খাদ্য অধিদপ্তর নিয়োগ প্রস্তুতি

প্রশ্ন: ৬৫° কোণের সম্পূরক কোণের মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
যদি দুইটি কোণের সমষ্টি ১৮০° হয়, তবে একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।

∴ ৬৫° কোণের সম্পূরক কোণ = (১৮০ - ৬৫)°
= ১১৫°

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 6√2 একক হলে ঐ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

সমাধান:
ধরি,
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = a একক।
বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = a√2 একক।

প্রশ্নমতে,
a√2 = 6√2
⇒ a = (6√2)/√2
∴ a = 6

∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = a²
= 6²
= 36 বর্গ একক।

প্রশ্ন: ১০ সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তঃস্থ একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ১০ সে.মি।

∴ বৃত্তের অন্তঃস্থ সমবাহু ত্রিভুজের বাহু = √৩ × বৃত্তের ব্যাসার্ধ
= √৩ × ১০ = ১০√৩ সে.মি।

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × (বাহু)^২

∴ ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × (১০√৩)^২
= (√৩/৪) × ১০০ × ৩
= (√৩/৪) × ৩০০
= ৭৫√৩ বর্গ সে.মি।

প্রশ্ন: ২৭০° কোণকে কী কোণ বলে?

সমাধান:
আমরা জানি,
- ৯০° অপেক্ষা ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ (Acute Angle) বলে।
- ৯০° অপেক্ষা বড় কিন্তু ১৮০° অপেক্ষা ছোট কোণকে স্থূলকোণ (Obtuse Angle) বলে।
- ৯০° কোণকে সমকোণ (Right Angle) বলে।
- ১৮০° কোণকে সরলকোণ/সমরেখ কোণ (Straight Angle) বলে।
- ১৮০° অপেক্ষা বড় কিন্তু ৩৬০° অপেক্ষা ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ (Reflex Angle) বলে।
- ৩৬০° কোণকে সম্পূর্ণ কোণ (Full Angle) বলে, যেটা এক পূর্ণবৃত্ত ঘূর্ণন বোঝায়।

যেহেতু ২৭০° কোণটি ১৮০° এর চেয়ে বড় এবং ৩৬০° এর চেয়ে ছোট, তাই এটি একটি প্রবৃদ্ধ কোণ।

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের দুইটি সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১০ সেমি এবং ৮ সেমি হলে এর পরিসীমা কত?

সমাধান:
আমরা জানি, সামান্তরিকের বিপরীত বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য সমান হয়।

দেওয়া আছে,
একটি সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্য = ১০ সেমি
অপর সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্য = ৮ সেমি

সামান্তরিকের পরিসীমা = ২ × (সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের সমষ্টি)
= ২ × (১০ + ৮) সেমি
= ২ × ১৮ সেমি
= ৩৬ সেমি

∴ সামান্তরিকটির পরিসীমা ৩৬ সেমি।

প্রশ্ন: ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য সেন্টিমিটারে দেওয়া আছে, কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজ অঙ্কন করা সম্ভব নয়?

সমাধান:
ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের যোগফল তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর।
অপশনে উল্লিখিত প্রত্যেকটি অপশনের ক্ষুদ্রতম দুইটি বাহুর সাথে তৃতীয় বাহুর সাথে তুলনা করে পাই,
ক) ৫ + ৬ > ৭
খ) ৪ + ৮ = ১২ [দুই বাহুর যোগফল তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর নয়, সুতরাং ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব নয়]
গ) ৬ + ৮ > ৯ 
ঘ) ১০ + ১২ >১৫

∴ অপশন 'খ' অর্থাৎ, ৪, ৮, ১২ সেন্টিমিটার তিনটি বাহু দিয়ে ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব নয়। 

প্রশ্ন: নিচের চিত্রে ∠B = 75° এবং ∠ACE = 160° হলে, ∠A এর মান কত?

সমাধান:
∠ACB + ∠ACE = এক সরলকোণ = 180°
⇒ ∠ACB = 180° - ∠ACE
⇒ ∠ACB = 180° - 160°
⇒ ∠ACB = 20°

আবার, ∠A+ ∠B+ ∠ACB = 180°
⇒ ∠A + 75° + 20° = 180°
⇒ ∠A + 95° = 180°
⇒ ∠A = 180° - 95°
∴ ∠A = 85°

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য বিস্তারের ৪ গুণ। দৈর্ঘ্য ২৮ মিটার হলে ক্ষেত্রটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তাকার ক্ষেত্রের বিস্তার = ক মিটার
∴ আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ৪ক

প্রশ্নমতে,
৪ক = ২৮
⇒ ক = ২৮/৪
∴ ক = ৭ মিটার

আমরা জানি,
আয়তাকার ক্ষেত্রের পরিসীমা = ২ × (দৈর্ঘ্য + বিস্তার)
= ২ × (২৮ + ৭) মিটার
= ২ × ৩৫ মিটার
= ৭০ মিটার

∴ আয়তাকার ক্ষেত্রটির পরিসীমা ৭০ মিটার।

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের ক্ষেত্রফল 49π বর্গ একক হলে, ঐ বৃত্তের পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = 49π বর্গ একক

আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
∴ πr² = 49π
⇒ r² = 49
⇒ r = √49
⇒ r = 7একক

∴ বৃত্তটির পরিসীমা = 2πr
= ২π × 7
= 14π একক

∴ বৃত্তটির পরিসীমা 14π একক।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের পরিসীমা ৭২ সে.মি. এবং বাহুগুলোর দৈর্ঘ্যের অনুপাত ৫ : ৬ : ৭ হলে, ত্রিভুজটির বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৫ক, ৬ক এবং ৭ক সে.মি।
∴ পরিসীমা = ৫ক + ৬ক + ৭ক = ১৮ক

প্রশ্নমতে,
১৮ক = ৭২
⇒ ক = ৪

∴ বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ্য = ৭ক = ৭ × ৪
= ২৮ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৬২৫ বর্গফুট। তার এক বাহু থেকে ৩ গজ কমিয়ে দিলে যে নতুন বর্গক্ষেত্র তৈরি হবে, তার ক্ষেত্রফল কত বর্গফুট?

সমাধান:
একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৬২৫ বর্গফুট
∴ বর্গক্ষেত্রের এক বাহু = √৬২৫ = ২৫ ফুট

১ গজ = ৩ ফুট
∴ ৩ গজ = ৯ ফুট

∴ নতুন বাহু = ২৫ - ৯ = ১৬ ফুট
∴ নতুন ক্ষেত্রফল = ১৬^২ = ২৫৬ বর্গফুট

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য ৫ সে.মি. এবং ১২ সে.মি. হলে অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
(অতিভুজ)^২ = (ভূমি)^২ + (লম্ব)^২

এখানে,
ভূমি = ১২ সে.মি.
লম্ব = ৫ সে.মি.

∴ (অতিভুজ)^২ = (১২)^২ + (৫)^২
⇒ (অতিভুজ)^২ = ১৪৪ + ২৫
⇒ (অতিভুজ)^২ = ১৬৯
⇒ অতিভুজ = √১৬৯
⇒ অতিভুজ = ১৩ সে.মি.

∴ অতিভুজের দৈর্ঘ্য ১৩ সে.মি.।

প্রশ্ন: একটি দেওয়ালের দৈর্ঘ্য ২৪ মিটার, উচ্চতা ৮ মিটার এবং পুরুত্ব ৪০ সে.মি.। একটি ইটের দৈর্ঘ্য ২০ সে.মি., প্রস্থ ১০ সে.মি. এবং উচ্চতা ৫ সে.মি.। দেওয়ালটি ইট দিয়ে তৈরী করতে প্রয়োজনীয় ইটের সংখ্যা কত?

সমাধান:
 দেয়া আছে,
দেওয়ালের দৈর্ঘ্য = ২৪ × ১০০ = ২৪০০ সে.মি.
উচ্চতা = ৮ × ১০০ = ৮০০ সে.মি.
পুরুত্ব = ৪০ সে.মি.

∴ দেওয়ালের আয়তন = ২৪০০ × ৮০০ × ৪০ ঘন সে.মি.
= ৭৬৮০০০০০ ঘন সে.মি.

আবার,
একটি ইটের আয়তন = ২০ × ১০ × ৫ ঘন সে.মি.
= ১০০০ ঘন সে.মি.

অর্থাৎ,দেওয়ালটিতে মোট ইট লাগবে = ৭৬৮০০০০০/১০০০
= ৭৬৮০০ টি

প্রশ্ন: ১৮ মিটার উচ্চতা ও ১২ মিটার ভূমি বিশিষ্ট ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
উচ্চতা = ১৮ মিটার
ভূমি = ১২ মিটার

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা
∴ ক্ষেত্রফল = (১/২) × ১২ × ১৮
= ৬ × ১৮
= ১০৮ বর্গমিটার

প্রশ্ন: tanA = 1 হলে, cosA এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
tanA = 1
⇒ tanA = tan45°
⇒ A = 45°

∴ cosA
= cos45°
= 1/√2

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য 6 সে.মি হলে ত্রিভুজটির লম্বের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) × (বাহু)²
= (√3/4) × 6²
= (√3/4) × 36
= 9√3 বর্গ সে.মি।

আবার,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × ভূমি × উচ্চতা
= (1/2) × 6 × h = 3h বর্গ সে.মি।

প্রশ্নমতে,
3h = 9√3
⇒ h = (9√3)/3
= 3√3 সে.মি।

∴ ত্রিভুজটির লম্বের দৈর্ঘ্য 3√3 সে.মি।

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস 10% বাড়ানো হলে এর ক্ষেত্রফল কত বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
∴ ব্যাস = 2r
∴ ক্ষেত্রফল = πr²

ব্যাস 10% বৃদ্ধি পেলে,
নতুন ব্যাস = 2r + 2r এর 10%
= 2r + (2r × 10/100)
= 2r + (2r/10)
= (20r + 2r)/10
= 22r/10

সুতরাং, নতুন ব্যাসার্ধ হবে,
= (1/2) × (22r/10)
= 11r/10

∴ নতুন ক্ষেত্রফল,
= π × (11r/10)²
= π × (121r²/100) = 121πr²/100

ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = নতুন ক্ষেত্রফল - মূল ক্ষেত্রফল
= (121πr²/100) - πr²
= (121πr² − 100πr²)/100
= 21πr²/100

শতকরা ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি,
= (ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি/মূল ক্ষেত্রফল) × 100%
= (21πr²/100)/(πr²) × 100%
= (21/100) × 100%
= 21%

∴ ক্ষেত্রফল 21% বৃদ্ধি পাবে।

প্রশ্ন: একটি খুঁটির দৈর্ঘ্য 60√3 মিটার। এর ছায়ার দৈর্ঘ্য কত মিটার হলে সূর্যের উন্নতি কোণ 60° হবে?

সমাধান:

ধরি,
খুঁটির উচ্চতা AB = 60√3 মিটার
ছায়ার দৈর্ঘ্য BC = ?
∠ACB = θ = 60°

∆ABC তে,
tan θ = AB/BC
⇒ tan 60° = (60√3)/BC
⇒ √3 = (60√3)/BC
⇒ BC = (60√3)/√3
⇒ BC = 60

∴ ছায়ার দৈর্ঘ্য = 60 মিটার

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 10 সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি,
সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য = a সে.মি.

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
(অতিভুজ)² = (লম্ব)² + (ভূমি)²
⇒ 10² = a² +a²
⇒ 100 = 2a²
⇒ a² = 100/2
⇒a² = 50

∴ ক্ষেত্রফল = 1/2 × ভূমি × লম্ব
=1/2 × a × a
= 1/2 × a²
= 1/2 × 50
= 25 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি চাকার পরিধি ৮ মিটার। ১৬ কিলোমিটার পথ অতিক্রম করতে চাকাটি কতবার ঘুরবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
১ কিলোমিটার = ১০০০ মিটার
∴ ১৬ কিলোমিটার = ১৬০০০ মিটার

৮ মিটার গেলে চাকাটি ঘুরে = ১ বার
∴ ১ মিটার গেলে ঘুরবে = ১/৮ বার
∴ ১৬০০০ মিটার গেলে ঘুরবে = (১৬০০০ × ১)/৮ বার
= ২০০০ বার

∴ চাকাটি ২০০০ বার ঘুরবে।

প্রশ্ন: একটি পুকুরের দৈর্ঘ্য ২০ মিটার ও প্রস্থ ১৫ মিটার। যদি প্রতি বর্গমিটার রাস্তার খরচ ১৫০ টাকা হয়, তবে পুকুরটির চারপাশে ২ মিটার চওড়া একটি রাস্তা তৈরি করতে মোট কত টাকা খরচ হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পুকুরের দৈর্ঘ্য = ২০ মিটার
পুকুরের প্রস্থ = ১৫ মিটার

∴ পুকুরের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
= ২০ × ১৫
= ৩০০ বর্গমিটার

রাস্তাসহ পুকুরের দৈর্ঘ্য = ২০ + ২ + ২ = ২৪ মিটার
রাস্তাসহ পুকুরের প্রস্থ = ১৫ + ২ + ২ = ১৯ মিটার

∴ রাস্তাসহ পুকুরের ক্ষেত্রফল = ২৪ × ১৯
= ৪৫৬ বর্গমিটার

সুতরাং, রাস্তার ক্ষেত্রফল = (রাস্তাসহ পুকুরের ক্ষেত্রফল) - (পুকুরের ক্ষেত্রফল)
= ৪৫৬ - ৩০০
= ১৫৬ বর্গমিটার

১ বর্গমিটার রাস্তার ব্যয় = ১৫০ টাকা
∴ ১৫৬ বর্গমিটার রাস্তার ব্যয় = ১৫৬ × ১৫০ টাকা
= ২৩৪০০ টাকা

∴ রাস্তা প্রস্তুত করতে ২৩৪০০ টাকা খরচ হয়।

প্রশ্ন: একটি 15 মিটার লম্বা মই দেয়ালের সাথে খাড়া করে রাখা আছে। মইটির গোড়া দেয়াল থেকে কত দূরে সরালে এর উপরের অংশ 3 মিটার নিচে নেমে আসবে?

সমাধান:

এখানে, AC মইয়ের গোড়া C থেকে D বিন্দুতে সরালে উপরের প্রান্ত A বিন্দু থেকে B বিন্দুতে 3 মিটার নামবে।
মইয়ের দৈর্ঘ্য, AC = BD = 15 মিটার
এবং AB = 3 মিটার
∴ BC = 15 - 3 = 12 মিটার

এখন, পীথাগোরাসের সূত্র অনুযায়ী,
BC² + CD² = BD²
⇒ CD² = BD² - BC²
⇒ CD² = 15² - 12²
⇒ CD² = 225 - 144
⇒ CD² = 81
⇒ CD = √81
∴ CD = 9

∴ মইটির গোড়া দেয়াল থেকে 9 মিটার দূরে সরালে উপরের প্রান্ত 3 মিটার নিচে নামবে।

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ ৭২° হলে, বৃত্তস্থ কোণ কত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক হয়।

দেওয়া আছে, কেন্দ্রস্থ কোণ = ৭২°
∴  বৃত্তস্থ কোণ = ৭২°/২
= ৩৬°

∴ বৃত্তস্থ কোণ ৩৬°