সহকারী থানা শিক্ষা অফিসার (ATEO)

প্রশ্ন: 100 + 110 + 120 + 130 +........ এই ধারার 18 তম পদ কত?

সমাধান: 
ইহা একটি সমান্তর ধারা।
যার ১ম পদ, a = 100
সাধারণ অন্তর, d = 110 - 100 = 10

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 18 তম পদ = 100 + (18 - 1) × 10
= 100 + (17× 10)
= 100 + 170
= 270
∴ 18 তম পদ = 270

প্রশ্ন: 256 + 128 + 64 + 32+............... এই ধারাটির n তম পদ কত?

সমাধান: 
এহা একটি গুণোত্তর ধারা।
যার ১ম পদ, a = 256
সাধারণ অনুপাত, r = 128/256 = 1/2

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার সাধারণ পদ = ar^{n - 1}
∴ ধারাটির সাধারণ পদ = 256 × (1/2)^{n - 1}
= 2⁸ × (1/2^{n - 1})
= 2⁹/2ⁿ

প্রশ্ন: 2 - 4 + 8 - 16 +................ ধারাটির প্রথম ৫টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ইহা একটি গুণোত্তর ধারা।
যার ১ম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = 8/(- 4) = - 2    ; r < 1

আমরা জানি, 
গুণোত্তর ধারার n তম পদের সমষ্টি,  S_n = a(1 - rⁿ)/(1 - r)  ; r < 1
5 তম পদের সমষ্টি,  S₅
= 2{1 - (- 2)⁵}/(1 + 2)
= {2 × (1 + 32)}/3
= (2 × 33)/3
= 22

প্রশ্ন: x² + px + 8 = 0 এর দুইটি মূল সমান হলে এবং p > 0 হয়, তবে p এর মান কত?

সমাধান: 
দুইটি মূল সমান হলে নিশ্চায়ক শূন্য হবে।
∴ b² - 4ac = 0
⇒ p² - 4 × 1 × 8 = 0
⇒ p² = 32
⇒ p = √32
∴ p = 4√2

প্রশ্ন: (x + 4) + 6 = 7(x + 5) হলে x এর মান কত?

সমাধান:
⇒ (x + 4) + 6 = 7(x + 5)
⇒ x + 4 + 6 = 7x + 35
⇒ x + 10 = 7x + 35
⇒ x − 7x = 35 − 10
⇒  −6x = 25
∴ x = - 25/6 

প্রশ্ন: রাহিমের বর্তমান বয়স তার মায়ের বয়সের দুই পঞ্চমাংশ। 10 বছর পর তার বয়স, তার মায়ের বয়সের অর্ধেক হবে। বর্তমানে তার মায়ের বয়স কত?

সমাধান:

মনেকরি,
মায়ের বর্তমান বয়স x বছর
∴ রাহিমের ''      ''    2x/5  ''

∴ 10 বছর পর তার মায়ের বয়স = (x + 10) বছর
   10  বছর পর  রাহিমের  বয়স = (2x/5 + 10) ''

প্রশ্নমতে,
⇒ (x + 10)/2 = (2x/5 + 10)
⇒ (x + 10)/2 = (2x + 50)/5
⇒ 5x + 50 = 4x + 100
⇒ 5x - 4x = 100 - 50
∴ x = 50
∴ মায়ের বর্তমান বয়স 50 বছর

প্রশ্ন: √(2x + 8) - 2√(x + 5) + 2 = 0 হলে x এর মান কত?

সমাধান: 
⇒ √(2x + 8) - 2√(x + 5) + 2 = 0
⇒ √(2x + 8) = 2√(x + 5) - 2
⇒ {√(2x + 8)}² = { 2√(x + 5) - 2}²
⇒ 2x + 8 =  4(x + 5) + 4 - 8√(x + 5)
⇒ 8√(x + 5) = 4x + 20 + 4 -2x - 8
⇒ 8√(x + 5) = 2x + 16
⇒ 4√(x + 5) = x + 8
⇒ {4√(x + 5)}² = (x + 8)
⇒ 16(x + 5) = x² + 16x + 64
⇒ 16x + 80 = x² + 16x + 64
⇒ x² = 16
∴ x = 4

বি: দ্র: অপশন দিয়েও উত্তর বের করা যায়।

প্রশ্ন: (x - 5)³ = 0 সমীকরণের মূল কয়টি?

সমাধান:
(x - 5)³ = 0
⇒ x³ - 3 . x². 5 + 3 . x . 5² - 5³ = 0
⇒ x³ - 15x² + 75x - 125 = 0
x এর সর্বোচ্চ ঘাত 3 হওয়ায় সমীকরণের মূল হবে তিনটি।

প্রশ্ন: ২ হতে ৫০ পর্যন্ত জোড় সংখ্যাগুলোর গড় কত?

সমাধান:
এখানে ধারাটির পদগুলো ২, ৪, ৬, .......... ৫০। এটি একটি সমান্তর ধারা।

∴ নির্ণেয় গড় = (শেষ পদ + ১ম পদ)/২
= (৫০ + ২)/২
= ৫২/২
= ২৬

প্রশ্ন: log11 + log121 + log1331 +................ ধারাটির প্রথম ৮ টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
log11 + log121 + log1331 +................
=log11 + log11² + log11³ +................ 
= log11 + 2log11 + 3log11 +................ 
= (1 + 2 +3.............) log11

এখন, (1 + 2 +3.............) ধারাটির প্রথম ৮ টি পদের সমষ্টি 
= {8 × (8 + 1)}/2
= 36

∴ ধারাটির প্রথম ৮ টি পদের সমষ্টি = 36 log11

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমের তৃতীয় পদটি 36 এবং ষষ্ঠ (৬ তম) পদটি 288 হলে প্রথম পদটি কত?

সমাধান: 
গুণোত্তর অনুক্রমের প্রথম পদ, a এবং সাধারণ অনুপাত, r হলে

আমরা জানি,
গুণোত্তর অনুক্রমের n তম পদ = ar^{n - 1}
∴ তৃতীয় পদ, a​r² = 36............ (1)
ষষ্ঠ পদ, a​r⁵ = 288.........(2)
(2) ÷ (1)
⇒ a​r⁵/a​r² = 288/36
⇒ r³ = 8
∴ r = 2 
এখন, (1) নং এ r এর মান বসিয়ে পাই,
⇒ a × 2² = 36
⇒ a = 36/4
∴ a = 9

প্রশ্ন: প্রথম দিনে ১ টাকা, দ্বিতীয় দিনে ২ টাকা, তৃতীয় দিনে ৪ টাকা, চতুর্থ দিনে ৮ টাকা, এরুপভাবে দান করলে ১২ দিনে মোট কত টাকা দান করা হবে?

সমাধান:
১, ২, ৪, ৮,.......
ইহা একটি গুণোত্তর ধারা।
যার ১ম পদ, a = ১
সাধারণ অনুপাত, r = ২/১ = ২
এবং পদ সংখ্যা, n = ১২

আমরা জানি,
গুণোত্তর অনুক্রমের n তম পদের সমষ্টি, S_n = a(rⁿ - 1)/(r - 1)
গুণোত্তর অনুক্রমের ১২ তম পদের সমষ্টি, S_১২ = ১(২^১২ - ১)/(২ - ১)
= ২^১২ - ১
= ৪০৯৬ - ১
= ৪০৯৫

প্রশ্ন: যদি x/y = 1/4 এবং 2x + 3y = 6 হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
x/y = 1/4 
⇒ y = 4x
এখন,
2x + 3y = 6
⇒ 2x + 3(4x) = 6
⇒ 2x + 12x = 6
⇒ 14x = 6
⇒ x = 6/14
∴ x = 3/7

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার বিয়োগফল তাদের যোগফলের দুই-পঞ্চমাংশ। সংখ্যাদ্বয়ের অনুপাত নিচের কোনটি?

সমাধান:
মনেকরি,
সংখ্যাদ্বয় যথাক্রমে, x ও y

প্রশ্নমতে,
⇒ x - y = (x + y) × (2/5)
⇒ 5x - 5y = 2x + 2y
⇒ 5x - 2x = 5y + 2y
⇒ 3x = 7y
⇒ x/y = 7/3
∴ x : y = 7 : 3

প্রশ্ন: ১^৩ +২^৩ + ৩^৩ +............... + ২০^৩ =?

সমাধান:
আমরা জানি,
স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = {n(n + 1)/2}²
সুতরাং, প্রদত্ত ধারাটির সমষ্টি,
= {২০× (২০ + ১)/২}^২
= {(২০× ২১)/২}^২
= (২১০)^২
= ৪৪১০০
∴ প্রদত্ত ধারাটির সমষ্টি = ৪৪১০০

প্রশ্ন: 1 + 4 + 7 + 10 +............... + 61 = কত?

সমাধান:
ইহা একটি সমান্তর ধারা,
যার ১ম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 4 - 1 = 3
সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - 1)d

প্রশ্নমতে,
⇒ a + (n - 1)d = 61
⇒ 1 + (n - 1) × 3 = 61
⇒ n - 1 = 60/3
⇒ n - 1 = 20
⇒ n = 20 + 1
∴ n = 21

সমান্তর ধারার n তম পদের যোগফল, S_n= = (n/2){2a + (n - 1)d}
সমান্তর ধারার 21 তম পদের যোগফল, S₂₁= (21/2){2 ×1 + (21 - 1) ×3}
= (21/2)(2 + 60)
= (21/2) × 62
= 21 × 31
= 651

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার সমষ্টি 15 এবং তাদের গুণফল 45 । সংখ্যা দুটির গুণাত্মক বিপরীত সংখ্যার যোগফল কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুটি যথাক্রমে a ও b হলে
শর্তমতে,
a +b = 15 এবং ab = 45
∴ সংখ্যা দুটির গুণিতক বিপরীত সংখ্যার যোগফল = (1/a) + (1/b)
= (a + b)/ab
= 15/45
= 1/3

প্রশ্ন: 2টি শাড়ি ও 4টি শার্ট এর মূল্য 1200 টাকা । সমপরিমাণ টাকা দিয়ে কোনো ব্যক্তি 1টি শাড়ি ও 6টি শার্ট ক্রয় করতে পারে । যদি কোনো ব্যক্তি 15 টি শার্ট কিনতে চায়, তাহলে তাকে কত টাকা ব্যয় করতে হবে?

সমাধান:
ধরি,
১টি শাড়ির মূল্য = x
১টি শার্টের মূল্য = y
শর্তেমতে,
2x + 4y = 1200............ (1)
x + 6y = 1200...............(2)
(2) নং কে 2 দ্বারা গুণ করে পাই,
2x + 12y = 2400.......... (3)

এখন, (3) - (1)
2x + 12y = 2400
2x + 4y = 1200
8y = 1200
⇒ y = 1200/8
∴ y = 150
∴ 15 টি শার্ট কিনতে ব্যয় করতে হবে = (15 × 150) = 2250 টাকা

প্রশ্ন: x + 2y = 14 এবং 2x - 3y = 7 হলে x এবং y এর মান হবে -

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + 2y = 14............. (1)
2x - 3y = 7............ (2)
(1) নং কে 2 দ্বারা গুণ করে পাই,
2x + 4y = 28............(3)

এখন, (3) - (2)
2x + 4y = 28
2x - 3y = 7
⇒ 7y = 21
⇒ y = 21/7
∴ y = 3
y এর মান (1) নং এ বসিয়ে পাই,
x + 2 × 3 = 14
⇒ x = 14 - 6
∴ x = 8
∴ (x , y) = (8 , 3)

প্রশ্ন: 27, - 9, 3, - 1........... সপ্তম তম পদ কত?

সমাধান:
ইহা একটি গুণোত্তর ধারা,
যার ১ম পদ, a = 27
সাধারণ অনুপাত, r = - 9/27 = - 1/3
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = ar^{n - 1}
গুণোত্তর ধারার 7 তম পদ = 27 × (- 1/3)^{7 - 1}
= 27 × (- 1/3)⁶
= 3³ × (1/3⁶)
= 1/3³
= 1/27

প্রশ্ন: প্রথম n সংখ্যক জোড় সংখ্যার সমষ্টি কত?

সমাধান: n সংখ্যক ক্রমিক স্বাভাবিক জোড় সংখ্যার যোগফলের ধারা:
2 + 4 + 6 +8 +........... 2n

যোগফল = {(শেষ পদ + প্রথম পদ)/২} × পদ সংখ্যা
= {(2n + 2)/2} × n
= n(n + 1)

প্রশ্ন: কোনো গুণোত্তর ধারার তৃতীয় পদ 4 হলে, প্রথম পাঁচ পদের গুণফল কত?

সমাধান: 
ধরি,
১ম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r
তৃতীয় পদ, ar² = 4

প্রথম পাঁচ পদের গুণফল S হলে,
S = a × ar × ar² × ar³ × ar⁴
= a⁵r¹⁰
= (ar²)⁵
= 4⁵
= 1024
∴ প্রথম পাঁচ পদের গুণফল 1024

প্রশ্ন: কোনো ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি n(n + 1) হলে, ধারাটির প্রথম 17টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি = n(n + 1)
প্রথম 17টি পদের সমষ্টি = 17(17 + 1)
= 18 × 17
= 306

প্রশ্ন: (x - y, 3) = (0, x + 2y) হলে (y, x) = কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে 
 (x - y, 3) = (0, x + 2y)

x - y = 0...........(1)
x + 2y = 3..........(2)

(2) - (1) ⇒
x + 2y - (x - y) = 3 - 0
বা, x + 2y - x + y = 3
বা, 3y = 3
∴ y = 1

(1)⇒
x - y = 0
বা, x - 1 = 0
∴ x = 1 

নির্ণেয় সমাধান (y, x) = (1, 1)

প্রশ্ন: কোনটি গুণোত্তর ধারা নয়?

সমাধান:
গুণোত্তর ধারা
যে ধারার যেকোনো পদের সাথে তার পূর্ববর্তী পদের অনুপাত সর্বদা সমান হয় অর্থাৎ যেকোনো পদকে তার পূর্ববর্তী পদ দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল সব সময় সমান হয়, সে ধারাকে গুণোত্তর ধারা বলে এবং ভাগফলকে সাধারণ অনুপাত বলে। 

যেমন:
২ + ৪ + ৮ + ........... একটি গুণোত্তর ধারা।
৩ + ৬ + ১২ + ....................... একটি গুণোত্তর ধারা।
(১/২) + (১/৪) + (১/৮) + ................ একটি গুণোত্তর ধারা।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গুণফল 5950, একটি সংখ্যার 4 গুণ 280 হলে অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
কোনো সংখ্যার 4 গুণ 280 হলে সংখ্যাটি = 280/4 = 70
অপর সংখ্যাটি x হলে,
শর্তমতে,
x × 70 = 5950
x = 5950/70
x = 85

∴ অপর সংখ্যাটি = 85

প্রশ্ন: 4 + 16+ q + 256 + ......... একটি গুণোত্তর ধারা হলে q এর মান কত?

সমাধান:
গুণোত্তর ধারার ১ম পদ, a = 4
সাধারণ অনুপাত, r = 16/4 = 4
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = ar^{n - 1}

ধারাটির তৃতীয় পদ, q = ar²
= 4 × 4²
= 4 × 16
= 64

∴ ধারাটির তৃতীয় পদ, q = 64

প্রশ্ন: 1 + (1/3) + (1/9) + (1/27) + ........ ধারাটির অসীম পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধারার ১ম পদ, a = 1
সাধারণ অনুপাত, r = (1/3)/1 = 1/3

আমরা জানি,
ধারার অসীমতক সমষ্টি, S_∞ = a/(1 - r)
= 1/{1 - (1/3)}
= 1/{(3 - 1)/3}
= 1/(2/3)
= 3/2