ডেইলি কুইজ [২০০ দিন]

প্রশ্ন: a² - 1 - b(b - 2) এর উৎপাদক কত?

সমাধান:
a² - 1 - b(b - 2)
= a² - 1 - b² + 2b
= a² - (b² - 2b + 1)
= a² - (b - 1)²
= (a + b - 1)(a - b + 1)

প্রশ্ন: p = √7 + √6 হলে, p - (1/p) এর মান কত?

সমাধান:

প্রশ্ন: 4a⁴ - 25a² + 36 এর একটি উৎপাদক নয় কোনটি?

সমাধান:
4a⁴ - 25a² + 36
= 4a⁴ - 16a² - 9a² + 36
= 4a²(a² - 4) - 9(a² - 4)
= (a² - 4)(4a² - 9)
= (a² - 2²){(2a)² - 3²}
= (a + 2)(a - 2)(2a + 3)(2a - 3)

প্রশ্ন: x = (1/x) + (3/2) হলে, 8{x³ - (1/x³)} = কত?

সমাধান:
x = (1/x) + (3/2)
⇒ x - (1/x) = 3/2

প্রশ্ন: a - (1/a) = 5 হলে, {a + (1/a)}² এর মান কত?

সমাধান:
{a + (1/a)}² = {a - (1/a)}² + 4 ⋅ a ⋅ (1/a)
= 5² + 4
= 29

প্রশ্ন: a² + 6a + 8 - y² + 2y এর উৎপাদকে বিশ্লেষিত রূপ কোনটি?

সমাধান:
a² + 6a + 8 - y² + 2y
=a² + 2 ⋅ a ⋅ 3 + (3)² - y² + 2 ⋅ y ⋅ 1 - (1)²
= (a + 3)² - (y - 1)²
= {(a + 3) + (y - 1)}{(a + 3) - (y - 1)}
= (a + 3 + y - 1)(a + 3 - y + 1)
= (a + y + 2)(a - y + 4)

প্রশ্ন: নিচের কোনটি 2a⁴ - 5a³ + 6a² - 5a + 2 এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
ধরি, f(a) = 2a⁴ - 5a³ + 6a² - 5a + 2
∴ f(1) = 2 ⋅ 1⁴ - 5 ⋅ 1³ + 6 ⋅ 1² - 5 ⋅ 1 + 2 = 0
অতএব (a - 1), 2a⁴ - 5a³ + 6a² - 5a + 2 এর একটি উৎপাদক।

2a⁴ - 5a³ + 6a² - 5a + 2
= 2a⁴ - 2a³ - 3a³ + 3a² + 3a² - 3a - 2a + 2
= 2a³(a - 1) - 3a²(a - 1) + 3a(a - 1) - 2(a - 1)
=(a - 1)(2a³ - 3a² + 3a - 2)

প্রশ্ন: x + y + z = 6 এবং x² + y² + z² = 14 হলে, (x - y)² + (y - z)² + (z - x)² এর মান কত?

সমাধান:
(x - y)² + (y - z)² + (z - x)²
= x² - 2xy + y² + y² - 2yz + z² + z² - 2zx + x² [∵ (a - b)² = a² - 2ab + b²]
= 2x² + 2y² + 2z² - 2xy - 2yz - 2zx
= 2(x² + y² + z²) - 2(xy + yz + zx)
= 2 ⋅ 14 - 2(xy + yz + zx)
= 28 - {(x + y + z)² - (x² + y² + z²)} [∵ 2(ab + bc + ca) = (a + b + c)² - (a² + b² + c²)]
= 28 - (6² - 14)
= 28 - (36 - 14)
= 28 - 22
= 6

প্রশ্ন: a³ = 19 + b³ এবং (- b) = 1 - a হলে, ab = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a³ = 19 + b³
বা, a³ - b³ = 19

এবং
- b = 1 - a
বা, a - b = 1

এখন,
a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b)
বা, 19 = (1)³ + 3 ⋅ ab ⋅ 1
বা, 19 = 1 + 3ab
বা, 3ab = 19 - 1
বা, ab = 18/3
∴ ab = 6

প্রশ্ন: a² + 7a + b যদি a - 5 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে b এর মান কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রদত্ত রাশি =  a² + 7a + b
যেহেতু, a - 5 প্রদত্ত রাশিটির একটি উৎপাদক  
তাহলে, a - 5 = 0 বা, a = 5 বসালে প্রদত্ত রাশিটির মান 0 হবে।

ধরি,
f(a) = a² + 7a + b

∴ f(5) = 5² + (7 ⋅ 5) + b = 0
বা, 25 + 35 + b = 0
বা, 60 + b = 0
∴ b = - 60

∴ প্রদত্ত রাশিটি a - 5 দ্বারা বিভাজ্য হলে, b এর মান হবে (- 60).

প্রশ্ন: a - (1/a) = 2 হলে, a⁴ + (1/a⁴) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a - (1/a) = 2

এখন,
a⁴ + (1/a⁴) = (a²)² + (1/a²)²
= {(a² + (1/a²)}² - 2 ⋅ a² ⋅ (1/a²)
= {(a² + (1/a²)}² - 2
= [{a - (1/a)}² + 2 ⋅ a ⋅ (1/a)]² - 2
= (2² + 2)² - 2
= 36 - 2
= 34

প্রশ্ন: a + b = 5 এবং ab = 6 হলে, a³ + b³ এর মান কত?

সমাধান:
a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)
= 5³ - 3 ⋅ 6 ⋅ 5
= 125 - 90
= 35

প্রশ্ন: 9a² + 18a - 40 এর একটি উৎপাদক (3a - 4) হলে, অপর উৎপাদকটি কত?

সমাধান:
9a² + 18a - 40
= 9a² + 30a - 12a - 40
= 3a(3a + 10) - 4(3a + 10)
= (3a + 10)(3a - 4)

∴ একটি উৎপাদক (3a - 4) হলে, অপর উৎপাদকটি হবে (3a + 10).

প্রশ্ন: a + b = 4 হলে, a³ + b³ + 12ab এর মান কত?

সমাধান:
a³ + b³ + 12ab
= (a + b)³ - 3ab(a + b) + 12ab
= 4³ - 3 ⋅ ab ⋅ 4 + 12ab
= 64 - 12ab + 12ab
= 64

প্রশ্ন: (a²/b²) + 2(a/b) এর সাথে কত যোগ করলে সংখ্যাটি পূর্ণ বর্গ হবে?

সমাধান:
(a²/b²) + 2(a/b)
= (a/b)² + 2 ⋅ (a/b) ⋅ 1 + 1² - 1
= {(a/b) + 1}² - 1

∴ (a2/b2) + 2(a/b) এর সাথে 1 যোগ করলে সংখ্যাটি পূর্ণ বর্গ হবে।

প্রশ্ন: p² + q² = 37 এবং pq = 6 হলে, (p - q)² এর মান কত?
 
সমাধান:
(p - q)² = P² - 2pq + q²
= 37 - (2 × 6)
= 37 - 12
= 25

প্রশ্ন: (a + b)⁶ এর পদ সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
আমরা জানি,
(a + x)ⁿ এর পদসংখ্যা = n + 1 টি
সুতরাং (a + b)⁶ এর পদসংখ্যা = 6 + 1 = 7 টি

প্রশ্ন: a^-1/2 = 3 - (1/a^{- 1/2}) হলে √a - (1/√a) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a^-1/2 = 3 - (1/a^{- 1/2})
⇒ 1/√a = 3 - √a
⇒ √a + (1/√a) = 3

এখন,
{√a - (1/√a)}² = {√a + (1/√a)}² - 4 ⋅ √a ⋅ (1/√a)
= 3² - 4
= 9 - 4
= 5
∴ √a - (1/√a) = √5

প্রশ্ন: নিচের কোন বহুপদীর একটি উৎপাদক a - 3?

সমাধান:
a = 3 হলে,
a³ - 4a + 3
= 3³ - 4 × 3 + 3
= 27 - 12 + 3
= 18 ≠ 0

a³ + a - 24
= 3³ + 3 - 24
= 27 + 3 - 24
= 6 ≠ 0

a³ + 3a - 36
= 3³ + 3 × 3 - 36
= 27 + 9 - 36
= 0 

3a² + 2a - 31
= (3 × 32) + (2 × 3) - 31
= 27 + 6 - 31
= 2 ≠ 0

∴ (a - 3), a³ + 3a - 36 এর একটি উৎপাদক।

প্রশ্ন: 12a² + 7a - 10 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি? 

সমাধান:
12a² + 7a - 10
= 12a² + 15a - 8a - 10
= 3a(4a + 5) - 2(4a + 5)
= (4a + 5)(3a - 2)

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: a² + b² = 169 এবং a - b = 7 হলে, ab = কত?

সমাধান:
a² + b² = (a - b)² + 2ab
⇒ 169 = 7² + 2ab
⇒ 2ab = 169 - 49
⇒ ab = 120/2
∴ ab = 60