Math Master · তারিখ অনির্ধারিত · ২০ প্রশ্ন
প্রশ্ন: প্রথম ১১ টি জোড় সংখ্যার মধ্যক কত?
সমাধান:
প্রথম ১১ টি জোড় সংখ্যা = ২, ৪, ৬, ৮, ১০, ১২, ১৪, ১৬, ১৮, ২০, ২২।
এখানে,
n = ১১, যা একটি বিজোড় সংখ্যা।
∴ মধ্যক = [(n + ১)/২] তম মান
= (১১ + ১)/২
= (১২)/২
= ৬ তম মান
∴ ৬ তম মান = ১২
∴মধ্যক = ১২
প্রশ্ন: যদি A = {x : x হলো স্বাভাবিক সংখ্যা এবং 16 এর গুণনীয়ক} এবং B = {x : x হলো 8 এর চেয়ে ছোট স্বাভাবিক সংখ্যা} হয়, তাহলে A ∩ B এর মান নিচের কোনটি?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {x : x হলো স্বাভাবিক সংখ্যা এবং 16 এর গুণনীয়ক}
A = {1, 2, 4, 8, 16}
একই ভাবে,
B = {x : x হলো 8 এর চেয়ে ছোট স্বাভাবিক সংখ্যা}
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
তাহলে A ∩ B = {1, 2, 4, 8, 16} ∩ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
= {1, 2, 4}
∴ A ∩ B = {1, 2, 4}
প্রশ্ন: প্রদত্ত ভেনচিত্রে, যদি A ∩ B = B ∩ C হয়, তবে x এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {8, x}
B = {x, 6, 4}
C = {4, y}
তাহলে,
A ∩ B = {8, x} ∩ {x, 6, 4} = x
B ∩ C = {x, 6, 4} ∩ {4, y} = 4
A ∩ B = B ∩ C
∴ x = 4
প্রশ্ন: আবহাওয়া দপ্তর থেকে পাওয়া রিপোর্ট অনুযায়ী ২০১৩ সালের মার্চ মাসের ৩য় সপ্তাহে বৃষ্টি হয়েছে মোট ১ দিন । ঐ সপ্তাহে সোমবার বৃষ্টি না হবার সম্ভাবনা কত?
সমাধান:
এক সপ্তাহে মোট দিন = ৭
বৃষ্টি হয়েছে মোট দিন = ১
∴ P(বৃষ্টি হবার সম্ভাবনা) = ১/৭
∴ P(সোমবার বৃষ্টি না হবার সম্ভাবনা) = ১ - (১/৭) = (৭ - ১)/৭ = ৬/৭
সুতরাং, ঐ সপ্তাহে সোমবার বৃষ্টি না হবার সম্ভাবনা ৬/৭
প্রশ্ন: যদি A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} এবং B = {3, 4, 5} হয়, তবে A\B এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
B = {3, 4, 5}
তাহলে A\B অর্থ হলো A তে আছে কিন্তু B তে নেই এমন সব উপাদান।
তাহলে A - B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} - {3, 4, 5} = {1, 2, 6}
অর্থাৎ,
A\B = {1, 2, 6}
∴ A\B এর মান {1, 2, 6}
প্রশ্ন: A = {1, 3, 6, 8, 9} সেটের উপসেট সংখ্যা কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {1, 3, 6, 8, 9}
সেটটির মোট উপাদান সংখ্যা, n = 5
আমরা জানি,
উপসেটের সংখ্যা = 2n = 25 = 32
∴উপসেট সংখ্যা = 32
প্রশ্ন: A = {x : x, 8 এর গুণনীয়ক}, B = {x : x, 3 এর গুণিতক এবং x ≤ 15} এবং C = {1, 3, 5, 7} হলে, A ∩ B ∩ C = কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {x : x হলো 8 এর গুণনীয়ক}
8 এর গুণনীয়কগুলো হলো = {1, 2, 4, 8}
আবার,
B = {x : x হলো 3 এর গুণিতক এবং x ≤ 15}
3 এর গুণিতক ≤ হলো 15 = {3, 6, 9, 12, 15}
C = {1, 3, 5, 7}
A ∩ B = {1, 2, 4, 8} ∩ {3, 6, 9, 12, 15}
= ∅
A ∩ B ∩ C = ∅ ∩ {1, 3, 5, 7}
= ∅
∴ A ∩ B ∩ C = ∅
প্রশ্ন: একটি বাক্সে ৬টি সাদা বল এবং ৪টি কালো বল রয়েছে। তিনটি বল একসাথে বের করার সময়, তিনটি বল কালো হওয়ার সম্ভাবনা কত?
সমাধান:
বাক্সে মোট বল আছে = ১০টি
প্রথম বল কালো হওয়ার সম্ভাবনা,
P(প্রথম বল কালো ) = ৪/১০
দ্বিতীয় বল কালো হওয়ার সম্ভাবনা, (যেহেতু প্রথমটি কালো বের হয়েছে)
P(দ্বিতীয় কালো বল) = ৩/৯
তৃতীয় বল কালো হওয়ার সম্ভাবনা, (যেহেতু দ্বিতীয় কালো বের হয়েছে)
P(তৃতীয় কালো বল) = ২/৮
সুতরাং, তিনটি বল কালো হওয়ার সম্ভাবনা,
P(তিনটি কালো বল) = (৪/১০) × (৩/৯) × (২/৮)
= ২৪/৭২০
= ১/৩০
∴তিনটি বল কালো হওয়ার সম্ভাবনা = ১/৩০
প্রশ্ন: ৯৬ এর মৌলিক উৎপাদকগুলোর মধ্যে প্রচুরক কত?
সমাধান:
৯৬ এর মৌলিক উৎপাদকে ভাংলে,
৯৬ = ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ৩
এখানে মৌলিক উৎপাদক ২ মোট ৫ বার এসেছে এবং ৩ মাত্র ১ বার।
তাহলে প্রচুরক = ২
∴ প্রচুরক = ২
প্রশ্ন: দুইটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করা হলে তাদের গুনফল 20 এর চেয়ে বড় হওয়ার সম্ভাবনা কত?
সমাধান:
ছক্কা দুইবার নিক্ষেপ করলে মোট ঘটনা = 6 × 6 = 36
20 এর চেয়ে বড় হওয়ার ঘটনা = {(4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} = 6 টি
সম্ভাবনা = 6/36 = 1/6
∴সম্ভাবনা = 1/6
প্রশ্ন: ১৫ থেকে ৩৫ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে একটি মৌলিক সংখ্যা নির্বাচনের সম্ভাব্যতা কত?
সমাধান:
মোট সংখ্যা = ৩৫ - ১৫ + ১ = ২১টি সংখ্যা
১৫ থেকে ৩৫ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা গুলো,
১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১ = ৫ টি
তাহলে,
সম্ভাবনা = ৫/২১
∴ মৌলিক সংখ্যা নির্বাচনের সম্ভাব্যতা ৫/২১
প্রশ্ন: ১৩ থেকে ২৭ পর্যন্ত উপাত্তগুলোর গড় কত?
সমাধান:
১৩ থেকে ২৭ পর্যন্ত অর্থাৎ:
১৩, ১৪, ১৫, ১৬, ১৭, ১৮, ১৯, ২০, ২১, ২২, ২৩, ২৪, ২৫, ২৬, ২৭
মোট সংখ্যা = ২৭ - ১৩ + ১ = ১৫টি সংখ্যা
ক্রমিক সংখ্যা গড় = (প্রথম সংখ্যা + শেষে সংখ্যা)/২
= (১৩ + ২৭)/২
= ৪০/২
= ২০
∴ক্রমিক সংখ্যা গড় = ২০
প্রশ্ন: একটি ক্লাসে 55 জন শিক্ষার্থী আছে। তাদের মধ্যে 35 জন ক্রিকেট খেলে, 28 জন ফুটবল খেলে এবং 13 জন উভয় খেলায় অংশ নেয়। তাহলে কতজন শিক্ষার্থী কোনো খেলাই খেলে না?
সমাধান:
ক্রিকেট খেলে, n(C) = 35 জন
ফুটবল খেলে, n(F) = 28 জন
উভয় খেলা খেলে, n(C ∩ F) = 13 জন
আমরা জানি,
n(C ∪ F) = n(C) + n(F) - n(C ∩ F)
= 35 + 28 - 13
= 63 - 13
= 50
∴ না খেলা শিক্ষার্থীর সংখ্যা = 55 - 50 = 5 জন
প্রশ্ন: সেট x = {1, 3, 5, 7, 9, 11} হলে, সেট গঠন পদ্ধতিতে এর প্রকাশ কোনটি?
সমাধান:
x = {x : x হলো বিজোড় সংখ্যা এবং 1 ≤ x ≤ 11}
- এখানে সেটের প্রত্যেকটি উপাদান পূর্ণসংখ্যা
- 1 এর চেয়ে ছোটো নয় আবার 11 এর চেয়ে বড়ো নয়
- প্রতিটি সংখ্যা বিজোড়।
সুতরাং সেট গঠন পদ্ধতি হবে,
x = {x : x হলো বিজোড় সংখ্যা এবং 1 ≤ x ≤ 11}
প্রশ্ন: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, X = {2, 4, 6, 8, 10}, Y = {1, 2, 3, 4} হলে, X´ ∩ Y´ হবে?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
X = {2, 4, 6, 8, 10}
Y = {1, 2, 3, 4}
তাহলে,
X′ = U - X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} - {2, 4, 6, 8, 10}
= {1, 3, 5, 7, 9}
Y′ = U - Y = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} - {1, 2, 3, 4}
= {5, 6, 7, 8, 9, 10}
প্রদত্ত রাশি,
X′ ∩ Y′ = {1, 3, 5, 7, 9} ∩ {5, 6, 7, 8, 9, 10}
= {5, 7, 9}
∴ X′ ∩ Y′ = {5, 7, 9}
প্রশ্ন: A = {x : x, 5 এর গুণিতক এবং x ≤ 25} হলে, A এর প্রকৃত উপসেট সংখ্যা কত?
সমাধান:
A = {5, 10, 15, 20, 25}
উপাদান সংখ্যা n = 5
আমরা জানি,
A এর মোট উপসেট = 2n = 25 = 32
আবার,
প্রকৃত উপসেট = মোট উপসেট - 1 = 32 - 1 = 31
∴ প্রকৃত উপসেট 31
প্রশ্ন: n(X) = 20, n(X ∩ Y) = 10 এবং n(X ∪ Y) = 50 হলে n(Y) = ?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
n(X) = 20,
n(X ∩ Y) = 10,
n(X ∪ Y) = 50
আমরা জানি,
n(X ∪ Y) = n(X) + n(Y) - n(X ∩ Y)
⇒ 50 = 20 + n(Y) - 10
⇒ 50 = 10 + n(Y)
⇒ n(Y) = 50 - 10
n(Y) = 40
∴ n(Y) = 40
প্রশ্ন: 72, 54, 52, 47, 63, 75, 67, 71, 93, 52, 86, 74, 84, 88 উপাত্তগুলোর পরিসর কত?
সমাধান:
সর্বোচ্চ মান = 93
সর্বনিম্ন মান = 47
আমরা জানি,
পরিসর = (সর্বোচ্চ মান - সর্বনিম্ন মান) + 1
= (93 - 47) + 1
= 46 + 1
= 47
∴উপাত্তগুলোর পরিসর 47
প্রশ্ন: ১৬, ২৪, ১৯, ১৩, ১১, ২৯ উপাত্তগুলোর জন্য কোন তথ্যটি সত্য?
সমাধান:
উপাত্তগুলো ক্রমে সাজাই,
১১, ১৩, ১৬, ১৯, ২৪, ২৯
উপাত্ত সংখা জোড় হলে,
মধ্যক = (১৬ + ১৯)/২
= ৩৫/২
= ১৭.৫
সর্বনিম্ন মান = ১১ (অপশনে দেওয়া ১৩)
প্রচুরক = নেই (অপশনে দেওয়া ১৬, প্রত্যেক সংখ্যা একবার করে আছে)
গড় = (১৬, ২৪, ১৯, ১৩, ১১, ২৯)/৬ = ১৮.৬৭
∴সত্য তথ্যটি মধ্যক ১৭.৫
প্রশ্ন: ৫২টি তাসের একটি প্যাকেট থেকে ৪টি তাস নেয়া হলো। তাসটি টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা কত?
সমাধান:
৫২টি তাসে টেক্কা থাকে ৪টি।
তাহলে সম্ভাবনা = ৪/৫২
= ১/১৩
∴তাসটি টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা ১/১৩