ডেইলি কুইজ [১৪০ দিনের রুটিনের অংশ]

প্রশ্ন: পিথাগোরাস ত্রয়ীর একটি সদস্য 41 হলে অন্য দুটি সদস্য কী কী?

সমাধান:
পিথাগোরাস ত্রয়ী:
পিথাগোরাস ত্রয়ী (Pythagorean triplet) হলো তিনটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার একটি সেট, যা পিথাগোরাসের উপপাদ্যকে সন্তুষ্ট করে
তিনটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা a, b, c (যেখানে c > a, b) যদি c² = a² + b² শর্ত মানে তাহলে তাদেরকে (a, b, c) পিথাগোরাস ত্রয়ী বলা হয়। ​​যেমন:​ (3, 4, 5), ​(5, 12, 13), ​(7, 24, 25)।
​
​এখানে,
​অপশন (খ) তে,
​9² + 40² = 41²
​⇒ 81 + 1600 = 1681
​⇒ 1681 =1681​
​∴ (9, 40, 41) একটি পিথাগোরাস ত্রয়ী।

প্রশ্ন: যদি 0° < θ < 90° হয়, এবং cos2θ = 1/2 হলে, θ এর মান কত?

সমাধান:
cos2θ = 1/2
⇒ cos2θ = cos 60°
⇒ 2θ = 60°
⇒ θ = 60°/2
⇒ θ = 30°

সুতরাং, θ এর মান হলো 30°

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ৪০ মিটার এবং প্রস্থ ২৫ মিটার। বাগানের চারপাশে ২.৫ মিটার চওড়া একটি রাস্তা নির্মাণ করতে কত টাকা খরচ হবে, যদি প্রতি বর্গমিটার রাস্তা নির্মাণ ব্যয় ৫০ টাকা হয়?

সমাধান:
​দেওয়া আছে,
বাগানের দৈর্ঘ্য = ৪০ মিটার
বাগানের প্রস্থ = ২৫ মিটার

বাগানের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
= ৪০ × ২৫ বর্গমিটার
= ১০০০ বর্গমিটার

রাস্তার প্রস্থ = ২.৫ মিটার। যেহেতু রাস্তাটি বাগানের চারপাশে অবস্থিত, তাই দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ উভয় দিকেই রাস্তার প্রস্থ যোগ হবে।
রাস্তাসহ বাগানের দৈর্ঘ্য = ৪০ + (২.৫ + ২.৫) = ৪০ + ৫ = ৪৫ মিটার
রাস্তাসহ বাগানের প্রস্থ = ২৫ + (২.৫ + ২.৫) = ২৫ + ৫ = ৩০ মিটার

রাস্তাসহ মোট ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
= ৪৫ × ৩০ বর্গমিটার
= ১৩৫০ বর্গমিটার

সুতরাং, রাস্তার ক্ষেত্রফল = (রাস্তাসহ মোট ক্ষেত্রফল) - (বাগানের ক্ষেত্রফল)
= ১৩৫০ - ১০০০ বর্গমিটার
= ৩৫০ বর্গমিটার

১ বর্গমিটার রাস্তা নির্মাণে ব্যয় ৫০ টাকা।
∴ ৩৫০ বর্গমিটার রাস্তা নির্মাণে মোট ব্যয় = ৩৫০ × ৫০ টাকা
= ১৭৫০০ টাকা

সুতরাং, রাস্তা নির্মাণে মোট খরচ হবে ১৭৫০০ টাকা।

প্রশ্ন: যদি 5cot²θ - cosec²θ = 3 হয়, তবে θ এর মান কত?

সমাধান:
5cot²θ - cosec²θ = 3  
⇒ ​5cot²θ - (1 + cot²θ) = 3 [cosec²θ = 1 + cot²θ]
⇒ ​5cot²θ - 1 - cot²θ = 3
⇒ ​4cot²θ - 1 = 3
⇒ ​4cot²θ = 3 + 1
⇒ ​4cot²θ = 4
⇒ ​cot²θ = 4/4
⇒ ​cot²θ = 1
⇒ ​cotθ = √1
⇒ ​cotθ = 1
⇒ ​​cotθ = cot 45° 
​∴ θ = 45°

অতএব, θ এর মান হলো 45°।

প্রশ্ন: একজন ব্যক্তি তার বাসা থেকে ৮ কি.মি. পশ্চিমে যায় এবং পরবর্তীতে ১৫ কি.মি. দক্ষিণে যায়। সর্বশেষ অবস্থান থেকে তার বাসার সর্বনিম্ন দূরত্ব কত?

সমাধান:
​

ব্যক্তির হাঁটার পথটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি করেছে।

পশ্চিম দিকে যাওয়া ৮ কি.মি. হলো ত্রিভুজের একটি লম্ব। দক্ষিণ দিকে যাওয়া ১৫ কি.মি. হলো ত্রিভুজের ভূমি। সর্বশেষ অবস্থান থেকে বাসার সর্বনিম্ন দূরত্ব হলো অতিভুজ।

আমরা জানি, পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
(অতিভুজ)^২ = (লম্ব)^২ + (ভূমি)^২
⇒ অতিভুজ^২ = ৮^২ + ১৫^২
⇒ অতিভুজ^২ = ৬৪ + ২২৫
⇒ অতিভুজ^২ = ২৮৯
⇒  অতিভুজ = √২৮৯
⇒  অতিভুজ = ১৭ কি.মি.

সুতরাং, সর্বশেষ অবস্থান থেকে তার বাসার সর্বনিম্ন দূরত্ব হলো ১৭ কি.মি.।

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ এবং বহিঃকোণের পার্থক্য ১২০° হলে বহুভুজটি কোন প্রকৃতির?

সমাধান:
​আমরা জানি,
​ একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ এবং বহিঃকোণের যোগফল সকল ক্ষেত্রেই ১৮০° হয়।

যদি প্রতিটি অন্তঃকোণ এবং বহিঃকোণের পার্থক্য ১২০° হয়,
​তাহলে অন্তঃকোণ = ক
​এবং বহিঃকোণ = ক - ১২০°

যেহুতু অন্তঃকোণ + বহিঃকোণ = ১৮০°,
​তাহলে,
​ক + (ক - ১২০°) = ১৮০°
বা, ২ক - ১২০° = ১৮০°
বা, ২ক = ৩০০°
∴ ক = ১৫০°

অতএব, প্রতিটি অন্তঃকোণ ১৫০° এবং বহিঃকোণ = ১৫০° - ১২০° = ৩০°

বহিঃকোণ = ৩০° থাকলে, 
​বহুভুজটির বাহু সংখ্যা = ৩৬০° ÷ ৩০° = ১২

অর্থাৎ বহুভুজটি ১২ বাহু বিশিষ্ট দ্বাদশভুজ (Dodecagon)।

প্রশ্ন: যদি tanθ = 3/4 হয়, তবে sinθ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, tanθ = 3/4

আমরা জানি, 
সমকোণী ত্রিভুজে, tanθ = লম্ব/ভূমি।

অতএব, লম্ব = 3 এবং ভূমি = 4।

এখন,
অতিভুজ² = লম্ব² + ভূমি²
বা, অতিভুজ = √(লম্ব² + ভূমি²)
বা, ​অতিভুজ = √(3² + 4²)
বা, অতিভুজ = √(9 + 16)
বা, অতিভুজ = √25
∴ অতিভুজ = 5

আমরা জানি, 
​sinθ = লম্ব/অতিভুজ
​∴ sinθ = 3/5

প্রশ্ন: একটি বেলনের বক্রতলের ক্ষেত্রফল 30 বর্গমিটার ও আয়তন 150 ঘনমিটার। বেলনটির ভূমির ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
​আমরা জানি,
বেলনের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πrh
বেলনের আয়তন = πr²h

দেওয়া আছে,
বেলনের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 30 বর্গমিটার
অতএব, 2πrh = 30 ........ (1)

এবং
বেলনের আয়তন = 150 ঘনমিটার
অতএব, πr²h = 150 ........ (2)

এখন, সমীকরণ (2) কে সমীকরণ (1) দ্বারা ভাগ করে পাই:
(πr²h)/(2πrh) = 150/30
​বা, r/2 = 5
​বা, r = 5 × 2
∴ r = 10

সুতরাং, বেলনটির ভূমির ব্যাসার্ধ হলো 10 মিটার।

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব ৬ সেমি এবং ক্ষেত্রফল ২৪ বর্গসেমি হলে, ত্রিভুজটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
​ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × লম্ব
⇒ ২৪ = (১/২) × ভূমি × ৬
⇒ ২৪ = ৩ × ভূমি
⇒ ভূমি = ২৪/৩
∴ ভূমি = ৮ সেমি

পিথাগোরাসের সূত্রানুসারে,
​(অতিভুজ)^২ = (ভূমি)^২ + (লম্ব)^২
⇒ অতিভুজ^২ = ৮^২ + ৬^২
⇒ অতিভুজ^২ = ৬৪ + ৩৬
⇒ অতিভুজ^২ = ১০০
⇒ অতিভুজ = √১০০
⇒ অতিভুজ = ১০ সেমি

সুতরাং, ত্রিভুজটির পরিসীমা = ৮ + ৬ + ১০ = ২৪ সেমি।

প্রশ্ন: একটি নবভুজের কর্ণের সংখ্যা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
​ n সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা = n(n - ৩)/২

এখানে, নবভুজের বাহু সংখ্যা (n) = ৯ টি

∴ নবভুজের কর্ণের সংখ্যা = n(n - ৩)/২
= ৯(৯ - ৩)/২
= (৯ × ৬)/২
= ৫৪/২
= ২৭ টি

অর্থাৎ, একটি নবভুজের কর্ণের সংখ্যা হলো ২৭ টি।

প্রশ্ন: একটি পাম্প প্রতি মিনিটে ৫০ লিটার পানি তুলতে পারে। যদি পাম্পটি একটি সুইমিং পুল পূর্ণ করতে ১০ ঘন্টা সময় নেয়, তবে পুলটির আয়তন কত ঘনমিটার?

সমাধান:
​আমরা জানি,
১ ঘন্টা = ৬০ মিনিট
সুতরাং, ১০ ঘন্টা = (১০ × ৬০) মিনিট = ৬০০ মিনিট।

পাম্পটি ১ মিনিটে পানি তোলে = ৫০ লিটার
অতএব, ৬০০ মিনিটে পাম্পটি পানি তোলে = (৬০০ × ৫০) লিটার = ৩০০০০ লিটার।

এখন, আমরা জানি, ১০০০ লিটার = ১ ঘনমিটার।
সুতরাং, ৩০০০০ লিটার = (৩০০০০/১০০০) ঘনমিটার = ৩০ ঘনমিটার।

অতএব, সুইমিং পুলটির আয়তন হলো ৩০ ঘনমিটার।

প্রশ্ন: একটি কাঠের গুড়ির দৈর্ঘ্য ৪ মিটার, প্রস্থ ৫০ সে.মি. এবং উচ্চতা ২৫ সে.মি.। এটি কেটে ১০ সে.মি. উচ্চতা, ২৫ সে.মি. প্রস্থ এবং ৫০ সে.মি. দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট কতগুলো ব্লক তৈরি করা যাবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
কাঠের গুড়ির দৈর্ঘ্য = ৪ মিটার = (৪ × ১০০) সে.মি. = ৪০০ সে.মি.
কাঠের গুড়ির প্রস্থ = ৫০ সে.মি.
কাঠের গুড়ির উচ্চতা = ২৫ সে.মি.

কাঠের গুড়ির আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা
= (৪০০ × ৫০ × ২৫) ঘন সে.মি.
= ৫০০০০০ ঘন সে.মি.

আবার,
প্রতিটি ব্লকের দৈর্ঘ্য = ৫০ সে.মি.
প্রতিটি ব্লকের প্রস্থ = ২৫ সে.মি.
প্রতিটি ব্লকের উচ্চতা = ১০ সে.মি.

প্রতিটি ব্লকের আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা
= (৫০ × ২৫ × ১০) ঘন সে.মি.
= ১২৫০০ ঘন সে.মি.

∴ ব্লকের সংখ্যা = কাঠের গুড়ির আয়তন/প্রতিটি ব্লকের আয়তন
= ৫০০০০০/১২৫০০
= ৪০ টি

সুতরাং, ৪০টি ব্লক তৈরি করা যাবে।

প্রশ্ন: ১৮ টি বাহু বিশিষ্ট সুষম বহুভুজের প্রতিটি বহিঃস্থ কোণের মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সুষম বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা, n = ১৮

আমরা জানি,
একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাপ = ৩৬০°/বাহুর সংখ্যা
∴ প্রতিটি বহিঃস্থ কোণ = ৩৬০°/১৮
= ২০°

∴ সুষম বহুভুজটির প্রতিটি বহিঃস্থ কোণের মান ২০°।