্রিভুজের অপর বাহুটি ১৩ হওয়া সম্ভব নয়।

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ২০ সেমি হলে,  ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি,
সমকোণ সংলগ্ন প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = ক সেমি

∴ পিথাগোরাসের সূত্রানুসারে,
ক^২ + ক^২ = (২০)^২
⇒ ২ক^২ = ৪০০
⇒ ক^২ = ২০০
⇒ ক = √২০০
∴ ক = ১০√২

∴ সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের, ভূমি = উচ্চতা = ১০√২ সেমি

∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল, = (১/২ × ১০√২ × ১০√২) বর্গ সেমি
= ১০০ বর্গ সেমি