Math Master

প্রশ্ন: 7 + 10 + 13 + ......... ধারাটির কোন পদ 100 হবে?

সমাধান:
ধারাটির, ১ম পদ, a = 7
সাধারণ অন্তর, d = 10 - 7 = 3

ধরি, r তম পদ = 100

তাহলে,
a + (r - 1)d = 100
⇒ 7 + (r - 1)3 = 100
⇒ 7 + 3r - 3 = 100
⇒ 3r = 100 - 4
⇒ 3r = 96
∴ r = 32

অতএব, ধারাটির 32 তম পদ 100 হবে।

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমের তৃতীয় পদটি 16 এবং ষষ্ঠ পদটি 128 হলে, প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ a, সাধারণ অনুপাত q হলে n তম পদ = aq^{n - 1}
সুতরাং, তৃতীয় পদ = aq^{3 - 1} = aq² = 16
∴ a = 16/q² ......... (i)

আবার, ষষ্ঠ পদ = aq^{6 - 1} = aq⁵ = (16/q²)q⁵ = 16q³

প্রশ্নমতে,
16q³ = 128
⇒ q³ = 128/16
⇒ q³ = 8
⇒ q³= 2³
∴ q = 2

সুতরাং, প্রথম পদ = 16/(2)²
= 16/4
= 4

প্রশ্ন: 1 + 2 + 3 + … + 60 = কত?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ, a = 1
পদসংখ্যা, n = 60
সাধারণ অন্তর, d = 2 - 1 = 1

∴ সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
= (60/2){2 · 1 + (60 - 1) · 1}
= 30(2 + 59)
= 30 × 61
= 1830

প্রশ্ন: 3 + (3/2) + (3/4) + ........ ধারাটির সাধারণ অনুপাত কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম পদ = 3
২য় পদ = 3/2

∴ ধারাটির সাধারণ অনুপাত = ২য় পদ/১মপদ
= (3/2)/3
= (3/2) × (1/3)
= 1/2

প্রশ্ন: একটি সমান্তর অনুক্রমে সাধারণ অন্তর 5 এবং তৃতীয় পদটি 30 হলে সপ্তম পদটি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমান্তর ধারার প্রথম পদ, a এবং সাধারণ অন্তর, d হলে, n তম পদ = a + (n - 1)d

এখানে,
তৃতীয় পদ = 30
∴ a + (3 - 1) × 5 = 30
⇒ a + 2 × 5  = 30
⇒ a + 10 = 30
⇒ a = 30 - 10
⇒ a = 20

∴ সপ্তম পদ = 20 + (7 - 1) ×‌ 5
= 20 + 6 ×‌ 5
= 20 + 30
= 50

প্রশ্ন: 5 + 5√3 + 15 + 5√3 + .......... ধারাটির কোন পদ 405 হবে?

সমাধান:
ধারাটি গুণোত্তর ধারা।
কারণ এদের সাধারণ অনুপাত r = ২য় পদ/১ম পদ
= 5√3/5 = √3
১ম পদ a = 5
∴ n তম পদ = ar^{n - 1}

শর্তমতে,
ar^{n - 1} = 405
⇒ 5 × (√3)^{n - 1} = 405
⇒ (√3)^{n - 1} = 81
⇒ (3^1/2)^{n - 1} = 3⁴
⇒ 3^{(n - 1)/2} = 3⁴
⇒ (n - 1)/2 = 4
⇒ n - 1 = 8
⇒ n = 8 + 1
⇒ n = 9

প্রশ্ন: শূন্যস্থানে কোন সংখ্যাটি বসবে?
14 + 23 + 32 + _____ +  50

সমাধান:
১ম পদ = 14
২য় পদ = 14 + 9 = 23
৩য় পদ = 23 + 9 = 32
৪র্থ পদ = 32 + 9 = 41
৫ম পদ = 41 + 9 = 50
এটি একটি সমান্তর ধারা।

প্রশ্ন: 1 + (1/2) + (1/4) + . . . . . . ধারাটির প্রথম 5 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
n = 5
প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অনুপাত, r = (1/2)/1
= 1/2 ;যা 1 থেকে ছোট

∴ 5 টি পদের সমষ্টি = a × {(1 - rⁿ)/(1 - r)}
= 1 × [{1 - (1/2)⁵}/{1 - (1/2)}]
= {1 - (1/32)}/{1 - (1/2)}
= {(32 - 1)/32}/{(2 - 1)/2}
= (31/32)/(1/2)
= (31/32) × (2/1)
= 31/16

প্রশ্ন: 2 + 6 + 10 + ... + 50 ধারাটির পদসংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
এখানে ধারাটির,
১ম পদ = 2
শেষ পদ = 50
সাধারণ অন্তর = 6 - 2 = 4

সুতরাং, পদসংখ্যা = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/সাধারণ অন্তর} + 1
= {(50 - 2)/4} + 1
= (48/4) + 1
= (12 + 1)
= 13

প্রশ্ন: 2 + (2/3) + (2/9) + (2/27) + ...... ধারাটির অসীম পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধারাটির ১ম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = (2/3)/2 = 1/3

∴ ধারাটির অসীমতক সমষ্টি, S_∞ = a/(1 - r)
= 2/{1 - (1/3)}
= 2/{(3 - 1)/3}
= 2/(2/3)
= 2 × (3/2)
= 3

প্রশ্ন: একটি সমান্তর অনুক্রমে 6ষ্ঠ পদটি 48 এবং প্রথম 6টি পদের যোগফল 180 হলে, প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ধারাটির প্রথম পদ = a
সাধারন অন্তর = d
∴ a + (6 - 1)d = 48
⇒ a + 5d = 48 .......... (1)

এবং (6/2){2a + (6 - 1)d} = 180
⇒ 3{2a + 5d} = 180
⇒ 2a + 5d = 60 .............. (2)

(2) নং - (1) নং ⇒ হতে পাই,
2a + 5d - a - 5d = 60 - 48
∴ a = 12

প্রশ্ন: 1² + 2² + 3² + ..... + 15² = কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি = {n(n + 1)(2n + 1)}/6
= {15(15 + 1)(2 · 15 + 1)}/6
= (15 · 16 · 31)/6
= 7440/6
= 1240

প্রশ্ন: 4 + 12 + m + n + 324 + ........ একটি গুণোত্তর ধারা হলে n - m এর মান কত?

সমাধান:
ধরি,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 4
সাধারণ অনুপাত, r = 12/4 = 3

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = ar^{n - 1}

তাহলে,
ধারাটির তৃতীয় পদ, m = ar²
= 4 × 3²
= 4 × 9
= 36

ধারাটির চতুর্থ পদ, n = ar³
= 4 × 3³
= 4 × 27
= 108

∴ n - m = 108 - 36 = 72

প্রশ্নটি হওয়া উচিত ছিল - প্রথম 10টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি কত?
প্রশ্নে ভাষাগত ত্রুটি থাকায় প্রশ্নটি বাতিল করা হলো। 
---------------------------- 

প্রশ্ন: প্রথম 10টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনমূলের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধারাটি 1³ + 2³ + 3³ + ..... + 10³
আমরা জানি,
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনমূলের সমষ্টি = [{n(n + 1)}/2]²

∴ 10টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনমূলের সমষ্টি = [{n(n + 1)}/2]²
= [10(10 + 1)}/2]²
= 55²
= 3025

প্রশ্ন: কোনো ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি n(n + 1) হলে, ধারাটির প্রথম 18 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি = n(n + 1)
প্রথম 18টি পদের সমষ্টি = 18(18 + 1)
= 18 × 19
= 342

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সমান্তর ধারা?

সমাধান:
সমান্তর ধারা: সমান্তর বলতে ‘সমান অন্তর’ বোঝায়। যে ধারার পাশাপাশি দুইটি পদের বিয়োগফল একই সংখ্যা বা রাশি থাকে, তাকে সমান্তর ধারা বলা হয়। ধারায় প্রাপ্ত দুইটি পদের বিয়োগফলকে ধারার সাধারণ অন্তর বলে। সাধারণ অন্তর ধনাত্মক বা ঋণাত্মক উভয়ই হতে পারে।
যেমন: ১ + ৪ + ৭ + ১০ +...............+ ২২, একটি সমান্তর ধারা।

এখানে,
3 - 6 - 15 - 24 ....... একটি সমান্তর ধারা।
এখানে, প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অন্তর, d = (- 6 - 3) = - 9
আবার, -15 - (- 6) = - 9
- 24 - (- 15) = - 9

প্রশ্ন: 3 + 6 + 12 + 24 + .................. ধারাটির n সংখ্যক পদের সমষ্টি 3069 হলে, n এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = 6/3 = 2 >1

প্রশ্নমতে,
n সংখ্যক পদের সমষ্টি = 3069
⇒ a{(rⁿ - 1)/(r - 1)} = 3069
⇒ 3 × {(2ⁿ - 1)/(2 - 1)} = 3069
⇒ 2ⁿ - 1 = 3069/3
⇒ 2ⁿ = 1023 + 1
⇒ 2ⁿ = 1024
⇒ 2ⁿ = 2¹⁰
∴ n = 10

প্রশ্ন: 0.6 + 0.06 + 0.006 + .......... ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 0.6 = 6/10 = 3/5
সাধারণত অনুপাত, r = 0.06/0.6
=  1/10 < 1

সুতরাং, অসীমতক সমষ্টি = a/(1 - r)
= (3/5) ÷ {1 - (1/10)}
= (3/5) ÷ (9/10)
= (3/5) × (10/9)
= 2/3

প্রশ্ন: 5 + 15 + 45 + … গুণোত্তর ধারাটির কত তম পদ 1215 হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির ১ম পদ, a = 5
সাধারণ অনুপাত, r = 15/5 = 3

ধরি,
n তম পদ = 1215
⇒ ar^{n - 1} = 1215
⇒ 5 × 3^{n - 1} = 1215
⇒ 3 ^{n - 1} = 243
⇒ 3^{n - 1} = 3⁵
⇒ n - 1 = 5
⇒ n = 5 + 1
⇒ n = 6

∴ ধারাটির 6 তম পদ 1215 হবে।