৪৯তম বিসিএস ⎯ পরিসংখ্যান [৯৮১]

The famous novel, The Bluest Eye, is written by - American author.

• The Bluest Eye:
- এটি Toni Morrison রচিত।
- এটি একটি novel.
- এটি ১৯৭০ সালে প্রকাশিত হয়।

• Toni Morrison ছিলেন একজন আমেরিকান Novelist, essayist এবং Editor.
- তাছাড়া তিনি Princeton University এর প্রফেসর ছিলেন।

তাঁর উল্লেখযোগ্য সাহিত্যকর্ম গুলো -
- Beloved,
- Song of Solomon,
- The Bluest Eye.

Source: Britannica.

বাংলাদেশের তত্ত্বাবধায়ক সরকার:
- বাংলাদেশের তত্ত্বাবধায়ক সরকার বাংলাদেশের একপ্রকারের শাসন ব্যবস্থা, যার অধীনে দুইটি নির্বাচিত সরকারের মধ্যবর্তী সময়কালে সাময়িকভাবে অনির্বাচিত ব্যক্তিবর্গ কোন দেশের শাসনভার গ্রহণ করে থাকে।
- বিএনপি সরকারের পদত্যাগের পর ১৯৯৬ সালে ত্রয়োদশ সংশোধনের মাধ্যমে সংবিধানে যোগ হয় তত্ত্বাবধায়ক সরকার পদ্ধতি।
- এই সংশোধনীর মাধ্যমে ১৯৯৬ সালে সাংবিধানিকভাবে তত্ত্বাবধায়ক সরকার ব্যবস্থা চালু হয়।
- বিচারপতি মুহাম্মদ হাবিবুর রহমান ছিলেন সেই তত্ত্বাবধায়ক সরকারের প্রধান উপদেষ্টা।
- উপদেষ্টা পরিষদের বাকিরা হলেন: ব্যারিস্টার সৈয়দ ইশতিয়াক আহমেদ, ড. মুহাম্মদ ইউনূস, অর্থনীতিবিদ ড. ওয়াহিদউদ্দিন মাহমুদ, অধ্যাপক মো. শামসুল হক, অধ্যাপক জামিলুর রেজা চৌধুরী, শেগুফতা বখত চৌধুরী, এ জেড এম নাছিরুদ্দিন, সৈয়দ মঞ্জুর এলাহী, অধ্যাপক নাজমা চৌধুরী ও মেজর জেনারেল (অব.) আব্দুর রহমান খান।
- এই তত্ত্বাবধায়ক সরকার মোট ৮৬ দিন ক্ষমতায় ছিল। এই সরকার ১৯৯৬ সালের ১২ জুন জাতীয় সংসদের নির্বাচনের তারিখ ঘোষণা করেন।
- অবশেষে বিপুল উৎসাহ ও উদ্দীপনা মধ্য দিয়ে ১৯৯৬ সালের ১২ জুন তত্ত্বাবধায়ক সরকারের অধীন প্রথম সপ্তম জাতীয় সংসদ নির্বাচন অনুষ্ঠিত হয়।

উল্লেখ্য,
- ১৯৯০ সালে সেনাশাসক হুসেইন মুহম্মদ এরশাদের পতনের পর জাতীয় নির্বাচন আয়োজন পর্যন্ত দায়িত্ব পালনের জন্য গঠন করা হয়েছিল নির্দলীয় প্রথম অন্তর্বর্তীকালীন সরকার।
- প্রধান বিচারপতি শাহাবুদ্দিন আহমেদের নেতৃত্বে ঐ সরকার গঠিত হয়েছিল।

এছাড়াও,
- ৩০ জুন, ২০১১ সালে পঞ্চদশ সংশোধনীর মাধ্যমে বাংলাদেশের সংবিধান থেকে 'তত্ত্বাবধায়ক সরকার ব্যবস্থা' বাতিল করা হয়।

উৎস: ইতিহাস ২য় পত্র, এইচএসসি প্রোগ্রাম, বাংলাদেশ উন্মুক্ত বিশ্ববিদ্যালয়।

তিস্তা মহাপরিকল্পনা:
- তিস্তা মহাপরিকল্পনা বাস্তবায়নে সহায়তা করবে চীন।

⇒ তিস্তা প্রকল্পের প্রথম পর্যায় বাস্তবায়নে ব্যয় হবে ৭৫ কোটি ডলার। এর মধ্যে চীন থেকে ঋণ চাওয়া হয়েছে ৫৫ কোটি ডলার। বাকিটা করা হবে সরকারি অর্থায়নে।
- চীনের রাস্ট্রদূত জানান, তিস্তা প্রকল্পের বিষয়টিতে অর্থ মন্ত্রণালয়ের অর্থনৈতিক সম্পর্ক বিভাগের (ইআরডি) সঙ্গে তারা কাজ করছেন।
- চীনের বিশেষজ্ঞ দল তিস্তা প্রকল্পের সম্ভাবনা যাচাই শেষে অক্টোবর, ২০২৫-এর মধ্যে তিস্তা মহাপরিকল্পনার ডিজাইন চূড়ান্ত হবে।
- ২০২৬ সালে এ প্রকল্পের কাজ শুরু করে ২০২৯ সালে শেষ করার লক্ষ্যমাত্রা নির্ধারণ করা হয়েছে।
- মহাপরিকল্পনায় তিস্তা নদীর ডান-বাম উভয় তীর ঘেঁষে ২২০ কিলোমিটার উঁচু গাইড বাঁধ, রিভার ড্রাইভ, হোটেল-মোটেল-রেস্তোরাঁ, পর্যটন কেন্দ্র, ১৫০ মেগাওয়াট সৌর বিদ্যুতকেন্দ্র, শিল্প-কারখানা, ইপিজেড, ইকোনমিক জোন, কয়েক লাখ হেক্টর কৃষি জমি উদ্ধার, বনায়ন ইত্যাদি রয়েছে।
- এ প্রকল্প বাস্তবায়ন হলে তিস্তা পাড় হয়ে উঠবে পূর্ব চীনের জিয়াংসু প্রদেশের সুকিয়ান সিটির মতো সুন্দর নগরী।

উৎস: i) প্রথম আলো।
ii) দৈনিক ইনকিলাব।

ড্রাগন ফল উৎপাদন:
- কৃষি সম্প্রসারণ অধিদপ্তরের তথ্য অনুযায়ী, ড্রাগন উৎপাদনের শীর্ষে আছে ঝিনাইদহ জেলা।
- ২০২৪-২৫ অর্থবছরে উৎপাদন হয় ৩২ হাজার ৭৬৮ মেট্রিক টন ড্রাগন।

• উৎপাদনের ২য় স্থানে রয়েছে যশোর। ২০২৪-২৫ অর্থবছরে উৎপাদন হয় ১২ হাজার ৫৫৩ মেট্রিক টন ড্রাগন। আর তৃতীয় শীর্ষ জেলা রাজশাহীতে উৎপাদন হয় ৪ হাজার ৪৭৭ মেট্রিক টন ড্রাগন।

⇒ ড্রাগন ফল মূলত আমেরিকার প্রসিদ্ধ একটি ফল যা বর্তমানে আমাদের দেশেও ব্যাপক জনপ্রিয়তা অর্জন করেছে। বাংলাদেশে সর্বপ্রথম ২০০৭ সালে থাইল্যান্ড, ফ্লোরিডা ও ভিয়েতনাম থেকে এই ফলের বিভিন্ন জাত আনা হয়। ড্রাগন ফলের গাছ এক ধরনের ক্যাকটাস জাতীয় গাছ। এই গাছের কোন পাতা নেই। ড্রাগন ফলের গাছ সাধারনত ১.৫ থেকে ২.৫ মিটার পর্যন্ত লম্বা হয়ে থাকে।

⇒ বর্তমানে বাংলাদেশ কৃষি গবেষণা ইন্সিটিউট (বারি) কতৃক উদ্ভাবিত ড্রগন ফলের নতুন জাতটি হলো বারি ড্রাগন ফল-১ যা দক্ষিণ -পূর্ব এশিয়াতে জনপ্রিয় ফল। এ ফলের আকার বড়, পাকলে খোসার রং লাল হয়ে যায় ,শাঁস গাঢ় গোলাপী রঙের, লাল ও সাদা এবং রসালো প্রকৃতির । ফলের বীজগুলো ছোট ছোট কালো ও নরম । একটি ফলের ওজন ১৫০ গ্রাম থেকে ৬০০ গ্রাম পর্যন্ত হয়ে থাকে।

উৎস: i) প্রথম আলো।
ii) কৃষি বাতায়ন।

OIC:
- ইসলামিক সহযোগিতা সংস্থা OIC.
- OIC এর পূর্ণরূপ The Organisation of Islamic Cooperation.
- ইসরাইল কর্তৃক আল আকসা মসজিদে আগুন ধরিয়ে দেওয়ার প্রেক্ষাপটে OIC গঠিত হয়।
- এটি মুসলিম দেশগুলোর একটি রাজনৈতিক জোট যা রাবাত সম্মেলনের মাধ্যমে গঠিত হয়।
- প্রতিষ্ঠার স্থান: মরক্কো।
- প্রতিষ্ঠিত হয়: ২৫ সেপ্টেম্বর, ১৯৬৯ সালে।
- সদর দপ্তর: জেদ্দা, সৌদি আরব।
- বর্তমান মহাসচিব: হুসাইন ইব্রাহিম তাহা (১২ তম)। (অক্টোবর, ২০২৫)
- মহাসচিবের মেয়াদ: ৫ বছর।
- অফিসিয়াল ভাষা: তিনটি (আরবি, ইংরেজি, ফ্রেঞ্চ)।
- বর্তমান সদস্য: ৫৭টি। (অক্টোবর, ২০২৫)

⇒ দক্ষিণ আমেরিকা অঞ্চলের দুটি দেশ OIC এর সদস্য।
• গায়ানা ও
• সুরিনাম।

- ইউরোপ মহাদেশের আলবেনিয়া OIC এর সদস্য।
- বাংলাদেশ ১৯৭৪ সালের ২২-২৪ ফেব্রুয়ারি পাকিস্তানের লাহোরে অনুষ্ঠিত OIC এর দ্বিতীয় শীর্ষ সম্মেলনে সর্বপ্রথম অংশগ্রহণ করে।

তথ্যসূত্র - OIC অফিসিয়াল ওয়েবসাইট।

কার্টাগেনা প্রটোকল (Cartagena Protocol):
- কার্টাগেনা প্রোটকলের পূর্ণনাম - The Cartagena Protocol on Biosafety to the Convention on Biological Diversity.
- কার্টাগেনা প্রটোকল জৈব-নিরাপত্তা বিষয়ক একটি আন্তর্জাতিক চুক্তি।
- এই চুক্তিটি কলম্বিয়ার কার্টাগেনাতে আলোচিত হয়।
- চুক্তি অনুমোদন - ২৯ জানুয়ারি, ২০০০ সাল।
- চুক্তি কার্যকর - ১১ সেপ্টেম্বর, ২০০৩ সাল।

তথ্যসূত্র - কনভেনশন অন বায়ো-ডাইভার্সিটি (CBD) ওয়েবসাইট।

জাতিসংঘ:
- জাতিসংঘের অর্থনৈতিক ও সামাজিক কমিশন (ECOSOC) এর অধীন ৫টি আঞ্চলিক কমিশন রয়েছে।

⇒ এগুলো হলো:
- এশিয়া ও প্রশান্ত মহাসাগরীয় অর্থনৈতিক ও সামাজিক কমিশন (ESCAP),
- পশ্চিম এশীয় অর্থনৈতিক ও সামাজিক কমিশন (ESCWA),
- ল্যাটিন আমেরিকা ও ক্যারিবীয় অর্থনৈতিক কমিশন (ECLAC),
- ইউরোপিয়ান অর্থনৈতিক কমিশন (ECE),
- আফ্রিকান অর্থনৈতিক কমিশন (ECA).

তথ্যসূত্র - UN ওয়েবসাইট।

ইউরোপীয় ইউনিয়ন (EU):
- বিশ্বের সবচেয়ে বড় অর্থনৈতিক জোট ইউরোপীয় ইউনিয়ন (EU)।
- এর সদর দপ্তর বেলজিয়ামের ব্রাসেলসে অবস্থিত।
- প্রতিষ্ঠাতা সদস্য: ৬টি দেশ।
- বেলজিয়াম, ফ্রান্স, জার্মানি, ইতালি, লুক্সেমবার্গ, নেদারল্যান্ডস।
- বর্তমান সদস্য: ২৭টি দেশ। (অক্টোবর, ২০২৫)
- সর্বশেষ সদস্য: ক্রোয়েশিয়া। (অক্টোবর, ২০২৫)
- সর্বশেষ ত্যাগকারী: ব্রিটেন (৩১ জানুয়ারি, ২০২০)।
- এটি ১৯৯৩ সালের ১ নভেম্বরে মাসট্রিচট চুক্তি স্বাক্ষরের মাধ্যমে প্রতিষ্ঠিত হয়েছিল।
- তখন থেকে এটি বিশ্বের বৃহত্তম ট্রেডিং ব্লকে পরিণত হয়।

তথ্যসূত্র - EU ওয়েবসাইট।

‘অপারেশন রাইজিং লায়ন':
- ইসরায়েল কর্তৃক ইরানে চালানো সামরিক অভিযানটির নাম 'অপারেশন রাইজিং লায়ন'।
- 'রাইজিং লায়ন' নামটি বাইবেলের একটি অনুচ্ছেদে সিংহের প্রতীকী পরাক্রমকে তুলে ধরে, ইসরায়েলের যুদ্ধ প্রস্তুতি এবং আত্মবিশ্বাসের প্রতীক।
- ১৩ জুন ২০২৫-এর ভোরে ইসরায়েলি বিমান বাহিনী ও গোয়েন্দা সংস্থা মোসাদ যৌথভাবে 'অপারেশন রাইজিং লায়ন' পরিচালনা করে।
- ইসরায়েল প্রথমে 'ড্রোন' দ্বারা ইরানের আকাশ প্রতিরক্ষা ব্যবস্থা দুর্বল করা, এরপর প্রধান পারমাণবিক ও সামরিক লক্ষ্যবস্তুতে বিমান হামলা করে।

উল্লেখ্য:
- এই হামলার জবাবে ইরান পাল্টা হামলা চালায়।
- এই হামলার নাম দেয়া হয় 'অপারেশন টু প্রমিজ থ্রি’।
- ইরান পাল্টা জবাবে শতাধিক ক্ষেপণাস্ত্র ও ড্রোন ছুড়ে।

তথ্যসূত্র - পত্রিকার রিপোর্ট।

IUCN:
- বিশ্ব জীববৈচিত্র্য সংরক্ষণবাদী সংস্থা (IUCN)।
- IUCN এর পূর্ণরূপ - International Union for the Conservation of Nature.
- প্রতিষ্ঠিত হয়: ১৯৪৮ সালে।
- সদর দপ্তর: গ্লান্ড, সুইজারল্যান্ড।
- এটি নিয়ে বিশ্বের ১৭০ টির অধিক দেশ কাজ করছে।
- উদ্দেশ্য: বিশ্বব্যাপী প্রাকৃতিক সম্পদ সংরক্ষণ করা।

তথ্যসূত্র - IUCN অফিসিয়াল ওয়েবসাইট।

IMF:
- IMF এর পূর্ণরূপ The International Monetary Fund.
- এটি আন্তর্জাতিক মুদ্রা তহবিল।
- প্রতিষ্ঠিত হয়: ১৯৪৪ সাল।
- সদর দপ্তর: ওয়াশিংটন ডিসি, যুক্তরাষ্ট্র।
- প্রতিষ্ঠাতা সদস্য: ৪৪টি।
- বর্তমান সদস্য: ১৯১টি। (অক্টোবর, ২০২৫)
- সর্বশেষ সদস্য: লিচেনস্টাইন। (অক্টোবর, ২০২৫)
- বর্তমান ব্যবস্থাপনা পরিচালক: ক্রিস্টালিনা জর্জিয়েভা। (অক্টোবর, ২০২৫)
- বাংলাদেশ সদস্যপদ লাভ করে: ১৯৭২ সালে।

তথ্যসূত্র - IMF অফিসিয়াল ওয়েবসাইট।

প্রশ্ন: P হচ্ছে Q এর পিতা কিন্তু Q, P এর ছেলে নয়। তাদের সম্পর্কটা কোন ধরনের?

সমাধান:
যেহেতু, P হচ্ছে Q এর পিতা কিন্তু Q, P এর ছেলে নয় সুতরাং Q হলো মেয়ে এবং P হচ্ছে পিতা।

সুতরাং, তাদের সম্পর্কটা মেয়ে-পিতা।

প্রশ্ন: নিচের চিত্রে কয়টি ত্রিভুজ আছে?

সমাধান:

একটি করে ফাঁকা ঘর নিয়ে ত্রিভুজ আছে - 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 = ৮ টি
দুইটি করে ফাঁকা ঘর নিয়ে ত্রিভুজ আছে - 12, 34, 56, 78, 67, 58 = ৬ টি
চারটি করে ফাঁকা ঘর নিয়ে ত্রিভুজ আছে - 1267, 3456 = ২টি
সবগুলো ফাঁকা ঘর নিয়ে ত্রিভুজ আছে - 12345678 = ১ টি

সুতরাং, মোট ত্রিভুজ আছে = ৮ + ৬ + ২ + ১ = ১৭ টি

প্রশ্ন: একটি পানি ভর্তি বালতির ওজন ১৪ কেজি। বালতিটি অর্ধেক পানি পূর্ণ থাকলে তার ওজন হয় ৮ কেজি। খালি বালতির ওজন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পানি ভর্তি বালতির ওজন = ১৪ কেজি
অর্ধেক পানি ভর্তি বালতির ওজন = ৮ কেজি
​
​অর্ধেক বালতি পানির ওজন = (১৪ - ৮) কেজি = ৬ কেজি
∴ ​পূর্ণ বালতি পানির ওজন = (৬ × ২) কেজি = ১২ কেজি
​
​আবার,
​পূর্ণ বালতি পানির ওজন + খালি বালতির ওজন = ১৪ কেজি
⇒ ​খালি বালতির ওজন = ১৪ - ​পূর্ণ বালতি পানির ওজন
​⇒ ​খালি বালতির ওজন = ১৪ - ১২ = ২ কেজি

প্রশ্ন: যদি ORANGE = SVERKI হয় তবে GRAPES = ?

সমাধান:
​যদি ORANGE = SVERKI হয় তবে GRAPES = KVETIW
​
​ORANGE শব্দটির বর্ণগুলো থেকে 4 ধাপ এগিয়ে পাওয়া যায়,
O(15) + 4 → S(19)
​R(18) + 4 → V(22)
​A(1) + 4 → E(5)
​N(14) + 4 → R(18)
​G(7) + 4 → K(11)
​E(5) + 4 → I(9)

​অনুরূপভাবে,
GRAPES শব্দটির বর্ণগুলো থেকে 4 ধাপ এগিয়ে গেলে KVETIW শব্দটি পাওয়া যায়। অর্থাৎ,
​G(7) + 4 → K(11)
​R(18) +4 → V(24)
​A(1) + 4 → E(5)
​P(16) + 4 → T(20)
​E(5) + 4 → I(9)
​S(19) + 4 → W(23)
​
অর্থাৎ নির্ণেয় শব্দটি হবে KVETIW

প্রশ্ন: যদি 7 + 3 = 410, 3 + 2 = 15, 6 + 5 = 111 হয়, তবে 8 + 4 = ?

সমাধান:
এখানে
7 + 3 = 410 ⇒ 7 - 3 = 4, 7 + 3 = 10
3 + 2 = 15 ⇒ 3 - 2 = 1, 3 + 2 = 5
6 + 5 = 111 ⇒ 6 - 5 = 1, 6 + 5 = 11

একইভাবে,
8 - 4 = 4, 8 + 4 = 12
সুতরাং, 8 + 4 = 412

প্রশ্ন: A দক্ষিণ দিকে মুখ করে ৪ কি. মি. হাঁটার পর বামদিকে ঘুরল এবং ৫ কি. মি. হাঁটল। আবার ডানদিকে ঘুরে ৮ কি. মি. হাঁটল। এখন যাত্রার স্থান থেকে সরাসরি দূরত্ব কত?

সমাধান:
প্রদত্ত তথ্যগুলোকে চিত্রের মাধ্যমে সাজিয়ে পাই,

এখন, উত্তর-দক্ষিণ দিকে- শুরুতে ৪ কি.মি. দক্ষিণ + পরে আরও ৮ কি.মি. দক্ষিণ = মোট ১২ কি.মি. দক্ষিণ
পূর্ব-পশ্চিম দিকে: শুধু পূর্ব দিকে ৫ কি.মি.

∴ সরাসরি দূরত্ব = √(১২^২ + ৫^২) = √(১৪৪ + ২৫)
= √১৬৯
= ১৩ কি.মি.

প্রশ্ন: (A) চিত্রটির আয়নায় প্রতিবিম্ব কেমন হবে?

সমাধান:


সুতরাং, সঠিক উত্তর (2) নং

if p ≤α ⇒ reject the null hypothesis
and p > α ⇒ do not reject(accept) the null hypothesis
now, here, p = 0.0256, α = 0.025
since , p>α, the result is not statistically significant at the 2.5% level.

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

we know, E(aX+b) = aE(x) + b

so, E(y) = 3 E(X) + 4
= 55

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

first central moment, μ_{1 =} 0
second central moment, μ2​=μ₂′​−(μ₁′​)²
= 16
Third central moment, μ₃​ = μ₃′​−3μ₁′​μ₂′​+2(μ₁′​)³
= - 64

coefficient of skewness, √β₁ = μ₃ / √μ₂³
= - 1
since , √β1 is negative so the skewness of this distribution is negatively skewed

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

Using coefficient of variation (CV) (relative variability):
= (SD / Mean ) ×100
Male: = 2.5/30 ×100
≈ 8.33%
Female: = 2.0 / 25 ×100
≈ 8.00%
since, Male CV > Female CV → male scores are more variable relative to their mean

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

Mean requires numerical values; it cannot be computed for purely categorical data.

Median can be used for ordinal data, because the categories have a meaningful order.

Mode is most common and works for both nominal and ordinal data.

when we have to deal with qualitative measure: mode is more suitable, example colour preference. where median required ordered data.

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

arithmatic mean is depends on origin and scale, it is true.

Mean → sensitive to both origin and scale.
Variance & SD → sensitive to scale only.
CV → independent of both origin and scale.

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

one of the properties of SD :
for the first n natural numbers , standard deviation is - √[(n² - 1)/12 ]

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

first central moment, μ1 = 0
second central moment, μ₂​=μ₂′​−(μ1′​)²
= 16
fourth central moment, μ₄ = μ₄′​−4μ₁′​μ₃′​+6(μ1′​)²μ₂′​−3(μ1′​)⁴
= 362

measures of kurtosis, β₂ = μ₄ / μ₂²
= 1.414 < 3
since , β₂ is < 3, so the kurtosis of this distribution is platykurtic (flatter than normal)

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

Given, X¯ = 24, Me = 20, CV = 50%,

We know, coefficient of variation, CV = (σ / X¯ ) × 100
⇒100σ= 1200
⇒ σ = 12
So, Variance, σ² = (12)2 = 144
again, we know, Mode, Mo = 3Me -2x¯ = 3×20 - 2 × 24 = 60-48 = 12.

so , answer is - 144 , 12

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

pearson's coefficient of skewness usually lies between - ( - 3 , 3)

where as, bowley's coefficient of skewness usually lies between - ( - 1 , 1)

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

Explanation: Let E = event that the man reports that six in the throwing of the die and

let, S1 = event that six occurs and S2 = event that six does not occur.

P(S1) = Probability that six occurs = 1/6.
P(S2) = Probability that six does not occur = 5/6.

Also, P(E|S₁) = P(Probability that man reports six occurs when six actually has occurred on the die) = 3/4.

P(E|S₂) = P(Probability that man reports six occurs when six not actually occurred on the die) =
1 – 3/4 = 1/4.

By using Bayes’ theorem,
P(S₁|E) = P(S₁)P(E|S₁) / (P(S₁)P(E│S1)+P(S2)P(E|S₂))
= (1/6 × 3/4) / [(1/6 × 3/4)) + (5/6 × 1/4)]
= 3/8.

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

now,
P(A ^c ∩ B ^c ) = P(A ∪ B )^c
= 1 - P(A ∪ B )
= 1/2

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

Solution: In a pack of cards. The number of kings = 4
If 3 cards is drawn from a pack of 52 cards with replacement,
then, P(kings) = (4C₁ × 4C₁× 4C₁) / (52C₁× 52C₁× 52C₁)
= 1/2197

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

If μ₃=0 in a distribution, then it indicates, it is Symmetric distribution(zero skewed) about its mean

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

ogive curve measures median , percentiles, deciles, quartiles etc

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

P( 1/3 < x < 2/3 ) = ∫_1/3^2/3 f(x)dx
=∫_1/3^2/3 2x dx
= 2[x²/2]_1/3^2/3
= 1/3 [by calculating]

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

the condition of a probability function is ΣΡ(x) = 1 and Ρ(x) ≥ 0

Continuous case:
∫f(x) dx=1 where f(x) is the probability density function.

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

Explanation: Let E1 = event of choosing the bag 1,
E2 = event of choosing the bag 2.

Let A be event of drawing a red ball.
P(E1) = P(E2) = 1/2.

Also, P(A|E1) = P(drawing a red ball from Bag 1) = 3/8.
And P(A|E2) = P(drawing a red ball from Bag 2) = 4/10.
T
he probability of drawing a ball from bag 2, being given that it is red is P(E2|A).

By using Bayes’ theorem,

P(E2|A) = P(E2) P(A|E2) / [P(E1) P(A│E1) + P(E2) P(A|E2)]
= (1/2 × 4/10) / [(1/2 × 3/8)) + (1/2 × 4/10)]
= 16/31.

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

given, p(x) = x - 1 / k ; x = 2,3,4,5
we know, ∑p(x) = 1
so, 1/k + 2/k+ 3/k+ 4/k = 1
k = 10

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

when the number of trials (n) is very large than binomial distribution tends to- normal distribution

Large n, moderate p: Normal distribution

Large n, small p (rare events): Poisson distribution

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

Solution: Given, P = 3%
= 3 /100
= 0.03,
n = 100

Let, x denotes the number of defective bulbs which is a random variable.

here, parameter, m = np = 0.03*100 = 3

now P(x=5) = e ^-3 3⁵ / 5!
= 0.100

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

at +- 3σ of normal distribution, data falls within - 0.9973 or 99.73%

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

we know, properties of normal distribution

Mean = Median = Mode = 5 (since normal is symmetric).

for Standardized moments:

Skewness = 0
Kurtosis = 3 (always for a normal distribution).

Coefficient of kurtosis is always 3 for normal distribution, regardless of median or mean.

Negative kurtosis only occurs for platykurtic distributions, not normal.

so,If the median of the normal distribution is 5, then the coefficient of kurtosis = 3.

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

the limited value of the normal variate is - ∞ to + ∞

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

when the sample size is small or the number of sampling units in the population is small which type of sampling technique is used -Judgement sampling,
In such cases, simple random sampling may miss more important elements, whereas judgement sampling would certainly include them in the sample.

Small sample + researcher’s judgement = Judgment Sampling
Small population + random selection = Simple Random Sampling


source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

cluster sampling requires less cost than simple random sampling and startified sampling

Cluster Sampling:
Population is divided into clusters (usually naturally occurring groups like villages or schools). Then, some clusters are randomly selected, and all units in the selected clusters are studied.

Cost: Often cheaper, especially if the population is geographically spread out, because you sample clusters instead of individuals.

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

sample mean is an unbiased estimator of the population mean.

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

strata should be non-overlapping
strata should be homogeneous within themself.
there should be heterogenesity from stratum to stratum

Principles of Stratified Sampling:

Non-overlapping and exhaustive:
Each element of the population should belong to one and only one stratum.
Together, the strata must cover the entire population. 

Homogeneity within strata:
Elements within a stratum should be as similar as possible with respect to the characteristic of interest. 

Heterogeneity between strata:
Strata should be as different as possible from each other for better representation

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

If one or more extreme observations exists in the original numerical data set than rank correalation would be used

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

In regression model, random error is independently normally distributed with mean o, variance σ²

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

Multiple correlation measures the strength of linear relationship between one dependent variable and two or more independent variables.
Multiple correlation coefficient lies between 0 and 1 .

R=0 → No linear relationship
R=1 → Perfect linear relationship
Note: R² is the coefficient of determination, representing the proportion of variation in Y explained by the Xs.

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

Let X be a random variable that denotes the number of phone calls received from 9.00 am. to 9:10 am. Then X follows Poisson distribution within the interval with parameter λ = 3 Thus, probability mass function, f(x, 3) = (e^-3 × 3^x)/x! ;x=0,1,2,.....

receives at least two phone calls is , P(X ≥2) = 1 - P(X ≤ 1) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)]
= 1 - [(e ^-3 * 3⁰)/(0!) + (e ^-3 * 3 ¹)/(1!)]
= 1 - [0.0498 + 0.1494]
= 0.8008

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

exponential and geometric distributions are the only two memoryless distributions.
The memoryless distributions are those for which the probability of a future event does not depend on the past (history).

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

In exponential distribution, X= waiting time between consecutive trucks.
So,

X∼Exponential (λ=10).

The interarrival time X follows an exponential distribution:

X∼Exponential(λ=10  per hour)
So the PDF:

f(x)=10e^−10x, x≥0
and the CDF:

F(x)=P(X≤x)=1−e^−10x.

here, 15 minutes=15/60
​=0.25hours.
P(X<0.25)=1−e^−10(0.25)=1−e^−2.5
=1−0.0821≈0.9179.

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

R A fisher is the father of modern statistics.

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

ratio scale has true zero

Because the Ratio Scale has these properties:

True Zero Point:

Height = 0 means no height → true zero exists.

Equal Intervals:

The difference between 150 cm and 160 cm is the same as between 170 cm and 180 cm.
Ratio Meaningful:

A person 180 cm tall is twice as tall as a person 90 cm → ratios make sense.

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

for equal positive integers - AM=GM=HM,
for unequal positive integers - AM>GM>HM

AM x HM = (GM)2 is true for all condition

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

HM = (5+8+12) / 5/10+8/12+12/15
= 12.7

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

here one observation is zero so- geometric and harmonic mean is not possible to determine

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

Range = highest value - lowest value
= -80 -(-140)
=-80+140
= 60

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

বেশি ওয়ারেন্টি মানে ফ্রিজ দীর্ঘদিন চলবে,
গড় ওয়ারেন্টি অনুসারে BUTTERFLY > SINGER > WALTON > SAMSUNG

SD ,
SAMSUNG = 1.2
WALTON = 1.5
SINGER = 1.5
BUTTERFLY = 1.8
তাহলে SAMSUNG সবচেয়ে স্থির, BUTTERFLY সবচেয়ে বিচ্যুতিমূলক।

Mrs. Saima চাইবেন উচ্চ ওয়ারেন্টি এবং তুলনামূলক স্থিতিশীলতার সমন্বয়।
BALANCE: SINGER (গড় 8 বছর, SD 1.5) ভালো অপশন।
BUTTERFLY যদিও ওয়ারেন্টি বেশি (9 বছর), কিন্তু SD বেশি (1.8), অর্থাৎ ওয়ারেন্টির স্থায়িত্বে কিছু অনিশ্চয়তা।
সিদ্ধান্ত: Mrs. Saima SINGER কোম্পানির ফ্রিজ কিনা সবচেয়ে যুক্তিসঙ্গত হবে।

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

here, β2​ = 3 (mesokurtic)
μ2​ = 3 (variance)

we know, β₂​=μ₄​​/μ₂²
so, μ4 = 3*3²
= 27

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

We know,
Second central moment is variance 
Again, 
variance of first 10 natural numbers is- n²-1/12,
so, =99/12
=8.25

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

Explanation:

In Y = a + bX, the slope b is the change in Y for a one-unit increase in X.

Here b=1.2, so for 8 units increase: Change in Y = 1.2×8=9.6 units.

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

ধরি, u = 3x - 2 এবং v = 3 - 4y,

so, u¯ = 3x¯ - 2 , v¯ = 3 - 4 ¯y

r_uv = ∑(u-u¯)(v-v¯) / √[∑(u-u¯)²∑(v-v¯)²

= - r_xy (got it by putting the value of u,u¯, v and v¯ )
= -.85

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

seasonal variation counts highest 12 months/ 1 year

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

Price of footballs during the FIFA World Cup

This is an occasional or irregular change, because it does not occur regularly with the seasons.
So, it is not a seasonal variation.

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

For independent events:

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A).P(B)
=0.7+0.5−(0.7⋅0.5)
=1.2−0.35
=0.85

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

The mean of the sampling distribution of the sample mean equals the population mean: E(Xˉ)=μ.

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

Answer: (b)
Explanation: CLT holds for any population distribution, provided the sample size is sufficiently large (usually n≥30n \ge 30n≥30 is considered enough).

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

Increasing the sample size always reduce the width of a confidence interval
(keeping confidence level and variability constant).

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

Var(Xˉ₁​−Xˉ₂​)
=Var(Xˉ1​)+Var(Xˉ2​)
=σ1²​/n1+​σ2²​ /n2

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

Answer: (a)
Explanation: Type I error = false positive, rejecting a true null hypothesis.

Example:
Suppose a medicine is actually not effective (H₀ true).
If a test concludes that it is effective, we have made a Type I error.

In short:

Type I error → Rejecting a true null hypothesis.

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

to construct index number - geometric mean is used

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

When r = 0, there is no linear correlation between the variables, but they may still have a non-linear relationship.

Correlation would be called non linear if the amount of change in one variable does not bear a constant ratio to the amount of change in the other variable. For example, if we double the amount of rainfall, the production of rice would not necessarily be doubled. It may be pointed out that in most practical cases we find a non linear relationship between the variables.

Source: Business Statistics, SP Gupta, MP Gupta.

the observations that are well separeted from the majority of the data is called outliers

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

robust three sigma edit rule is the more reliable for detecting outliers than three sigma edit rule

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

for chebyshev`s rule, 88.9% of observations fall within three sigma of the mean while
for normal rule, 99.7% of observations fall within three sigma of the mean

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

correlation coefficient is a symmetric measures that is r_xy = r_yx
This means the correlation does not depend on which variable you consider as X or Y.
Only measures the strength and direction of linear relationship.

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

x = 1,3,5,7
y = 7,5,3,1

Clearly as x increases, y decreases perfectly in straight line.
So correlation coefficient r = -1.

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz.

Let us define the following events as

A: Solving the selected math by Mr X

B: Solving the selected math by Mr Y.

Since A and B are independent, A and B¯, A‾ and B , A‾ and B¯ are independent.

P(A) =.7, P(A‾) = .3
P(B) = .6, P(B¯) =.4
Now, solving the problem by exactly one is-
P[(A∩B¯)∪(A‾∩ B )] = P(A∩B¯)+ P(A‾∩ B )
=.7*.4 +.3*.6
=.46

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

If a is a constant , then E(aX) is equal to aE(X)

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

for any random variable x,y and a,b constant, COV(aX,bY) is-abCOV(X,Y)

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

chance of getting a question right is p = 1/4 = 0.25.
So, X has a binomial distribution with parameters n = 10 and p = 0.25 Probability mass function of X is f(x; 10, 0.25) = 10c_x* (0.25) ^x * (0.75)^{(10 - x)} for x = 0, 1, 2 ,.............,10,

P(X=6) = 10c₆* (0.25) ⁶ * (0.75)<sup>(10 - 6)
=.0162
=1.62%

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz</sup>

E(x) = ∑xp(x)
=1*1/n+2*1/n..........n*1/n
1/n(1+2+3+............+n)
= n(n+1) /2n
= (n+1) /2 (by cal)

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

if x is a random variable then E(x²)≥[E(x)]²

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

Explanation: Residuals don't have to be normal; only the true error terms are assumed normal in classical linear regression.
residuals are not guaranteed to be normally distributed. They only approximate the errors; if the error terms are normal, residuals may look normal in large samples, but not “always.”

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

we know, the coefficient of skewness of poission distribution is, √β₁ = 1/√λ
⇒ 1/3 = 1/√λ
so, λ = 9

again, kurtosis, β₂ = 3+ 1/λ
= 3+ 1/9
=28/9

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

quartile deviation, QD = 2/3 × σ
= 2/3 * 3 [since variance 9, so SD = 3]
= 2

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

Fisher`s index number has no upward or downward bias

Laspeyres Index (L): Uses base period quantities

Tends to overstate inflation → upward bias

Paasche Index (P): Uses current period quantities

Tends to understate inflation → downward bias

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

Population is heterogeneous overall but homogeneous within groups, this is right for - stratified sampling

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

two-tailed test,
H0:μ=10,H1:μ≠10
that means , mean can distributed either side of the mean

Tests whether the population mean is significantly different from a specific value in either direction (greater or smaller).
Alternative hypothesis is of the form:

H1:μ≠μ0​
Rejection regions are in both tails of the sampling distribution.

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

Answer: B) It depends on the chosen significance level (α).
like 5%, 1%, 2.5% etc level of significance the value of critical region will change

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

The number of trials in negative binomial distribution is - depends on the number of successes which is fixed and it may be infinite

where The number of trials in binomial distribution is finite and preditermined

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

Explanation: Bar charts are ideal for categorical data, showing relative frequencies clearly. Histograms are for continuous data.

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

Answer: D) Cannot show trends
Explanation: Frequency polygon can show trends, peaks, and patterns clearly.

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

Answer: Both B and C

CRD assumes normality and equal variances across treatments for valid ANOVA results.

In a Completely Randomized Design (CRD), the main assumption is that all experimental units are homogeneous, and the errors (residuals) are independent, normally distributed, and have equal variance (homoscedasticity).

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

Answer: Student’s t
t-test is used when σ is unknown, especially for small samples.

When the population variance is unknown, the t-distribution (Student’s t-distribution) is used to test hypotheses about the population mean.

Explanation:
Known population variance (σ2):
Use Z-test (standard normal distribution).

Unknown population variance (σ2):

Estimate the variance from the sample (s2).
Use t-test, because the test statistic follows a t-distribution with n−1 degrees of freedom.

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

Explanation: Residual = actual value - predicted value.
= Yi - Yˆ(y head)

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

from given data,
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
⇒ P(A ∩ B) = 1/4

we know, if A and B are independent then ; P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
here,
3/8 * 5/8 = 15/64
here, this is not equal so there are not independent

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

A bag contains 6 red and 4 white balls.

Total number of balls in the bag = 6 + 4 = 10.
two balls are drawn at random.

P(different color) = P(1 red and 1 white or 1 white and 1 red) = 6C₁ * 4C₁ / 10C₂
= 24/45

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

a set of events that together cover all possible outcomes of a random experiment is called as -Exhaustive events

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

Let A be an event. Then:

Probability that A happens: P(A)
Probability that A does not happen: P(A′)
By the complement rule:

P(A′)=1−P(A)
Adding them:

P(A)+P(A′)=P(A)+(1−P(A))=1

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

If A and B are dependent events then for A and B, P(A∩B) = P(A) P(B|A) = P(B) P(A|B)

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

the characteristics of cumulative distribution function of f(x), is-
F( -∞) = 0 and
F( ∞) = 1

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

If x and y are two independent random variable then V(x-y) is = v(x) + v(y)

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

Parametric tests: Assume a specific form of the population distribution (usually normal distribution) and rely on parameters like mean and variance. Examples: t-test, ANOVA, Z-test.

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

exaples of non parametric test- Mann-Whitney U, Kruskal-Wallis, Chi-square.

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

Explanation: The Total Fertility Rate (TFR) accounts for the age-specific fertility rates across reproductive ages, adjusting for age composition differences.

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

Answer: A
Explanation: Type II error = failing to reject H0 when it is false.

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

Answer: C
Explanation: Type I error = rejecting H₀ (innocence) when it is true.

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

variance of poission distribution is = λ

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

Answer: B
Explanation: Clusters tend to reduce precision (larger error).

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

Systematic sampling works best when the population order is random. If the data has a pattern or trend, bias occurs.

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

Answer: C
Explanation: Population parameter is fixed (often unknown). A statistic changes depending on which sample is chosen.

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

Average income of all households in a country → Parameter (describes the population). while others are the statistic

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

Answer: c
Explanation: Purposive = researcher’s choice; Snowball = chain referrals.

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

Answer: D
Explanation:
Y^=8+0.6(5)+0.4(3)
=8+3+1.2
=12.2

residuals, e=Y−Y^
=15−12.2
=2.8

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

A measure of association used when the relationship may be nonlinear is called- correlation ratio

normally it is used when one variable is categorical

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz

the predicted value of Y when X = 0 is known as-intercept

like , Y = a+bX, In this equation , a is the intercept of Y When X=0,

source- statistics and probabiliy: an introductory analysis by siddiqur rahman, fundamentals of probability and probability distribution by manindra kumar roy, statistics by Md abdul aziz