Math Master

প্রশ্ন: একটি কাজ করতে ৫০০ জন শ্রমিকের ৪৮ দিন সময় লাগে। ৪০ দিনে কাজটি শেষ করতে কত জন অতিরিক্ত শ্রমিক লাগবে?

সমাধান:
৪৮ দিনে কাজটি করে = ৫০০ জন লোক
∴ ১ দিনে কাজটি করে = ৫০০ × ৪৮ জন লোক
∴ ৪০ দিনে কাজটি করে = (৫০০ × ৪৮)/৪০ জন লোক
= ৬০০ জন লোক

∴ অতিরিক্ত শ্রমিক লাগবে = ৬০০ - ৫০০ জন
= ১০০ জন

প্রশ্ন: স্রোতহীন অবস্থায় একজন মাঝি সকালে ৬ কি.মি./ঘণ্টা বেগে ঘাঁট থেকে বাজারে যায়। স্রোতহীন অবস্থায় বিকালে ৪ কি.মি./ঘণ্টা বেগে বাজার থেকে ঘাঁটে ফিরে আসে, এতে তার ১ ঘণ্টা সময় বেশি লাগে। ঘাঁট থেকে বাজারের দূরত্ব কত?

সমাধান:
ধরি,
ঘাঁট থেকে বাজারের দূরত্ব = ক কি.মি.
বাজারে যেতে সময় লাগে = ক/৬ ঘণ্টা
বাজার থেকে ফিরতে সময় লাগে = ক/৪ ঘণ্টা

প্রশ্নমতে,
(ক/৪) - (ক/৬) = ১
⇒ (৬ক - ৪ক)/২৪ = ১
⇒ ২ক/২৪ = ১
⇒ ক/১২ = ১
∴ ক = ১২

∴ ঘাঁট থেকে বাজারের দূরত্ব = ১২ কি.মি.

প্রশ্ন: একটি পানির ট্যাঙ্ক দুই তৃতীয়াংশ পূর্ণ আছে। পাইপ ক দ্বারা ট্যাঙ্কটি ১০ মিনিটে পূর্ণ হয়। আবার পাইপ খ দ্বারা ট্যাঙ্কটি ৬ মিনিটে খালি হয়। যদি দুইটি পাইপ একসাথে চালু থাকে তবে কত সময় পর সম্পূর্ণ ট্যাঙ্কটি খালি বা পূর্ণ হবে?

সমাধান:
পাইপ ক দিয়ে ১ মিনিটে পূর্ণ হয় = ১/১০ অংশ
পাইপ খ দিয়ে ১ মিনিটে খালি হয় = ১/৬ অংশ

∴ দুটি নল খোলা থাকলে ১ মিনিটে খালি হবে = (১/৬) - (১/১০)
= (৫ - ৩)/৩০ অংশ
= ১/১৫ অংশ

১/১৫ অংশ খালি হয় = ১ মিনিটে
∴ ১ অংশ খালি হয় = ১৫ মিনিটে
∴ ২/৩ অংশ খালি হয় = (১৫ × ২)/৩ মিনিটে
= ১০ মিনিটে

প্রশ্ন: ৩০ কি.মি. পথ পাড়ি দিতে তুহিনের রনির থেকে ২ ঘণ্টা সময় বেশি লেগেছে। তুহিন যদি তার গতি দ্বিগুণ করত তাহলে রনির থেকে ১ ঘণ্টা সময় কম লাগত। তুহিনের গতি কত ছিল?

সমাধান:
ধরি, তুহিনের গতিবেগ = ক কি.মি./ঘণ্টা 
সময়ের পার্থক্য = ২ + ১ = ৩ ঘণ্টা 

প্রশ্নমতে,
(৩০/ক) - (৩০/২ক) = ৩
⇒ (৬০ - ৩০)/২ক = ৩
⇒ ৩০/২ক = ৩
⇒ ৬ক = ৩০
∴ ক = ৫

∴ তুহিনের গতিবেগ ছিলো ৫ কি.মি./ঘণ্টা 

প্রশ্ন: যদি ১৫ জন মিস্ত্রী ১০ দিনে ১২টি ঘর নির্মাণ করতে পারে, তবে ৯ জন মিস্ত্রী কত দিনে ১৮টি ঘর নির্মাণ করবে?

সমাধান:
১৫ জন মিস্ত্রী ১২টি ঘর নির্মাণ করতে পারে = ১০ দিনে
১ জন মিস্ত্রী ১টি ঘর নির্মাণ করতে পারে = (১০ × ১৫)/১২ দিনে
∴ ৯ জন মিস্ত্রী ১৮টি ঘর নির্মাণ করতে পারে = (১০ × ১৫ × ১৮)/(১২ × ৯) দিনে
= ২৫ দিনে

প্রশ্ন: ১৮০ মিটার লম্বা একটি ট্রেন ঘণ্টায় ৭২ কিলোমিটার বেগে একটি বৈদ্যুতিক খুঁটিকে অতিক্রম করতে কত সময় নেবে?

সমাধান: 
নিজের দৈর্ঘ্যের সমান দূরত্ব অতিক্রম করলে ট্রেনটির খুঁটিকে অতিক্রম করা হবে।

৭২ কিলোমিটার = ৭২ × ১০০০ = ৭২০০০ মিটার

৭২০০০ মিটার যায় = ৩৬০০ সেকেন্ডে
∴ ১৮০ মিটার যায় = (৩৬০০ × ১৮০)/৭২০০০ সেকেন্ডে
= ৯ সেকেন্ডে

প্রশ্ন: স্রোতের বিপরীতে একটি নৌকা ৪০ মিনিটে ৬ কি.মি. যেতে পারে। স্রোতের বেগ ২ কি.মি./ঘণ্টা হলে স্থির পানিতে নৌকার বেগ কত?

সমাধান:
স্রোতের বিপরীতে নৌকার গতিবেগ = (৬ × ৬০)/৪০
= ৯ কিমি/ঘণ্টা
স্রোতের বেগ ২ কিমি/ঘণ্টা হলে স্থির পানিতে নৌকার বেগ = (৯ + ২) কি.মি./ঘণ্টা
= ১১ কি.মি./ঘণ্টা

প্রশ্ন: একটি ট্রেন ১৮ সেকেন্ড ও ১৫ সেকেন্ডে যথাক্রমে ১৬২ ও ১২০ মিটার লম্বা দুটি স্টেশন অতিক্রম করে। ট্রেনটির দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান:
ধরি,
ট্রেনটির দৈর্ঘ্য = ক মিটার

প্রশ্নমতে, 
(ক + ১৬২)/১৮ = ( ক + ১২০)/১৫
⇒ ১৮ক + ২১৬০ = ১৫ক + ২৪৩০
⇒ ১৮ক - ১৫ক = ২৪৩০ - ২১৬০
⇒ ৩ক = ২৭০
∴ ক = ৯০ মিটার
∴ ট্রেনটির দৈর্ঘ্য ৯০ মিটার।

প্রশ্ন: একটি নল ১২ মিনিটে একটি খালি চৌবাচ্চা পূর্ণ করতে পারে। অপর একটি নল প্রতি মিনিটে ১৪ লিটার পানি বের করে দেয়। চৌবাচ্চাটি খালি থাকা অবস্থায় দুইটি নল একসাথে খুলে দেওয়া হলে চৌবাচ্চাটি ৯৬ মিনিটে পূর্ণ হয়। চৌবাচ্চাটিতে কত লিটার পানি ধরে?

সমাধান:
ধরি, ১ম নল দ্বারা প্রতি মিনিটে x লিটার পানি প্রবেশ করে এবং চৌবাচ্চাটিতে মোট y লিটার পানি ধরে।
প্রশ্নমতে,
বা, y = 12x ..............(1)
এবং y = 96x - 96 × 14 ...........(2)

(1) এর x এর মান (২) এ বসিয়ে পাই, 
⇒ y = 96(y/12) - 1344
⇒ y = 8y - 1344
∴ y = 1344/7 = 192

অতএব, চৌবাচ্চাটিতে মোট 192 লিটার পানি ধরে।

প্রশ্ন: লঞ্চ ও স্রোতের গতিবেগ যথাক্রমে ঘণ্টায় ১৬ কি.মি. ও ৪ কি.মি.। নদীপথে ৬০ কি.মি. অতিক্রম করে পুনরায় ফিরে আসতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
স্রোতের অনুকূলে লঞ্চের বেগ ঘন্টায় = লঞ্চের বেগ + স্রোতের বেগ = ১৬ + ৪ = ২০ কি.মি.
∴ ৬০ কি.মি. যেতে সময় লাগবে ৬০/২০ = ৩ ঘণ্টা
স্রোতের প্রতিকূলে লঞ্চের বেগ ঘণ্টায় = লঞ্চের বেগ - স্রোতের বেগ = ১৬ - ৪ = ১২ কি.মি.
∴ ৬০ কি.মি. যেতে সময় লাগবে ৬০/১২ = ৫ ঘণ্টা
∴ মোট সময় লাগবে = ৩ + ৫ = ৮ ঘণ্টা

প্রশ্ন: একটি কাজ সম্পন্ন করতে নিলয়ের লাগে ৩০ মিনিট এবং সুমনের লাগে ২০ মিনিট। উভয়ে একত্রে কাজটি কত মিনিটে সম্পন্ন করতে পারবে?

সমাধান:
নিলয় ১ মিনিটে করে কাজটির = ১/৩০ অংশ
সুমন ১ মিনিটে করে কাজটির = ১/২০ অংশ
নিলয় ও সুমন একত্রে ১ মিনিটে করে কাজটির = (১/৩০) + (১/২০) অংশ
= (২ + ৩)/৬০ = ৫/৬০ = ১/১২ অংশ

নিলয় ও সুমন  ১/১২ অংশ কাজ করে = ১ মিনিটে
∴ নিলয় ও সুমন ১ বা সম্পূর্ণ অংশ কাজ করে = (১২ × ১)/১ মিনিটে
= ১২ মিনিটে

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চার আয়তন ১২ ঘন মিটার। চৌবাচ্চাটির দৈর্ঘ্য ৩ মিটার এবং প্রস্থ ২ মিটার। চৌবাচ্চার গভীরতা কত?

সমাধান: 
ধরি, 
চৌবাচ্চাটির গভীরতা = ক মিটার
∴ চৌবাচ্চার আয়তন = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা)
⇒ ১২ = (৩ × ২ × ক) ঘন মিটার
⇒ ১২= ৬ক ঘন মিটার
∴ ক = ২ ঘন মিটার

∴ চৌবাচ্চাটির গভীরতা= ২ মিটার

প্রশ্ন: ঘণ্টায় ৫ কি.মি. বেগে চললে কোন স্থানে পৌঁছাতে যে সময় লাগে, ঘণ্টায় ৬ কি.মি. বেগে চললে তার চেয়ে ১/২ ঘণ্টা কম লাগে। স্থানটির দূরত্ব কত?

সমাধান:
ধরি,
স্থানটির দূরত্ব = ক কি.মি.
এখন,
৫ কি.মি. বেগে সময় লাগে = ক/৫ ঘণ্টা
আবার, ৬ কি.মি. বেগে সময় লাগে = ক/৬ ঘণ্টা

প্রশ্নমতে,
(ক/৫) - (ক/৬) = ১/২ 
⇒ (৬ক - ৫ক)/৩০ = ১/২
⇒ ক/৩০ = ১/২
⇒ ২ক = ৩০
∴ ক = ১৫ কি.মি.

প্রশ্ন: একজন মাঝি স্রোতের অনুকূলে ৩ ঘণ্টায় ১৪ মাইল যায় এবং ৪ ঘণ্টায় প্রাথমিক অবস্থানে ফিরে আসে । তার ভ্রমণে প্রতি ঘন্টায় গড় গতিবেগ কত?

সমাধান:
মোট দূরত্ব = ১৪ + ১৪ = ২৮ মাইল
মোট সময় = ৪ + ৩ = ৭ ঘণ্টা

∴ ঘন্টায় গড় গতিবেগ = ২৮/৭ মাইল/ঘণ্টা
= ৪ মাইল/ঘণ্টা

প্রশ্ন: ২ জন পুরুষ বা ৩ জন স্ত্রীলোক একটি কাজ ১৮ দিনে শেষ করতে পারলে ৩ জন পুরুষ ও ৯ জন স্ত্রীলোক একত্রে কত দিনে কাজটি শেষ করতে পারবে?

সমাধান: 
৩ জন স্ত্রীলোক = ২ জন পুরুষ
১ জন স্ত্রীলোক = ২/৩ জন পুরুষ
৯ জন স্ত্রীলোক = (২ × ৯)/৩ জন পুরুষ
= ৬ জন পুরুষ

৩ জন পুরুষ ও ৯ জন স্ত্রীলোক = (৩ + ৬) জন পুরুষ
= ৯ জন পুরুষ

২ জন পুরুষ কাজটি করে ১৮ দিনে
১ জন পুরুষ কাজটি করে ১৮ × ২ দিনে
৯ জন পুরুষ কাজটি করে (১৮ × ২)/৯ দিনে
= ৪ দিনে

প্রশ্ন: চট্টগ্রাম থেকে ঢাকার দূরত্ব ২৮৫ কি.মি.। একটি বাসের বেগ ৫৭ কি.মি./ঘণ্টা হলে, ঢাকা থেকে চট্টগ্রামে যেতে বাসটির কত সময় লাগবে? 

সমাধান: 
৫৭ কি.মি. যেতে সময় লাগে ১ ঘণ্টা 
∴ ১ কি.মি. যেতে সময় লাগে ১/৫৭ ঘণ্টা 
∴ ২৮৫ কি.মি. যেতে সময় লাগে ২৮৫/৫৭ ঘণ্টা 
= ৫ ঘণ্টা 

প্রশ্ন: স্রোতের অনুকূলে একটি নৌকা ৪ ঘণ্টায় ২০ কি.মি. পথ যায়। যদি স্থির জলে ঐ নৌকার গতিবেগ ঘণ্টায় ৩ কি.মি. হয়, তাহলে নদীর স্রোতের গতিবেগ কত ছিল?

সমাধান:
স্রোতের অনুকূলে ৪ ঘন্টায় নৌকার যায় ২০ কি.মি.
স্রোতের অনুকূলে ১ ঘন্টায় নৌকার যায় = ২০/৪ = ৫ কি.মি.