Math Master

আমরা জানি,
বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
বা বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।

একটি বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ ৩৮° হয়, তবে বৃত্তটির কেন্দ্রস্থ কোণের পরিমাণ হবে ৭৬°।

প্রশ্ন: একটি সপ্তভুজের সাতটি কোণের সমষ্টি হলো-

সমাধান:
আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে তার কোণগুলোর সমষ্টি (2n - 4) সমকোণ।

সুতরাং সপ্তভুজের সাতটি কোণের সমষ্টি = (2 × 7- 4) সমকোণ
                                                                = (14 - 4) × 90°
                                                                = 10 × 90°
                                                                = 900°

ষড়ভুজের ছয়টি কোণের সমষ্টি = 900° বা দশ সমকোণ

একটি সরলরেখা একটি বৃত্তকে দুইটি বিন্দুতে ছেদ করে। 
একটি সরলরেখা একটি বৃত্তকে একটি বিন্দুতে স্পর্শ করে।

প্রশ্ন: বৃত্তের ব্যাস দ্বিগুণ বৃদ্ধি পেলে এর ক্ষেত্রফল কতগুণ বেড়ে যাবে?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r
বৃত্তের ব্যাস = 2r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

ব্যাস দ্বিগুণ বৃদ্ধি পেলে বৃত্তের নতুন ব্যাস =  (2r + 4r) = 6r
∴ ব্যাসার্ধ =6r/2 = 3r  
∴ ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে π(3r)² =9πr²
ক্ষেত্রফল বেড়ে যাবে = 9πr² - πr² = 8πr²

∴ 8 গুণ বৃদ্ধি পাবে।

সুষম অষ্টভুজটির 
প্রতিটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাপ = ৩৬০°/৮ = ৪৫°

সুষম অষ্টভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাপ হবে = (১৮০ - ৪৫)° = ১৩৫°

ধরি,
বৃত্ত দুইটির ব্যসার্ধ 4x এবং 5x
∴ বৃত্তদুটির পরিধির অনুপাত = 2π(4x) : 2π(5x)
                                             = 4 : 5
                                                      

প্রশ্ন: দুটি বৃত্ত পরস্পর বহিঃস্পর্শ করল। ১ম বৃত্তটির ব্যাসার্ধ 6 সে.মি. এবং কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব 10 সে.মি.। ২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত? 

সমাধান:
আমরা জানি 
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ  করলে, কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব বৃত্তদ্বয়ের ব্যাসার্ধের যোগফলের  সমান।

 ১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ r₁ = 6 সে. মি.  
২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ r₂= ?   

কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব= (r₁ +  r₂) 
                                     10 = 6 + r₂
                                    10 - 6 = r₂
                                         r₂ = 4 সে.মি.

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের ১০ সেন্টিমিটার দীর্ঘ একটি জ্যা কেন্দ্র হতে ১২ সেন্টিমিটার দূরে অবস্থিত। বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন কোন জ্যায়ের উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখন্ডিত করে।

এখানে, 
O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে AB ব্যাস ভিন্ন জ্যা। OD, AB জ্যা এর উপর লম্ব।  
AD = BD = 10/2 = 5 
 OB = 12

ΔOBD এ
OD² + BD² = OB²
বা, 12² + 5² = OB²
বা, 144 + 25  = OB²
বা, 169 = OB² 
      OB = 13

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস r/2 হলে, বৃত্তটির ক্ষেত্রফল হলো-

সমাধান:
বৃত্তের ব্যাস = r/2
∴ ব্যাসার্ধ = r/4 

∴ ক্ষেত্রফল = π(r/4)²
                  = πr²/16

 
বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের যেকোনো দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ।  
∠BAD + ∠BCD = 180°
80° + ∠BCD = 180°
∠BCD = 180° - 80°
∠BCD =100°

আবার,
∠BCD + ∠DCE = 180°
100° + ∠DCE = 180°
∠DCE = 180° - 100°
∠DCE = 80°

 
বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ গুলো পরস্পর সমান। 
BCD চাপের উপর ∠BAD ও ∠BED বৃত্তস্থ কোণ
∠BAD = ∠BED
∠BAD = 30° , ∠BED = 30°